分式的基本性质通分

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分式的基本性质应用：约分、通分

1.通分：
归例纳((112.))通4分b22adca33：22bb与与与34abcaa26bb522bcc
找最简公分母的方法： 1.把各分母因式分解
2.取系数的最小公倍数；
3.取所有因式的最高次幂。
例2.通分： 2x x5
与
3x x5
1
2
1
2
x 1 与 1 x (x 1)2 与 1 x2
找最简公分母的方法：
1.你根据什么进行分式变形？
2.分式变形后，各分母有什么变化？
通分的定义：
利用分式的基本性质，把不同分母
的分式化为相同分母的分式，这样的分式变形叫分式的通分。
3.分式的分母 4ab 、6a2最终都化成什么？
4ab
6a2
12a2b 最简公分母
取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，它叫做最简公分母。
1、分式的基本性质内容是什么？
分式的分子与分母同时乘以（或除以）同
一个不等于0的整式，分式的值不变.
2、什么是分式的约分？分式的约分有什么要求？
1 3、把右边的分数通分：2
,
3 4
,
5 6
探究
一. 填空：
ab 4ab
3a2 3ab
12a2b
,
2a b 6a2
4ab 2b2
12a2b
,
1.已知 x y z ,试求 x y z 的值.
234
x yz
2.已x2
的值.
3.已知x2
3x
1
0, 试求x 2
1 x2
的值.
1. (多项式)因式分解；
2xy 与 x (x y)2 x2 y2
2.取系数的最小公倍数； 1 与 x x2 4 4 2x

分式的通分

2
尝试练习一: 通分
1 1 (1) 2 , 3 2 ; 2a b 3a b y x 1 (3) , 2 , ; 2 x 3 y 4 xy
c a b (2) , , ; ab bc ac
1 （ 4） 2 3 ( a b) ( x y )
，
1 3 2 ( a b) ( x y )
1 1 (5) 2 2 , 2 x y x xy
12
3
y
4
三个分式的最简公分母为 12x3y4z。
字母的最高次幂。
8 4 y 1、 , , 的最简公分母是： 3x 7 x 2 x 2 8 112 x 8 14 x 3 3 x 14 x 42 x 3x
2 3
42 x
3
2
2
4 7x
2
24 x 4 6x 7x 6 x 42 x
2
3x 2x 与（ 2） x5 x5
解：（2）最简公分母是 ( x 5)(x 5)
2x 2 x( x 5) 2 x 10x 2 x 5 ( x 5)(x 5) x 25
2
3x 3x( x 5) 3x 15x 2 x 5 ( x 5)(x 5) x 25
2y 3 （6) , x x x 1
2 2
1、分式的通分与分数的通分类似，正确掌握分式通分的方法和步骤，才能熟练地进行以后分式的加减法运算；
2、通分的关键是确定最简公分母，包括系数、字母和字母的指数；分母是多项式的要先分解因式；
3 、分式通分的依据是分式的基本性质，每一步变形综合性都较强，计算时要步步细心；
4、分式通分的基本步骤：（1）、将各分母分解因式（没有拉倒）（2）、寻找最简公分母（方法要记牢）（3）、根据分式的基本性质，把各分式的分子分母乘以同一个整式。

16.1.2分式的基本性质(3)-通分

a b ab
a
b
a 1 , a 1 1 a
2、
a 1 6 , 2 a 2a 1 a 1
2
3、 5 x 20 , x 2 9 x 20 , 5 x
x5
5
x
活动五： 1、分式 x 2 ， 2 x 3 ，
( x 1) 2
(1 x )3
5 的最简公分母（ x 1
要为成功找方法
雅尔塞中学师生共用学导稿 3、
数 4、 a 3 , a 3
学四、学习体会
人教版八年级下册
3 5 1 , 2 , 2 4a b 6b c 2ac 2
5
7
5、 x , x 1 , 3x
1
x
2
五、课后拓展
活动四：通分： 1、
b a 已知 1 1 1 ，求的值。
（6） x 2 x , x 2 x
2
1
3、已知 x y z ，求 xy yz xz 的值。 2 3页 )
要为成功找方法
不为失败找借口
第6页 ( 共4页 )
要为成功找方法
2、计算： 1 1 ，说说运算中应用了什么方法？依据是什么？
2 3
分式的通分：二、探究活动活动一：最简公分母：__________________________________________________________ 1、指出下面各组分式的最简公分母： ①
③ 4 x2 , x 2
2
x
④ ( x y) 2 , x 2 y 2
2 xy
x
3 ab , 2a 2 b ab 2 c
1 x 2 , , x x 1 3x

分式的基本性质分式的变形

1 2 a a (1) ( 2 ) 1 a a1 2 a a2 ( 3) 2 1 a
练习
不改变分式的值，使下列各式的分子与分母的最高次项系数是正数，然后再约分
1- a - a ⑴ 2 3 1+a - a
⑶
2
x +1 ⑵ 2 1- x
1- a - 2 a - a +3
2
结
分式性质应用
(2a -
解：原式 =
2 ( a + b) ? 6 3
2
b) ? 6
12a 9b 4a 6b
巩固练习
y 的 x和 y 都扩大两倍,则分式的值( B ) 1.若把分式 x+y
A．扩大两倍 C．缩小两倍 B．不变 D．缩小四倍
xy 2.若把分式中的 x+y 的值( A ).
A．扩大3倍 C．扩大4倍
12 xy 的最简公分母是
的最简公分母
2 ；
是
1 2x , , (3)分式最简公分母 2 2 2 6 x 3 x x 4 2 x 4 ) 2 ( 是 12 x ( x + 2) ( x - 2) ；
10a b c
x
2 2 2
4a 3c 5b , 2 , 2 2 5b c 10a b - 2ac
；
分式性质应用
不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数。
0.01x 0.5 （ 1） 0.3xБайду номын сангаас 0.04
(0.01x 0.5) 100 解：原式 (0.3 x 0.04) 100
x 50 30 x 4
3 2a - b 2 （ 2） 2 a +b 3 3

分式的基本性质-初中数学知识点

分式的基本性质
1．分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
1 / 1。

分式的基本性质(通分、约分)

16.1.2分式的基本性质（约分）一、学习目标：会用分式的基本性质将分式变形，正确进行分式的约分。

二、新课（一）复习1、96和128的最大公约数是2、约分4864= 1218a b= 3、多项式62323248a b ab a b -+的最大公因式是：（一）约分约分的概念：是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同，使分式的值不变。

目的：约去分子、分母的做法：先找出分子、分母的，再将其约去。

最简分式：分子与分母不含有的分式叫做最简分式1.下面的分式中，最简分式有： ①246a ab ②712xy a ③211a a -+ ④623a b a b ++ ⑤222()x y x y ++ ⑥2a ab a b -- 2..约分（1）2322515a bc ab c - （2）22969x x x -++（3）22612633x xy y x y-+-注意：找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式（分子、分母没有公因式）三.课堂检测1．判断下列约分是否正确：（1）c b c a ++=b a （2）22y x y x --=y x +1 （3）nm n m ++=0 2.约分：（1）cab b a 2263= （2）2228m n n m = （3）532164xyzyz x -= （4）xy y x --3)(2= （5）22222b a a ab b --+= （6）3232221821218x xy x x y xy-++四、课后反思：这节课你学到了什么？有哪些需要注意的地方？16.1.2分式的基本性质（通分）一、学习目标：会用分式的基本性质将分式变形，正确进行分式的通分.二、新课（一）通分通分的概念：是应用分式的基本性质使分式的分子、分母同，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的通分.最简公分母：各个分母中的因数的与所有字母的最次幂的积作为最简公分母.1.填空（1）1546与的最简公分母是：（2）736与548的最简公分母是（3）223y x y x xy+与的最简公分母是（4）223546a b ab c与的最简公分母是（5）221a b a b a b-+-与的最简公分母是（6）221244x x x x x x -+++与的最简公分母是 2.只改变分式的符号，把下面的算式化为同分母（1）a b a b b a--与（2）x y x y x y+--与 3.通分：（1）321ab 与c b a 2252 最简公分母是：321ab = cb a 2252=（2）2355x x x x -+与最简公分母是：25x x -= 35x x +=分析：一般取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.三、课堂检测1、通分：（1）xy a 2和23x b （2）223ab c 和28bc a -（3）11-y 和11+y （4）x x x --21和xx x +-21四、课堂小结1、最简公分母的概念2.通分的步骤:(1)先确定各个分母的最简公分母（对于多项式的分母，通常先将分母分解因式）（2）应用分式的基本性质，将各个分母化为同分母。

分式的性质的应用

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达标检测:
1、约分：
(1)
ab 2a2
;
(3)
2
x2 x3
3 6x
;
2、通分：
(1) 1 , 1 ; ax bx
(3) 2 , 3 ; x 1 x 2

分式的基本性质(3)通分_教案

15.1.2 分式的基本性质（3）----通分教学设计教学目标1．进一步理解分式的基本性质.2．学习掌握分式的约分和通分．3．通过学习分式的基本性质，约分、通分法则，渗透类比的思想方法.教学重点掌握通分的法则教学难点运用分式的基本性质，将分式进行变形教学过程设计一、复习回顾二、复习引入1.分数的通分计算解：(1)(2)变形的依据是分式的基本性质，重点是求出分母的最小公倍数。

分数的通分：根据分数的基本性质，把几个异分母的分数分别化成与原来的分数相等的同分母的分数。

师生活动：教师指出(1)是约分，依据是分式的基本性质，那么(2)是什么变形呢？从而引入新课。

2.分数通分的知识梳理根据分数的基本性质，把几个异分母的分数分别化成与原来的分数相等的同分母的分数，叫分数的通分.1.通分的依据是：分数的基本性质2.通分的基本方法是：先找出分数的分子、分母的最小公倍数,再通分.3.通分的目的：化为同分母分数设计意图：从学生熟悉的分数通分入手，回顾分数的计算及知识梳理，自然衔接新课。

三、类比归纳，讲授新课观察课前的填空题：教师指出是各分母的最简公分母；并得到分式通分的概念：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同2 2 2分母的分式，叫做分式的通分。

我们把各分母的所有因式的最高次幂的积，叫做最简公分母.探究：如何确定最简公分吗1.定系数：各分母系数的最小公倍数2.定字母：各分母中含有的所有字母3.定指数：各字母最高次幂设计意图：通过分数概念的类比，学生能轻松得出分式的概念，并进行类比记忆。

通过事例探究如何确定最简公分母。

例4.解：最简公分母是2a2b2c.师生活动：教师给出例题的示范，并指出由分母的变化决定分子的变化。

跟踪训练1通分：最简公分母是解：最简公分母是(x+5)(x-5).教师总结：分母是多项式时，先因式分解，再将每一个因式看成一个整体，最后确定最简公分母．跟踪训练2通分：解：最简公分母是(a+b)(a-b).跟踪训练3跟踪训练4找出各组分式的最简公分母师生活动：请学生到白板上板演，教师巡视并答疑解惑。

人教版八年级数学上册教案-15.1.2分式的基本性质分式通分

五、教学反思
在本次教学活动中，我注意到学生在学习分式的基本性质与通分这一章节时，存在一些理解和掌握上的难点。首先，我发现学生在理解分式基本性质时，对于为何乘除同一个数（除数不为0）不会改变分式的值这一点上存在困惑。在今后的教学中，我需要更加形象、具体地解释这一性质的数学原理，以便学生能够更好地理解。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调分式基本性质和通分方法这两个重点。对于难点部分，如选取公倍数和分解因式，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与分式通分相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示分式通分的基本原理。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式通分的基本概念。通分是指将分母不相同的分式通过乘以适当的整式，使分母相同，以便进行加减运算。它是分式运算中的重要环节，帮助我们解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何将$\frac{1}{x}$和$\frac{2}{x+1}$通分，以及通分在简化分式运算中的作用。
在授课过程中，我也注意到学生在解决实际问题时构建分式模型的能力较弱。为了提高学生的这一能力，我将在下一节课中增加一些关于建模的讲解和练习，帮助学生学会如何从实际问题中抽象出分式模型。
此外，教学流程的设计方面，导入新课环节的问题设置可能还不够吸引学生的兴趣，今后我需要在这个环节下更多功夫，设计更具趣味性和启发性的问题，激发学生的学习兴趣和好奇心。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《分式的基本性质与通分》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要将不同单位的量进行换算的情况？”比如，将米和厘米的长度进行加减。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索分式通分的奥秘。

《分式的基本性质的应用：约分、通分》教学设计2

15、1、2分式的基本性质第一课时教学设计教材分析：“分式的基本性质（第1课时）”是人教版八年级数学上册第十五章第一节“分式”的重点内容之一，是在小学学习了分数的基本性质的基础上进行的，是分式变形的依据，也是进一步学习分式的通分、约分及四则运算的基础，使学生掌握本节内容是学好本章及以后学习方程、函数等问题的关键。

教学目标：知识技能：1、理解分式的基本性质。

2、了解运用式的基本性质进行分式的变形。

过程与方法:让我们经历“从分数到分式”的过程，体验数与式的联系，进一步学习代数式，培养从特殊到一般的思维能力。

情感、态度与价值观：1、通过分式与分数的类比，培养我们从具体到抽象、从特殊到一般的思维能力；2、通过思考、观察、归纳等活动，使我们参与到数学活动中，在活动中体验数学的学习乐趣。

重点：掌握、运用分式的基本性质。

难点：灵活运用分式的基本性质。

教学过程：一、复习提问1、分式的定义？分式有意义的条件？2、分数的基本性质？有什么用途？二、新课1、类比分数的基本性质，由学生小结出分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，即：)0.(,≠÷÷=••=C C B CA B AC B CA B A其中A,B,C 是整式。

思考：应用分式的基本性质时需要注意什么？1）分子、分母应同时做乘、除法中的同一种变换；2）所乘（或除以）的必须是同一个整式；3）所乘（或除以）的整式应该不等于零。

2、初步应用分式的基本性质3、练习巩固拓展知识分式的符号规律b a b a b a b a b a b a b a =--=--=---=-=-;4、约分定义根据分式的基本性质，把分式分子、分母的公因式约去，这种变形叫分式的约分。

其中分子与分母没有公因式的分式，叫做最简公因式。

练习三、课堂小结1）分式的基本性质是什么？2）运用分式基本性质时要注意什么？3）分式变号的法则是怎样的？4）约分法则。

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7×3 21 =
8×3 24
你能说出分数通分的数学原理吗？
2. 找出下列分母的最小公倍数：
(1) 2 、 4 35
(2) 5 、 7 68
分母的最小公倍数
3×5 = 15
2×3×4 = 24
你能说出找最小公倍数的方法吗？
填空：
a + b 3a2 + 3ab 4ab = 12a2b ,
2a - b 4ab - 2b2 6a2 = 12a2b ,
4x2 y3 12x3 y4z
6xy4 12x3 y4z
1、8 , 4 , y 的最简公分母是：
3x 7x2 2x3
8
8 •14x2
112 x 2
3 x 3x •14x2 42 x 3
42 x 3
4 4•6x 24 x
7x2
7x2 •6x
42 x3
y 2x3
y • 21
2x3 • 21
（四）课堂练习
1. 通分：
(1)
2c 与 3ac
bd 4b 2
(2 )（ x
2x y
y）2
与 x2
x y2
2.（补充）通分：
(1) 2 与 a-1 3a9 a2 9
(2 ) 4x12x2与x214
3.通分：3 (1) 4a2b
与
-
5 6b2
c
1
2
（2）x -1 与 x + 1
（3）( x2+xyy) 2 与
(4) 5b2c , 10a2b , - 2ac2;
1
1
(5) x2 - xy , xy - y2 ;
11 (6) x2 - y2 , x + y ;
11 (7) x2 + x , x2 - x ;
1
1
(8) x2 + x , x2 + 2x + 1
巩固练习3（补 1、分式充1）, ：1 , 1 的最简公分 B母
2x3y2z 4x2y3 6x y4
A、12xyz B、12x3y4z C、24xyz D、
2、m,1 m,
1
24x3y4z
的最简公分母是： m 1
m 1
3、通分：
(1) 1 与 1 xy xy
⑵
1
(a b)2(x
y)3
，
1 (a b)3(x y)2
(3) 1 与 1 x2 y2 x2 xy
练习1
通分：
1
（1）
3x2
5 ，12 xy
；
（2）
1 x2 +
x
，
x
1 2-
x
；
1x
（3） (2- x)2 , x2 -4 .
练习2
通分:
11 (1) 2a 2b , 3a 3b2 ;
yx 1 (3) 2x , 3 y2 , 4xy ;
cab (2) , , ;
ab bc ac 4a 3c 5b
1.你运用什么数学原理进行分式变形？
分式变形后，各分母有什么变化？
a + b 3a2 + 3ab
= 4ab
12a2b
2a - b 4ab - 2b2 6a2 = 12a2b
这样的分式变形叫什么？
通分的定义：
利用分式的基本性质，把不同分母的分式化为相同分母的分式，这样的分式变形叫分式的通分。
a + b 3a2 + 3ab
x x2 - y2
（4）( x
1 + 1)2
与
1
2 - x2
4（补充）通分
（ 1） 3a1b3，4a32b，94a3b
（2） 5 x ， 4 ， 2 x 2x 1 1 2x 4x2 1
（四）课堂练习（补充）
5.三个分式
y, x , 1 2x 3y2 4xy
的最简公分母是（
）
A. 4 xy B. 3 y 2 C. 12 xy 2 D. 12 x 2 y 2
6.分式
1 x2
x
,
x 的最简公分母是_________.
2(x1)
7. 三个分式
1, y , 3 的最简公分母
x x2 x x2 1
是
找最简公分母的方法：
1.(多项式)因式分解； 2.各分母系数的最小公倍数。 3.各分母所含相同字母（或因式）的最高次幂。 4.各分母所含有其他的字母（或因式）。
x2 4(x2)(x2)各式分，母再分找解出因最
简公分母。
把这两个分式的分母中所有的因式都取到，其中，系数取正数，取它们的积，即 2x(就x 是2)这(x 两2)个分式的最简公分母。
例1.通分：
与 3
a-b
2a2b
ab2c
1.通分的关键是什么？
2.怎样找最简公分母？
1、各分母系数的最小公倍数。 2、各分母所含相同字母（或因式）的最高次幂。 3、各分母所含有其他的字母（或因式）。
= 4ab
12a2b
2a - b 4ab - 2b2 6a2 = 12a2b
12a2b 1.如何得到分母 12a2b？
2. 分母12a2b 又叫什么？
a+ b
2a -b
44 aabb
66aa 22
最简公分母：
12 a 2 b
1、各分母系数的最小公倍数。 2、各分母所含相同字母（或因式）的最高次幂。 3、各分母所含有其他的字母（或因式）。 4、所得的系数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）
通分：
(1)
3 与ab 2a2b ab2c
(2) 2x 与 3x x5 x5
2 a2b2 c
最最单
小
公
倍数
高次幂
独字母
最简公分母
（三）例题分析
例1.（课本P132）通分：
(1)
3 与ab 2a2b ab2c
(2) 2x 与 3x x5 x5
2 a2
注：最简公分母与公因式的区别？
（1）求分式
1 , 1 ,1 2x3y2z 4x2y3 6xy4
的最简公分母。
12
系数：各分母系数的最小公倍数。
x3 y4 z
因式：各分母所有因式的最高次幂。
三个分式的最简公分母为 12x3y4z。
1
6y2
2x3 y2z 12x3 y4z
1 3xyz
1
2x2 z
1（x 5（) x 5)
不同的因式
最简公分母
通分：
(1)2a32b与aab2cb
解：最简公分母是 2a2b2c
3 2a 2b
3• 2a 2b
bc •bc
3bc 2a 2b2c
ab ab 2 c
(a b) •2 ab2c • 2
a a
2a2 2ab 2a2b2c
例1.（课本P132）通分：
(2) 2x 与 3x x5 x5
解：最简公分母是 (x5)(x5)
2x 2x• (x 5) x 5 （ x 5) •(x 5)
2x2 10x x2 25
3x x5
（
3x x
• 5)
•
( (
x x
5) 5)
3x2 15x x2 25
方法归纳
通分要先确定分式的最简公分母。
1.怎样找公分母？
4 2 y , 3
x2 x x2 1
1.通分的定义
2.最简公分母的定义
3.找最简公分母的方法：
1.(多项式)因式分解； 2.各分母系数的最小公倍数。 3.各分母所含相同字母（或因式）的最高次幂。 4.各分母所含有其他的字母（或因式）。
§15.1.2分式的基本性质
3.分式的通分
做一做
1、约分：
2x3y (1) 4x 2y 2
x2 4 (3) x2 4x4
(2)
x2
xy x2
1.将下列分数通分：
(1) 2 、 4 35
(2) 5 、 7 68
2×5 10 =
3×5 15
5×4 20 =
6×4 24
4×3 12 =
5×3 15
21 y 42 x 3
2、试确定下列分式的最简公分母：
（分母中虽然有的因式是多项式，但仍然是积的形式。）
1
x
x(x y) y(x y)2
y (x y)(x y)
最简公分母是：xy(x-y)2(x+y)
3、求分式
1
1
4x 2x2 与 x 2 4
的最简公分母。
4x2x2 2x(2x) 若2分x母(x是多2)项式时，应先将
2.找最简公分母应从几方面考虑？
第一要看系数；第二要看字母
一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母。
(3) 1 与 x x2 4 42x
解：（3）最简公分母是 2(x2)(x2)
1
1•2
2
x24(x2)x (2)•22x28
x
x
x•(x2 )
x2 2x
42x 2 (x2 ) 2 (x2 )x (2 ) 2x2 8