下载文档原格式
15．1.2 分式的基本性质一、教学目标1．理解分式的基本性质．2．学习掌握分式的约分和通分．3．通过学习分式的基本性质，约分、通分法则，渗透类比的思想方法．二、教学重难点重点：正确理解分式的基本性质．难点：运用分式的基本性质、约分和通分法则，将分式进行变形．教学过程一、情境引入请同学们计算下列式子：(1)56×212； (2)45＋67. 提出问题：在运算中运用了什么方法？学生独立计算后回答：(1)在运算中，运用了“约分”的方法；(2)在异分母的分数加法运算中，运用了“通分”的方法．回顾：分数的约分和通分是根据分数的基本性质．你能说出分数的基本性质吗？尝试用字母表示分数的基本性质．一个分数的分子、分母乘(或除以)同一个不为0的数，分数的值不变．即a b ＝a ·c b ·c ＝a ÷c b ÷c(c≠0)，其中a ，b ，c 是数．【思考1】 类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？尝试用式子表示分式的基本性质．学生交流、讨论后形成共识．教师总结：分式的基本性质：分式的分子或分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质可以用式子表示为A B ＝A ·C B ·C ，A B ＝A ÷C B ÷C(C≠0)，其中A ，B ，C 是整式． 二、互动新授请同学们一起来完成下面的练习：【例2】 填空：(1)x 3xy ＝（ ）y ，3x 2＋3xy 6x 2＝x ＋y （ ）； (2)1ab ＝（ ）a 2b ，2a －b a 2＝（ ）a 2b(b≠0)． 【分析】 看分母如何变化，想分子如何变化．或看分子如何变化，想分母如何变化．【解】 (1)因为x 3xy的分母xy 除以x 才能化为y ，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需除以x ，即x 3xy ＝x 3÷x xy ÷x ＝x 2y .同样地，因为3x 2＋3xy 6x 2的分子3x 2＋3xy 除以3x 才能化为x ＋y ，所以分母也需除以3x ，即3x 2＋3xy 6x 2＝（3x 2＋3xy ）÷（3x ）6x 2÷（3x ）＝x ＋y 2x. 所以，括号中应分别填x 2和2x.(2)因为1ab的分母ab 乘a 才能化为a 2b ，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需乘a ，即1ab ＝1·a ab ·a ＝a a 2b. 同样地，因为2a －b a 2的分母a 2乘b 才能化为a 2b ，所子分子也需乘b ，即2a －b a 2＝（2a －b ）·b a 2·b ＝2ab －b 2a 2b. 所以，括号中应分别填a 和2ab －b 2.【思考2】 联想分数的约分，由例2你能想出如何对分式进行约分吗？教师归纳：与分数的约分类似，在例2(1)中，我们利用分式的基本性质，约去3x 2＋3xy 6x 2的分子和分母的公因式3x ，不改变分式的值，把3x 2＋3xy 6x 2化为x ＋y 2x.像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．经过约分后的分式x ＋y 2x，其分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式．同样地，x 3xy 被约分成x 2y ，x 2y也是最简分式． 分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或者整式．【例3】 约分：(1)－25a 2bc 315ab 2c ； (2)x 2－9x 2＋6x ＋9； (3)6x 2－12xy ＋6y 23x －3y. 【分析】 为约分，要先找出分子和分母的公因式．如果分子或分母是多项式，要先分解因式，才容易找出公因式．学生练习后，教师给出答案：【解】 (1)－25a 2bc 315ab 2c ＝－5abc ·5ac 25abc ·3b ＝－5ac 23b ；(2)x 2－9x 2＋6x ＋9＝（x ＋3）（x －3）（x ＋3）2＝x －3x ＋3； (3)6x 2－12xy ＋6y 23x －3y ＝6（x －y ）23（x －y ）＝2(x －y)． 【思考3】 联想分数的通分，由例2你能想出如何对分式进行通分吗？教师归纳：与分数的通分类似，例2(2)中，我们利用分式的基本性质，将分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把1ab 和2a －b a 2化成分母相同的分式．像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．【例4】 通分：(1)32a 2b 与a －b ab 2c ； (2)2x x －5与3x x ＋5. 【分析】 为通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母．如，2a 2b 的因式有2，a 2，b ；ab 2c 的因式有a ，b 2，c.两式中所有因式的最高次幂的积是2a 2b 2c.学生练习后，教师给出答案：【解】 (1)最简公分母是2a 2b 2c.32a 2b ＝3·bc 2a 2b ·bc ＝3bc 2a 2b 2c ，a －b ab 2c ＝（a －b ）·2a ab 2c ·2a ＝2a 2－2ab 2a 2b 2c. (2)最简公分母是(x －5)(x ＋5)．2x x －5＝2x （x ＋5）（x －5）（x ＋5）＝2x 2＋10x x 2－25，3x x ＋5＝3x （x －5）（x ＋5）（x －5）＝3x 2－15x x 2－25. 三、课堂小结四、板书设计五、教学反思本节课教学中，教师采用类比分数的基本性质，分数的约分和通分来进行教学．引导学生用类比的方法学习分式的约分与通分，分析分式约分与通分的关键步骤，让学生在学习中自己发现新旧知识的联系与发展，从而在类比、概括中主动获取新知识．在应用分式的基本性质时，教师要说明：分子与分母都要变形，而且都要乘(或除以)同一个不等于0的整式，避免出现只乘分子或只乘分母的错误，也要避免只乘分子和分母中部分项的错误，另外还要避免出现所乘(或除以)的整式不是同一个整式的错误；约分时要彻底，即约分要约到分子和分母不再含有公因式为止．教师在例题讲解中引导学生归纳确定最简公分母的方法，及时小结分式约分与通分的主要步骤，使学生理清思路，熟练掌握分式约分与通分的法则．导学方案一、学法点津学生通过类比分数的基本性质、分数的约分和通分来理解和掌握分式的基本性质、分式的约分和通分，用自己已有的认知结构去同化新知识，培养自己观察、分析、归纳的思维能力．二、学点归纳总结（一）知识要点总结1．分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．2．约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．3．通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．（二）规律方法总结1．在应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”这个关键字的含义，以避免出现只是分子或者分母其中一项去乘(或除以)一个整式的错误．2．分式约分时，当分式的分子与分母都是单项式或几个整式乘积的形式时，可以直接进行约分，先约去分子、分母的系数的最大公约数，然后约去分子、分母中相同因式的最低次幂．另外，当分式的分子与分母是多项式时，应将分子、分母分解因式，然后再约分．3．分式通分时应注意：(1)分母需要乘以“什么”，同时分子也必须乘以“什么”；(2)必须保证公分母是最简的， 不然会使运算变得繁琐．4．确定最简公分母的方法：(1)取各分母系数的最小公倍数；(2)凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式；(3)同底数幂取次数最高的，这样得到的积就是最简公分母．简单归纳为三句话：系数的最小公倍数；所有的因式；指数取最大的．课时作业设计一、选择题1．如果把分式x 2x ＋y中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值( )． A ．扩大3倍 B ．不变C ．缩小3倍D ．扩大9倍2．下列变形中错误的是( )．A.a 3ab ＝a 2bB.a 2x bx ＝a 2bC.1x －3＝x ＋3x 2－9(x≠－3)D.y ＋1x ＋2＝3y ＋13x ＋6 二、填空题3．分式a a 2－4a ＋4，b 4a 2－8a ＋4，c 3a －6的最简公分母是________． 4．要使x ＋52x ＋1＝（x ＋5）（3m ＋2）（2x ＋1）（7－2m ）成立，则m ＝________． 三、解答题5．约分：(1)10a 3bc －5a 2b 3c 2； (2)x 2－3x x 4－6x 3＋9x 2. 6．通分：(1)－52a ，29a 2b 3，－7c 12a 4b 2； (2)1x ＋2，4x x 2－4.【参考答案】1.A2.D3.12(a －1)2(a －2)24.15.(1)－2a b 2c (2)1x 2－3x6．解：(1)－52a ＝－90a 3b 336a 4b 3，29a 2b 3＝8a 236a 4b 3，－7c 12a 4b 2＝－21bc 36a 4b 3；(2)1x ＋2＝x －2（x ＋2）（x －2），4x x 2－4＝4x （x ＋2）（x －2），22－x ＝－2（x ＋2）（x ＋2）（x －2）.。
15.1.2 分式的基本性质（1） 教学设计教学目标：1.理解并掌握分式的基本性质及分式约分的概念2.会用分式的基本性质将分式进行变形，会进行分式的约分 教学重点：理解并掌握分式的基本性质及分式约分的概念教学难点：会用分式的基本性质将分式进行变形，会进行分式的约分 一、新知探究1问题1 48与12是否相等，依据是什么？相等 理由：分数的分子与分母同时乘 (或除以) 一个不等于零的数，分数的值不变. 问题2：(1) 一列匀速行驶的火车，如果 t (h) 行驶了 s (km)，那么火车的速度是多少? s t(2) 如果 2t (h)行驶了 2s (km)，那么火车的速度是多少?2s 2t (3) 如果 3t (h)行驶了 3s (km)，那么火车的速度是多少?3s 3t (4) 如果 nt (h)(n ≠0)行驶了ns km ，那么火车的速度是多少? nsnt 思考：上述结果有什么发现？ st=2s st =3s 3t=nsnt 想一想：类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？ 二、新知讲解1分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于 0 的整式，分式的值不变. 上述性质可以用等式表示为：其中 A ，B ，C 是整式（单项式或多项式） 三、例题讲解1例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？解：∵m ≠0 ∴a b =b ∙m 2a ∙m =bm解：∵n ≠0 ∴an bn =a ÷nb ÷n =a )0(22)1(≠=m ambma b ba bn an =)2(例2 填空：练习1：判断下列变形是否正确？如果正确，说出是如何变形的？如果不正确，说明理由.22)1(++=x y x y()b abcac =4练习2、下列等式的右边是怎样从左边得到的？2223321ca ab ac b 2=）（)0(≠a)1(32)164)2(-=-a aa b ab （ab a a ab a a )1()1)1)1)3(+=-+-（（（练习3 填空()()(1)0m mkk n=≠()()01053)2(≠=a axyxy a ()bbmam 362)3(2=()ba abb a 2)4(=+()()01)5(≠++=-n m nm nm()y x xy xy x -=-3426)6(2 练习4 不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“-”号练习5 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数分子分母都分子分母都分子分母都 xxxxx√×a ÷2b ÷(a －1) nk6a 2 am a 2+abm 2-n 2 2y a b −a b a b −a b −abx 22xa2ab －b 204.03.05.001.0)1(+-x x b a aa +-32232)2(xx 221)3(=()222ba b a =()mcnkm n =5()116+=+ax axx x解：原式=(0.01x−0.5)×100(0.3x+0.04)×100四、新知探究2想一想：分数约分关键的是什么？约去分子分母的最大公约数.想一想：类比分数的约分，观察下列等式的变形，你能想出如何对分式进行约分吗？约去分子分母的公因式.注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.五、新知讲解21、根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.2、最简分式：分子与分母没有公因式的式子六、例题讲解2例2 约分：(1)−25a2b 315ab2解：原式练习1 下列分式是最简分式的个数为( B ).A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个练习2. 约分：（1）=x−5030x+4解：原式=(2a−32b)×6(23a+b)×6=12a−9b4a+6b232436＝七、课堂总结 1.分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不等于 0 的整式的整式，分式的值不变. 2.分式的符号法则：3、分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分 4.数学思想：类比思想 八、作业布置 详见《精准作业》九、板书设计1.分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不等于 0 的整式的整式，分式的值不变. 2.分式的符号法则：3.分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分15.1.2分式的基本性质（1）。
