数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十九章

习 题 二十、二十二1．计算下列第一型曲线积分．(1) ，其中L 是的上半圆周． ()x y ds L +∫x y R 22+=2 (2) x y d L 22+∫s 2，其中L 是的右半圆周． x y R 22+= (3) e d x y L 22+∫s 2，其中L 是圆，直线x y a 22+=y x =以及x 轴在第一象限中所围成图形的边界． (4) xyds L ∫，其中L 是由所构成的矩形回路．x y x y ====004，，，2(5) ，其中： xds L∫ (a) L 是上从原点O 到点y x =2(,)00B (,)11间的一段弧．(b) L 是折线OAB 组成，A 的坐标为(,，B 的坐标为．)10(,)11(6)，其中∫L ds y 2L 为曲线)cos 1()sin (t a y t t a x −=−=，,其中,0>a π20≤≤t .(7) ，其中L 是螺旋线弧段(x y z d L 222++∫)s cos sin ，，x a t y a t z bt ===）（π20,0≤≤>t a ．(8) ,其中∫L yzds x 2L 为折线,这里依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)ABCD D C B A ,,,2．计算下列第二型曲线积分．(1),其中∫−L ds y x )(22L 为在抛物线上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧.2x y =(2) ，其中L 为xdy ydx L −∫① 沿直线从点(,到点(,；)00)12② 沿抛物线x y =24从点到点； (,)00(,)12③ 沿折线从点(,经点(,到点(,．)00)02)12(3) xydx L ∫，其中L 是由所构成的沿逆时针方向的矩形回路．x y x y ====004，，，2(4) x dy y dxx y L 225353−+∫，其中L 是沿星形线在第一象限中从点(,x R t y R t ==cos sin 33，)R 0到(,)0R 的弧段（R >0）．(5) ，其中L 是从点到xdx ydy zdz L ++∫A (,,)111B (,,)234的直线段． (6) ,其中L 为曲线∫−+Lydz zdy dx x 2θθκθsin cos ,a z a y x ===，上对应θ从0到π的一段弧.3．设质点受力F 作用，力的方向指向原点，大小等于质点到原点的距离．(1) 计算当质点沿椭圆在第一象限中的弧段从(,到(,时，F 所作的功；x a t y b t ==cos sin ，)a 0)0b (2) 计算当质点沿椭圆逆时针方向运动一圈时，力F 所作的功．4．利用格林公式计算下列积分．(1) ()()x y dx x y dy L +++∫222，L 是沿逆时针方向，以为顶点的三角形． A B C (,)(,)(,)113125，， (2)()()x y dx x y dy L ++−∫，L 是方程x y +=1所围成的顺时针方向的闭路．(3) []e ydx y y x L (cos (sin )1−−−∫dy x ，L 是沿y =sin 上从点(,)π0到点的一段弧．(,)00(4) dy ye x x dx e y x xy x y x x x L )2sin ()sin 2cos (222−+−+∫,其中L 为正向星形线)0(323232>=+a a yx . (5) dy y x x y dx x y xy x L )3sin 21()cos 2(223+−+−∫,其中L 为在抛物线上由点(0,0)到22y x π=)1,2(π的一段弧. (6) ,其中dy y x dx y x L ∫+−−)sin ()(22L 为在圆周22x x y −=上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧.5．验证下列曲线积分与路径无关，并求它们的值．(1) ，L 是从点经圆周上半部到点的弧段．()()12222++−∫xe dx x e y dy y y L O (,)00+−2)2(x 42=y A (,)40 (2)，L 是从点到点的任意弧段． e ydx ydy x L (cos sin )−∫(,)00(,)a b (3) ydx xdy x −∫22112(,)(,)沿右半平面的任意路线．(4) ，L 是从点经抛物线到点的弧段．()(x y xdx ydy L22++∫)(,)00y x =2(,)11 (5) ∫++L y x xcdxydy 322)(，L 是从点到点的不经过原点的弧段．(,)11(,)22 6．求椭圆所围图形的面积．x a t y b t ==cos sin ， 7．求下列微分方程的通解．(1) ．()()x xy y dx x xy y dy 222222+−+−−=0 (2) [][]e e x y y dx e e x y dy x y x y ()()−+++−+=1100=．(3) ．()()x xy dx x y y dy 43224465++− 8．下列各式是否为某函数的全微分，若是，求出原函数．(1) ; (2)x dx y dy 22+xdx ydy x y ++22. 9．求下列第一型曲面积分．(1)，其中S 是球面:． zds S ∫∫x y z R 222++=2 (2)(243x y z d S ++∫∫)s ，其中S 是平面x y z 2341++=在第一卦限的部分． (3) ，其中S 是锥面(xy z d S 222++∫∫)s z x y =+22）介于之间的部分．z z ==01、 (4) ，其中S 是由曲面和平面所围立体的表面．∫∫+Sds y x )(22x y z 2220+−=z h h =>（0(5) ，其中S 是锥面(xy yz zx dsS ++∫∫)z x y =+22x 被柱面所截得的部分．x y a 222+=(6) ∫∫SxyzdS ,其中S 是由平面0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的四面体的整个边界曲面.(7) ,其中S 为锥面∫∫++S ds zx yz xy )(z x y =+22x ）0被柱面所截得的有限限部分.x y a 222+= 10．计算下列第二型曲面积分．(1) ， 其中S 是三个坐标平面与平面所围成的正方体的表面的外侧．()()()x yz dydz y zx dzdx z xy dxdy S222−+−+−∫∫x a y a z a a ===>，，（0(2) ，其中S 是由平面 xydydz yzdzdx xzdxdy S++∫∫x y z ===00，，与平面x y z ++=1所围成的四面体表面的外侧．(3)，其中S 是上半球面yzdzdx S ∫∫z a x y =−−222的下侧． (4) e x y dxdy z S 22+∫∫，其中S 是锥面z x y =+22与平面所围成立体边界曲面的外侧．z z ==12， 11．利用奥－高公式计算下列第二型曲面积分． (1) x dydz y dzdx z dxdy S333++∫∫，其中S 是球面：的外侧．x y z a a 22220++=>（） (2) xdydz y dzdx z dxdy S 222++∫∫，其中S 是锥面与平面所围成的立体表面的外侧．x y z 22+=2)z h =(h >0 (3) ()()x y dxdy x y z dydz S−+−∫∫，其中S 为柱面及平面所围立体的表面外侧．x y 221+=z z ==0，1(4) ，其中S 为三个坐标平()()()x y z dxdy y z z dzdx S+++++−∫∫23212面与平面x y z ++=1所围成的四面体的外侧．（5）∫∫++S yzdxdy dzdx yxzdydz 24，其中为平面S 0,0,0===z y x ，所围成的立方体的表面外侧.1,1,1===z y x 12．利用斯托克斯公式计算下列第二型曲线积分． (1) x y dx dy dz L 23++∫，其中L 为坐标平面上圆周，并取逆时针方向． Oxy x y a 22+=2 (2) ()()()y z dx x z dy x y d L 222222+++++∫z ，其中L 是x y z ++=1与三个坐标平面的交线． (3) x yzdx x y dy x y d L 2221+++++∫()(z )，其中L 为曲面与曲面的交线，且从面对z 轴正向看去取顺时针方向．x y z 2225++=z x y =++221 13．验证下列的空间曲线积分与路径无关，并求它们的值．(1) ． 22000xe dx z x e dy y zdz y y x y z −−+−−∫(cos )sin (,,)(,,) (2) ． xdx y dy z dz +−∫23111234(,,,)(,,) 14．求下列各式的原函数．(1) yzdx xzdy xydz ++．(2) ． ()()(x yz dx y xz dy z xy dz 222222−+−+−)15.计算,其中为圆周 ∫L ds x 2S ⎩⎨⎧=++>=++.0),0(2222z y x a a z y x 16. 若dy cx Y dy ax X +=+=,，且L 为包围坐标原点的简单的封闭曲线，计算∫+−=L YX YdX XdY I 2221π. 17.证明:若L 为封闭的曲线且l 为任意的方向,有∫=Lds l 0),cos(. 18．若半径为的球面上每点的密度等于该点到球的某一直径上距离的平方，求球面的质量．a 19．为了使线积分()F x y ydx xdy L (,)+∫与积分路径无关，可微函数F x y (,)应满足怎样的条件？20．设磁场强度为E x y z (,,)，求从球内出发通过上半球面的磁通量．x y z a z 22220++=≥，。

【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】单元测试卷一、选择题1．矩形具有而菱形不具有的性质是( ) A ．两组对边分别平行 B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．两组对角分别相等2．如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB ，CD 于E ，F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的( ) A.15 B.14 C.13 D.310第2题图 第3题图3．如图，在菱形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，若∠BAC ＝50°，则∠ABC 等于( ) A ．40° B ．50° C ．80° D ．100°4．正方形ABCD 的面积为36，则对角线AC 的长为( )A ．6B ．6 2C ．9D ．9 2 5．下列命题中，真命题是( ) A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．对角线互相平分的四边形是平行四边形D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形6．四边形ABCD 的对角线AC ＝BD ，AC ⊥BD ，分别过A ，B ，C ，D 作对角线的平行线，所成的四边形EFMN 是( ) A ．正方形 B ．菱形C ．矩形D ．任意四边形7．如图，菱形ABCD 中，∠A ＝60°，周长是16，则菱形的面积是( ) A ．16 B ．16 2 C ．16 3 D ．8 3第7题图 第9题图 第10题图8．在▱ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，当▱ABCD 的面积最大时，下列结论正确的有( ) ①AC ＝5；②∠A ＋∠C ＝180°；③AC ⊥BD ；④AC ＝BD . A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④ D ．①③④9．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC ，若AC ＝4，则四边形CODE 的周长为( )A．4 B．6 C．8 D．1010．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥AB.下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题11．顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是________．12．如图，延长正方形ABCD的边BC至E，使CE＝AC，则∠AFC＝________．第12题图第14题图13．已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件____________使其成为一个菱形(只添加一个即可)．14．如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为________度时，两条对角线长度相等．15．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为____________．第15题图第16题图16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD，CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝________时，平行四边形CDEB为菱形．17．如图，已知双曲线y＝kx(x＞0)经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为6，则k＝________．第17题图第18题图18．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F.若AB＝6，BC＝10，则FD的长为________．三、解答题19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN，求证：四边形ABCD是菱形．20.如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．(1)用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F(保留作图痕迹，不写作法和证明)；(2)连接BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．21．如图，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，连接CE，CF.(1)求证：△ABF≌△CBE；(2)判断△CEF的形状，并说明理由．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.(1)求证：四边形ADCE为矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．23．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点E为BC的中点，AE⊥BC，AF⊥CD于点F，CG∥AE，CG交AF于点H，交AD于点G.(1)求菱形ABCD的面积；(2)求∠CHA的度数．24．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.(提示：在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半)(1)试判断线段BD与CD的大小关系；(2)如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论；(3)若△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°时，判断四边形AFBD的形状，并说明理由.参考答案一、选择题1．B 2.B 3.C 4.B 5.C 6.A 7.D 8.B 9.C10．D 解析：∵DE ∥CA ，DF ∥AB ，∴四边形AEDF 是平行四边形，故①正确；若∠BAC ＝90°，则平行四边形AEDF 为矩形，故②正确；若AD 平分∠BAC ，∴∠EAD ＝∠F AD .∵DE ∥CA ，∴∠EDA ＝∠F AD ，∴∠EAD ＝∠EDA ，∴AE ＝DE ，∴平行四边形AEDF 为菱形，故③正确；若AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 平分∠BAC ，同理可得平行四边形AEDF 为菱形，故④正确，则其中正确的个数有4个．故选D. 二、填空题11．菱形 12.112.5° 13.AC ⊥BD (答案不唯一) 14．90 15.(2＋2，2) 16.7517．6 解析：设F ⎝⎛⎭⎫a ，k a ，则B ⎝⎛⎭⎫a ，2ka ，因为S 矩形ABCO ＝S △OCE ＋S △AOF ＋S 四边形OEBF ， 所以12k ＋12k ＋6＝a ·2ka，解得k ＝6.18.256 解析：连接EF ，∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE . ∵△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ， ∴AE ＝EG ，BG ＝AB ＝6，∴ED ＝EG . ∵在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，∴∠EGF ＝90°.在Rt △EDF 和Rt △EGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧ED ＝EG ，EF ＝EF ，∴Rt △EDF ≌Rt △EGF (HL)，∴DF ＝FG .设DF ＝x ，则BF ＝BG ＋GF ＝6＋x ，CF ＝CD －DF＝6－x .在Rt △BCF 中，BC 2＋CF 2＝BF 2，即102＋(6－x )2＝(6＋x )2，解得x ＝256.即DF ＝256.三、解答题19．证明：∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＋∠B ＝180°.∵∠BAD ＝∠BCD ，∴∠B ＋∠BCD ＝180°，∴AB ∥CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴∠B ＝∠D .∵AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，∴∠AMB ＝∠AND ＝90°. 在△ABM 与△ADN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AMB ＝∠AND ，∠B ＝∠D ，AM ＝AN ，∴△ABM ≌△ADN ，∴AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形． 20．解：(1)如图所示，EF 为所求直线． (2)四边形BEDF 为菱形．理由如下：∵EF 垂直平分BD ，∴BF ＝DF ，BE ＝DE ，∠DEF ＝∠BEF .∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ，∴∠DEF ＝∠BFE ，∴∠BEF ＝∠BFE ，∴BE ＝BF . ∵BF ＝DF ，∴BE ＝ED ＝DF ＝BF ，∴四边形BEDF 为菱形．21.(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝CB ，∠ABC ＝90°. ∵△EBF 是等腰直角三角形，其中∠EBF ＝90°，∴BE ＝BF ，∠EBC ＋∠FBC ＝90°. 又∵∠ABF ＋∠FBC ＝90°，∴∠ABF ＝∠CBE . 在△ABF 和△CBE 中，有⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABF ＝∠CBE ，BF ＝BE ，∴△ABF ≌△CBE (SAS)．(2)解：△CEF 是直角三角形．理由如下：∵△EBF 是等腰直角三角形，∴∠BFE ＝∠FEB ＝45°，∴∠AFB ＝180°－∠BFE ＝135°. 又∵△ABF ≌△CBE ，∴∠CEB ＝∠AFB ＝135°，∴∠CEF ＝∠CEB －∠FEB ＝135°－45°＝90°，∴△CEF 是直角三角形．22．(1)证明：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝∠DAC .∵AE 平分∠CAM ，∴∠CAE ＝∠EAM ，∴∠DAE ＝∠DAC ＋∠CAE ＝12(∠BAC ＋∠CAM )＝90°.∵AD ⊥BC ，CE ⊥AN ，∴∠ADC ＝∠CEA ＝90°，∴四边形ADCE 为矩形． (2)解：当△ABC 满足∠BAC ＝90°时，四边形ADCE 为正方形．证明如下 ∵∠BAC ＝90°，∴∠DAC ＝∠DCA ＝45°，∴AD ＝CD . 又∵四边形ADCE 为矩形，∴四边形ADCE 为正方形． 23．解：(1)连接AC ，BD ，并且AC 和BD 相交于点O .∵AE ⊥BC 且E 为BC 的中点，∴AC ＝AB .∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ＝BC ＝AD ＝DC ，AC ⊥BD ∴△ABC 和△ADC 都是正三角形，∴AB ＝AC ＝4. ∴AO ＝12AC ＝2，∴BO ＝AB 2－AO 2＝23，∴BD ＝43，∴菱形ABCD 的面积是12AC ·BD ＝8 3.(2)∵△ADC 是正三角形，AF ⊥CD ，∴∠DAF ＝30°.∵CG ∥AE ，BC ∥AD ，AE ⊥BC ， ∴四边形AECG 为矩形，∴∠AGH ＝90°，∴∠AHC ＝∠DAF ＋∠AGH ＝120°.24．解：(1)BD ＝CD .∵AF ∥BC ，∴∠F AE ＝∠CDE .∵点E 是AD 的中点，∴AE ＝DE . 在△AEF 和△DEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠F AE ＝∠CDE ，AE ＝DE ，∠AEF ＝∠CED ，∴△AEF ≌△DEC (ASA)，∴AF ＝CD .∵AF ＝BD ，∴BD ＝CD .(2)四边形AFBD是矩形．证明如下：∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形AFBD是矩形．(3)四边形AFBD为菱形，理由如下：∵∠BAC＝90°，BD＝CD，∴BD＝AD.同(2)可得四边形AFBD是平行四边形，∴四边形AFBD是菱形．中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

第十九章 含参量积分一、证明题1.证明下列各题:(1) ()⎰∞++-122222dx y x x y 在R 上一致收敛;(2)⎰+∞-1y x dy e 2在[a,b]上一致收敛; (3) ⎰+∞-0xy dy xe .(ⅰ)在[a,b](a>0)上一致收敛;(ⅱ)在[0,b]上不一致收敛;(4) ()⎰10dy xy ln 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡b ,b 1(b>1)上一致收敛; (5) ⎰10dy dx 在[]b ,∞-(b>1)上一致收敛. 2.设f 为[][]+∞⨯,c b ,a 上连续非负函数.I(x)=()⎰+∞c dy y ,x f 在[a,b]上连续,证明I(x)在[a,b]上一致收敛.3.证明:若f 为[][]+∞⨯,c b ,a 上连续函数,含参量非正常积分 I(x)=()⎰+∞c dy y ,x f 在[a,b]上收敛,在x=b 时发散,则I(x)在[)b ,a 上不一致收敛.4.设f 为[)[)+∞⨯+∞,b ,a 上非负连续函数,I(x)=()⎰+∞b dy y ,x f 和 J(y)=()⎰+∞a dx y ,x f 分别为[)+∞,a 和[)+∞,b 上连续函数,证明:若()⎰⎰+∞+∞ab dy y ,x f dx 与()⎰⎰+∞+∞b a dx y ,x f dy 中有一个存在,则 ()⎰⎰+∞+∞a b dy y ,x f dx =()⎰⎰+∞+∞b a dx y ,x f dy 5.设f(x,y)=()y x 11q p 1p e y x +--+-,证明()⎰⎰+∞+∞00,dy y x f dx =()⎰⎰+∞+∞00dx y ,x f dy . 二、计算题1.求下列极限: (1)⎰-→αα+11220dx x lim ; (2)⎰α→α2020xdx cos x lim . 2.设F(x)=⎰-22x x xy dy e ,计算()x F '. 3.应用对参量的微分法,计算:(1)()⎰+202222cos sin ln πdx x b x a . ()0b a 22≠+; (2) ()⎰+-xdx a x a 02cos 21ln .4.设f 为可微函数,试求下列函数F 的二阶导数. (1) F(x)=()()⎰+π0dy y f y x ; (2) F(x)=()⎰-b ady y x y f , ()b a <. 5.从等式⎰-b a xy dy e =xe e bx ax ---出发,计算积分⎰+∞0 dx x e e bx ax ---(b>a>0) 6.计算下列积分(其中0>α,0>β): (1) ⎰∞+---02dx xe e x x a βα; (2) ⎰∞+---0sin 22xdx x e e xx βα. 7.计算下列Γ函数的值:⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ25,⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γ25,⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γn 21,⎪⎭⎫ ⎝⎛-Γn 21 8.运用欧拉积分计算下列积分(其中n 为自然数): (1)⎰-102dx x x ; (2)⎰+∞-022dx e x x n ; (3) ⎰2046cos sin πxdx ; (4) ⎰22sin πxdx x ;(5) ⎰π+21n 2xdx sin9.回答下列问题:(1) 对极限⎰+∞-→+0xy 0x dy xye 2lim 2能否施行极限与积分运算顺序的交换来求解? (2) 对()⎰⎰+∞--100dx xy 32exy 2y 2dy 能否运和积分顺序交换来求解? (3) 对F(x)=⎰+∞-0y x 3dy e x 2能否运用积分与求导运算顺序交换来求解? 10.利用余元公式计算下列积分: (1) ()⎰∞++024dx x 1x ; (2) ⎰-10n n x 1dx(n 为自然数)11.应用积分号下微分法或积分号下积分法,计算下列定积分:(1) ()⎰π0dx tgxatgx arctg ,()1<α; (2) ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10a b dx x ln x x x 1ln sin ,()0a b >>; (3) ⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛10a b dx x ln x x x 1ln cos ,()0a b >>三、考研复习题1.设f: R R 3→是连续可微函数,证明函数H(x)=()⎰⎰3322b a b a dy z ,y ,x f dz 是可微函数,且()x H '=()⎰⎰∂∂3322b a b a dy x z ,y ,x f dz 2.设F(x,y)=()()⎰-xy y xdz z f yz x ,其中f 为可微函数,求()y ,x F xy. 3.设f 为可微函数,求下列函数F 的导数:(1) F(t)=()⎰⎰⎰≤++++2222t z y x 222dxdydz z y x f ;(2) F(t)=()⎰⎰⎰vdxdydz xyz f ,其中 v=(){x 0z ,y ,x ≤,}t z ,y ≤. 4.应用积分 ⎰+∞-02dt e at =a 2π(a>0),证明: (1) ⎰+∞-0at 2dt e t 2=32a 4π; (2) ⎰+∞-0at n 2dt e t 2=()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+π-21n 1n a 2!!1n 2.5.应用积分 ⎰+∞+022a x dx =a 2π,求()⎰∞+++01n 22a x dx .6.求函数F(y)=()[]⎰∞+-021sin dx x x y 的不连续点,并作出函数F(y)的图象.7.设f 是[)[)+∞⨯+∞,0,0上的连续函数,证明: 若()⎰+∞0,dy y x f 在0≥x 上一致收敛于F(x),且()y ,x f lim x +∞→=()y ϕ对任何y [][]+∞⊂∈,0,b a 一致地成立,则 ()x F lim x +∞→=()⎰+∞ϕ0dy y 8.证明: (1) ⎰-101ln dx x x =62π-; (2) ()⎰-udt t t 01ln =∑∞=-1n 22n u ,()1u 0≤≤。

一、含参量反常积分二、含参量反常积分三、含参量反常积分的性质*点击以上标题可直接前往对应内容含参量反常积分一致收敛性(,)f x y [,)R I c =⨯+∞设函数定义在无界区域上,其中I 是任意区间. ()(,)d (1)cx f x y y Φ+∞=⎰都收敛，称(1)为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分,或称含参量反常积分.后退前进目录退出,x I ∀∈反常积分若()x I Φ是区间上的函数.则定义1若含参量反常积分(1)与函数Φ(x )对0,ε∀>,N c ∃>M N >,x I ∈使得当时, 对一切都有(,)d (),Mcf x y y x εΦ-<⎰即(,)d ,Mf x y y ε+∞<⎰或简单地说含参量积分(1)在I 上一致收敛.则称含参量反常积分(1)在I 上一致收敛于(),x Φ()(,)d cx f x y y Φ+∞=⎰注1由定义, 在I 上一致收敛于充要条件是{}()sup(,)d 0().Ax JA f x y y A η+∞∈=→→+∞⎰的充要条件是000,,,M c A M x J ε'∃>∀>∃>∈及00(,)d .A f x y y ε+∞'≥⎰()(,)d cx f x y y Φ+∞=⎰注2由定义, 在I 上不一致收敛使得例1讨论含参量反常积分ed ,(0,)xyx y x +∞-∈+∞⎰的一致收敛性.解若0,,x u xy 令>=则e d e d e ,xy u xA AxAx y u +∞+∞---==⎰⎰于是(){}0()suped 1,xyAx A x y η+∞-∈+∞==⎰，因此, 含参量积分在(0,)+∞上非一致收敛.{}[,)()suped xyAx A x yδη+∞-∈+∞=⎰因此, 该含参量积分在[,)δ+∞上一致收敛.而对于任何正数, 有δe0(),AA δ-=→→+∞定理19.7（一致收敛的柯西准则）含参量反常积分一致收敛性的判别含参量反常积分(1)在[,]a b 上一致收敛的充要[,],x a b ∈对一切的都有21(,)d .(3)A A f x y y ε<⎰条件是:0,,N c ε∀>∃>12,A A N >使得当时,定理19.8+()=sup (,)d Ax IF A f x y y其中∞∈⎰充要条件是含参量反常积分在I 上一致收敛的(,)d cf x y y +∞⎰→∞lim ()=0,A F A证作变量代换,u xy =得sin sin d d , (5)A Ax xy uy u y u +∞+∞=⎰⎰0,A >其中0sin d uu u+∞⎰由于收敛, ,εA M '>总存在某一实数M , 当时就有sin d .A uu uε+∞'<⎰但在内[,)(0),δδ上一致收敛其中+∞>在+∞(0,)不一致收敛.例2证明含参量反常积分0sin d (4)xyy y+∞⎰故对任给的正数,MA M A δδ则当时,>>0,x δ对∀≥>取由(5) 式sin d ,A xyy yε+∞'<⎰所以(4)在0x δ≥>上一致收敛.又因为+0)sin sin lim d d A A u uu u u u+∞+∞→=⎰⎰++(0,+)(0,+)sin sin ()=sup d =sup d A Axx x xy uF A y uy u ∞∞∈∞∈∞⎰⎰+∞≥⎰0sin d =.2u u u π(在本节例6 中证明.)所以根据定理19.8，(4)在(0,)+∞上不一致收敛.若对任意[,],a b I ∈含参量积分(1) 在[a, b ]上一致收敛,则称(1)在I 上内闭一致收敛.所以，积分4在(0,+)∞上内闭一致收敛.定理19.9111(,)d ()(7)n nA n A n n f x y y u x +∞∞===∑∑⎰函数项级数+∞1{}(n A A 其中=对任一趋于的递增数列),c 在I 上一致收敛, 其中1()(,)d .n n A n A u x f x y y +=⎰收敛之间的联系有下述定理.关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致含参量反常积分(1)在I 上一致收敛的充要条件是:0,ε∀>,M c ∃>上一致收敛, 故由(1)在I 又由(),n A n →+∞→∞所以对正数M , 存在正整数N ,m n N >>.m n A A M >>只要当时, 就有由(8)对一切,x I ∈就有11()()(,)d (,)d m n m nA A n m A A u x u x f x y y f x y y++++=++⎰⎰ 1(,)d .m nA A f x y y ε+=<⎰这就证明了级数(7)在I 上一致收敛.证必要性A A M '''>>时，,x J ∈使得当对一切总有(,)d .(8)A A f x y y ε'''<⎰0(,)d .A A f x y y ε''''≥⎰1211max{1,},M c A A M 则存在=>>1,x I 及∈现取使得2110(,)d .A A f x y y ε≥⎰一般地, 取-=≥2(1)max{,}(2),n n M n A n 则有221,n n n n A A M x I 及->>∈使得2210(,)d .(9)n n A n A f x y y ε-≥⎰*充分性00,ε∃>,M c ∀>A A M x I 和，''''∃>>∈对使得用反证法. 假若(1)在I 上不一致收敛,则{}n A lim n n A →∞=由上述所得到的数列是递增数列, 且+∞∞===∑∑⎰111()(,)d .n nA n A n n u x f x y y 0,ε,n N >由(9)式知存在正数对任何正整数N , 只要就有某个0,x I ∈使得+=≥⎰21220()(,)d .n nA n n n A u x f x y y ε这与级数(7)在I 上一致收敛的假设矛盾.现在考察级数.+∞反常积分在I 上一致收敛.故含参量注由定理19.9, 含参量反常积分可看作连续型的函函数项级数.魏尔斯特拉斯M 判别法设有函数g (y ), 使得(,)(),(,)[c,).f x y g y x y I ≤∈⨯+∞若()d (,)d ccg y y f x y y I 收敛,则在+∞+∞⎰⎰上一致收敛.()d c g y y 收敛,+∞⎰12,,,N c A A N ∃>∀>证由于21()d .A A g y y ε<⎰因此12,[,],A A N x c d 及∀>∈2211(,)d ()d .A A A A f x y x g y y ε≤<⎰⎰从而(,)d c f x y y I 在+∞⎰上一致收敛.狄利克雷判别法设(i) 对一切实数,N c >含参量正常积分(,)d N cf x y y ⎰对参量x 在I 上一致有界, ,N c >,x I ∈及一切都有(,)d ;N cf x y y M ≤⎰,x I ∈(,)g x y (ii)对每一个函数关于y 单调且当则含参量反常积分(,)(,)d cf x yg x y y+∞⎰在I 上一致收敛.时, 对参量x , (,)g x y 一致收敛于0,y →+∞即存在正数M , 对一切阿贝尔判别法设(i)(,)d cf x y y I 在上一致收敛；+∞⎰,x I ∈(,)g x y (ii) 对每一个函数为y 的单调函数, 且(,)g x y I 对参量x ,在上一致有界,则含参量反常积分(,)(,)d cf x yg x y y +∞⎰在I 上一致收敛.例3 证明含参量反常积分20cos d (10)1xyx x +∞+⎰在(,)-∞+∞上一致收敛.证由于对任何实数y 有2cos 1xy x +及反常积分20d 1xx+∞+⎰收敛, 别法, 故由魏尔斯特拉斯M 判21,1x≤+(,)-∞+∞上一致收敛.含参量反常积分(10)在证由于反常积分0sin d xx x+∞⎰收敛(当然, 对于参量y ,[0,]d 它在上一致收敛), 0sin e d (11)xy x x x+∞-⎰在[0,]d 上一致收敛.例4 证明含参量反常积分[0,]x d ∈个单调, (,)e1.xyg x y -=≤故由阿贝尔判别法即得含参量反常积分(11)在[0,]d 上一致收敛.(,)e xyg x y -=对每一函数0,0y d x ≤≤≥都有且对任何例5 证明: 若(,)[,][,)f x y a b c ⨯+∞在上连续, 又(,)d c f x y y +∞⎰(,)d cf x y y+∞⎰在[,)a b 上收敛, 但在处发散, 则x b =在[,)a b 上不一致收敛.0,ε>,M c >任给总存在,A A M '>当时对一切[,)x a b ∈恒有(,)d .A Af x y y ε'<⎰证用反证法. [,)a b 上一致收敛, 假若积分在则对于(,)[,][,]f x y a b A A '⨯在(,)d A Af x y y'⎰因上连续, 所以x 是的连续函数. A A M '>>时,,x b -→得到当在上面不等式中令(,)d .A Af b y y ε'≤⎰ε(,)d cf x y y +∞⎰x b =而是任给的, 因此在处收敛,这与假设矛盾. 不一致收敛.(,)d c f x y y +∞⎰[,)a b 在上所以积分证若[,](0,+),a b ⊂∞21sin d (12)1y xy yy +∞+⎰在[0,+)∞上内闭一致收敛.例6 证明含参量积分则对任意[,]x a b ∈，cos sin d =NNaa xy y xy y x -⎰2a≤而21y y+关于y 单调递减,且2lim 0(,1y y x y 对一致）→∞=+因此, 根据狄利克雷判别法，含参量积分(12)在[,]a b 上一致收敛.[0,+)∞也即在上内闭一致收敛.定理19.10（含参量反常积分的连续性）含参量反常积分的性质设(,)[,)f x y I c ⨯+∞在上连续, ()(,)d (13)cx f x y y Φ+∞=⎰在I 上一致收敛, 在I 上一致收敛.+∞{}n A 证由定理19.9, 对任一递增且趋于的数列1(),A c =函数项级数111()(,)d ()(14)n nA n A n n x f x y y u x Φ+∞∞====∑∑⎰若含参量反常积分则在I 上连续.()x Φ()n u x I 都在上连续. 定理, (,)[,)f x y I c ⨯+∞在上连续, 又由于根据函数项级数的连续性故每个知在I 上连续.()x Φ设(,)[,)f x y I c ⨯+∞在上连续, ()(,)d (13)cx f x y y Φ+∞=⎰在I 上一致收敛, 若含参量反常积分则在I 上连续. ()x Φ推论这个定理也证明了在一致收敛的条件下, 极限运算与积分运算可以交换:0lim (,)d (,)d cc x x f x y y f x y y+∞+∞→=⎰⎰lim (,)d .(15)cx x f x y y +∞→=⎰设(,)[,)f x y I c ⨯+∞在上连续, ()(,)d cx f x y yΦ+∞=⎰在I 上内闭一致收敛, 若则在I 上连续. ()x Φ定理19.10（含参量反常积分的可微性）(,)(,)x f x y f x y 与[,)I c ⨯+∞设在区域上连续.()(,)d cx f x y y Φ+∞=⎰在I 上收敛,(,)d x c f x y y +∞⎰在I上一致收敛, ()(,)d (16)x cI x f x y y+∞'=⎰若+∞1{}(),n A A c =证对任一递增且趋于的数列令1()(,)d .n nA n A u x f x y y +=⎰则在I 上可微，且()x Φ由定理19.3推得1()(,)d .n nA nx Au x f x y y +'=⎰+∞⎰(,)d cf x y y 由在I 上一致收敛及定理19.9, 项级数111()(,)d n nA n x A n n u x f x y y +∞∞=='=∑∑⎰在J 上一致收敛,可得函数()x Φ'于是d (,)d (,)d ,d cc f x y y f x y y x x +∞+∞∂=∂⎰⎰111()(,)d n nA nx A n n u x f x y y +∞∞=='==∑∑⎰(,)d ,x cf x y y +∞=⎰或写成推论(,)(,)x f x y f x y 与[,)I c ⨯+∞设在区域上连续.()(,)d cx f x y y Φ+∞=⎰在I 上收敛,(,)d x c f x y y +∞⎰在I上内闭一致收敛, +∞'=⎰()(,)d .x cI x f x y y 若则在I 上可微，且()x Φ最后结果表明在定理条件下, 求导运算和积分运算可以交换.定理19.12（含参量反常积分的可积性）()(,)d cx f x y y +∞=⎰Φ[,]a b 在上一致收敛,+∞+∞=⎰⎰⎰⎰d (,)d d (,)d .(17)bbaccax f x y y y f x y x [,]a b 在上可积.又由定理19.10 的证明中可以看到, 函数项级数(14)在[,]a b ()[,]n u x a b 在上一致收敛, 且各项上连续,证由定理19.10知道在[,]a b 上连续, ()x Φ[,][,)a b c ⨯+∞上连续, 若设在(,)f x y [,]a b 上可积, 且则在()x Φ()x Φ从而1()d ()d bbn a an x x u x x Φ∞==∑⎰⎰+∞==∑⎰⎰11d (,)d .(18)n nA bA an y f x y x 这里最后一步是根据定理19.6关于积分顺序的可交换性. ()d d (,)d .b bacax x y f x y x Φ+∞=⎰⎰⎰这就是(17)式.因此根据函数项级数逐项求积定理, 有(18)式又可写作11d (,)d n nbA aA n x f x y y+∞==∑⎰⎰定理19.13(,)d a f x y x y +∞⎰关于[,)c +∞(i) 在内闭上一致收敛,(,)d cf x y y +∞⎰[,)a +∞关于x 在内闭上一致收敛;(ii)积分d (,)d d (,)d (19)acc ax f x y y y f x y x 与+∞+∞+∞+∞⎰⎰⎰⎰中有一个收敛.d (,)d d (,)d (20)accax f x y y y f x y x .+∞+∞+∞+∞=⎰⎰⎰⎰(,)f x y [,)[,)a c +∞⨯+∞设在上连续, 且则必有d (,)d acx f x y y +∞+∞⎰⎰也收敛. d c >当时,d (,)d d (,)d dd c a a cI y f x y x x f x y y+∞+∞+∞=-⎰⎰⎰⎰d (,)d d (,)d ddcaacy f x y x x f x y y+∞+∞=-⎰⎰⎰⎰d (,)d adx f x y y+∞+∞-⎰⎰证不妨设(19) 中第一个积分收敛,由此推得根据条件(i)及定理19.12,有d (,)d d a dI x f x y y+∞+∞=⎰⎰d (,)d d (,)d .(21)AadAdx f x y y x f x y y +∞+∞+∞≤+⎰⎰⎰⎰由条件(ii), 对于任给的0,,G a A G ε>>>有使当时,+∞+∞<⎰⎰d (,)d .2A d x f x y y ε有(,)d .2()df x y y A a ε+∞<-⎰把这两个结果应用到(21)式, 得到,22d I εεε<+=使得当时有d M >选定A 后, 由(,)d cf x y y +∞⎰的一致收敛性, 存在M >c ,即lim 0,d d I →∞=这就证明了(20)式.例6计算0sin sin e d (0,).pxbx axI x p b a x+∞--=>>⎰解因为sin sin cos d ,b a bx axxy y x-=⎰所以sin sin ed pxbx axI xx+∞--=⎰()0ecos d d b pxaxy y x+∞-=⎰⎰0d ecos d .(22)bpxax xy y +∞-=⎰⎰ecos epxpxxy --≤0ed pxx +∞-⎰由于及反常积分收敛, 据M 判定法, 含参量反常积分ecos d pxxy x+∞-⎰[,]a b 在区间上一致收敛.[0,)[,]a b +∞⨯上连续, 的顺序, 积分I 的值不变. ecos pxxy -在由于于是d e cos d b pxaI y xy x +∞-=⎰⎰arctan arctan .b ap p=-根根据定理19.12交换积分(22)22d b apy p y=+⎰例7 计算0sin d .axx x+∞⎰解在上例中, 令b = 0, 0sin ()e d arctan (0).(23)px ax a F p x p x p+∞-==>⎰由阿贝尔判别法可得上述含参量反常积分在0p ≥上一致收敛. 0sin (0)d .axF x x+∞=⎰又由(23)式00(0)lim ()lim arctan sgn .2p p a F F p a p ++→→π===则有()0F p p ≥在上连续, 且于是由定理19.10,例8 计算20()e cos d .(24)x r rx x ϕ+∞-=⎰()22e cos d e sin d .(25)x x rrx x x rx x +∞+∞--'=-⎰⎰由于---≤≥-∞<<+∞22esin e0,x x x rx x x r 对一切参量反常积分(25)在-∞+∞(,)上一致收敛.解考察含参量反常积分成立2ed x x x +∞-⎰收敛, 及反常积分根据M 判定法, 含综合上述结果由定理19.11即得2()esin d xr x rx x ϕ+∞-'=-⎰--→+∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰220011lim e sin e cos d 22A Ax x A rx r rx x +∞-=-=-⎰20e cos d ().22x r rrx x r ϕ于是有2ln ()ln ,4r r c ϕ=-+-=24()e .r r c ϕ20π(0)e d ,2x x ϕ+∞-==⎰(0),c ϕ=从而又由(25)式,24π()e .2r r ϕ-=π,2c =因此得到所以20limesin d Ax A x rx x-→+∞=-⎰含参量无界函数的反常积分设(,)[,][,)f x y R a b c d 在区域=⨯上有定义. 某些值, y = d 为函数(,)f x y 的瑕点, (,)d (26)dcf x y y ⎰为含参量x 的无界函数反常积分, 常积分. [,]x a b 在上取值的函数. 积分值是若对x 的则称[,],x a b ∈积分(25)都收敛, 则其若对每一个含参量反常积分或简称为含参量反(25)在上一致收敛的定义是:[,]a b定义2,ε,d c δ<-对任给正数总存在某正数使得(,)d ,dd f x y y ηε-<⎰则称含参量反常积分(25)在[,]a b 上一致收敛．参量无界函数反常积分的一致收敛性判别法, 并讨读者可以参照无穷限反常积分的办法建立相应的含论它们的性质.都有0ηδ<<[,],x a b ∈时, 对一切当*例9讨论含参量无界函数反常积分1011sin d xx x α⎰的一致收敛区间.解作变换1,t x =得1201111sin d =sin d .x t t x x t αα+∞-⎰⎰2110,sin dt t t αδ+∞-∀>⎰(,2]δ-∞-(1)在上一致收敛.(i)1(,2]1,sin dt 2;N N t αδ∀∈-∞->≤⎰及有(ii) 211(,2],0,.t t tαδαδ-∀∈-∞-≤→→+∞21t α-0,单调一致趋于由狄利克雷判别法,1201111sin d =sin d x t t x x tαα+∞-⎰⎰(,2]δ-∞-在上一致收敛.因此(2)F 因为不存在,所211()sin dt ,F t t αα+∞-=⎰为此设+∞-<⎰2112,sin dt b t tα[,2)b (2)任取在上不一致收敛.211sin dt t t α+∞-⎰[,2)b 在上不一致收敛.以复习思考题(,)()g x y g y =x +c (,)d g x y y ∞⎰1. 若与无关, 在区间I 上收敛, 则+c (,)d g x y y ∞⎰在任何区间上一致收敛,对吗?()(,)d c x f x y y ϕ+∞=⎰(,)a b 2. 若在上一致收敛, 且(,)f x y [,][,)a b c ⨯+∞在上连续, 是否一定有()(,)d c x f x y y ϕ+∞=⎰[,]a b 在上一致收敛.。

P.182 习题1．验证下列等式 （1）C x f dx x f +='⎰)()( （2）⎰+=C x f x df )()(证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以⎰+='C x f dx x f )()(.（2）因为C u du +=⎰, 所以⎰+=C x f x df )()(.2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点)5,2(.解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='=⎰⎰22)()(.于是知曲线为C x y +=2, 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以有 C +=225, 解得1=C , 从而所求曲线为12+=x y3．验证x x y sgn 22=是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0<x 时, 22x y -=, x y -='; 当0=x 时, y的导数为02sgn lim 0sgn )2(lim020==-→→x x x x x x x , 所以⎪⎩⎪⎨⎧=<-=>='||0000x x xx x xy 4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数？解 由P.122推论3的证明过程可知：在区间I 上的导函数f '，它在I 上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，也就是说导函数不可能出现第一类间断点。

因此每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数。

5．求下列不定积分⑴C x x x x dx x dx x xdx dx dx x x x +-+-=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰-31423233233421)11(⑵C x x x dx x x x dx xx ++-=+-=-⎰⎰||ln 343)12()1(2332122⑶C gxC x gdx x ggxdx +=+⋅==⎰⎰-22212122121 ⑷⎰⎰⎰+⋅+=+⋅+=+dx dx dx x x x x x x x x )9624()3)32(22()32(222 C x x x ++⋅+=9ln 96ln 624ln 4 ⑸C x dx x dx x +=-=-⎰⎰arcsin 23112344322⑹ C x dx x dx x x dx x x +-=+-=+-+=+⎰⎰⎰)arctan 1(31)111(31)1(311)1(322222 ⑺ C x x dx x xdx +-=-=⎰⎰tan )1(sec tan 22 ⑻C x x dx x dx x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰)2sin 21(21)2cos 1(2122cos 1sin 2 ⑼ C x x dx x x dx xx x x dx x x x +-=+=--=-⎰⎰⎰cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22 ⑽C x x dx x x dx x x x x dx x x x +--=-=⋅-=⋅⎰⎰⎰tan cot )cos 1sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222 ⑾ C C dt dt tt ttt+=+⋅⋅=⋅=⋅⎰⎰90ln 90)910ln()910()910(3102 ⑿C x dx x dx x x x +==⎰⎰81587158⒀C x dx xdx x x x x dx x x x x +=-=--+-+=+-+-+⎰⎰⎰arcsin 212)1111()1111(222⒁C x x xdx dx dx x dx x x +-=+=+=+⎰⎰⎰⎰2cos 212sin 1)2sin 1()sin (cos 2⒂C x x dx x x xdx x ++=+=⎰⎰)sin 3sin 31(21)cos 3(cos 212cos cos ⒃ C e e e e dx e e e e dx e e x xx x x x x x x x ++--=-+-=------⎰⎰33333313331)33()(P.188 习题1．应用换元积分法求下列不定积分：⑴C x x d x dx x ++=++=+⎰⎰)43sin(31)43()43cos(31)43cos( ⑵ C e x d e dx xe x x x +==⎰⎰222222241)2(41⑶ C x x x d x dx ++=++=+⎰⎰|12|ln 2112)12(2112⑷ C x n x d x dx x n nn +++=++=++⎰⎰1)1(11)1()1()1(⑸Cx x xd xdx x dx xx++=-+-=-+-⎰⎰⎰3arcsin 313arcsin 3)3113131)31131(2222⑹C C x d dx x x x x +=+=+=++++⎰⎰2ln 22ln 22)32(221222323232⑺C x C x x d x dx x +--=+-⋅-=---=-⎰⎰232321)38(92)38(3231)38()38(3138 ⑻C x C x x d x x dx+--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)57(103)57(2351)57()57(5157 ⑼C x dx x dx x x +-==⎰⎰2222cos 21sin 21sin ⑽ C x x x d x dx++-=++=+⎰⎰)42cot(21)42(sin )42(21)42(sin 22ππππ⑾ 解法一：C xxx d x dxx dx+===+⎰⎰⎰2tan2cos 22cos 2cos 122解法二： ⎰⎰⎰⎰-=--=+xxdxx dx x dx x x dx 222sin cos sin cos 1)cos 1(cos 1 C x x xx d x ++-=--=⎰sin 1cot sin sin cot 2⑿解法一：利用上一题的结果，有C x C x x x d x dx +--=+--=-+--=+⎰⎰)24tan()2(21tan )2cos(1)2(sin 1ππππ 解法二： C x x xx d x dx x dx x x dx +-=+=--=+⎰⎰⎰⎰cos 1tan cos cos cos sin 1)sin 1(sin 1222 解法三：⎰⎰⎰+⋅=+=+222)12(tan 2cos )2cos 2(sin sin 1x x dxx x dx x dxC x x x d ++-=+=⎰12tan 2)12(tan 2tan 22⒀ 解法一：⎰⎰⎰---=-=)2()2sec()2sec(csc x d x dx x xdx πππC x x C x x ++-=+-+--=|cot csc |ln |)2tan()2sec(|ln ππ解法二：C x x x x d dx x x dx x xdx ++-=-===⎰⎰⎰⎰1cos 1cos ln 211cos cos sin sin sin 1csc 22C x x +-=|cot csc |ln解法三：⎰⎰++=dx x x x x x xdx cot csc )cot (csc csc cscC x x C xx x x d ++-=+++-=⎰|cot csc |ln cot csc )cot (csc解法四：⎰⎰⎰==dx x x xdx x x xdx 2cos2sin 22sin2cos 2sin 21csc 2C xC x x d x +=+-=-=⎰|2tan |ln |2cot |ln 2cot 2cot 1⒁C x x d x dx x x +--=---=-⎰⎰22221)1(11211 ⒂ C x dx x dx x x +=+=+⎰⎰2arctan 41)(4121422224⒃C x x x d x x dx +==⎰⎰|ln |ln ln ln ln⒄ C x x d x dx x x +-=---=-⎰⎰25535354)1(1101)1()1(151)1( ⒅ C x x C x x dx x dx x x ++-=++-⋅=-=-⎰⎰|22|ln 281|22|ln 221412)(1412444442483⒆C xx C x x dx x x x x dx ++=++-=+-=+⎰⎰|1|ln |1|ln ||ln )111()1( ⒇C x dx xxxdx +==⎰⎰|sin |ln sin cos cot (21)⎰⎰⎰-==x d x xdx x xdx sin )sin 1(cos cos cos 2245 C x x x x d x x ++-=+-=⎰5342sin 51sin 32sin sin )sin sin 21((22) 解法一：C x x x x d x x dx +-==⎰⎰|2cot 2csc |ln 2sin )2(cos sin解法二：C x x xd x x xdx x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan cos sin cos cos sin 2 解法三：⎰⎰+=xx dxx x x x dx cos sin )cos (sin cos sin 22C x x dx xxx x +-=+=⎰|cos |ln |sin |ln )sin cos cos sin ((23) C e e de e dx e e e dx xx x x x x x+=+=+=+⎰⎰⎰-arctan 1122 (24) C x x x x x x d dx x x x ++-=+-+-=+--⎰⎰|83|ln 83)83(83322222(25) C x x x dx x x x dx x x x dx x x ++-+++=+++-+=+++-+=++⎰⎰⎰2323232)1(2312|1|ln ))1(3)1(211()1(3)1(2)1()1(2(26)⎰+22ax dx解 令t a x tan =, 则C a x x C t t t a tdt a a x dx+++=++==+⎰⎰||ln |tan sec |ln sec sec 221222(27)C a x x a a x x d a a x dx ++=+=+⎰⎰21222212222322)(1)(1)(解法2 令t a x tan =, 则C ax a x C t a tdt a t a tdt a a x dx ++=+===+⎰⎰⎰222223322322sin 1cos 1sec sec )( (28)⎰-dx xx 251解 令t x sin =, 则Cx x x C t t t td t tdt dt t t t dx x x +---+--=+-+-=--===-⎰⎰⎰⎰25223221253225525)1(51)1(32)1(cos 51cos 32cos cos )cos 1(sin cos cos sin 1(29)⎰-dx xx31解 令t x =61, 则6t x =, 56t dx =C t t t t t t dt tt t t dt tt t t t dt t t t dt t t dx x x++--+++-=-++++-=-++++-=-+-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰|11|ln 26)357(6)11)1((611)1)(1(6111)(61613572246224622422533其中61x t = (30)⎰++-+dx x x 1111解 令t x =+1, 则21t x =+, tdt dx 2=,Cx x x C x x x C t t t dt t t dt t t t tdt t tdt t t dx x x +++++-=+++++-+=+++-=++-=+-=+-=+-=++-+⎰⎰⎰⎰⎰|11|ln 414|11|ln 4141|1|ln 44)1442()142(2)121(21111111122．应用分部积分法求下列不定积分： ⑴C x x x dx x x x x xdx +-+=--=⎰⎰221arcsin 1arcsin arcsin⑵C x x x dx x x x x xdx +-=⋅-=⎰⎰ln 1ln ln⑶Cx x x x x xdx x x x x x xd x x xdx x x x x d x xdx x +-+=-+=+=-==⎰⎰⎰⎰⎰sin 2cos 2sin cos 2cos 2sin cos 2sin sin 2sin sin cos 222222 ⑷ C x x x dx x x x x xd dx x x +--=+-=-=⎰⎰⎰223223412ln 121ln 211ln 21ln ⑸C x x x x x xdx x x dx x ++-=-=⎰⎰2ln 2)(ln ln 2)(ln )(ln 222 ⑹ ⎰⎰⎰+-==dx xx x x xdx xdx x 2222121arctan 21arctan 21arctan C x x x x dx x x x +--=+--=⎰)arctan (21arctan 21)111(21arctan 21222 C x x x +-+=21arctan )1(212⑺ ⎰⎰⎰+=+dx x dx x dx x x ln 1)ln(ln ]ln 1)[ln(ln C x x dx xdx x x x x x +=+⋅-=⎰⎰)ln(ln ln 1ln 1)ln(ln⑻⎰⎰--=dx xx x x x dx x 2221arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x ⎰----+=dx xx x x x x 22221112arcsin 12)(arcsinC x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22⑼⎰⎰⎰-==xdx x x x x xd xdx 23tan sec tan sec tan sec sec⎰⎰⎰+-=--=xdx xdx x x dx x x x x sec sec tan sec )1(sec sec tan sec 32 |tan sec |ln sec tan sec 3x x xdx x x ++-=⎰所以C x x x x xdx +++=⎰|)tan sec |ln tan sec 21sec 3 ⑽⎰⎰+⋅-+=+dx ax x x a x x dx a x 222222⎰+-+-+=dx ax a a x a x x )(2222222⎰⎰+++-+=dx ax a dx a x a x x 2222222)ln(2222222a x x a dx a x a x x ++++-+=⎰所以C a x x a a x x dx a x +++++=+⎰))ln((212222222 类似地可得C a x x a a x x dx a x +-+--=-⎰))ln((212222222 3．求下列不定积分：⑴ C x f a x df x f dx x f x f a aa++=='+⎰⎰1)]([11)()]([)()]([ ⑵C x f x df x f dx x f x f +=+=+'⎰⎰)(arctan )()]([11)]([1)(22⑶C x f x f x df dx x f x f +=='⎰⎰|)(|ln )()()()( ⑷ C e x df e dx x f e x f x f x f +=='⎰⎰)()()()()(4．证明：⑴ 若⎰=dx x I n n tan ， ,3,2=n ，则21tan 11----=n n n I x n I 证 ⎰⎰⎰----=-=dx x dx x x dx x x I n n n n 22222tan sec tan )1(sec tan22tan tan ---=⎰n n I x d x .因为⎰⎰-----=x d x n x x d x n n n tan tan )2(tan tan tan 212，所以x n x d x n n 12tan 11tan tan ---=⎰. 从而21tan 11----=n n n I x n I . ⑵ 若⎰=dx x x n m I n m sin cos ),(，则当0≠+n m 时，),2(1sin cos ),(11n m I nm m n m x x n m I n m -+-++=+-)2,(1sin cos 11-+-++-=-+n m I nm n n m x x n m ， ,3,2,=m n证 ⎰⎰+-+==x d x n dx x x n m I n m nm 11sin cos 11sin cos ),( ]sin cos )1(sin [cos 112211⎰+-+--++=dx x x m x x n n m n m ])cos 1(sin cos )1(sin [cos 112211⎰--++=-+-dx x x x m x x n n m n m ))],(),2()(1(sin [cos 1111n m I n m I m x x n n m ---++=+-所以),2(1sin cos ),(11n m I n m m n m x x n m I n m -+-++=+-， 同理可得)2,(1sin cos ),(11-+-++-=-+n m I nm n n m x x n m I n mP.199 习题1．求下列不定积分：⑴ ⎰⎰⎰-+++=-+-=-dx x x x dx x x dx x x )111(1111233 C x x x x +-+++=|1|ln 2323 ⑵ 解法一：C x x dx x x dx x x x +--=---=+--⎰⎰|3|)4(ln )3142(127222解法二：⎰⎰⎰+-++--=+--dx x x dx x x x dx x x x 12732112772211272222 ⎰⎰---++-+-=)27(41)27(123127)127(21222x d x x x x x dC x x x x +--++-=34ln 23|127|ln 212 ⑶ 解22311)1)(1(111xx CBx x A x x x x +-+++=+-+=+ 去分母得 )1)(()1(12x C Bx x x A ++++-=令1-=x ，得1=A . 再令0=x ，得1=+C A ，于是32=C . 比较上式两端二次幂的系数得 0=+B A ，从而1-=B ，因此⎰⎰⎰+---+=+dxx x x x dx x dx 2312311311⎰⎰+-++---+=dx x x dx x x x x 22112111261|1|ln 31⎰+-++--+=dx x x x x 43)21(121)1ln(61|1|ln 3122C x x x x +-++-+=312arctan 311)1(ln 6122 ⑷ 解 ⎰⎰⎰⎰+--++=+--+=+dx xx dx x x dx x x x x dx 42424224112111211)1()1(211 ⎰⎰⎰⎰++-+-=+--++=22222222221)1(211)1(211112111121x x x x d x x x x d dx x x x dx x x x⎰⎰-++-+--=2)1()1(212)1()1(2122xx x x d x x x x d C xx x x x x +++-+--=2121ln 24121arctan221C x x x x x x ++++---=1212ln 8221arctan 42222 ⑸⎰+-22)1)(1(x x dx解 令22222)1(11)1)(1(1++++++-=+-x EDx x C Bx x A x x , 解得41=A , 41-==CB , 21-==E D , 于是 ⎰⎰⎰⎰++-++--=+-dx x x dx x x x dx x x dx 22222)1(1211141141)1)(1(C x x x x x x x +++-++-+--=)1(arctan 411141arctan 41)1ln(81|1|ln 41222 C x x x x x ++-+-+-=)11arctan 21|1|(ln 4122⑹⎰⎰⎰++-+++=++-dx x x dx x x x dx x x x 222222)122(125)122(2441)122(2 其中1221)122()122()122(24222222++-=++++=+++⎰⎰x x x x x x d dx x x x ⎰⎰⎰+++=++=++)12(]1)12[(12]1)12[(4)122(1222222x d x dx x dx x x )12arctan(1)12(122+++++=x x x 参见教材P.186 例9或P.193关于k I 的递推公式⑺. 于是，有C x x x x x dx x x x ++-+++-++-=++-⎰)12arctan(251)12(1225122141)122(22222 C x x x x ++-+++=)12arctan(25)122(23522．求下列不定积分⑴⎰-x dx cos 35解 令2tan xt =，则C t t t d tdt t dt t t dx x dx+=+=+=++--=-⎰⎰⎰⎰2arctan 21)2(1)2(2141121135cos 3522222 C x+=)2tan 2arctan(21 ⑵⎰⎰⎰⎰+=+=+=+)tan 32(tan cos )tan 32(sin 3cos 2sin 2222222x xd x x dx x x dx x dxC x x x d +=+=⎰)tan 23arctan(61)tan 231()tan 23(612 ⑶ ⎰⎰⎰++-+=+=+dx xx xx x x x x xdx x dx sin cos cos sin sin cos 21sin cos cos tan 1 )sin cos )cos (sin (21)sin cos cos sin 1(21⎰⎰⎰+++=++-+=x x x x d dx dx x x x x C x x x +++=|)sin cos |ln (21另解：设⎰+=x x xdx I sin cos cos 1，⎰+=x x xdxI sin cos sin 2，则C x dx x x xx I I +=++=+⎰sin cos sin cos 21，C x x x x x x d dx x x x x I I ++=++=+-=-⎰⎰|sin cos |ln sin cos )sin (cos sin cos sin cos 21所以C x x x I x dx +++==+⎰|)sin cos |ln (21tan 11⑷⎰⎰⎰-+++-+-=-+22221)1(11xx dx x dx x x dx xx x⎰⎰⎰-++-++---+-=2221231)12(211x x dxx x dx x dx x x其中（利用教材P.185例7的结果）]1)21(512arcsin 45[21)21(451222x x x x dx x dx x x -+-+-=--=-+⎰⎰ 2222121)1(1)12(x x x x x x d x x dx x -+=-+-+=-++-⎰⎰512arcsin)21(45122-=--=-+⎰⎰x x dxxx dx所以有⎰-+dx xx x 221C x x x x x x x +-+-+--+-+--=512arcsin 231221]1)21(512arcsin 45[2122C x x x x +-++--=21432512arcsin 87 ⑸C x x x x x d xx dx ++++=-++=+⎰⎰|21|ln 41)21()21(222⑹⎰+-dx xxx 1112 解 令 x x t +-=11，则2211tt x +-=，22)1(4t tdtdx +-=，代入原式得 ⎰⎰⎰⎰---=--=+-⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-dt t t dt t t dt t t t t t dx x xx 222222222222)1(114)1(4)1(411111⎰⎰⎰⎰-+-++--=---=dt t t t dt t dt t dt t ]12)1(1)1(1[114)1(141142222222C t t t t dt t t dt t +++---+=-++--=⎰⎰1111|11|ln ])1(1)1(1[112222 C xx x x +---+=221|11|ln总 练 习 题求下列不定积分： ⑴C x x x dx x xx dx xx x +--=--=--⎰⎰-4312134541121414334132454)2(12⑵]11arcsin [21arcsin 21arcsin 2222⎰⎰⎰--==dx x x x x dx x dx x x 其中)2sin 21(2122cos 1cos cos sin 1222t t dt t dt t t t dx x x -=-==-⎰⎰⎰)1(arcsin 212x x x --=所以]11arcsin [21arcsin 222⎰⎰--=dx xx x x dx x xC x x x x x +---=)]1(arcsin 21arcsin [2122 C x x x x x +-+-=22141arcsin 41arcsin 21 ⑶⎰+xdx 1解 令u x =，则udu dx 2=C u u du uu udu xdx ++-=+-=+=+⎰⎰⎰|)1|ln (2)111(2121 C x x ++-=|)1|ln (2⑷⎰⎰⎰⎰===xx x x de x x d x e dx x x e dx x e sin sin sin sin sin 2sin sin 2cos sin 22sin C x e C e x e x d e x e x x x x x +-=+-=-=⎰)1(sin 2)sin (2)sin sin (2sin sin sin sin sin⑸C x e C e u e du u e u x dx e x u u u x+-=+-==⎰⎰)1(2)(22)(令 ⑹C x x d x x x dx x xdx +-=--=-=-⎰⎰⎰1arcsin )1(1111112222 解法二：令t x sec =，C xC t dt t t t t x xdx +=+==-⎰⎰1arccos tan sec tan sec 12⑺⎰⎰⎰++=+-=+-x x x x d dx x x x x dx x x sin cos )sin (cos sin cos sin cos tan 1tan 1C x x ++=|sin cos |lnC x dx x dx x x +-=-=+-⎰⎰|)4cos(|ln )4tan(tan 1tan 1ππ ⑻ C x x x dx x x x dx x x x +-----=-+-+-=--⎰⎰23232)2(123|2|ln )2(2)2(3)2()2( ⑼C x x x d x xdx x x dx ++=+==⎰⎰⎰32224tan 31tan tan )tan 1(cos sec cos ⑽ ⎰⎰⎰-==dx x dx x dx x 2224)22cos 1()(sin sin⎰⎰++-=+-=dx x x dx x x )24cos 12cos 21(41)2cos 2cos 21(412 C x x x C x x x x ++-=+++-=4sin 3212sin 4183)84sin 22sin (41 ⑾ ⎰+--dx x x x 43523 解⎰⎰-+-=+--dx x x x dx x x x 223)2)(1(5435令22)2(21)2)(1(5-+-++=-+-x C x B x A x x x 去分母得：)1()2)(1()2(52++-++-=-x C x x B x A x 解得：32-=A ，32=B ，1-=C 所以⎰⎰⎰⎰---++-=+--dx x dx x dx x dx x x x 223)2(121321132435 C x x x +-++-=21|12|ln 32 ⑿⎰+dx x )1arctan(解 令u x =+1，du u dx )1(2-=⎰⎰⎰⎰-⋅=-⋅=+du u du u u du u u dx x arctan 2arctan 2)1(2arctan )1arctan(122)1ln(arctan 2]arctan )1[(C u u u u u u +++--+= C x x x x x ++++-+=)22ln()1arctan(⒀ ⎰⎰⎰+-=+-+=+dx x x x dx x x x x dx x x )22(2222433433747 C x x ++-=)2ln(214144 另解：C x x dx x dx x x x dx x x ++-=+-=+⋅=+⎰⎰⎰)2ln(2141)221(4122444443447 ⒁⎰++dx x x x2tan tan 1tan 解 令u x =tan⎰⎰⎰⎰++-+=+++=++du u u du u du u u u u dx x x x 222221111111tan tan 1tanC x x C u u ++-=++-=31tan 2arctan32312arctan32arctan⒂ ⎰⎰-+---=-dx x x x dx x x 10021002)1(1)1(2)1()1( C x x x +-+---=979899)1(971)1(491)1(991 ⒃⎰⎰⎰-+-=-=dx x x xx x d x dx x x 2211arcsin 1arcsin arcsin C xx x x +-+--=|11|ln arcsin 2⒄⎰⎰⎰--+=--+=-+2)]1ln()1[ln(21)]1ln()1[ln(11lndx x x dx x x x dx x x x C x xxx dx x x x x x x ++-+-=-++---+=⎰11ln 21)1111(21)]1ln()1[ln(21222⒅⎰⎰⎰+==x d xx dx xx dx xx tan tan tan 1cos tan 1cos sin 1247C x x ++=)tan 511(tan 22⒆ ⎰⎰⎰⎰+-++=+-+=+-dx x x e dx x e dx x x x e dx x x e xx x x22222222)1(21)1(21)11( C xe dx x e x e dx x e x d e dx x e x x x x x x ++=+-+++=+++=⎰⎰⎰⎰2222221111111 ⒇ ⎰=dx uv I n n ，x b a u 11+=，x b a v 22+=解 ][221211⎰⎰⎰--===dx v b u n u v b u d v b dx uv I n nn n n ])([2][21122111121⎰⎰---+-=-=dx uv b a b a v b n u v b dx u uv b n u v b n nn n ])([21122111----=n n nI b a b a n I nb u v b 所以])([)12(2112211---+=n n n I b a b a n u v b n I。

第一章 实数集与函数习题§1实数1、 设a 为有理数，x 为无理数。

证明：（1）a+ x 是无理数；（2）当a ≠0时，ax 是无理数。

2、 试在数轴上表示出下列不等式的解：（1）x （2x -1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3）1-x -12-x ≥23-x 。

3、 设a 、b ∈R 。

证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a = b 。

4、 设x ≠0，证明|x+x1|≥2，并说明其中等号何时成立。

5、 证明：对任何x ∈R 有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。

6、 设a 、b 、c ∈+R （+R 表示全体正实数的集合）。

证明 |22b a +-22c a +|≤|b-c|。

你能说明此不等式的几何意义吗7、 设x>0，b>0，a ≠b 。

证明x b x a ++介于1与ba 之间。

8、 设p 为正整数。

证明：若p 不是完全平方数，则p 是无理数。

9、 设a 、b 为给定实数。

试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解：（1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b ；（3）|2x -a|<b 。

§2数集、确界原理1、 用区间表示下列不等式的解：（1）|1-x|-x ≥0；（2）| x+x1|≤6； （3）（x-a ）（x-b ）（x-c ）>0（a ，b ，c 为常数，且a<b<c ）；（4）sinx ≥22。

2、 设S 为非空数集。

试对下列概念给出定义：（1）S 无上界；（2）S 无界。

3、 试证明由（3）式所确定的数集S 有上界而无下界。

4、 求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）S={x|2x <2}；（2）S={x|x=n ！，n ∈+N }；（3）S={x|x 为（0，1）内的无理数}；（4）S={x|x=1-n 21，n ∈+N }。