数学分析课后习题答案(华东师范大学版)

!!第一章实数集与函数内容提要!一!实数!"实数包括有理数和无理数!有理数可用分数"#!""#为互质整数##"#$表示#也可用有限十进小数或无限十进循环小数表示!!$是首先遇到的无理数#它与古希腊时期所发现的不可公度线段理论有直接联系#且可以表示为无限十进不循环小数!实数的无限十进小数表示在人类实践活动中被普遍采用#我们是由无限十进小数表示出发来阐述实数理论的!$"若$%%#%%!%$&%&&为非负实数#称有理数$&%%#%%!%$&%&为实数$的&位不足近似#而有理数$&%$&&!!#&称为$的&位过剩近似#&%##!#$#&!’"在数学分析课程中不等式占有重要的地位#在后继课程中#某些不等式可以成为某个研究方向的基础!数学归纳法是证明某些不等式的重要工具!二!数集"确界原理!"邻域是数学分析中重要的基本概念!某点的邻域是与该点靠近的数的集合#它是描述极限概念的基本工具!在无限区间记号!()#%’#!()#%$#(%#&)$#!%#&)$#!()#&)$中出现的()与& )仅是常用的记号#它们并不表示具体的数!在数学分析课程范围内#不要把&)#()#)当作数来运算!%!%!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$$"有界集和无界集是本章中关键的概念!要熟练掌握验证某个数集’是有界集或无界集的方法#其中重要的是证明数(不是数集’的上界!或下界$的方法!’"确界是数学分析的基础严格化中的重要的概念!上!下$确界是最大!小$数在无限数集情况下的推广!确界概念有两种等价的叙述方法#以上确界为例)设’是)中一个数集#若数!满足!!$!!$对一切$#’#有$$!#则!是’的上界*!"$对任意"%!#存在$##’#使得$#&"#则!又是’的最小上界’()!或!$$!!$对一切$#’#有$$!#则!是’的上界*!"$对任意#&##存在$##’#使得$#&!(##则!又是’的最小上界’()!这两种定义是等价的!!$$中的!(#相当于!!$中的"!在上述定义中可以限定#%###其中##为充分小的正数!定义!$$在某些证明题中使用起来更方便些!*"确界原理)设’是非空数集#若’有上界#则’必有上确界*若’有下界#则’必有下确界!确界原理是实数系完备性的几个等价定理中的一个!三!函数及其性质!"邻域!!$*!%#$$%!%($#%&$$称为%的$邻域#其中$&#!!$$*+!%*$$%!%($#%$*!%#%&$$%+$+#%+$(%+%$,称为%的空心$邻域#其中$&#!!’$*+&!%$%!%#%&,$和*+(!%$%!%(,#%$分别称为%的右邻域和左邻域#其中,&#!$"确界设给定数集’!!!$上确界!若存在数!#满足!$!$$!#,$#’*$$,$%!#都存在$##’#使$#&$#则称!为’的上确界#记为!%+,-$#’$!!$$下确界!若存在数%#满足!$$-%#,$#’*$$,&&%#都存在-##’#使-#%&#则称%为’的下确界#记为!%./0$$#’!!’$确界原理!#非空有上!下$界的数集#必有上!下$确界!$若数集有上!下$确界#则上!下$确界一定是惟一的!’"函数!!$函数定义给定两个非空实数集.和(#若有一个对应法则,#使.内每一个数$#都有惟一的一个数-#(与它对应#则称,是定义在.上的一个函数#记为-%,!$$#$#.#并称.为函数的定义域#称,!.$%+-+-%,!$$#$#.,!.($为函数的值域!!$$几个重要的函数#分段函数函数在其定义域的不同部分用不同公式表达的这类函数#常称为分段函数!$符号函数%"%第一章!实数集与函数+1/!$$%!#!!$&###$%#(!#$%’()#%狄利克雷函数.!$$%!#当$为有理数##当$+为无理数&黎曼函数)!/$%!##当$%"##"###0&"#为既约分数##当$%##!和!##!$’()中的无理数’复合函数-%,!1!$$$#$#2/其中-%,!3$#3#.#3%1!$$#$#2#2/%+$+1!$$#.,&2#2"4!’$反函数已知函数3%,!$$#$#.!若对,-##,!.$#在.中有且只有一个值$##使得,!$#$%-##则按此对应法则得到一个函数$%,(!!-$#-#,!.$#称这个函数,(!2,!.$0.为,的反函数!!*$初等函数#基本初等函数!常量函数"幂函数"指数函数"对数函数"三角函数"反三角函数这六类函数称为基本初等函数!$初等函数!由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数#统称为初等函数!%凡不是初等函数的函数#都称为非初等函数!*"有界性设-%,!$$#$#.!!$若存在数(#使,!$$$(#,$#.#则称,是.上的有上界的函数!!$$若存在数5#使,!$$-5#,$#.#则称,是.上的有下界的函数!!’$若存在正数6#使+,!$$+$6#则称,是.上的有界函数!!*$若对任意数(#都存在$##.#使,!$#$&(#则称,是.上的无上界函数#类似可定义无下界及无界函数!3"单调性设-%,!$$#$#.#若对,$!#$$#.#$!%$$#有!!$,!$!$$,!$$$#则称,在.上是递增函数!!$$,!$!$%,!$$$#则称,在.上是严格递增函数!类似可定义递减函数与严格递减函数!4"奇偶性设.是对称于原点的数集#-%,!$$#$#.!!!$若,$#.#都有,!($$%,!$$#则称,!$$是偶函数!!$$若,$#.#都有,!($$%(,!$$#则称,!$$是奇函数!%#%!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$!’$奇函数图象关于原点对称#偶函数图像关于纵轴对称!5"周期性!!$设-%,!$$#$#.#若存在正数7#使,!$67$%,!$$#,$#.!则称,!$$为周期函数#7称为,的一个周期!!$$若,的所有周期中#存在一个最小周期#则为,的基本周期!典型例题与解题技巧%例!&!设,!$$在((%#%’上有定义#证明,!$$在((%#%’上可表示为奇函数与偶函数的和!分析!本题主要考察奇函数"偶函数的定义#采用构造法解题!证明!设,!$$%8!$$&9!$$#其中8!$$#9!$$分别为奇"偶函数#于是,!($$%8!($$&9!($$%(8!$$&9!$$而,!$$%8!$$&9!$$由之可得!!!8!$$%,!$$(,!($$$#9!$$%,!$$&,!($$$这里8!$$#9!$$分别是奇函数和偶函数!%例"&!求数集’%&!&$&!(!$!&&#0+,&的上"下确界!解题分析!当&%$7时#$7!&$$!7%$$7!&!$$!7#容易看出7%!时#$!&!$!$是偶数项中的最大数!当&%$7&!时#$7&!!&$(!$7&!!$%$7&!!&!$$7!&!&!#当7充分大时#奇数项与数!充分靠近!因为$!&!$!$!%3是’中最大数#于是+,-’!%3#由上面分析可以看出./0’%!!解题过程!因为!3是’中最大数#于是+,-’!%3!再证./0’%!#这是因为!!$,&#&!&$&!(!$!&-!*!"$设%%$7&!!&!$$7!&!#由等式%&(!%!%(!$!%&(!&%&($&&&!$可知$7&!!&!$$7!&!(!%!$$7&!%$7&%$7(!&&&!$!$$7&!于是,#&##17##0&只要7#&!$781$!#(!!$!$$#使得$7#&!!&!$$7#!&!(!$!$$7#&!%#即$7#&!!&!$$7#!&!%!&#%例#&!设函数,!$$定义在区间:上#如果对于任何$!#$$#:#及’#!##!$#恒有,(’$!&!!(’$$$’$’,!$!$&!!(’$,!$$$!证明)在区间:的任何闭子区间上,!$$有界!分析!本题主要考察函数的有界性#要充分利用已知条件给出的不等式#积极构造出类似的不等%$%第一章!实数集与函数式#以证出结论!证明!,(%#;’.:#,$#!%#;$#则存在’#!##!$#使$%%&’!;(%$有!$%’;&!!(’$%由已知不等式有,!$$%,(’;&!!(’$%’$’,!;$&!!(’$,!%$$’(&!!(’$(%(#其中(%9:;,!$$#,!;+,$,$#(%#;’#令-%!%&;$($#那么%&;$%$&-$,!%&;$$%,!$$&-$$$!$,!$$&!$,!-$$!$,!$$&!$(<,!$$-$,!%&;$$((%<!$由##$两式可知<!$,!$$$(#,$#!%#;$再由(的定义#可知,!$$$(#,$#(%#;’若令!<%9./+,!%$#,!;$#<!,#则<$,!$$$(#,$#(%#;’即,!$$在(%#;’上有界!历年考研真题评析!%题!&!!北京大学#$##3年$设,!$$在(%#;’上无界#求证)16#(%#;’#使得对,#&##,!$$在!#(##=&#$2(%#;’上无界!分析!本题采用闭区间套定理证明!证明!取%#;中点%&;$#则(%#%&;$’#(%&;$#;’中至少有一个区间使,!$$无界!如果两个都是可任取一个$#记为(%!#;!’!再取中点%!&;!$#又可得区间(%$#;$’#使,!$$在其上无界#这样继续下去有(%#;’3(%!#;!’3(%$#;$’3&3(%&#;&’3&使,!$$在每个区间上无界!由区间套原理#存在6%7.9&0)%&%7.9&0);&#则6#(%#;’#而对,#&##当&充分大时#有!=(##=&#$2(%#;’3(%&#;&’故,!$$在!=(##=&#$2(%#;’上无界!%题"&!!甘肃工业大学#$##4年$有下列几个命题)!!$任何周期函数一定存在最小正周期!!$$($’是周期函数!!’$+./!$不是周期函数!!*$$=8+$不是周期函数!其中正确的命题有!!!$!>"!个!!!?"$个!!!@"’个!!!A "*个%%%!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$解题分析!本题主要考察周期函数的定义B 解题过程!选?!其中)!!$错B 比如,!$$%#B 那么任何正实数都是它的周期#而无最小正实数B !$$错B 设,!$$%($’的周期为C &##并设(C ’%9-#当9%#时#则C%!(%#其中#%%%!#那么(%&C ’%!#(%’%#!!!<(%&C ’"(%’这与C 为周期矛盾B !!!<9"#当9&#时#(C&!’%9&!#(!’%!!!!<(!&C ’"(!’#也矛盾B <($’不是周期函数B !’$对B D 若,!$$是定义域.上周期函数#那么存在函数>#使,$#.都有,!$6>$%,!$$!这必须有$6>#.!而本题定义域.%(##&)$#若是周期函数#则##.#必须(>#.#但(>4.#故不是周期函数!!*$对B 用反证法#设,!$$%$=8+$的周期为>&##则,!#$%#%,!>$%>=8+><=8+>%##>%&#(&($#&##E #且&#-#,!($&>$%,!(&&#($%!&#&!$(=8+(!&#&!$(’,!($$%($=8+($%##由,!($&>$%,!($$<=8+!&#&!$(%##矛盾B 即$=8+$不是周期函数!课后习题全解!!!F !!实数5!!设%为有理数#$为无理数!证明)!!$%?$是无理数*!!!!!!$$当%"#时#%$是无理数!!分析!根据有理数集对加"减"乘"除!除数不为#$四则运算的封闭性#用反证法证!!证明!!!$假设%?$是有理数#则!%?$$@%A $是有理数#这与题设$是无理数相矛盾#故%?$是无理数!!$$假设%$是有理数#则当%"#时#%$%A $是有理数#这与题设$为无理数相矛盾!故%$是无理数!6$!试在数轴上表示出下列不等式的解)!!$$!$$@!$&#*!!$$B $@!B %B $@’B *!’$$@!!@$$@!!-’$@!$!解!!!$由原不等式有$&#$$@!&+#!或!$%#$$@!%+#前一个不等式组的解集是C A +$B $&!,#后一个不等式组的解集是D A +$B @!%$%#,!故!!$的解集是C *D !如图!E !!%&%第一章!实数集与函数图!E !!$$由原不等式有$@!$@’%!#于是!?$$@’%!!所以@!%!?$$@’%!#即#%!’@$%!#则’@$&!#$%$!故!$$的解集为!@)#$$!如图!E $!图!E $!’$由原不等式应有’$@!$-##$@!!@$$@!!-##从而对原不等式两端平方有$@!?$$@!@$!$@!$!$$@!!$-’$@$因此有$!$@!$!$$@!!$$##所以!$@!$!$$@!!$A ##由此得$A !#或$A !$!但检验知$A !和$A !$均不符合原不等式!所以原不等式的解集为7!!小结!在!$$中是将绝对值不等式转化为不含绝对值的不等式去解!若直接利用绝对值的几何意义#其解集就是数轴上到点!的距离小于到点’的距离的点集#即数轴上点$左侧的点集!若直接考虑!’$的解$应使不等式中三个二次根式有意义#则必有$-!#但这时不等式左端为负而右端为正#显然不成立#故其解集为7!5’"设%";#$!证明)若对任何正数#有B %@;B %##则%A ;!!分析!用反证法#注意到题设中#的任意性#只要设法找到某一正数#使条件不成立即可!!证明!假设%";#则根据实数集的有序性#必有%&;或%%;!不妨设%&;#令#A %@;&##则B %@;B A %@;A ##但这与B %@;B A %@;%#矛盾#从而必有%A ;!5*"设$"##证明$?!$-$#并说明其中等号何时成立!!分析!由!%@;$$A %$@$%;?;$-##有%$?;$-$%;!!证明!因$"##则$与!$同号#从而有$?!$A B $B ?!B $B -$B $B %!B $!BA $等号当且仅当B $B A !B $B#即$AF !时成立!83"证明)对任何$#$有!!$B $@!B ?B $@$B -!*!!!!!$$B $@!B ?B $@$B ?B $@’B -$!!证明!直接由绝对值不等式的性质#对任意的$#$有!!$B $@!B ?B $@$B -B !$@!$@!$@$$B A B !B A !!$$B $@!B ?B $@$B ?B $@’B -B $@!B ?B $@’B -B !$@!$@!$@’$B A $64"设%";"=#$?!$?表示全体正实数的集合$!证明B %$?;!$@%$?=!$B $B;@=B !%’%!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$你能说明此不等式的几何意义吗-!分析!用分析法证明!!证明!欲证B %$?;!$@%$?=!$B $B;@=B 只需证!%$?;!$@%$?=!$$$$!;@=$$即证!$%$@$!%$?;$$!%$?=$!$$@$;=只需证%$?;=$!%$?;$$!%$?=$!$只需证!!%$?;=$$$!%$?;$$!;$?=$$即证$%$;=$%$!;$?=$$由于%";"=#$?#所以$;=$;$?=$#%$&##所以有$%$;=$%$!;$?=$$成立!所以原不等式成立!其几何意义为)当;"=时#平面上以点C !%#;$"D !%#=$"G !###$为顶点的三角形中#B B C G B @B D G B B %B C D B *当;A =时#此三角形变成以点G !###$#C !%#;$为端点的线段!如图!@’!图!E ’!小结!利用分析法找到证题思路#再用综合法证明#过程更为简捷!65"设$&##;&##%";#证明%?$;?$介于!与%;之间!!分析!本题实质是要比较两数的大小#且该数符号不定#可用作差法!!证明!因$&##;&##%";#则由!@%?$;?$A ;@%;?$#%;@%?$;?$A $!%@;$;!;?$$得当%&;时#!%%?$;?$%%;*当%%;时#%;%%?$;?$%!!故总有%?$;?$介于!与%;之间!!小结!通常要证某数%介于另两数;与=之间#可转化为证!=@%$!;@%$%##这种方法在;与=大小关系不完全确定时#也不必分情况讨论#较为简捷!例如本题中)因为$&##;&##%";#则有!@%?$;?!$$%;@%?$;?!$$A @$!;@%$$;!;?$$$%#所以%?$;?$必介于!与%;之间!6G "设"为正整数!证明)若"不是完全平方数#则!"是无理数!!分析!本题采用反证法#联想到互质"最大公约数以及辗转相除法的有关知识点#可得结论!!证明!用反证法!假设!"为有理数#则存在正整数<"&使!"A<&#且<与&互质!于是<$A %(%第一章!实数集与函数"&$#<$A &%!"&$#可见&能整除<$!由于<与&互质#从而它们的最大公约数为!#由辗转相除法知)存在整数3"H 使<3?&H A !#则<$3?<&H A <!因&既能整除<$3又能整除<&H #故能整除其和#于是&能整除<#这样&A !#所以"A <$!这与"不是完全平方数相矛盾!!小结!本题证明过程比较独特#先假设有理数为互质的两个数的商#利用这两个数与"之间的关系#运用辗转相除法得出结论#注意知识点之间的内在联系!F $!数集"确界原理8!"用区间表示下列不等式的解)!!$B !@$B @$-#*!!$$$?!$$4*!’$!$@%$!$@;$!$@=$&#!%#;#=为常数#且%%;%=$*!*$+./$-!$$!!解!!!$原不等式等价于下列不等式组$%!!!@$$@$-+#!或!$-!!$@!$@$-+#前一个不等式组的解为$$!$*后一个不等式组的解集为空集#所以原不等式的解集为@)#!’!$!!$$绝对值不等式$?!$$4等价于@4$$?!$$4!这又等价于不等式组$&#@4$$$$?!$4+$!或!$%#4$$$$?!$@4+$而前一个不等式组的解集为(’@!$$#’?!$$’#后者的解集为(@’@!$$#@’?!$$’!因此原不等式的解集为(@’@!$$#@’?!$$’*(’@!$$#’?!$$’!’$作函数,!$$A !$@%$!$@;$!$@=$#$#$!则由%%;%=知,!$$%##当$#!@)#%$*!;#=$A ##当$A %#;#=&##当$#!%#;$*!=#?)’()$因此,!$$&##当且仅当!!!!$#!%#;$*!=#?)$故原不等式的解集为!%#;$*!=#?)$!*$若#$$$$(#则当且仅当$#(*#’*(’(时#+./$-!$$!再由正弦函数的周期性知)+./$-!$$的解集是$7(?(*#$7(?’*(’(#其中7为整数!8$"设’为非空数集!试对下列概念给出定义)!!$’无上界*!!!!!$$’无界!%)%!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$!解!!!$设’是一非空数集!若对任意的(&##总存在$##’#使$#&(#则称数集’无上界!!$$设’是一非空数集!若对任意的(&##总存在$##’#使B $#B &(#则称数集’无界!8’"试证明由!’$式所确定的数集’有上界而无下界!!证明!由!’$式所确定的数集’A +-B -A $@$$#$#$,#对任意的$#$#-A $@$$$$#所以数集’有上界$!而对任意的(&##取$#A ’?!(#$#存在-#A $@$$#A $@’@(A@!@(#’#而-#%@(#因此数集’无下界!8*"求下列数集的上"下确界#并依定义加以验证)!!$’A +$B $$%$,*!!$$’A +$B $A &.#&#%?,*!’$’A +$B $为!##!$内的无理数,*!*$’A +$B $A !@!$&#&#%?,!!解!!!$+,-’A !$#./0’A@!$#下面依定义加以验证!因$$%$#等价于@!$%$%!$#所以对任意的$#’#有$%!$且$&@!$#即!$"@!$分别是’的上"下界!又对任意的正数##不妨设#%!$$#于是存在$#A !$@#$"$!A@!$?#$#使$#"$!#’#使$#&!$@##$!%@!$?##所以由上"下确界的定义+,-’A !$#./0’A@!$!!$$+,-’A?)#./0’A !#下面依定义验证!对任意的$#’#!$$%?)#所以!是’的下界!因为对任意的(&##令&A ((’?!#则&.&(#故’无上界#所以+,-’A?)*对任意的#&##存在$!A !.A !#’#使$!%!?##所以./0’A !!!’$+,-’A !#./0’A ##下面依定义验证!对任意的$#’#有#%$%!#所以!"#分别是’的上"下界!又对任意的#&##不妨设#%!#由无理数的稠密性#总存在无理数!#!###$#则有无理数$#A !@!#’#使$#A !@!&!@#*有无理数$!A !#’#使$!A !%#?##所以+,-’A !#./0’A #!!*$+,-’A !#./0’A !$#下面依定义验证!对任意的$#’#有!$$$%!#所以!"!$分别是’的上"下界!对任意的#&##必有正整数&##0/使!$&#%##则存在$#A !@!$&##’#使$#&!@##所以+,-’A !!又存在$!A !@!$A !$#’#使$!%!$?##所以./0’A !$!83"设’为非空有下界数集#证明)./0’A %#’9%A 9./’!!证明!:$!设./0’A %#’#则对一切$#’有$-%#而%#’#故%是数集’中最小的数#即%A 9./’!;$!设%A 9./’#则%#’*下面验证%A ./0’)!!$对一切$#’#有$-%#即%是’的下界*!"$对任何&&%#只需取$#A %#’#则$#%&!从而满足%A ./0’的定义!%*!%84"设’为非空数集#定义’@A +$B @$#’,!证明)!!$./0’@A@+,-’*!!$$+,-’@A@./0’!!证明!!!$%A ./0’@#由下确界的定义知#对任意的$#’@#有$-%#且对任意的&&%#存在$##’@#使$#%&!由’@A +$B @$#’,知#对任意的@$#’#@$$@%#且对任意的@&%@%#存在@$##’#使@$#&@&#由上确界的定义知+,-’A@%#存在@$##’#使@$#&@&#即./0’@A@+,-’!同理可证!$$成立!85"设C "D 皆为非空有界数集#定义数集C ?D A +I B I A $?-#$#C #-#D ,!证明)!!$+,-!C ?D $A +,-C ?+,-D *!!$$./0!C ?D $A ./0C ?./0D !!证明!!!$设+,-C A !!#+,-D A !$!对任意的I #C ?D #存在$#C #-#D #使I A $?-!于是$$!!#-$!$!从而I $!!?!$!对任意的#&##必存在$##C #-##D #使$#&!!@#$#-#&!$@#$#则存在I #A $#?-##C ?D #使I #&!!!?!$$@#!所以+,-!C ?D $A !!?!$A +,-C ?+,-D !同理可证!$$成立!6G"设%&##%"!#$为有理数!证明%$A+,-+%JB J 为有理数#J %$,#当%&!#./0+%JBJ 为有理数#J %$,#当%%!+!!分析!利用指数函数的单调性#把指数函数化归为对数函数讨论#并运用有理数的稠密性概念来证此题!!证明!只证%&!的情况#%%!的情况可以类似地加以证明!设C A +%J BJ 为有理数#J %$,!因为%&!#%J 严格递增#故对任意的有理数J %$#有%J%%$#即%$是C 的一个上界!对任意的"%%$#由%$&#及有理数的稠密性#不妨设"&#且为有理数!于是必存在有理数J #%$#使得"%%J #%%$!事实上#由781%$严格递增知)#%"%%$等价于781%"%781%%$A $#由有理数的稠密性#存在有理数J #使得781%"%J #%$#所以"A %781%"%%J #%%$!故%$A +,-C A +,-+%JB J 为有理数#J %$,#%&!!!小结!关于求数集的确界或证明数集确界的有关命题#主要利用确界的定义#进一步加深读者对数集上"下确界概念的理解#这对进一步学习极限理论及实数的完备性#使整个数学分析建立在坚实的基础上是十分重要的!F ’!函数概念8!"试作下列函数的图象)!!$-A $$?!*!!!!!!!$$-A !$?!$$*!’$-A !@!$?!$$*!*$-A +1/!+./$$*!3$-A ’$#B $B &!#$’#B $B %!#’#B $B A !’()!!解!利用描点作图法#各函数的图象如图!E *至图!E G !5$"试比较函数-A %$与-A 781%$分别当%A $和%A !$时的图象!%!!%图!E *!!!!!!!!!!图!E 3图!E 4!!!!!!!!!!图!E 5图!E G!分析!利用指数函数与对数函数性质#注意$在-A %$与-A 781%$的定义域上的取值范围是不同的!!解!当%A $时#-A %$是单调递增函数#当%A !$时#它是单调递减函数*当$A #时#!$!$$A $$A !#即两函数的图象都过点!##!$*当$&#时#!$!$$%!%$$#-A $$的图象在-A !$!$$的图象上方*当$%#时#!$!$$&!&$$#-A !$!$$的图象在-A $$的图象上方*对任意的$#$?#两函数值都大于##即函数的图象都在$轴上方#且-A $$的图象与-A!$!$$的图象关于-轴对称!%"!%-A 781%$是-A %$的反函数!当%A $时#是单调递增的#当%A !$时#是单调递减的*当#%$%!时#781!$$&#&781$$*当$A !时#781!$$A 781$$A #*当$&!时#781!$$%#%781$$*当$$#时#两个函数无定义#因此函数图象在-轴右方#且过点!!##$!-A 781!$$与-A 781$$的图象关于$轴对称!-A $$与-A 781$$的图象"-A!$!$$与-A 781!$$的图象皆关于直线-A $对称!如图!E H!图!E H !!!!!!!!!!!!!图!E !#8’"根据图!E !#写出定义在(##!’上的分段函数,!!$$和,$!$$的解析表达式!!解!利用直线的两点式方程或点斜式方程容易得到,!!$$A *$##$$$!$*@*$#!$%$$’()!,$!$$A !4$##$$$!*G @!4$#!*%$$!$##!$%$$’()!8*"确定下列初等函数的存在域)!!$-A +./!+./$$*!!!!!$$-A 71!71$$*!’$-A :I =+./71$!$!#*!*$-A 71:I =+./$!$!#!!解!!!$因为+./$的存在域为$#所以-A +./!+./$$的存在域为$!!$$因71$&#等价于$&!#所以-A 71!71$$的存在域是!!#?)$!!’$因为-A :I =+./3的存在域是(@!#!’#而@!$71$!#$!等价于!$$$!###所以-A :I =+./71$!$!#的存在域是(!#!##’!!*$因-A 713的存在域是!##?)$#而3A :I =+./$!#的值域为@($#((’$#由#%3$($%#!%有#%$!#$!#即#%$$!##所以-A 71:I =+./$!$!#的存在域是!##!#’!83"设函数,!$$A $?$#$$##$$#$&#+!求)!!$,!@’$#,!#$#,!!$*!!$$,!)$$@,!#$#,!@)$$@,!#$!)$&#$!!解!!!$,!@’$A $?!@’$A@!,!#$A $?#A $,!!$A $!A $!$$因为)$&##所以有,!)$$@,!#$A $)$@!$?#$A $)$@$,!@)$$@,!#$A $?!@)$$@!$?#$A@)$84"设函数,!$$A !!?$#求,!$?$$#,!$$$#,!$$$#,!,!$$$#,!,!$!$$!!解!,!$?$$A !!?!$?$$A!’?$,!$$$A !!?$$*,!$$$A !!?$$,!,!$$$A !!?!!?$A $?!$?$,!,!$!$$A !!?!,!$$A!!?!!?$$A !$?$85"试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成)!!$-A !!?$$$#*!!$$-A !:I =+./$$$$*!!’$-A 71!!?!?$!$$*!!*$-A $+./$$!!解!!!$-A 3$##3A H !?H $#H !A !#H $A $!$$-A 3$#3A :I =+./H #H A $$!’$-A 713#3A H !?H $#H !A !#H $A !’#’A H !?K #K A $$!*$-A $3#3A H $#H A +./$5G"在什么条件下#函数-A%$?;=$?L的反函数就是它本身-!分析!先把反函数求出#分别讨论原函数与反函数的定义域#再讨论参数!!解!首先;="%L #由-A %$?;=$?L #解得$A ;@L -=-@%#交换$与-得-A ;@L $=$@%!当="#时#原函数的定义域为$"@L =#反函数的定义域为$"%=!因此#要使二函数相同#必须%A@L #这时原函数为%$?;=$?L A;@L $=$@%#即为反函数!另外#当;A =A ##且%A L "#时亦满足!故当/;="%L 且%A@L 0或/;A =A #且%A L "#0时#该函数的反函数就是其本身!8H"试作函数-A :I =+./!+./$$的图象!%$!%!解!-A :I =+./!+./$$是以$(为周期的函数#其定义域为$#值域为@($#((’$的分段函数#其在一个周期区间(@(#(’上的表达式为-A (@$#($%$$($#@($$$$($@!(?$$#@($$%@(’()$其图象如图!E!!!图!E !!8!#"试问下列等式是否成立)!!$J :/!:I =J :/$$A $#$#$*!$$:I =J :/!J :/$$A $#$"7(?($#7A ##F !#F $#&!!解!!!$由J :/$与:I =J :/$的定义知#!!$式成立!!$$因为J :/$的定义域为$"7(?($#7A ##F !#F $#&#而:I =J :/$的值域仅为@($#(!$$!所以!$$式不成立!例如当$A ’*(时#:I =J :/!J :/$$A :I =J :/!@!$A@(*"$!8!!"试问-A B $B 是初等函数吗-!解!因-A B $B A $!$是由-A !3与3A $$复合而成的#所以-A B $B 是初等函数!8!$"证明关于函数-A ($’的如下不等式)!!$当$&#时#!@$%$!(’$$!*!$$当$%#时#!$$!(’$%!@$!!证!由定义知!(’$是不超过!$的最大整数#故有#$!$@!(’$%!所以!!!!!!!!!!!!$@!%!(’$$!$#%%!%!!$当$&#时#给#两端同乘以$得!@$%$!(’$$!!$$当$%#时#给#两端同乘以$得!$$!(’$%!@$ F*!具有某些特性的函数8!"证明,!$$A$$$?!是$上的有界函数!!证明!利用不等式$B$B$!?$$有#对一切$#$都有B,!$$B AB$B$$?!A!$$B$B$$?!$!$成立#故,!$$是$上的有界函数!8$"!!$叙述无界函数的定义*!$$证明,!$$A!$$为!##!$上的无界函数*!’$举出函数,的例子#使,!$$为闭区间(##!’上的无界函数!!解!!!$设,!$$为定义在.上的函数#若对任意的正数(#都存在$##.#使B,!$#$B&(#则称函数,!$$为.上的无界函数!!$$证明)对任意的正数(#存在$#A!(?!!#!##!$#使B,!$#$B A!$$#A(?!&(#所以,!$$A!$$是!##!$上的无界函数!!’$设,!$$A!$$#$#!##!’!#$A’()#!由!$$的证明知,!$$为(##!’上的无界函数!8’"证明下列函数在指定区间上的单调性) !!$-A’$@!在!@)#?)$上严格递增*!$$-A+./$在@($#((’$上严格递增*!’$-A=8+$在(##(’上严格递减!!分析!!$$"!’$两小题都是三角函数#要牢记三角函数的半角"倍角公式!后面讨论周期性以及傅里叶级数时都会用到!!证明!!!$任取$!"$$#!@)#?)$#$!%$$#则有,!$!$@,!$$$A’!$!@!$@!’$$@!$A’!$!@$$$%#可见,!$!$%,!$$$#所以,!$$A’$@!在!@)#?)$上严格递增!!$$任取$!#$$#@($#((’$#$!%$$#则有@($%$!?$$$%($#!@($$$!@$$$%#因此=8+$!?$$$&##!+./$!@$$$%#%& !%从而,!$!$@,!$$$A +./$!@+./$$A $=8+$!?$$$+./$!@$$$%##,!$!$%,!$$$!所以,!$$A +./$在@($#((’$上严格递增!!’$任取$!#$$#(##(’#$!%$$#则有#%$!?$$$%(#!@($$$!@$$$%##从而有+./$!?$$$&##+./$!@$$$%##故,!$!$@,!$$$A =8+$!@=8+$$A@$+./$!?$$$+./$!@$$$&##从而,!$!$&,!$$$#所以,!$$在(##(’上严格递减!8*"判别下列函数的奇偶性)!!$,!$$A !$$*?$$@!*!!!$$,!$$A $?+./$*!’$,!$$A $$K @$$*!*$,!$$A 71!$?!?$!$$!!解!!!$因为,!@$$A !$!@$$*?!@$$$@!A !$$*?$$@!A ,!$$#故,!$$A !$$*?$$@!是偶函数!!$$对任意的$#!@)#?)$有#,!@$$A !@$$?+./!@$$A@$@+./$A@!$?+./$$A@,!$$#故,!$$A $?+./$为!@)#?)$上的奇函数!!’$,!$$A $$K @$$在!@)#?)$上有定义#对任意的$#!@)#?)$有#,!@$$A !@$$$K @!@$$$A $$K @$$A ,!$$#故,!$$为!@)#?)$上的偶函数!!*$,!$$A 71!$?!?$!$$在!@)#?)$上有定义#对每一个$#!@)#?)$有#,!@$$A 71!@$?!?!@$$!$$A 71!@$?!?$!$$A@71!$?!?$!$$A@,!$$#所以,!$$A 71!$?!?$!$$为!@)#?)$上的奇函数!53"求下列函数的周期)!!$=8+$$*!!$$J :/’$*!!’$=8+$$?$+./$’!!分析!求三角函数周期时#应先转化为一次函数#再求周期#如!!$!如果有两个或两个以上的函数#分别求出它们各自的周期#再求最小公倍数#如!’$!!解!!!$,!$$A =8+$$A !$!!?=8+$$$#而!?=8+$$的周期是(#所以,!$$A =8+$$的周期是(!!$$因为J :/$的周期是(#所以,!$$A J :/’$的周期是(’!!’$因+./$"=8+$的周期是$(#所以=8+$$的周期是*(#+./$’的周期是4(#故,!$$A =8+$$?$+./$’的周期是!$(!84"设函数,!$$定义在(@%#%’上#证明)!!$M !$$A ,!$$?,!@$$#$#(@%#%’为偶函数*!$$8!$$A ,!$$@,!@$$#$#(@%#%’为奇函数*%’!%!’$,可表示为某个奇函数与某个偶函数之和!!证明!!!$因(@%#%’关于原点对称#M !$$在(@%#%’上有定义#对每一个$#(@%#%’有M !@$$A ,!@$$?,!$$A ,!$$?,!@$$A M !$$!故M !$$为(@%#%’上的偶函数!!$$因(@%#%’关于原点对称#8!$$在(@%#%’上有定义#对每一个$#(@%#%’有8!@$$A ,!@$$A@,!$$A@(,!$$@,!@$$’A@8!$$!故8!$$为(@%#%’上的奇函数!!’$由!!$"!$$得M !$$?8!$$A $,!$$#从而有,!$$A M !$$?8!$$$A !$M !$$?!$8!$$#而!$M !$$是偶函数#!$8!$$是奇函数!从而,!$$可表示为一个奇函数!$8!$$与一个偶函数!$M !$$之和!85"设,"1为定义在.上的有界函数#满足,!$$$1!$$#$#.!证明)!!$+,-$#.,!$$$+,-$#.1!$$*!!$$./0$#.,!$$$./0$#.1!$$!!证明!!!$记!A +,-$#.1!$$#则对任意的$#.有#1!$$$!#又因,!$$$1!$$#所以,!$$$1!$$$!!因此!是,!$$的上界#而+,-$#.,!$$是,!$$的最小上界#故+,-$#.,!$$$!A +,-$#.1!$$!!$$同理可证!8G"设,为定义在.上的有界函数#证明)!!$+,-$#.+@,!$$,A@./0$#.,!$$*!!$$./0$#.+@,!$$,A@+,-$#.,!$$!!证明!!!$记./0$#.,!$$A %!由下确界的定义知#对任意的$#.#,!$$-%#即@,!$$$@%#可见@%是@,!$$的一个上界*对任意的#&##存在$##.#使,!$#$&%?##即@,!$#$%@%@##可见@%是@,!$$的上界中最小者!所以+,-$#.+@,!$$,A@%A@./0$#.,!$$!!$$同理可证结论成立!也可直接用!!$的结论来证!事实上#在!!$中换,!$$为@,!$$得#+,-$#.,!$$A +,-$#.+@!,!$$$,A@./0$#.+@,!$$,#两边同乘以@!得./0$#.+@,!$$,A@+,-$#.,!$$6H"证明)J :/$在@($#(!$$上无界!而在@($#(!$$内任一闭区间(%#;’上有界!!分析!要证J :/$在!@($#($$上无界#只需在$##!@($#($$取一点#使J :/$#&(即可!证在!@($#($$上#存在区间(%#;’使J :/$有界#只需证J :/$$(##且有J :/%%J :/$%J :/;!!证明!对任意的(&##取$#A :I =J :/!(&!$#(($#(!$$#有+J :/$#+%+J :/!:I =J :/!L&!$$+%L&!&L #所以,!$$%J :/$在(($#(!$$内是无界函数!但任取(%#;’.@($#(!$$#由于J:/$在(%#;’上严格递增#从而当$#(%#;’时#J :/%%(!%$J:/$$J :/;#记(A 9:;+B J :/%B #B J :/;B ,#则对一切$#(%#;’有B J :/$B $(#所以J :/$是(%#;’上的有界函数!!小结!证明函数的有界性#往往要利用函数的单调性#同时往往利用放缩法#这是极限理论的基础#也是今后学习分析学的基础!6!#"讨论狄利克雷函数.!$$A !#当$为有理数###当$’()为无理数的有界性"单调性与周期性!!分析!狄利克雷函数由定义可证得有界性#单调性也比较明显#对周期性分有理数与无理数讨论!!解!由.!$$的定义知#对任意的$#$#有B .!$$B $!#所以.!$$是$上的有界函数!由于对任意的有理数$!与无理数$$#无论$!%$$还是$$%$!#都有.!$!$&.!$$$!所以.!$$在$上不具有单调性!对任意的有理数J 有$?J A 有理数#当$为有理数时无理数#当$’()为无理数时于是对任一$#$#有.!$?J $A !#当$为有理数时##当$’()为无理数时A .!$$所以#任意有理数J 都是.!$$的周期!但任何无理数都不是.!$$的周期!事实上#对任一无理数"#对无理数@"#.!@"$A ##而.!"?!@"$$A .!#$A !".!@"$!!小结!狄利克雷函数与黎曼函数是一类特殊函数#在以后的连续性以及极限理论中具有重要地位#要特别注意!8!!"证明),!$$A $?+./$在$上严格增!!证明!任取$!"$$#!@)#?)$#$!%$$#则,!$$$@,!$!$A !$$@$!$?!+./$$@+./$!$A !$$@$!$?$=8+$!?$$$+./$$@$!$-!$$@$!$@$=8+$!?$$$%+./$$@$!$&!$$@$!$@$%$$@$!$A #D +./$$@$!$%B $$@$!B !$$即,!$!$%,!$$$#所以,!$$A $?+./$在!@)#?)$上严格增!6!$"设定义在(%#?)$上的函数,在任何闭区间(%#;’上有界!定义(%#?)$上的函数)<!$$A ./0%$-$$,!-$#(!$$A +,-%$-$$,!-$!试讨论<!$$与(!$$的图象#其中!!$,!$$A =8+$#$#(##?)$*!!$$,!$$A $$#$#(@!#?)$!%)!%!分析!在讨论上述两个函数时#首先应分割区间#在区间内讨论其单调性然后再讨论有界性!!解!!!$由<!$$及(!$$的定义知#对%%$#当,!-$在(%#$’上为递增函数时#<!$$A ,!%$#(!$$A ,!$$!当,!-$在(%#$’上为减函数时#<!$$A ,!$$#(!$$A ,!%$!由此可知)对,!$$A =8+$#当#$$$(时#<!$$A =8+$#(!$$A !!而$#((#?)$时#由于@!$=8+$$!#所以#<!$$A@!#(!$$A !#即有<!$$A =8+$##$$$(@!#($$%?)+!!(!$$<!#$#(##?)$其图象见图!E !$!图!E !$!!!!!!!!!!图!E!’!$$同上理#当$#(@!##’时#(!$$A !#<!$$A $$*当$#!##?)$时#<!$$<#*当$#(@!#!’时#(!$$<!*当$#!!#?)$时#(!$$A $$!即有<!$$A $$#$#(@!##’##当$#!##?)+’(!$$A!#$#(@!#!’时$$#当$#!!#?)$+时其图象见图!E !’!!小结!确界理论是学习数学分析的基础#对后面学习连续"微分"积分等都具有重要作用!总练习题8!"设%#;#$#证明)!!$9:;+%#;,A !$!%?;?B%@;B $*!$$9./+%#;,A !$!%?;@B%@;B $!!证明!因为!$!%?;?B %@;B $A%#当%-;时;#当%%;+时!$!%?;@B%@;B $A %#当%%;时;#当%-;+时所以!9:;+%#;,A !$!%?;?B%@;B $9./+%#;,A !$!%?;@B %@;B $%*"%第一章!实数集与函数8$"设,和1都是.上的初等函数!定义(!$$A 9:;+,!$$#1!$$,#<!$$A 9./+,!$$#1!$$,#$#.!试问(!$$和<!$$是否为初等函数-!解!由习题!得(!$$A!$(,!$$?1!$$?B ,!$$@1!$$B ’A!$(,!$$?1!$$?(,!$$@1!$$’!$’<!$$A !$(,!$$?1!$$@B ,!$$@1!$$B ’A!$(,!$$?1!$$@(,!$$@1!$$’!$’所以#(!$$与<!$$都是由.上的初等函数,!$$"1!$$经四则运算和有限次复合而成的函数!所以#(!$$和<!$$都是初等函数!8’"设函数,!$$A !@$!?$#求),!@$$#,!$?!$#,!$$?!#,!!$$#!,!$$#,!$$$#,!,!$$$!!解!,!@$$A !?$!@$*!,!$?!$A @$$?$*!,!$$?!A !@$!?$?!A $!?$*,!!$$A !@!$!?!$A $@!$?!*!!,!$$A !?$!@$*!,!$$$A !@$$!?$$*,!,!$$$A !@!@$!?$!?!@$!?$A $$$A $5*"已知,!!$$A $?!?$!$#求,!$$!!分析!本题采用倒代换的方法#即!$A K #但是根号中移出的数要加绝对值!!解!令!$A K #则$A !K !所以,!K $A !K?!?!!$K!$A!K ?!?K !$B K B#故,!$$A !$?!?$!$B $B #故,!$$A !$?!?$!$B $B!83"利用函数-A ($’求解)!!$某系各班级推选学生代表#每3人推选!名代表#余额满’人可增选!名!写出可推选代表数-与班级学生数$之间的函数关系!假设每班学生数为’#)3#人$*!$$正数$经四舍五入后得整数-#写出-与$之间的函数关系!!解!!!$因余额满’人可补选一名#即就是可在原来基础上增加$人后取整#于是-A $?$(’3!!$A ’##’!#&#3#$!$$由($’的定义知!-A ($?#"3’#$&#%!"%!!数学分析同步辅导及习题全解#上册$54"已知函数-A ,!$$的图象#试作下列各函数的图象)!!$-A@,!$$*!!$$-A ,!@$$*!!’$-A@,!@$$*!*$-A B ,!$$B *!!3$-A +1/,!$$*!4$-A !$(B ,!$$B ?,!$$’*!!5$-A!$(B ,!$$B @,!$$’!!分析!作函数图象找出函数关于原函数的对称点"对称中心!有绝对值号的要分类讨论!!解!!!$-A@,!$$和-A ,!$$的图象关于$轴对称!!$$-A ,!@$$的图象与-A ,!$$的图象关于-轴对称!!’$-A@,!@$$的图象与-A ,!$$的图象关于原点对称!!*$-A B ,!$$B A ,!$$#!!$#.!A +$B ,!$$-#,@,!$$#$#.$A +$B ,!$$%#’(),!3$-A +1/,!$$A !#!!!$#.!A +$B ,!$$&#,##$#.$A +$B ,!$$A #,@!#$#.’A +$B ,!$$%#’(),!4$-A !$(B ,!$$B ?,!$$’A ,!$$#$#.!A +$B ,!$$-#,##$#.$A +$B ,!$$%#’(),!5$-A !$(B ,!$$B @,!$$’A ##$#.!A +$B ,!$$-#,@,!$$#$#.$A +$B ,!$$%#’(),其图象如图!E !*至图!E!5!图!E !*!!!!!!!!!!!图!E!3图!E !4!!!!!!!!!!!图!E !555"已知函数,和1的图象#试作下列函数的图象)!!$*!$$A 9:;+,!$$#1!$$,*!!$$+!$$A 9./+,!$$#1!$$,!%""%第一章!实数集与函数!分析!将9:;+,#1,与9./+,#1,转化为分段函数再讨论!!解!!!$*!$$A 9:;+,!$$#1!$$,A ,!$$#$#.!A +$B ,!$$-1!$$,1!$$#$#.$A +$B ,!$$%1!$+$,!$$+!$$A 9./+,!$$#1!$$,A 1!$$#$#.!A +$B ,!$$-1!$$,,!$$#$#.$A +$B ,!$$%1!$+$,其图象如图!E !G 和图!E !H !!!!图!E !G !!!!!!!!!!!图!E !H 5G "设,"1和N 为增函数#满足,!$$$1!$$$N !$$#$#$!证明),!,!$$$$1!1!$$$$N !N !$$$!!分析!本题己经给出了,"1"N 为增函数#把1!$$与N !$$看成中间变量!利用复合函数及其单调性质#可证得结论!!证明!因对任意的$#$#有,!$$$1!$$$N !$$#且,!$$"1!$$和N !$$均为增函数#所以#有,!,!$$$$,!1!$$$$1!1!$$$$1!N !$$$$N !N !$$$即,!,!$$$$1!1!$$$$N !N !$$$8H"设,和1为区间!%#;$上的增函数#证明第5题中定义的函数*!$$和+!$$也都是!%#;$上的增函数!!证明!对任意的$!"$$#!%#;$#$!%$$#由,!$$"1!$$在!%#;$上递增知,!$$$-,!$!$#1!$$$-1!$!$#因此*!$$$-,!$$$-,!$!$#*!$$$-1!$$$-1!$!$#所以*!$$$-9:;+,!$!$#1!$!$,A *!$!$#故*!$$在!%#;$上是增函数!同理可证+!$$是!%#;$上的增函数!8!#"设,为(@%#%’上的奇!偶$函数!证明)若,在(##%’上增#则,在(@%##’上增!减$!!证明!任取$!"$$#(@%##’#$!%$$#有@$!"@$$#(##%’且@$!&@$$!由,!$$为(@%#%’上的奇函数及在(##%’上递增得#,!$!$A@,!@$!$%@,!@$$$A ,!$$$!所以,!$$在(@%##’上是递增的!同理可证,!$$为偶函数时的相应结论成立!8!!"证明)!!$两个奇函数之和为奇函数#其积为偶函数*!$$两个偶函数之和与积之都为偶函数*!’$奇函数与偶函数之积为奇函数!!分析!对于!!$来说#./0$#.,!$$$,!$$#然后利用,!$$?1!$$@1!$$A ,!$$以及@./0$#.+@,!$$,A +,-$#.+,!$$,证得结论!%#"%。

习 题 二十、二十二1．计算下列第一型曲线积分．(1) ，其中L 是的上半圆周． ()x y ds L +∫x y R 22+=2 (2) x y d L 22+∫s 2，其中L 是的右半圆周． x y R 22+= (3) e d x y L 22+∫s 2，其中L 是圆，直线x y a 22+=y x =以及x 轴在第一象限中所围成图形的边界． (4) xyds L ∫，其中L 是由所构成的矩形回路．x y x y ====004，，，2(5) ，其中： xds L∫ (a) L 是上从原点O 到点y x =2(,)00B (,)11间的一段弧．(b) L 是折线OAB 组成，A 的坐标为(,，B 的坐标为．)10(,)11(6)，其中∫L ds y 2L 为曲线)cos 1()sin (t a y t t a x −=−=，,其中,0>a π20≤≤t .(7) ，其中L 是螺旋线弧段(x y z d L 222++∫)s cos sin ，，x a t y a t z bt ===）（π20,0≤≤>t a ．(8) ,其中∫L yzds x 2L 为折线,这里依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)ABCD D C B A ,,,2．计算下列第二型曲线积分．(1),其中∫−L ds y x )(22L 为在抛物线上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧.2x y =(2) ，其中L 为xdy ydx L −∫① 沿直线从点(,到点(,；)00)12② 沿抛物线x y =24从点到点； (,)00(,)12③ 沿折线从点(,经点(,到点(,．)00)02)12(3) xydx L ∫，其中L 是由所构成的沿逆时针方向的矩形回路．x y x y ====004，，，2(4) x dy y dxx y L 225353−+∫，其中L 是沿星形线在第一象限中从点(,x R t y R t ==cos sin 33，)R 0到(,)0R 的弧段（R >0）．(5) ，其中L 是从点到xdx ydy zdz L ++∫A (,,)111B (,,)234的直线段． (6) ,其中L 为曲线∫−+Lydz zdy dx x 2θθκθsin cos ,a z a y x ===，上对应θ从0到π的一段弧.3．设质点受力F 作用，力的方向指向原点，大小等于质点到原点的距离．(1) 计算当质点沿椭圆在第一象限中的弧段从(,到(,时，F 所作的功；x a t y b t ==cos sin ，)a 0)0b (2) 计算当质点沿椭圆逆时针方向运动一圈时，力F 所作的功．4．利用格林公式计算下列积分．(1) ()()x y dx x y dy L +++∫222，L 是沿逆时针方向，以为顶点的三角形． A B C (,)(,)(,)113125，， (2)()()x y dx x y dy L ++−∫，L 是方程x y +=1所围成的顺时针方向的闭路．(3) []e ydx y y x L (cos (sin )1−−−∫dy x ，L 是沿y =sin 上从点(,)π0到点的一段弧．(,)00(4) dy ye x x dx e y x xy x y x x x L )2sin ()sin 2cos (222−+−+∫,其中L 为正向星形线)0(323232>=+a a yx . (5) dy y x x y dx x y xy x L )3sin 21()cos 2(223+−+−∫,其中L 为在抛物线上由点(0,0)到22y x π=)1,2(π的一段弧. (6) ,其中dy y x dx y x L ∫+−−)sin ()(22L 为在圆周22x x y −=上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧.5．验证下列曲线积分与路径无关，并求它们的值．(1) ，L 是从点经圆周上半部到点的弧段．()()12222++−∫xe dx x e y dy y y L O (,)00+−2)2(x 42=y A (,)40 (2)，L 是从点到点的任意弧段． e ydx ydy x L (cos sin )−∫(,)00(,)a b (3) ydx xdy x −∫22112(,)(,)沿右半平面的任意路线．(4) ，L 是从点经抛物线到点的弧段．()(x y xdx ydy L22++∫)(,)00y x =2(,)11 (5) ∫++L y x xcdxydy 322)(，L 是从点到点的不经过原点的弧段．(,)11(,)22 6．求椭圆所围图形的面积．x a t y b t ==cos sin ， 7．求下列微分方程的通解．(1) ．()()x xy y dx x xy y dy 222222+−+−−=0 (2) [][]e e x y y dx e e x y dy x y x y ()()−+++−+=1100=．(3) ．()()x xy dx x y y dy 43224465++− 8．下列各式是否为某函数的全微分，若是，求出原函数．(1) ; (2)x dx y dy 22+xdx ydy x y ++22. 9．求下列第一型曲面积分．(1)，其中S 是球面:． zds S ∫∫x y z R 222++=2 (2)(243x y z d S ++∫∫)s ，其中S 是平面x y z 2341++=在第一卦限的部分． (3) ，其中S 是锥面(xy z d S 222++∫∫)s z x y =+22）介于之间的部分．z z ==01、 (4) ，其中S 是由曲面和平面所围立体的表面．∫∫+Sds y x )(22x y z 2220+−=z h h =>（0(5) ，其中S 是锥面(xy yz zx dsS ++∫∫)z x y =+22x 被柱面所截得的部分．x y a 222+=(6) ∫∫SxyzdS ,其中S 是由平面0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的四面体的整个边界曲面.(7) ,其中S 为锥面∫∫++S ds zx yz xy )(z x y =+22x ）0被柱面所截得的有限限部分.x y a 222+= 10．计算下列第二型曲面积分．(1) ， 其中S 是三个坐标平面与平面所围成的正方体的表面的外侧．()()()x yz dydz y zx dzdx z xy dxdy S222−+−+−∫∫x a y a z a a ===>，，（0(2) ，其中S 是由平面 xydydz yzdzdx xzdxdy S++∫∫x y z ===00，，与平面x y z ++=1所围成的四面体表面的外侧．(3)，其中S 是上半球面yzdzdx S ∫∫z a x y =−−222的下侧． (4) e x y dxdy z S 22+∫∫，其中S 是锥面z x y =+22与平面所围成立体边界曲面的外侧．z z ==12， 11．利用奥－高公式计算下列第二型曲面积分． (1) x dydz y dzdx z dxdy S333++∫∫，其中S 是球面：的外侧．x y z a a 22220++=>（） (2) xdydz y dzdx z dxdy S 222++∫∫，其中S 是锥面与平面所围成的立体表面的外侧．x y z 22+=2)z h =(h >0 (3) ()()x y dxdy x y z dydz S−+−∫∫，其中S 为柱面及平面所围立体的表面外侧．x y 221+=z z ==0，1(4) ，其中S 为三个坐标平()()()x y z dxdy y z z dzdx S+++++−∫∫23212面与平面x y z ++=1所围成的四面体的外侧．（5）∫∫++S yzdxdy dzdx yxzdydz 24，其中为平面S 0,0,0===z y x ，所围成的立方体的表面外侧.1,1,1===z y x 12．利用斯托克斯公式计算下列第二型曲线积分． (1) x y dx dy dz L 23++∫，其中L 为坐标平面上圆周，并取逆时针方向． Oxy x y a 22+=2 (2) ()()()y z dx x z dy x y d L 222222+++++∫z ，其中L 是x y z ++=1与三个坐标平面的交线． (3) x yzdx x y dy x y d L 2221+++++∫()(z )，其中L 为曲面与曲面的交线，且从面对z 轴正向看去取顺时针方向．x y z 2225++=z x y =++221 13．验证下列的空间曲线积分与路径无关，并求它们的值．(1) ． 22000xe dx z x e dy y zdz y y x y z −−+−−∫(cos )sin (,,)(,,) (2) ． xdx y dy z dz +−∫23111234(,,,)(,,) 14．求下列各式的原函数．(1) yzdx xzdy xydz ++．(2) ． ()()(x yz dx y xz dy z xy dz 222222−+−+−)15.计算,其中为圆周 ∫L ds x 2S ⎩⎨⎧=++>=++.0),0(2222z y x a a z y x 16. 若dy cx Y dy ax X +=+=,，且L 为包围坐标原点的简单的封闭曲线，计算∫+−=L YX YdX XdY I 2221π. 17.证明:若L 为封闭的曲线且l 为任意的方向,有∫=Lds l 0),cos(. 18．若半径为的球面上每点的密度等于该点到球的某一直径上距离的平方，求球面的质量．a 19．为了使线积分()F x y ydx xdy L (,)+∫与积分路径无关，可微函数F x y (,)应满足怎样的条件？20．设磁场强度为E x y z (,,)，求从球内出发通过上半球面的磁通量．x y z a z 22220++=≥，。

第三章第三章函数极限 一、填空题一、填空题 1．若[]2)(1ln lim20=+®x x f x ，则=®20)(lim xx f x _________ 2．=--+-®xxe e x x x x x 340sin 21sin lim _______________ 3．设xx x x f ÷øöçèæ+-=11)(，则=+¥®)1(lim x f x ____________ 4．已知ïîïíì>-=<+=2,12,02,1)(x x x x x x f ，1)(+=xe x g ，[]=®)(lim 0x gf x ________ 5．()x x x x ln cos arctan lim -+¥®=_________________ 6．[]=®x x x tan)sin(sin sin lim0_____________7．________24tan lim =÷øöçèæ+¥®n n x p8．________ln 1ln ln lim 20=÷øöçèæ+®x x x x9．)1ln(lim 2cos 0x x e e x x x x +-®=__________ 10．=×+-¥®x xx x x cos 1sin 21lim 22_________ 11．=÷øöçèæ-®x x xx tan 11lim 2_________ 12．310)(1lim e x x f x xx =úûùêëé++®，则úûùêëé+®20)(1lim x xf x =_______13．()=+++®)1ln(cos 11cos sin 3lim 20x x xx x x ___________二、选择填空二、选择填空1．=-®tt t cos 1lim( ) A.0 B.1C.2D.不存在不存在 2．函数x x x f 1cos 1)(=，在0=x 点的任何邻域内都是() A.有界的有界的 B.无界的无界的 C.单增单增 D.单减单减 3．已知()25lim 2=++-+¥®cyx ax x ，则必有() A.20,25-==b a B. 25==b a C.0,25=-=b aD.2,1==b a 4．设nn n x n x f ÷øöçèæ-+=+¥®2lim )1(，则=)(x f ( ) A.1-x eB.2+x eC.1+x eD.xe -5．若22lim222=--++®x x b ax x x ，则必有() A.8,2==b a B.5,2==b a C. 8,0-==b aD. 8,2-==b a 6．0)(6sin lim30=+®x x xf x x ，则=+®20)(6lim xx f x ( ) A. 0 B.6 C.36D.¥ 7．设对任意x 点有)()()(x g x p x ££j ，且[]0)()(lim =-¥®x x g x j ，则=¥®)(lim x f x () A.存在且一定为0B.存在且一定不为0C.一定不存在一定不存在D.不一定存在不一定存在 8．当0®x 时，变量x x 1sin12是( ) A.无穷小无穷小 B.无穷大无穷大C.有界，但不是无穷小有界，但不是无穷小D.无界的，但不是无穷大无界的，但不是无穷大9．=-+÷øöçèæ+¥®p 21sin 1])1(1[lim n nn n() A.peB.p 1eC.1D.p 2e 10.=--®xx x xx x tan )(arctan 1lim 220()A.0B.1C.21D.21-11.x x x g dt t x f xsin )(,tan )(sin 02-==ò,则当0®x 时，)(x f 是)(x g 的() A.高阶无穷小高阶无穷小 B.低阶无穷小低阶无穷小 C.同阶非等价无穷小同阶非等价无穷小 D.等价无穷小等价无穷小三、计算题三、计算题1.求下列极限：求下列极限：(1))x x cos x (sin 2lim 22x --p ®； (2)1x x 21x lim 220x ---®； (3)1x x 21x lim 221x ---®； (4)3230x x2x )x 31()1x (lim +-+-®；(5)1x 1x lim m n 1x --®，(n ，m 为自然数)；(6)2x 3x 21lim 4x --+®;(7))0a (,xa x a lim 20x >-+®；(8)x x cos x lim x -¥®； (9)4x xsin x lim 2x -¥® ；(10).)1x 5()5x 8()6x 3(lim 902070x --+¥® 2．设,0a ,b x b x b x b a x a x a x a )x (f 0n1n 1n 1n 0m 1m 1m 1m 0¹++++++++=---- 0b 0¹，m ≤n ，试求).x (f lim x ¥® 3．求下列极限(其中n 为自然数)：(1)2x x 11x xlim +®；(2)20x x 11x x lim ++®； (3)1x nx x x lim n 21x --+++® ；(4)x1x 1lim nx -+®;(5)úûùêëé®x 1lim 0x ;(6)[]x x1lim x +¥®. 4．求下列函数在0x =处的左右极限或极限。

数学分析课本（华师大三版）-习题及答案01第一章实数集与函数习题§1实数1、设a 为有理数，x 为无理数。

证明：（1）a+ x 是无理数；（2）当a ≠0时，ax 是无理数。

2、试在数轴上表示出下列不等式的解：（1）x （2x -1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3）1-x -12-x ≥23-x 。

3、设a 、b ∈R 。

证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a = b 。

4、设x ≠0，证明|x+x1|≥2，并说明其中等号何时成立。

5、证明：对任何x ∈R 有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。

6、设a 、b 、c ∈+R （+R 表示全体正实数的集合）。

证明|22b a +-22c a +|≤|b-c|。

你能说明此不等式的几何意义吗7、设x>0，b>0，a ≠b 。

证明x b x a ++介于1与ba 之间。

8、设p 为正整数。

证明：若p 不是完全平方数，则p 是无理数。

9、设a 、b 为给定实数。

试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解：（1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b ；（3）|2x -a|§2数集、确界原理1、用区间表示下列不等式的解：（1）|1-x|-x ≥0；（2）| x+x1|≤6；（3）（x-a ）（x-b ）（x-c ）>0（a ，b ，c 为常数，且a<b<=""></b（4）sinx ≥22。

2、设S 为非空数集。

试对下列概念给出定义：（1）S 无上界；（2）S 无界。

3、试证明由（3）式所确定的数集S 有上界而无下界。

4、求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）S={x|2x <2}；（2）S={x|x=n ！，n ∈+N }；（3）S={x|x 为（0，1）内的无理数}；（4）S={x|x=1-n 21，n ∈+N }。

152P.182 习题1．验证下列等式 （1）C x f dx x f +='⎰)()( （2）⎰+=C x f x df )()(证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以⎰+='C x f dx x f )()(.（2）因为C u du +=⎰, 所以⎰+=C x f x df )()(.2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点)5,2(.解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='=⎰⎰22)()(.于是知曲线为C x y +=2, 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以有 C +=225, 解得1=C , 从而所求曲线为12+=x y3．验证x x y sgn 22=是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0<x 时, 22x y -=, x y -='; 当0=x 时, y的导数为02sgn lim 0sgn )2(lim020==-→→x x x x x x x , 所以⎪⎩⎪⎨⎧=<-=>='||0000x x xx x xy 4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数？解 由P.122推论3的证明过程可知：在区间I 上的导函数f '，它在I 上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，也就是说导函数不可能出现第一类间断点。

因此每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数。

5．求下列不定积分⑴C x x x x dx x dx x xdx dx dx x x x +-+-=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰-31423233233421)11(153⑵C x x x dx x x x dx xx ++-=+-=-⎰⎰||ln 343)12()1(2332122⑶C gxC x gdx x ggxdx +=+⋅==⎰⎰-22212122121 ⑷⎰⎰⎰+⋅+=+⋅+=+dx dx dx x x x x x x x x)9624()3)32(22()32(222C x x x ++⋅+=9ln 96ln 624ln 4 ⑸C x dx x dx x +=-=-⎰⎰arcsin 23112344322⑹ C x dx x dx x x dx x x +-=+-=+-+=+⎰⎰⎰)arctan 1(31)111(31)1(311)1(322222 ⑺ C x x dx x xdx +-=-=⎰⎰tan )1(sec tan 22 ⑻C x x dx x dx x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰)2sin 21(21)2cos 1(2122cos 1sin 2 ⑼ C x x dx x x dx xx x x dx x x x +-=+=--=-⎰⎰⎰cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22 ⑽C x x dx x x dx x x x x dx x x x +--=-=⋅-=⋅⎰⎰⎰tan cot )cos 1sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222 ⑾ C C dt dt tt ttt+=+⋅⋅=⋅=⋅⎰⎰90ln 90)910ln()910()910(3102 ⑿C x dx x dx x x x +==⎰⎰81587158⒀C x dx xdx x x x x dx x x x x +=-=--+-+=+-+-+⎰⎰⎰arcsin 212)1111()1111(222154⒁C x x xdx dx dx x dx x x +-=+=+=+⎰⎰⎰⎰2cos 212sin 1)2sin 1()sin (cos 2⒂C x x dx x x xdx x ++=+=⎰⎰)sin 3sin 31(21)cos 3(cos 212cos cos ⒃ C e e e e dx e e e e dx e e x xx x x x x x x x ++--=-+-=------⎰⎰33333313331)33()(P.188 习题1．应用换元积分法求下列不定积分：⑴C x x d x dx x ++=++=+⎰⎰)43sin(31)43()43cos(31)43cos( ⑵ C e x d e dx xe x x x +==⎰⎰222222241)2(41⑶ C x x x d x dx ++=++=+⎰⎰|12|ln 2112)12(2112⑷ C x n x d x dx x n nn +++=++=++⎰⎰1)1(11)1()1()1(⑸Cx x xd xdx x dx xx++=-+-=-+-⎰⎰⎰3arcsin 313arcsin 3)3113131)31131(2222⑹C C x d dx x x x x +=+=+=++++⎰⎰2ln 22ln 22)32(221222323232⑺C x C x x d x dx x +--=+-⋅-=---=-⎰⎰232321)38(92)38(3231)38()38(3138 ⑻C x C x x d x x dx+--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)57(103)57(2351)57()57(5157 ⑼C x dx x dx x x +-==⎰⎰2222cos 21sin 21sin ⑽ C x x x d x dx++-=++=+⎰⎰)42cot(21)42(sin )42(21)42(sin 22ππππ155⑾ 解法一：C xxx d x dxx dx+===+⎰⎰⎰2tan2cos 22cos 2cos 122解法二： ⎰⎰⎰⎰-=--=+xxdxx dx x dx x x dx 222sin cos sin cos 1)cos 1(cos 1 C x x xx d x ++-=--=⎰sin 1cot sin sin cot 2⑿解法一：利用上一题的结果，有C x C x x x d x dx +--=+--=-+--=+⎰⎰)24tan()2(21tan )2cos(1)2(sin 1πππ 解法二： C x x xx d x dx x dx x x dx +-=+=--=+⎰⎰⎰⎰cos 1tan cos cos cos sin 1)sin 1(sin 1222 解法三：⎰⎰⎰+⋅=+=+222)12(tan 2cos )2cos 2(sin sin 1x x dxx x dx x dx C x x x d ++-=+=⎰12tan 2)12(tan 2tan 22⒀ 解法一：⎰⎰⎰---=-=)2()2sec()2sec(csc x d x dx x xdx πππC x x C x x ++-=+-+--=|cot csc |ln |)2tan()2sec(|ln ππ解法二：C x x x x d dx x x dx x xdx ++-=-===⎰⎰⎰⎰1cos 1cos ln 211cos cos sin sin sin 1csc 22C x x +-=|cot csc |ln解法三：⎰⎰++=dx x x x x x xdx cot csc )cot (csc csc cscC x x C xx x x d ++-=+++-=⎰|cot csc |ln cot csc )cot (csc解法四：⎰⎰⎰==dx x x xdx x x xdx 2cos2sin 22sin2cos 2sin 21csc 2156C xC x x d x +=+-=-=⎰|2tan |ln |2cot |ln 2cot 2cot 1⒁C x x d x dx x x +--=---=-⎰⎰22221)1(11211 ⒂ C x dx x dx x x +=+=+⎰⎰2arctan 41)(4121422224⒃C x x x d x x dx +==⎰⎰|ln |ln ln ln ln⒄ C x x d x dx x x +-=---=-⎰⎰25535354)1(1101)1()1(151)1( ⒅ C x x C x x dx x dx x x ++-=++-⋅=-=-⎰⎰|22|ln 281|22|ln 221412)(1412444442483⒆C xx C x x dx x x x x dx ++=++-=+-=+⎰⎰|1|ln |1|ln ||ln )111()1( ⒇C x dx xxxdx +==⎰⎰|sin |ln sin cos cot (21)⎰⎰⎰-==x d x xdx x xdx sin )sin 1(cos cos cos 2245 C x x x x d x x ++-=+-=⎰5342sin 51sin 32sin sin )sin sin 21((22) 解法一：C x x x x d x x dx +-==⎰⎰|2cot 2csc |ln 2sin )2(cos sin解法二：C x x xd x x xdx x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan cos sin cos cos sin 2 解法三：⎰⎰+=xx dxx x x x dx cos sin )cos (sin cos sin 22C x x dx xxx x +-=+=⎰|cos |ln |sin |ln )sin cos cos sin (157(23) C e e de e dx e e e dx xx x x x x x+=+=+=+⎰⎰⎰-arctan 1122 (24) C x x x x x x d dx x x x ++-=+-+-=+--⎰⎰|83|ln 83)83(83322222(25) C x x x dx x x x dx x x x dx x x ++-+++=+++-+=+++-+=++⎰⎰⎰2323232)1(2312|1|ln ))1(3)1(211()1(3)1(2)1()1(2(26)⎰+22ax dx解 令t a x tan =, 则C a x x C t t t a tdt a a x dx+++=++==+⎰⎰||ln |tan sec |ln sec sec 221222(27)C a x x a a x x d a a x dx ++=+=+⎰⎰21222212222322)(1)(1)(解法2 令t a x tan =, 则C ax a x C t a tdt a t a tdt a a x dx ++=+===+⎰⎰⎰222223322322sin 1cos 1sec sec )( (28)⎰-dx xx 251解 令t x sin =, 则Cx x x C t t t td t tdt dt t t t dx x x +---+--=+-+-=--===-⎰⎰⎰⎰25223221253225525)1(51)1(32)1(cos 51cos 32cos cos )cos 1(sin cos cos sin 1(29)⎰-dx xx31解 令t x =61, 则6t x =, 56t dx =158Ct t t t t t dt t t t t dt tt t t t dt t t t dt t t dx x x++--+++-=-++++-=-++++-=-+-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰|11|ln 26)357(6)11)1((611)1)(1(6111)(61613572246224622422533其中61x t = (30)⎰++-+dx x x 1111解 令t x =+1, 则21t x =+, tdt dx 2=,Cx x x C x x x C t t t dt t t dt t t t tdt t tdt t t dx x x +++++-=+++++-+=+++-=++-=+-=+-=+-=++-+⎰⎰⎰⎰⎰|11|ln 414|11|ln 4141|1|ln 44)1442()142(2)121(21111111122．应用分部积分法求下列不定积分： ⑴C x x x dx x x x x xdx +-+=--=⎰⎰221arcsin 1arcsin arcsin⑵C x x x dx x x x x xdx +-=⋅-=⎰⎰ln 1ln ln⑶Cx x x x x xdx x x x x x xd x x xdx x x x x d x xdx x +-+=-+=+=-==⎰⎰⎰⎰⎰sin 2cos 2sin cos 2cos 2sin cos 2sin sin 2sin sin cos 222222 ⑷ C x x x dx x x x x xd dx x x +--=+-=-=⎰⎰⎰223223412ln 121ln 211ln 21ln ⑸C x x x x x xdx x x dx x ++-=-=⎰⎰2ln 2)(ln ln 2)(ln )(ln 222 ⑹ ⎰⎰⎰+-==dx xx x x xdx xdx x 2222121arctan 21arctan 21arctan C x x x x dx x x x +--=+--=⎰)arctan (21arctan 21)111(21arctan 21222 C x x x +-+=21arctan )1(212159⑺ ⎰⎰⎰+=+dx x dx x dx x x ln 1)ln(ln ]ln 1)[ln(ln C x x dx xdx x x x x x +=+⋅-=⎰⎰)ln(ln ln 1ln 1)ln(ln⑻⎰⎰--=dx xx x x x dx x 2221arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x ⎰----+=dx xx x x x x 22221112arcsin 12)(arcsinC x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22⑼⎰⎰⎰-==xdx x x x x xd xdx 23tan sec tan sec tan sec sec⎰⎰⎰+-=--=xdx xdx x x dx x x x x sec sec tan sec )1(sec sec tan sec 32 |tan sec |ln sec tan sec 3x x xdx x x ++-=⎰所以C x x x x xdx +++=⎰|)tan sec |ln tan sec 21sec 3 ⑽⎰⎰+⋅-+=+dx ax x x a x x dx a x 222222⎰+-+-+=dx ax a a x a x x )(2222222⎰⎰+++-+=dx ax a dx a x a x x 2222222)ln(2222222a x x a dx a x a x x ++++-+=⎰所以C a x x a a x x dx a x +++++=+⎰))ln((212222222 类似地可得C a x x a a x x dx a x +-+--=-⎰))ln((212222222 3．求下列不定积分：160⑴ C x f a x df x f dx x f x f a aa++=='+⎰⎰1)]([11)()]([)()]([ ⑵C x f x df x f dx x f x f +=+=+'⎰⎰)(arctan )()]([11)]([1)(22⑶C x f x f x df dx x f x f +=='⎰⎰|)(|ln )()()()( ⑷ C e x df e dx x f e x f x f x f +=='⎰⎰)()()()()(4．证明：⑴ 若⎰=dx x I n n tan ， ,3,2=n ，则21tan 11----=n n n I x n I 证 ⎰⎰⎰----=-=dx x dx x x dx x x I n n n n 22222tan sec tan )1(sec tan22tan tan ---=⎰n n I x d x .因为⎰⎰-----=x d x n x x d x n n n tan tan )2(tan tan tan 212，所以x n x d x n n 12tan 11tan tan ---=⎰. 从而21tan 11----=n n n I x n I . ⑵ 若⎰=dx x x n m I n m sin cos ),(，则当0≠+n m 时，),2(1sin cos ),(11n m I nm m n m x x n m I n m -+-++=+-)2,(1sin cos 11-+-++-=-+n m I nm n n m x x n m ， ,3,2,=m n证 ⎰⎰+-+==x d x n dx x x n m I n m nm 11sin cos 11sin cos ),( ]sin cos )1(sin [cos 112211⎰+-+--++=dx x x m x x n n m n m ])cos 1(sin cos )1(sin [cos 112211⎰--++=-+-dx x x x m x x n n m n m ))],(),2()(1(sin [cos 1111n m I n m I m x x n n m ---++=+-161所以),2(1sin cos ),(11n m I n m m n m x x n m I n m -+-++=+-， 同理可得)2,(1sin cos ),(11-+-++-=-+n m I nm n n m x x n m I n mP.199 习题1．求下列不定积分：⑴ ⎰⎰⎰-+++=-+-=-dx x x x dx x x dx x x )111(1111233 C x x x x +-+++=|1|ln 2323 ⑵ 解法一：C x x dx x x dx x x x +--=---=+--⎰⎰|3|)4(ln )3142(127222解法二：⎰⎰⎰+-++--=+--dx x x dx x x x dx x x x 12732112772211272222 ⎰⎰---++-+-=)27(41)27(123127)127(21222x d x x x x x dC x x x x +--++-=34ln 23|127|ln 212 ⑶ 解22311)1)(1(111xx CBx x A x x x x +-+++=+-+=+ 去分母得 )1)(()1(12x C Bx x x A ++++-=令1-=x ，得1=A . 再令0=x ，得1=+C A ，于是32=C . 比较上式两端二次幂的系数得 0=+B A ，从而1-=B ，因此⎰⎰⎰+---+=+dxx x x x dx x dx 2312311311162⎰⎰+-++---+=dx x x dx x x x x 22112111261|1|ln 31⎰+-++--+=dx x x x x 43)21(121)1ln(61|1|ln 3122C x x x x +-++-+=312arctan 311)1(ln 6122 ⑷ 解 ⎰⎰⎰⎰+--++=+--+=+dx xx dx x x dx x x x x dx 42424224112111211)1()1(211 ⎰⎰⎰⎰++-+-=+--++=22222222221)1(211)1(211112111121x x x x d x x x x d dx x x x dx x x x⎰⎰-++-+--=2)1()1(212)1()1(2122xx x x d x x x x d C xx x x x x +++-+--=2121ln 24121arctan221C x x x x x x ++++---=1212ln 8221arctan 42222 ⑸⎰+-22)1)(1(x x dx解 令22222)1(11)1)(1(1++++++-=+-x EDx x C Bx x A x x , 解得41=A , 41-==CB , 21-==E D , 于是 ⎰⎰⎰⎰++-++--=+-dx x x dx x x x dx x x dx 22222)1(1211141141)1)(1(163C x x x x x x x +++-++-+--=)1(arctan 411141arctan 41)1ln(81|1|ln 41222 C x x x x x ++-+-+-=)11arctan 21|1|(ln 4122⑹⎰⎰⎰++-+++=++-dx x x dx x x x dx x x x 222222)122(125)122(2441)122(2 其中1221)122()122()122(24222222++-=++++=+++⎰⎰x x x x x x d dx x x x ⎰⎰⎰+++=++=++)12(]1)12[(12]1)12[(4)122(1222222x d x dx x dx x x)12arctan(1)12(122+++++=x x x 参见教材P.186 例9或P.193关于k I 的递推公式⑺. 于是，有C x x x x x dx x x x ++-+++-++-=++-⎰)12arctan(251)12(1225122141)122(22222 C x x x x ++-+++=)12arctan(25)122(23522．求下列不定积分⑴⎰-x dx cos 35解 令2tan xt =，则C t t t d tdt t dt t t dx x dx+=+=+=++--=-⎰⎰⎰⎰2arctan 21)2(1)2(2141121135cos 3522222 C x+=)2tan 2arctan(21 ⑵⎰⎰⎰⎰+=+=+=+)tan 32(tan cos )tan 32(sin 3cos 2sin 2222222x xd x x dx x x dx x dx164C x x x d +=+=⎰)tan 23arctan(61)tan 231()tan 23(612 ⑶ ⎰⎰⎰++-+=+=+dx xx xx x x x x xdx x dx sin cos cos sin sin cos 21sin cos cos tan 1 )sin cos )cos (sin (21)sin cos cos sin 1(21⎰⎰⎰+++=++-+=x x x x d dx dx x x x x C x x x +++=|)sin cos |ln (21另解：设⎰+=x x xdx I sin cos cos 1，⎰+=x x xdxI sin cos sin 2，则C x dx x x xx I I +=++=+⎰sin cos sin cos 21，C x x x x x x d dx x x x x I I ++=++=+-=-⎰⎰|sin cos |ln sin cos )sin (cos sin cos sin cos 21所以C x x x I x dx +++==+⎰|)sin cos |ln (21tan 11⑷⎰⎰⎰-+++-+-=-+22221)1(11xx dx x dx x x dx xx x⎰⎰⎰-++-++---+-=2221231)12(211x x dxx x dx x dx x x其中（利用教材P.185例7的结果）]1)21(512arcsin 45[21)21(451222x x x x dx x dx x x -+-+-=--=-+⎰⎰ 2222121)1(1)12(x x x x x x d x x dx x -+=-+-+=-++-⎰⎰512arcsin)21(45122-=--=-+⎰⎰x x dxxx dx所以有165⎰-+dx xx x 221C x x x x x x x +-+-+--+-+--=512arcsin 231221]1)21(512arcsin 45[2122C x x x x +-++--=21432512arcsin 87 ⑸C x x x x x d xx dx ++++=-++=+⎰⎰|21|ln 41)21()21(222⑹⎰+-dx xxx 1112 解 令 x x t +-=11，则2211tt x +-=，22)1(4t tdtdx +-=，代入原式得 ⎰⎰⎰⎰---=--=+-⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-dt t t dt t t dt t t t t t dx x xx 222222222222)1(114)1(4)1(411111⎰⎰⎰⎰-+-++--=---=dt t t t dt t dt t dt t ]12)1(1)1(1[114)1(141142222222C t t t t dt t t dt t +++---+=-++--=⎰⎰1111|11|ln ])1(1)1(1[112222 C xx x x +---+=221|11|ln总 练 习 题求下列不定积分： ⑴C x x x dx x xx dx xx x +--=--=--⎰⎰-4312134541121414334132454)2(12166⑵]11arcsin [21arcsin 21arcsin 2222⎰⎰⎰--==dx x x x x dx x dx x x 其中)2sin 21(2122cos 1cos cos sin 1222t t dt t dt t t t dx x x -=-==-⎰⎰⎰)1(arcsin 212x x x --=所以]11arcsin [21arcsin 222⎰⎰--=dx xx x x dx x xC x x x x x +---=)]1(arcsin 21arcsin [2122 C x x x x x +-+-=22141arcsin 41arcsin 21 ⑶⎰+xdx 1解 令u x =，则udu dx 2=C u u du uu udu xdx ++-=+-=+=+⎰⎰⎰|)1|ln (2)111(2121 C x x ++-=|)1|ln (2⑷⎰⎰⎰⎰===xx x x de x x d x e dx x x e dx x e sin sin sin sin sin 2sin sin 2cos sin 22sin C x e C e x e x d e x e x x x x x +-=+-=-=⎰)1(sin 2)sin (2)sin sin (2sin sin sin sin sin⑸C x e C e u e du u e u x dx e x u u u x+-=+-==⎰⎰)1(2)(22)(令 ⑹C x x d x x x dx x xdx +-=--=-=-⎰⎰⎰1arcsin )1(1111112222 解法二：令t x sec =，C xC t dt t t t t x xdx +=+==-⎰⎰1arccos tan sec tan sec 12167⑺⎰⎰⎰++=+-=+-x x x x d dx x x x x dx x x sin cos )sin (cos sin cos sin cos tan 1tan 1C x x ++=|sin cos |lnC x dx x dx x x +-=-=+-⎰⎰|)4cos(|ln )4tan(tan 1tan 1ππ ⑻ C x x x dx x x x dx x x x +-----=-+-+-=--⎰⎰23232)2(123|2|ln )2(2)2(3)2()2( ⑼C x x x d x xdx x x dx ++=+==⎰⎰⎰32224tan 31tan tan )tan 1(cos sec cos ⑽ ⎰⎰⎰-==dx x dx x dx x 2224)22cos 1()(sin sin⎰⎰++-=+-=dx x x dx x x )24cos 12cos 21(41)2cos 2cos 21(412 C x x x C x x x x ++-=+++-=4sin 3212sin 4183)84sin 22sin (41 ⑾ ⎰+--dx x x x 43523 解⎰⎰-+-=+--dx x x x dx x x x 223)2)(1(5435令22)2(21)2)(1(5-+-++=-+-x C x B x A x x x去分母得：)1()2)(1()2(52++-++-=-x C x x B x A x 解得：32-=A ，32=B ，1-=C 所以⎰⎰⎰⎰---++-=+--dx x dx x dx x dx x x x 223)2(121321132435 C x x x +-++-=21|12|ln 32 ⑿⎰+dx x )1arctan(解 令u x =+1，du u dx )1(2-=168⎰⎰⎰⎰-⋅=-⋅=+du u du u u du u u dx x arctan 2arctan 2)1(2arctan )1arctan(122)1ln(arctan 2]arctan )1[(C u u u u u u +++--+= C x x x x x ++++-+=)22ln()1arctan(⒀ ⎰⎰⎰+-=+-+=+dx x x x dx x x x x dx x x )22(2222433433747 C x x ++-=)2ln(214144 另解：C x x dx x dx x x x dx x x ++-=+-=+⋅=+⎰⎰⎰)2ln(2141)221(4122444443447 ⒁⎰++dx x x x2tan tan 1tan 解 令u x =tan⎰⎰⎰⎰++-+=+++=++du u u du u du u u u u dx x x x 222221111111tan tan 1tanC x x C u u ++-=++-=31tan 2arctan32312arctan32arctan⒂ ⎰⎰-+---=-dx x x x dx x x 10021002)1(1)1(2)1()1( C x x x +-+---=979899)1(971)1(491)1(991 ⒃⎰⎰⎰-+-=-=dx x x xx x d x dx x x 2211arcsin 1arcsin arcsin C xx x x +-+--=|11|ln arcsin 2⒄⎰⎰⎰--+=--+=-+2)]1ln()1[ln(21)]1ln()1[ln(11lndx x x dx x x x dx x x x C x xxx dx x x x x x x ++-+-=-++---+=⎰11ln 21)1111(21)]1ln()1[ln(21222169⒅⎰⎰⎰+==x d xx dx xx dx xx tan tan tan 1cos tan 1cos sin 1247C x x ++=)tan 511(tan 22⒆ ⎰⎰⎰⎰+-++=+-+=+-dx x x e dx x e dx x x x e dx x x e xx x x22222222)1(21)1(21)11( C xe dx x e x e dx x e x d e dx x e x x x x x x ++=+-+++=+++=⎰⎰⎰⎰2222221111111 ⒇ ⎰=dx uv I n n ，x b a u 11+=，x b a v 22+=解 ][221211⎰⎰⎰--===dx v b u n u v b u d v b dx uv I n nn n n ])([2][21122111121⎰⎰---+-=-=dx uv b a b a v b n u v b dx u uv b n u v b n nn n ])([21122111----=n n nI b a b a n I nb u v b 所以])([)12(2112211---+=n n n I b a b a n u v b n I。

华东师大数学分析答案完整版一、填空题1. 极限的定义是当自变量趋近于某个值时，函数的值趋近于另一个确定的值。

2. 函数在某一点连续的充分必要条件是左极限、右极限和函数值在该点相等。

3. 无穷小量与无穷大量的关系是无穷小量的倒数是无穷大量，无穷大量的倒数是无穷小量。

4. 函数的导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

5. 微分表示函数在某一点的微小变化量。

6. 函数的积分表示函数在某个区间上的累积变化量。

7. 变限积分的导数是原函数的导数。

8. 无穷级数的收敛性可以通过比较判别法、比值判别法等方法进行判断。

9. 函数的泰勒级数表示函数在某一点的幂级数展开。

10. 傅里叶级数表示周期函数的三角级数展开。

二、选择题1. 下列函数中，连续的是（A）。

A. f(x) = x^2B. f(x) = 1/xC. f(x) = sin(x)D. f(x) = |x|2. 下列极限中，存在的是（B）。

A. lim(x→0) 1/xB. lim(x→∞) x^2C. lim(x→0) sin(x)/xD. lim(x→∞) e^(x)3. 下列函数中，可导的是（A）。

A. f(x) = x^3B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(1/x)D. f(x) = x^(1/3)4. 下列积分中，收敛的是（C）。

A. ∫(1/x) dxB. ∫(1/x^2) dxC. ∫(e^(x)) dxD. ∫(1/x^3) dx5. 下列级数中，收敛的是（B）。

A. ∑(1/n)B. ∑(1/n^2)C. ∑(1/n^3)D. ∑(1/n^4)三、解答题1. 求函数 f(x) = x^3 3x + 2 在 x = 1 处的导数。

解答：f'(x) = 3x^2 3，代入 x = 1，得 f'(1) = 0。

2. 求不定积分∫(e^x) dx。

解答：∫(e^x) dx = e^x + C，其中 C 为任意常数。

第四章函数的连续性第一节连续性概念1．按定义证明下列函数在其定义域内连续：（1）； （2）。

x x f 1)(=x x f =)( 证：（1）的定义域为，当时，有xx f 1)(= ),0()0,(+∞-∞=D D x x ∈0,由三角不等式可得： ，0011x x x x x x -=-00x x x x --≥ 故当时，有00x x x <-002011x x x x x x x x ---≤- 对任意给的正数，取则，当 且时，ε,01020>+=x x εεδ0x <δD x ∈δ<-0x x 有ε<-=-0011)()(x x x f x f 可见在连续，由的任意性知：在其定义域内连续。

)(x f 0x 0x )(x f (2) 的定义域为对任何的，由于x x f =)(),,(+∞-∞),(0+∞-∞∈x，从而对任给正数，取，当时，00x x x x -≤-εεδ=δ<-0x x 有 =-)()(0x f x f 00x x x x -≤-ε< 故在连续，由的任意性知，在连续。

)(x f 0x 0x )(x f ),(+∞-∞2．指出函数的间断点及类型： （1）； （2）； （3）；=)(x f xx 1+=)(x f x x sin =)(x f ]cos [x （4）； （5）；=)(x f x sgn =)(x f )sgn(cos x （6）；（7）=)(x f ⎩⎨⎧-为无理数为有理数x x x x ,,=)(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<--≤≤--<<∞-+x x x x x x x 1,11sin )1(17,7,71解： （1）在间断，由于不存在，故是的第二类间断点。

)(x f 0=x 1(lim xx x +∞→0=x )(x f（2）在间断，由于 ，)(x f 0=x 1sin lim )(lim 0==++→→xxx f x x故是的跳跃间断点。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案05第五章 导数和微分习题§5.1导数的概念1、已知直线运动方程为2510t t s +=，分别令01.0,1.0,1=∆t ，求从t=4至t t ∆+=4这一段时间内运动的平均速度及时的瞬时速度。

2、等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义。

3、设4)(,0)(0='=x f x f ，试求极限xx x f x ∆+∆→∆)(lim 00。

4、设⎩⎨⎧<+≥=,3,,3,)(2x b ax x x x f 试确定的a,b 值，使f在x=3处可导。

5、试确定曲线y x ln =上哪些点的切线平行于下列直线：（1）;1-=x y （2）32-=x y6、求下列曲线在指定点P 的切线方程与法线方程：（1）).1,0(,cos )2();1,2(,42p x y p x y ==7、求下列函数的导函数： ⎩⎨⎧<≥+==,0,1,0,1)()2(;)()1(3x x x x f xx f8、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )(x x xx x f m（m 为正整数），试问：（1）m 等于何值时,f 在x=0连续；（2）m 等于何值时,f 在x=0可导； （3）m 等于何值时,f '在x=0连续。

9、求下列函数的稳定点：(1)f(x)=sinx-cosx ；(2)x x x f ln )(-=。

10、设函数f 在点0x 存在左右导数，试证明f 在点0x 连续。

11、设0)0()0(='=g g ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )()(x x xx g x f求)0(f '。

12、设f 是定义在R 上的函数，而且对任何Rxx ∈21,，都有)()()(2121x f x f x x f =+。

若1)0(='f ，证明对任何R x ∈，都有)()(x f x f ='。

P.182 习题1．验证下列等式 （1）C x f dx x f +='⎰)()( （2）⎰+=C x f x df )()(证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以⎰+='C x f dx x f )()(.（2）因为C u du +=⎰, 所以⎰+=C x f x df )()(.2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点)5,2(.解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='=⎰⎰22)()(.于是知曲线为C x y +=2, 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以有 C +=225, 解得1=C , 从而所求曲线为12+=x y3．验证x x y sgn 22=是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0<x 时, 22x y -=, x y -='; 当0=x 时, y的导数为02sgn lim 0sgn )2(lim020==-→→x x x x x x x , 所以⎪⎩⎪⎨⎧=<-=>='||0000x x xx x xy 4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数？解 由P.122推论3的证明过程可知：在区间I 上的导函数f '，它在I 上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，也就是说导函数不可能出现第一类间断点。

因此每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数。

5．求下列不定积分⑴C x x x x dx x dx x xdx dx dx x x x +-+-=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰-31423233233421)11(⑵C x x x dx x x x dx xx ++-=+-=-⎰⎰||ln 343)12()1(2332122⑶C gxC x gdx x ggxdx +=+⋅==⎰⎰-22212122121 ⑷⎰⎰⎰+⋅+=+⋅+=+dx dx dx x x x x x x x x )9624()3)32(22()32(222 C x x x ++⋅+=9ln 96ln 624ln 4 ⑸C x dx x dx x +=-=-⎰⎰arcsin 23112344322⑹ C x dx x dx x x dx x x +-=+-=+-+=+⎰⎰⎰)arctan 1(31)111(31)1(311)1(322222 ⑺ C x x dx x xdx +-=-=⎰⎰tan )1(sec tan 22 ⑻C x x dx x dx x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰)2sin 21(21)2cos 1(2122cos 1sin 2 ⑼ C x x dx x x dx xx x x dx x x x +-=+=--=-⎰⎰⎰cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22 ⑽C x x dx x x dx x x x x dx x x x +--=-=⋅-=⋅⎰⎰⎰tan cot )cos 1sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222 ⑾ C C dt dt tt ttt+=+⋅⋅=⋅=⋅⎰⎰90ln 90)910ln()910()910(3102 ⑿C x dx x dx x x x +==⎰⎰81587158⒀C x dx xdx x x x x dx x x x x +=-=--+-+=+-+-+⎰⎰⎰arcsin 212)1111()1111(222⒁C x x xdx dx dx x dx x x +-=+=+=+⎰⎰⎰⎰2cos 212sin 1)2sin 1()sin (cos 2⒂C x x dx x x xdx x ++=+=⎰⎰)sin 3sin 31(21)cos 3(cos 212cos cos ⒃ C e e e e dx e e e e dx e e x xx x x x x x x x ++--=-+-=------⎰⎰33333313331)33()(P.188 习题1．应用换元积分法求下列不定积分：⑴C x x d x dx x ++=++=+⎰⎰)43sin(31)43()43cos(31)43cos( ⑵ C e x d e dx xe x x x +==⎰⎰222222241)2(41⑶ C x x x d x dx ++=++=+⎰⎰|12|ln 2112)12(2112⑷ C x n x d x dx x n nn +++=++=++⎰⎰1)1(11)1()1()1(⑸Cx x xd xdx x dx xx++=-+-=-+-⎰⎰⎰3arcsin 313arcsin 3)3113131)31131(2222⑹C C x d dx x x x x +=+=+=++++⎰⎰2ln 22ln 22)32(221222323232⑺C x C x x d x dx x +--=+-⋅-=---=-⎰⎰232321)38(92)38(3231)38()38(3138 ⑻C x C x x d x x dx+--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)57(103)57(2351)57()57(5157 ⑼C x dx x dx x x +-==⎰⎰2222cos 21sin 21sin ⑽ C x x x d x dx++-=++=+⎰⎰)42cot(21)42(sin )42(21)42(sin 22ππππ⑾ 解法一：C xxx d x dxx dx+===+⎰⎰⎰2tan2cos 22cos 2cos 122解法二： ⎰⎰⎰⎰-=--=+xxdxx dx x dx x x dx 222sin cos sin cos 1)cos 1(cos 1 C x x xx d x ++-=--=⎰sin 1cot sin sin cot 2⑿解法一：利用上一题的结果，有C x C x x x d x dx +--=+--=-+--=+⎰⎰)24tan()2(21tan )2cos(1)2(sin 1ππππ 解法二： C x x xx d x dx x dx x x dx +-=+=--=+⎰⎰⎰⎰cos 1tan cos cos cos sin 1)sin 1(sin 1222 解法三：⎰⎰⎰+⋅=+=+222)12(tan 2cos )2cos 2(sin sin 1x x dxx x dx x dxC x x x d ++-=+=⎰12tan 2)12(tan 2tan 22⒀ 解法一：⎰⎰⎰---=-=)2()2sec()2sec(csc x d x dx x xdx πππC x x C x x ++-=+-+--=|cot csc |ln |)2tan()2sec(|ln ππ解法二：C x x x x d dx x x dx x xdx ++-=-===⎰⎰⎰⎰1cos 1cos ln 211cos cos sin sin sin 1csc 22C x x +-=|cot csc |ln解法三：⎰⎰++=dx x x x x x xdx cot csc )cot (csc csc cscC x x C xx x x d ++-=+++-=⎰|cot csc |ln cot csc )cot (csc解法四：⎰⎰⎰==dx x x xdx x x xdx 2cos2sin 22sin2cos 2sin 21csc 2C xC x x d x +=+-=-=⎰|2tan |ln |2cot |ln 2cot 2cot 1⒁C x x d x dx x x +--=---=-⎰⎰22221)1(11211 ⒂ C x dx x dx x x +=+=+⎰⎰2arctan 41)(4121422224⒃C x x x d x x dx +==⎰⎰|ln |ln ln ln ln⒄ C x x d x dx x x +-=---=-⎰⎰25535354)1(1101)1()1(151)1( ⒅ C x x C x x dx x dx x x ++-=++-⋅=-=-⎰⎰|22|ln 281|22|ln 221412)(1412444442483⒆C xx C x x dx x x x x dx ++=++-=+-=+⎰⎰|1|ln |1|ln ||ln )111()1( ⒇C x dx xxxdx +==⎰⎰|sin |ln sin cos cot (21)⎰⎰⎰-==x d x xdx x xdx sin )sin 1(cos cos cos 2245 C x x x x d x x ++-=+-=⎰5342sin 51sin 32sin sin )sin sin 21((22) 解法一：C x x x x d x x dx +-==⎰⎰|2cot 2csc |ln 2sin )2(cos sin解法二：C x x xd x x xdx x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan cos sin cos cos sin 2 解法三：⎰⎰+=xx dxx x x x dx cos sin )cos (sin cos sin 22C x x dx xxx x +-=+=⎰|cos |ln |sin |ln )sin cos cos sin ((23) C e e de e dx e e e dx xx x x x x x+=+=+=+⎰⎰⎰-arctan 1122 (24) C x x x x x x d dx x x x ++-=+-+-=+--⎰⎰|83|ln 83)83(83322222(25) C x x x dx x x x dx x x x dx x x ++-+++=+++-+=+++-+=++⎰⎰⎰2323232)1(2312|1|ln ))1(3)1(211()1(3)1(2)1()1(2(26)⎰+22ax dx解 令t a x tan =, 则C a x x C t t t a tdt a a x dx+++=++==+⎰⎰||ln |tan sec |ln sec sec 221222(27)C a x x a a x x d a a x dx ++=+=+⎰⎰21222212222322)(1)(1)(解法2 令t a x tan =, 则C ax a x C t a tdt a t a tdt a a x dx ++=+===+⎰⎰⎰222223322322sin 1cos 1sec sec )( (28)⎰-dx xx 251解 令t x sin =, 则Cx x x C t t t td t tdt dt t t t dx x x +---+--=+-+-=--===-⎰⎰⎰⎰25223221253225525)1(51)1(32)1(cos 51cos 32cos cos )cos 1(sin cos cos sin 1(29)⎰-dx xx31解 令t x =61, 则6t x =, 56t dx =C t t t t t t dt tt t t dt tt t t t dt t t t dt t t dx x x++--+++-=-++++-=-++++-=-+-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰|11|ln 26)357(6)11)1((611)1)(1(6111)(61613572246224622422533其中61x t = (30)⎰++-+dx x x 1111解 令t x =+1, 则21t x =+, tdt dx 2=,Cx x x C x x x C t t t dt t t dt t t t tdt t tdt t t dx x x +++++-=+++++-+=+++-=++-=+-=+-=+-=++-+⎰⎰⎰⎰⎰|11|ln 414|11|ln 4141|1|ln 44)1442()142(2)121(21111111122．应用分部积分法求下列不定积分： ⑴C x x x dx x x x x xdx +-+=--=⎰⎰221arcsin 1arcsin arcsin⑵C x x x dx x x x x xdx +-=⋅-=⎰⎰ln 1ln ln⑶Cx x x x x xdx x x x x x xd x x xdx x x x x d x xdx x +-+=-+=+=-==⎰⎰⎰⎰⎰sin 2cos 2sin cos 2cos 2sin cos 2sin sin 2sin sin cos 222222 ⑷ C x x x dx x x x x xd dx x x +--=+-=-=⎰⎰⎰223223412ln 121ln 211ln 21ln ⑸C x x x x x xdx x x dx x ++-=-=⎰⎰2ln 2)(ln ln 2)(ln )(ln 222 ⑹ ⎰⎰⎰+-==dx xx x x xdx xdx x 2222121arctan 21arctan 21arctan C x x x x dx x x x +--=+--=⎰)arctan (21arctan 21)111(21arctan 21222 C x x x +-+=21arctan )1(212⑺ ⎰⎰⎰+=+dx x dx x dx x x ln 1)ln(ln ]ln 1)[ln(ln C x x dx xdx x x x x x +=+⋅-=⎰⎰)ln(ln ln 1ln 1)ln(ln⑻⎰⎰--=dx xx x x x dx x 2221arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x ⎰----+=dx xx x x x x 22221112arcsin 12)(arcsinC x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22⑼⎰⎰⎰-==xdx x x x x xd xdx 23tan sec tan sec tan sec sec⎰⎰⎰+-=--=xdx xdx x x dx x x x x sec sec tan sec )1(sec sec tan sec 32 |tan sec |ln sec tan sec 3x x xdx x x ++-=⎰所以C x x x x xdx +++=⎰|)tan sec |ln tan sec 21sec 3 ⑽⎰⎰+⋅-+=+dx ax x x a x x dx a x 222222⎰+-+-+=dx ax a a x a x x )(2222222⎰⎰+++-+=dx ax a dx a x a x x 2222222)ln(2222222a x x a dx a x a x x ++++-+=⎰所以C a x x a a x x dx a x +++++=+⎰))ln((212222222 类似地可得C a x x a a x x dx a x +-+--=-⎰))ln((212222222 3．求下列不定积分：⑴ C x f a x df x f dx x f x f a aa++=='+⎰⎰1)]([11)()]([)()]([ ⑵C x f x df x f dx x f x f +=+=+'⎰⎰)(arctan )()]([11)]([1)(22⑶C x f x f x df dx x f x f +=='⎰⎰|)(|ln )()()()( ⑷ C e x df e dx x f e x f x f x f +=='⎰⎰)()()()()(4．证明：⑴ 若⎰=dx x I n n tan ， ,3,2=n ，则21tan 11----=n n n I x n I 证 ⎰⎰⎰----=-=dx x dx x x dx x x I n n n n 22222tan sec tan )1(sec tan22tan tan ---=⎰n n I x d x .因为⎰⎰-----=x d x n x x d x n n n tan tan )2(tan tan tan 212，所以x n x d x n n 12tan 11tan tan ---=⎰. 从而21tan 11----=n n n I x n I . ⑵ 若⎰=dx x x n m I n m sin cos ),(，则当0≠+n m 时，),2(1sin cos ),(11n m I nm m n m x x n m I n m -+-++=+-)2,(1sin cos 11-+-++-=-+n m I nm n n m x x n m ， ,3,2,=m n证 ⎰⎰+-+==x d x n dx x x n m I n m nm 11sin cos 11sin cos ),( ]sin cos )1(sin [cos 112211⎰+-+--++=dx x x m x x n n m n m ])cos 1(sin cos )1(sin [cos 112211⎰--++=-+-dx x x x m x x n n m n m ))],(),2()(1(sin [cos 1111n m I n m I m x x n n m ---++=+-所以),2(1sin cos ),(11n m I n m m n m x x n m I n m -+-++=+-， 同理可得)2,(1sin cos ),(11-+-++-=-+n m I nm n n m x x n m I n mP.199 习题1．求下列不定积分：⑴ ⎰⎰⎰-+++=-+-=-dx x x x dx x x dx x x )111(1111233 C x x x x +-+++=|1|ln 2323 ⑵ 解法一：C x x dx x x dx x x x +--=---=+--⎰⎰|3|)4(ln )3142(127222解法二：⎰⎰⎰+-++--=+--dx x x dx x x x dx x x x 12732112772211272222 ⎰⎰---++-+-=)27(41)27(123127)127(21222x d x x x x x dC x x x x +--++-=34ln 23|127|ln 212 ⑶ 解22311)1)(1(111xx CBx x A x x x x +-+++=+-+=+ 去分母得 )1)(()1(12x C Bx x x A ++++-=令1-=x ，得1=A . 再令0=x ，得1=+C A ，于是32=C . 比较上式两端二次幂的系数得 0=+B A ，从而1-=B ，因此⎰⎰⎰+---+=+dxx x x x dx x dx 2312311311⎰⎰+-++---+=dx x x dx x x x x 22112111261|1|ln 31⎰+-++--+=dx x x x x 43)21(121)1ln(61|1|ln 3122C x x x x +-++-+=312arctan 311)1(ln 6122 ⑷ 解 ⎰⎰⎰⎰+--++=+--+=+dx xx dx x x dx x x x x dx 42424224112111211)1()1(211 ⎰⎰⎰⎰++-+-=+--++=22222222221)1(211)1(211112111121x x x x d x x x x d dx x x x dx x x x⎰⎰-++-+--=2)1()1(212)1()1(2122xx x x d x x x x d C xx x x x x +++-+--=2121ln 24121arctan221C x x x x x x ++++---=1212ln 8221arctan 42222 ⑸⎰+-22)1)(1(x x dx解 令22222)1(11)1)(1(1++++++-=+-x EDx x C Bx x A x x , 解得41=A , 41-==CB , 21-==E D , 于是 ⎰⎰⎰⎰++-++--=+-dx x x dx x x x dx x x dx 22222)1(1211141141)1)(1(C x x x x x x x +++-++-+--=)1(arctan 411141arctan 41)1ln(81|1|ln 41222 C x x x x x ++-+-+-=)11arctan 21|1|(ln 4122⑹⎰⎰⎰++-+++=++-dx x x dx x x x dx x x x 222222)122(125)122(2441)122(2 其中1221)122()122()122(24222222++-=++++=+++⎰⎰x x x x x x d dx x x x ⎰⎰⎰+++=++=++)12(]1)12[(12]1)12[(4)122(1222222x d x dx x dx x x )12arctan(1)12(122+++++=x x x 参见教材P.186 例9或P.193关于k I 的递推公式⑺. 于是，有C x x x x x dx x x x ++-+++-++-=++-⎰)12arctan(251)12(1225122141)122(22222 C x x x x ++-+++=)12arctan(25)122(23522．求下列不定积分⑴⎰-x dx cos 35解 令2tan xt =，则C t t t d tdt t dt t t dx x dx+=+=+=++--=-⎰⎰⎰⎰2arctan 21)2(1)2(2141121135cos 3522222 C x+=)2tan 2arctan(21 ⑵⎰⎰⎰⎰+=+=+=+)tan 32(tan cos )tan 32(sin 3cos 2sin 2222222x xd x x dx x x dx x dxC x x x d +=+=⎰)tan 23arctan(61)tan 231()tan 23(612 ⑶ ⎰⎰⎰++-+=+=+dx xx xx x x x x xdx x dx sin cos cos sin sin cos 21sin cos cos tan 1 )sin cos )cos (sin (21)sin cos cos sin 1(21⎰⎰⎰+++=++-+=x x x x d dx dx x x x x C x x x +++=|)sin cos |ln (21另解：设⎰+=x x xdx I sin cos cos 1，⎰+=x x xdxI sin cos sin 2，则C x dx x x xx I I +=++=+⎰sin cos sin cos 21，C x x x x x x d dx x x x x I I ++=++=+-=-⎰⎰|sin cos |ln sin cos )sin (cos sin cos sin cos 21所以C x x x I x dx +++==+⎰|)sin cos |ln (21tan 11⑷⎰⎰⎰-+++-+-=-+22221)1(11xx dx x dx x x dx xx x⎰⎰⎰-++-++---+-=2221231)12(211x x dxx x dx x dx x x其中（利用教材P.185例7的结果）]1)21(512arcsin 45[21)21(451222x x x x dx x dx x x -+-+-=--=-+⎰⎰ 2222121)1(1)12(x x x x x x d x x dx x -+=-+-+=-++-⎰⎰512arcsin)21(45122-=--=-+⎰⎰x x dxxx dx所以有⎰-+dx xx x 221C x x x x x x x +-+-+--+-+--=512arcsin 231221]1)21(512arcsin 45[2122C x x x x +-++--=21432512arcsin 87 ⑸C x x x x x d xx dx ++++=-++=+⎰⎰|21|ln 41)21()21(222⑹⎰+-dx xxx 1112 解 令 x x t +-=11，则2211tt x +-=，22)1(4t tdtdx +-=，代入原式得 ⎰⎰⎰⎰---=--=+-⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-dt t t dt t t dt t t t t t dx x xx 222222222222)1(114)1(4)1(411111⎰⎰⎰⎰-+-++--=---=dt t t t dt t dt t dt t ]12)1(1)1(1[114)1(141142222222C t t t t dt t t dt t +++---+=-++--=⎰⎰1111|11|ln ])1(1)1(1[112222 C xx x x +---+=221|11|ln总 练 习 题求下列不定积分： ⑴C x x x dx x xx dx xx x +--=--=--⎰⎰-4312134541121414334132454)2(12⑵]11arcsin [21arcsin 21arcsin 2222⎰⎰⎰--==dx x x x x dx x dx x x 其中)2sin 21(2122cos 1cos cos sin 1222t t dt t dt t t t dx x x -=-==-⎰⎰⎰)1(arcsin 212x x x --=所以]11arcsin [21arcsin 222⎰⎰--=dx xx x x dx x xC x x x x x +---=)]1(arcsin 21arcsin [2122 C x x x x x +-+-=22141arcsin 41arcsin 21 ⑶⎰+xdx 1解 令u x =，则udu dx 2=C u u du uu udu xdx ++-=+-=+=+⎰⎰⎰|)1|ln (2)111(2121 C x x ++-=|)1|ln (2⑷⎰⎰⎰⎰===xx x x de x x d x e dx x x e dx x e sin sin sin sin sin 2sin sin 2cos sin 22sin C x e C e x e x d e x e x x x x x +-=+-=-=⎰)1(sin 2)sin (2)sin sin (2sin sin sin sin sin⑸C x e C e u e du u e u x dx e x u u u x+-=+-==⎰⎰)1(2)(22)(令 ⑹C x x d x x x dx x xdx +-=--=-=-⎰⎰⎰1arcsin )1(1111112222 解法二：令t x sec =，C xC t dt t t t t x xdx +=+==-⎰⎰1arccos tan sec tan sec 12⑺⎰⎰⎰++=+-=+-x x x x d dx x x x x dx x x sin cos )sin (cos sin cos sin cos tan 1tan 1C x x ++=|sin cos |lnC x dx x dx x x +-=-=+-⎰⎰|)4cos(|ln )4tan(tan 1tan 1ππ ⑻ C x x x dx x x x dx x x x +-----=-+-+-=--⎰⎰23232)2(123|2|ln )2(2)2(3)2()2( ⑼C x x x d x xdx x x dx ++=+==⎰⎰⎰32224tan 31tan tan )tan 1(cos sec cos ⑽ ⎰⎰⎰-==dx x dx x dx x 2224)22cos 1()(sin sin⎰⎰++-=+-=dx x x dx x x )24cos 12cos 21(41)2cos 2cos 21(412 C x x x C x x x x ++-=+++-=4sin 3212sin 4183)84sin 22sin (41 ⑾ ⎰+--dx x x x 43523 解⎰⎰-+-=+--dx x x x dx x x x 223)2)(1(5435令22)2(21)2)(1(5-+-++=-+-x C x B x A x x x 去分母得：)1()2)(1()2(52++-++-=-x C x x B x A x 解得：32-=A ，32=B ，1-=C 所以⎰⎰⎰⎰---++-=+--dx x dx x dx x dx x x x 223)2(121321132435 C x x x +-++-=21|12|ln 32 ⑿⎰+dx x )1arctan(解 令u x =+1，du u dx )1(2-=⎰⎰⎰⎰-⋅=-⋅=+du u du u u du u u dx x arctan 2arctan 2)1(2arctan )1arctan(122)1ln(arctan 2]arctan )1[(C u u u u u u +++--+= C x x x x x ++++-+=)22ln()1arctan(⒀ ⎰⎰⎰+-=+-+=+dx x x x dx x x x x dx x x )22(2222433433747 C x x ++-=)2ln(214144 另解：C x x dx x dx x x x dx x x ++-=+-=+⋅=+⎰⎰⎰)2ln(2141)221(4122444443447 ⒁⎰++dx x x x2tan tan 1tan 解 令u x =tan⎰⎰⎰⎰++-+=+++=++du u u du u du u u u u dx x x x 222221111111tan tan 1tanC x x C u u ++-=++-=31tan 2arctan32312arctan32arctan⒂ ⎰⎰-+---=-dx x x x dx x x 10021002)1(1)1(2)1()1( C x x x +-+---=979899)1(971)1(491)1(991 ⒃⎰⎰⎰-+-=-=dx x x xx x d x dx x x 2211arcsin 1arcsin arcsin C xx x x +-+--=|11|ln arcsin 2⒄⎰⎰⎰--+=--+=-+2)]1ln()1[ln(21)]1ln()1[ln(11lndx x x dx x x x dx x x x C x xxx dx x x x x x x ++-+-=-++---+=⎰11ln 21)1111(21)]1ln()1[ln(21222⒅⎰⎰⎰+==x d xx dx xx dx xx tan tan tan 1cos tan 1cos sin 1247C x x ++=)tan 511(tan 22⒆ ⎰⎰⎰⎰+-++=+-+=+-dx x x e dx x e dx x x x e dx x x e xx x x22222222)1(21)1(21)11( C xe dx x e x e dx x e x d e dx x e x x x x x x ++=+-+++=+++=⎰⎰⎰⎰2222221111111 ⒇ ⎰=dx uv I n n ，x b a u 11+=，x b a v 22+=解 ][221211⎰⎰⎰--===dx v b u n u v b u d v b dx uv I n nn n n ])([2][21122111121⎰⎰---+-=-=dx uv b a b a v b n u v b dx u uv b n u v b n nn n ])([21122111----=n n nI b a b a n I nb u v b 所以])([)12(2112211---+=n n n I b a b a n u v b n I。

数学分析课本（华师大三版）-习题及答案02第二章数列极限习题§1数列极限概念1、设n a =nn)1(1-+，n=1，2，…，a=0。

（1）对下列ε分别求出极限定义中相应的N ：1ε=0.1，2ε=0.01，3ε=0.001；（2）对1ε，2ε，3ε可找到相应的N ，这是否证明了n a 趋于0？应该怎样做才对；（3）对给定的ε是否只能找到一个N ？ 2、按ε—N 定义证明：（1）∞→n lim 1+n n =1；（2）∞→n lim 2312322=-+n n n ；（3）∞→n lim n n n !；（4）∞→n lim sinn π=0；（5）∞→n lim n an=0（a >0）。

3、根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列：（1）∞→n limn1；（2）∞→n limn3；（3）∞→n lim 31n ；（4）∞→n lim n 31；（5）∞→n limn21；（6）∞→n limn10；（7）∞→n lim n21。

4、证明：若∞→n lim n a = a ，则对任一正整数k ，有∞→n lim k n a += a 。

5、试用定义1'证明：（1）数列{n1}不以1为极限；（2）数列{n n )1(-}发散。

6、证明定理2.1，并应用它证明数列{nn)1(1-+}的极限是1。

7、证明：若∞→n lim n a = a ，则∞→n lim |n a |= |a|。

当且仅当a 为何值时反之也成立？8、按ε—N 定义证明：（1）∞→n lim )1(n n -+=0；（2）∞→n lim3321n n++++ =0；（3）∞→n lim n a =1，其中,1nn -n 为偶数， n a =nnn +2，n 为奇数。

§2收敛数列的性质1、求下列极限：（1）∞→n lim 32413323++++n n n n ；（2）∞→n lim 221n n +；（3）∞→n lim 113)2(3)2(+++-+-n n nn ；（4）∞→n lim )(2n n n -+；（5）∞→n lim )1021(n n n +++ ；（6）∞→n lim n n31313121212122++++++ 。

华东师范⼤学数学分析第8章习题答案第⼋章⼀：不定积分概念与基本积分公式（教材上册P181） 1. 验证下列(1)、(2)等式并与(3)、(4)两试相⽐照: (1)'()()f x dx f x c =+?; (2) ()()df x f x c =+?; (3) [()]'()f x dx f x =?; (4) ()()()d f x d x f x dx =?;解: (1)'0(())''()'()'()()c f x c f x c f x f x dx f x c=∴+=+=∴=+? 与(3)相⽐(1)试求不定积分运算,(2)是求导运算,(1) (3)互为逆运算,不定积分相差⼀个常数但仍为原不定积分,该常数⽤c 表⽰,称为积分常数.(2)()'()()'()()df x f x dxdf x f x dx f x c===+??与(4)相⽐: (2)是先求导再积分,因此包含了⼀个积分常数,(4)是先积分再求导,因此右侧不含积分常数.2. 求⼀曲线y=f (x),使得在曲线上的每⼀点(x,y)处的切线斜率为2x,且通过点(2,5). 解:222dy xdxy dy xdx x c====+??将(x,y)=(2,5)代⼊得: 5=22+cC=1该曲线为21y x =+3. 验证2sgn 2x y x =是|x|在(,)+∞-∞上的⼀个原函数. 解:x>0时,y ’=2()'||2x x x ==x<0时,2'()'||2x y x x =-=-=x=0时,22000sgn 022'lim lim lim 002x x x x x x x y x x ++++→→→-====- 2200sgn 02'lim lim()0||02x x x x x y x x --→→-==-==- 因此'''0||y y y x +-====综上得2'(sgn )'||,(,)2x y x x x ==?∈+∞-∞2sgn 2x y x =是|x|在(,)+∞-∞上的⼀个原函数.4. 据理说明为什么每⼀个含有第⼀类间断点的函数都没有原函数?解: 设0x 是 f (x)的第⼀类间断点,且 f (x)在0()U x 上有原函数 F (x),则0'()(),()F x f x x U x =∈.从⽽由导数极限定理得00lim ()lim '()'()()x x x x f x F x F x f x +++→→=== 同理 000lim ()'()()x x f x F x f x -→==.可见0()f x x 点连续,推出⽭盾.⼆: 换元积分法与部分积分法(教材上册P188) 1. 应⽤换元积分法求下列积分 (1) cos(34)x dx +?; (2) 22xxe dx ?;(3) 21dx x +?; (4) (1)n x dx +?;(5)dx ?; (6) 232x dx +?;(7);(8)(9)2sin x x dx ?; (10) 2sin (2)4dxxx +?;(11) 1cos dx x +?; (12) 1sin dx x+?;(13)csc xdx ?;(14);(15)44xdx x +?; (16)ln dx x x ?;(17) 453(1)x dx x +?; (18) 382x dx x -?;(19)(1)dxx x +?; (20) cot xdx ?; (21) 5cos xdx ?; (22)sin cos dxx x ?;(23)x xdx e e -+?; (24) 22338x dx x x --+?; (25) 252(1)x dx x ++?;(26) (a>0);(27) 223/2(0)()dxa x a >+?;(28) 5;(29)(30).解: (1)34cos(34)cos 3t x t x dx d =++=11sin sin(34)33t c x c =+=++ (2) 22112222()'()22t x x t txe dx e d ==??112211()()()22224t t t t t ed e dt ==?? 221144t x e c e c =+=+ (3)21111ln ||ln |21|21222t x dx t d t c x c x t =+==+=+++??(4)①当1n ≠-时,111(1)(1)11n n t x nnt x x dx t dt c c n n ++=+++== +=+++?? ②当1n =-时,(1)ln |1|n x dx x c +=++?(5)dx =?c =+ (6)232323231212122222ln22ln 22ln2t x x t x x tt dx d c c c ++=++==+=+=+?(7)332222222()(83)3399t t td t dt t c x c -=-=-+=--+?(8)322/31333()(75)551010t t d tdt t c x c t -=-=-+=--+? (9)211112222211sin sin sin sin 22t x x x dx t tdt t t t dt tdt =-===211cos cos 22t c x c =-+=-+ (10)2422111cot cot(2)224sin (2)sin 42t x dxt c x c x t x tdππ=+==-+=-+++?? (11)222(2)12sec tan tan()1cos 1cos 22cos 2t x dx d t x dt tdt t c c x t t =====+=+++ (12) 22 1sin (sec sec tan )tan sec 1sin dx xdx x x x dx x x c x cos x-==-=-++ (13)2111csc sin sin cos tan cos2222xdx dx dx x x x x x ===?α2ln |tan |2tan 2x d x c x ==+? (14)21(1)2x c =--=(15)22242111()arctan()442421()2x x x dx d c x x ==+++??(16)ln 11ln ||ln |ln |ln t x t t dx de dt t c x c x x e t t====+=+ (17)4555253535311111(1)(1)(1)5(1)5(1)10x dx dx d x x c x x x -==--=-++--(18)4344888111|242816112x dx dx d c x x x ===-+----(19)11()ln ||ln |1|ln ||(1)11dx xdx x x c c x x x x x=-=-++=++++?? (20)cos cot ln ||ln |sin |sin xxdx dx t c x c x ==+=+??(21)52224cos (1sin )sin (12sin sin )sin xdx x d x x x d x =-=-+?sin 2sin sin 53x x x c =-++ (22)2cos tan ln |tan |sin cos sin cos tan dx xdx d x x c x x x x x ===+ (23)22arctan 1()1()x xx x x x x dx e de dx e c e e e e -===++++ (24)222223(38)ln(38)3838x d x x dx x x c x x x x --+==-++-+-+?? (25)2221533232(1)223123()(1)t x x t t t dx dt dt dt x t t t t t =++-+-+===-++ 222323 ln ||ln |1|(1)212t t c x x c t x --=+-+=++-+++(26)1()ln |x t ax t c a====+?1ln |ln |x c x c a =+=+(27)令tan x a θ=,sec 22t a tdt ππ-<<223/23322s e c 11c o t s i n ()s e c d xa t d t t d t tx a a t a a ===++??c =+ (28)55sin 42sin sin (cos 2cos 1)cos x d d cos θθθθθθθ===--+??35322121cos cos cos (1)535c xc θθθ=-+-+=--(29)32256642226666111t t t t dt t dt t dt t dt t t t ===-+--- 6 42266661tt t dt t dt t dt dt dt t =---+-?75366126ln ||751t t t t t c t+=----++- 165116661263ln ||751x x x x x c x +=----++- (30)1121t t tdt t -→=+?222(2)44ln |1|1t t dt t t tc t =-+=-++++?14ln |1|x c =+-+ 4ln |1|'x c =-+ 2. 应⽤分部积分法求下列不定积分 (1) arcsin xdx ?; (2) ln xdx ?;(3) 2cos x xdx ?; (4)3ln xdx x ?;(5) 2(ln )x dx ?; (6)tan xarc xdx ?;(7) 1[ln(ln )]ln x dx x+?;(8) 2(arcsin )x dx ? (9)3secxdx ?; (10)(0)a >.解 (1)arcsin arcsin arcsin arcsinxdx x x xd x x x =-=-122arcsin (1)x x x c =+++ (2)1ln ln ln ln ln xdx x x xd x x x xdx x x x c x=-=-=-+(3)222cos sin 2sin sin 2cos x xdx x x x xdx x x xd x =-=+?2sin 2cos 2cos x x x x xdx =+-?2sin 2cos 2sin x x x x x c =+-+(4)2223ln 11ln [ln (ln )]22x dx xdx x x x d x x ---=-=-- 222ln 11(ln 1)244x c x c x x x=--+=-++(5)2221(ln )(ln )2ln (ln )2ln x dx x x x x dx x x xdx x=-=-(参考（2）结果)2(ln )2ln 2x x x x x c =-++(6)2222111tan tan arctan 2221x xarc xdx arc xdx x x dx x ==-+ 221111arctan 2221x x dx dx x =-++?? 2111arctan arctan 222x x x x c =-++(7)11111[ln(ln )]ln(ln )ln(ln )ln ln ln ln x dx x dx dx x x x dx dx x x x x x +=+=-+ ln(ln )x x c =+ (8)12222(arcsin )(arcsin)2arcsin (1)x dx x x x x dx -=--??12222(sin )arcsin (1)(1)x arx x x x d x -=+--?1222(arcsin )2arcsin (1)x x xd x =+-?1222(arcsin )2(1)arcsin 2x x x x dx =+--?1222(arcsin )2(1)arcsin 2x x x x x c =+--+(9) 令3sec I xdx =?s e c t a ns e ct a nt a n s e c I x d x x x x x x d x==-?23sec tan (1cos )sec sec tan sec x x x xdx x x I xdx =--=-+??11sec tan sec 22I x x xdx =+?1(sec tan ln |sec tan |)2x x x x c =+++(10)11222222222(0)()2()I a x x a xdx x a x -=>=±=+-1122222222()()()x x x a I ax x a I a a =±-±=±-±则122222111()()(ln ||)222x I x x a a a x c a =±±=+ 3. 求下列不定积分(1)[()]()'(1)f x f x dx αα≠?; (2)2'()1[()]f x dx f x +?;(3)'()()f x dx f x ?; (4)()'()f x e f x dx ?. 解: (1)11[()]()'[()]()[()]1f x f x dx f x df x f x c αααα+==++?(2)122'()1()arctan[()](arccot[()])1[()]1[()]f x dx df x f x c f x c f x f x ==+=-+++??(3)'()1()ln |()|()()f x dx df x f x c f x f x ==+?? (4)()()()'()()f x f x f x ef x dx e df x e c ==+?三. 有理函数和可化为有理函数的不定积分(教材上册P198) 1. 求下列不定积分(1)31x dx x -?; (2)22712x dx x x --+?;(3)31dx x +?; (4)41dxx +?;(5)22(1)(1)dx x x -+?; (6)222(221)x dx x x -++?;解: (1)3321111111x x x x x x x -+==+++--- 3232111(1)ln |1|1132x dx x x dx x x x x c x x =+++=+++-+--?? (2)2223111712(3)(4)(3)(4)4(3)(4)x x x x x x x x x x x x ---+===+-+-------22211(4)7124712x dx d x dx x x x x x -=-+-+--+211(4)2(27)4(27)d x d x x x =-+---??2ln |4|ln |3|x x c =---+ (3)设321111A Bx Cx x x x +=+++-+ 则21(1)()(1)A x x Bx C x =-++++ 2()()A B x B C A x A C =+++-++, 则⽐较两端系数,得1 21,,333B C A =-== 321121311dx x dx x x x x -??=-++-+221111(1)31311d x d d x =+-+++?221(1)ln 61x c x x +=+-+(4)22422221111()11()21x d x x x x dx dx x x x x x x -+-+===++-+-+11x c -=+2224222211111||1()2x x xdx dx c x x x x x---===++++-则234441111112121x x dx dx dx x x x +-=-+++|c =++ (5)设1122222221(1)(1)11(1)B xC B x C A x x x x x ++=++-+-++ 则22211221(1)()(1)(1)()(1)A x B x C x x B x C x =+++-+++-432111112121212()()(2)()()A B x C B x AC B B x C C B B x A C C=++-+-++++--+-- ⽐较两边系数得到12211111,,,,44422A B C B C ==-=-=-=- 22222111111(1)(1)(1)(1)418141dx d x d x dx x x x x x =--+--+-++ 222221111(1)4(1)2(1) d x dx x x -+-++?? 2222111(1)2(1)21x dx dx x x x =++++?? 222111ln |1|ln(1)arctan (1)(1)482dx x x x x x ∴=--+--+?211(1)4x -++ 211(1)4x x c --++。

1.求下列复合函数的偏导数或导数. (1) 2ln ,,32,u z x y x y u v v===-求,.z z u v∂∂∂∂ (2) (,),u f x y xy =+求,.u u x y∂∂∂∂ (3) (,),x y u f y z =求,,.u u ux y z∂∂∂∂∂∂2. 设22,()y z f x y =-其中f 为可微函数,验证:211.z z z x xy yy∂∂+=∂∂3．设sin (sin sin ),z y f x y =+-其中f 为可微函数，证明：sec sec 1.z z x y xy∂∂+=∂∂4．设(,)f x y 可微，证明：在坐标旋转变换cos sin ,sin cos x u v y u v θθθθ=-=+之下，22()()x y f f +是一个形式不变量.即若(,)(cos sin ,sin cos ),g u v f u v u v θθθθ=-+则必有2222()()()().x y u v f f g g +=+5. 设()f u 是可微函数,(,)(2)(32).F x t f x t f x t =++-试求(0,0)(0,0).x t F F 与6.(1) ,.p q r x y zpqruu xyz e x y z++++∂=⋅∂∂∂ (2) (,,),,,.x xx xy x z f x y xy z z z y=+7. 设(,),cos ,sin ,u f x y x r y r θθ===证明:22222222211.u u u u u rr rr xyθ∂∂∂∂∂++=+∂∂∂∂∂8.设222212(),,n u f r r x x x ==+++ 证明:22222222121.nu u u d u n du x x x drrdr∂∂∂-+++=+∂∂∂9.设1(),,r v g t c rc=-为常数r =证明:21.xx yy zz tt v v v v c++=10．通过对(,)sin cos F x y x y =施用中值定理，证明对某(0,1),θ∈有3coscossinsin.4336636ππθπθππθπθ=-11. 求下列函数在指定点处的泰勒公式: * (1) (,),x f x y y=在点(1,1)(到三阶为止); (2) (,)ln(1),f x y x y =++在点(0,0).12. 证明:函数22()4,(,x b a tu a b --=为常数)满足热传导方程:222.u u atx∂∂=∂∂13.证明函数ln u =:22220.u u xy∂∂+=∂∂14. 证明(,)u f x y =满足拉普拉斯方程22220,u u xy∂∂+=∂∂则2222(,)x y v f x yx y=++也满足此方程.15. 设函数(())u x y ϕψ=+,证明16. 设,x y f f 和yx f 都在点00(,)x y 的邻域内存在,yx f 在点00(,)x y 连续,证明00(,)xy f x y 也存在,且0000(,)(,).xy yx f x y f x y =17. 设,x y f f 在点00(,)x y 的邻域存在且在点00(,)x y 可微,则有0000(,)(,).xy yx f x y f x y =18. 设222111,u xy z xyz= 求: (1) ;x y z u u u ++ (2) ;x y z xu yu zu ++ (3) .xx yy zz u u u ++。