华东师大数学分析答案
- 格式:doc
- 大小:441.00 KB
- 文档页数:5
第四章
函数的连续性
第一节 连续性概念
1.按定义证明下列函数在其定义域内连续:
(1)
x x f 1
)(=
; (2)x x f =)(。 证:(1)x
x f 1
)(=的定义域为 ),0()0,(+∞-∞=D ,当D x x ∈0,时,有
001
1x x x x x x -=
- 由三角不等式可得:00x x x x --≥ , 故当00x x x <-时,有
02
01
1x x x x x x x x ---≤-
对任意给的正数ε,取,010
2
0>+=x x εεδ则0x <δ,当 D x ∈ 且δ<-0x x 时,
有 ε<-=
-0
011)()(x x x f x f 可见
)(x f 在0x 连续,由0x 的任意性知:)(x f 在其定义域内连续。
(2) x x f =)(的定义域为),,(+∞-∞对任何的),(0+∞-∞∈x ,由于 00x x x x -≤-,从而对任给正数ε,取εδ=,当δ<-0x x 时, 有 =-)()(0x f x f 00x x x x -≤-ε< 故
)(x f 在0x 连续,由0x 的任意性知,)(x f 在),(+∞-∞连续。
2.指出函数的间断点及类型: (1)=)(x f x
x 1
+
; (2)=)(x f x x sin ; (3)=)(x f ]cos [x ;
(4)=)(x f x sgn ; (5)=)(x f )sgn(cos x ;
(6)=)(x f ⎩⎨⎧-为无理数为有理数x x x x ,,;(7)=)(x f ⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧+∞
<<--≤≤--<<∞-+x x x x x x x 1,11
sin )1(1
7,7
,71
解: (1))(x f 在0=x 间断,由于)1
(lim x
x x +∞
→不存在,故0=x 是)(x f 的第二类间断点。
(2))(x f 在0=x 间断,由于 1sin lim )(lim 0
==+
+→→x
x
x f x x , 1sin lim )(lim 0
-=-=-
-→→x
x
x f x x 故0=x 是)(x f 的跳跃间断点。 (3))(x f 在πn x =间断,),2,1,0( ±±=n 由于
0]cos [lim )(lim ==++→→x x f n x n x π
π
, 0]cos [lim )(lim ==--→→x x f n x n x π
π
故 πn x = 是)(x f 的可去间断点),2,1,0( ±±=n 。 (4))(x f 在0=x 间断,由于 1sgn lim )(lim 0
==++→→x x f x x ,
1sgn lim )(lim 0
0==--
→→x x f x x ,故0=x 是)(x f 的可去间断点。
(5))(x f 在2
2π
π±=k x ),2,1,0( ±±=k 间断,由于
1)(lim 2
1
4-=+
+→
x f k x π
,
1)(lim
2
1
4=-
+→
x f k x π,
1)(lim 2
1
4-=+
-→
x f k x π,
1)(lim 2
1
4=+
-→
x f k x π
故 2
2π
π±
=k x ),2,1,0( ±±=k 是)(x f 的跳跃间断点。
(6))(x f 在0≠x 的点间断且若00≠x ,则)(lim 0
x f x x → 不存在,故0≠x 是)(x f 的第二类间断点。
(7))(x f 在7-=x 及
1=x 间断,且7)(lim 7
-=+-→x f x ,)(lim 7
x f x --→不存在,故7-=x 是
)(x f 的第二类间断点。又因 01
1
sin
)1(lim )(lim 1
1
=--=++→→x x x f x x ,1)(lim 1=-→x f x ,
故1=x 是)(x f 的跳跃间断点。
3.延拓下列函数,使在 ),(+∞-∞上连续:
(1)=)(x f 283--x x ; (2)=)(x f 2
cos 3x x
-;
(3)=)(x f x
x 1cos 。
解:(1)当2-=x 时,)(x f 没有定义,
而2lim →x 283--x x =2
lim →x )42(2
++x x =12
于是函数 ⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠--=2,122,28
)(3x x x x x F 是)(x f 的延拓,且在 ),(+∞-∞上连续。
(2)当0=x 时,)(x f 没有定义,而0
lim →x )(x f =0
lim
→x 21
cos 12
=-x
x ,于是 函数 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠-=0,2
10,cos 1)(2
x x x x
x F 是)(x f 的延拓,且在 ),(+∞-∞上连续。
(3)当0=x 时,)(x f 没有定义,而0
lim →x )(x f =0
lim →x 01
cos
=x
x ,于是 函数 ⎪⎩⎪
⎨⎧=≠=0,
00,1cos )(x x x
x x F 是)(x f 的延拓,且在 ),(+∞-∞上连续。 4.若f 在0x 点连续,则f ,2
f 是否也在0x 连续?又若f 或2
f 在I 上连续,那么f 在
I 上是否连续?
解:(1)若f 在0x 点连续,则f 与2
f 在0x 连续。
(i )f 在0x 点连续。事实上,由于f 在0x 点连续,从而对任给正数ε,存在正数δ,当δ<-0x x 时,有ε<-)()(0x f x f ,而 ≤-)()(0x f x f ε<-)()(0x f x f
故当 δ<-0x x 时,有
ε<-)()(0x f x f ,因此f 在0x 点连续。
(ii )2
f 在0x 点连续。事实上,由于f 在0x 点连续,从而由局部有界性知:存在0>M 及
01>δ使当10δ<-x x 时, 有 2
)(M
x f <
, (1) 有连续性定义知:对任给正数ε,存在正数2δ,当20δ<-x x 有 M
x f x f ε
<
-)()(0 (2)
先取},m in{21δδδ= ,则当δ<-0x x ,上(1)与(2)式同时成立,因此
=-)()(02
2
x f x f )()(0x f x f -)()(0x f x f +⋅
≤)()(0x f x f -))()((0x f x f +ε<