数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编

数学与应用数学专业（师范类）培养方案学科门类: 理学专业代码: 070101一、培养目标本专业培养适应社会主义现代化建设需要、德智体全面发展、掌握数学科学的基本理论、基础知识与基本方法, 能够运用数学知识和使用计算机解决若干实际数学问题, 具备在科技、经济部门从事研究以及在高等和中等学校进行数学教学的教师、教学研究人员及其他教育工作者。

二、培养要求本专业学生主要学习数学和应用数学的基本理论和方法, 受到严格的数学思维训练, 掌握计算机的基本原理和运用手段, 并通过教育理论课程和教学实践环节, 形成良好的教师素养, 培养从事数学教学的基本能力和数学教育研究、数学科学研究、数学实际应用等基本能力。

毕业生应获得以下几方面的知识和能力:1.具有扎实的数学基础, 初步掌握数学科学的基本思想方法, 其中包括数学建模、数学计算、解决实际问题等基本能力。

2.有良好的使用计算机的能力, 能够进行简单的程序编写, 掌握数学软件和计算机多媒体技术, 能够对教学软件进行简单的二次开发。

3.具备良好的教师职业素养和从事数学教学的基本能力。

熟悉教育法规, 掌握并初步运用教育学、心理学基本理论以及数学教学理论。

4.了解近代数学的发展概貌及其在社会发展中的作用, 了解数学科学的若干最新发展, 数学教学领域的一些最新研究成果和教学方法, 了解相近专业的一般原理和知识；学习文理渗透的课程, 获得广泛的人文和科学修养。

5.较强的语言表达能力和班级管理能力。

6.掌握资料查询、文献检索及运用现代信息技术获得相关信息的基本方法, 并有一定的科研能力。

7.具有一定的体育基本知识, 掌握科学锻炼身体的基本技能, 达到国家规定的大学生体育锻炼合格标准, 具有健康的体魄。

8.具有良好的心理素质，具有坚强的意志力，具有很好的心理自我调节能力。

9.能够比较熟练地掌握一门外语，初步具有听、说、读、写、译的能力。

三、学制和学分1.学制: 四年。

2.学分：166。

华中师范大学数学与统计学学院考研参考书目学术型硕士研究生参考书目：数学分析考研参考书目：华东师范大学数学系，《数学分析》（上、下册），高等教育出版社高等代数考研参考书目：1、樊恽、刘宏伟编，《线性代数与解析几何教程》（上、下册），科学出版社，2009年8月第1版；（或以下参考书2）2、樊恽、郑延履编，《线性代数与几何引论》，科学出版社，2004年8月第1版概率论基础考研参考书目：李贤平，《概率论基础》（第三版），高等教育出版社。

课程与教学论复试科目参考书目：《数学教育学》：《新编数学教学论》涂荣豹，王光明，华东师范大学出版社或《中学数学教材教法总论》(第二版)，十三院校协编，高等教育出版社。

全日制专业学位硕士研究生考研参考书目：学科教学（数学）初试科目参考书目：《数学教学论》：《新编数学教学论》涂荣豹，王光明，华东师范大学出版社。

《数学分析》：华东师范大学数学系，《数学分析》（上册），高等教育出版社。

《高等代数》：高等代数（第3版），北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组，高等教育出版社。

考察内容：数学分析与高等代数的基础知识与基本思想方法。

学科教学（数学）复试科目参考书目：《数学教育学》：《新编数学教学论》涂荣豹，王光明，华东师范大学出版社或《中学数学教材教法总论》(第二版)，十三院校协编，高等教育出版社。

应用统计硕士考研参考书目：《统计学》：《概率论与数理统计》盛骤等编，高等教育出版社（第四版），浙江大学应用统计复试科目参考书：《计量经济学》：《计量经济学》，赵国庆，中国人民大学出版社，2012-2-1。

考研加试科目参考书目：《抽象代数》：《抽象代数》樊恽、刘宏伟编，普通高等教育“十一五”国家级规划教材，科学出版社。

《实变函数》：《实变函数》徐森林、中国科学技术大学出版社或《实变函数》，江泽坚、吴智泉，高等教育出版社（第二版）《数理统计》：邓集贤、杨维权、司徒荣、邓永录，《概率论与数理统计》（第4版下册），高等教育出版社。

《数学分析》概述授课章节：《数学分析》概述教学目的：１．通过教学使学生对《数学分析》这门课有总体的了解，明确研究对象及主要内容； ２．通过教学使学生明确《数学分析》课在所学专业中的地位和主要作用，以引起重视； ３．通过教学使学生明确《数学分析》的课程安排、考核及成绩的评定标准；４．通过教学使学生懂得参考书的使用及作业的要求．教学重点：数学分析的研究对象、主要内容．教学难点：主要内容的介绍．教学方法：讲座形式．教学程序：讲座提纲１．《数学分析》这门课到底要研究什么（即研究对象）？２．《数学分析》的主要内容；３．《数学分析》与后继课程的关系；４．《数学分析》课程安排及考核；５．《数学分析》学习中应该注意的一些问题；６．《数学分析》的参考书目；７．作业要求．一、研究对象变量间的关系及变化过程，具体表现为函数及其性质.函数及其性质：单调性、有界性、奇偶性、最大（小）值、极大（小）值、周期性、图象、……需要指明的是：中学也研究函数的这些性质，但主要采用“静止”、“孤立”的方法去研究函数．而在《数学分析》中主要采用“运动”、“联系”、“变化”的过程把握变化的结果．因而《数学分析》中的方法具“运动性”、“变化性”．如何研究函数？通过什么方式、角度去研究呢？或用什么样的工具去研究函数呢？这些构成《数学分析》的主要内容．二、主要内容1.极限的方法（极限论）．（２、３、４、１６章） 例如，从极限的观点看函数1y x=． 一般函数的极限如何定义？其性质如何？—----极限论．2.微分（学）．（５、６、１７、１８章）研究函数的增量相对于自变量的增量的变化率问题．例如：设()y f x =是一函数，令0,x x x =- 0()().y f x x f x ∆=+- 要问y ∆随x ∆的变化趋势如何？特别地，y x∆∆的变化趋势如何？ 3.积分学：（８、９、１０、１１、１９、２０、２１、２２章）4.级数论：（１２、１３、１４、１５章） 研究无穷多个函数的可和性问题．例如211(||1)1n x x x x x-+++++=<- ．综上，《数学分析》这门课主要由四大块内容组成：极限论、微分论、积分学和级数论．这四大块不是孤立的，而是存在着密切的联系．其中“极限论”是“基础”，其它是“上层建筑”．但这里需要提出的是，作为“基础”的“极限理论”的完善远远晚于其它几个方面的应用，因而引起许多争议．对此感兴趣的同学可读一读教材的附录中281-288页的“微积简史”部分，会对此有所了解．三、与后继课程的关系《数学分析》课程是数学系数学教育专业的专业基础核心课程，它的学习时间长（三个学期，234学时），学习内容多，学分最多（13学分），是从初等数学到高等数学过渡的桥梁，是学生学习数学教育专业其它后继课程（如：大学物理、微分方程、概率论与数理统计、微分几何、复变函数、计算机数值方法、实变函数与泛函分析等）的重要基础.这些课都以《数学分析》为先修课程，如果不开《数学分析》或晚开《数学分析》，将直接影响到这些课程的开设.同时还为培养学生分析问题和解决问题的能力提供必要的训练，从而提高学生的实践能力和创新能力.掌握这门课程的基本理论和基本方法，对于学习本专业基础课和专业课以及进一步学习、研究和应用都是至关重要.四、课程安排、考核及成绩评定方法1、学时分配：三个学期，总学时234，总学分13第一学期：每周5学时（上课内容从“第一章实数集与函数”到“第八章不定积分”，上课时间18周，学时90，学分5）；第二学期：每周４学时（上课内容从“第九章定积分”到“第十五章傅里叶级数”，上课时间18周，学时72，学分4）；第三学期：每周４学时（上课内容从“第十六章多元函数的极限与连续”到“第二十二章曲面积分”，上课时间18周，学时72，学分4）.2、考核方式：闭卷考试（期中测验，期未期终考试）.3、成绩评定：采用百分制平时成绩：30分（其中：1）作业占10%；2）听课率、课堂提问回答等占10%；3）期中测验占10%）；期未考试：70分.五、学习体会从高中到大学，显然是衔接的，但毕竟是不同的阶段．主要表现在；中学数学 大学数学在教材方面 内容少，较直观、具体、理论性不强，研究的常量数学、固定的图形 内容多、较抽象、理论性强，研究的变量、图形的变化在听课方面 听 课前预习；课中认真听课和记笔记；课后及时复习在复习方面 整理笔记，及时复习在习题方面 主要是计算，验证少、理论性弱 概念、论证多、理论性强、数学语言表达准确，通过作业巩固学习内容六、参考书1．吴良森、毛羽辉等编《数学分析学习指导书》（上、下册），高等教育出版社，2004.8.2．刘玉琏、傅沛仁编《数学分析讲义》第三版（上、下册），高等教育出版社，1992.7.3．吉米多维奇著《数学分析习题集》，李荣冻译，人民教育出版社，1958.6.4．菲赫金哥尔茨著《微积分学教程》（修订本），叶彦谦等译，人民教育出版社，1959.8.七、作业要求作业整洁；字迹工整，书写清晰；解题格式要完整；勿抄作业，习题答案只能作为参考.。

高等数学国家十三五规划教材名单在高等数学教学中，教材的选择对学生的学习效果至关重要。

国家在教育领域也十分重视高等数学的教材编写和出版。

为了提高高等数学教学的质量和水平，国家制定了“国家十三五规划教材名单”，用以推荐优秀的教材供高校选择使用。

以下是其中的一部分教材名单：1.《高等数学》（第九版）华东师范大学数学系编西安交通大学出版社该教材汇集了华东师范大学多位数学教授的智慧和经验，经过多年的积累和改进，已经成为高校中广泛采用的一本教材。

该教材内容全面，讲解深入浅出，适用于高等数学基础较强的学生。

2.《数学分析》（上、下册）汤家凤主编高等教育出版社这套教材是一本经典的高等数学教材，由汤家凤教授主编。

该教材内容系统全面，涵盖了高等数学中的数学分析部分，且注重理论与实践的结合，适用于对数学分析理论有较高要求的学生。

3.《高等数学》（全国普通高等学校推荐教材）熊黛林主编高等教育出版社该教材是全国普通高等学校推荐使用的一本教材。

熊黛林教授作为主编，凭借其丰富的教学经验和对数学的深入理解，将高等数学的知识点讲解得清晰易懂，有助于学生建立起扎实的数学基础。

4.《高等数学》（第七版）刘庆李涛张永华主编高等教育出版社刘庆、李涛和张永华是数学界的知名学者，他们共同主编了这本高等数学教材。

该教材内容全面，深入浅出，融合了大量的练习题和例题，有助于学生巩固所学知识。

5.《高等数学》（教学参考书）冯新研主编清华大学出版社这是一本以理论为基础，涉及到高等数学各个领域的教学参考书。

该教材适合高等数学专业的学生，通过深入的讲解和详细的例题，帮助学生更好地理解和应用数学知识。

6.《高等数学》（教题对答顾要）梁家新主编高等教育出版社这本教材以教题为主线，通过答疑的方式将重点难点问题解答清楚。

梁家新教授作为主编，通过多年的教学经验和研究，将高等数学中的典型难题和常见问题进行了梳理和总结，为学生提供了宝贵的学习参考。

7.《高等数学导学与习题解析》王四营李玉芹吴玉梅主编高等教育出版社该教材是一本高等数学导学与习题解析的辅导教材，内容覆盖高等数学的各个知识点，并且配有大量的习题和详细的解析，可帮助学生迅速理解和掌握数学知识。

研究生教材选用汇总
一、数学类教材
1. 《数学分析》（上下册），华东师范大学数学系编，高等教育出版社。

2. 《高等代数》（第二版），北京大学数学系编，高等教育出版社。

3. 《实变函数与泛函分析》（上下册），周民强编，北京大学出版社。

二、物理类教材
1. 《量子力学》（第二版），曾谨言编，科学出版社。

2. 《热学》（第二版），李椿等编，高等教育出版社。

3. 《电动力学》（第二版），郭硕鸿编，高等教育出版社。

三、化学类教材
1. 《无机化学》（第五版），大连理工大学无机化学教研室编，高等教育出版社。

2. 《有机化学》（第二版），高鸿宾编，高等教育出版社。

3. 《物理化学》（第五版），傅献彩等编，高等教育出版社。

四、生物类教材
1. 《细胞生物学》（第四版），翟中和等编，高等教育出版社。

2. 《微生物学》（第二版），沈萍编，高等教育出版社。

3. 《遗传学》（第二版），朱军编，高等教育出版社。

五、计算机类教材
1. 《计算机组成原理》（第四版），唐朔飞编，高等教育出版社。

2. 《数据结构与算法分析》（第二版），张乃孝编，高等教育出版社。

3. 《计算机网络》（第七版），谢希仁编，电子工业出版社。

《数学分析》课程教学大纲一、教学大纲说明（一）课程的性质、地位、作用和任务《数学分析》是综合性大学数学类各专业一门重要的专业基础课程，是从初等数学到高等数学过渡的桥梁。

本课程所占学分多，跨度大（计划共四个学期），是一门内容丰富而整体性强、思想深刻而方法基本的课程，以经典微积分为主体内容，其中，极限的思想贯穿全课程，它不仅为许多后继课程提供必要的基础知识和基本技能的训练，而且对全面培养学生的现代数学素质以及运用数学思想和方法解决问题的能力起着十分重要的作用。

本课程的任务是使学生系统地掌握极限理论、一元函数微积分学、无穷级数与多元函数微积分学等方面的知识，使学生获得数学思想，数学的逻辑性，严密性方面的严格训练，使学生掌握近代数学的方法、技巧，为后续课程的学习乃至毕业后能胜任相应的实际工作奠定坚实的基础。

（二）教学目的和要求本课程教学目的是通过系统的学习，使学生全面掌握数学分析的基本理论知识，初步掌握现代数学的观点与方法，使学生具备灵活、快捷的运算能力与技巧，培养学生严格的逻辑思维能力与推理论证能力，简洁、清晰运用数学符号和语言的表达能力，提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。

在教学基本要求上分为三个档次，即了解、理解和掌握。

1、掌握——能联系几何与物理的直观背景，从正反两方面理解基本概念；熟练运用基本理论较进行推理论证和分析问题；熟练运用基本方法、灵活运用基本技巧进行运算和解决应用问题。

包括实数与函数、各类极限、连续、（偏）导数、（全）微分、各类积分、级数和函数项级数的敛散性、幂级数的概念、性质、计算及应用。

2、理解——能从正面理解基本概念；能应用和了解如何证明基本理论；能掌握基本方法解决问题，但不要求很熟练和技巧性。

包括泰勒公式、函数图像的讨论、实数完备性基本定理的内容、证明及应用、一般有理函数的不定积分及万能变换、欧拉变換、隐函数定理的证明、各类敛散问题中的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法、傅里叶级数的概念、性质、计算与应用、斯托克斯公式。

《数学分析》教学大纲第一部分说明一、本课程的目的、任务。

本课程是数学与应用数学和信息与计算科学两个专业的一门主要基础课，通过本课程的教学，一方面为后续课程，如：实变函数、复变函数、泛函分析，微分方程、微分方程的数值解、微分几何、概率论、理论力学等课程及有关的选修课等提供必要的基础知识，另一方面为培养学生的独立工作能力提供必要的训练，为学生进一步深造以及指导中学数学的教学打下良好基础。

本课程的任务是使学生获得有关函数、极限、函数的连续性、一元函数微积分、多元函数微积分、级数理论及其应用等方面的基本概念、基本理论与基本方法，从而能用更高的观点深入理解和分析处理中学数学教材的能力和解决实际问题的能力。

并通过大量习题的训练，培养学生的运算技能和对数学问题的思维、论证能力。

二、本课程的教学要求。

通过本课程的学习，使学生掌握极限理论、级数理论、微分理论及积分理论的基本概念和基本理论，熟练的掌握本课程所要求的基本计算方法和能力，基本的推理论证能力，抽象思维能力，逻辑思维能力，增强运用数学手段解决实际问题的能力。

教学重点：准确掌握极限、连续、微分和积分的概念、性质及计算；熟练掌握微分理论、积分理论和级数理论中的基本定理（实数完备性定理、中值定理、微积分基本定理、函数项级数的收敛理论、隐函数定理、曲面及曲线的积分定理）；正确地应用这些基本定理解决数学、物理及其他方面的实际问题。

教学难点：主要集中在极限论和级数论的内容中。

训练设计方案：（1）布置课后作业注重锻炼学生的解题能力，适当布置思考题培养学生分析问题的能力和创新能力。

（2）指定问题课后讨论。

自学指导方案：（1）对下节课所讲内容作课前预习；（2）对部分章节的了解性的内容提出问题让学生自学并课上讨论；（3）指定课外参考书让学生阅读或让学生上网查阅相关资料加深对课程理解。

与其它课程的联系：为后续课程常微分方程，概率论与数理统计，偏微分方程，复变函数，计算方法，实变函数与泛函分析等提供理论基础和工具。

教材和参考书教材：《数学分析》（第二版），陈纪修，於崇华，金路编高等教育出版社, 上册：2004年6月，下册：2004年10月参考书：（1）《数学分析习题全解指南》，陈纪修，徐惠平，周渊，金路，邱维元高等教育出版社, 上册：2005年7月，下册：2005年11月（2）《高等数学引论》（第一卷），华罗庚著科学出版社（1964）（3）《微积分学教程》，菲赫金哥尔兹编，北京大学高等数学教研室译，人民教育出版社（1954）（4）《数学分析习题集》，吉米多维奇编，李荣译高等教育出版社（1958）（5）《数学分析原理》，卢丁著，赵慈庚，蒋铎译高等教育出版社（1979）（6）《数学分析》，陈传璋等编高等教育出版社（1978）（7）《数学分析》（上、下册），欧阳光中，朱学炎，秦曾复编，上海科学技术出版社（1983）（8）《数学分析》（第一、二、三卷），秦曾复，朱学炎编，高等教育出版社（1991）（9）《数学分析新讲》（第一、二、三册），张竹生编，北京大学出版社（1990）（10）《数学分析简明教程》（上、下册），邓东皋等编高等教育出版社（1999）（11）《数学分析》（第三版，上、下册），华东师范大学数学系，高等教育出版社（2002）（12）《数学分析教程》常庚哲，史济怀编，江苏教育出版社（1998）（13）《数学分析解题指南》林源渠，方企勤编，北京大学出版社（2003）（14）《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文编，高等教育出版社（1993）复旦大学数学分析全套视频教程全程录像,ASF播放格式，国家级精品课程，三学期视频全程教师简介:陈纪修-基本信息博士生导师教授姓名：陈纪修任教专业：理学-数学类在职情况：在性别：男所在院系：数学科学学院陈纪修-本人简介姓名：陈纪修性别：男学位：博士职称：教授（博士生导师）高校教龄22年，曾获2001年上海市教学成果一等奖、获2001年国家级教学成果二等奖、获2002年全国普通高等学校优秀教材一等奖、2002年获政府特殊津贴；获宝钢教育奖（优秀教师奖）；被评为“九五”国家基础科学人才培养基金实施和基地建设先进工作者。

数学分析上册(第三版)华东师范大学数学系 编高等教育出版社内容简介本书是教育部“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果,是面向21世纪课程教材,普通高等教育“九五”国家教委重点教材.内容包括实数集和函数,数列极限,函数极限,连续性,导数和微分,微分中值定理及其应用,实数完备性,不定积分,定积分及其应用,反常积分等,附录为微积分学简史,实数理论,积分表.本书可作为高等师范院校或其他类型学校数学专业的教材使用.　图书在版编目(CIP)数据　数学分析.上册华东师范大学数学系编.—3版.北京:高等教育出版社,2000　ISBN7-04-009137-2　Ⅰ.数…　Ⅱ.华…　Ⅲ.数学分析—高等学校—教材　Ⅳ.017　中国版本图书馆CIP数据核字(2000)第75486号数学分析　上册　第三版华东师范大学数学系　编出版发行　高等教育出版社社 址　北京市东城区沙滩后街55号 邮政编码　100009电 话　010-********传 真　010-********网 址　http: http:经 销　新华书店北京发行所印 刷　开 本　787×960　116版 次　1981年4月第1版印 张　22 年　月第　版字 数　400000印 次 年　月第　次印刷定 价　18.70元本书如有缺页、倒页、脱页等质量问题,请到所购图书销售部门联系调换。

版权所有　侵权必究责任编辑　高尚华封面设计　张　楠责任绘图　郝　林版式设计　马静如责任校对　马桂兰责任印制　第三版前言华东师范大学数学系编写的《数学分析》上、下册经过国家教委组织的专家评审,列入“九五”教委级重点教材;并承高等学校数学和力学指导委员会基础数学教学指导组对教材修订提出具体指导意见,我系数学分析编写组对本书在第二版使用基础上进行修订.此次修订前我们广泛征求了各使用院校的意见,召开了使用教材情况的座谈会,许多具有丰富教学经验的教师对本教材修改提供了许多积极、中肯的意见.在此基础上,我们在现行数学分析教学大纲的范围内对一些内容进行适当调整和增删;同时考虑到近代数学分析教材发展潮流,适度地反映这方面的进展情况,以适应对21世纪新教材的需求.关于实数理论,不少同类教材由小数出发叙述实数理论,这种方式比较容易理解,并且与中学数学教学衔接得比较紧密.我们在第一章中采用由小数引进实数的方法,并由此证明确界原理,希望这样处理有利于读者掌握这一实数基本原理.在单变量微分学中,除按传统方式由速度和曲线的切线引入导数概念外,同时也由极值问题引入稳定点概念,并使微分中值定理与其应用结合得更为紧密.积分理论方面,在引入定积分基本概念后,提前出现牛顿—莱布尼茨公式,这样能较早接触定积分计算.对于可积分条件先作直观描述,并用来证明某些函数类的可积性,难度较大的可积性三个充要条件放到该章最后一节,可根据需要选用.根据使用院校意见,反常积分和含参量积分各自独立成章.二重积分的变量变换公式在较强的条件下,利用格林公式进行证明;一般条件下的重积分变换公式采用连续模一致逼近的方法导出,对希望了解一般条件下严格证明的读者可能有益,这个证明放在重积分最后一节.在欧美、俄罗斯数学分析教材中对向量值函数微分学和外微分形式相当重视,在应用数学中也日见其重要性.在前二版有关内容的基础上,我们使用迭代法证明反函数定理,并由此证明隐函数定理及求导法,使得相应内容比较容易接受;外积运用了浅近的解释,使其与重积分变量变换公式相联系.上述两部分内容以“流形上微积分学初阶”为题构成第二十三章内容,供选学用.对于加“＊”的章节,教学中可灵活选用,也可作为读者进一步阅读的内容或作为选修课的内容,以使本书适合多种层次的需求.2第三版前言附录Ⅰ　微积分学简史.由张奠宙教授作了修订,读者可从此附录了解微积分学发展的线索.附录Ⅱ　实数理论.采用戴德金分划由有理数集的分划叙述实数完备性比较直观、优美,仍是附录的重要组成部分.但用小数讲述实数理论与实用更靠近,在附录最后添加“无限小数四则运算的定义”与正文相呼应.附录Ⅲ　积分表.在这次修订中,我们审查了全部习题,适当进行了调整和补充,希望能更好符合教学的需要.这次修订由吴良森任主编.上册第一、二、三、四、七章由宋国栋编写;第五、六章由庞学诚编写;第八、九、十、十一章由毛羽辉编写,上册由毛羽辉负责编写组织及修改.下册第十二、十三、十四、十五章由胡善文编写;第十六、十七、十八、二十三章由吴良森编写;第十九、二十、二十一、二十二章由魏国强编写,下册由魏国强负责编写组织.最后由吴良森统一整理.庞学诚、魏国强分别审阅了上、下册的稿件.程其襄教授、陈昌平教授、张奠宙教授阅读了第二十三章主要内容的初稿,并提出了宝贵的意见,对他们的鼓励和支持深表感谢.郑英元教授对修订提了许多积极的建议.高等学校数学和力学指导委员会成员,吉林大学孙善利教授对本书修改提供了宝贵的意见.陕西师范大学、华南师范大学、南京师范大学、江西师范大学、广西师范大学、常熟高等专科学校等院校数学系对教材修改也都提出过仔细的意见,在此致以深切的谢意.华东理工大学谢国瑞教授和交通大学孙薇荣教授仔细审阅了本书上册的稿件,高等教育出版社高尚华编审审阅了下册的稿件,提出许多宝贵意见,在此表示感谢.第三版中还会有许多不足之处,恳切希望读者批评指正.编者1999年9月再版的话本书自1980年出版发行以来,由于它在取材、体系、可读性诸方面较为切合我国教学实际,而被许多兄弟院校所采用,并于1987年国家教育委员会举办的全国优秀教材评选中获全国优秀奖.近几年,许多学校在数学教学改革中,更新了一些课程,对数学分析提出了许多新的要求.基于这些情况,我们在这次再版中,除订正初版中的某些疏漏外,在不影响本书原有体系、格局的前提下,对某些内容作了适当的增删和调整,使全书内容更充实,结构更合理,且有更大的选择性,以期适应各类学校师生的需要.修改的主要内容有:在第一章精简某些与中学数学相重复的函数概念,增加实数集有关的一些内容,如有界集,确界和确界原理等.在极限理论方面,把出发点改为“确界原理”(原来是“单调有界原理”),并在第二章用它证明单调有界定理,第四章用它证明实指数幂的性质,最后在第八章完成对实数完备性的几个等价命题的证明,相应地,在附录Ⅱ实数理论中,也改用戴德金分划说定义实数,并证明了确界原理(原来采用柯西列定义实数,虽有不少优点,但不够直观,不易理解).此外,子列概念提前到第二章,第八章“极限与连续性(续)”(原为第七章)在内容和次序上也稍作调整.对于微分学,在单元部分,把原来的第六章中值定理与导数应用分为两章.在新的第六章“微分学基本定理与不定式极限”增加了导数极限定理与达布定理(小字排印),用以揭示导函数的性质;在新的第七章“运用导数研究函数性态”加强了日益显得重要的凸函数概念.在多元部分,除对原有内容作不同程度精简外,主要增加了第十九章“向量函数微分学”,以便在更一般形式上讨论多元函数理论,使读者对经典导数概念的认识得以深化.这一章目前暂作选学材料,期望今后能逐步用向量函数的方式取代传统内容成为多元函数微分学的主体.在积分学方面,于定积分中补充了第二积分中值定理(小字排印).压缩了反常积分与含参量积分的内容,并把它分别并入定积分与重积分各章中.为便于重积分部分的教学,在内容与结构上也稍作调整,其中第二十章主要讲述二、三重积分的概念、计算与应用,在第二十一章除对二重积分中某些问题作进一步讨论外,还介绍了n重积分(小字排印)和含参量非正常积分.此外,我们删去了“反常重积分”与“外微分与一般斯托克斯公式”两节.2再版的话关于级数部分,在新版中删去了对傅里叶级数一致收敛性的进一步讨论.张奠宙教授为本书写了“微积分学简史”(附录Ⅰ).我们认为,知道一点微积分的来龙去脉,对每一位数学教育工作者来说是必要和有益的.在这次修订中,我们重新审查了本书的全部习题,并进行了调整与补充,以便更加符合教学的需要.各节横线以上的习题仍然是必做题,每册书末都附有计算题答案.在新版中,用记号表示命题证明或例题求解的结束.上册增加了附录Ⅲ“积分表”,每册末尾增设了名词和人名索引,以供读者检索.这次修订工作由程其襄、郑英元、毛羽辉和宋国栋等四人完成,程其襄教授任主编,郑英元负责全书的统一整理工作.高等教育出版社郑洪深同志为本书的初版和再版做了许多深入细致的工作.我系数学分析教学组成员对本书的修订工作提出过许多积极的建议.本书自出版以来深得广大读者的关心与支持.在此,我们一并致以深切的谢意,并希望读者对本书给予批评与指正.编　者上册:1987年12月完成初稿,1990年2月完成修改稿.下册:1988年6月完成初稿,1990年6月完成修改稿.编者的话(初版)本书是根据1977年高等学校理科数学教材大纲讨论会所制定的《数学分析》大纲编写的.全书分上、下两册,可作为高等师范院校数学系教学用书,以及其他高等院校有关专业的教学参考书.关于本书的使用兹作以下一些说明:在极限问题的处理上,虽一开始就采用ε-δ定义,但若干较难的理论证明则放到微分学之后.实数理论作为附录放在上册的末尾.有关集合的基本概念,目前尚未在中学里全面普及,仍在附录Ⅰ中作了简要的介绍.本书有部分内容用小号字排印,在实际教学中可视情况选用.本书各节都附有适量的习题,并把它们分为基本题与选作题两类,中间用一道横线分开,横线之后的习题和各章的总练习题,读者可在教师指导下挑选一部分进行练习.书末并附有计算题的答案.本书由程其襄教授主编,编写组写出初稿后,经程其襄、周彭年、郑英元修改定稿(郑英元执笔整理).先后参加本书编写工作的有:陈昌平、陈美廉、徐钧涛、曹伟杰、杨庆中、黄丽萍、张奠宙、宋国栋等同志.此外,林克伦、华煜铣、顾鹤荣等同志也参加过一些工作.北京师范大学、武汉大学担任本书主审,先后参加审稿的单位有:上海师范学院、安徽师范大学、吉林师范大学、曲阜师范学院、西藏师范学院、陕西师范大学、贵阳师范学院、徐州师范学院、新乡师范学院以及四川师范学院、华中师范学院、华南师范学院、江西师范学院、昆明师范学院、南京师范学院等.甘肃师范大学的同志也对本书上册提出过仔细的修改意见.在审查过程中,大家对原稿提出了许多宝贵的意见和建议,我们曾根据这些意见作过许多重大的修改,特此表示衷心的感谢.由于我们水平有限,恳切希望读者对本书的缺点错误给予批评指正.编者1979.11又及,本书最后定稿时,曾照一九八年五月在上海举行的高等学校理科数学教材编审委员会审订的《数学分析》大纲作了修订.编者1980.9目 录第一章　实数集与函数§1　实数1…………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 一　实数及其性质1………………………………………………………………… 二　绝对值与不等式3§2　数集·确界原理4………………………………………………………………………………………………………………………………………… 一　区间与邻域5………………………………………………………………… 二　有界集·确界原理5§3　函数概念10………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 一　函数的定义10 二　函数的表示法11……………………………………………………………………………………………………………………………………… 三　函数的四则运算11………………………………………………………………………… 四　复合函数12…………………………………………………………………………… 五　反函数13………………………………………………………………………… 六　初等函数14§4　具有某些特性的函数16…………………………………………………………………………………………………………………………………… 一　有界函数16………………………………………………………………………… 二　单调函数17………………………………………………………………… 三　奇函数和偶函数19………………………………………………………………………… 四　周期函数19第二章　数列极限§1　数列极限概念23…………………………………………………………………§2　收敛数列的性质28………………………………………………………………§3　数列极限存在的条件35…………………………………………………………第三章　函数极限§1　函数极限概念42………………………………………………………………… 一　x趋于∞时函数的极限42………………………………………………………… 二　x趋于x0时函数的极限43………………………………………………………§2　函数极限的性质48………………………………………………………………§3　函数极限存在的条件52…………………………………………………………§4　两个重要的极限56……………………………………………………………… 一　证明limx→0sin xx=156……………………………………………………………… 二　证明limx→∞1+1xx=e56…………………………………………………………§5　无穷小量与无穷大量59………………………………………………………… 一　无穷小量59………………………………………………………………………… 二　无穷小量阶的比较60……………………………………………………………… 三　无穷大量62………………………………………………………………………… 四　曲线的渐近线64……………………………………………………………………第四章　函数的连续性§1　连续性概念69…………………………………………………………………… 一　函数在一点的连续性69…………………………………………………………… 二　间断点及其分类71………………………………………………………………… 三　区间上的连续函数72………………………………………………………………§2　连续函数的性质74……………………………………………………………… 一　连续函数的局部性质74…………………………………………………………… 二　闭区间上连续函数的基本性质75………………………………………………… 三　反函数的连续性78………………………………………………………………… 四　一致连续性79………………………………………………………………………§3　初等函数的连续性82…………………………………………………………… 一　指数函数的连续性82……………………………………………………………… 二　初等函数的连续性83………………………………………………………………第五章　导数和微分§1　导数的概念87…………………………………………………………………… 一　导数的定义87……………………………………………………………………… 二　导函数90…………………………………………………………………………… 三　导数的几何意义91…………………………………………………………………§2　求导法则95………………………………………………………………………… 一　导数的四则运算95…………………………………………………………………2目 录 二　反函数的导数97…………………………………………………………………… 三　复合函数的导数98………………………………………………………………… 四　基本求导法则与公式101…………………………………………………………§3　参变量函数的导数103…………………………………………………………§4　高阶导数106………………………………………………………………………§5　微分110…………………………………………………………………………… 一　微分的概念110…………………………………………………………………… 二　微分的运算法则112……………………………………………………………… 三　高阶微分113……………………………………………………………………… 四　微分在近似计算中的应用114……………………………………………………第六章　微分中值定理及其应用§1　拉格朗日定理和函数的单调性119…………………………………………… 一　罗尔定理与拉格朗日定理119…………………………………………………… 二　单调函数123………………………………………………………………………§2　柯西中值定理和不定式极限125……………………………………………… 一　柯西中值定理125………………………………………………………………… 二　不定式极限127……………………………………………………………………§3　泰勒公式134……………………………………………………………………… 一　带有佩亚诺型余项的泰勒公式134……………………………………………… 二　带有拉格朗日型余项的泰勒公式138…………………………………………… 三　在近似计算上的应用140…………………………………………………………§4　函数的极值与最大(小)值142………………………………………………… 一　极值判别142……………………………………………………………………… 二　最大值与最小值144………………………………………………………………§5　函数的凸性与拐点148…………………………………………………………§6　函数图象的讨论154……………………………………………………………… ＊§7　方程的近似解155…………………………………………………………………第七章　实数的完备性§1　关于实数集完备性的基本定理161…………………………………………… 一　区间套定理与柯西收敛准则161………………………………………………… 二　聚点定理与有限覆盖定理163…………………………………………………… ＊三　实数完备性基本定理的等价性166……………………………………………§2　闭区间上连续函数性质的证明168……………………………………………3目 录 ＊§3　上极限和下极限172………………………………………………………………第八章　不定积分§1　不定积分概念与基本积分公式176…………………………………………… 一　原函数与不定积分176…………………………………………………………… 二　基本积分表179……………………………………………………………………§2　换元积分法与分部积分法182………………………………………………… 一　换元积分法182…………………………………………………………………… 二　分部积分法187……………………………………………………………………§3　有理函数和可化为有理函数的不定积分190……………………………… 一　有理函数的不定积分190………………………………………………………… 二　三角函数有理式的不定积分194………………………………………………… 三　某些无理根式的不定积分195……………………………………………………第九章　定　积　分§1　定积分概念200…………………………………………………………………… 一　问题提出200……………………………………………………………………… 二　定积分的定义201…………………………………………………………………§2　牛顿—莱布尼茨公式204………………………………………………………§3　可积条件207……………………………………………………………………… 一　可积的必要条件207……………………………………………………………… 二　可积的充要条件208……………………………………………………………… 三　可积函数类209……………………………………………………………………§4　定积分的性质213………………………………………………………………… 一　定积分的基本性质213…………………………………………………………… 二　积分中值定理217…………………………………………………………………§5　微积分学基本定理·定积分计算(续)220…………………………………… 一　变限积分与原函数的存在性220………………………………………………… 二　换元积分法与分部积分法224…………………………………………………… 三　泰勒公式的积分型余项227……………………………………………………… ＊§6　可积性理论补叙231……………………………………………………………… 一　上和与下和的性质231…………………………………………………………… 二　可积的充要条件233………………………………………………………………4目 录第十章　定积分的应用§1　平面图形的面积239………………………………………………………………§2　由平行截面面积求体积243……………………………………………………§3　平面曲线的弧长与曲率247…………………………………………………… 一　平面曲线的弧长247……………………………………………………………… 二　曲率250……………………………………………………………………………§4　旋转曲面的面积253……………………………………………………………… 一　微元法253………………………………………………………………………… 二　旋转曲面的面积254………………………………………………………………§5　定积分在物理中的某些应用255……………………………………………… 一　液体静压力255…………………………………………………………………… 二　引力256…………………………………………………………………………… 三　功与平均功率257………………………………………………………………… ＊§6　定积分的近似计算259………………………………………………………… 一　梯形法260………………………………………………………………………… 二　抛物线法260………………………………………………………………………第十一章　反常积分§1　反常积分概念264………………………………………………………………… 一　问题提出264……………………………………………………………………… 二　两类反常积分的定义265…………………………………………………………§2　无穷积分的性质与收敛判别270……………………………………………… 一　无穷积分的性质270……………………………………………………………… 二　比较判别法271…………………………………………………………………… 三　狄利克雷判别法与阿贝尔判别法273……………………………………………§3　瑕积分的性质与收敛判别276…………………………………………………附录Ⅰ　微积分学简史281……………………………………………………………附录Ⅱ　实数理论289………………………………………………………………… 一　建立实数的原则289……………………………………………………………… 二　分析290…………………………………………………………………………… 三　分划全体所成的有序集292……………………………………………………… 四　R中的加法294…………………………………………………………………… 五　R中的乘法295…………………………………………………………………… 六　R作为Q的扩充297………………………………………………………………5目 录6目 录 七　实数的无限小数表示299………………………………………………………… 八　无限小数四则运算的定义300……………………………………………………附录Ⅲ　积分表303……………………………………………………………………………………………………………………………………… 一　含有x n的形式303…………………………………………………………… 二　含有a+bx的形式303 三　含有a2±x2,a>0的形式304…………………………………………………… 四　含有a+bx+cx2,b2≠4ac的形式304………………………………………… 五　含有a+bx的形式304………………………………………………………… 六　含有x2±a2,a>0的形式305………………………………………………… 七　含有a2-x2,a>0的形式306………………………………………………… 八　含有sin x或cos x的形式306…………………………………………………… 九　含有tan x,cot x,sec x,csc x的形式307……………………………………… 十　含有反三角函数的形式308……………………………………………………………………………………………………………………… 十一　含有e x的形式308 十二　含有ln x的形式309……………………………………………………………习题答案310………………………………………………………………………………索引330……………………………………………………………………………………人名索引334……………………………………………………………………第一章　实数集与函数§1　实 数数学分析研究的基本对象是定义在实数集上的函数.为此,我们先简要叙述实数的有关概念.一　实数及其性质在中学数学课程中,我们知道实数由有理数与无理数两部分组成.有理数可用分数形式pq(p、q为整数,q≠0)表示,也可用有限十进小数或无限十进循环小数来表示;而无限十进不循环小数则称为无理数.有理数和无理数统称为实数.为了以下讨论的需要,我们把有限小数(包括整数)也表示为无限小数.对此我们作如下规定:对于正有限小数(包括正整数)x,当x=a0.a1a2…a n时,其中0≤a i≤9,i=1,2,…,n,a n≠0,a0为非负整数,记x=a0.a1a2…(a n-1)9999…,而当x=a0为正整数时,则记x=(a0-1).9999…,例如2.001记为2．0009999…;对于负有限小数(包括负整数)y,则先将-y表示为无限小数,再在所得无限小数之前加负号,例如-8记为-7．9999…;又规定数0表示为0．0000….于是,任何实数都可用一个确定的无限小数来表示.我们已经熟知比较两个有理数大小的方法.现定义两个实数的大小关系.定义1　给定两个非负实数x=a0.a1a2…a n…,　y=b0.b1b2…b n…,其中a0,b0为非负整数,a k,b k(k=1,2,…)为整数,0≤a k≤9,0≤b k≤9.若有a k=b k,k=0,1,2,…,则称x与y相等,记为x=y;若a0>b0或存在非负整数l,使得a k=b k(k=0,1,2,…,l)而a l+1>b l+1,则称x大于y或y小于x,分别记为x>y或y<x.对于负实数x,y,若按上述规定分别有-x=-y与-x>-y,则分别称x =y与x<y(或y>x).另外,自然规定任何非负实数大于任何负实数.以下给出通过有限小数来比较两个实数大小的等价条件.为此,先给出如下定义.定义2　设x=a0.a1a2…a n…为非负实数.称有理数x n=a0.a1a2…a n为实数x的n位不足近似,而有理数x n=x n+1 10n称为x的n位过剩近似,n=0,1,2,….对于负实数x=-a0.a1a2…a n…,其n位不足近似与过剩近似分别规定为x n=-a0.a1a2…a n-110n与x n=-a0.a1a2…a n. 注　不难看出,实数x的不足近似x n当n增大时不减,即有x0≤x1≤x2≤…,而过剩近似x n当n增大时不增,即有x0≥x1≥x2≥….我们有以下的命题　设x=a0.a1a2…与y=b0.b1b2…为两个实数,则x>y的等价条件是:存在非负整数n,使得x n>y n,其中x n表示x的n位不足近似,y n表示y的n位过剩近似.关于这个命题的证明,以及关于实数的四则运算法则的定义,可参阅本书附录Ⅱ第八节.例1　设x、y为实数,x<y.证明:存在有理数r满足x<r<y. 证　由于x<y,故存在非负整数n,使得x n<y n.令r=12(x n+y n),则r为有理数,且有x≤x n<r<y n≤y,即得x<r<y.为方便起见,通常将全体实数构成的集合记为R,即R={x x为实数}. 实数有如下一些主要性质:1.实数集R对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算是封闭的,即任意两个2第一章　实数集与函数实数的和、差、积、商(除数不为0)仍然是实数.2.实数集是有序的,即任意两实数a、b必满足下述三个关系之一:a<b, a=b,a>b.3.实数的大小关系具有传递性,即若a>b,b>c,则有a>c.4.实数具有阿基米德(Archimedes)性,即对任何a、b∈R,若b>a>0,则存在正整数n,使得na>b.5.实数集R具有稠密性,即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数,且既有有理数(见例1),也有无理数.6.如果在一直线(通常画成水平直线)上确定一点O作为原点,指定一个方向为正向(通常把指向右方的方向规定为正向),并规定一个单位长度,则称此直线为数轴.任一实数都对应数轴上唯一的一点;反之,数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数.于是,实数集R与数轴上的点有着一一对应关系.在本书以后的叙述中,常把“实数a”与“数轴上的点a”这两种说法看作具有相同的含义.例2　设a、b∈R.证明:若对任何正数ε有a<b+ε,则a≤b.证　用反证法.倘若结论不成立,则根据实数集的有序性,有a>b.令ε=a -b,则ε为正数且a=b+ε,但这与假设a<b+ε相矛盾.从而必有a≤b.关于实数的定义与性质的详细论述,有兴趣的读者可参阅本书附录Ⅱ.二　绝对值与不等式实数a的绝对值定义为a=a,a≥0,-a,a<0.从数轴上看,数a的绝对值|a|就是点a到原点的距离.实数的绝对值有如下一些性质:1.|a|=|-a|≥0;当且仅当a=0时有|a|=0.2.-|a|≤a≤|a|.3.|a|<h-h<a<h;|a|≤h-h≤a≤h(h>0).4.对于任何a、b∈R有如下的三角形不等式:a-b≤a±b≤a+b. 5.|ab|=|a||b|.6.ab=|a||b|(b≠0).下面只证明性质4,其余性质由读者自行证明.由性质2有3§1　实 数-a≤a≤a,-b≤b≤b.两式相加后得到-(a+b)≤a+b≤a+b.根据性质3,上式等价于a+b≤a+b.(1)将(1)式中b换成-b,(1)式右边不变,即得|a-b|≤|a|+|b|,这就证明了性质4不等式的右半部分.又由|a|=|a-b+b|,据(1)式有a≤a-b+b.从而得a-b≤a-b.(2)将(2)式中b换成-b,即得|a|-|b|≤|a+b|.性质4得证.习 题1.设a为有理数,x为无理数.证明:　(1)a+x是无理数;　(2)当a≠0时,ax是无理数.2.试在数轴上表示出下列不等式的解:　(1)x(x2-1)>0;　(2)|x-1|<|x-3|;　(3)x-1-2x-1≥3x-2.3.设a、b∈R.证明:若对任何正数ε有|a-b|<ε,则a=b.4.设x≠0,证明x+1x≥2,并说明其中等号何时成立.5.证明:对任何x∈R有　(1)|x-1|+|x-2|≥1;　(2)|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2.6.设a、b、c∈R+(R+表示全体正实数的集合).证明a2+b2-a2+c2≤b-c.你能说明此不等式的几何意义吗?7.设x>0,b>0,a≠b.证明a+xb+x介于1与ab之间.8.设p为正整数.证明:若p不是完全平方数,则p是无理数.9.设a、b为给定实数.试用不等式符号(不用绝对值符号)表示下列不等式的解:　(1)|x-a|<|x-b|;　(2)|x-a|<x-b;　(3)|x2-a|<b.§2　数集·确界原理本节中我们先定义R中两类重要的数集———区间与邻域,然后讨论有界集4第一章　实数集与函数并给出确界定义和确界原理.一　区间与邻域设a 、b ∈R ,且a <b .我们称数集{x |a <x <b}为开区间,记作(a ,b);数集{x |a ≤x ≤b}称为闭区间,记作[a ,b];数集{x |a ≤x <b}和{x |a <x ≤b}都称为半开半闭区间,分别记作[a ,b)和(a ,b].以上这几类区间统称为有限区间.从数轴上来看,开区间(a ,b)表示a 、b 两点间所有点的集合,闭区间[a,b]比开区间(a ,b)多两个端点,半开半闭区间[a,b)比开区间(a,b)多一个端点a 等.满足关系式x ≥a 的全体实数x 的集合记作[a ,+∞),这里符号∞读作“无穷大”,+∞读作“正无穷大”.类似地,我们记(-∞,a]={x x ≤a},(a ,+∞)={x x >a},(-∞,a)={x x <a},(-∞,+∞)={x-∞<x <+∞}=R ,其中-∞读作“负无穷大”.以上这几类数集都称为无限区间.有限区间和无限区间统称为区间.设a ∈R ,δ>0.满足绝对值不等式|x -a |<δ的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域,记作U (a;δ),或简单地写作U(a ),即有U(a;δ)={xx -a <δ}=(a -δ,a +δ).点a 的空心δ邻域定义为U °(a;δ)={x 0<x -a <δ},它也可简单地记作U °(a).注意,U °(a;δ)与U(a;δ)的差别在于:U °(a;δ)不包含点a .此外,我们还常用到以下几种邻域:点a 的δ右邻域U +(a;δ)=[a ,a +δ),简记为U +(a);点a 的δ左邻域U -(a;δ)=(a -δ,a],简记为U -(a);(U -(a )与U +(a )去除点a 后,分别为点a 的空心δ左、右邻域,简记为U °-(a)与U °+(a).)∞邻域U(∞)={x |x |>M},其中M 为充分大的正数(下同);+∞邻域U(+∞)={x |x >M};-∞邻域U(-∞)={x |x <-M}.二　有界集·确界原理定义1　设S 为R 中的一个数集.若存在数M (L ),使得对一切x ∈S ,都有x ≤M (x ≥L ),则称S 为有上界(下界)的数集,数M (L )称为S 的一个上界(下界).5§2　数集·确界原理6第一章　实数集与函数若数集S既有上界又有下界,则称S为有界集.若S不是有界集,则称S 为无界集.例1　证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界.证　显然,任何一个不大于1的实数都是N+的下界,故N+为有下界的数集.为证N+无上界,按照定义只须证明:对于无论多么大的数M,总存在某个正整数n0(∈N+),使得n0>M.事实上,对任何正数M(无论多么大),取n0= [M]+1①,则n0∈N+,且n0>M.这就证明了N+无上界.读者还可自行证明:任何有限区间都是有界集,无限区间都是无界集;由有限个数组成的数集是有界集.若数集S有上界,则显然它有无穷多个上界,而其中最小的一个上界常常具有重要的作用,称它为数集S的上确界.同样,有下界数集的最大下界,称为该数集的下确界.下面给出数集的上确界和下确界的精确定义.定义2　设S是R中的一个数集.若数η满足:(i)对一切x∈S,有x≤η,即η是S的上界;(ii)对任何α<η,存在x0∈S,使得x0>α,即η又是S的最小上界,则称数η为数集S的上确界,记作η=sup S②. 定义3　设S是R中的一个数集.若数ξ满足:(i)对一切x∈S,有x≥ξ,即ξ是S的下界;(ii)对任何β>ξ,存在x0∈S,使得x0<β,即ξ又是S的最大下界,则称数ξ为数集S的下确界,记作ξ=inf S. 上确界与下确界统称为确界.例2　设S={x|x为区间(0,1)中的有理数}.试按上、下确界的定义验证: sup S=1,inf S=0.解　先验证sup S=1:(i)对一切x∈S,显然有x≤1,即1是S的上界.(ii)对任何α<1,若α≤0,则任取x0∈S都有x0>α;若α>0,则由有理数集在实数集中的稠密性,在(α,1)中必有有理数x0,即存在x0∈S,使得x0>α.类似地可验证inf S=0.读者还可自行验证:闭区间[0,1]的上、下确界分别为1和0;对于数集[x]表示不超过数x的最大整数,例如[2.9]=2,[-4.1]=-5.①②sup是拉丁文supremum(上确界)一词的简写;下面的inf是拉丁文infimum(下确界)一词的简写.。

§3 泰勒公式教学章节：第六章 微分中值定理及其应用——§3 泰勒公式 教学目的：掌握Taylor 公式，并能应用它解决一些有关的问题.教学要求：（1）深刻理解Taylor 定理，掌握Taylor 公式，熟悉两种不同余项的Taylor 公式及其之间的差异；（2）掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor 展开公式，并能加以应用.（3）会用带Taylor 型余项的Taylor 公式进行近似计算并估计误差；会用代Peanlo 余项的Taylor 公式求某些函数的极限.教学重点：Taylor 公式教学难点：Taylor 定理的证明及应用. 教学方法：系统讲授法. 教学程序：引 言不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数，这将会带来很大的方便.一般来说，最简单的是多项式，因为多项式是关于变量加、减、乘的运算，但是，怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？上一节中，讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道，如果函数f 在点0x 可导，则有有限存在公式；0000()()()()0()f x f x f x x x x x '=+-+-即在0x 附近，用一次多项式1000()()()()p x f x f x x x '=+-逼近函数f(x)时，其误差为00()x x -.然而，在很大场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为00()x x -，其中n 为多项式次数.为此，有如下的n 次多项式：0100()()()n n n p x a a x x a x x =+-++-易见：00()n a p x =，01()1!n p x a '=，02()2!n p x a ''=，…，()0()!n n n p x a n =（多项式的系数由其各阶导数在0x 的取值唯一确定）.对于一般的函数，设它在0x 点存在直到n 阶导数，由这些导数构造一个n 次多项式如下：()00000()()()()()()1!!n n n f x f x T x f x x x x x n '=+-++-称为函数f 在点0x 处泰勒多项式，()n T x 的各项函数，()0()!k f x k （k ＝1,2,…,n ）称为泰勒系数.问题 当用泰勒多项式逼近f(x)时，其误差为0()()0(())n n f x T x x x -=-一、带有皮亚诺余项的泰勒公式定理1 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()0(())n n f x T x x x =+-，即()000000()()()()()()0(())1!!n n n f x f x f x f x x x x x x x n '=+-++-+-即函数f 在点0x 处的泰勒公式；()()()n n R x f x T x =-称为泰勒公式的余项.证明：设()()()n n R x f x T x =-, n a x x G )()(-=. 应用L 'Hospital 法则1-n 次, 并注意到)()(a f n 存在, 就有(1)(1)()()lim lim ()()n n n n x a x a R x R x G x G x --→→==)(2)1())(()()(lim)()1()1(a x n n a x a f a f x f n n n a x -------→ = 0)()()(lim !1)()1()1(=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--→a f a x a f x f n n n n a x . 称()n n a x x R )()(-= 为Taylor 公式的Peano 型余项, 相应的Maclaurin 公式的Peano 型余项为)()(n n x x R =. 并称带有这种形式余项的Taylor 公式为具Peano 型余项的Taylor 公式( 或Maclaurin 公式 ).注1、若f(x)在点0x 附近函数满足0()()0(())nn f x P x x x =+-，其中0100()()()n n n p x a a x x a x x =+-++- ，这并不意味着()n p x 必定是f 的泰勒多项式()n T x .但()n p x 并非f(x)的泰勒多项式()n T x .（因为除(0)0f '=外，f 在x ＝0出不再存在其它等于一阶的导数.）；2、满足条件0()()0(())nn f x P x x x =+-的n 次逼近多项式()n p x 是唯一的.由此可知，当f 满足定理1的条件时，满足要求0()()0(())nn f x P x x x =+-的多项式()n p x 一定是f 在0x 点的泰勒多项式()n T x ；3、泰勒公式0x ＝0的特殊情形――麦克劳林（Maclauyin ）公式：()(0)(0)()(0)0()1!!n nn f f f x f x x x n '=++++引申：定理1给出了用泰勒多项式来代替函数y ＝f(x)时余项大小的一种估计，但这种估计只告诉我们当0x x →时，误差是较0()n x x -高阶的无穷小量，这是一种“定性”的说法，并未从“量”上加以描述；换言之，当点给定时，相应的误差到底有多大？这从带Peano 余项的泰勒公式上看不出来.为此，我们有有必要余项作深入的讨论，以便得到一个易于计算或估计误差的形式.二、带有Lagrange 型余项的Taylor 公式定理2（泰勒） 若函数f 在[a,b]上存在直到n 阶的连续导函数，在(a,b)内存在n ＋1阶导函数，则对任意给定的0,[,]x x a b ∈，至少存在一点(,)a b ξ∈使得：()(1)1000000()()()()()()()()1!!(1)!n n nn f x f x f f x f x x x x x x x n n ξ++'=+-++-+-+ （1）证明：记()()()n n R x f x T x =-，要证(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+，记 10()()n n Q x x x +=-，不妨设0x x <，则(),()n n R x Q x 在0[,]x b 上有直到n 阶的连续导数，在0(,)x b 内存在1n +阶导数，又因为()000()()()0n n n n R x R x R x '==== ，()000()()()0n n n n Q x Q x Q x '==== .故在区间0[,]x x 上连续运用Cauchy 中值定理1n +次，就有010010()()()()()()()()()()()()n n n n n n n n n n n n R x R x R x R R R x Q x Q x Q x Q Q Q x ξξξξ'''--===-'''- ()()(1)20()()(1)02()()()()()()()()n n n n n n n n n n n n n n nn R R R x R Q Q x Q Q ξξξξξξ++''-====-'' ， 其中，011n n x x ξξξξ-<<<<<< ，(1)(1)()()n n n R fξξ++=，(1)()(1)!n n Q n ξ+=+， 从而得到 (1)10()()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+ ， （2） ξ介于0x 与x 之间.注：（1）、当n ＝0时，泰勒公式即为拉格朗日公式，所以泰勒定理可以看作拉格朗日定理向高阶导数方向的推广；（2）、当00x =时，则变为带拉格朗日型余项的麦克劳林公式()(1)1(0)(0)()()(0)1!!(1)!n n n n f f f x f x f x x x n n θ++'=+++++ (0,1)θ∈称这种形式的余项)(x R n 为Lagrange 型余项. 并称带有这种形式余项的Taylor 公式为具Lagrange 型余项的Taylor 公式. Lagrange 型余项还可写为 ,)()!1())(()(1)1(++-+-+=n n n a x n a x a f x R θ ) 1 , 0(∈θ.0=a 时, 称上述Taylor 公式为Maclaurin 公式, 此时余项常写为,)()!1(1)(1)1(+++=n n n x x f n x R θ 10<<θ.三 函数的Taylor 公式( 或Maclaurin 公式 )展开: 1. 直接展开:例1 求 x e x f =)(的Maclaurin 公式.解：) 10 ( ,)!1(!!2!1112<<++++++=+θθn xn xx n e n x x x e .例2 求 x x f sin )(=的Maclaurin 公式.解： )()!12() 1 (!5!3sin 212153x R m x x x x x m m m +--+-+-=-- ,10 ,)21(sin )!12()(122<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+θπθm x m x x R m m .例3 求函数)1ln()(x x f +=的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 . 解：)!1() 1()0( ,)1()!1() 1()(1)(1)(--=+--=--n f x n x f n n nn n . )() 1(32)1ln(132n nn x nx x x x x +-+-+-=+-. 例4 把函数tgx x f =)(展开成含5x 项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 .( 教材P179 E5, 留为阅读. )2. 间接展开: 利用已知的展开式, 施行代数运算或变量代换, 求新的展开式.例5 把函数2sin )(x x f =展开成含14x 项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 .解 ) (!7!5!3sin 7753x x x x x x +-+-=,) (!7!5!3sin 141410622x x x x x x +-+-=. 例6 把函数x x f 2cos )(=展开成含6x 项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 .解：) (!6!4!21cos 6642x x x x x +-+-=, ), (!62!34212cos 66642x x x x x +-+-= (注意, 0 ),()(≠=k x kx )∴ ) (!62!321)2cos 1(21cos 665422x x x x x x +-+-=+=. 例7 先把函数xx f +=11)(展开成具Peano 型余项的Maclaurin 公式 . 利用得到的展开式,把函数xx g 531)(+=在点20=x 展开成具Peano 型余项的Taylor 公式. 解：,)1(!)1(1)(++-=n n n x n f!)1()0()(n f nn -=. ); ()1(1)(32n n n x x x x x x f +-++-+-= 13)2(511131)2(5131531)(-+=-+=+=x x x x g=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--+--n n n x x x )2() 135 () 1()2() 135 ()2(135113122 +().)2(nx - 例8 把函数shx 展开成具Peano 型余项的Maclaurin 公式 ，并与x sin 的相应展 开式进行比较.解： ), (!!2!112n nxx n x x x e +++++= )(!)1(!2!112n n n xx n x x x e +-+-+-= ; ∴ ) ( )!12(!5!32121253---+-++++=-=m m x x x m x x x x e e shx . 而 ) ()!12()1(!5!3sin 1212153---+--+-+-=m m m x m x x x x x .四、常见的Maclaurin 公式(1)带Penno 余项的Maclaurin 公式210()2!!nxn x x e x x n =+++++352112sin (1)0()3!5!(21)!m m m x x x x x x m --=-+++-+-24221cos 1(1)0()2!4!(2)!m m m x x x x x m +=-+++-+ 231ln(1)(1)0()23nn n x x x x x x n-+=-+++-+ 2(1)(1)(1)(1)10()2!!n n x x x x n ααααααα---++=+++++2110()1n n x x x x x=+++++- 2）带Lagrange 型余项的Maclaurin 公式2112!!(1)!n xxn x x e e x x n n θ+=++++++ x R ∈，(0,1)θ∈3521121cos sin (1)(1)3!5!(21)!(21)!m m m m x x x x x x xm m θ--+=-+++-+--+ x R ∈，(0,1)θ∈ 242122cos cos 1(1)(1)2!4!(2)!(22)!m m m m x x x x x x m m θ++=-+++-+-+ x R ∈，(0,1)θ∈ 23111ln(1)(1)(1)23(1)(1)nn n nn x x x x x x n n x θ+-++=-+++-+-++ 1x >-，(0,1)θ∈ 2(1)(1)(1)(1)12!!nn x x x x n ααααααα---++=++++11(1)()(1)!n n n x x n ααααθ--+--++ 1x >-，(0,1)θ∈122111(1)n nn x x x x x x θ++=+++++-- 1x <，(0,1)θ∈ 五、常见的Maclaurin 公式的初步应用 1. 证明e 是无理数: 例9 证明e 是无理数.证明：把x e 展开成具Lagrange 型余项的Maclaurin 公式, 有10 ,)!1(!1!31!2111<<+++++++=ξξn e n e .反设e 是有理数, 即p qpe ( =和q 为整数), 就有 =e n !整数 + 1+n e ξ.对q p n e n q n ⋅=>∀!! ,也是整数. 于是, -⋅=+qpn n e !1ξ整数 = 整数―整数 = 整数.但由,30 ,10<<<⇒<<e e ξξ 因而当 3>n 时，1+n e ξ不可能是整数. 矛盾. 2. 计算函数的近似值:例10 求e 精确到000001.0的近似值.解 10 ,)!1(!1!31!2111<<+++++++=ξξn e n e .注意到,30 ,10<<<⇒<<e e ξξ 有 )!1(3) 1 (+≤n R n . 为使000001.0)!1(3<+n ,只要取9≥n . 现取9=n , 即得数e 的精确到000001.0的近似值为 718281.2!91!31!2111≈+++++≈ e . 3. 利用Taylor 公式求极限: 原理:例11 求极限 ) 0 ( ,2lim 20>-+-→a xa a x x x . 解：) (ln 2ln 1222ln x a x a x ea ax x +++==,) (ln 2ln 1222x a x a x ax++-=-;). (ln 2222x a x a a x x +=-+-∴ a xx a x x a a x x x x 22222020ln )(ln lim 2lim =+=-+→-→ . 例12 求极限011lim (cot )x x x x→-. 解：00111sin cos lim (cot )lim sin x x x x xx x x x x x→→--= 323230()[1()]3!2!limx x x x x x x x οο→-+--+= 333011()()12!3!lim 3x x x x ο→-+==.例13 设()f x 在[,]a b 上二阶可导，且()()0f a f b ''==，则存在(,)a b ξ∈，使得24()()()()f f b f a b a ξ''≥--. 证明： (,)x a b ∀∈，将函数()f x 在点a 与点b 处Taylor 展开21()()()()()()2!f f x f a f a x a x a ξ'''=+-+-，1a x ξ<<， 22()()()()()()2!f f x f b f b x b x b ξ'''=+-+-，2x b ξ<<. 令2a bx +=代入得： 21()()()()22!4f a b b a f f a ξ''+-=+，22()()()()22!4f a bb a f f b ξ''+-=+， 上述二项相减，移项并取绝对值得221()()()()()42f f b a f b f a ξξ''''---=2221()()()()()424f f b a b a f ξξξ''''+--''≤≤，其中，12()max{(),()}f f f ξξξ''''''=，取24()()()()f f b f a b a ξ''≥--.例14 证明: 0≠x 时, 有不等式 x e x +>1. [作业] 教材P141 1， 2，3（1），4（1），5 （1）.。

国内数学分析主要参考书⽬_数学分析书籍花了半天时间，对国内部分⼤学所编数学分析(/⾼等数学/微积分)教材做了个汇总，发于此，肯定有很多遗漏，(期待有兴趣的⾍友帮我⼀起补充,补充格式:⼤学名，精确书名，编写作者....)。

国内部份⼤学常⽤数学分析(⾼数,微积分)教材总汇清华⼤学《数学分析教程》常庚哲.史济怀.《数学分析》(三册).何琛史济怀徐森林《数学分析》(三册).徐森林,.⾦亚东,.薛春华《数学分析讲义》(三册).陈天权《数学分析习题课讲义》谢惠民等北京⼤学《数学分析》沈燮昌著第⼀册，⽅企勤著第⼆册，廖可⼈、李正元著第三册《数学分析习题课教材》（第⼀版）《数学分析解题指南》（第⼆版）林源渠，⽅企勤《数学分析习题集》林源渠，⽅企勤等《数学分析新讲》张筑⽣(三册)《数学分析简明教程》邓东翱,尹⼩铃著《数学分析上、下册》彭⽴中、谭⼩江著复旦⼤学《数学分析》《数学分析》陈传璋，⾦福临，朱学炎，欧阳光中著第⼆版《数学分析》欧阳光中，朱学炎，⾦福临，陈传璋著第三版《数学分析》陈纪修等著《数学分析》欧阳光中，姚允龙著同济⼤学《⾼等数学》（同济⼤学数学系第六版,上、下册）《⾼等数学讲义》樊映川等编..华东师范⼤学《数学分析》华东师范⼤学数学系著《数学分析精读讲义》华东师范⼤学数学系著《数学分析习题精解》吴良森，⽑⽻辉等?中国科学技术⼤学《数学分析教程》常庚哲，史济怀著《简明微积分》龚昇《⾼等数学引论》华罗庚《数学分析》徐森林著《数学分析的⽅法及例题选讲》徐利治南开⼤学《数学分析上、下册》李成章，黄⽟民《在南开⼤学的演讲》陈省⾝南京⼤学《数学分析讲义》梅加强《数学分析教程》许绍浦等北京师范⼤学《简明数学分析（第⼀版）》王昆扬《简明数学分析（第⼆版）》郇中丹，刘永平，王昆扬《微积分学讲义（第⼆版）》邝荣⾬武汉⼤学《⾼等数学上、下册》（⾼等教育出版社，齐民友主编）《重温微积分》齐民友著吉林⼤学《数学分析》东北师范⼤学《数学分析讲义》刘⽟琏，傅沛仁著天津⼤学《⾼等数学上、下册》蔡⾼厅叶宗泽《⾼等数学试题精选与解答》（蔡⾼厅等编）内蒙古⼤学《微积分学简明教程》曹之江等著[ Last edited by hylpy on 2014-9-15 at 12:38 ]国内数学分析主要参考书⽬[1].刘⽟琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁编.数学分析讲义(上),第四版.北京:⾼等教育出版社,2003.[2].刘⽟琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁编.数学分析讲义(下),第四版.北京:⾼等教育出版社,2003.[3].刘⽟琏,扬奎元,吕风编.数学分析讲义学习辅导书(上),第⼆版,北京:⾼等教育出版社.2003.[4].刘⽟琏,扬奎元,吕风编.数学分析讲义学习辅导书(下),第⼆版,北京:⾼等教育出版社.2003.[5].华东师范⼤学数学系编.数学分析(上),第三版.北京:⾼等教育出版社,2002.[6].华东师范⼤学数学系编.数学分析(下),第三版.北京:⾼等教育出版社,2002.[7].吴良森,⽑⽻辉,韩⼠安,吴畏编著.数学分析学习指导书(上).北京:⾼等教育出版社.2004.[8].吴良森,⽑⽻辉,韩⼠安,吴畏编著.数学分析学习指导书(下).北京:⾼等教育出版社.2004.[9].吴良森,⽑⽻辉编著.数学分析习题精解(单变量部分).北京:科学出版社.2002.[10].吴良森,⽑⽻辉编著.数学分析习题精解(多变量部分).北京:科学出版社.2003.[11].薛宗慈,曾昭著,邝荣⾬,陈平尚编.数学分析习作课讲义(上).北京:北京师范⼤学出版社,1985.[12].薛宗慈,曾昭著,邝荣⾬,陈平尚编.数学分析习作课讲义(下).北京:北京师范⼤学出版社,1987.[13].谢惠民,恽⾃求,易法槐,钱定边编.数学分析习题课讲义(上).北京:⾼等教育出版社,2004.[14].谢惠民,恽⾃求,易法槐,钱定边编.数学分析习题课讲义(下).北京:⾼等教育出版社,2004.[15].徐利治,王兴华.数学分析的⽅法与例题选讲.北京:⾼等教育出版社,2002.[16].钱吉林等主编.数学分析解题精粹.武汉:崇⽂书局,2003.[17].裴礼⽂.数学分析中的典型问题与⽅法,第⼆版.北京: 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][140].伍胜健.数学分析第⼆版，(第⼀册),北京⼤学数学教学系列丛书,2009.[141].伍胜健.数学分析第⼆版，(第⼆册),北京⼤学数学教学系列丛书,2009.[142].伍胜健.数学分析第⼆版，(第三册),北京⼤学数学教学系列丛书,2009.国内数学分析主要参考书⽬本帖隐藏的内容[1].刘⽟琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁编.数学分析讲义(上),第四版.北京:⾼等教育出版社,2003.[2].刘⽟琏,傅沛仁,林玎,苑德馨,刘宁编.数学分析讲义(下),第四版.北京:⾼等教育出版社,2003.[3].刘⽟琏,扬奎元,吕风编.数学分析讲义学习辅导书(上),第⼆版,北京:⾼等教育出版社.2003.[4].刘⽟琏,扬奎元,吕风编.数学分析讲义学习辅导书(下),第⼆版,北京:⾼等教育出版社.2003.[5].华东师范⼤学数学系编.数学分析(上),第三版.北京:⾼等教育出版社,2002.[6].华东师范⼤学数学系编.数学分析(下),第三版.北京:⾼等教育出版社,2002.[7].吴良森,⽑⽻辉,韩⼠安,吴畏编著.数学分析学习指导书(上).北京:⾼等教育出版社.2004.[8].吴良森,⽑⽻辉,韩⼠安,吴畏编著.数学分析学习指导书(下).北京:⾼等教育出版社.2004.[9].吴良森,⽑⽻辉编著.数学分析习题精解(单变量部分).北京:科学出版社.2002.[10].吴良森,⽑⽻辉编著.数学分析习题精解(多变量部分).北京:科学出版社.2003.[11].薛宗慈,曾昭著,邝荣⾬,陈平尚编.数学分析习作课讲义(上).北京:北京师范⼤学出版社,1985.[12].薛宗慈,曾昭著,邝荣⾬,陈平尚编.数学分析习作课讲义(下).北京:北京师范⼤学出版社,1987.[13].谢惠民,恽⾃求,易法槐,钱定边编.数学分析习题课讲义(上).北京:⾼等教育出版社,2004.[14].谢惠民,恽⾃求,易法槐,钱定边编.数学分析习题课讲义(下).北京:⾼等教育出版社,2004.[15].徐利治,王兴华.数学分析的⽅法与例题选讲.北京:⾼等教育出版社,2002.[16].钱吉林等主编.数学分析解题精粹.武汉:崇⽂书局,2003.[17].裴礼⽂.数学分析中的典型问题与⽅法,第⼆版.北京: 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数学分析参考书目：1．邓东皋、尹小玲，数学分析简明教程，高等教育出版社/20022．华东师范大学数学系，数学分析（第3版），高等教育出版社/2003基本要求：数列极限、函数极限、函数的连续性、一元函数微分学（导数与微分、微分学基本定理及其应用）、多元函数微分学（偏导数与全微分、隐函数定理与多元微分的应用）、一元函数积分学（不定积分、定积分、广义积分、定积分的应用）、多元函数积分学（重积分与含参量积分、曲线积分与曲面积分）、级数（数项级数、函数项级数、幂级数、Fourier级数）.高等代数与空间解析几何参考书目：1.《高等代数》（第3版）北京大学数学系高等教育出版社/20032.《解析几何》（第3版）吕林根、许子道高等教育出版社/2001基本要求：多项式：多项式的整除性，带余除法；多项式的因式分解，最大公因式和重因式；不可约多项式的判定和性质；多项式函数和多项式的根；实数域、复数域和有理数域上的多项式。

行列式：行列式的性质和计算；范德蒙行列式、常用计算技巧；行列式按行按列展开、拉普拉斯展开；克莱姆法则。

矩阵：矩阵运算；初等矩阵与初等变换；可逆矩阵；分块矩阵；矩阵的秩；矩阵的等价，合同，相似。

线性方程组：线性方程组的求解和讨论；线性方程组有解判别定理；线性方程组的解结构及其解空间的讨论。

二次型：二次型的标准形与合同变换；复数域和实数域上二次型的标准形，规范型；正定二次型及其讨论。

线性空间：线性空间的定义和性质；向量的线性相关性讨论、极大线性无关组；基，维数和坐标；基变换和坐标变换；线性子空间及相关理论。

线性变换：线性变换的概念和性质，运算；线性变换的矩阵，值域和核；线性变换（矩阵）的特征多项式，特征值与特征向量；不变子空间。

欧氏空间：向量内积；标准正交基（组）和度量矩阵；正交变换和正交矩阵，对称变换。

向量代数与方程,直线：矢量的数性积、矢量积、混合积和运算规律，空间曲线、曲面方程的各种不同形式，球面、柱面参数方程，平面与空间直线的各种形式的方程。

数学分析（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）课程教学大纲课程名称：数学分析（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）Mathematical Analysis（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）课程编码：Z110010、Z110063、Z110064总学时/总学分：336/21 理论学时/理论学分：336/21实验学时/实验学分：0适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学开课单位：师范学院一、课程性质及目的1、课程性质：本课程是数学与应用数学专业的普通教育必修课。

2、课程目的：本课程是数学专业的一门重要的基础课，它的任务是使学生获得极限论、一元函数微积分学、无穷级数与多元函数微积分学等方面的系统知识。

它是进一步学习复变函论、常微分方程、概率论与数理统计、实变函数论等后续课程的阶梯，并为深入理解中学数学知识打下基础。

二、课程内容及要求（一）章节内容与学时分配1、实数集与函数（10学时：讲授课6学时，习题课4学时）主要内容：（1）绝对值与不等式，确界原理实数性质概述，实数绝对值的性质与运算，确界概念，确界原理（2）函数函数概念几种特殊类型的函数，函数的四则运算，复合函数，基本初等函数，初等函数。

2、数列极限（12学时：讲授课8学时，习题课4学时）主要内容：（1）数列极限定义与性质数列极限ε-N定义收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性。

数列极限的四则运算（2）数列极限存在条件，数列的单调有界法则，柯西由敛准则，重要极限 3、函数极限（16学时：讲授课12学时，习题课4学时） 主要内容：（1）函数极限的M -ε定义和δε- 定义，单侧极限，函数极限的性质：唯一性、局部保号性、保存不等式性质、迫敛性（2）函数极限存在条件，两个重要极限海涅定理（归结原则），柯西收敛准则，两个重要极限 （3）无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量的定义、性质，无穷小（大）量阶的比较 4、函数的连续性（12学时：讲授课8学时，习题课4学时） 主要内容：（1）函数在一点连续性定义与性质函数在一点连续，单侧连续和区间上连续的定义，间断点的类型 连续函数的局部性质，复合函数的连续性，反函数的连续性 闭区间上连续函数的性质：最大（小）值性、有界性、介值性 （2）一致连续性与初等函数的连续性 一致连续定义，初等函数的连续性5、导数与微分（18时：讲授课12学时，习题课6学时） 主要内容： （1）导数概念导数定义（包括单侧导数，无穷大导数），导数的几何意义、导函数 （2）求导法则与求导公式导数四则运算、反函数导数、复合函数导数，求导法则与求导公式 （3）微分与高阶导数微分概念、微分基本公式，微分法则，一阶微分形式的不变性，微分在近似计算中的应用，高阶导数与高阶微分，参数方程所确定的函数的导数6、微分中值定理及其应用（26学时：讲授课18学时，习题课8学时） 主要内容： （1）微分中值定理罗尔定理，拉格朗日定理，函数的单调性。

数学分析上册 第三版华东师范大学数学系部分习题参考解答P.4 习题1．设a 为有理数，x 为无理数，证明：（1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数.证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数. 这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数.（2）假设ax 是有理数，于是aax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故ax 是无理数.3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b .证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，再由教材P.3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b .另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a . 这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b .5．证明：对任何R x ∈有（1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤---=x x x x（2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=-+≤--x x x x x ，所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x6．设+∈R c b a ,,证明 ||||2222c b c a b a -≤+-+证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是22b a +，OC 的长度是22c a +，AC 的长度为||c b -. 因为三角形两边的差小于第三边，所以有 ||||2222c b c a b a -≤+-+7．设 b a b x ≠>>,0,0，证明x b x a ++介于1与ba 之间. 证明 因为1||1-=-<+-=-++ba b b a x b b a x b x a ，1||)()(-=-<+-=-++b a b b a x b b x a b b a x b x a 所以x b x a ++介于1与ba 之间. 8．设 p 为正整数，证明：若 p 不是完全平方数，则p 是无理数. 证明 （反证）假设p 为有理数，则存在正整数 m 、n 使得m n p =，其中m 、n 互素. 于是22n p m =，因为 p 不是完全平方数，所以 p 能整除 n ，即存在整数 k ，使得kp n =. 于是222p k p m =，p k m 22=，从而 p 是 m 的约数，故m 、n 有公约数 p .这与“m 、n 互素”矛盾. 所以p 是无理数.P.9 习题2．设S 为非空数集，试对下列概念给出定义：（1）S 无上界；若M ∀，S x ∈∃0，使得M x >0，则称S 无上界.（请与S 有上界的定义相比较：若M ∃，使得S x ∈∀，有M x ≤，则称S 有上界）（2）S 无界.若0>∀M ，S x ∈∃0，使得M x >||0，则称S 无界.（请与S 有界的定义相比较：若0>∃M ，使得S x ∈∀，有M x ≤||，则称S 有界）3．试证明数集},2|{2R x x y y S ∈-==有上界而无下界.证明 S y ∈∀，有222≤-=x y ，故2是S 的一个上界.而对0>∀M ，取M x +=30，S M x y ∈--=-=12200，但M y -<0. 故数集S 无下界.4．求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）},2|{2R x x x S ∈<=解 2sup =S ，2inf -=S . 下面依定义加以验证2sup =S （2inf -=S 可类似进行）. S x ∈∀，有22<<-x ，即2是S 的一个上界，2-是S 的一个下界.2<∀α，若2-≤α，则S x ∈∀0，都有α>0x ；若22<<-α，则由实数的稠密性，必有实数 r ，使得22<<<-r α，即S r ∈，α不是上界，所以2sup =S .（2）},!|{+∈==N n n x x S解 S 无上界，故无上确界，非正常上确界为+∞=S sup .下面证明：1inf =S .① S x ∈∀，有1!≥=n x ，即 1 是S 的一个下界；② 1>∀β，因为 S ∈=!11，即β不是S 的下界. 所以 1inf =S .(3)})1,0(|{内的无理数为x x S =解 仿照教材P .6例2的方法，可以验证：1sup =S . 0inf =S⑷ },211|{+∈-==N n x x S n 解 1sup =S ，21inf =S 首先验证1sup =S .① S x ∈∀，有1211≤-=n x ，即 1 是S 的一个上界； ② 0>∀ε，取正整数0n ，使得ε<021n ，于是取02110n x -=. 从而S x ∈0，且ε->-=121100n x . 所以1sup =S5．设S 为非空有下界数集，证明：S S S min inf =⇔∈=ξξ证明：⇒）设S S ∈=ξinf ，则对一切S x ∈，有ξ≥x ，而S ∈ξ，故ξ是数集S 中的最小的数，即S min =ξ.⇐）设S min =ξ，则S ∈ξ；下面验证S inf =ξ；⑴ 对一切S x ∈，有ξ≥x ，即ξ是数集S 的下界；⑵ 对任何ξβ>，只须取ξ=0x ，则β<0x . 所以S inf =ξ.6．设S 为非空数集，定义}|{S x x S∈-=-. 证明： ⑴ S S sup inf -=- ⑵ S S inf sup -=-证 ⑴ 设-=S inf ξ，下面证明：S sup =-ξ.① 对一切S x ∈，有-∈-S x . 因为-=S inf ξ，所以有ξ≥-x ，于是ξ-≤x ，即ξ-是数集S 的上界；② 对任何ξα-<，有ξα>-. 因为-=S inf ξ，所以存在-∈S x 0，使得α-<0x .于是有S x ∈-0，使得α>-0x .由①，②可知S sup =-ξ.7．设A 、B 皆为非空有界数集，定义数集},,|{B y A x y x z z B A ∈∈+==+ 证明：（1）B A B A sup sup )sup(+=+； （2）B A B A inf inf )inf(+=+证明 （1）因为A 、B 皆为非空有界数集，所以A sup 和B sup 都存在.B A z +∈∀，由定义分别存在B y A x ∈∈,，使得y x z +=. 由于A x sup ≤，B y sup ≤，故B A y x z sup sup +≤+=，即B A sup sup +是数集B A +的一个上界.B A sup sup +<∀α，（要证α不是数集B A +的上界），A B sup sup <-α，由上确界A sup 的定义，知存在A x ∈0，使得B x sup 0->α. 于是B x sup 0<-α，再由上确界B sup 的定义，知存在B y ∈0，使得00x y ->α. 从而α>+=000y x z ，且B A z +∈0. 因此B A sup sup +是数集B A +的上确界，即B A B A sup sup )sup(+=+另证 B A z +∈∀，由定义分别存在B y A x ∈∈,，使得y x z +=. 由于A x sup ≤，B y sup ≤，故B A y x z sup sup +≤+=，于是B A B A sup sup )sup(+≤+. ①由上确界的定义，0>∀ε，A x ∈∃0，使得2sup 0ε->A x ，B y ∈∃0，使得2sup 0ε->B y ，从而ε-+>+≥+B A y x B A sup sup )sup(00，由教材P.3 例2，可得 B A B A sup sup )sup(+≥+ ②由①、②，可得 B A B A sup sup )sup(+=+类似地可证明：B A B A inf inf )inf(+=+P.15 习题9．试作函数)arcsin(sin x y =的图象解 )arcsin(sin x y =是以2π为周期，定义域为),(∞+-∞，值域为]2,2[ππ-的分段线性函数，其图象如图.11．试问||x y =是初等函数吗？解 因为2||x x y ==，可看成是两个初等函数u y =与2x u =的复合，所以||x y =是初等函数.12．证明关于函数[]x y =的如下不等式：（1）当0>x 时，111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-x x x （2）当0<x 时，x x x -<⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤111 证明 （1）因为 1111+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x ，所以当0>x 时，有x x x x x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡111，从而有111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-x x x .（2）当0<x 时，在不等式1111+⎥⎦⎤⎢⎣⎡<≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x 中同时乘以x ，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤<+⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x x x 111，从而得到所需要的不等式x x x -<⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤111. P.20 习题1．证明1)(2+=x x x f 是R 上的有界函数. 证明 因为对R 中的任何实数x 有21212=≤+x x x x )||21(2x x ≥+ 所以 f 在R 上有界.2．（1）叙述无界函数的定义；（2）证明21)(x x f =为（0，1）上的无界函数； （3）举出函数 f 的例子，使 f 为闭区间 [0，1] 上的无界函数. 解 （1）设函数D x x f ∈)(，若对任何0>M ，都存在D x ∈0，使得M x f >|)(|0，则称 f 是D 上的无界函数.（2）分析：0>∀M ，要找)1,0(0∈x ，使得M x >201. 为此只需Mx 10<. 证明 0>∀M ，取110+=M x ，则)1,0(0∈x ，且M M x >+=1120，所以f 为区间（0，1）上的无界函数. （3）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≤<=00101)(x x x x f 是闭区间 [0，1] 上的无界函数.7．设f 、g 为定义在D 上的有界函数，满足)()(x g x f ≤，D x ∈证明：⑴ )(sup )(sup x g x f D x D x ∈∈≤；⑵ )(inf )(inf x g x f Dx D x ∈∈≤证 ⑴ D x ∈∀，有)(sup )()(x g x g x f D x ∈≤≤，即)(sup x g Dx ∈是f 在D 上的一个上界，所以)(sup )(sup x g x f Dx D x ∈∈≤.⑵ D x ∈∀，有)()()(inf x g x f x f D x ≤≤∈，即)(inf x f Dx ∈是g 在D 上的一个下界，所以)(inf )(inf x g x f Dx D x ∈∈≤. 8．设f 为定义在D 上的有界函数，证明：⑴ )(inf )}({sup x f x f D x D x ∈∈-=-； ⑵ )(sup )}({inf x f x f Dx D x ∈∈-=-证 ⑴ D x ∈∀，有)}({sup )(x f x f D x -≤-∈，于是)}({sup )(x f x f Dx --≥∈，即)}({sup x f D x --∈是f 在D 上的一个下界，从而)}({sup )(inf x f x f Dx D x --≥∈∈，所以)(inf )}({sup x f x f Dx D x ∈∈-≥- ①反之，D x ∈∀，有)(inf )(x f x f D x ∈≥，于是)(inf )(x f x f D x ∈-≤-，即)(inf x f Dx ∈-是f -在D 上的一个上界，从而)(inf )}({sup x f x f Dx D x ∈∈-≤- ②由①，②得，)(inf )}({sup x f x f Dx D x ∈∈-=-.9．证明：x tan 在)2,2(ππ-上无界，而在)2,2(ππ-内任一闭区间],[b a 上有界.证 0>∀M ，取)1arctan(0+=M x ，于是)2,2(0ππ-∈x . 则有M M x >+=1tan 0，所以x tan 在)2,2(ππ-上无界. 在)2,2(ππ-内任一闭区间],[b a 上，取|}tan ||,tan max{|b a M =，则],[b a x ∈∀，必有M x ≤|tan |，所以x tan 在],[b a 上有界.10．讨论狄利克雷函数⎩⎨⎧=为无理数当为有理数当x ，x x D 0,1)(，的有界性，单调性与周期性. 解 函数)(x D 是有界函数：1|)(|≤x D . 不是单调函数.)(x D 是周期函数，任何一个正有理数都是它的周期，故它没有最小周期. 证明如下：设 r 是任一正有理数. 若 x 是有理数，则r x ±是有理数，于是)(1)(x D r x D ==±；若 x 是无理数，则r x ±是无理数，于是)(0)(x D r x D ==±.任何无理数都不是)(x D 的周期.11．证明：x x x f sin )(+=在R 上严格增.证 设21x x <，于是2sin 2cos2sin sin )()(121212112212x x x x x x x x x x x f x f -++-=--+=- 因为0>∀x ，有x x <sin ，所以12121212|2sin |2|2sin 2cos 2|x x x x x x x x -<-≤-+，从而121212212sin 2cos 2x x x x x x x x -<-+<-. 所以有 02sin 2cos2)()(211212121212=-+->-++-=-x x x x x x x x x x x f x f 即x x x f sin )(+=在R 上严格增.P.21 总练习题1．设R b a ∈,，证明：⑴ |)|(21},max{b a b a b a -++=证 若b a ≥，则a b a =},max{，a b a b a b a b a =-++=-++)(21|)|(21，这时有|)|(21},max{b a b a b a -++=；若b a <，则b b a =},max{，=-++|)|(21b a b a b b a b a =+-+)(21，也有|)|(21},max{b a b a b a -++=，所以|)|(21},max{b a b a b a -++= 2．设f 和g 都是初等函数，定义)}(),(max{)(x g x f x M =，)}(),(min{)(x g x f x m =，D x ∈试问)(x M 和)(x m 是否为初等函数？解 由第1题有|))()(|)()((21)}(),(max{)(x g x f x g x f x g x f x M -++==，因为f 和g 都是初等函数，于是)()(x g x f -是初等函数，再由212})]()({[|)()(|x g x f x g x f -=-，知|)()(|x g x f -是初等函数，所以)(x M 是初等函数.8．设f 、g 和h 为增函数，满足)()()(x h x g x f ≤≤，R x ∈，证明：))(())(())((x h h x g g x f f ≤≤证 因为f 、g 为增函数，再由)()(x g x f ≤，得))(())((x g f x f f ≤，))(())((x g g x g f ≤，所以有))(())((x g g x f f ≤. 同理可得))(())((x h h x g g ≤.9．设f 、g 为区间),(b a 上的增函数，证明)}(),(max{)(x g x f x =ϕ，)}(),(min{)(x g x f x =ψ也都是区间),(b a 上的增函数.证 ⑴ 先证)}(),(max{)(x g x f x =ϕ是区间),(b a 上的增函数.设21x x <，于是有)()()}(),(m ax {)(12222x f x f x g x f x ≥≥=ϕ，)()()}(),(m ax {)(12222x g x g x g x f x ≥≥=ϕ，从而)()}(),(m ax {)(1112x x g x f x ϕϕ=≥，所以)(x ϕ是增函数.⑵ 其次证明)}(),(min{)(x g x f x =ψ是区间),(b a 上的增函数设21x x <，于是有)()()}(),(m in{)(21111x f x f x g x f x ≤≤=ψ)()()}(),(m in{)(21111x g x g x g x f x ≤≤=ψ从而 )()}(),(m in{)(2221x x g x f x ψψ=≤12．设f 、g 为D 上的有界函数，证明：⑴ )(sup )(inf )}()({inf x g x f x g x f Dx D x D x ∈∈∈+≤+ ⑵ )}()({sup )(inf )(sup x g x f x g x f Dx D x D x +≤+∈∈∈证 ⑴ 由p.17例2 (i)，有)(inf )}({inf )}()({inf x f x g x g x f Dx D x D x ∈∈∈≤-++ ① 再由p.20习题8，有)(sup )}({inf x g x g Dx D x ∈∈-=- ② 结合①、②可得)(sup )(inf )}()({inf x g x f x g x f Dx D x D x ∈∈∈+≤+ 13．设f 、g 为D 上的非负有界函数，证明：⑴ )}()({inf )(inf )(inf x g x f x g x f Dx D x D x ⋅≤⋅∈∈∈ ⑵ )(inf )(sup )}()({sup x g x f x g x f Dx D x D x ∈∈∈⋅≤⋅证 ⑴ D x ∈∀，有)()(inf x f x f D x ≤∈，)()(inf x g x g D x ≤∈，从而)()()(inf )(inf x g x f x g x f Dx D x ⋅≤⋅∈∈. 即)(inf )(inf x g x f Dx D x ∈∈⋅是)()(x g x f ⋅在D 上的一个下界，所以有 )}()({inf )(inf )(inf x g x f x g x f Dx D x D x ⋅≤⋅∈∈∈ 15．设f 为定义在R 上以h 为周期的函数，a 为实数. 证明：若f 在 [ a , a +h ] 上有界，则f 在R 上有界.证 设f 在 [ a , a +h ] 上有界，即存在0>M ，使得],[h a a x +∈∀，有M x f ≤|)(|.R x ∈∀，必存在整数m 和实数],[0h a a x +∈，使得0x mh x +=. 于是M x f mh x f x f ≤=+=|)(||)(||)(|00，所以f 在R 上有界.16．设f 在区间I 上有界. 记)(sup x f M I x ∈=，)(inf x f m Ix ∈=，证明m M x f x f Ix x -=''-'∈'''|)()(|sup ,证 I x ∈∀，有M x f ≤)(，m x f ≥)(. 于是I x x ∈'''∀,，有m M x f x f -≤''-'|)()(|，即m M -是数集},:|)()(|{I x x x f x f ∈'''''-'的一个上界. 下面证明：m M -是数集},:|)()(|{I x x x f x f ∈'''''-'的最小上界.由上确界，下确界的定义知，0>∀ε，I x x ∈'''∃,，使得2)(ε->'M x f ，2)(ε+<''m x f ，从而εεε--=+-->''-'m M m M x f x f )2(2)()(. 所以m M -是数集},:|)()(|{I x x x f x f ∈'''''-'的最小上界.所以m M x f x f Ix x -=''-'∈'''|)()(|sup ,部分重点高校历年研究生入学考试试题选（供参考）1．（北京科技大学，1999年）叙述数集A 的上确界的定义，并证明：对任意有界数列}{n x ，}{n y ，总有}sup{}sup{}sup{n n n n y x y x +≤+证明 定义参考教材.由上确界的定义，有}sup{n n x x ≤，}sup{n n y y ≤，（ ,2,1=n ）. 于是}sup{}sup{n n n n y x y x +≤+，即实数}sup{}sup{n n y x +是数列}{n n y x +的一个上界，所以有}sup{}sup{}sup{n n n n y x y x +≤+2．（中国人民大学）设249)3lg(1)(x x x f -+-=，求)(x f 的定义域和)]7([-f f . 解 由049,13,032≥-≠->-x x x 解得)(x f 的定义域为)3,2()2,7[⋃-110lg 1)7(==-f ，所以342lg 1)]7([+=-f f 3．（华中理工大学）设1)(-=x x x f ，试验证x x f f f f =))]}(([{，并求])(1[x f f （0≠x ，1≠x ）.解 由x x x x xx f x f x f f =---=-=1111)()()]([，得x x f f x f f f f ==)]([))]}(([{. x xx x x x x f x f f -=---=-=1111]1[])(1[ 4．（同济大学）设⎩⎨⎧≥<+=010,1)(x x x x f ，求)]([x f f . 解 当0≥x 时，1)1()]([==f x f f ，当01<≤-x 时，1)1()]([=+=x f x f f ，当1-<x 时，2)1()]([+=+=x x f x f f ，所以⎩⎨⎧-≥-<+=111,2)]([x x x x f f 5．（西北工业大学）设2)(x x x f +=，求 ⑴ )(x f 的定义域⑵2)]}([{21x f f ⑶ x x f x )(lim 0→ 解 ⑴ ⎩⎨⎧>≤=+=0,20,0||)(x x x x x x f ，所以)(x f 的定义域为),(∞+-∞. ⑵ 因为)(22)()]([2222x f x x x x x x x f f =+=+++=，所以22)()]}([{21x x x f x f f +== ⑶ 因为00lim )(lim 00==--→→x x x f x x ，+∞==-+→→x x x x f x x 2lim )(lim 00，所以x x f x )(lim 0→不存在6．（清华大学）设函数)(x f 在),(∞+-∞上是奇函数，a f =)1(且对任何x 值均有)2()()2(f x f x f =-+⑴ 试用a 表示)2(f 与)5(f⑵ 问a 取什么值时，)(x f 是以2为周期的周期函数.解 ⑴ 因为对任何x 值均有)2()()2(f x f x f +=+，令1-=x 得a f f f f f f f a -=-=-+=+-==)2()1()2()1()2()21()1(，所以a f 2)2(=.a f f f 3)2()1()3(=+=，a f f f 5)3()2()5(=+=⑵ 由)2()()2(f x f x f +=+知当且仅当0)2(=f ，即0=a 时，)(x f 是以2为周期的周期函数.7．（合肥工业大学）证明：定义在对称区间),(l l -内的任何函数)(x f ，必可表示成偶函数)(x H 与奇函数)(x G 之和的形式，且这种表示法是唯一的.证明 令)]()([21)(x f x f x H -+=，)]()([21)(x f x f x G --=，则)()()(x G x H x f +=，且容易证明)(x H 是偶函数，)(x G 是奇函数.下证唯一性. 若还有偶函数)(1x H 与奇函数)(1x G ，满足)()()(11x G x H x f +=，则有)()()()(11x G x G x H x H -=-， ①用x -代入①式，得)()()()(11x G x G x H x H -=- ②①+② 得 )()(1x H x H =，再代入②式得)()(1x G x G =8．（内蒙古大学）作函数||2|2|x y --=的图形解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤-<≤<-=44424200x x x x x x x x y 9．（上海师范大学）是否存在这样的函数，它在区间]1,0[上每点都取有限值，但在此区间的任何点的任何邻域内都无界.答 存在，例如⎩⎨⎧>==1000,,)(或为无理数或为且互质x ，n ，n m n m x n ，x f 10．（武汉大学，1994年）设}{n x 为一个正无穷大数列，E 为}{n x 的一切项组成的数集，试证：必存在自然数p ，使得E x p inf =证明 因为}{n x 为一个正无穷大数列，所以存在自然数N ，使得当N n >时，1x x n >. 于是},,,m in{inf 21N x x x E =，由于},,,{21N x x x 为有限集，所以存在p x ，使得E x x x x N p inf },,,min{21== .11．（天津大学）证明：2是满足不等式22>r 的一切正有理数的下确界；证 设}0,2,|{2>>∈=r r Q r r A . 要证2是数集A 的下确界. A r ∈∀，有22>r ，所以2>r ，即2是数集A 的一个下界.0>∀ε，由有理数的稠密性，在)2,2(ε+上存在无穷多个有理数，于是可取)2,2(1ε+∈r ，即A r ∈1且ε+<21r . 所以2inf =A12．（华中师范大学）设函数)(x f 定义在区间I 上，如果对于任何I x x ∈21,，及)1,0(∈λ，恒有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+，证明：在区间I 的任何闭子区间上)(x f 有界.证 I b a ⊂∀],[，要证)(x f 在],[b a 有界. ),(b a x ∈∀，存在)1,0(∈λ，使 )(a b a x -+=λ，即a b x )1(λλ-+=.M M M a f b f a b f x f =-+≤-+≤-+=)1()()1()())1(()(λλλλλλ ① 其中)}(),(max{b f a f M =],[b a x ∈∀，令x b a y -+=)(，则22y x b a +=+， M x f y f x f y x f b a f 21)(21)(21)(21)22()2(+≤+≤+=+，所以 M b a f x f -+≥)2(2)( ② 由①、②可得，],[b a x ∈∀，有M x f M b a f ≤≤-+)()2(2，所以)(x f 在],[b a 有界.。

数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编部分习题参考解答P.4 习题1．设a 为有理数，x 为无理数，证明：（1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数。

证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。

这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。

（2）假设ax 是有理数，于是a ax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故ax 是无理数。

3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。

证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，再由教材P.3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。

另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。

这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。

5．证明：对任何R x ∈有（1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x（2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ，所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x6．设+∈R c b a ,,证明||||2222c b c a b a -≤+-+证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是22b a +，OC 的长度是22c a +，AC 的长度为||c b -。

因为三角形两边的差大于第三边，所以有||||2222c b c a b a -≤+-+7．设 b a b x ≠>>,0,0，证明x b x a ++介于1与ba 之间。

数学分析的辅导书排名“数学分析”是数学或计算专业最重要的一门课，而且是今后数学专业大部分课程的基础，经常从一个知识点就能引申出今后的一门课，同时它也是初学时比较难的一门课。

这里的“难”主要是指对数学分析思想和方法的不适应（高等数学上的方法与初等数学的方法有很大不同），其实随着学习的深入，适应了方法后，会感觉一点一点地容易起来，比如当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。

数学系的数学分析讲三个学期，学的时间也够长的。

本课程主要讲的是以集合为基础而发展起来的变量和函数中的数学规律、分析与计算，是通往高等数学领域的基础工具之一。

这么多年来，国内外出现了很多非常优秀的教材和习题集以及辅导书，而且很多高校一直使用着。

辅导书：1、《数学分析》(共两册)华东师范大学数学系编著这应该是师范类使用最多的书，课后习题编排的还不错，同时这也是考研用得比较多的一本书。

书的最后讲了一些流形上的微积分。

虽然是师范类的书，不过还是值得一看的。

2、《数学分析新讲》(共三册)张筑生著很好的书，内容和高度在国内算得上是比较突出的。

值得一提的是，张老师文笔清晰详细，证明深入浅出，通俗易懂。

这个对初学者来说非常有帮助。

本书同时也被公认为是一本具有新观点的书，主要体现在一些经典问题处理方法上与一般的书有所不同：本书比较强调一般化，融入了一些更高的观点，如泛函、点集拓扑等。

尤其精彩的是，这本书里面提供了一些问题讨论的专题附录，如Stolz定理、正交曲线坐标系中的场论计算、二项式级数在收敛区间端点的敛散情况、布劳威尔不动点定理、斯通－维尔斯特拉斯逼近定理及其证明，等等。

本书书在证明过程中通过技术化处理，降低了难度，容易被一般人理解。

遗憾的是书中没有课后习题，又由于书写的早，有的符号以现在的观点来看，不是很标准(按照张老师本人的说法，北大出版社找了家根本不懂怎么印数学书的印刷厂，所以版面不是很好看)；另外感觉实数理论部分和含参数广义积分那章的内容写得不太全面。