数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编
部分习题参考解答
P.4 习题
1．设a 为有理数，x 为无理数，证明：
（1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数。
证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。
（2）假设ax 是有理数，于是a
ax
x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故ax 是无理数。
3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。
证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，再由教材P.3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。
另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。
5．证明：对任何R x ∈有
（1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x 证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x
（2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ，
所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x 6．设+
∈R c b a ,,证明||||
2222c b c a b a -≤+-+
证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是2
2
b a +，OC 的长度是2
2
c a +，
AC 的长度为||c b -。因为三角形两边的差 大于第三边，所以有
||||2222c b c a b a -≤+-+
7．设 b a b x ≠>>,0,0，证明
x b x a ++介于1与b
a
之间。 证明 因为
1||1-=-<+-=-++b
a
b b a x b b a x b x a ，
1||)()(-=-<+-=-++b
a
b b a x b b x a b b a x b x a 所以
x b x a ++介于1与b
a
之间。 8．设 p 为正整数，证明：若 p 不是完全平方数，则p 是无理数。
证明 （反证）假设
p 为有理数，则存在正整数 m 、n 使得m
n
p =
，其中m 、n 互素。于是2
2
n p m =，因为 p 不是完全平方数，所以 p 能整除 n ，即存在整数 k ，使得kp n =。于是2
2
2
p k p m =，p k m 2
2
=，从而 p 是 m 的约数，故m 、n 有公约数 p 。这与“m 、n 互素”矛盾。所以
p 是无理数。
P.9 习题
2．设S 为非空数集，试对下列概念给出定义： （1）S 无上界；
若M ∀，S x ∈∃0，使得M x >0，则称S 无上界。
（请与S 有上界的定义相比较：若M ∃，使得S x ∈∀，有M x ≤，则称S 有上界） （2）S 无界。
若0>∀M ，S x ∈∃0，使得M x >||0，则称S 无界。
（请与S 有界的定义相比较：若0>∃M ，使得S x ∈∀，有M x ≤||，则称S 有界）
3．试证明数集},2|{2
R x x y y S ∈-==有上界而无下界。 证明 S x ∈∀，有222
≤-=x y ，故2是S 的一个上界。
而对0>∀M ，取M x +=30，S M x y ∈--=-=122
00，但M y -<0。故数
集S 无下界。
4．求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证： （1）},2|{2
R x x x S ∈<= 解 2sup =S ，2inf -=S 。下面依定义加以验证2sup =S （2inf -=S 可
类似进行）。
S x ∈∀，有22<<-x ，即2是S 的一个上界，2-是S 的一个下界。 2<∀α，若2-≤α，则S x ∈∀0，都有α>0x ；若22<<-α，则由实
数的稠密性，必有实数 r ，使得22<
<<-r α，即S r ∈，α不是上界，所以
2sup =S 。
（2）},!|{+∈==N n n x x S
解 S 无上界，故无上确界，非正常上确界为+∞=S sup 。 1inf =S 。
S x ∈∀，有1!≥=n x ，即 1 是S 的一个下界；
1>∀β，因为 S ∈=!11，即β不是S 的下界。所以 1inf =S 。
(3)})1,0(|{内的无理数为x x S =
解 仿照教材P .6例2的方法，可以验证：1sup =S 。 0inf =S
7．设A 、B 皆为非空有界数集，定义数集},,|{B y A x y x z z B A ∈∈+==+ 证明：（1）B A B A sup sup )sup(+=+； （2）B A B A inf inf )inf(+=+
证明 （1）因为A 、B 皆为非空有界数集，所以A sup 和B sup 都存在。
B A z +∈∀，由定义分别存在B y A x ∈∈,，使得y x z +=。由于A x sup ≤，B y sup ≤，故B A y x z sup sup +≤+=，即B A sup sup +是数集B A +的一个上界。
B A sup sup +<∀α，
（要证α不是数集B A +的上界），A B sup sup <-α，由上确界A sup 的定义，知存在A x ∈0，使得B x sup 0->α。于是B x sup 0<-α，再由上确界B sup 的定义，知存在B y ∈0，使得00x y ->α。从而α>+=000y x z ，且
B A z +∈0。因此B A sup sup +是数集B A +的上确界，即B A B A sup sup )sup(+=+
另证 B A z +∈∀，由定义分别存在B y A x ∈∈,，使得y x z +=。由于A x sup ≤，
B y sup ≤，故B A y x z sup sup +≤+=，于是
B A B A sup sup )sup(+≤+。 ①
由上确界的定义，0>∀ε，A x ∈∃0，使得2
sup 0ε
-
>A x ，B y ∈∃0，使得
2
sup 0ε
-
>B y ，从而ε-+>+≥+B A y x B A sup sup )sup(00，由教材P.3 例2，可
得
B A B A sup sup )sup(+≥+ ②
由①、②，可得 B A B A sup sup )sup(+=+ 类似地可证明：B A B A inf inf )inf(+=+
P.15 习题
9．试作函数)arcsin(sin x y =的图象 解 )arcsin(sin x y =是以2π为周期，
