第四章 函数的连续性习题§1 连续性概念1． 按定义证明下列函数在其定义域内连续：（1）()xx f 1=； （2） ()x x f = 2． 指出下列函数的间断点并说明其类型：（1）()x x x f 1+=； （2）()xx x f sin =； （3）()[]x x f cos =； （4）()x x f sgn =； （5）()()x x f cos sgn =； （6）()⎩⎨⎧-=为无理数；为有理数，x x x x x f ,,（7）()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<--≤≤--<<-∞+=x x x x x x x x f 1,11sin 117,7,71 3． 延拓下列函数，使其在R 上连续：（1）()283--=x x x f ； （2）()2cos 1x x x f -=； （3）()x x x f 1cos =.4． 证明：若f 在点0x 连续，则f 与2f 也在点0x 连续。
又问：若f 与2f 在I 上连续，那么f 在I 上是否必连续？5． 设当0≠x 时()()x g x f ≡，而()()00g f ≠。
证明：f 与g 两者中至多有一个在0=x 连续6． 设f 为区间I 上的单调函数。
证明：若I x ∈0为f 的间断点，则0x 必是f 的第一类间断点7． 设f 只有可去间断点，定义()()y f x g xy →=lim ，证明：g 为连续函数8． 设f 为R 上的单调函数，定义()()0+=x f x g ，证明：g 在R 上每一点都右连续 9． 举出定义在[]1,0上分别符合下述要求的函数： （1）只在41,31,21三点不连续的函数； （2）只在41,31,21三点连续的函数；（3）只在() ,2,11=n n上间断的函数；4）只在0=x 右连续，而在其他点都不连续的函数§2 连续函数的性质1． 论复合函数g f 与f g 的连续性，设（1）()x x f sgn =，()21x x g +=；（2）()x x f sgn =，()()x x x g 21-=. 2. 设g f , 在点0x 连续，证明：（1）若()()00x g x f >，则存在()δ,0x ，使在其内有()()x g x f >； （2）若在某()00x 内有()()x g x f >，则()()00x g x f >3. 设g f , 在区间I 连续.记()()(){}()()(){}x g x f x G x g x f x F ,min ,,max ==.证明：G F ,也在I 上连续.4. 设f 为R 上连续函数，常数0>c .记()()()())⎪⎩⎪⎨⎧>≤-<-=,,,,,,c x f c c x f x f c x f c x F 若若若证明：F 在R 上连续.5.设()()⎩⎨⎧>+≤-==.0,,0,,sin x x x x x g x x f ππ证明：复合函数g f 在0=x 连续，但g 在0=x 不连续.6.设f 在[)+∞,a 上连续，且()x f x +∞→lim 存在.证明：f 在[)+∞,a 上有界.又问f 在[)+∞,a 上必有最大值或最小值吗？7.若对任何充分小的0>ε，f 在[]εε-+b a ,上连续，能否由此推出f 在()b a ,内连续. 8.求极限：（1）()x x x tan lim 4-→ππ； （2）1121lim 21+--++→x x x x x . 9.证明：若f 在[]b a ,上连续，且对任何[]()0,,≠∈x f b a x ，则f 在[]b a ,上恒正或恒负. 10．证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根.11．试用一致连续的定义证明：若g f ,都在区间I 上一致连续，则g f +也在区间I 上一致连续.12．证明：()x x f =在区间[)+∞,0上一致连续.13．证明：()2x x f =在区间[]b a ,上一致连续，但在区间()+∞∞-,上不一致连续. 14．设函数f 在区间I 上满足利普希芝条件，即存在常数0>L ，使得对I 上任意两点///,x x 都有()()//////x x L x f x f -≤-.证明：f 在I 上一致连续.15．证明：x sin 在()+∞∞-,上一致连续.16．设函数f 满足第6题的条件.证明：f 在[)+∞,a 上一致连续.17．设f 在[]a 2,0上连续，且()()a f f 20=.证明：存在点[]a x 2,00∈，使得()()a x f x f +=0018．设f 为[]b a ,上的增函数，其值域为()()[]b f a f ,.证明：f 为[]b a ,上连续. 19．设f 为[]b a ,上连续.，[]b a x x x n ,,,,21∈ .证明：存在[]b a ,∈ξ，使得 ()()()()[]n x f x f x f nx f +++=211. 20．证明：()x x f cos =在[)+∞,0上一致连续. §3 初等函数的连续性 1． 求下列极限：（1）()x x x e x x -+++→1ln 15cos lim 20； （2）⎪⎭⎫⎝⎛-+++∞→x x x x x lim ；（3）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+++→x x x x x x x 111111lim 0； （4）1lim++++∞→x xx x x ； （5）()xx x cot 0sin 1lim +→.2． 设b b a a n n n n =>=∞→∞→lim ,0lim .证明：bbn n a a n =∞→lim .总练习题1． 设函数f 在()b a ,内连续，且()0+a f 与()0-b f 为有限值.证明：（1）f 在()b a ,内有界；（2）若存在()b a ,∈ξ，使得()()(){}0,0max -+≥b f a f f ξ，则f 在()b a ,内能取到最大值.2．设函数f 在()b a ,内连续，且()()+∞=-=+00b f a f .证明：f 在()b a ,内能取到最小值.3．设函数f 在区间I 上连续，证明：（1）若对任何有理数I r ∈有()0=r f ，则在I 上()0≡x f ；（2）若对任意两个有理数2121,,r r r r <，有()()21r f r f <，则f 在I 上严格增. 4．设321,,a a a 为正数，321λλλ<<.证明：方程0332211=-+-+-λλλx a x a x a 在区间()21,λλ与()32,λλ内各有一个根.5．设f 在[]b a ,上连续，且对任何[]b a x ,∈，存在[]b a y ,∈，使得 ()()x f y f 21<. 证明：存在[]b a ,∈ξ，使得()0=ξf .6．设f 在[]b a ,上连续，[]b a x x x n ,,,,21∈ ，另有一组正数n λλλ,,,21 满足121=+++n λλλ .证明：存在一点[]b a ,∈ξ，使得()()()()n n x f x f x f f λλλξ+++= 22117．设f 在[)+∞,0上连续，满足()[)+∞∈≤≤,0,0x x x f .设(),,011n n a f a a =≥+,2,1=n .证明：（1）{}n a 为收敛数列； （2）设t a n n =∞→lim ，则有()t t f =；（3）若条件改为()[)+∞∈<≤,0,0x x x f ，则0=t .8．设f 在[]1,0上连续，()()10f f =.证明：对任何正整数n ，存在[]1,0∈ξ，使得()ξξf n f =⎪⎭⎫ ⎝⎛+1.9．设f 在0=x 连续，且对任何R y x ∈,有()()()y f x f y x f +=+.证明： （1）f 在R 上连续； （2）()()x f x f 1=.10.设定义在R 上的函数f 在1,0两点连续，且对任何R x ∈有()()x f x f =2.证明：f 为常量函数.习题答案§1 连续性概念 2．（1）0=x ，第二类间断点；（2）0=x ，跳跃间断点；（3）() ,2,1,0±±==n n x π，可去间断点；（4）0=x ，可去间断点；（5）() ,2,1,02±±=+=k k x ππ，跳跃间断点；（6）除0=x 外每一点都是跳跃间断点；（7）7-=x 为第二类间断点，1=x 为跳跃间断点.§2 连续函数的性质1．（1）g f 处处连续，f g ，0=x 为可去间断点； （2）g f ，1,0,1-=x 为跳跃间断点，f g 处处连续.8．（1）π43；（2）23. §3 初等函数的连续性1．（1）6；（2）21；（3）1；（4）1；（5）e . 典型习题解答1．（§1 第6题）设f 为区间I 上的单调函数。
证明：若I x ∈0为f 的间断点，则0x 必是f 的第一类间断点证明；取()I x ⊂+00 ，则f 在()00x + 上单调有界，从而()00+x f 存在，又取()I x ⊂-00 ，则f 在()00x - 上单调有界，所以()00-x f 存在，但f 在点0x 不连续，因此0x 是f 的第一类间断点.2．（§1 第7题）设f 只有可去间断点，定义()()y f x g xy →=lim ，证明：g 为连续函数证明：设0x 为f 的定义域内的任意点.因为()()y f x g xy →=lim ，所以0,01>∃>∀δε，使得当()100,δx y ∈时，有()()ε<-0x g y f （1）()()()100200100,,,,δδδx x x x ⊂∃∈∀，当()200,δx y ∈时，（1）成立，从而()()ε≤-→00lim x g y f x y 即()()ε≤-0x g x g因此()x g 在点0x 连续，由0x 的任意性，()x g 为连续函数. 3．（§2 第12题）证明：()x x f =在区间[)+∞,0上一致连续.证明：因为[)+∞∈∀,0,///x x ，有()/////////2///x x x x x x xx -=+-≤-所以0>∀ε，取2εδ=，对[)+∞∈∀,0,///x x ，只要δ<-///x x ，就有ε<-///x x因此x 在区间[)+∞,0上一致连续.4．（§2 第13题）证明：()2x x f =在区间[]b a ,上一致连续，但在区间()+∞∞-,上不一致连续.证明：由()2x x f =在区间[]b a ,上连续，故()2x x f =在区间[]b a ,上一致连续 下证()2x x f =在区间()+∞∞-,上不一致连续.取10=ε，取n n x n n x n n 1,2///+=+=，则nx x n n 1///=- 于是0>∀δ，存在0n ，使得δ<=-0///100n x x n n ，但 ()()020200200///1321200ε=>+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-n n n n n x f x f n n 所以()2x x f =在区间()+∞∞-,上不一致连续.5．（总练习题 第8题）设f 在[]1,0上连续，()()10f f =.证明：对任何正整数n ，存在[]1,0∈ξ，使得()ξξf n f =⎪⎭⎫ ⎝⎛+1证明：当n =1时，取0=ξ即可当1>n 时，考虑()()x f n x f x F -⎪⎭⎫⎝⎛+=1，则有()0110=⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n F n F F 于是()0111101=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n F n n F n F n 由第6题，存在[]1,0∈ξ，使得 ()()0111101=⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n F n n F n F n f ξ 即()ξξf n f =⎪⎭⎫⎝⎛+1 6．（总练习题 第10题）设定义在R 上的函数f 在1,0两点连续，且对任何R x ∈有()()x f x f =2.证明：f 为常量函数.证明：R x ∈∀，有()()()()()x f x f x f x f ==-=-22，故f 为偶函数.只考虑f 在[)+∞,0上的情况0>∀x ，有()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x f x f x f x f 2121212 所以 ()()()1lim lim lim 2121f x f x f x f x f n n n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∞→∞→∞→ 于是()()()()11lim lim 00f f x f f x x ===++→→ 所以 ()()R x f x f ∈∀=,1.。
