广东省湛江农垦实验中学2015届高三第一次月考数学(理)

广东省湛江一中2015届高三上学期8月月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案按要求答在答题卡）1．（5分）设集合P={1，2，3，4，5，6}，Q={x∈R|2≤x≤6}，那么下列结论正确的是（）A．P∩Q=P B．P∩Q⊋Q C．P∪Q=Q D．P∩Q⊊P2．（5分）设集合M={x|x＞2}，P={x|x＜3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的（）A．充分条件但非必要条件B．必要条件但非充分条件C．充分必要条件D．非充分条件也非必要条件3．（5分）命题“对任意x∈R，都有x3＞x2”的否定是（）A．存在x0∈R，使得x03＞x02B．不存在x0∈R，使得x03＞x02C．存在x0∈R，使得x03≤x02D．对任意x∈R，都有x3≤x24．（5分）设函数y=f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则（）A．f（﹣2）＞f（1）B．f（﹣2）＜f（﹣1）C．f（﹣2）＞f（2）D．f（|x|）＜f（x）5．（5分）在同一坐标系内作出的两个函数图象如图所示，则这两个函数为（）A．y=a x和y=log a（﹣x）B．y=a x和y=log a x﹣1C．y=a﹣x和y=log a x﹣1D．y=a﹣x和y=log a（﹣x）6．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f=（）A．2B．1C．0D．﹣17．（5分）若函数f（x）=ax3+bx+2在（﹣∞，0）上有最小值﹣5，（a，b为常数），则函数f（x）在（0，+∞）上（）A．有最大值5 B．有最小值5 C．有最大值3 D．有最大值98．（5分）已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中相应的横线上）9．（5分）设集合A={0，1，2，3}，则A的真子集的个数为．10．（5分）若函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0且a≠1）的反函数，其图象经过点（，a），则f（x）=．11．（5分）已知，则a，b，c的大小关系为（按从大到小排列）12．（5分）已知命题p：∃m∈R，m+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为．13．（5分）设f（x）是定义在R上且以3为周期的奇函数，若f（1）≤1，f（2）=，则实数a的取值范围是．14．（5分）若对任意x∈A，y∈B，（A⊆R，B⊆R）有唯一确定的f（x，y）与之对应，则称f（x，y）为关于x，y的二元函数．定义：满足下列性质的二元函数f（x，y）为关于实数x，y的广义“距离”：（1）非负性：f（x，y）≥0，当且仅当x=y时取等号；（2）对称性：f（x，y）=f（y，x）；（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）对任意的实数z均成立．给出三个二元函数：①f（x，y）=（x﹣y）2；②f（x，y）=|x﹣y|；③f（x，y）=．请选出所有能够成为关于x，y的广义“距离”的序号．三、解答题（本大题共5个小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（12分）已知：集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|＜2x﹣1＜8}，C={x|2x2+mx﹣m2＜0}（m∈R）．（1）求：A∪B；（2）若（A∪B）⊆C，求：实数m的取值范围．16．（12分）设函数f（x）=x2﹣x+m，且f（log2a）=m，log2f（a）=2，（a≠1）．（1）求a，m的值；（2）求f（log2x）的最小值及对应的x的值．17．（14分）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y属于（﹣1，1），都有f （x）+f（y）=f（）．（1）求证：函数f（x）是奇函数！（2）若当x属于（﹣1，0）时，有f（x）＞0．求证：f（x）在（﹣1，1）上是减函数．18．（14分）已知函数y=log a（ax﹣）（a＞0，a≠1为常数）（1）求函数f（x）的定义域；（2）若a=3，试根据单调性定义确定函数f（x0的单调性；（3）若函数y=f（x）是增函数，求a的取值范围．19．（14分）某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A部件6件，或B 部件3件，或C部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为K（K为正整数）．（1）设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数K的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．广东省湛江一中2015届高三上学期8月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案按要求答在答题卡）1．（5分）设集合P={1，2，3，4，5，6}，Q={x∈R|2≤x≤6}，那么下列结论正确的是（）A．P∩Q=P B．P∩Q⊋Q C．P∪Q=Q D．P∩Q⊊P考点：交集及其运算；并集及其运算．专题：计算题．分析：本题考查的集合的运算，我们可以根据已知条件，将四个答案逐一代入运算，进行判断后不难得到答案．解答：解：P∩Q={2，3，4，5，6}，∴P∩Q⊊P≠P故A、B错误，故D正确．故选D点评：集合运算时要注意，性质描述法表示的集合，元素取值的范围，本题易忽略Q集合中x∈R，而错认为x∈Z，得到Q═{2，3，4，5，6}，而得到错误的结论．2．（5分）设集合M={x|x＞2}，P={x|x＜3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的（）A．充分条件但非必要条件B．必要条件但非充分条件C．充分必要条件D．非充分条件也非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：由“x∈M，或x∈P”⇒“x∈M∪P”，“x∈M∩P”⇒“x∈M，且x∈P”⇒“x∈M，或x∈P”，知“x∈M，或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件．解答：解：∵集合M={x|x＞2}，P={x|x＜3}，∴“x∈M，或x∈P”⇒“x∈M∪P”，“x∈M∩P”⇒“x∈M，且x∈P”，∴“x∈M，或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件．故选B．点评：本题考查充分条件、必要条件、充要条件、不充分不必要条件的判断和应用，是基础题．3．（5分）命题“对任意x∈R，都有x3＞x2”的否定是（）A．存在x0∈R，使得x03＞x02B．不存在x0∈R，使得x03＞x02C．存在x0∈R，使得x03≤x02D．对任意x∈R，都有x3≤x2考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：利用全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．解答：解：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，∴命题“对任意x∈R，都有x3＞x2”的否定是：存在x0∈R，使得x03≤x02．故选：C．点评：本题考查命题的否定，注意否定形式以及量词的变化，基本知识的考查．4．（5分）设函数y=f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则（）A．f（﹣2）＞f（1）B．f（﹣2）＜f（﹣1）C．f（﹣2）＞f（2）D．f（|x|）＜f（x）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：函数y=f（x）是偶函数，可得f（﹣2）=f（2），函数在[0，+∞）上单调递增，可得f（2）＞f（1），即可得出结论．解答：解：∵函数y=f（x）是偶函数，∴f（﹣2）=f（2），∵函数在[0，+∞）上单调递增，∴f（2）＞f（1），∴f（﹣2）＞f（1），故选：A．点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，比较基础．5．（5分）在同一坐标系内作出的两个函数图象如图所示，则这两个函数为（）A．y=a x和y=log a（﹣x）B．y=a x和y=log a x﹣1C．y=a﹣x和y=log a x﹣1D．y=a﹣x和y=log a（﹣x）考点：指数函数的图像与性质；对数函数的图像与性质．专题：证明题．分析：先由指数函数的图象确定函数底数的取值范围，再由此推断对数复合函数的图象性质，并与已知图象比较，若矛盾则排除解答：解：对于选项A，由图可知y=a x为减函数，故0＜a＜1，此时y=log a（﹣x）应为（﹣∞，0）上的增函数，与图象矛盾，排除A对于选项B，由图可知y=a x为减函数，故0＜a＜1，此时y=log a（）应为（0，+∞）上的增函数，与图象矛盾，排除B对于选项C，由图可知y=a﹣x为减函数，故a＞1，此时y=log a（）应为（0，+∞）上的减函数，与图象矛盾，排除C故选D点评：本题考查了指数函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，排除法解选择题6．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f=（）A．2B．1C．0D．﹣1考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据解析式先求出当x＞0时，函数f（x）的周期为5，再用周期性和解析式得f=f （﹣1），代入解析式求解．解答：解：由题意得，f（x）=，当x＞0时，有f（x）=f（x﹣5），则f（x+5）=f（x），所以当x＞0时，函数f（x）的周期为5，则f=f（402×5+4）=f（4）=f（4﹣5）=f（﹣1）==1，故选：B．点评：本题考查分段函数的函数的值，以及利用函数的周期求出函数值，属于基础题．7．（5分）若函数f（x）=ax3+bx+2在（﹣∞，0）上有最小值﹣5，（a，b为常数），则函数f（x）在（0，+∞）上（）A．有最大值5 B．有最小值5 C．有最大值3 D．有最大值9考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：函数的性质及应用．分析：根据f（x）=ax3+bx+2构造g（x）=f（x）﹣2=ax3+bx，则易得g（x）为奇函数，且在再根据奇函数的性质可得g（x）在（﹣∞，0）上有最小值﹣7（a，b为常数），则g（x）在（﹣∞，0）上有最大值7，函数f（x）在（0，+∞）上有最大值9．解答：解：∵f（x）=ax3+bx+2令g（x）=f（x）﹣2ax3+bx，则由于定义域为R关于原点对称且g（﹣x）=﹣（ax3+bx）=﹣g（x）∴g（x）为奇函数∵g（x）在（﹣∞，0）上有最小值﹣7，∴g（x）在（0，+∞）上有最大值7，∴f（x）在（0，+∞）上有最大值9．故选：D．点评：本题主要考查了函数奇偶性的性质．解题的关键是要构造出奇函数g（x）=f（x）﹣2=ax3+bx，然后再根据奇函数的性质得到g（x）在（0，+∞）上有最大值7，从而得到f （x）在（0，+∞）上有最大值9．8．（5分）已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：排除法：取a=﹣，由f（x+a）＜f（x），得（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，分x＜0，0≤x≤，x＞讨论，可得A，检验是否符合题意，可排除B、D；取a=1，由f（x+a）＜f（x），得（x+1）|x+1|+1＞x|x|，分x＜﹣1，﹣1≤x≤0，x＞0进行讨论，检验是否符合题意，排除C．解答：解：取a=﹣时，f（x）=﹣x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；（2）0≤x≤时，解得0；（3）x＞时，解得，综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D；取a=1时，f（x）=x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C，故选A．点评：本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用．二、填空题（每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中相应的横线上）9．（5分）设集合A={0，1，2，3}，则A的真子集的个数为15．考点：子集与真子集．专题：计算题；集合．分析：将集合A的真子集按含有元素从少到多一一列出即可，勿忘∅是任何集合的子集．解答：解：由集合A中的元素有0，1，2，3共4个，代入公式得：24﹣1=15，则集合A的真子集有15个．故答案为：15．点评：解得本题的关键是掌握当集合中元素有n个时，真子集的个数为2n﹣1．同时注意子集与真子集的区别：子集包含本身，而真子集不包含本身．10．（5分）若函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0且a≠1）的反函数，其图象经过点（，a），则f（x）=．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：我们知道：指数函数y=a x（a＞0且a≠1）与对数函数y=log a x互为反函数，又其图象经过点（，a），据此可求的a的值．解答：解：∵函数y=a x的反函数是f（x）=log a x，又已知反函数的图象经过点（，a），∴a=log a，即a=，故答案是：．点评：本题考查了求已知指数函数的反函数，充分理解指数函数与同底的对数函数互为反函数是解决问题的关键．11．（5分）已知，则a，b，c的大小关系为a＞b ＞c（按从大到小排列）考点：不等式比较大小．专题：综合题．分析：把b化负指数幂为正指数幂，然后结合指数函数的单调性判断出a＞b＞1，运用对数函数的单调性判断出c＜1，从而得到a，b，c的大小关系．解答：解：因为，由指数函数y=2x是增函数，所以，21.2＞20.8＞20=1，所以a＞b＞1．又c=2log52=log54＜log55=1，所以a＞b＞c．故答案为a＞b＞c．点评：本题考查了不等式的大小比较，考查了指数函数和对数函数的单调性，是基础题．12．（5分）已知命题p：∃m∈R，m+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为m≤﹣2或m＞﹣1．考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：由P∧q 为假命题可知，由P∧q的否定为真，先求出P∧q为真的m的范围，进而可得答案．解答：解：由P∧q 为假命题可知，由P∧q 的否定为真，因为命题p：∃m∈R，m+1≤0，当m≤﹣1时是真命题，当q为真时，由x2+mx+1＞0恒成立，可得﹣2＜m＜2，若p∧q为真命题，必有﹣2＜m≤﹣1，所以p∧q为假命题，则实数m的取值范围为：m≤﹣2或m＞﹣1，综上知：m≤﹣2或m＞﹣1；故答案为：m≤﹣2或m＞﹣1点评：本题考查的知识点是复合命题的真假，解答过程中可能会有同学遗漏p与q同时为假的情况，在做题过程中要考虑全面．13．（5分）设f（x）是定义在R上且以3为周期的奇函数，若f（1）≤1，f（2）=，则实数a的取值范围是a＜﹣1或a．考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质．分析：先根据周期性和奇函数将f（2）化成f（1），然后根据已知条件建立关系式，解之即可求出实数a的取值范围．解答：解：∵f（x）是定义在R上且以3为周期的奇函数∴f（x+3）=f（x），f（﹣x）=﹣f（x）∴f（2）=f（2﹣3）=f（﹣1）=﹣f（1）又f（1）≤1，∴f（2）≥﹣1即．故答案为：a＜﹣1或a．点评：本题主要考查函数的奇偶性和周期性以及不等式的解法，是对基本知识点的综合考查，属于基础题．14．（5分）若对任意x∈A，y∈B，（A⊆R，B⊆R）有唯一确定的f（x，y）与之对应，则称f（x，y）为关于x，y的二元函数．定义：满足下列性质的二元函数f（x，y）为关于实数x，y的广义“距离”：（1）非负性：f（x，y）≥0，当且仅当x=y时取等号；（2）对称性：f（x，y）=f（y，x）；（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）对任意的实数z均成立．给出三个二元函数：①f（x，y）=（x﹣y）2；②f（x，y）=|x﹣y|；③f（x，y）=．请选出所有能够成为关于x，y的广义“距离”的序号②．考点：抽象函数及其应用．专题：压轴题；新定义．分析：利用函数f（x，y）为关于实数x、y的广义“距离“的定义需满足三个条件对各个函数判断是否具有这三个性质．解答：解：对于①，不妨令x﹣y=2，则有x﹣=﹣y=1，此时有（x﹣y）2=4，而（x﹣）2=（﹣y）2=1，故f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）不成立，所以不满足三角不等式，故①不满足对于②，f（x，y）=|x﹣y|≥0满足（1）；f（x，y）=|x﹣y|=f（y，x）=|y﹣x|满足（2）；f（x，y）=|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|z﹣y|=f（x，z）+f（z，y）满足（3），故②能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数对于③，由于x﹣y＞0时，无意义，故③不满足故答案为：②点评：本题考查理解题中的新定义，利用定义解题是近几年的2015届高考中是常考的题型，要注意．解题的关键是要把已知的定义转化为解题的工具．三、解答题（本大题共5个小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（12分）已知：集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|＜2x﹣1＜8}，C={x|2x2+mx﹣m2＜0}（m∈R）．（1）求：A∪B；（2）若（A∪B）⊆C，求：实数m的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用；并集及其运算．专题：不等式的解法及应用；集合．分析：（1）解二次不等式和指数不等式求出A，B，进而根据集合并集的定义可得A∪B；（2）根据（A∪B）⊆C，构造关于m的不等式，解不等式可得答案．解答：解：（1）∵集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}=（﹣1，3），B={x|＜2x﹣1＜8}=（0，4），∴A∪B=（﹣1，4），（2）∵C={x|2x2+mx﹣m2＜0}={x|（（2x﹣m）（x+m）＜0}，若（A∪B）⊆C，则或，解得：m≤﹣4，或m≥8点评：本题考查的知识点是集合包含关系判断及应用，并集及其运算，是集合运算与包含关系的综合应用，难度不大．16．（12分）设函数f（x）=x2﹣x+m，且f（log2a）=m，log2f（a）=2，（a≠1）．（1）求a，m的值；（2）求f（log2x）的最小值及对应的x的值．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：方程思想；转化思想．分析：（1）由题意，可由f（log2a）=m，log2f（a）=2，（a≠1）建立起方程求出a，m的值．（2）由（1）得，当当时f（x）取得最小值，故可令求出函数取最小值时x的值解答：解：（1）f（log2a）=log22a﹣log2a+m=m∴log2a（log2a﹣1）=0∴a=1（舍）或a=2∴a=2f（2）=2+m∴log2f（a）=log2f（2）=log2（m+2）=2∴m=2综上：a=2m=2（2）当时f（x）取得最小值∴时，f（log2x）取得最小值∴时，f（log2x）最小，点评：本题考查对数函数的单调性与特殊点，正确解答本题，关键是熟练掌握对数的性质，本题第二小题解法有特色，先判断出复合函数取最小值时外层函数的自变量，再将其作为内层函数值建立方程求出复合函数取最小值时的x的值，解题时要注意运用此类题解法上的这一特征17．（14分）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y属于（﹣1，1），都有f （x）+f（y）=f（）．（1）求证：函数f（x）是奇函数！（2）若当x属于（﹣1，0）时，有f（x）＞0．求证：f（x）在（﹣1，1）上是减函数．考点：数列的应用．专题：证明题．分析：（1）令x=y=0，可得f（0）=0．令y=﹣x，可得f（﹣x）=﹣f（x），所以函数f （x）是奇函数．（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，则有＞0，所以f（x）在（﹣1，1）上是减函数．解答：解：（1）令x=y=0，得f（0）+f（0）=f（0），∴f（0）=0．令y=﹣x，得f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数．（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，则有∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴﹣1＜x1﹣x2＜0，∴f（x1﹣x2）＞0，0＜x1x2＜1，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）在（﹣1，1）上是减函数．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．18．（14分）已知函数y=log a（ax﹣）（a＞0，a≠1为常数）（1）求函数f（x）的定义域；（2）若a=3，试根据单调性定义确定函数f（x0的单调性；（3）若函数y=f（x）是增函数，求a的取值范围．考点：函数单调性的判断与证明；函数的定义域及其求法；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）使函数f（x）解析式有意义，即可求出函数f（x）的定义域；（2）设，判断出，从而得出f（x 1）＞f（x2），根据单调性的定义即得函数f（x）在（，+∞）上为增函数；（3）设，通过作差比较出，根据函数f（x）是增函数得到，所以a＞1．解答：解：（1）使函数有意义，则：，解得x；∴函数f（x）的定义域是；（2）y=，，设则：3x 1﹣﹣3x 2==；∵；∴，；∴，，即f（x 1）＞f（x2）；∴函数f（x）在（，+∞）上单调递增；（3）设，则：==；∵，∴，；∴①，∵函数f（x）是增函数；∴f（x 1）＞f（x2），即②；由①②得：a＞1；∴a的取值范围为：（1，+∞）．点评：本题考查求函数的定义域，单调性的定义，以及根据函数单调性的定义判断函数的单调性，对数函数的单调性．19．（14分）某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A部件6件，或B 部件3件，或C部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为K（K为正整数）．（1）设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数K的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．考点：函数模型的选择与应用．专题：综合题．分析：（1）设完成A，B，C三种部件生产需要的时间分别为T1（x），T2（x），T3（x），则可得，，；（2）完成订单任务的时间为f（x）=max{T1（x），T2（x），T3（x）}，其定义域为，可得T1（x），T2（x）为减函数，T3（x）为增函数，T2（x）=T1（x），分类讨论：①当k=2时，T2（x）=T1（x），f（x）=max{T1（x），T3（x）}=max{}，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间；②当k≥3时，T2（x）＜T1（x），记，为增函数，φ（x）=max{T1（x），T（x）}f（x）=max{T1（x），T3（x）}≥max{T1（x），T （x）}=max{}，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间；③当k＜2时，k=1，f（x）=max{T2（x），T3（x）}=max{}，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间，从而问题得解．解答：解：（1）设写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间分别为T1（x），T2（x），T3（x）∴，，其中x，kx，200﹣（1+k）x均为1到200之间的正整数（2）完成订单任务的时间为f（x）=max{T1（x），T2（x），T3（x）}，其定义域为∴T1（x），T2（x）为减函数，T3（x）为增函数，T2（x）=T1（x）①当k=2时，T2（x）=T1（x），f（x）=max{T1（x），T3（x）}=max{} ∵T1（x），T3（x）为增函数，∴当时，f（x）取得最小值，此时x=∵，，，f（44）＜f （45）∴x=44时，完成订单任务的时间最短，时间最短为②当k≥3时，T2（x）＜T1（x），记，为增函数，φ（x）=max{T1（x），T（x）}f（x）=max{T1（x），T3（x）}≥max{T1（x），T（x）}=max{}∵T1（x）为减函数，T（x）为增函数，∴当时，φ（x）取得最小值，此时x=∵，，∴完成订单任务的时间大于③当k＜2时，k=1，f（x）=max{T2（x），T3（x）}=max{}∵T2（x）为减函数，T3（x）为增函数，∴当时，φ（x）取得最小值，此时x=类似①的讨论，此时完成订单任务的时间为，大于综上所述，当k=2时，完成订单任务的时间最短，此时，生产A，B，C三种部件的人数分别为44，88，68．点评：本题考查函数模型的构建，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是确定分类标准，有难度．。

广东省湛江二中2015届高三数学（理）模拟测试试卷（三）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卷上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先选做题的对应题号，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卷的整洁。

考试结束后，将答题卷交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2M x x 30=-≤，则下列关系式正确的是A ．0M ∈ B.0M ∉C.0M ⊆D.3M ∈2．设i 是虚数单位，则()()321i 1i -+=A ．1i -B ．1i -+C ．i +1D ．1i --3．下列命题中，真命题的个数有 ①21x R,x x 04∀∈-+≥；②2x R,x 2x 20∃∈++<；③函数x y 2-=是单调递减函数. A.0个B.1个C.2个D.3个4．如右图，一个简单空间几何体的三视图，其主视图与左视 图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其 体积是 AD.835．已知椭机变量X 服从正态分布N （4，1），且()P 3x 50.6826≤≤=，则()P X 3=< A ．0.0912B ．0.3413C ．0.3174D ．0.15876．若()()()()8280128x 1a a 1x a 1x a 1x ,-=+++++⋅⋅⋅++则6a =A ．112 B.28C.28-D.112-7. 已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和n S 有最大值，则使0>n S 的n 的最大值为A ．11 B. 19 C. 20 D. 218．对于函数()f x ，若存在区间[]M a,b =（其中b a <），使得(){}y y f x ,x M M =∈=，则称区间M 为函数)(x f 的一个“稳定区间”．给出下列4个函数：①2)1()(-=x x f ；②12)(-=x x f ；③)2cos()(x x f π=；④x e x f =)(．其中存在“稳定区间”的函数有A ．①③B ．①②③C ．①②③④D ．①②二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. (一）必做题(9〜13题）9．已知函数2()321f x x x =++，若11()2()(0)f x dx f a a -=>⎰成立，则a ＝________.10．如图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有 _______个.11. 已知某随机变量ξ的概率分布列如右表，其中0,0x y >>，则随机变量ξ的数学期望=ξE .12．若正实数y x ,满足：211111=+++y x ，则y x 的取值范围为 . 13．已知点(1,1),(1,1)A B -，点P 是直线:2l y x =-上的一动点，当APB ∠最大时，则过,,A B P 的圆的方程是 ；(二）选做题（14〜15题，考生只能从中选做一题） 14．极坐标系中，点P (2,)6π-到直线：:sin()16l πρθ-=的距离是 ． 15．如图所示，过圆C 外一点P 作一条直线与圆C 交于A B ，两点，2BA AP =，PT 与圆C 相切于T 点.已知圆C 的半径为2，30CAB ∠=，则PT =_____.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．(本小题满分12分)某游乐场将要举行狙击移动靶比赛. 比赛规则是：每位选手可以选择在A 区射击3次或选择在B 区射击2次，在A 区每射中一次得3分，射不中得0分；在B 区每射中一次得2分，射不中得0分. 已知参赛选手甲在A 区和B 区每次射中移动靶的概率分别是41和)10(<<p p . (Ⅰ) 若选手甲在A 区射击，求选手甲至少得3分的概率；(Ⅱ) 我们把在A 、B 两区射击得分的数学期望高者作为选择射击区的标准，如果选手甲最终选择了在B 区射击，求p 的取值范围.17.（本小题满分12分）ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且.tan 222A a c b bc=-+(1)求角A ；(2)设函数x A x x f cos sin 2sin )(+=，将函数)(x f y =的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的21，把所得图象向右平移6π个单位，得到函数)(x g y =的图象，求函数)(x g y =的对称中心及单调递增区间.18.（本小题满分14分）在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，122AA AB ==，E 为AD 中点，F 为1CC 中点. （Ⅰ）求证:1AD D F ⊥；（Ⅱ）求证://CE 平面1AD F ；(Ⅲ) 求平面1AD F 与底面ABCD 所成二面角的余弦值.19.( 本小题满分14分)设函数x xppx x f ln 2)(--=． （Ⅰ）若1=p ，函数)(x f y =是否有极值，若有，请求出极值，若没有，请说明理由. （Ⅱ）若)(x f 在其定义域内为单调函数，求实数p 的取值范围.20．（本小题满分14分）已知1>m ，直线2:02m l x my --=，椭圆C ：2221x y m+=，1F 、2F 分别为椭圆C 的左、右焦点. （Ⅰ）当直线过右焦点2F 时，求直线的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆C 交于A 、B 两点，△A 1F 2F 、△B 1F 2F 的重心分别为G 、H ．若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围．21．（本小题满分14分）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列（Ⅰ）若31n a n =+，是否存在*,m n N ∈，有1m m k a a a ++=？请说明理由；（Ⅱ）若n n b aq =（a 、q 为常数，且0≠aq ），对任意m ，存在k ，有1m m k b b b +⋅=，试求a 、q 满足的充要条件；（Ⅲ）若21,3nn n a n b =+=，试确定所有的p ，使数列{}n b 中存在某个连续p 项的和是数列{}n a中的一项，请证明.参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．A 2．B 3．C 4．C 5．D 6．A 7．B 8．B二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题。

广东省湛江市农垦中学2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2} D．{0，1}2．（5分）已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z=（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i3．（5分）若变量x，y满足约束条件且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m+n=（）A．6 B．﹣6 C．0 D．14．（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等5．（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成90°夹角的是（）A．（﹣1，1，0）B．（1，﹣1，1）C．（0，﹣1，1）D．（﹣1，0，1）6．（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，107．（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定8．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=30.3•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=（）•f（）．则a，b， c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b二、填空题：本大题共5小题．考生作答6小题．每小题5分，满分25分．（一）必做题（9～13题）9．（5分）不等式|x﹣3|+|x+2|≥5的解集为．10．（5分）曲线y=e﹣5x在点（0，1）处的切线方程为．11．（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，则这3个数的平均数是6的概率为．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=3b，则=．13．（5分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12+a8a13=3e5，则lna1+lna2+…+lna20=．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρ=2cosθ和ρ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点所在的直线方程为．（几何证明选讲选做题）15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=3AE，AC与DE交于点F，则=．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，（1）求A的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）求f（x）在区间（0，π）内的最值．17．（12分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30] 3 0.12（30，35] 5 0.20（35，40] 8 0.32（40，45] n1f1（45，50] n2f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）求在这25名工人中任意抽取2人，且恰有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率；（3）求在该厂大量的工人中任取4人，至多有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．18．（14分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是BC1与B1C的交点．（1）求直线AO与直线C1D1所成角的余弦值；（2）求直线AO与平面BCC1B1所成角的正弦值；（2）求二面角D﹣AC﹣B1的正切值．19．（14分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且S n满足S n2﹣（n2+n﹣3）S n﹣3（n2+n）=0，n∈N*①（1）求a1的值；（2）对①进行因式分解并求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有++…+＜②20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4（+1）．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点．（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1•k2=1．21．（14分）已知函数f（x）=x﹣+a（2﹣lnx）（a∈R），讨论函数f（x）的单调性．广东省湛江市农垦中学2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2} D．{0，1}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由M与N，求出两集合的交集即可．解答：解：∵M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}，∴M∩N={0，1}．故选：D．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z=（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．解答：解：∵满足（3﹣4i）z=25，则z===3+4i，故选：D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）若变量x，y满足约束条件且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m+n=（）A．6 B．﹣6 C．0 D．1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点，B，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3，则m+n=3+（﹣3）=0，故选：C．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．4．（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论．解答：解：当0＜k＜9，则0＜9﹣k＜9，16＜25﹣k＜25，即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25，b2=9﹣k，c2=34﹣k，曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25﹣k，b2=9，c2=34﹣k，即两个双曲线的焦距相等，故选：A．点评：本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键．5．（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成90°夹角的是（）A．（﹣1，1，0）B．（1，﹣1，1）C．（0，﹣1，1）D．（﹣1，0，1）考点：空间向量的夹角与距离求解公式．专题：空间向量及应用．分析：利用向量的数量积和向量垂直的性质求解．解答：解：∵向量=（1，0，﹣1），（1，0，﹣1）•（﹣1，1，0）=﹣1，（1，0，﹣1）•（1，﹣1，1）=0，（1，0，﹣1）•（0，﹣1，1）=﹣1，（1，0，﹣1）•（﹣1，0，1）=﹣2，∴与成90°夹角的是（1，﹣1，1）．故选：B．点评：本题考查与成90°夹角的向量的求法，是基础题，解题时要认真审题．6．（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据图1可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图2求得样本中抽取的高中学生近视人数．解答：解：由图1知：总体个数为3500+2000+4500=10000，∴样本容量=10000×2%=200，分层抽样抽取的比例为，∴高中生抽取的学生数为40，∴抽取的高中生近视人数为40×50%=20．故选：A．点评：本题借助图表考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的特征是关键．7．（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得，∴l1与l4的位置关系不确定．解答：解：∵l1⊥l2，l2⊥l3，∴l1与l3的位置关系不确定，又l4⊥l3，∴l1与l4的位置关系不确定．故A、B、C错误．故选：D．点评：本题考查了空间直线的垂直关系的判定，考查了学生的空间想象能力，在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面．8．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=30.3•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=（）•f（）．则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b考点：函数奇偶性的性质；简单复合函数的导数；函数的单调性与导数的关系．专题：综合题；压轴题．分析：由已知式子（x）+xf′（x），可以联想到：（uv）′=u′v+uv′，从而可设h（x）=xf（x），有：h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，所以利用h（x）的单调性问题很容易解决．解答：解：构造函数h（x）=xf（x），由函数y=f（x）以及函数y=x是R上的奇函数可得h（x）=xf（x）是R上的偶函数，又当x∈（﹣∞，0）时h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，所以函数h（x）在x∈（﹣∞，0）时的单调性为单调递减函数；所以h（x）在x∈（0，+∞）时的单调性为单调递增函数．又因为函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，从而h（0）=0因为=﹣2，所以f（）=f（﹣2）=﹣f（2），由0＜logπ3＜1＜30.3＜30.5＜2所以h（logπ3）＜h（30.3）＜h（2）=f（），即：b＜a＜c故选B．点评：本题考查的考点与方法有：1）所有的基本函数的奇偶性；2）抽象问题具体化的思想方法，构造函数的思想；3）导数的运算法则：（uv）′=u′v+uv′；4）指对数函数的图象；5）奇偶函数在对称区间上的单调性：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反；5）奇偶函数的性质：奇×奇=偶；偶×偶=偶；奇×偶=奇（同号得正、异号得负）；奇+奇=奇；偶+偶=偶．本题结合已知构造出h（x）是正确解答的关键所在．二、填空题：本大题共5小题．考生作答6小题．每小题5分，满分25分．（一）必做题（9～13题）9．（5分）不等式|x﹣3|+|x+2|≥5的解集为R．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由绝对值的意义可得|x﹣3|+|x+2|的最小值为5，可得不等式|x﹣3|+|x+2|≥5恒成立，从而得出结论．解答：解：由于|x﹣3|+|x+2|表示数轴上的x对应点到3、﹣2对应点的距离之和，它的最小值为5，可得不等式|x﹣3|+|x+2|≥5恒成立，故答案为：R．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．10．（5分）曲线y=e﹣5x在点（0，1）处的切线方程为5x+y﹣1=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求出导函数，求出切线斜率，利用点斜式可得切线方程．解答：解：由于y=e﹣5x，可得y′=﹣5e﹣x，令x=0，可得y′=﹣5，∴曲线y=e﹣5x在点（0，1）处的切线方程为y﹣1=﹣5x，即5x+y﹣1=0故答案为：5x+y﹣1=0．点评：本题考查导数的几何意义：曲线在某点处的切线的斜率，考查学生的计算能力，属于基础题．11．（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，则这3个数的平均数是6的概率为．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；众数、中位数、平均数．专题：计算题；概率与统计．分析：由题意求出所有的可能取法，并列举出符合条件的取法即可．解答：解：从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数共有=120种可能；这3个数的平均数是6的可能有：（1，8，9），（2，7，9），（3，6，9），（3，7，8），（4，5，9），（4，6，8），（5，6，7）7种；则这3个数的平均数是6的概率为．故答案为：．点评：本题考查了列举法求概率的步骤及方法，属于基础题．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=3b，则=3．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，将结果利用正弦定理化简即可求出所求式子的值．解答：解：已知等式bcosC+ccosB=3b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=3sinB，即sin（B+C）=3sinB，整理得：sinA=3sinB，再利用正弦定理化简得：a=3b，则=3．故答案为：3点评：此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．13．（5分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12+a8a13=3e5，则lna1+lna2+…+lna20=50．考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5，然后利用对数的运算性质化简后得答案．解答：解：∵数列{a n}为等比数列，且a10a11+a9a12+a8a13=3e5，∴3a10a11=3e5，∴a10a11=e5，∴lna1+lna2+…lna20=ln（a1a2…a20）=ln（a10a11）10=ln（e5）10=lne50=50．故答案为：50．点评：本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρ=2cosθ和ρ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点所在的直线方程为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：曲线C1和C2的极坐标方程：ρ=2cosθ和ρ=1，分别化为：x2+y2=2x，x2+y2=1，两式相减可得：2x=1，即可．解答：解：曲线C1和C2的极坐标方程：ρ=2cosθ和ρ=1，分别化为：x2+y2=2x，x2+y2=1，两式相减可得：2x=1，因此曲线C1和C2交点所在的直线方程为：2x=1．故答案为：x=．点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、两个圆的交点所在直线的方程，属于基础题．（几何证明选讲选做题）15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=3AE，AC与DE交于点F，则=16．考点：三角形的面积公式．专题：立体几何．分析：由于EB=3AE，AB∥CD．可得，△CDF∽△AEF．再利用相似三角形的性质即可得出．解答：解：∵EB=3AE，AB∥CD．∴，△CDF∽△AEF．∴==16．故答案为：16．点评：本题考查了平行四边形与相似三角形的性质，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，（1）求A的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）求f（x）在区间（0，π）内的最值．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据条件f（）=，代入即可求A的值；（2）根据三角函数的单调性的性质即可求f（x）的单调区间；（3）结合三角函数的图象和性质，即可求f（x）在区间（0，π）内的最值．解答：解：（1）依题意有，故．（2）∵，∴f（x）=sin（x+），x∈R，由，即f（x）的单调增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．减区间：，即f（x）的单调减区间为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．（3）∵0＜x＜π，∴＜x+＜，当，即时，取得最大值为，没有最小值．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练张函数单调性和最值的求解．17．（12分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30] 3 0.12（30，35] 5 0.20（35，40] 8 0.32（40，45] n1f1（45，50] n2f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）求在这25名工人中任意抽取2人，且恰有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率；（3）求在该厂大量的工人中任取4人，至多有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）由题中给出的数据求出n1，n2，f1和f2的值；（2）利用古典概型概率公式求解；（3）利用古典概型概率公式求解．解答：解：（1）n1=7，n2=2，f1=0.28，f2=0.08．（2）25名工人中，日加工零件数落在区间（30，35]的人数为5人，设在这25名工人中任意抽取2人，且恰有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的事件为A，则．（3）由（1）知，任取一人，日加工零件数落在区间（30，35]的概率为，设该厂任取4人，没有人日加工零件数落在区间（30，35]的事件为B，恰有1人人日加工零件数落在区间（30，35]的事件为C，则，，故至多有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率为答：在该厂任取4人，至多有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率为．点评：本题考查了频率分布表的作法及古典概型的概率公式应用，属于基础题．18．（14分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是BC1与B1C的交点．（1）求直线AO与直线C1D1所成角的余弦值；（2）求直线AO与平面BCC1B1所成角的正弦值；（2）求二面角D﹣AC﹣B1的正切值．考点：用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：（1）设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，以D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AO与直线C1D1所成角的余弦值．（2）求出平面BCC1B1的法向量和，利用向量法能求出直线AO与平面BCC1B1所成角的正弦值．（3）求出平面ACB1的法向量和平面ACD的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣AC﹣B1的正切值．解答：解：（1）设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，以D为原点，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），O（1，2，1），C1（0，2，2），D1（0，0，2），=（﹣1，2，1），=（0，﹣2，0），|cos＜＞|=||=．∴直线AO与直线C1D1所成角的余弦值为．（4分）（2）∵平面BCC1B1的法向量，=（﹣1，2，1），设直线AO与平面BCC1B1所成角为θ，sinθ=|cos＜＞|=||=．∴直线AO与平面BCC1B1所成角的正弦值．（8分）（3）A（2，0，0），C（0，2，0），B1（2，2，2），=（﹣2，2，0），=（0，2，2），设平面ACB1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，﹣1），又平面ACD的法向量=（0，0，1），设二面角D﹣AC﹣B1的平面角为α，α为钝角，∴cosα=﹣|cos＜＞|=﹣||=﹣，∴tan，∴二面角D﹣AC﹣B1的正切值为．（14分）点评：本题考查直线与直线所成角的余弦值的求法，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查二面角的正切值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．19．（14分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且S n满足S n2﹣（n2+n﹣3）S n﹣3（n2+n）=0，n∈N*①（1）求a1的值；（2）对①进行因式分解并求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有++…+＜②考点：数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）直接在数列递推式中取n=1求得a1的值；（2）由数列递推式因式分解求得S n，然后由a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）求数列{a n}的通项公式；（3）把{a n}的通项公式代入，整理后列项，利用裂项相消法求和后放缩证明数列不等式．解答：（1）解：在S n2﹣（n2+n﹣3）S n﹣3（n2+n）=0中，取n=1，得，解得：a1=2或a1=﹣3．∵数列{a n}的各项均为正数，∴a1=2；（2）解：由S n2﹣（n2+n﹣3）S n﹣3（n2+n）=0，得，即．当n=1时，a1=2．当n≥2时，．验证n=1时上式成立，∴a n=2n；（3）证明：由于故++…+＜，即++…+＜．点评：本题考查了数列递推式，考查了由数列的和求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的和，考查了放缩法证明数列不等式，是压轴题．20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4（+1）．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点．（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1•k2=1．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意知，确定椭圆离心率，利用椭圆的定义得到又2a+2c=4（+1），解方程组即可求得椭圆的方程，等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可求得该双曲线的方程；（2）设点P（x0，y0），根据斜率公式求得k1、k2，把点P（x0，y0）在双曲线上，即可证明结果．解答：解：（1）设椭圆的半焦距为c，由题意知：=，2a+2c=4（+1），所以a=2，c=2，又a2=b2+c2，因此b=2．故椭圆的标准方程为．（4分）由题意设等轴双曲线的标准方程为（m＞0），因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m=2，因此双曲线的标准方程为=1．（8分）（2）证明：P（x0，y0），则k1=，k2=．因为点P在双曲线x2﹣y2=4上，所以=4．因此k1k2=•=1．，即k1k2=1．（14分）点评：本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．21．（14分）已知函数f（x）=x﹣+a（2﹣lnx）（a∈R），讨论函数f（x）的单调性．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：求出函数f（x）的导函数，对a进行分类，讨论f′（x）的正负性，从而得出函数f（x）单调区间．解答：解：f（x）的定义域为（0，+∞），，（1）当a≤0时，，f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；（2）当a＞0时，设g（x）=x2﹣ax+2（x＞0），则二次方程g（x）=0的判别式△=a2﹣8①当△=a2﹣8≤0，即a∈[0，2]时，g（x）=x2﹣ax+2≥0，f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；②当△=a2﹣8＞0，即a∈（2，+∞）时，二次方程g（x）=0有两个不相同的实数根，记为，且x2＞x1＞0结合函数g（x）的图象可知，f（x）在区间（0，x1）和（x2，+∞）上是增函数，在区间（x1，x2）上是减函数．综上得：当a∈（﹣∞，2]时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a∈（2，+∞）时，f（x）在（0，）和（，+∞）上单调递增，在（，）上单调递减．点评：本题考查了分类讨论思想，二次方程根的问题，等价转化思想，属于基础题．。

广东省实验中学2015届高三第一次阶段考试数学（理）试题（解析版）【试卷综析】这套试题基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和基本技能的考察,同时侧重考察了学生的学习 方法和思维能力的考察,有相当一部分的题目灵活新颖,知识点综合与迁移. 一．选择题(5*8=40分)1．设集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x}，则A ∩B 的子集的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1【知识点】交集及其运算；子集与真子集．A1【答案解析】A 解析：∵集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，∴x 24＋y 216＝1为椭圆和指数函数y ＝3x 图象，如图，可知其有两个不同交点，记为A 1、A 2，则A∩B 的子集应为∅，{A 1}，{A 2}，{A 1，A 2}共四种，故选A ．【思路点拨】由题意集合A ＝{(x ，y )|x 24＋y 216＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x}，画出A ，B 集合所表示的图象，看图象的交点，判断A∩B 的子集的个数． 【题文】2． 22log sinlog cos1212ππ+的值为（ ）A .-2B .–l C.12D .1 【知识点】对数的运算性质．B7 【答案解析】A 解析：====﹣2．故选A ．【思路点拨】利用对数的运算法则进行计算即可．先结合对数运算法则：log a （MN ）=log a M+log a N ，利用二倍角的正弦公式将两个对数式的和化成一个以2为底的对数的形式，再计算即得.【题文】3．已知x ，y ∈R ，则“1x y +=”是“14xy ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2 【答案解析】A 解析：∵x，y ∈R ，当1x y +=时，y=1﹣x ，∴xy=x（1﹣x ）=x ﹣x 2=2111424x ，∴充分性成立； 当xy≤时，如x=y=0，x+y=0≠1，∴必要性不成立；∴“1x y +=”是“14xy ≤”的充分不必要条件．故选：A ． 【思路点拨】由1x y +=，推出14xy ≤，判定充分性成立；由14xy ≤，不能得出1x y +=，判定必要性不成立即可． 【题文】4．已知函数cos21()sin 2x f x x-=，则有（ ）A ．函数()f x 的图像关于直线2x π=对称 B ．函数()f x 的图像关关于点(,0)2π对称C ．函数()f x 的最小正周期为2πD ．函数()f x 在区间(0,)π内单调递减【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．C4【答案解析】B 解析：∵cos21()sin 2x f x x-==∴函数f （x ）不是轴对称图形，∴A 不正确； ∵函数f （x ）的最小正周期为π，∴C 不正确； ∵函数在区间(0,)π不单调，∴D 不正确； ∵函数f （x ）的对称中心为（）k ∈Z ，∴函数f （x ）的图象关关于点(,0)2π对称正确，故选B ．【思路点拨】分析函数cos21()sin 2x f x x-=性质，要先利用公式化成正弦型、余弦型或正切型函数的标准形式，然后再研究性质． 【题文】5．已知0<a<b<l ．则（ ） A.11b a > B. 11()()22a b < C. 22(lg )(lg )a b < D.11lg lg a b > 【知识点】不等式的基本性质．E1【答案解析】D 解析：∵0＜a ＜b ＜1，∴，可得； ；（lga ）2＞（lgb ）2；lga ＜lgb ＜0，可得．综上可知：只有D 正确．故选：D ．【思路点拨】利用不等式的基本性质和指数函数、对数函数的单调性即可得出．【题文】6．已知函数 2()2cos f x x x =+，若 '()f x 是 ()f x 的导函数，则函数 '()f x 在原点附近的图象大致是（ ）A B C D【知识点】函数的图象．B8【答案解析】A 解析：函数f （x ）=x 2+2cosx ，∴f′（x ）=2x ﹣2sinx=2（x ﹣sinx ）， f′（﹣x ）=﹣2x+2sinx=﹣（2x ﹣2sinx ）=﹣f′（x ），导函数是奇函数， ∵x∈（0，），x ＞sinx ＞0，∴B、C 、D 不正确．故选：A ．【思路点拨】由题可得f′（x ）=2x ﹣2sinx ，判断导函数的奇偶性，利用特殊值的函数值推出结果即可．【题文】7.已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若对任意的R x ∈，不等式23()4f x m m≤-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） 111.(,].(,][1,).[1,).[,1]444A B C D -∞--∞-+∞+∞-【知识点】分段函数的应用．B1【答案解析】B 解析：对于函数f （x ）=，当x≤1时，f （x ）=﹣（x ﹣）2+；当x ＞1时，f （x ）=＜0．则函数f （x ）的最大值为．则要使不等式f （x ）≤m 2﹣m 恒成立， 则m 2﹣m 恒成立，即m 或m≥1．故选B ．【思路点拨】求出分段函数的最大值，把不等式f （x ）≤m 2﹣m 恒成立转化为m 2﹣m 大于等于f （x ）的最大值恒成立，然后求解不等式得到实数m 的取值范围． 【题文】8．已知关于x 的方程cos xk x=在(0,)+∞有且仅有两根，记为,()αβαβ<，则下列的四个命题正确的是（ ） A ．2sin 22cosααα= B ．2cos 22sin ααα= C ．2sin 22sin βββ=- D ．2cos 22sin βββ=-【知识点】余弦函数的图象．C3【答案解析】C 解析：∵cos xk x=，∴|cosx|=kx， ∴要使方程cos xk x=（k ＞0）在（0，+∞）上有两个不同的解，则y=|cosx|的图象与直线y=kx （k ＞0）在（0，+∞）上 有且仅有两个公共点，所以直线y=kx 与y=|cosx|在（，π）内相切，且切于点（β，﹣cosβ），此时y=|cosx|=﹣cosx ．∴切线的斜率为sinβ=，∴βsinβ=﹣cosβ，∴2βsinβsinβ=2sinβcosβ，∴sin 2β=﹣2βsin 2β，故选：C ．【思路点拨】将方程cos xk x=转化为|cosx|=kx ，作出两个函数的图象，利用数形结合，以及导数的几何意义即可得到结论．二．填空题（6*5=30分）（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

广东省湛江实验中学2015届高三上学期月考物理试卷（10月份）一、单项选择（每题4分）1．（4分）下列关于质点的说法中，正确的是（）A．质点是一个理想化模型，实际上并不存在，所以，引入这个概念没有多大意义B．体积很小、质量很小的物体都可看成质点C．不论物体的质量多大，只要物体的形状和大小对所研究的问题没有影响或影响可以忽略不计，就可以看成质点D．只有低速运动的物体才可看成质点，高速运动的物体不可看作质点2．（4分）如图所示，由于风的缘故，河岸上的旗帜向右飘，在河面上的两条船上的旗帜分别向右和向左飘，两条船运动状态是（）A．A船肯定是向左运动的B．A船肯定是静止的C．B船肯定是向右运动的D．B船可能是静止的3．（4分）一个做直线运动的物体，在t=5s内速度从v0=12m/s，增加到v t=18m/s，通过的位移是s=70m，这个物体5s内的平均速度是（）A．14m/s B．15m/s C．6m/s D．无法确定4．（4分）如图所示为甲、乙两质点的v﹣t图象．对于甲、乙两质点的运动，下列说法中正确的是（）A．质点甲、乙的速度相同B．在相同的时间内，质点甲、乙的位移相同C．不管质点甲、乙是否从同一地点开始运动，它们之间的距离一定越来越大D．质点甲向所选定的正方向运动，质点乙与甲的运动方向相反二、双项选择（每题6分）5．（6分）关于位移和路程，下列说法中正确的是（）A．沿直线运动的物体，位移和路程是相等的B．质点沿不同的路径由A到B，其路程可能不同而位移是相同的C．质点通过一段路程，其位移可能是零D．质点运动的位移大小可能大于路程6．（6分）关于加速度a==，下列说法正确的是（）A．速度变化很小，加速度可能很大B．速度为零时，加速度也一定为零C．速度变化率大，加速度也一定大D．加速度不变，速度也不变7．（6分）一质点做匀变速运动，初速度大小为2m/s，3s后末速度大小变为4m/s，则下列判断正确的是（）A．速度变化量的大小可能小于2m/sB．速度变化量的大小可能大于2m/sC．加速度大小一定大于6m/s2D．加速度大小可能小于6m/s28．（6分）如图，是A、B两物体做直线运动的v﹣t图象，则下列说法中正确的是（）A．物体A做加速直线运动B．物体B做减速直线运动C．物体A的加速度为正值，B的加速度为负值，所以A的加速度大于B的加速度D．物体B的速度变化比A的速度变化快9．（6分）甲乙两物体在同一直线上运动的．位移﹣时间图象如图所示，以甲的出发点为原点，出发时刻为计时起点则从图象可以看出（）A．甲比乙先出发B．乙比甲先出发C．甲开始运动时，乙在甲前面x0处D．甲在中途停了一会儿，但最后还是追上了乙三、实验（18分）10．（6分）某兴趣小组的同学们在做“用打点计时器测速度”的实验中，打点计时器使用的工作电源频率是50Hz．让小车拖动的纸带的运动，打出的一条纸带如图所示，图中直尺的单位为cm，点O为纸带上记录到的第一打点，点A、B、C、D…依次表示点O以后连续的各打点．①纸带上每相邻两个打点的时间间隔T=______S②纸带上B、G两个打点之间的距离S BG=______Cm③纸带上B、G两个打点之间的平均速度大小BG=______m/s．11．（14分）某同学在“用打点计时器测速度”的实验中，用电火花计时器研究纸带的运动情况，在纸带上每5个时间间隔取一个计数点，共确定出A、B、C、D、E、F、G（图1所示），其相邻点间的距离如图所示，则①电火花计时器使用的电源是：______A.6V以下的交流电B.6V以下的直流电C.220V交流电D.220V直流电②若使用的电源频率为50Hz，则图中每两个相邻测量点之间的时间间隔为______．③试根据纸带上各个计数点间的距离，计算出B、C、D、E和F五个点时小车的瞬时速度，并将各个速度值填入表（要求保留2位有效数字）计数点瞬时速度（m/s）BCDEF④将B、C、D、E、F各个时刻的瞬时速度标在直角坐标系（图2）中，并画出小车的瞬时速度随时间变化的关系图线．由所画速度﹣时间图象求出小车加速度为______．四、计算题：（36分）12．（18分）计算下列物体的加速度：（1）一辆汽车以72km/h的速度匀速运动，紧急刹车后经2s停下来．（2）高速列车过桥后沿平直铁路匀加速行驶，经100s 速度从36km/h增大到180km/h．（3）沿光滑水平地面以10m/s的速度运动的小球，撞墙后以8m/s的速度反弹，与墙壁接触时间为0.1s．13．（16分）甲、乙两物体从同一地点向同一方向运动，其速度﹣时间图象如图所示．AD 为甲运动图线，OABCD为乙运动图线，试问：（1）图中AC、CD、AD段图线各表示什么运动？（2）t=2s，甲、乙的加速度各是多少？（3）在什么时刻两物体的速度相同？（4）6s内，甲、乙相距多远？广东省湛江实验中学2015届高三上学期月考物理试卷（10月份）参考答案与试题解析一、单项选择（每题4分）1．（4分）下列关于质点的说法中，正确的是（）A．质点是一个理想化模型，实际上并不存在，所以，引入这个概念没有多大意义B．体积很小、质量很小的物体都可看成质点C．不论物体的质量多大，只要物体的形状和大小对所研究的问题没有影响或影响可以忽略不计，就可以看成质点D．只有低速运动的物体才可看成质点，高速运动的物体不可看作质点考点：质点的认识．专题：直线运动规律专题．分析：物体能看作质点的条件是：物体的形状和大小对所研究的问题没有影响或影响可以忽略不计．根据这个条件进行分析判断．解答：解：A、质点是一个理想化模型，实际上并不存在，抓住物体质量这个属性，忽略了物体的大小和形状，对物体进行简化，方便科学研究，是有意义的．故A错误．B、体积很小、质量很小的物体不一定能看成质点，只有物体的形状和大小对所研究的问题没有影响或影响可以忽略不计才可以把物体看成质点．故B错误．C、物体的形状和大小对所研究的问题没有影响或影响可以忽略不计，可以把物体看成质点．故C正确．D、无论低速运动的物体，还是高速运动的物体，只要形状和大小对所研究的问题没有影响或影响可以忽略不计，都可以看成质点．故D错误．故选C点评：物体能否看成质点，不是看物体绝对体积、质量以及速度大小，而是看形状和大小能忽略不计．2．（4分）如图所示，由于风的缘故，河岸上的旗帜向右飘，在河面上的两条船上的旗帜分别向右和向左飘，两条船运动状态是（）A．A船肯定是向左运动的B．A船肯定是静止的C．B船肯定是向右运动的D．B船可能是静止的考点：参考系和坐标系．专题：直线运动规律专题．分析：图中河岸上的旗杆相对于地面是静止的，旗向右飘，说明此时有向右吹的风．A船上旗帜向右，有三种可能：一是A船不动，风把旗帜刮向右；二是A船向左运动，风相对于旗帜向右，把旗帜刮向右；三是A船向右运动但运动的速度小于风速，此时风仍能把旗帜刮向右．对于B船来讲情况相对简单，风向右刮，要使B船的旗帜向左飘，只有使B船向右运动．解答：解：A、因为河岸上旗杆是固定在地面上的，那么根据旗帜的飘动方向判断，风是从左向右刮的．A船上旗帜向右，有三种可能：一是A船不动，风把旗帜刮向右；二是A船向左运动，风相对于旗帜向右，把旗帜刮向右；三是A船向右运动但运动的速度小于风速，此时风仍能把旗帜刮向右，故A、B错误．C、如果B船静止不动，那么旗帜的方向应该和国旗相同，而现在的旗帜的方向明显和河岸上旗子方向相反，如果B船向左运动，旗帜只会更加向右展．所以，B船一定向右运动，而且运动的速度比风速快，这样才会出现图中旗帜向左飘动的情况．故C正确，D错误．故选：C．点评：运动和静是相对的，一个物体的运动状态的确定，关键取决于所选取的参照物．所选取的参照物不同，得到的结论也不一定相同．这是一道非常典型的题目，要仔细揣摩才能作答．3．（4分）一个做直线运动的物体，在t=5s内速度从v0=12m/s，增加到v t=18m/s，通过的位移是s=70m，这个物体5s内的平均速度是（）A．14m/s B．15m/s C．6m/s D．无法确定考点：平均速度．专题：直线运动规律专题．分析：根据平均速度的定义：平均速度等于位移与所用时间的比值求解．解答：解：在t=5s内，物体通过的位移为s=70m，则物体在这5s内的平均速度故选A．点评：本题中物体做的是非匀变速直线运动，不能用公式求解平均速度，此公式只适用于匀变速直线运动．4．（4分）如图所示为甲、乙两质点的v﹣t图象．对于甲、乙两质点的运动，下列说法中正确的是（）A．质点甲、乙的速度相同B．在相同的时间内，质点甲、乙的位移相同C．不管质点甲、乙是否从同一地点开始运动，它们之间的距离一定越来越大D．质点甲向所选定的正方向运动，质点乙与甲的运动方向相反考点：匀变速直线运动的图像．专题：运动学中的图像专题．分析：由图读出两物体的速度，只有当速度的大小和方向都相同时，两物体的速度才相同．由图线与坐标所围“面积”读出位移，图线在坐标轴上方，位移为正方向，图线在坐标轴下方，位移为负方向．由速度的正负确定出速度的方向．由于甲、乙的出发地点位置关系未知，不能判断它们之间的距离是增大还是减小．解答：解：A、由图读出，甲的速度为2m/s，乙的速度为﹣2m/s，说明两物体的速度大小相等，方向相反，速度不同．故A错误．B、质点甲向正方向运动，乙向负方向运动，在相同的时间内，质点甲、乙的位移大小相等，方向相反，位移并不相同．故B错误．C、由于甲、乙的出发地点位置关系未知，它们之间的距离不一定越来越大．当两物体相向运动时，它们之间的距离减小；当两物体相互背离时，它们之间的距离增大．故C错误．D、甲的速度为正值，乙的速度为负值，说明甲、乙分别向正方向和负方向运动，质点乙与甲的运动方向相反．故D正确．故选：D．点评：本题考查基本的读图能力．要注意速度﹣时间图象不能反映质点初始位置．二、双项选择（每题6分）5．（6分）关于位移和路程，下列说法中正确的是（）A．沿直线运动的物体，位移和路程是相等的B．质点沿不同的路径由A到B，其路程可能不同而位移是相同的C．质点通过一段路程，其位移可能是零D．质点运动的位移大小可能大于路程考点：位移与路程．专题：直线运动规律专题．分析：位移的大小等于初末位置的距离，方向由初位置指向末位置．路程是运动轨迹的长度．解答：解：A、沿单向直线运动的物体位移大小和路程是相等．而位移是矢量，路程是标量，所以不能相等．故A错误．B、路程不相等，但位移可能相同，比如从A地到B地，有不同的运行轨迹，但位移相同．故B正确．C、物体通过一段路程，位移可能为零．比如圆周运动一圈．故C正确．D、质点运动的位移的大小不可能大于路程，最大等于路程，故D错误；故选：BC．点评：解决本题的关键知道路程和位移的区别，路程是标量，位移是矢量，有大小有方向．6．（6分）关于加速度a==，下列说法正确的是（）A．速度变化很小，加速度可能很大B．速度为零时，加速度也一定为零C．速度变化率大，加速度也一定大D．加速度不变，速度也不变考点：加速度．专题：直线运动规律专题．分析：加速度等于单位时间内的速度变化量，反映速度变化快慢的物理量．解答：解：A、速度变化量很小，速度变化可能很快，加速度可能很大，故A正确．B、速度为零时，加速度不一定为零，比如自由落体运动的初始时刻，速度为零，加速度不为零，故B错误．C、加速度等于速度的变化率，速度变化率大，加速度也一定大，故C正确．D、加速度保持不变，则速度变化量不为零，速度一定变化，故D错误．故选：AC．点评：解决本题的关键知道加速度的物理意义，知道加速度的大小与速度大小、速度变化量的大小无关．7．（6分）一质点做匀变速运动，初速度大小为2m/s，3s后末速度大小变为4m/s，则下列判断正确的是（）A．速度变化量的大小可能小于2m/sB．速度变化量的大小可能大于2m/sC．加速度大小一定大于6m/s2D．加速度大小可能小于6m/s2考点：加速度．专题：直线运动规律专题．分析：根据质点的初末速度和时间，结合加速度的定义式求出加速度的大小，注意3s末的速度方向与初速度的方向可能相同，可能相反．解答：解：当3s末的速度方向与初速度方向相同，则速度变化量△v=v2﹣v1=4﹣2m/s=2m/s，加速度a=；当3s末的速度方向与初速度方向相反，则速度变化量△v=v2﹣v1=﹣4﹣2m/s=﹣6m/s，负号表示方向．则加速度a=．故B、D正确，A、C错误．故选：BD．点评：解决本题的关键掌握加速度的定义式，注意公式的矢量性，基础题．8．（6分）如图，是A、B两物体做直线运动的v﹣t图象，则下列说法中正确的是（）A．物体A做加速直线运动B．物体B做减速直线运动C．物体A的加速度为正值，B的加速度为负值，所以A的加速度大于B的加速度D．物体B的速度变化比A的速度变化快考点：匀变速直线运动的图像．专题：运动学中的图像专题．分析：由速度图象可知：物体AB均做匀加速直线运动．加速度的大小看斜率的大小．B 的加速度大，表示B的速度变化快．解答：解：A、由速度图象可知：物体A的速度随时间均匀增大，做匀加速直线运动．故A正确．B、物体B向负方向运动，速度随时间均匀增大，做匀加速直线运动．故B错误．C、加速度的大小看斜率的大小．图中B直线斜率较大，则A的加速度小于B的加速度．故C错误．D、B的加速度大，表示B的速度变化比A的速度变化快．故D正确．故选AD点评：本题是速度图象问题，考查理解图象的能力．要注意不能根据数学上正数大于负数来比较加速度的大小．9．（6分）甲乙两物体在同一直线上运动的．位移﹣时间图象如图所示，以甲的出发点为原点，出发时刻为计时起点则从图象可以看出（）A．甲比乙先出发B．乙比甲先出发C．甲开始运动时，乙在甲前面x0处D．甲在中途停了一会儿，但最后还是追上了乙考点：匀变速直线运动的位移与时间的关系；匀变速直线运动的图像．专题：运动学中的图像专题．分析：根据图象可知两物体同时出发，甲开始运动时，乙在甲前面x0处．甲物体在t1～t2时间内在中途停了一会儿，在t3时刻甲追上了乙．解答：解：A、由图象可知甲乙两物体同时出发．故AB错误．C、由图象可知开始运动时甲的出发点在坐标原点，而乙物体在出发时离坐标原点的距离为x0，故甲开始运动时，乙在甲前面x0处，故C正确．D、由于甲物体在t1～t2时间内甲物体的位移未变，即甲在中途停了一会儿，在t3时刻甲乙两物体的位置相同，即甲追上了乙，故D正确．故选：CD．点评：只要掌握了位移图象的基本性质：横坐标代表时刻，而纵坐标代表物体所在的位置，纵坐标不变即物体保持静止状态．三、实验（18分）10．（6分）某兴趣小组的同学们在做“用打点计时器测速度”的实验中，打点计时器使用的工作电源频率是50Hz．让小车拖动的纸带的运动，打出的一条纸带如图所示，图中直尺的单位为cm，点O为纸带上记录到的第一打点，点A、B、C、D…依次表示点O以后连续的各打点．①纸带上每相邻两个打点的时间间隔T=0.02S②纸带上B、G两个打点之间的距离S BG=8.00Cm③纸带上B、G两个打点之间的平均速度大小BG=0.8m/s．考点：探究小车速度随时间变化的规律．专题：实验题；直线运动规律专题．分析：了解不同的测量工具的精确度和读数方法．根据平均速度的定义求解B点到G点的平均速度．解答：解：①纸带上每相邻两个打点的时间间隔T=0.02 s．②纸带上B、G两个打点之间的距离S BG=8.60﹣0.60=8.00cm，③已知打点计时器每隔T=0.02s打一个点，从B点到G点历时t=5×0.02=0.1s，纸带上B、G两个打点之间的平均速度大小BG==0.8m/s，故答案为：①0.02②.8.00③.0.8点评：要提高应用匀变速直线的规律以及推论解答实验问题的能力，在平时练习中要加强基础知识的理解与应用．11．（14分）某同学在“用打点计时器测速度”的实验中，用电火花计时器研究纸带的运动情况，在纸带上每5个时间间隔取一个计数点，共确定出A、B、C、D、E、F、G（图1所示），其相邻点间的距离如图所示，则①电火花计时器使用的电源是C：A.6V以下的交流电B.6V以下的直流电C.220V交流电D.220V直流电②若使用的电源频率为50Hz，则图中每两个相邻测量点之间的时间间隔为0.1s．③试根据纸带上各个计数点间的距离，计算出B、C、D、E和F五个点时小车的瞬时速度，并将各个速度值填入表（要求保留2位有效数字）计数点瞬时速度（m/s）B 0.40C 0.48D 0.56E 0.64F 0.72④将B、C、D、E、F各个时刻的瞬时速度标在直角坐标系（图2）中，并画出小车的瞬时速度随时间变化的关系图线．由所画速度﹣时间图象求出小车加速度为0.80m/s2．考点：探究小车速度随时间变化的规律．专题：实验题；直线运动规律专题．分析：根据匀变速直线运动中时间中点的速度等于该过程中的平均速度，可以求出打纸带上B、C、D、E、F点时小车的瞬时速度大小．用描点法画出小车的瞬时速度随时间变化的关系图线．解答：解：（1）电火花计时器使用的电源是220V交流电．故选：C（2）在纸带上每5个时间间隔取一个计数点，所以相邻的计数点间的时间间隔T=0.1s．（3）根据匀变速直线运动中时间中点的速度等于该过程中的平均速度，v B==0.40 m/s，v C==0.48 m/s，v D==0.56 m/s，v E==0.64 m/s，v F==0.72 m/s，（4）将B、C、D、E、F各个时刻的瞬时速度标在直角坐标系中，画出小车的瞬时速度随时间变化的关系图线．根据v﹣t图象求出图形的斜率k，所以小车加速度a=k=0.80m/s2．故答案为：①C ②0.1s③计数点瞬时速度（m/s）B 0.40C 0.48D 0.56E 0.64F 0.72④0.80点评：利用匀变速直线的规律以及推论解答实验问题的能力，在平时练习中要加强基础知识的理解与应用，提高解决问题能力．四、计算题：（36分）12．（18分）计算下列物体的加速度：（1）一辆汽车以72km/h的速度匀速运动，紧急刹车后经2s停下来．（2）高速列车过桥后沿平直铁路匀加速行驶，经100s 速度从36km/h增大到180km/h．（3）沿光滑水平地面以10m/s的速度运动的小球，撞墙后以8m/s的速度反弹，与墙壁接触时间为0.1s．考点：加速度．分析：根据加速度的定义式，结合初末速度和时间求出加速度．解答：解：（1）72km/h=20m/s，则汽车的加速度为：．（2）36km/h=10m/s，180km/h=50m/s，则列车的加速度为：．（3）规定初速度的方向为正方向，则小球的加速度为：．答：（1）汽车的加速度为﹣10m/s2．（2）列车的加速度为0.4m/s2．（3）小球的加速度为﹣180m/s2．点评：解决本题的关键掌握加速度的定义式，注意的矢量性．13．（16分）甲、乙两物体从同一地点向同一方向运动，其速度﹣时间图象如图所示．AD 为甲运动图线，OABCD为乙运动图线，试问：（1）图中AC、CD、AD段图线各表示什么运动？（2）t=2s，甲、乙的加速度各是多少？（3）在什么时刻两物体的速度相同？（4）6s内，甲、乙相距多远？考点：匀变速直线运动的图像．专题：运动学中的图像专题．分析：速度图象的斜率代表物体运动的加速度，可知A先匀加速后匀减速，而B始终做初速度为0的匀加速直线运动．图象的交点表示速度相等解答：解（1）AC表示匀加速直线运动，CD表示匀减速直线运动，AD表示匀速直线运动．（2）t=2 s时，a甲=0；a乙=m/s2=1 m/s2．（3）第2 s末、第8 s末两个时刻，甲、乙两物体的速度相同，大小均是2 m/s，方向均与规定的正方向相同．（4）可以用面积法求出两位移之差为S甲=2×6=12mS乙=×6×6=18mS=S乙﹣S甲=18﹣12=6m答：（1）AC表示匀加速直线运动，CD表示匀减速直线运动，AD表示匀速直线运动．（2）t=2s，甲、乙的加速度各是0和1m/s2，（3）第2 s末、第8 s末两个时刻，甲、乙两物体的速度相同，（4）6s内，甲、乙相距6m．点评：利用速度图象的物理意义：斜率表示加速度，图象的交点表示速度相等，难度不大，属于基础题．。

广东省湛江一中2015届高三上学期 8月月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案按要求答在答题卡）1．（5分）设集合P={1，2，3，4，5，6}，Q={x∈R|2≤x≤6}，那么下列结论正确的是（）A．P∩Q=P B．P∩Q⊋Q C．P∪Q=Q D．P∩Q⊊P2．（5分）设集合M={x|x＞2}，P={x|x＜3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的（）A．充分条件但非必要条件B．必要条件但非充分条件C．充分必要条件D．非充分条件也非必要条件3．（5分）命题“对任意x∈R，都有x3＞x2”的否定是（）A．存在x0∈R，使得x03＞x02B．不存在x0∈R，使得x03＞x02C．存在x0∈R，使得x03≤x02D．对任意x∈R，都有x3≤x24．（5分）设函数y=f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则（）A．f（﹣2）＞f（1）B．f（﹣2）＜f（﹣1）C．f（﹣2）＞f（2）D．f（|x|）＜f（x）5．（5分）在同一坐标系内作出的两个函数图象如图所示，则这两个函数为（）A．y=a x和y=log a（﹣x）B．y=a x和y=log a x﹣1C．y=a﹣x和y=log a x﹣1D．y=a﹣x和y=log a（﹣x）6．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣17．（5分）若函数f（x）=ax3+bx+2在（﹣∞，0）上有最小值﹣5，（a，b为常数），则函数f（x）在（0，+∞）上（）A．有最大值5 B．有最小值5 C．有最大值3 D．有最大值98．（5分）已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中相应的横线上）9．（5分）设集合A={0，1，2，3}，则A的真子集的个数为．10．（5分）若函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0且a≠1）的反函数，其图象经过点（，a），则f（x）=．11．（5分）已知，则a，b，c的大小关系为（按从大到小排列）12．（5分）已知命题p：∃m∈R，m+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0恒成立．若p∧q 为假命题，则实数m的取值范围为．13．（5分）设f（x）是定义在R上且以3为周期的奇函数，若f（1）≤1，f（2）=，则实数a的取值范围是．14．（5分）若对任意x∈A，y∈B，（A⊆R，B⊆R）有唯一确定的f（x，y）与之对应，则称f（x，y）为关于x，y的二元函数．定义：满足下列性质的二元函数f（x，y）为关于实数x，y的广义“距离”：（1）非负性：f（x，y）≥0，当且仅当x=y时取等号；（2）对称性：f（x，y）=f（y，x）；（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）对任意的实数z均成立．给出三个二元函数：①f（x，y）=（x﹣y）2；②f（x，y）=|x﹣y|；③f（x，y）=．请选出所有能够成为关于x，y的广义“距离”的序号．三、解答题（本大题共5个小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（12分）已知：集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|＜2x﹣1＜8}，C={x|2x2+mx﹣m2＜0}（m∈R）．（1）求：A∪B；（2）若（A∪B）⊆C，求：实数m的取值范围．16．（12分）设函数f（x）=x2﹣x+m，且f（log2a）=m，log2f（a）=2，（a≠1）．（1）求a，m的值；（2）求f（log2x）的最小值及对应的x的值．17．（14分）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y属于（﹣1，1），都有f （x）+f（y）=f（）．（1）求证：函数f（x）是奇函数！（2）若当x属于（﹣1，0）时，有f（x）＞0．求证：f（x）在（﹣1，1）上是减函数．18．（14分）已知函数y=log a（ax﹣）（a＞0，a≠1为常数）（1）求函数f（x）的定义域；（2）若a=3，试根据单调性定义确定函数f（x0的单调性；（3）若函数y=f（x）是增函数，求a的取值范围．19．（14分）某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A部件6件，或B 部件3件，或C部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为K（K为正整数）．（1）设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数K的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．广东省湛江一中2015届高三上学期8月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案按要求答在答题卡）1．（5分）设集合P={1，2，3，4，5，6}，Q={x∈R|2≤x≤6}，那么下列结论正确的是（）A．P∩Q=P B．P∩Q⊋Q C．P∪Q=Q D．P∩Q⊊P考点：交集及其运算；并集及其运算．专题：计算题．分析：本题考查的集合的运算，我们可以根据已知条件，将四个答案逐一代入运算，进行判断后不难得到答案．解答：解：P∩Q={2，3，4，5，6}，∴P∩Q⊊P≠P故A、B错误，故D正确．故选D点评：集合运算时要注意，性质描述法表示的集合，元素取值的范围，本题易忽略Q集合中x∈R，而错认为x∈Z，得到Q═{2，3，4，5，6}，而得到错误的结论．2．（5分）设集合M={x|x＞2}，P={x|x＜3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的（）A．充分条件但非必要条件B．必要条件但非充分条件C．充分必要条件D．非充分条件也非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：由“x∈M，或x∈P”⇒“x∈M∪P”，“x∈M∩P”⇒“x∈M，且x∈P”⇒“x∈M，或x∈P”，知“x∈M，或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件．解答：解：∵集合M={x|x＞2}，P={x|x＜3}，∴“x∈M，或x∈P”⇒“x∈M∪P”，“x∈M∩P”⇒“x∈M，且x∈P”，∴“x∈M，或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件．故选B．点评：本题考查充分条件、必要条件、充要条件、不充分不必要条件的判断和应用，是基础题．3．（5分）命题“对任意x∈R，都有x3＞x2”的否定是（）A．存在x0∈R，使得x03＞x02B．不存在x0∈R，使得x03＞x02C．存在x0∈R，使得x03≤x02D．对任意x∈R，都有x3≤x2考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：利用全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．解答：解：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，∴命题“对任意x∈R，都有x3＞x2”的否定是：存在x0∈R，使得x03≤x02．故选：C．点评：本题考查命题的否定，注意否定形式以及量词的变化，基本知识的考查．4．（5分）设函数y=f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则（）A．f（﹣2）＞f（1）B．f（﹣2）＜f（﹣1）C．f（﹣2）＞f（2）D．f（|x|）＜f（x）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：函数y=f（x）是偶函数，可得f（﹣2）=f（2），函数在[0，+∞）上单调递增，可得f（2）＞f（1），即可得出结论．解答：解：∵函数y=f（x）是偶函数，∴f（﹣2）=f（2），∵函数在[0，+∞）上单调递增，∴f（2）＞f（1），∴f（﹣2）＞f（1），故选：A．点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，比较基础．5．（5分）在同一坐标系内作出的两个函数图象如图所示，则这两个函数为（）A．y=a x和y=log a（﹣x）B．y=a x和y=log a x﹣1C．y=a﹣x和y=log a x﹣1D．y=a﹣x和y=log a（﹣x）考点：指数函数的图像与性质；对数函数的图像与性质．专题：证明题．分析：先由指数函数的图象确定函数底数的取值范围，再由此推断对数复合函数的图象性质，并与已知图象比较，若矛盾则排除解答：解：对于选项A，由图可知y=a x为减函数，故0＜a＜1，此时y=log a（﹣x）应为（﹣∞，0）上的增函数，与图象矛盾，排除A对于选项B，由图可知y=a x为减函数，故0＜a＜1，此时y=log a（）应为（0，+∞）上的增函数，与图象矛盾，排除B对于选项C，由图可知y=a﹣x为减函数，故a＞1，此时y=log a（）应为（0，+∞）上的减函数，与图象矛盾，排除C故选D点评：本题考查了指数函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，排除法解选择题6．（5分）若定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：根据解析式先求出当x＞0时，函数f（x）的周期为5，再用周期性和解析式得f=f （﹣1），代入解析式求解．解答：解：由题意得，f（x）=，当x＞0时，有f（x）=f（x﹣5），则f（x+5）=f（x），所以当x＞0时，函数f（x）的周期为5，则f=f（402×5+4）=f（4）=f（4﹣5）=f（﹣1）==1，故选：B．点评：本题考查分段函数的函数的值，以及利用函数的周期求出函数值，属于基础题．7．（5分）若函数f（x）=ax3+bx+2在（﹣∞，0）上有最小值﹣5，（a，b为常数），则函数f（x）在（0，+∞）上（）A．有最大值5 B．有最小值5 C．有最大值3 D．有最大值9考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：函数的性质及应用．分析：根据f（x）=ax3+bx+2构造g（x）=f（x）﹣2=ax3+bx，则易得g（x）为奇函数，且在再根据奇函数的性质可得g（x）在（﹣∞，0）上有最小值﹣7（a，b为常数），则g（x）在（﹣∞，0）上有最大值7，函数f（x）在（0，+∞）上有最大值9．解答：解：∵f（x）=ax3+bx+2令g（x）=f（x）﹣2ax3+bx，则由于定义域为R关于原点对称且g（﹣x）=﹣（ax3+bx）=﹣g（x）∴g（x）为奇函数∵g（x）在（﹣∞，0）上有最小值﹣7，∴g（x）在（0，+∞）上有最大值7，∴f（x）在（0，+∞）上有最大值9．故选：D．点评：本题主要考查了函数奇偶性的性质．解题的关键是要构造出奇函数g（x）=f（x）﹣2=ax3+bx，然后再根据奇函数的性质得到g（x）在（0，+∞）上有最大值7，从而得到f （x）在（0，+∞）上有最大值9．8．（5分）已知函数f（x）=x（1+a|x|）．设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：排除法：取a=﹣，由f（x+a）＜f（x），得（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，分x＜0，0≤x≤，x＞讨论，可得A，检验是否符合题意，可排除B、D；取a=1，由f（x+a）＜f（x），得（x+1）|x+1|+1＞x|x|，分x＜﹣1，﹣1≤x≤0，x＞0进行讨论，检验是否符合题意，排除C．解答：解：取a=﹣时，f（x）=﹣x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，（1）x＜0时，解得﹣＜x＜0；（2）0≤x≤时，解得0；（3）x＞时，解得，综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B、D；取a=1时，f（x）=x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C，故选A．点评：本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用．二、填空题（每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中相应的横线上）9．（5分）设集合A={0，1，2，3}，则A的真子集的个数为15．考点：子集与真子集．专题：计算题；集合．分析：将集合A的真子集按含有元素从少到多一一列出即可，勿忘∅是任何集合的子集．解答：解：由集合A中的元素有0，1，2，3共4个，代入公式得：24﹣1=15，则集合A的真子集有15个．故答案为：15．点评：解得本题的关键是掌握当集合中元素有n个时，真子集的个数为2n﹣1．同时注意子集与真子集的区别：子集包含本身，而真子集不包含本身．10．（5分）若函数y=f（x）是函数y=a x（a＞0且a≠1）的反函数，其图象经过点（，a），则f（x）=．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：我们知道：指数函数y=a x（a＞0且a≠1）与对数函数y=log a x互为反函数，又其图象经过点（，a），据此可求的a的值．解答：解：∵函数y=a x的反函数是f（x）=log a x，又已知反函数的图象经过点（，a），∴a=log a，即a=，故答案是：．点评：本题考查了求已知指数函数的反函数，充分理解指数函数与同底的对数函数互为反函数是解决问题的关键．11．（5分）已知，则a，b，c的大小关系为a＞b ＞c（按从大到小排列）考点：不等式比较大小．专题：综合题．分析：把b化负指数幂为正指数幂，然后结合指数函数的单调性判断出a＞b＞1，运用对数函数的单调性判断出c＜1，从而得到a，b，c的大小关系．解答：解：因为，由指数函数y=2x是增函数，所以，21.2＞20.8＞20=1，所以a＞b＞1．又c=2log52=log54＜log55=1，所以a＞b＞c．故答案为a＞b＞c．点评：本题考查了不等式的大小比较，考查了指数函数和对数函数的单调性，是基础题．12．（5分）已知命题p：∃m∈R，m+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0恒成立．若p∧q 为假命题，则实数m的取值范围为m≤﹣2或m＞﹣1．考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：由P∧q 为假命题可知，由P∧q的否定为真，先求出P∧q为真的m的范围，进而可得答案．解答：解：由P∧q 为假命题可知，由P∧q 的否定为真，因为命题p：∃m∈R，m+1≤0，当m≤﹣1时是真命题，当q为真时，由x2+mx+1＞0恒成立，可得﹣2＜m＜2，若p∧q为真命题，必有﹣2＜m≤﹣1，所以p∧q为假命题，则实数m的取值范围为：m≤﹣2或m＞﹣1，综上知：m≤﹣2或m＞﹣1；故答案为：m≤﹣2或m＞﹣1点评：本题考查的知识点是复合命题的真假，解答过程中可能会有同学遗漏p与q同时为假的情况，在做题过程中要考虑全面．13．（5分）设f（x）是定义在R上且以3为周期的奇函数，若f（1）≤1，f（2）=，则实数a的取值范围是a＜﹣1或a．考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质．分析：先根据周期性和奇函数将f（2）化成f（1），然后根据已知条件建立关系式，解之即可求出实数a的取值范围．解答：解：∵f（x）是定义在R上且以3为周期的奇函数∴f（x+3）=f（x），f（﹣x）=﹣f（x）∴f（2）=f（2﹣3）=f（﹣1）=﹣f（1）又f（1）≤1，∴f（2）≥﹣1即．故答案为：a＜﹣1或a．点评：本题主要考查函数的奇偶性和周期性以及不等式的解法，是对基本知识点的综合考查，属于基础题．14．（5分）若对任意x∈A，y∈B，（A⊆R，B⊆R）有唯一确定的f（x，y）与之对应，则称f（x，y）为关于x，y的二元函数．定义：满足下列性质的二元函数f（x，y）为关于实数x，y的广义“距离”：（1）非负性：f（x，y）≥0，当且仅当x=y时取等号；（2）对称性：f（x，y）=f（y，x）；（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）对任意的实数z均成立．给出三个二元函数：①f（x，y）=（x﹣y）2；②f（x，y）=|x﹣y|；③f（x，y）=．请选出所有能够成为关于x，y的广义“距离”的序号②．考点：抽象函数及其应用．专题：压轴题；新定义．分析：利用函数f（x，y）为关于实数x、y的广义“距离“的定义需满足三个条件对各个函数判断是否具有这三个性质．解答：解：对于①，不妨令x﹣y=2，则有x﹣=﹣y=1，此时有（x﹣y）2=4，而（x﹣）2=（﹣y）2=1，故f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）不成立，所以不满足三角不等式，故①不满足对于②，f（x，y）=|x﹣y|≥0满足（1）；f（x，y）=|x﹣y|=f（y，x）=|y﹣x|满足（2）；f（x，y）=|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|z﹣y|=f（x，z）+f（z，y）满足（3），故②能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数对于③，由于x﹣y＞0时，无意义，故③不满足故答案为：②点评：本题考查理解题中的新定义，利用定义解题是近几年的2015届高考中是常考的题型，要注意．解题的关键是要把已知的定义转化为解题的工具．三、解答题（本大题共5个小题，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（12分）已知：集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|＜2x﹣1＜8}，C={x|2x2+mx﹣m2＜0}（m∈R）．15．（1）求：A∪B；（2）若（A∪B）⊆C，求：实数m的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用；并集及其运算．专题：不等式的解法及应用；集合．分析：（1）解二次不等式和指数不等式求出A，B，进而根据集合并集的定义可得A∪B；（2）根据（A∪B）⊆C，构造关于m的不等式，解不等式可得答案．解答：解：（1）∵集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}=（﹣1，3），B={x|＜2x﹣1＜8}=（0，4），∴A∪B=（﹣1，4），（2）∵C={x|2x2+mx﹣m2＜0}={x|（（2x﹣m）（x+m）＜0}，若（A∪B）⊆C，则或，解得：m≤﹣4，或m≥8点评：本题考查的知识点是集合包含关系判断及应用，并集及其运算，是集合运算与包含关系的综合应用，难度不大．16．（12分）设函数f（x）=x2﹣x+m，且f（log2a）=m，log2f（a）=2，（a≠1）．（1）求a，m的值；（2）求f（log2x）的最小值及对应的x的值．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：方程思想；转化思想．分析：（1）由题意，可由f（log2a）=m，log2f（a）=2，（a≠1）建立起方程求出a，m 的值．（2）由（1）得，当当时 f（x）取得最小值，故可令求出函数取最小值时x的值解答：解：（1）f（log2a）=log22a﹣log2a+m=m∴log2a（log2a﹣1）=0∴a=1（舍）或a=2∴a=2f（2）=2+m∴log2f（a）=log2f（2）=log2（m+2）=2∴m=2综上：a=2m=2（2）当时 f（x）取得最小值∴时，f（log2x）取得最小值∴时，f（log2x）最小，点评：本题考查对数函数的单调性与特殊点，正确解答本题，关键是熟练掌握对数的性质，本题第二小题解法有特色，先判断出复合函数取最小值时外层函数的自变量，再将其作为内层函数值建立方程求出复合函数取最小值时的x的值，解题时要注意运用此类题解法上的这一特征17．（14分）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足：对任意x，y属于（﹣1，1），都有f （x）+f（y）=f（）．（1）求证：函数f（x）是奇函数！（2）若当x属于（﹣1，0）时，有f（x）＞0．求证：f（x）在（﹣1，1）上是减函数．考点：数列的应用．专题：证明题．分析：（1）令x=y=0，可得f（0）=0．令y=﹣x，可得f（﹣x）=﹣f（x），所以函数f （x）是奇函数．（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，则有＞0，所以f（x）在（﹣1，1）上是减函数．解答：解：（1）令x=y=0，得f（0）+f（0）=f（0），∴f（0）=0．令y=﹣x，得f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数．（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，则有∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴﹣1＜x1﹣x2＜0，∴f（x1﹣x2）＞0，0＜x1x2＜1，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）在（﹣1，1）上是减函数．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．18．（14分）已知函数y=log a（ax﹣）（a＞0，a≠1为常数）（1）求函数f（x）的定义域；（2）若a=3，试根据单调性定义确定函数f（x0的单调性；（3）若函数y=f（x）是增函数，求a的取值范围．考点：函数单调性的判断与证明；函数的定义域及其求法；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）使函数f（x）解析式有意义，即可求出函数f（x）的定义域；（2）设，判断出，从而得出f（x 1）＞f（x2），根据单调性的定义即得函数f（x）在（，+∞）上为增函数；（3）设，通过作差比较出，根据函数f（x）是增函数得到，所以a＞1．解答：解：（1）使函数有意义，则：，解得x；∴函数f（x）的定义域是；（2）y=，，设则：3x 1﹣﹣3x 2==；∵；∴，；∴，，即f（x 1）＞f（x2）；∴函数f（x）在（，+∞）上单调递增；（3）设，则：==；∵，∴，；∴①，∵函数f（x）是增函数；∴f（x 1）＞f（x2），即②；由①②得：a＞1；∴a的取值范围为：（1，+∞）．点评：本题考查求函数的定义域，单调性的定义，以及根据函数单调性的定义判断函数的单调性，对数函数的单调性．19．（14分）某企业接到生产3000台某产品的A，B，C三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为2，2，1（单位：件）．已知每个工人每天可生产A部件6件，或B 部件3件，或C部件2件．该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比，比例系数为K（K为正整数）．（1）设生产A部件的人数为x，分别写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间；（2）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数K的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．考点：函数模型的选择与应用．专题：综合题．分析：（1）设完成A，B，C三种部件生产需要的时间分别为T1（x），T2（x），T3（x），则可得，，；（2）完成订单任务的时间为f（x）=max{T1（x），T2（x），T3（x）}，其定义域为，可得T1（x），T2（x）为减函数，T3（x）为增函数，T2（x）=T1（x），分类讨论：①当k=2时，T2（x）=T1（x），f（x）=max{T1（x），T3（x）}=max{}，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间；②当k≥3时，T2（x）＜T1（x），记，为增函数，φ（x）=max{T1（x），T（x）}f（x）=max{T1（x），T3（x）}≥max{T1（x），T（x）}=max{}，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间；③当k＜2时，k=1，f（x）=max{T2（x），T3（x）}=max{}，利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间，从而问题得解．解答：解：（1）设写出完成A，B，C三种部件生产需要的时间分别为T1（x），T2（x），T3（x）∴，，其中x，kx，200﹣（1+k）x均为1到200之间的正整数（2）完成订单任务的时间为f（x）=max{T1（x），T2（x），T3（x）}，其定义域为∴T1（x），T2（x）为减函数，T3（x）为增函数，T2（x）=T1（x）①当k=2时，T2（x）=T1（x），f（x）=max{T1（x），T3（x）}=max{}∵T1（x），T3（x）为增函数，∴当时，f（x）取得最小值，此时x=∵，，，f（44）＜f （45）∴x=44时，完成订单任务的时间最短，时间最短为②当k≥3时，T2（x）＜T1（x），记，为增函数，φ（x）=max{T1（x），T（x）}f（x）=max{T1（x），T3（x）}≥max{T1（x），T（x）}=max{}∵T1（x）为减函数，T（x）为增函数，∴当时，φ（x）取得最小值，此时x=∵，，∴完成订单任务的时间大于③当k＜2时，k=1，f（x）=max{T2（x），T3（x）}=max{}∵T2（x）为减函数，T3（x）为增函数，∴当时，φ（x）取得最小值，此时x=类似①的讨论，此时完成订单任务的时间为，大于综上所述，当k=2时，完成订单任务的时间最短，此时，生产A，B，C三种部件的人数分别为44，88，68．点评：本题考查函数模型的构建，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是确定分类标准，有难度．。

2015年省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=4．（5分）（2015•）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）22点评：本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．7．（5分）（2015•）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．解答：解：双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F（5，0），2可得：，c=5，∴a=4，b==3，所求双曲线方程为：﹣=1．故选：C．点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．）A．至多等于3 B．至多等于4 C．等于5 D．大于5考点：棱锥的结构特征．专题：创新题型；空间位置关系与距离．分析：先考虑平面上的情况：只有三个点的情况成立；再考虑空间里，只有四个点的情况成立，注意运用外接球和三角形三边的关系，即可判断．解答：解：考虑平面上，3个点两两距离相等，构成等边三角形，成立；4个点两两距离相等，由三角形的两边之和大于第三边，则不成立；n大于4，也不成立；在空间中，4个点两两距离相等，构成一个正四面体，成立；若n＞4，由于任三点不共线，当n=5时，考虑四个点构成的正四面体，第五个点，与它们距离相等，必为正四面体的外接球的球心，且球的半径等于边长，即有球心与正四面体的底面吗的中心重合，故不成立；同理n＞5，不成立．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）411．（5分）（2015•）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则12．（5分）（2015•）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了1560 条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）（2015•）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，14．（5分）（2015•）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），15．（2015•）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD= 8 ．三、解答题16．（12分）（2015•）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？（14分）（2015•）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，18．AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）（2015•）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP20．（14分）（2015•）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k21．（14分）（2015•）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前 n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．2015年省高考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2015•）若集合M={x|（x+4）（x+1）=0}，N={x|（x﹣4）（x﹣1）=0}，则M∩N=4．（5分）（2015•）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从22）6．（5分）（2015•）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（）7．（5分）（2015•）已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线）二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．（5分）（2015•）在（﹣1）4的展开式中，x的系数为．10．（5分）（2015•）在等差数列{a n}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8= ．11．（5分）（2015•）设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b= ．12．（5分）（2015•）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）13．（5分）（2015•）已知随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P= ．14．（5分）（2015•）已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为A（2，），则点A到直线l的距离为．15．（2015•）如图，已知AB是圆O的直径，AB=4，EC是圆O的切线，切点为C，BC=1．过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于D和点P，则OD= ．三、解答题16．（12分）（2015•）在平面直角坐标系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差s2；（3）36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人？所占百分比是多少（精确到0.01%）？（2015•）如图，三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，（14分）18．AB=6，BC=3，点E是CD的中点，点F、G分别在线段AB、BC上，且AF=2FB，CG=2GB．（1）证明：PE⊥FG；（2）求二面角P﹣AD﹣C的正切值；（3）求直线PA与直线FG所成角的余弦值．19．（14分）（2015•）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．20．（14分）（2015•）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数 k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线 C只有一个交点？若存在，求出k 的取值围；若不存在，说明理由．21．（14分）（2015•）数列{a n}满足：a1+2a2+…na n=4﹣，n∈N+．（1）求a3的值；（2）求数列{a n}的前 n项和T n；（3）令b1=a1，b n=+（1+++…+）a n（n≥2），证明：数列{b n}的前n项和S n满足S n＜2+2lnn．。

广东省湛江市徐闻一中2015届高 三上学期11月质检数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）已知复数z 满足（3+4i ）z=25，则z=（） A ． 3﹣4i B ． 3+4i C ． ﹣3﹣4i D ． ﹣3+4i2．（5分）一元二次方程x 2+2x+a=0有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（） A ． a ＜0 B ． a ＞0 C ． a ＜﹣1 D ． a ＞13．（5分）已知向量=+3，=5+3，=﹣3+3，则（）A ． A 、B 、C 三点共线 B ． A 、B 、D 三点共线 C ． A 、C 、D 三点共线 D ． B 、C 、D 三点共线 4．（5分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且c=2a ，则sinB=（）A ．B ．C ．D ．5．（5分）设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（） A ． 若l⊥α，α⊥β，则l ⊂β B ． 若l∥α，α∥β，则l ⊂β C ． 若l⊥α，α∥β，则l⊥β D ． 若l∥α，α⊥β，则l⊥β6．（5分）设变量x ，y 满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y 的最小值为（）A ． 6B ． 7C ． 8D ． 237．（5分）已知函数f （x ）=x 2+2cosx ，若f′（x ）是f （x ）的导函数，则函数f′（x ）在原点附近的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．8．（5分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．二．填空题（6*5=30分）（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．（5分）函数的定义域是．10．（5分）已知向量，则向量与的夹角为．11．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是cm2．12．（5分）已知函数f（x）=cosx•sinx，给出下列五个说法：①f（）=；②若f（x1）=﹣f（x2），则x1=﹣x2；③f（x）在区间[﹣，]上单调递增；④将函数f（x）的图象向右平移个单位可得到y=cos2x的图象；⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序号是．13．（5分）已知，数列的前n项和为S n，数列{b n}的通项公式为b n=n﹣8，则b n S n的最小值为．三、选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分．（坐标系与参数方程选做）14．（5分）在极坐标系中，点（1，0）到直线ρ（cosθ+sinθ）=2的距离为．四、（几何证明选讲选做题）15．如图，点B在⊙O上，M为直径AC上一点，BM的延长线交⊙O于N，∠BNA=45°，若⊙O 的半径为2，OA=OM，则MN的长为．五、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知向量=（1，3cosα），=（1，4tanα），，且•=5．（Ⅰ）求|+|；（Ⅱ）设向量与的夹角为β，求tan（α+β）的值．17．（12分）在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是．（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？18．（14分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是线段SD上任意一点．（1）求证：AC⊥BE；（2）若二面角C﹣AE﹣D的大小为60°，求线段ED的长．19．（14分）已知数列{a n}的首项a1=，a n+1=，n=1，2，…．（Ⅰ）证明：数列{﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．20．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，并且经过定点P（，）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设A，B为椭圆E的左右顶点，P为直线l：x=4上的一动点（点P不在x轴上），连AP交椭圆于C点，连PB并延长交椭圆于D点，试问是否存在λ，使得S△ACD=λS△BCD成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．21．（14分）设函数f（x）=lnx﹣x2+ax（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1≠x2）是函数f（x）在x∈[1，+∞）的图象上的任意两点，且满足，求a的最大值；（Ⅲ）设g（x）=xe1﹣x，若对于任意给定的x0∈（0，e]，方程f（x）+1=g（x0）在（0，e]内有两个不同的实数根，求a的取值范围．（其中e是自然对数的底数）广东省湛江市徐闻一中2015届高三上学期11月质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z 的值．解答：解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，故选：A．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）一元二次方程x2+2x+a=0有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A．a＜0 B．a＞0 C．a＜﹣1 D．a＞1考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据一元二次方程根与系数之间的关系求出命题的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．．解答：解：若一元二次方程x2+2x+a=0有一个正根和一个负根，则，即，解得a＜0，即一元二次方程x2+2x+a=0有一个正根和一个负根的充要条件是a＜0，则a＜0的充分不必要条件可以是a＜﹣1，故选：C点评：本题主要考查一元二次方程根与判别式△之间的关系和应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键．．3．（5分）已知向量=+3，=5+3，=﹣3+3，则（）A．A、B、C三点共线B．A、B、D三点共线C．A、C、D三点共线D．B、C、D三点共线考点：向量的共线定理．专题：平面向量及应用．分析：利用向量共线定理即可得出．解答：解：∵===，∴A、B、D三点共线．故选：B．点评：本题考查了向量共线定理，属于基础题．4．（5分）△AB C的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且c=2a，则sinB=（）A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：直接利用等比数列求出abc的关系，结合已知条件利用余弦定理求出B的余弦函数值，然后求解sinB．解答：解：△ABC中，由a、b、c成等比数列，所以b2=ac，由余弦定理可知：b2=a2+c2﹣2accosB，又c=2a，∴2a2=a2+4a2﹣4a2cosB，∴cosB=，∴sinB==，故选：C．点评：本题主要考查余弦定理的应用，等比数列的定义，同角三角函数的基本关系，考查计算能力，属于基础题．5．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．解答：解：若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l⊂β或l∥β，故B错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误；故选C点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒ a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．6．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．23考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件．画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值．解答：解：画出不等式．表示的可行域，如图，让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得（2，1），所以z min=4+3=7，故选B．点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．7．（5分）已知函数f（x）=x2+2cosx，若f′（x）是f（x）的导函数，则函数f′（x）在原点附近的图象大致是（）A． B． C． D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由题可得f′（x）=2x﹣2sinx，判断导函数的奇偶性，利用特殊值的函数值推出结果即可．解答：解：函数f（x）=x2+2cosx，∴f′（x）=2x﹣2sinx=2（x﹣sinx），f′（﹣x）=﹣2x+2sinx=﹣（2x﹣2sinx）=﹣f′（x），导函数是奇函数，∵x∈（0，），x＞sinx＞0，∴B、C、D不正确．故选：A．点评：本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．8．（5分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若函数有且仅有3个零点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，方程在（0，+∞）上有且仅有3个实数根，且a≥0，[x]=1，2，3．分别求得[x]=1，2，3，4时，a的范围，从而确定满足条件的a的范围．解答：解：因为f（x）=，有且仅有3个零点，则方程在（0，+∞）上有且仅有3个实数根，且a≥0．∵x＞0，∴[x]≥0；若[x]=0，则=0；若[x]≥1，因为[x]≤x＜[x]+1，∴＜≤1，∴＜a≤1，且随着[x]的增大而增大．故不同的[x]对应不同的a值，故有[x]=1，2，3．若[x]=1，则有＜≤1；若[x]=2，则有＜≤1；若[x]=3，则有＜≤1；若[x]=4，则有＜≤1．综上所述，＜a≤，故选：C．点评：本题主要考查函数零点的判定定理，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．二．填空题（6*5=30分）（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．（5分）函数的定义域是（1，2]．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由函数的解析式可得=，可得 0＜x﹣1≤1，由此解得x的范围，即为所求．解答：解：由于函数，故有=，∴0＜x﹣1≤1，解得 1＜x≤2，故答案为（1，2]．点评：本题主要考查求函数的定义域，对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．10．（5分）已知向量，则向量与的夹角为30°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由平面向量模的公式和数量积计算公式，算出||=||=1且•=，再用向量的夹角公式即可算出向量与的夹角．解答：解：∵，∴||=||=1，且•=cos35°cos65°+sin35°sin65°=cos（﹣30°）=cos30°=设与的夹角为θ，可得cosθ==∵0°≤θ≤180°，∴θ=30°故答案为：30°点评：本题给出向量含有三角函数的坐标形式，求它们的夹角大小，着重考查了数量积表示两个向量的夹角的知识，属于基础题．11．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是80+16cm2．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知该几何体上部分为四棱锥，下部分为正方体，根据条件求出该几何体的表面积即可．解答：解：由三视图可知该几何体上部分为四棱锥，下部分为正方体．则四棱锥的高VO=2，底面正方形的边长AB=4，∴四棱锥的侧面三角形的高VE=，∴四棱锥的侧面积为4×=16．正方体的棱长为4，共有5个表面积，即5×4×4=80故该几何体的表面积为：80+16故答案为：80+16（cm2）．点评：本题主要考查三视图的应用，以及空间几何体的表面积的计算，要求熟练掌握常见几何体的表面积公式．12．（5分）已知函数f（x）=cosx•sinx，给出下列五个说法：①f（）=；②若f（x1）=﹣f（x2），则x1=﹣x2；③f（x）在区间[﹣，]上单调递增；④将函数f（x）的图象向右平移个单位可得到y=cos2x的图象；⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序号是①④．考点：命题的真假判断与应用；正弦函数的对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用三角公式和三角函数的图象和性质分别进行判断即可．解答：解：f（x）=cosx•sinx=，为奇函数．①∵f（x）的周期是π，∴f（）=f（160π+）=f（）=，正确；②由f（x1）=﹣f（x2）=f（﹣x2），知x1=﹣x2+2kπ或x1=π﹣x2+2kπ，k∈Z；所以②错误．③令，得，由复合函数性质知f（x）在每一个闭区间上单调递增，但[﹣，]⊄，故函数f（x）在[﹣，]上不是单调函数；所以③错误．④将函数f（x）的图象向右平移个单位可得到，所以④正确；⑤函数的对称中心的横坐标满足2x0=kπ，解得，即对称中心坐标为，则点（﹣，0）不是其对称中心．所以⑤错误．故答案为①④．点评：本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，利用三角函数的图象和性质是解决三角函数题目的关键．13．（5分）已知，数列的前n项和为S n，数列{b n}的通项公式为b n=n﹣8，则b n S n的最小值为﹣4．考点：定积分；数列的函数特性；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意，先由微积分基本定理求出a n再根据通项的结构求出数列的前n项和为S n，然后代入求b n S n的最小值即可得到答案解答：解：a n=（2x+1）dx=（x2+x）=n2+n∴==﹣∴数列{ }的前n项和为S n=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=又b n=n﹣8，n∈N*，则b n S n=×（n﹣8）=n+1+﹣10≥2 ﹣10=﹣4，等号当且仅当n+1=，即n=2时成立，故b n S n的最小值为﹣4．故答案为：﹣4．点评：本题考查微积分基本定理及数列的求和，数列的最值等问题，综合性强，知识转换快，解题时要严谨认真，莫因变形出现失误导致解题失败．三、选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分．（坐标系与参数方程选做）14．（5分）在极坐标系中，点（1，0）到直线ρ（cosθ+sinθ）=2的距离为．考点：点到直线的距离公式；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：根据所给的直线的极坐标方程，转化成直线的一般式方程，根据点到直线的距离，写出距离的表示式，得到结果．解答：解：直线ρ（cosθ+sinθ）=2直线ρcosθ+ρsinθ=2∴直线的一般是方程式是：x+y﹣2=0∴点（1，0）到直线的距离是故答案为：点评：本题考查点到直线的距离公式和简单的极坐标方程，本题解题的关键是把极坐标方程转化成一般式方程．四、（几何证明选讲选做题）15．如图，点B在⊙O上，M为直径AC上一点，BM的延长线交⊙O于N，∠BNA=45°，若⊙O 的半径为2，OA=OM，则MN的长为2．考点：与圆有关的比例线段．专题：计算题；压轴题．分析：根据圆心角AOB和圆周角ANB对应着相同的一段弧，得到角AOB是一个直角，根据所给的半径的长度和OA，OM之间的关系，求出OM的长和BM的长，根据圆的相交弦定理做出结果．解答：解：∵∠BNA=45°，圆心角AOB和圆周角ANB对应着相同的一段弧，∴∠AOB=90°，∵⊙O的半径为2，OA=OM，∴OM=2，在直角三角形中BM==4，∴根据圆内两条相交弦定理有4MN=（2+2）（2﹣2），∴MN=2，故答案为：2点评：本题考查和圆有关的比例线段，考查圆的相交弦定理和直角三角形的勾股定理，本题是一个非常好的题目，考查的知识点比较全面，没有易错点．五、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）已知向量=（1，3cosα），=（1，4tanα），，且•=5．（Ⅰ）求|+|；（Ⅱ）设向量与的夹角为β，求tan（α+β）的值．考点：两角和与差的正切函数；数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题；三角函数的求值；平面向量及应用．分析：（Ⅰ）由向量的数量积的坐标公式化简即得sinα，由同角公式，求得cosα，tanα，得到向量m，n，再由模的公式即可得到所求的值；（Ⅱ）运用向量的夹角公式，求得cosβ，进而得到sinβ，tanβ，再由两角和的正切公式，即可得到所求的值．解答：解：（Ⅰ）由=（1，3cosα），=（1，4tanα），则•=1+12cosαtanα=5，解得，因为，所以，．则=（1，2），=（1，）则=，即有||==；（Ⅱ）由（Ⅰ）知=（1，2），=（1，），则cosβ=cos＜＞==，即有，所以，所以．点评：本题考查平面向量的运用和两角和的正切公式及运用，考查向量的数量积的坐标公式和性质及运用，考查运算能力，属于中档题．17．（12分）在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是．（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题．分析：（Ⅰ）教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6由题意直接可知X～B（6，）即可求解（Ⅱ）教师甲在一场比赛中获奖：分为三种情况（中4球，5球，6球）但都必须最后2个球都投进者，故所求的概率为．（Ⅲ）教师乙在某场比赛中的事件总数为：A66，而6个球中恰好投进了4个球的事件数为：A42×A44，故而教师乙在这场比赛中获奖的概率为：根据（Ⅱ）知教师甲在一场比赛中获奖的概率为：，而，故教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等．解答：解：（Ⅰ）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6．依条件可知X～B（6，）.（k=0，1，2，3，4，5，6）X的分布列为：X 0 1 2 3 4 5 6P所以=．或因为X～B（6，），所以．即X的数学期望为4（Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，则=．答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为．（Ⅲ）设教师乙在这场比赛中获奖为事件B，则．即教师乙在这场比赛中获奖的概率为．显然，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等．点评：本题考查了离散型随机变量的期望与方差，n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，离散型随机变量及其分布列属于基础题．18．（14分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=a，点E是线段SD上任意一点．（1）求证：AC⊥BE；（2）若二面角C﹣AE﹣D的大小为60°，求线段ED的长．考点：直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算．专题：计算题；证明题．分析：（1）以D为坐标原点，以DA为x轴，DC为y轴，DS为z轴，建立空间直角坐标系，设DE=t，求出向量和的坐标，然后利用数量积为零证得AC⊥BE；（2）取平面ADE的一个法向量为=（0，1，0）．设平面ACE的一个法向量为=（x，y，z），利用=0求出，最后根据cos60°==求出t，即可求出所求．解答：解：（1）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系．D（0，0，0），A（a，0，0），B （a，a，0），C（0，a，0）．设DE=t，则E（0，0，t）（2分）=（﹣a，﹣a，t），（4分）∵+0=0，∴AC⊥BE．（6分）（2）取平面ADE的一个法向量为=（0，1，0）．（7分）设平面ACE的一个法向量为=（x，y，z），，=（﹣a，0，t），由=0得，∴y=x，z=x．取，（10分）由cos60°==（12分）得t=a，因此DE=a．（14分）点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及利用空间向量的方法求证垂直和求距离等有关问题，属于中档题．19．（14分）已知数列{a n}的首项a1=，a n+1=，n=1，2，…．（Ⅰ）证明：数列{﹣1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．考点：数列递推式；等比关系的确定；数列的求和．专题：计算题；压轴题．分析：（1）化简构造新的数列，进而证明数列是等比数列．（2）根据（1）求出数列的递推公式，得出a n，进而构造数列，求出数列的通项公式，进而求出前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）由已知：，∴，（2分）∴，又，∴，（4分）∴数列是以为首项，为公比的等比数列．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，∴．（8分）设，①则，②由①﹣②得：，（10分）∴．又1+2+3+…．（12分）∴数列的前n项和：．（14分）点评：此题主要考查通过构造新数列达到求解数列的通项公式和前n项和的方法．20．（14分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，并且经过定点P（，）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设A，B为椭圆E的左右顶点，P为直线l：x=4上的一动点（点P不在x轴上），连AP交椭圆于C点，连PB并延长交椭圆于D点，试问是否存在λ，使得S△ACD=λS△BCD成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出且，由此能求出椭圆E的方程．（Ⅱ）设P（4，y0），直线AP的方程为：，代入椭圆，得．由此利用韦达定理结合已知条件能求出存在λ=3，使得S△ACD=λS△BCD成立．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，并且经过定点P（，），∴且，又c2=a2﹣b2解得：a2=4，b2=1，∴椭圆E的方程为（1）（Ⅱ）存在λ=3，使得S△ACD=λS△BCD成立设P（4，y0）（y0≠0），又A（﹣2，0），则故直线AP的方程为：，代入方程（1）并整理得：．由韦达定理：，即，∴，同理可解得：，∴，故直线CD的方程为y=k CD（x﹣x C）+y C，即，∴直线CD恒过定点E（1，0）．∴．故λ=3．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21．（14分）设函数f（x）=lnx﹣x2+ax（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1≠x2）是函数f（x）在x∈[1，+∞）的图象上的任意两点，且满足，求a的最大值；（Ⅲ）设g（x）=xe1﹣x，若对于任意给定的x0∈（0，e]，方程f（x）+1=g（x0）在（0，e]内有两个不同的实数根，求a的取值范围．（其中e是自然对数的底数）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（1）直接对原函数求导，令导数大于0，解得增区间，令导数小于0，解得减区间；（2）因为是不等式恒成立，因此将原式转化为函数的最值问题，通过变形构造出函数φ（x）=f（x）﹣2x，通过研究该函数的单调性，进而转化为该函数的导数小于等于0恒成立，最终使问题获得解答；（3）其实还是要数形结合，两个函数构造的方程在某一区间上有两个根，即它们的图象有两个公共点，结合单调性进行分析，容易使问题获得解答．解答：解：（Ⅰ），由f'（x）=0，得﹣2x2+ax+1=0，该方程的判别式△=a2+8＞0，可知方程﹣2x2+ax+1=0有两个实数根，又x＞0，故取，当时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；当时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减．则函数f（x）的单调递增区间是；递减区间是．（Ⅱ）不妨设x1＞x2≥1，不等式转化为f（x1）﹣2x1＜f（x2）﹣2x2，令φ（x）=f（x）﹣2x，可知函数φ（x）在区间[1，+∞）上单调递减，故φ'（x）=f'（x）﹣2≤0恒成立，故恒成立，即恒成立．当x∈[1，+∞）时，函数单调递增，故当x=1时，函数取得最小值3，则实数a的取值范围是a≤3，则实数a的最大值为3．（Ⅲ）g'（x）=（1﹣x）e1﹣x，当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）是增函数；当x∈（1，e）时，g'（x）＜0，g（x）是减函数．可得函数g（x）在区间（0，e]的值域为（0，1]．令F（x）=f（x）+1，则，由F'（x）=0，结合（Ⅰ）可知，方程F'（x）=0在（0，∞）上有一个实数根x3，若x3≥e，则F（x）在（0，e]上单调递增，不合题意，可知F'（x）=0在（0，e]有唯一的解，且F（x）在上单调递增；在上单调递减．因为∀x0∈（0，e]，方程f（x）+1=g（x0）在（0，e]内有两个不同的实数根，所以F（e）≤0，且F（x）max＞1．由F（e）≤0，即lne﹣e2+ae+1≤0，解得．由F（x）max=f（x3）+1＞1，即，，因为，所以，代入，得，令h（x）=lnx+x2﹣1，可知函数h（x）在（0，e]上单调递增，而h（1）=0，则h（x3）＞h （1）=0，所以1＜x3＜e ，而在1＜x3＜e 时单调递增，可得，综上所述，实数a 的取值范围是．点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、零点的存在性问题以及不等式的恒成立问题，属于压轴题，要仔细体会其解题思想．21。

湛江市第一中学2015届高三8月月考数学（理）试题一、 选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案按要求答在答题卡）1、设集合{}6,5,4,3,2,1=P ，{}62≤≤∈=x R x Q ，那么下列结论正确的是（ ） A 、P Q P = B 、Q Q P ≠⊃ C 、Q Q P = D 、≠⊂Q P P2、设集合}2|{>=x x M ，}3|{<=x x P ，那么“P x M x ∈∈或”是“x PM ∈”的（ ）A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、充分必要条件D 、既非充分条件也非必要条件3、命题“,x R ∀∈ 都有32x x >”的否定是（ ）A 、0,x R ∃∈使得3200x x >B 、0,x R ∃∉使得3200x x > C 、0,x R ∃∈使得3200x x ≤D 、0,x R ∃∉使得3200x x ≤4、设函数()y f x = 是偶函数，且在[)+∞,0上单调递增，则（ ）A 、(2)(1)f f ->B 、(2)(1)f f -<-C 、(2)(2)f f ->D 、(||)()f x f x < 5、在同一坐标系内作出的两个函数图像图1所示，则这两个函数为（ ）A 、x y a =和log ()a y x =-B 、x y a = 和1log ()a y x -=C 、x y a -= 和1log ()a y x -= D 、xy a -= 和log ()a y x =-6、若定义在R 上的函数()f x 满足2log (1)(0)()(5)(0)x x f x f x x -≤⎧=⎨->⎩，则(2014)f =( )A 、2B 、1C 、0D 、1-7、若函数3()2f x ax bx =++在)0,(-∞上有最小值－5，（a ，b 为常数），则函数)(x f 在),0(+∞上（ ）A ．有最大值5B ．有最小值5C ．有最大值3D ．有最大值98、已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若 11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是 A、⎫⎪⎪⎭ B、⎫⎪⎪⎭ C、130,⎛+⎝⎫⎪⎪⎭ D 、⎛- ⎝∞二、填空题（每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中相应的横线上） 9、设集合{0,1,2,3}A =,则A 的真子集的个数为10、若函数()y f x =是函数(0,1)x y a a a =>≠且的反函数，其图像经过点)a ，则()f x =11、已知0.81.2512,,2log 22a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是_______．12、已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0恒成立，若p ∧q 为假命题，则m 的取值范围是__________． 13、设()f x 是定义在R 上且以3为周期的奇函数，若(1)1f ≤，23(2)1a f a -=+， 则实数a 的取值范围是 ．14、若对任意,x A y B ∈∈，（,A R B R ⊆⊆）有唯一确定的(,)f x y 与之对应，则称(,)f x y 为关于,x y 的二元函数。

广东省湛江市第一中学2015届高三8月月考数学（理）试题【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。

一、 选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案按要求答在答题卡）【题文】1、设集合{}6,5,4,3,2,1=P ，{}62≤≤∈=x R x Q ，那么下列结论正确的是（ ）A 、P Q P =B 、Q Q P ≠⊃C 、Q Q P =D 、≠⊂Q P P 【知识点】集合及其运算；A1【答案解析】 D 解析：解:根据集合的定义可知{}2,3,4,5,6P Q ⋂=，所以只有D 选项正确.【思路点拨】根据已知条件求出交集，再利用集合的运算找到集合之间的关系. 【题文】2、设集合}2|{>=x x M ，}3|{<=x x P ，那么“P x M x ∈∈或”是“x P M ∈”的（ ）A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、充分必要条件D 、既非充分条件也非必要条件 【知识点】命题及其关系；A2【答案解析】 B 解析：解: P x M x ∈∈或表示实数集R ，{}|23P M x x ⋂=<<，所以只有B 选项的说法是正确的.【思路点拨】根据条件求出所表达的集合，再根据命题的关系找到正确结果. 【题文】3、命题“,x R ∀∈ 都有32x x >”的否定是（ ）A 、0,x R ∃∈使得3200x x >B 、0,x R ∃∉使得3200x x > C 、0,x R ∃∈使得3200x x ≤D 、0,x R ∃∉使得3200x x ≤ 【知识点】命题的否定；A2【答案解析】 C 解析：解:带有全称量词的否定，要把全称量词改成特称量词，结论要变成否定形式，所以C 选项正确.【思路点拨】根据命题之间的关系直接求出正确结果.【题文】4、设函数()y f x = 是偶函数，且在[)+∞,0上单调递增，则（ ）A 、(2)(1)f f ->B 、(2)(1)f f -<-C 、(2)(2)f f ->D 、(||)()f x f x <【知识点】函数的奇偶性与单调性；B3，B4【答案解析】 A 解析：解:因为函数为偶函数，所以()()22f f -=，又因为在[0,)+∞上函数单调递增，所以可得()()()221f f f -=>，所以A 正确.【思路点拨】先利用函数的奇偶性把自变量化简到同一个区间，再根据函数的单调性进行求解.【题文】5、在同一坐标系内作出的两个函数图像图1所示，则这两个函数为（ ）A 、x y a =和log ()a y x =-B 、x y a = 和1log ()a y x -=C 、xy a -= 和1log ()a y x -=D 、xy a -= 和log ()a y x =-【知识点】指数函数与对数函数的概念与图像；B6，B7【答案解析】D 解析：解:由指数函数的概念与对数函数的概念可知两个函数的图像应该为x y a -= 和log ()a y x =-所以D 选项正确【思路点拨】根据指数函数的定义与对数函数的定义可以直接找到正确结果. 【题文】6、若定义在R 上的函数()f x 满足2log (1)(0)()(5)(0)x x f x f x x -≤⎧=⎨->⎩，则(2014)f =( )A 、2B 、1C 、0D 、1- 【知识点】函数的周期性；对数函数；B4，B7【答案解析】B 解析：解：由题可知当x>0时函数为周期等于5的函数，所以()()20141f f =-，()()21log 111f -=+=，所以B 选项正确.【思路点拨】根据函数的周期性把变量导入可计算值的区间，再根据解析式进行计算. 【题文】7、若函数3()2f x ax bx =++在)0,(-∞上有最小值－5，（a ， b 为常数），则函数)(x f 在),0(+∞上（ ）A ．有最大值5B ．有最小值5C ．有最大值3D ．有最大值9【知识点】函数的奇偶性与最值；B3，B4【答案解析】D 解析：解：设()3g x ax bx =+可知函数()g x 为奇函数，由题意可知()g x 在()0,+∞有最大值7，()()2f x g x =+，所以()f x 在()0,+∞有最大值9，所以D 正确. 【思路点拨】把已知条件可转化成奇函数，然后根据函数的性质进行求解.【题文】8、已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若 11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是 A、⎫⎪⎪⎭ B、⎫⎪⎪⎭ C、130,⎛+ ⎝⎫⎪⎪⎭ D 、⎛- ⎝∞ 【知识点】特殊值法；分类讨论；M2【答案解析】A 解析：解：取()1122a x x x x =-=-+时，f()()11122f x a f x x x x x ⎛⎫+<∴--+> ⎪⎝⎭,(1)x<0时，解得304x -<<，(2)102x ≤≤时，解得102x ≤≤;(3) 12x >时，解得1524x <<.综上知，12a =-时，35,44A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，符合题意，排除B 、D ；，取1a =时，f （x ）=x|x|+x ， ∵f （x+a ）＜f （x ），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|， （1）x ＜-1时，解得x ＞0，矛盾； （2）-1≤x ≤0，解得x ＜0，矛盾； （3）x ＞0时，解得x ＜-1，矛盾； 综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C ， 故选A ．【思路点拨】我们可以直接取特殊值，根据已知进行分类讨论.二、填空题（每小题5分，共30分，把答案填在答题卡中相应的横线上） 【题文】9、设集合{0,1,2,3}A =,则A 的真子集的个数为 【知识点】真子集；A1【答案解析】15 解析：解：集合A 的真子集有空集，单元素的集合，双元素的集合，三元素的集合，一共有42115-=个. 【思路点拨】我们按规律找出集合的子集.【题文】10、若函数()y f x =是函数(0,1)xy a a a =>≠且的反函数，其图像经过点)a ，则()f x =【知识点】反函数；指数与对数；B2，B6，B7【答案解析】12log x 解析：解：由题意可知函数的xy a =的反函数为log a y x =()log a f x x ∴=，又因为它过)a 点，所以12a =，所以()12log f x x = 【思路点拨】根据反函数的概念求出函数，然后根据条件求出a 的值.【题文】11、已知0.81.2512,,2log 22a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是_______．【知识点】指数与对数；B6，B7【答案解析】a b c >>解析：解：因为0.81.255122,12,2log 2log 412a b b c a b c -⎛⎫=>=∴<<==<∴>> ⎪⎝⎭【思路点拨】根据各个值的取值范围比较大小即可.【题文】12、已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0恒成立，若p ∧q 为假命题，则m 的取值范围是__________． 【知识点】命题及其关系；A2【答案解析】 2m <-或m>-1 解析：解：由题可知命题p:1m ≤-,命题q:22m -<<,若p q Λ为假则有三种情况，1)当p 假q 真时，12m -<≤，2)当p 真q 假时，2m <-，3)当p 假q 也为假时，2m >，综上所述m 的取值范围是:2m <-或m>-1 【思路点拨】根据条件求出m 的取值范围，再根据命题的关系求出m 的范围. 【题文】13、设()f x 是定义在R 上且以3为周期的奇函数，若(1)1f ≤，23(2)1a f a -=+， 则实数a 的取值范围是 ． 【知识点】函数的周期性与奇偶性；B4 【答案解析】213a a <-≥或 解析：解解：∵f （x ）是定义在R 上且以3为周期的奇函数 ∴f （x+3）=f （x ）， f （-x ）=-f （x ）∴f （2）=f （2-3）=f （-1）=-f （1） 又f （1）≤1， ∴f （2）≥-1即2321113a a a a -≥-⇒<-≥+或． 故答案为：213a a <-≥或．【思路点拨】根据函数的性质求出()2f 的取值范围，然后求出a 的值.【题文】14、若对任意,x A y B ∈∈，（,A R B R ⊆⊆）有唯一确定的(,)f x y 与之对应，则称(,)f x y 为关于,x y 的二元函数。