广东省湛江农垦实验中学2014-2015学年高二上第一次月考数学试题 Word版含答案(人教A版)

湛江市2014—2015学年度第一学期期末调研考试 高中数学（必修⑤、选修1－1）试卷 说明：本卷共20小题，满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填入下面答题卡中。

1．抛物线y x 42=的准线方程为 A ．1=x B ．1-=x C ．1=y D ．1-=y 2．已知a ，b ，c 分别是ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边，若︒=45A ，︒=60B ，3=b ，则a 等于 A ．2 B ．6 C ．22 D ．1 3．不等式2320x x -+<的解集是 A ．{}21x x x <->-或 B ．{}12x x x <>或 C ．{}21x x -<<- D ．{}12x x << 4．图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是 A ．01<-+y x B ．01>-+y x C ．01<--y x D ．01>--y x 5．“2x >”是“24x >”的A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 既充分又必要条件D . 既不充分又不必要条件 6．在等差数列{}n a 中，若1289360a a a a +++=，则数列{}n a 的前9项的和为A ．180B ．405C ．810D ．1620学班 姓 学密封线7．在等比数列{n a }中，已知首项为21, 末项为8，公比为2, 则此等比数列的项数是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．68．函数x e x x f )2()(-=的单调递增区间是A . )1,(-∞B .( 0, 2 )C . ),1(+∞D .),2(+∞9．在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，已知A a B b cos cos =， 则ABC ∆的形状是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形10．若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤若2z x y =+，则z 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2015年广东省湛江市高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共8小题，共40.0分)1.已知（1+bi）2=2i（b∈R，i是虚数单位），则b=（）A.2B.1C.±1D.1或2【答案】B【解析】解：∵2i=1-b2+2bi，∴1-b2=0，2=2b，∴b=1．故选：B．利用复数运算法则、复数相等即可得出．本题考查了复数运算法则、复数相等，属于基础题．2.已知向量=（x，2），=（1，1），若（+）⊥，则x=（）A.2B.4C.-4D.-2【答案】C【解析】解：由向量=（x，2），=（1，1），则•=x+2，=（）2=2，若（+）⊥，则（+）•=0，即有+=0，即x+2+2=0，即有x=-4．故选C．运用向量的数量积的坐标表示，以及向量的平方即为模的平方，向量垂直的条件：数量积为0，解方程即可得到x．本题考查向量的数量积的坐标表示，考查向量垂直的条件：数量积为0，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．3.已知等比数列{a n}的各项均为正数，且公比q≠1，若a2、a3、a1成等差数列，则公比q=（）A.或B.C.或D.【答案】D【解析】解：因为a2、a3、a1成等差数列，所以2×a3=a1+a2，则a3=a1+a2，因为等比数列{a n}的各项均为正数，且公比q≠1，所以，化简得q2-q-1=0，解得q=或q=（舍去），故选：D．由题意和等差中项的性质列出方程，再由等比数列的通项公式化简，再结合题意求出q 的值．本题考查等比数列的通项公式，以及等差中项的性质，属于基础题．4.设p：x∈{x|y=lg（x-1）}，q：x∈{x|2-x＜1}，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：∵p：x∈{x|y=lg（x-1）}，∴p：x＞1，∵q：x∈{x|2-x＜1}，∴x＞0，∴p是q的充分不必要条件，故选：A．分别求出关于p，q的x的范围，从而得到p，q的关系．本题考查了充分必要条件，考查了对数函数，指数函数的性质，是一道基础题．5.抛物线8y-x2=0的焦点F到直线l：x-y-1=0的距离是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由抛物线8y-x2=0焦点F（0，2），∴点F（0，2）到直线l：x-y-1=0的距离d==．故选：D．由抛物线8y-x2=0焦点F（0，2），再利用点到直线的距离公式可得结论．熟练掌握抛物线的性质和点到直线的距离公式是解题的关键．6.若f（x）是奇函数，且x0是y=f（x）+e x的一个零点，则-x0一定是下列哪个函数的零点（）A.y=f（-x）e x-1B.y=f（-x）e-x+1C.y=e x f（x）-1D.y=e x f（x）+1【答案】C【解析】解：f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）且x0是y=f（x）+e x的一个零点，∴f（x0）+=0，∴f（x0）=-，把-x0分别代入下面四个选项，A、y=f（x0）-1=--1=-1-1=-2，故A错误；B、y=f（x0）+1=-（）2+1≠0，故B错误；C、y=e-x0f（-x0）-1=-e-x0f（x0）-1=e-x0-1=1-1=0，故C正确；D、y=f（-x0）+1=1+1=2，故D错误；故选C；根据f（x）是奇函数可得f（-x）=-f（x），因为x0是y=f（x）+e x的一个零点，代入得到一个等式，利用这个等式对A、B、C、D四个选项进行一一判断；此题主要考查函数的零点问题以及奇函数的性质，此题是一道中档题，需要一一验证；7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.πB.2πC.D.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一半圆锥与一半球的组合体；且半圆锥的底面圆半径为1，高为2；半球的半径也为1；∴该组合体的体积为V=V半圆锥+V半球=•π12•2+••13=π+π=π．故选：A．根据几何体的三视图，得出该几何体是一半圆锥与一半球的组合体，结合图中数据求出组合体的体积即可．本题考查了通过空间几何体的三视图求几何体的体积的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．8.由正整点坐标（横坐标和纵坐标都是正整数）表示的一组平面向量（i=1，2，3，…，n，…），按照一定的顺序排成如图所示的三角形向量序列图表．规则是：对于∀n∈N*，第n行共有2n-1个向量，若第n行第k个向量为，则=，＜，＜，例如=（1，1），=（1，2），=（2，2），=（2，1），…，依此类推，则=（）A.（44，11）B.（44，10）C.（45，11）D.（45，10）【答案】C【解析】解：由题意得，第n行共有2n-1个向量，则前n行共有1+3+5+…+（2n-1）==n2个向量，因为442＜2015＜452，且442=1936，所以应在第45行第79个向量，因为第n行第k个向量为，则=，＜，＜，所以=（45，11），故选：C．由题意和等差数列的前n项和公式求出前n行向量的个数表达式，再判断出所在的位置，再由给出的关系式求出的坐标．本题是一个新定义题型，考查归纳推理，等差数列的前n项和公式，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．二、填空题(本大题共7小题，共35.0分)9.2lg5-lg= ______ ．【答案】2【解析】解：原式==lg100=2．故答案为：2．利用对数的运算法则即可得出．本题考查了对数的运算法则，属于基础题．10.不等式|x+2|+|x-1|≤3的解集是______ ．【答案】[-2，1]【解析】解：由于|x+2|+|x-1|表示数轴上的x对应点到-2、1对应点的距离之和，它的最小值为3，故不等式|x+2|+|x-1|≤3的解集是[-2，1]，故答案为：[-2，1]．根据绝对值得意义求得不等式|x+2|+|x-1|≤3的解集．本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于基础题．11.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x-y|的值为______ ．【答案】4【解析】解：由题意可得：x+y=20，（x-10）2+（y-10）2=8，设x=10+t，y=10-t，则2t2=8，解得t=±2，∴|x-y|=2|t|=4，故答案为：4．利用平均数、方差的概念列出关于x、y的方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x-y|即可，故可设x=10+t，y=10-t，求解即可．本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，比较简单．12.展开（a+b+c）6，合并同类项后，含ab2c3项的系数是______ ．【答案】60【解析】解：把（a+b+c）6的展开式看成是6个因式（a+b+c）的乘积形式，展开式中，含ab2c3项的系数可以按如下步骤得到：第一步，从6个因式中任选1个因式，这个因式取a，有种取法；第二步，从剩余的5个因式中任选2个因式，都取b，有种取法；第三步，把剩余的3个因式中都取c，有种取法；根据分步相乘原理，得；含ab2c3项的系数是••=6×10×1=60．故答案为：60．把（a+b+c）6的展开式看成是6个因式（a+b+c）的乘积形式，按照分步相乘原理，求出含ab2c3项的系数即可．不同考查了二项式系数的应用问题，也考查了分步相乘原理的应用问题，是基础题目．13.已知实数x，y满足条件：，若条件为目标函数z=ax+by最大值为6，则ab的最大值是______ ．【答案】【解析】解：由约束条件作差可行域如图，则直线的斜率k=-＜，截距最大时，z也最大．平移直y=-，由图象可知当直线y=-经过点A时，直线y=-的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（2，4），此时z=2a+4b=6，即a+2b=3，∴3=a+2b，即，ab，当且仅当a=2b，即，时上式“=”成立．∴ab的最大值为．故答案为：．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，确定z取最大值点的最优解，利用基本不等式的性质，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义先求出最优解是解决本题的关键，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．14.极坐标方程分别为ρ=cosθ与ρ=sinθ的两个圆的圆心距为______ ．【答案】【解析】解：由ρ=cosθ，化为直角坐标方程为x2+y2-x=0，其圆心是A（，0），由ρ=sinθ，化为直角坐标方程为x2+y2-y=0，其圆心是B（0，），由两点间的距离公式，得AB=，故答案为：．先利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，将极坐标方程为ρ=cosθ和ρ=sinθ化成直角坐标方程，最后利用直角坐标方程的形式，结合两点间的距离公式求解即得．本小题主要考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及利用圆的几何性质计算圆心距等基本方法，我们要给予重视．15.如图，从圆O外一点P作圆O的割线PAB、PCD．AB是圆O的直径，若PA=4，PC=5，CD=3，则∠CBD= ______ ．【答案】30°【解析】解：由割线长定理得：PA•PB=PC•PD，即4×PB=5×（5+3），∴PB=10，∴AB=6，∴R=3，所以△OCD为正三角形，∠CBD=∠COD=30°．故答案为：30°．由于题目中并没有给出与角相关的已知条件，故解题的关键是构造三角形，解三角形求角的大小，故根据已知条件，结合割线定理，求出圆的半径是本题的切入点．当已知中的条件可以得到一个等边三角形、平行四边形、直角三角形等特殊图形，我们经常利用这些图形特有的性质，得到相关的数量关系，进行求解．三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)16.设函数f（x）=sin（2x+）-4cos（π-x）sin（x-）．（1）求f（0）的值；（2）求f（x）的值域．【答案】解：（1）函数f（x）=sin（2x+）-4cos（π-x）sin（x-）．则：f（0）==1-2=-1（2）f（x）=cos2x+4cosx（）==由于-1≤sin2x≤1所以：函数f（x）的值域为：[，]．【解析】（1）直接根据已知条件利用特殊角的三角函数的值求出结果．（2）首先对关系式进行恒等变换，变形成正弦型函数，进一步利用三角函数的定义域求出三角函数的值域．本题考查的知识要点：特殊角的三角函数的值．三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，属于基础题型．17.广东省第十四届运动会将在湛江举行，组委会招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图（单位：cm），身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”．（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率；（2）若从身高180cm以上（包括180cm）的志愿者中选出男、女各一人，设这2人身高相差ξcm（ξ≥0），求ξ的分布列和数学期望（均值）．【答案】解：（1）根据茎叶图知“高个子”有12人，“非高个子”有18人，用分层抽样方法，每个人被抽中的概率是，∴抽取的5人中，“高个子”有12×=2人，“非高个子”有18×=3人，∴至少有一人是“高个子”的概率是P==．（2）由茎叶图知，有3名男志愿者身高在180cm以上，（含180cm），身高分别为181cm，182cm，184cm，有2名女志愿者身高在180cm以上，（含180cm），身高分别为180cm，181cm，从身高180cm以上（包括180cm）的志愿者中选出男、女各一人，基本事件总数n==6，即（181，180），（181，181），（182，180），（182，181），（184，180），（184，181），∴ξ的可能取值为0，1，2，3，4，P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，P（ξ=4）=，∴ξ的分布列为：Eξ==．【解析】（1）根据茎叶图知“高个子”有12人，“非高个子”有18人，用分层抽样方法得到抽取的5人中，“高个子”有2人，“非高个子”有3人，由此能求出至少有一人是“高个子”的概率．（2）由茎叶图知，有3名男志愿者身高在180cm以上，（含180cm），有2名女志愿者身高在180cm以上，（含180cm），从身高180cm以上（包括180cm）的志愿者中选出男、女各一人，基本事件总数n==6，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望（均值）．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意分层抽样和茎叶图性质的合理运用．18.如图，在三棱锥P-ABC中，△PAC和△PBC均是边长为的等边三角形，AB=2，O，M，T分别是AB，PA，AC的中点．（1）若N是△PAC内部或边界上的动点，且满足ON∥平面PBC，证明：点N在线段M T上；（2）求二面角P-BC-A的余弦值．（参考定理：若平面α∥平面β，a∈平面α，A∈直线l，且l∥平面β，则直线l⊂平面α．）【答案】（1）证明：连接OM，OT，∵O，M，T分别是AB，PA，AC的中点．∴OM∥PB，OT∥BC，又OM⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，∴OM∥平面PBC，同理可得OT∥平面PBC，又OM∩OT=O，∴平面OMT∥平面PBC．∵N是△PAC内部或边界上的动点，且满足ON∥平面PBC，∴点N在线段MT上．（2）解：连接OP，OC．∵PA=PB=，O为AB的中点，则OP⊥AB，同理可证：OC⊥AB，∵OB=1，∴OP=OC==1，∴OP2+OC2=1+1=2=PC2，∴OP⊥OC，如图所示，建立空间直角坐标系．P（0，0，1），O（0，0，0），B（0，1，0），C（-1，0，0），=（-1，-1，0），=（0，-1，1），设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，可得，令y=-1，解得x=1，z=-1，∴=（1，-1，-1），取平面ABC的法向量=（0，0，1），则＜，＞===-．由图可知：二面角P-BC-A为锐角．∴二面角P-BC-A的余弦值为．【解析】（1）连接OM，OT，O，M，T分别是AB，PA，AC的中点．利用三角形的中位线定理可得：OM∥PB，OT∥BC，利用线面平行的判定定理可得OM∥平面PBC，OT∥平面PBC，可得平面OMT∥平面PBC．由于N是△PAC内部或边界上的动点，且满足ON∥平面PBC，即可证明点N在线段MT上．（2）：连接OP，OC．由PA=PB=，O为AB的中点，则OP⊥AB，同理可证：OC⊥AB，利用OP2+OC2=1+1=2=PC2，可得OP⊥OC，如图所示，建立空间直角坐标系．P（0，0，1），O（0，0，0），B（0，1，0），C（-1，0，0），设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，可得，取平面ABC的法向量=（0，0，1），＜，＞=即可得出．本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三角形中位线定理、勾股定理的逆定理、向量垂直与数量积的关系，考查了通过建立空间直角坐标系利用平面的法向量的夹角得出二面角的方法，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+1+S n-1=2S n+1（n≥2，n∈N*），且a1=2，a2=3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=4n+（-1）n-1•λ•2a n（λ为非零整数，n∈N*），求λ的值，使得对任意n∈N*，b n+1＞b n恒成立．【答案】解：（1）∵S n+1+S n-1=2S n+1（n≥2，n∈N*），∴S n+1-S n-（S n-S n-1）=1，∴a n+1-a n=1，且a2-a1=1．∴数列{a n}是等差数列，∴a n=2+（n-1）×1=n+1．（2）b n=4n+（-1）n-1•λ•2a n=4n+（-1）n-1•λ•2n+1，要使得对任意n∈N*，b n+1＞b n恒成立，只须b n+1-b n=4n+1-4n+（-1）n•λ•2n+2-（-1）n-1•λ•2n+1＞0恒成立．化为（-1）n-1λ＜2n-1．（i）当n为奇数时，λ＜2n-1恒成立，当且仅当n=1时，2n-1有最小值1，∴λ＜1．（ii）当n为偶数时，λ＞-2n-1恒成立，当且仅当n=2时，-2n-1有最大值1，∴λ＞-2．综上可得：-2＜λ＜1，又λ为非0整数，则λ=-1．因此存在非0整数λ=-1，使得对任意n∈N*，b n+1＞b n恒成立．【解析】（1）由S n+1+S n-1=2S n+1（n≥2，n∈N*），变形为S n+1-S n-（S n-S n-1）=1，利用等差数列的通项公式即可得出．（2）b n=4n+（-1）n-1•λ•2a n=4n+（-1）n-1•λ•2n+1，要使得对任意n∈N*，b n+1＞b n 恒成立，只须b n+1-b n＞0恒成立．化为（-1）n-1λ＜2n-1．对n分为奇数偶数讨论即可得出．本题考查了递推式、等差数列的通项公式、数列的单调性，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=，F是右焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，BF⊥x轴，|BF|=．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：x=ty+λ是椭圆C的一条切线，点M（-，y1），点N（，y2）是切线l上两个点，证明：当t、λ变化时，以M N为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标．【答案】解：（1）由题意设椭圆方程为＞＞①焦点F（c，0），因为②，将点B（c，）代入方程①得③由②③结合a2=b2+c2得：，．故所求椭圆方程为．（2）由得（2+t2）y2+2tλy+λ2-2=0．∵l为切线，∴△=（2tλ）2-4（t2+2）（λ2-2）=0，即t2-λ2+2=0①设圆与x轴的交点为T（x0，0），则，，，，∵MN为圆的直径，∴②因为，，所以，代入②及①得=，要使上式为零，当且仅当，解得x0=±1，所以T为定点，故动圆过x轴上的定点是（-1，0）与（1，0），即两个焦点．【解析】（1）根据已知条件列出关于a，b，c的方程组求解即可；（2）根据条件将直线方程x=ty+λ代入椭圆的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，利用韦达定理得到交点M，N纵坐标满足的关系，然后根据题意写出以MN为直径的圆的方程，则求出圆与x轴交点的坐标，只要是常数即可．本题综合考查了椭圆的标准方程的求法以及直线与圆、椭圆的位置关系等问题的处理方法，属于综合题，有一定难度．21.设函数f（x）=，g（x）=ln（x+1）．（1）求函数H1（x）=f（x）-g（x）的最大值；（2）记H2（x）=g（x）-bx，是否存在实数b，使H2（x）＜0在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：-1＜-lnn≤（n=1，2，…）．【答案】解：（1）函数H（x）的定义域为（-1，+∞），又，令H1 （x）=0得x=0．当x∈（-1，0）时，H1 （x）＞0，H1（x）递增；当x∈（0，+∞）时，H1 （x）＜0，H1（x）递减．所以函数H1（x）的最大值为H1（0）=0．（2）由已知得：，①若b≥1，则x∈[0，+∞）时，H2 （x）≤0，所以H2（x）=g（x）-bx在[0，+∞）上为减函数，所以H2（x）=ln（1+x）-bx＜H2（0）=0在[0，+∞）恒成立．②若b≤0，则x∈[0，+∞）时，＞，所以H2（x）=g（x）-bx在[0，+∞）上为增函数，所以H2（x）=ln（1+x）-bx＞H（0）=0，不能使H2（x）＜0在[0，+∞）上恒成立．③若0＜b＜1，则由H2（x）=0得x=，当x∈[，）时，H2 （x）＞0，所以H2（x）在[0，）上为增函数，所以H2（x）=ln（1+x）-bx＞H2（0）=0，所以不能使H2（x）＜0在[0，+∞）上恒成立．综上所述，b的取值范围是[1，+∞）．（3）由以上得：＜＜＞．取x=得：＜＜．令，则，当n≥2时，＜=-＜．因此＜＜，即．又lnn=，故xn=-ln（1+）=＞＞=-1+＞．综上所述，不等式-1＜-lnn≤（n=1，2，…）成立．【解析】（1）利用导数先研究函数的单调性，然后根据单调性求出函数的最值；（2）先对函数H2（x）求导数，然后研究该函数在（0，+∞）上的单调性，求其最大值，用b表示，该最大值满足小于零即可，解不等式组获得b的范围；（3）结合（2）的结论可先构造函数，然后利用函数的单调性构造不等式，使问题获得证明．注意在化简求和时的方法．本题考查了利用函数的单调性研究函数的最值问题，以及不等式恒成立问题的解题思路，同时第三问还涉及到放缩法的应用．。

广东省湛江市农垦中学2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2} D．{0，1}2．（5分）已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z=（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i3．（5分）若变量x，y满足约束条件且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m+n=（）A．6 B．﹣6 C．0 D．14．（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等5．（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成90°夹角的是（）A．（﹣1，1，0）B．（1，﹣1，1）C．（0，﹣1，1）D．（﹣1，0，1）6．（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，107．（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定8．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=30.3•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=（）•f（）．则a，b， c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b二、填空题：本大题共5小题．考生作答6小题．每小题5分，满分25分．（一）必做题（9～13题）9．（5分）不等式|x﹣3|+|x+2|≥5的解集为．10．（5分）曲线y=e﹣5x在点（0，1）处的切线方程为．11．（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，则这3个数的平均数是6的概率为．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=3b，则=．13．（5分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12+a8a13=3e5，则lna1+lna2+…+lna20=．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρ=2cosθ和ρ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点所在的直线方程为．（几何证明选讲选做题）15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=3AE，AC与DE交于点F，则=．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，（1）求A的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）求f（x）在区间（0，π）内的最值．17．（12分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30] 3 0.12（30，35] 5 0.20（35，40] 8 0.32（40，45] n1f1（45，50] n2f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）求在这25名工人中任意抽取2人，且恰有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率；（3）求在该厂大量的工人中任取4人，至多有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．18．（14分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是BC1与B1C的交点．（1）求直线AO与直线C1D1所成角的余弦值；（2）求直线AO与平面BCC1B1所成角的正弦值；（2）求二面角D﹣AC﹣B1的正切值．19．（14分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且S n满足S n2﹣（n2+n﹣3）S n﹣3（n2+n）=0，n∈N*①（1）求a1的值；（2）对①进行因式分解并求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有++…+＜②20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4（+1）．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点．（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1•k2=1．21．（14分）已知函数f（x）=x﹣+a（2﹣lnx）（a∈R），讨论函数f（x）的单调性．广东省湛江市农垦中学2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2} D．{0，1}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由M与N，求出两集合的交集即可．解答：解：∵M={﹣1，0，1}，N={0，1，2}，∴M∩N={0，1}．故选：D．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知复数z满足（3﹣4i）z=25，则z=（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．解答：解：∵满足（3﹣4i）z=25，则z===3+4i，故选：D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）若变量x，y满足约束条件且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m+n=（）A．6 B．﹣6 C．0 D．1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点，B，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3，则m+n=3+（﹣3）=0，故选：C．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．4．（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论．解答：解：当0＜k＜9，则0＜9﹣k＜9，16＜25﹣k＜25，即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25，b2=9﹣k，c2=34﹣k，曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25﹣k，b2=9，c2=34﹣k，即两个双曲线的焦距相等，故选：A．点评：本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键．5．（5分）已知向量=（1，0，﹣1），则下列向量中与成90°夹角的是（）A．（﹣1，1，0）B．（1，﹣1，1）C．（0，﹣1，1）D．（﹣1，0，1）考点：空间向量的夹角与距离求解公式．专题：空间向量及应用．分析：利用向量的数量积和向量垂直的性质求解．解答：解：∵向量=（1，0，﹣1），（1，0，﹣1）•（﹣1，1，0）=﹣1，（1，0，﹣1）•（1，﹣1，1）=0，（1，0，﹣1）•（0，﹣1，1）=﹣1，（1，0，﹣1）•（﹣1，0，1）=﹣2，∴与成90°夹角的是（1，﹣1，1）．故选：B．点评：本题考查与成90°夹角的向量的求法，是基础题，解题时要认真审题．6．（5分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据图1可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图2求得样本中抽取的高中学生近视人数．解答：解：由图1知：总体个数为3500+2000+4500=10000，∴样本容量=10000×2%=200，分层抽样抽取的比例为，∴高中生抽取的学生数为40，∴抽取的高中生近视人数为40×50%=20．故选：A．点评：本题借助图表考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的特征是关键．7．（5分）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（）A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得，∴l1与l4的位置关系不确定．解答：解：∵l1⊥l2，l2⊥l3，∴l1与l3的位置关系不确定，又l4⊥l3，∴l1与l4的位置关系不确定．故A、B、C错误．故选：D．点评：本题考查了空间直线的垂直关系的判定，考查了学生的空间想象能力，在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面．8．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若a=30.3•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=（）•f（）．则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b考点：函数奇偶性的性质；简单复合函数的导数；函数的单调性与导数的关系．专题：综合题；压轴题．分析：由已知式子（x）+xf′（x），可以联想到：（uv）′=u′v+uv′，从而可设h（x）=xf（x），有：h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，所以利用h（x）的单调性问题很容易解决．解答：解：构造函数h（x）=xf（x），由函数y=f（x）以及函数y=x是R上的奇函数可得h（x）=xf（x）是R上的偶函数，又当x∈（﹣∞，0）时h′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，所以函数h（x）在x∈（﹣∞，0）时的单调性为单调递减函数；所以h（x）在x∈（0，+∞）时的单调性为单调递增函数．又因为函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，从而h（0）=0因为=﹣2，所以f（）=f（﹣2）=﹣f（2），由0＜logπ3＜1＜30.3＜30.5＜2所以h（logπ3）＜h（30.3）＜h（2）=f（），即：b＜a＜c故选B．点评：本题考查的考点与方法有：1）所有的基本函数的奇偶性；2）抽象问题具体化的思想方法，构造函数的思想；3）导数的运算法则：（uv）′=u′v+uv′；4）指对数函数的图象；5）奇偶函数在对称区间上的单调性：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反；5）奇偶函数的性质：奇×奇=偶；偶×偶=偶；奇×偶=奇（同号得正、异号得负）；奇+奇=奇；偶+偶=偶．本题结合已知构造出h（x）是正确解答的关键所在．二、填空题：本大题共5小题．考生作答6小题．每小题5分，满分25分．（一）必做题（9～13题）9．（5分）不等式|x﹣3|+|x+2|≥5的解集为R．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：由绝对值的意义可得|x﹣3|+|x+2|的最小值为5，可得不等式|x﹣3|+|x+2|≥5恒成立，从而得出结论．解答：解：由于|x﹣3|+|x+2|表示数轴上的x对应点到3、﹣2对应点的距离之和，它的最小值为5，可得不等式|x﹣3|+|x+2|≥5恒成立，故答案为：R．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．10．（5分）曲线y=e﹣5x在点（0，1）处的切线方程为5x+y﹣1=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求出导函数，求出切线斜率，利用点斜式可得切线方程．解答：解：由于y=e﹣5x，可得y′=﹣5e﹣x，令x=0，可得y′=﹣5，∴曲线y=e﹣5x在点（0，1）处的切线方程为y﹣1=﹣5x，即5x+y﹣1=0故答案为：5x+y﹣1=0．点评：本题考查导数的几何意义：曲线在某点处的切线的斜率，考查学生的计算能力，属于基础题．11．（5分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数，则这3个数的平均数是6的概率为．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；众数、中位数、平均数．专题：计算题；概率与统计．分析：由题意求出所有的可能取法，并列举出符合条件的取法即可．解答：解：从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不同的数共有=120种可能；这3个数的平均数是6的可能有：（1，8，9），（2，7，9），（3，6，9），（3，7，8），（4，5，9），（4，6，8），（5，6，7）7种；则这3个数的平均数是6的概率为．故答案为：．点评：本题考查了列举法求概率的步骤及方法，属于基础题．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=3b，则=3．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，将结果利用正弦定理化简即可求出所求式子的值．解答：解：已知等式bcosC+ccosB=3b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=3sinB，即sin（B+C）=3sinB，整理得：sinA=3sinB，再利用正弦定理化简得：a=3b，则=3．故答案为：3点评：此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．13．（5分）若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12+a8a13=3e5，则lna1+lna2+…+lna20=50．考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5，然后利用对数的运算性质化简后得答案．解答：解：∵数列{a n}为等比数列，且a10a11+a9a12+a8a13=3e5，∴3a10a11=3e5，∴a10a11=e5，∴lna1+lna2+…lna20=ln（a1a2…a20）=ln（a10a11）10=ln（e5）10=lne50=50．故答案为：50．点评：本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．（5分）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρ=2cosθ和ρ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点所在的直线方程为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：曲线C1和C2的极坐标方程：ρ=2cosθ和ρ=1，分别化为：x2+y2=2x，x2+y2=1，两式相减可得：2x=1，即可．解答：解：曲线C1和C2的极坐标方程：ρ=2cosθ和ρ=1，分别化为：x2+y2=2x，x2+y2=1，两式相减可得：2x=1，因此曲线C1和C2交点所在的直线方程为：2x=1．故答案为：x=．点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、两个圆的交点所在直线的方程，属于基础题．（几何证明选讲选做题）15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=3AE，AC与DE交于点F，则=16．考点：三角形的面积公式．专题：立体几何．分析：由于EB=3AE，AB∥CD．可得，△CDF∽△AEF．再利用相似三角形的性质即可得出．解答：解：∵EB=3AE，AB∥CD．∴，△CDF∽△AEF．∴==16．故答案为：16．点评：本题考查了平行四边形与相似三角形的性质，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=，（1）求A的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）求f（x）在区间（0，π）内的最值．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据条件f（）=，代入即可求A的值；（2）根据三角函数的单调性的性质即可求f（x）的单调区间；（3）结合三角函数的图象和性质，即可求f（x）在区间（0，π）内的最值．解答：解：（1）依题意有，故．（2）∵，∴f（x）=sin（x+），x∈R，由，即f（x）的单调增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．减区间：，即f（x）的单调减区间为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．（3）∵0＜x＜π，∴＜x+＜，当，即时，取得最大值为，没有最小值．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练张函数单调性和最值的求解．17．（12分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30] 3 0.12（30，35] 5 0.20（35，40] 8 0.32（40，45] n1f1（45，50] n2f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）求在这25名工人中任意抽取2人，且恰有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率；（3）求在该厂大量的工人中任取4人，至多有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：计算题；概率与统计．分析：（1）由题中给出的数据求出n1，n2，f1和f2的值；（2）利用古典概型概率公式求解；（3）利用古典概型概率公式求解．解答：解：（1）n1=7，n2=2，f1=0.28，f2=0.08．（2）25名工人中，日加工零件数落在区间（30，35]的人数为5人，设在这25名工人中任意抽取2人，且恰有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的事件为A，则．（3）由（1）知，任取一人，日加工零件数落在区间（30，35]的概率为，设该厂任取4人，没有人日加工零件数落在区间（30，35]的事件为B，恰有1人人日加工零件数落在区间（30，35]的事件为C，则，，故至多有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率为答：在该厂任取4人，至多有1人的日加工零件数落在区间（30，35]的概率为．点评：本题考查了频率分布表的作法及古典概型的概率公式应用，属于基础题．18．（14分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是BC1与B1C的交点．（1）求直线AO与直线C1D1所成角的余弦值；（2）求直线AO与平面BCC1B1所成角的正弦值；（2）求二面角D﹣AC﹣B1的正切值．考点：用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：（1）设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，以D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AO与直线C1D1所成角的余弦值．（2）求出平面BCC1B1的法向量和，利用向量法能求出直线AO与平面BCC1B1所成角的正弦值．（3）求出平面ACB1的法向量和平面ACD的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣AC﹣B1的正切值．解答：解：（1）设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，以D为原点，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），O（1，2，1），C1（0，2，2），D1（0，0，2），=（﹣1，2，1），=（0，﹣2，0），|cos＜＞|=||=．∴直线AO与直线C1D1所成角的余弦值为．（4分）（2）∵平面BCC1B1的法向量，=（﹣1，2，1），设直线AO与平面BCC1B1所成角为θ，sinθ=|cos＜＞|=||=．∴直线AO与平面BCC1B1所成角的正弦值．（8分）（3）A（2，0，0），C（0，2，0），B1（2，2，2），=（﹣2，2，0），=（0，2，2），设平面ACB1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，﹣1），又平面ACD的法向量=（0，0，1），设二面角D﹣AC﹣B1的平面角为α，α为钝角，∴cosα=﹣|cos＜＞|=﹣||=﹣，∴tan，∴二面角D﹣AC﹣B1的正切值为．（14分）点评：本题考查直线与直线所成角的余弦值的求法，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查二面角的正切值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．19．（14分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且S n满足S n2﹣（n2+n﹣3）S n﹣3（n2+n）=0，n∈N*①（1）求a1的值；（2）对①进行因式分解并求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有++…+＜②考点：数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：（1）直接在数列递推式中取n=1求得a1的值；（2）由数列递推式因式分解求得S n，然后由a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）求数列{a n}的通项公式；（3）把{a n}的通项公式代入，整理后列项，利用裂项相消法求和后放缩证明数列不等式．解答：（1）解：在S n2﹣（n2+n﹣3）S n﹣3（n2+n）=0中，取n=1，得，解得：a1=2或a1=﹣3．∵数列{a n}的各项均为正数，∴a1=2；（2）解：由S n2﹣（n2+n﹣3）S n﹣3（n2+n）=0，得，即．当n=1时，a1=2．当n≥2时，．验证n=1时上式成立，∴a n=2n；（3）证明：由于故++…+＜，即++…+＜．点评：本题考查了数列递推式，考查了由数列的和求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的和，考查了放缩法证明数列不等式，是压轴题．20．（14分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4（+1）．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点．（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1•k2=1．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意知，确定椭圆离心率，利用椭圆的定义得到又2a+2c=4（+1），解方程组即可求得椭圆的方程，等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点可求得该双曲线的方程；（2）设点P（x0，y0），根据斜率公式求得k1、k2，把点P（x0，y0）在双曲线上，即可证明结果．解答：解：（1）设椭圆的半焦距为c，由题意知：=，2a+2c=4（+1），所以a=2，c=2，又a2=b2+c2，因此b=2．故椭圆的标准方程为．（4分）由题意设等轴双曲线的标准方程为（m＞0），因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m=2，因此双曲线的标准方程为=1．（8分）（2）证明：P（x0，y0），则k1=，k2=．因为点P在双曲线x2﹣y2=4上，所以=4．因此k1k2=•=1．，即k1k2=1．（14分）点评：本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．21．（14分）已知函数f（x）=x﹣+a（2﹣lnx）（a∈R），讨论函数f（x）的单调性．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：求出函数f（x）的导函数，对a进行分类，讨论f′（x）的正负性，从而得出函数f（x）单调区间．解答：解：f（x）的定义域为（0，+∞），，（1）当a≤0时，，f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；（2）当a＞0时，设g（x）=x2﹣ax+2（x＞0），则二次方程g（x）=0的判别式△=a2﹣8①当△=a2﹣8≤0，即a∈[0，2]时，g（x）=x2﹣ax+2≥0，f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；②当△=a2﹣8＞0，即a∈（2，+∞）时，二次方程g（x）=0有两个不相同的实数根，记为，且x2＞x1＞0结合函数g（x）的图象可知，f（x）在区间（0，x1）和（x2，+∞）上是增函数，在区间（x1，x2）上是减函数．综上得：当a∈（﹣∞，2]时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a∈（2，+∞）时，f（x）在（0，）和（，+∞）上单调递增，在（，）上单调递减．点评：本题考查了分类讨论思想，二次方程根的问题，等价转化思想，属于基础题．。

广东省湛江农垦实验中学2015届高三上学期第一次月考数学理试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋂= A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1}2、已知复数z 满足(34)25,i z -=则z = A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+3、若变量,x y 满足约束条件121y x x y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为m 和n ，则m n +=A ．6 B.-6 C.0 D.14、若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等C. 实半轴长相等D.焦距相等5、已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成90︒夹角的是A ．（-1,1,0）B. （1,-1,1）C. （0,-1,1）D. （-1,0,1）6、已知某地区中小学学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了解该地区中下学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A. 100，10B. 200,10C. 100，20D. 200，20年级7、若空间中四条两两不同的直线1234,,,,l l l l 满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥⊥则下面结论一定正确的是A ．14l l ⊥B ．14//l lC ．14,l l 既不垂直也不平行D ．14,l l 的位置关系不确定 8、已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数且当(),0x ∈-∞时，不等式()()'0f x xf x +<成立，若()0.30.333a f =⋅，()()log 3log 3b f ππ=⋅，3311log log 99c f ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 则,,a b c 的大小关系是A.c b a >>B.c a b >>C.a b c >>D.a c b >> 二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9、不等式325x x -++≥的解集为 10、曲线5x y e -=在点(0,1)处的切线方程为11、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取3个不同的数，则这3个数的平均数是6的概率为 12、在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知cos cos 3b C c B b +=， 则ab= 13、若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119128133a a a a a a e ++=， 则1220ln ln ln a a a +++=（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2cos ρθ=和1ρ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 交点所在的直线方程为_________15、（几何证明选讲选做题）如图3,在平行四边形ABCD 中， 点E 在AB 上且3EB AE =，AC 与DE 交于点F ， 则=∆∆的面积的面积AEF CDFCAFD三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16、（本小题满分12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且53122f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， （1）求A 的值；（2）求()f x 的单调区间；（3）求()f x 在区间()0,π内的最值.17、（本小题满分12分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下： 30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值；（2）求在这25名工人中任意抽取2人，且恰有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率；（3）求在该厂大量的工人中任取4人，至多有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率. 18、（本小题满分14分）如图4，在正方体1111ABCD A BC D -中，O 是1BC 与1B C 的交点 （1）求直线AO 与直线11C D 所成角的余弦值； （2）求直线AO 与平面11BCC B 所成角的正弦值； （2）求二面角1D AC B --的正切值.1A19、（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足()()222330,n n S n n S n n n N *-+--+=∈ ①（1）求1a 的值；（2）对①进行因式分解并求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有()()()112211111113n n a a a a a a +++<+++②20、（本小题满分14分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F 1、F 2为顶点的三角形的周长为4(2＋1)．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点．(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，证明：k 1·k 2＝1.21、（本小题满分14分） 已知函数()()()22ln f x x a x a R x=-+-∈，讨论函数()f x 的单调性.参考答案DBCDBDDB9.R 10.51y x =-+ 11.7120 12.3 13.50 14.12x = 15.16 16、解：（1）依题意有5523sin sin 12124322f A A A ππππ⎛⎫⎛⎫=+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A =3分）（2）增区间：322,2224244k x k k x k πππππππππ-≤+≤+-≤≤+， 即()f x 的单调增区间为()32244k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，（6分） 减区间：3522,2224244k x k k x k πππππππππ+≤+≤++≤≤+， 即()f x 的单调减区间为()52244+k k k Z ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，（9分） （3）50,,444x x ππππ<<∴<+<∴当42x ππ+=，即4=x π时，()f x.（12分）注意：单调区间没有写成区间形式每个扣1分；没有写k Z ∈扣一分；求出最小值，扣1分 17、解：（1）12127,2,0.28,0.08n n f f ==== （3分）(全对给3分，部分对给1分) （2）25名工人中，日加工零件数落在区间（30,35］的人数为5人，设在这25名工人中任意抽取2人，且恰有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的事件为A ，则()1152022513C C P A C ⋅==（6分） （3）由（1）知，任取一人，日加工零件数落在区间（30,35］的概率为15， 设该厂任取4人，没有人日加工零件数落在区间（30,35］的事件为B ，恰有1人人日加工零件数落在区间（30,35］的事件为C ，则()4414256155625=P B ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（8分），()3141425655625=C =P C ⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭，（10分） 故至多有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率为()()256256512625625625P B P C +=+= 答：在该厂任取4人，至多有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率为512625（12分）18、解：（1）3（4分）（2）38分）（3）14分） 注意：本题用传统方法和向量方法皆可，老师们酌情设置给分点. 19、解：（1）12a = （3分）（2）2n a n =（9分） （3）由于()()()()1111111221212122121n n a a n n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪++-+-+⎝⎭故②11111111162352121663++n n ⎛⎫<-++-<= ⎪-+⎝⎭左边，即②成立（14分） 20、解：(1)设椭圆的半焦距为c ，由题意知：c a ＝22，2a ＋2c ＝4(2＋1)，所以a ＝22，c ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，因此b ＝2. 故椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.（4分）由题意设等轴双曲线的标准方程为x 2m 2－y 2m 2＝1(m >0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m ＝2， 因此双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1.（8分）(2)证明：P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2.因为点P 在双曲线x 2－y 2＝4上，所以x 20－y 20＝4. 因此k 1k 2＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1，即k 1k 2＝1.（14分）21、解：()f x 的定义域为()0,+∞，()2'22x ax f x x-+=（4分） （1）当0a ≤时，()2'220x ax f x x -+=>，()f x 在区间()0,+∞上是增函数；（8分）（2）当0a >时，设()()220g x x ax x =-+>，则二次方程()0g x =的判别式28a ∆=-i ）当280a ∆=-≤时，()220g x x ax =-+≥，()f x 在区间()0,+∞上是增函数；ii ）当280a ∆=->时，二次方程()0g x =有两个不相同的实数根，记为12x x ==，结合函数()g x 的图像可知，()f x 在区间()10,x 和()2,x +∞ 上是增函数，在区间()12,x x 上是减函数.（14分） （也可以用韦达定理说明12120,20x x a x x +=>⋅=>，故12,x x 均为正数）。

广东省湛江市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填入下面答题卡中．1．（5分）抛物线x2=4y的准线方程是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．y=1 D．y=﹣12．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A=45°，B=60°，，则a等于（）A．B．C．D．13．（5分）不等式x2﹣3x+2＜0的解集是（）A．{x|x＜﹣2或x＞﹣1} B．{x|x＜1或x＞2} C．{x|﹣2＜x＜﹣1} D．{x|1＜x＜2}4．（5分）图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是（）A．x+y﹣1＜0 B．x+y﹣1＞0 C．x﹣y﹣1＜0 D．x﹣y﹣1＞05．（5分）“x＞2”是“x2＞4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既充分又必要条件D．既不充分又不必要条件6．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a8+a9=360，则数列{a n}的前9项和为（）A．180 B．405 C．810 D．16207．（5分）在等比数列{a n}中，已知首项为，末项为8，公比为2，则此等比数列的项数是（）A．3 B．4 C．5 D．68．（5分）函数f（x）=（x﹣2）e x的单调递增区间是（）A．（﹣∞，1）B．（ 0，2 ）C．（1，+∞）D．（2，+∞）9．（5分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知bcosB=acosA，则△ABC 的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形10．（5分）若实数x，y满足，若z=x+2y，则z的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．（5分）命题“∃x∈R，x2+x﹣2≤0”的否定是．12．（5分）椭圆+=1的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若|PF1|=2，则|PF2|=．13．（5分）已知f（x）=ax3+3x2+1且f′（﹣1）=3，则实数a的值等于．14．（5分）若x＞4，函数y=x+，当x=时，函数有最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m）（x﹣m﹣1）≥0，若￢p是q充分而不必要条件，求实数m的取值范围．16．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab．（1）求角C的值；（2）若b=2，△ABC的面积，求a的值．17．（14分）用长为18m的钢条围成一个长方体的框架，已知长方体的长与宽之比为2：1．（1）记长方体的宽为xm，请写出长方体的高h关于x的表达式；（2）当该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？18．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）中，长轴长为2，离心率等于，（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线l交椭圆于A、B两点，且AB的中点M为（，），求直线l的方程．19．（14分）已知数列{a n}为等差数列，a5=5，d=1；数列{b n}为等比数列，b4=16，q=2．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式a n、b n；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和为T n．20．（14分）已知函数f（x）=ax+2，g（x）=a2x2﹣lnx+2，其中a∈R，x＞0．（1）若a=2时，求曲线g（x）在点（1，g（1））处的切线方程；（2）是否存在负数a，使f（x）≤g（x）对一切正数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．广东省湛江市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填入下面答题卡中．1．（5分）抛物线x2=4y的准线方程是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．y=1 D．y=﹣1考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=4，再直接代入即可求出其准线方程．解答：解：因为抛物线的标准方程为：x2=4y，焦点在y轴上；所以：2p=4，即p=2，所以：=1，∴准线方程 y=﹣1，故选D．点评：本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．2．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A=45°，B=60°，，则a等于（）A．B．C．D．1考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由sinA，sinB及b的值，利用正弦定理即可求出a的值．解答：解：∵A=45°，B=60°，b=，∴由正弦定理=，得：a===．故选A点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．3．（5分）不等式x2﹣3x+2＜0的解集是（）A．{x|x＜﹣2或x＞﹣1} B．{x|x＜1或x＞2} C．{x|﹣2＜x＜﹣1} D．{x|1＜x＜2}考点：一元二次不等式的解法．专题：解三角形；不等式的解法及应用．分析：根据一元二次不等式的解法解不等式即可．解答：解：不等式对应的方程为x2﹣3x+2=0，即（x﹣2）（x﹣1）=0，解得方程的根为x=2或x=1，∴不等式x2﹣3x+2＜0的解为1＜x＜2，即不等式的解集为{x|1＜x＜2}．故选：D．点评：本题主要考查一元二次不等式解法，比较基础，要求熟练掌握三个二次之间的关系．4．（5分）图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式是（）A．x+y﹣1＜0 B．x+y﹣1＞0 C．x﹣y﹣1＜0 D．x﹣y﹣1＞0考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：由图形中所给的数据求边界所对应的方程，代入原点坐标，判断原点对应的符号，由图形的位置及二元一次不等式与区域的关系判断出正确选项．解答：解：由图知过两点（1，0）与（0，1）两点的直线方程为x+y﹣1=0，当x=0，y=0时，x+y﹣1＜0而原点不在阴影表示的区域内故图中阴影部分表示的平面区域满足的不等式x+y﹣1＞0故选B点评：本题考查二元一次不等式与区域，解题的关键是确定边界对应的直线方程，以及边界是虚线还是实线，区域与直线的相对位置，熟练掌握区域与直线的位置关系与相应不等式的对应关系是解本题的知识保证．本题考查了数形结合的思想，推理判断的能力．5．（5分）“x＞2”是“x2＞4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既充分又必要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：由x2＞4得x＞2或x＜﹣2，则“x＞2”是“x2＞4”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．6．（5分）在等差数列{a n}中，若a1+a2+a8+a9=360，则数列{a n}的前9项和为（）A．180 B．405 C．810 D．1620考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意和等差数列的性质可得a5=90，代入S9=9a5，计算可得．解答：解：由等差数列的性质可得a1+a9=a2+a8=2a5，∵a1+a2+a8+a9=360，∴4a5=360，解得a5=90，∴数列{a n}的前9项和S9==9a5=810，故选：C．点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．7．（5分）在等比数列{a n}中，已知首项为，末项为8，公比为2，则此等比数列的项数是（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的通项公式求解．解答：解：在等比数列{a n}中，∵首项为，末项为8，公比为2，∴，解得n=5．故选：C．点评：本题考查等比数列的项数的求法，是基础题，解题时要注意等比数列的性质的合理运用．8．（5分）函数f（x）=（x﹣2）e x的单调递增区间是（）A．（﹣∞，1）B．（ 0，2 ）C．（1，+∞）D．（2，+∞）考点：复合函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：求出原函数的导函数，直接由导函数大于0求得原函数的单调期间．解答：解：∵f（x）=（x﹣2）e x，∴f′（x）=e x+（x﹣2）e x=e x（x﹣1），由f′（x）=e x（x﹣1）＞0，得x＞1．∴函数f（x）=（x﹣2）e x的单调递增区间是（1，+∞），故选：C．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导函数的符号与原函数单调性间的关系，是基础题．9．（5分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知bcosB=acosA，则△ABC 的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用正弦定理化简acosA=bcosB，通过两角差的正弦函数，求出A与B的关系，得到三角形的形状．解答：解：在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c，若acosA=bcosB，所以sinAcosA=sinBcosB，所以2A=2B或2A=π﹣2B，所以A=B或A+B=90°．所以三角形是等腰三角形或直角三角形．故选：D．点评：本题主要考查了考查正弦定理在三角形中的应用，三角形的形状的判断，考查计算能力，属于基础题．10．（5分）若实数x，y满足，若z=x+2y，则z的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点A（0，1）时，直线y=的截距最大，此时z最大，代入目标函数得z=2．故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．（5分）命题“∃x∈R，x2+x﹣2≤0”的否定是∀x∈R，x2+x﹣2＞0．考点：命题的否定．专题：阅读型．分析：根据命题“∃x∈R，x2+x﹣2≤0”是特称命题，其否定为全称命题，即：∀∀x∈R，x2+x﹣2＞0．．从而得到答案．解答：解：∵命题“∃x∈R，x2+x﹣2≤0”是特称命题∴否定命题为：∀x∈R，x2+x﹣2＞0故答案为：∀x∈R，x2+x﹣2＞0．点评：本题主要考查全称命题与特称命题的转化．属基础题．12．（5分）椭圆+=1的焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，若|PF1|=2，则|PF2|=6．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用椭圆得定义|PF1|+|PF2|=2a列式求解即可．解答：解：因为P为椭圆上一点，F1，F2，为椭圆的焦点，所以|PF1|+|PF2|=2a=8，又|PF1|=2，则|PF2|=8﹣|PF1|=6．所以答案应为：6点评：本题主要考查了椭圆定义的应用，属于简单题型．13．（5分）已知f（x）=ax3+3x2+1且f′（﹣1）=3，则实数a的值等于3．考点：导数的运算．专题：计算题．分析：由求导公式和法则求出f′（x），由f′（﹣1）=3列出方程求出a的值．解答：解：由f（x）=ax3+3x2+1得，f′（x）=3ax2+6x，因为f′（﹣1）=3，所以3a﹣6=3，解得a=3，故答案为：3．点评：本题考查基本初等函数的求导公式和法则，熟练掌握公式是解题的关键．14．（5分）若x＞4，函数y=x+，当x=5时，函数有最小值为6．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得x﹣4＞0，变形并由基本不等式可得y=x+=x﹣4++4≥2+4=6，由等号成立的条件可得x值．解答：解：∵x＞4，∴x﹣4＞0，∴y=x+=x﹣4++4≥2+4=6，当且仅当x﹣4=即x=5时取等号，故答案为：5；6．点评：本题考查基本不等式，变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（12分）已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m）（x﹣m﹣1）≥0，若￢p是q充分而不必要条件，求实数m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行求解即可．解答：解：由|x﹣3|≤2得1≤x≤5，即p：1≤x≤5，￢p：x＞5或x＜1，由（x﹣m）（x﹣m﹣1）≥0得x≥m+1或x≤m，若￢p是q充分而不必要条件，则满足，即，解得1≤m≤4．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式关系是解决本题的关键．16．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab．（1）求角C的值；（2）若b=2，△ABC的面积，求a的值．考点：余弦定理；三角形的面积公式．专题：解三角形．分析：（1）利用余弦定理，可求角C的值；（2）利用三角形的面积公式，可求a的值．解答：解：（1）∵c2=a2+b2﹣ab，∴cosC==，∵0°＜C＜180°，∴C=60°；（2）∵b=2，△ABC的面积，∴=，解得a=3．点评：本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，正确运用公式是关键．17．（14分）用长为18m的钢条围成一个长方体的框架，已知长方体的长与宽之比为2：1．（1）记长方体的宽为xm，请写出长方体的高h关于x的表达式；（2）当该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由长方体的宽和长，求出高；（2）求出它的体积以及定义域，利用导数，求出体积函数y的最大值以及此时对应的宽是多少．解答：解：（1）∵长方体的宽为x，长为2x，∴高h=（18﹣4x﹣4×2x）=（9﹣6x）（0＜x＜）；（2）长方体的体积为y=2x•x•（9﹣6x）=﹣6x3+9x2，定义域是（0，）；∵y=﹣6x3+9x2，（其中0＜x＜），求导数，得y′=﹣18x2+18x，令y′=0，解得x=0，或x=1；∴当0＜x＜1时，y′＞0，函数y是增函数，当1＜x＜时，y′＜0，函数y是减函数；∴当x=1时，函数y取得最大值，是y max=﹣6×13+9×12=3．即长为2，宽为1，高为时，长方体的体积最大，最大体积是3．点评：本题考查了利用导数判定函数的单调性与求最值的问题，解题时应根据题意求出函数的解析式，再利用导数求函数的最值，是中档题．18．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）中，长轴长为2，离心率等于，（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线l交椭圆于A、B两点，且AB的中点M为（，），求直线l的方程．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用椭圆C：+=1（a＞b＞0）中，长轴长为2，离心率等于，求出a，c，可得b，即可求椭圆C的标准方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），两点在椭圆上，可得x12+2y12=2，x22+2y22=2，两式相减，再利用直线l的斜率公式，中点坐标公式，即可得出．解答：解：（1）因为椭圆C：+=1（a＞b＞0）中，长轴长为2，离心率等于，所以2a=2，=，所以a=，c=1，所以b=1，所以椭圆C的标准方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为点M（，）是线段AB的中点，且M在椭圆内．所以x1+x2=1，y1+y2=1，因为此两点在椭圆上，所以x12+2y12=2，x22+2y22=2．所以（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，所以k==﹣．所以直线l的方程为y﹣=﹣（x﹣），化为2x+4y﹣3=0．点评：本题考查直线与椭圆的综合，考查弦中点问题，正确运用点差法解决中点弦问题是解题的关键，属于中档题．19．（14分）已知数列{a n}为等差数列，a5=5，d=1；数列{b n}为等比数列，b4=16，q=2．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式a n、b n；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和为T n．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件利用等差数列通项公式，求出首项，由此能求出a n=n；由已知条件利用等比数列通项公式，求出首项，由此能求出b n=2n．（2）由c n=a n+b n=n+2n，利用分组求和法能求出数列{c n}的前n项和T n．解答：解：（1）∵数列{a n}为等差数列，a5=5，d=1，∴a1+4=5，解得a1=1，∴a n=1+（n﹣1）×1=n．∵数列{b n}为等比数列，b4=16，q=2，∴=16，解得b1=2，∴．（2）∵c n=a n+b n=n+2n，∴T n=（1+2+3+…+n）+（2+22+23+…+2n）==+2n+1﹣2．点评：本题主要考查数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．20．（14分）已知函数f（x）=ax+2，g（x）=a2x2﹣lnx+2，其中a∈R，x＞0．（1）若a=2时，求曲线g（x）在点（1，g（1））处的切线方程；（2）是否存在负数a，使f（x）≤g（x）对一切正数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）先求函数g（x）的导函数g′（x），再求g′（1）即得到线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线斜率，最后由点斜式写出切线方程；（2）构造新函数h（x）=f（x）﹣g（x），f（x）≤g（x）对一切正数x都成立，即h（x）≤0对一切正数x都成立，即h（x）的最大值小于或等于零，从而将问题转化为求函数h（x）的最大值问题，利用导数求新函数的最值即可．解答：解：（1）由题意可知：当a=2时，g（x）=4x2﹣lnx+2，则g′（x）=8x﹣，即有曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线斜率k=g'（1）=7，又g（1）=6，则有曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线的方程为y﹣6=7（x﹣1），即为y=7x﹣1；（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x）=ax+lnx﹣a2x2（x＞0）假设存在负数a，使得f（x）≤g（x）对一切正数x都成立．即：当x＞0时，h（x）的最大值小于等于零．h′（x）=a+﹣2a2x=（x＞0），令h'（x）=0可得：x1=（舍），x2=﹣，当0＜x＜﹣时，h'（x）＞0，h（x）单增；当x＞﹣时，h'（x）＜0，h（x）单减．所以h（x）在x=﹣处有极大值，也是最大值．即有h（x）max=h（﹣）≤0，解得a≤﹣，所以负数a存在，它的取值范围为（﹣∞，﹣）．点评：本题考查导数的几何意义，导数在函数最值问题中的应用，不等式恒成立问题的一般解法，解题时要认真计算，不断总结．。

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 考纲要求 例题分析 知识整理 强化训练 第21章 化学物质与健康、有机合成材料 1.了解某些元素(如钙、锌、铁等)对人体健康的重要作用。

2.了解对生命活动具有意义的有机物(如糖、淀粉、油脂、氨基酸、蛋白质、维生素等)。

3.知道某些物质(如一氧化碳、甲醛、黄曲霉素等)有损人体健康。

4.知道掌握化学知识能帮助人们战胜疾病与营养保健方面的重大贡献。

考纲要求 5.能通过物质的化学式正确区分无机物和有机物。

6.了解常见的合成纤维、塑料、合成橡胶及其应用。

7.了解使用合成材料对人和环境的影响。

8.了解新材料的开发与社会发展的密切关系。

9.知道鉴别天然纤维和合成纤维的方法。

1.营养物质 (1)食物成分中主要有： 、 、 、 、无机盐和水等六种营养素。

知识整理 一、人类重要的营养物质 糖类 蛋白质 油脂 维生素 (2)四种有机营养素的作用： 糖类 油脂 细胞 能量 备用 新陈代谢 ①蛋白质易受 和遇 等因素而被破坏，发生变性； 酶是一类蛋白质，是生命活动的 剂。

②人体缺维生素A会引起 症；缺 会引起坏血病。

热 甲醛、重金属 催化 夜盲 维生素C2.常见影响人体健康的物质 甲醛 一氧化碳 血红蛋白 甲醇 亚硝酸钠 1.常见影响人体健康的元素 (1)人体中含有110多种元素，其中含量最多的金属元素是 。

(2)常量元素(>0.01%)： 、 、、N、Ca、P等； 微量元素(<0.1%):如铁、锌、碘、硒等。

(3)对人体有毒的元素：铜、汞、镉、铊、铍、铅等。

。

钙 C 二、化学元素与健康 H O 2.某些元素对人体健康的影响 钙 缺铁性贫血 发育不良 甲状腺肿大 氟 1.有机物：含 元素的化合物。

注意：含碳元素的化合物不一定都是有机物，如。

2.三大合成材料分别是 、 、 。

3. 蛋白纤维与合成纤维的鉴别方法是 。

广东省湛江市2015届高中毕业班调研测试题数学(文).一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}{}1,1,3,1,3,5A B =-=，则AB =A.{}1,1,35-，B.{}1,3C.{}1,5-D.{}1,1,1-,3,3,5【答案】A2.已知复数z 满足(1)1i z i -=+，则复数=zA.1i +B.1i -C.iD.i -【答案】C3.某校高一、高二、高三三个年级依次有600、500、400名同学，用分层抽样的方法从该校抽取取n 名同学，其中高一的同学有30名，则=n A.65 B.75 C.50 D.150 【答案】B4.A.x R ∈B.(0,3)x ∈C.(1,3)x ∈D.(][)13x ∈-∞+∞，，【答案】D5.下列函数是增函数的是,2ππ⎫⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭C.()()cos 0,y xx π=∈D.2xy -=【答案】B6.“sin cos 0θθ>”是“θ是第一象限角”的 A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件【答案】C7.在ABC △，边a b 、所对的角分别为A B 、，若b=1，则a =C.165【答案】A8.若一个几何体的主视图和左视图是边长为2的等边三角形，俯视图是一个圆，则这个几何体的体积是C.3π D.不能确定【答案】B9.抛物线216y x =的焦点到双曲线A.2B.4【答案】D10.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量OA =a ,OB =b ,其中a =（3,1），b =（1,3），若OC OA OB =+λμ，且01λμ≤≤≤，则点C 所有可能的位置区域用阴影表示正确的是【答案】D二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11~13题）【题文】11.为了解一片防风林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm ）、根据所得数据画出样品的频率分布直方图（如图），那么在这100株树木中，底部周长大于100cm 的株数是__________.【答案】700012.等差数列{}n a 中，51210,31,a a ==则该数列的通项公式=n a _________.（*n N ∈） 【答案】=n a 3n-5 13.设函数lg |2|,2()1,2x x f x x -≠⎧=⎨=⎩，()()g x a a R =∈，若这两个函数的图象有3个交点，则=a _________.【答案】a=1（二）选做题（14-15题，考生只能从中选择一题）14.（t 为参数）被圆224x y +=截得的弦长为_________.15.（几何证明选讲选做题）如图，O的直径6AB =，P 是AB 延长线上的一点，过点P 作O 的切线，切点为C ，连接AC ，若30CPA ∠=，则PC =_______. 【答案】三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.17.（本小题满分12分）某兴趣小组由4男2女共6名同学.（1）从6人中任意选取3人参加比赛，求所选3人中至少有1名女同学的概率； （2）将6人平均分成两组进行比赛，列出所有的分组方法. 【答案】（12）10种记4名男同学为：A ，B ，C ，D ，2名女同学为1,2（1）从6人中任意选取3人，共有ABC ，ABD ，AB1，AB2，ACD ，AC1，AC2，AD1，AD2，A12，BCD ，BC1，BC2，BD1，BD2，B12，CD1，CD2，C12，D12共20种…4分至少有1名女同学的是AB1，AB2，AC1，AC2，AD1，AD2，A12，BC1，BC2，BD1，BD2，B12，CD1，CD2，C12，D12共16 （2）共有ABC ，D12；ABD ，C12；AB1，CD2；AB2，CD1；ACD ，B12；AC1，BD2；AC2，BD1；AD1，BC2；AD2，BC1；A12，BCD 共10种. 18.（本小题满分14分）如图，已知棱柱1111ABCD A B C D -的底面是正方形，且1AA ⊥平面ABCD ，E 为棱1AA 的中点，F 为线段1BD 的中点.（1）证明：EF //平面ABCD ；（2）证明：EF ⊥平面11BB D D .（1）证明：连接AC 交BD 与O ，连接OF ，∵ ABCD 是 正方形∴ O 是BD 的中点，BD ⊥OA ，又∵ F 为线段1BD 的中点∴ OF∥DD 1且∵E 为棱1AA 的中点，∴ OF AE ∥且OF AE =∴ EF OA ∥，∵ OA ⊂平面ABCD ，且EF ⊄平面ABCD ∴EF ∥平面ABCD（2）证明：∵1AA ⊥平面ABCD 且11AA DD ∥，∴ 1DD ⊥平面ABCD ∴ 1DD OA ⊥ ∵ BD OA ⊥且11BD BB D D ⊂平面，111D D BB D D ⊂平面，11=BD D D D∴ 11OA BB D D ⊥平面∵ EF OA ∥∴ 11EF BB D D ⊥平面 19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足=2312n n S a n +-，*()n N ∈.（1）证明：数列{}3n a -为等比数列；并求出数列{}n a 的通项公式； （2）记n n b na =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）证明：当n=1时，11112312,9S a a a ==+-∴=当n>1时，111231223(1)12223n n n n n n n S S a a n a n a a ----==+----+=-+ ∴ 13=2(3)n n a a --- ∴ {}3n a -是以6为首项，2为公比的等比数列 ∴ -13=62n n a -∴ -1=623n n a + （2）解：-1=623n n n b na n n =+∴ 01221=6(12+22+32(-1)2+2)+3(1+2+)n n n T n n n --⋅⋅⋅+⋯+⋅⋅⋯+ 令0122112+22+32(-1)2+2n n n K n n --=⋅⋅⋅+⋯+⋅⋅（1） ∴ 1231212+22+32(-1)2+2n n n K n n -=⋅⋅⋅+⋯+⋅⋅ （2）（1）-（2）得：0123112+2+2222n n n K n --=⋅++⋯+-⋅∴(1)21n n K n =-⋅+∴20.（本小题满分14分）如图，点F P 的坐标为（-8,0）.线段MN 为椭圆的长轴，已知||=8MN ，且该椭圆的离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）过点P 的直线与椭圆相交于两点A 、B .证明：直线F A 与FB 的斜率之和为0； （3）记ABF △的面积为S ，求S 的最大值.【答案】（12）略（3解法一： （1）8,MN =又离心率，2,c ∴=22212,b a c ∴=-= ∴所求椭圆的标准方程为： （2）设直线FA 、FB 、斜率分别为AF k 、BF k 、(,),(,);A A B B A x y B x y 当AB 的斜率为0时，显然有0,AF BF k k ==命题成立， 当AB 的斜率不为0时，可设AB 的方程为8,x my =- 代入椭圆方程整理得：22(34)481440,m y my +-+=∴判别式（312PBFPAFSS-=⋅（此时判别式0∆>）时取等号， ABF ∴的面积S 的最大值为解法二： （1）8,MN =又离心率，2,c ∴=22212,b a c ∴=-= ∴所求椭圆的标准方程为： （2）设直线FA 、FB 、AB 的斜率分别为AF k 、BF k 、,(,),(,);A A B B k A x y B x y 当0k =时，显然有0,AF BF k k ==命题成立， 当0k ≠时，可设AB 的方程为(8),y k x =+代入椭圆方程整理得：2222(43)6416480,k x k x k +++-=∴判别式12PBF PAF SS-=⋅（此时判别式0∆>）时取等号，ABF ∴的面积S 的最大值为21.（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线方程； （2时，讨论函数()f x 的单调性. 【答案】（1） 2.y =（2）当0a =时，函数()f x 在(0,1)单调递减，在[1,)+∞上单调递增；当数()f x 在(0,1)单调递减，在. （1）当1a =-时，(1)0,f '∴=即曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为0，又(1)1212,f =+-=∴曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 2.y =（2）()ln f x =令2()1(0),g x ax x a x =-+->①当0a =时，()1(0),g x x x =-+> 当(0,1)x ∈时()0,g x >此时()0,f x '<函数()f x 单调递减， 当[1,)x ∈+∞时()0,g x <此时()0,f x '>函数()f x 单调递增， 时，由()0,f x '=即210ax x a -+-=解得 ∴当(0,1)x ∈时，()0,g x >此时()0,f x '<函数()f x 单调递减，时，()0,g x <此时()0,f x '>函数()f x 单调递增，时，()0,g x >此时()0,f x '<函数()f x 单调递减. 综上所述：当0a =时，函数()f x 在(0,1)单调递减，在[1,)+∞上单调递增；时，函数()f x 在(0,1)单调递减，在.。

广东省湛江高三第一次月考（理科）数学试题（考试时间:120分钟 满分：150分 ）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一个答案是正确的）( )1、设,a b R ∈，集合{1,,}{0,,}ba b a b a+=，则b a -= A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- ( )2、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A.R x x y ∈-=,3B.R x x y ∈=,sinC.R x x y ∈=,D.R x x y ∈=,)21(( )3、设2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+=A ．1318B ．1322C ．322D ．16( )4、若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =A ．12B ．13C ．14D ．15( )5、已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中真命题是：①若,,m m αβ⊥⊥则//αβ；②若,,αγβα⊥⊥则//γβ；③若,,//,m n m n αβ⊂⊂则//αβ；④若m 、n 是异面直线，,//,,//,m m n n αββα⊂⊂则//αβ A ．①和② B ．①和③ C ．③和④ D ．①和④( )6、如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为A ．96B ．84C ．60D ．48 ( )7、函数11ln )(--=x x x f 的零点的个数是 A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个( )8、一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是A 、B 、C 、D 、二、填空题（共7小题，计30分。

广东省湛江师范学院附属中学、湛江附中东方实验学校2014-2015学年高二上学期期中联考数学（理）试题 1.在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别 Ａ23与26 B31与26 C24与30 D26与30 有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为()A.5，10，15，20B.2，6，10，14C.2，4，6，8?D.5，8，11，14 ．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为( ) A．7 B．15 C．25 D．35.从装有除了颜色外完全相同的2 个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )A.至少有1个白球,都是白球.B.至少有1个白球,至少有1个红球.C.恰有1个白球,恰有2个白球.D.至少有1个白球,都是红球. 5．. 从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 ( ) A．70种 B. 80种 C. 100种 D.140种 7．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)．若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977 在二项式的展开式中，含的项的系数是 ( ) A． B． C． D．．在区间(0,1)上任取两个数，则两个数之和小于的概率是( ) A. B. C. D. 10. 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输 信息．设定原信息为（），传输信息为，其中，运算规则为：，，，，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（） A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题(本大题共4小题,每小题分,共分.) . 的展开式的常数项是（用数字作答）12. 如图所示的程序框图，输出的s 值为 13.将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比 为2∶3∶4∶6∶4∶1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于_______． 解答题(本大题共6小题,共分15．（本小题分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分，用表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下： 编号n 1 2 3 4 5 成绩 70 76 72 70 72 (1)求第6位同学的成绩，及这6位同学成绩的标准差s； (2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率． 本小题吨）与相应的生产能耗（吨） 3 4 5 6 2.5 3 4 4.5 （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程； （2）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据（1），） 17．（本小题1分）若点，在中按均匀分布出现. （1）点横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点落在上述区域的概率？ （2）试求方程有两个实数根的概率 18.( 本小题某人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图： (1)补全频率分布直方图并求、、的值； (2)从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45]岁的人数为X,求X的分布列和期望EX. 19.（本小题1分）. （1）若，求该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率； （2）若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过，求P的取值范围. 20．（本小题1分），其中x∈R，m是正整数，且，这是组合数（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广． (1) 求的值； (2) 设x>０，当x为何值时，取得最小值？ (3)组合数的两个性质； ①. ②. 是否都能推广到（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.2014—2015学年第一学期期中联考试卷 高二（理科）数学试卷答案 一、选择题 二、11．-20 12．2 13．60 14．600 三.解答题 16.(1) ； 所求的回归方程为 (2) 时， (吨) 预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低(吨) 17.（１）点横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点落在上述区域有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）九点， 所以点落在上述区域的概率 P1=;. （２）解：如图所示方程有两个实数根 得，即方程有两个实数根的概率. P2=18.解：（）第二组的频率为，所以高为．频率直方图如下： 第一组的人数为，频率为，所以． 由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为，所以． 第四组的频率为，所以第四组的人数为，所以．（）因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的低碳族的比值为，所以采用分层抽样法抽取18人，岁中有12人，岁中有6人．随机变量服从超几何分布． ，，，． 所以随机变量的分布列为 0 1 2 3 ∴数学期望，它们相互独立，则“这名学生在第三个交通岗第一次遇到红灯为， 这名学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率为 （2）过首末两个路口，过中间三个路分别看作独立重复试验，该学生至多遇到一次红灯指没有遇红灯（记为A）或恰好遇一次红灯（记为B），则A与B互斥， 这名学生至多遇到一次红灯为A+B， 故，又 20．解：(1) . （4分） (2) . （6分）∵　x > 0 , . 当且仅当时，等号成立. ∴　当时，取得最小值. （8分）。