勾股定理和两点间的距离公式讲义

初二数学两点间距离计算公式推导过程详解初中数学中，计算两点间距离是基础而重要的内容，它在几何、代数、物理等学科中都有广泛应用。

本文将详细解释两点间距离的计算公式推导过程，帮助初二学生更好地理解数学知识。

1. 直角三角形与勾股定理在推导两点间距离的计算公式之前，我们首先回顾一下直角三角形和勾股定理的相关知识。

直角三角形是指其中一个角为90度的三角形，而勾股定理则是指直角三角形中直角边上的两条边的平方和等于斜边上的边的平方，即"a² + b² = c²"。

2. 两点距离的定义在坐标平面中，两个点的位置可以用坐标表示。

设P(x₁, y₁)和Q(x₂, y₂)是坐标平面上的两个点，则点P和点Q之间的距离可以定义为直线PQ的长度。

我们的目标是推导出一种计算点P和点Q之间距离的公式。

3. 两点间距离的推导为了推导出两点间距离的计算公式，我们首先需要构建一个与点PQ垂直的直角三角形。

首先，我们可以使用直线y=x和y=-x将坐标平面分成四个象限。

我们可以将点P(x₁, y₁)和点Q(x₂, y₂)分别归类到不同的象限中。

当点P和点Q位于同一个象限内时，我们可以构建一个与x轴、y 轴以及直线PQ形成的直角三角形。

设α为PQ与x轴的夹角（0 ≤ α ≤ 90度），此时直角三角形的两条直角边分别为PQ在x轴和y轴上的投影长度。

根据勾股定理，我们可以得到直角三角形的斜边的长度c，即点P 和点Q之间的距离：c² = a² + b²而直角三角形的两条直角边a和b可以通过点的坐标计算得到：a = x₂ - x₁b = y₂ - y₁代入上述公式，我们可以得到两点间距离的计算公式：c = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)这就是初二数学中计算两点间距离的标准公式。

4. 小结通过推导过程，我们得出了初二数学中计算两点间距离的公式：c = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)该公式的推导过程基于直角三角形与勾股定理的基本原理。

两点之间距离公式初中在初中学习中，我们会接触到两点之间的距离公式。

两点之间的距离可以用直线距离来衡量，通常使用的公式是勾股定理或者坐标系中的距离公式。

下面将详细介绍这些公式。

1.勾股定理：勾股定理适用于平面上两个点之间的距离计算。

假设有一个直角三角形ABC，其中∠ABC为直角，边AB和AC分别表示直角三角形的两个边。

根据勾股定理，边AB的平方加上边AC的平方等于边BC的平方。

即：AB²+AC²=BC²。

我们可以利用这个定理计算两个点之间的直线距离。

例如，假设在平面上有两个点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，我们可以计算这两个点之间的距离（即边AB的长度）。

距离AB=√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]其中，(x₂-x₁)表示两个点在x轴上的坐标差，(y₂-y₁)表示两个点在y 轴上的坐标差。

将这些差值的平方相加，然后取平方根，即可得到两个点之间的距离。

2.坐标系中的距离公式：在坐标系中，我们可以计算两个点之间的距离。

假设有两个点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，我们知道两个点之间的水平距离等于x坐标的差值，垂直距离等于y坐标的差值。

因此，我们可以使用以下公式计算两个点之间的距离：距离AB=，x₂-x₁，+，y₂-y₁在计算距离时，我们使用绝对值符号，，取两个坐标差的绝对值，确保结果为正数。

需要注意的是，在计算距离时，我们通常使用绝对值符号来确保结果为正数，因为距离应该是非负的。

总结起来，初中学习中的两点之间的距离公式主要是勾股定理和坐标系中的距离公式。

这些公式可以用来计算平面上两个点之间的直线距离。

在实际问题中，我们可以根据具体的情况选择合适的公式进行计算。

模块一：勾股定理的证明及应用知识精讲1、勾股定理：（1）直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．利用勾股定理往往构造方程，已达到解决问题的目的；（2）应用勾股定理解决实际问题，要注意分析题目的条件，关注其中是否存在直角三角形，如果存在直角三角形，根据所给的三边条件，建立方程，从而解决问题；如果问题中没有直角三角形，可以通过添加辅助线构造出直角三角形，寻求等量关系，再根据勾股定理建立相应的方程，因此，在解决直角三角形中有关边长的问题时，要灵活的运用方程的思想．例题解析【例1】（1）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，则AB=_________；（2）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=3，则AC=_________．【例2】（1）等边三角形的边长是3，则此三角形的面积是___________；（2）等腰三角形底边上的长为2，腰长为4，则它底边上的高为__________．【例3】（1）直角三角形两边长为3和4，则此三角形第三边长为_________；（2）直角三角形两直角边长为3和4，则此三角形斜边上的高为_________；（3）等腰三角形两边长是2、4，则它腰上的高是____________．【例4】（1）若直角三角形的三边长分别为N+1，N+2，N+3则N的值是____________；（2）如果直角三角形的三边长为连续偶数，则此三角形的周长为______________．【例5】 如图，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，∠B=60°，D 是斜边AB 的中点，BC =2，求△ADC 的周长．【例6】 如图，已知：R t △ABC 中，∠ACB 是直角，BC =15，AB 比AC 大9，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长．【例7】 已知已直角三角形的周长为4+26，斜边上的中线为2，求这个直角三角形的面积．【例8】 如图，直线MN 是沿南北方向的一条公路，某施工队在公路的点A 测得北偏西30°的方向上有一栋别墅C ，朝正北方向走了400米到达点B 后，测得别墅C 在北偏西75°的方向上，如果要从别墅C 修一条通向MN 的最短小路，请你求出这条小路的长（结果保留根号）．A BCD A BCM MNBC D【例9】 如图，公路MN 和公里PQ 在点P 处交汇，且∠QPN =30°，点A 处有一所中学，AP =160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响?请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度是18千米/时，那么学校受影响的时间是多少秒?【例10】 如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 进行翻折，点D 落在E 处，求出重叠部分△AFC 的面积．【例11】 如图，AB 两个村子在河边CD 的同侧，A 、B 两村到河边的距离分别为AC =1千米，BD =3千米，CD =3千米．现在河边CD 建一座水厂，建成后的水厂，可以直接向A 、B 两村送水，也可以将水送一村再转送另一村．铺设水管费用为每千米2万元，试在河边CD 选择水厂位置P 确定方案，使铺设水管费用最低，并求出铺设水管的总费用（精确到0.01万元）．APQMNABCD EF A BC DA B CDP2、 逆定理：（1） 如果三角形一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；利用逆定理来判断三角形是否为直角三角形．（2） 在直角三角形的三边中，首先弄清楚哪条边是斜边，另外应用逆定理时，最大边的平方和等于较小两边的平方和．【例12】 下列命题中是假命题的是（）A ． 在△ABC 中，若∠B =∠C -∠A ，则△ABC 是直角三角形 B ． 在△ABC 中，若2()()a b c b c =+-，则△ABC 是直角三角形 C ． 在△ABC 中，若∠B ：∠C ：∠A =3:4:5，则△ABC 是直角三角形D ． △ABC 中，若::5:4:3a b c =，则△ABC 是直角三角形【例13】 （1）将直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，得到的三角形是______三角形；（2）若△ABC 的三边A 、B 、C 满足222()()0a b a b c -+-=则△ABC 是________三角形．【例14】 （1）一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆折断之前有多少米?（2）如果梯子的底端离建筑物8米，那么17米长的梯子可以到达建筑物的高度是__________米．模块二：勾股定理的逆定理的证明及应用例题解析知识精讲【例15】 ABC ∆的三边分别为A 、B 、C ，且满足222506810a b c a b c +++=++，判断△ABC 的形状．【例16】 如图，公路上A 、B 两点相距25千米，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA =15千米，CB =10千米，现要在公路AB 上建一车站E ．（1） 若使得C 、D 两村到E 站的距离相等，E 站建在离A 站多少千米处? （2） 若使得C 、D 两村到E 站的距离和最小，E 站建在离A 站多少千米处?【例17】 如图，在四边形ABCD 中，AB =BC =2，CD =3，DA =1，且∠B =90°，求∠DAB 的度数．ABCD A BCDE【例18】 如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，AB =BC ，AD 是BC 边上的中线，EF 是AD 的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，求AE ：BE 的值．3、 距离公式：如果平面内有两点11()A x y ，、22()B x y ，，则A 、B 两点间的距离为：221212()()x x y y -+-．（1） 当11()A x y ，、22()B x y ，两点同在x 轴上或平行于x 轴的直线上，则有12y y =，AB =12||x x -； （2） 当11()A x y ，、22()B x y ，两点同在y 轴上或平行于y 轴的直线上，则有12x x =，AB =12||y y -．【例19】 已知点A （2，2）、B （5，1）．（1） 求A 、B 两点间的距离； （2） 在x 轴上找一点C ，使AC =BC ．例题解析模块三：两点间的距离公式ABCDEF知识精讲【例20】（1）已知A（x，3）、B（3，x+1）之间的距离为5，则x的值是_________；（2）已知点P在第二、四象限的平分线上，且到Q（2，-3）的距离为5，则点P的坐标为_________．【例21】（1）以点A（1，2）、B（-2，-1），C（4，-1）为顶点的三角形是________；（2）已知点A（0，3）、B（0，-1），△ABC是等边三角形，则点C的坐标是_______．【例22】已知直角坐标平面内的点A（4，1）、B（6，3），在坐标轴上求点P，使P A=PB．【例23】已知直角坐标平面内的点P（4，m），且点P到点A（-2，3）、B（-1，-2）的距离相等，求点P的坐标．【例24】已知点A（2，3）B（4，5），在x轴上是否存在点P，使得PA PB的值最小?若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．【例25】已知直角坐标平面内的点A（4，32）、B（6，3），在x轴上求一点C，使得△ABC是等腰三角形．【例26】已知点A（4，0）、B（2，-1），点C的坐标是（x，2-x），若△ABC是等腰三角形，求C的坐标．【习题1】六根细木棒，她们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：cm）从中取出三根，首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这些木棒的长度分别为（）．A．2、4、8B．4、8、10C．6、8、10D．8、10、12随堂检测【习题2】 已知点A （2，4）B （-1，-3）C （-3，-2），那么△ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不是【习题3】 （1）如果等腰直角三角形一边长为2，另外两边长为_________；（2）如果直角三角形两边长为5和12，第三边长度为_______________．【习题4】 如图，将长方形ABCD 沿AE 折叠，使得点D 落在BC 上的点F 处，AB =8，AD =10．求EC 的长．【习题5】 如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB =9，BC =12，CD =15，DA =152．求四边形ABCD 的面积． A B CDABC DEF【习题6】 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，AB =5，AC =3，AD =2．求：△ABC 的面积．【习题7】 若A 、B 、C 是三角形的边长且关于x 的方程222()20x a b x c ab -+++=有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【习题8】 如图，在一条公路上有P 、Q 两个车站，相距27km ，A 、B 是两个村庄，AP ⊥PQ ，BQ ⊥PQ ，且AP =15km ，BQ =24km ，现在要在公路上建立一个商场M 使得A 、B 两个村庄到商场M 的距离相等，求PM 的长 ．【习题9】 已知点()()2814A B -，，,点C 在y 轴上，使ABC ∆为直角直角三角形，求满足条件的点C 的坐标．AB D CABQP M【习题10】 如图，在ABC ∆中，90ACB AC BC M ∠==o ，，是ABC ∆内一点，且 312AM BM CM ===，，,求BMC ∠的度数．【习题11】 若在△ABC 中，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∠ACB =90°，则222a b c +=试用两种方法证明．【作业1】 下列命题中，正确的有()个（1） 腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等 （2） 有一直角边和斜边上对应相等的两个直角三角形全等 （3） 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3课后作业ABCM【作业2】 如图，图中的字母、数代表正方形的面积，则A =______．【作业3】 如图，Rt ABC ∆中，斜边1AB =，则222AB BC AC ++的值是_________．【作业4】 已知点()35A -，，点B 的横坐标为-3，且A 、B 两点之间的距离为10，那么点B 的坐标是____________．【作业5】 现将直角三角形ABC 的直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，C 与E 重合，且AC =3，BC =4，则CD 等于_____________.【作业6】 如果ABC ∆的周长为12，而22AB BC AC AB BC +=-=，，那么ABC ∆的形状是 ____________．【作业7】 已知等腰直角三角形ABC 斜边BC 的长为2，DBC ∆为等边三角形，那么A 、D 两点的距离为_______. 5072A【作业8】 知：如图，已知在Rt ABC ∆中，9030B C ∠=∠=o o ，，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转30o 后得到APQ ∆，若1AB =，则两个三角形重叠部分的面积为_________.【作业9】 已知：如图，四边形ABCD 的三边（AB 、BC 、CD ）和BD 都为5厘米，动点P 从A 出发（A B D →→），速度为2厘米/秒，动点Q 从点D 出发（D C B A →→→）到A ，速度为2.8厘米/秒，5秒后P 、Q 相距3厘米，试确定5秒时APQ ∆的形状.【作业10】 阅读下列题目的解题过程： 已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状.解：Q 222244a c b c a b -=-（A ），()()()2222222c a b a b a b ∴-=+-(B )222c a b ∴=+(C )，∴ABC ∆是直角三角形.问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出错? 请写出该步的代号：____________； （2）错误的原因：_______________；（3）本题正确的结论为：____________.ABCDQPABCQP【作业11】 如图，一根长度为50CM 的木棒的两端系着一根长度为70CM 的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，求满足条件的点有几个，并且这个点将绳子分成的两段各有多长？【作业12】 在直角坐标平面内，已知()()1054A B -，，，，在坐标轴上求一点P ，使得PAB ∆为直角三角形，求点P 的坐标.。

!"#$%&'()*+,-.内容分析!"#$%&'()*+,-./0121342567849:;<=> @A-BC>?@A4DEF GHIJ@A4DEKGH(LMN O/(P8 4QRSTU VP/>?@A4DEIGH-W/'X012132678;< 4YHLZ-/.[\]ST-^_`4abcdHeYfgUh知识结构!"#$%&'()*+,-./知识精讲1、勾股定理：（1）直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．利用勾股定理往往构造方程，已达到解决问题的目的；（2）应用勾股定理解决实际问题，要注意分析题目的条件，关注其中是否存在直角三角形，如果存在直角三角形，根据所给的三边条件，建立方程，从而解决问题；如果问题中没有直角三角形，可以通过添加辅助线构造出直角三角形，寻求等量关系，再根据勾股定理建立相应的方程，因此，在解决直角三角形中有关边长的问题时，要灵活的运用方程的思想．【例1】 （1）在直角△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BC =1，则AB =_________；（2）在直角△ABC 中，∠C =90°，∠A =45°，AB =3，则AC =_________．【例2】 （1）等边三角形的边长是3，则此三角形的面积是___________；（2）等腰三角形底边上的长为2，腰长为4，则它底边上的高为__________．【例3】 （1）直角三角形两边长为3和4，则此三角形第三边长为_________；（2）直角三角形两直角边长为3和4，则此三角形斜边上的高为_________； （3）等腰三角形两边长是2、4，则它腰上的高是____________．【例4】 （1）若直角三角形的三边长分别为N +1，N +2，N +3则N 的值是____________；（2）如果直角三角形的三边长为连续偶数，则此三角形的周长为______________．【例5】 如图，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，∠B=60°，D 是斜边AB 的中点，BC =2，求△ADC 的周长．【例6】 如图，已知：R △ABC 中，∠ACB 是直角，BC =15，AB 比AC 大9，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长．【例7】 已知已直角三角形的周长为斜边上的中线为2，求这个直角三角形的面积．t例题解析ABC DCD【例8】 如图，直线MN 是沿南北方向的一条公路，某施工队在公路的点A 测得北偏西30°的方向上有一栋别墅C ，朝正北方向走了400米到达点B 后，测得别墅C 在北偏西75°的方向上，如果要从别墅C 修一条通向MN 的最短小路，请你求出这条小路的长（结果保留根号）．【例9】 如图，公路MN 和公里PQ 在点P 处交汇，且∠QPN =30°，点A 处有一所中学，AP =160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响?请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度是18千米/时，那么学校受影响的时间是多少秒?【例10】 如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 进行翻折，点D 落在E 处，求出重叠部分△AFC 的面积．ABMMNAPF【例11】 如图，AB 两个村子在河边CD 的同侧，A 、B 两村到河边的距离分别为AC =1千米，BD =3千米，CD =3千米．现在河边CD 建一座水厂，建成后的水厂，可以直接向A 、B 两村送水，也可以将水送一村再转送另一村．铺设水管费用为每千米2万元，试在河边CD 选择水厂位置P 确定方案，使铺设水管费用最低，并求出铺设水管的总费用（精确到0.01万元）．【例12】 如图，在直角△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，E 、F 是BC 上的两点，且∠EAF =45°，求证：．222+=BE CFEFA BCDA B C DP2、 逆定理：（1） 如果三角形一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；利用逆定理来判断三角形是否为直角三角形．（2） 在直角三角形的三边中，首先弄清楚哪条边是斜边，另外应用逆定理时，最大边的平方和等于较小两边的平方和．【例13】 下列命题中是假命题的是（ ）A ． 在△ABC 中，若∠B =∠C -∠A ，则△ABC 是直角三角形 B ． 在△ABC 中，若，则△ABC 是直角三角形 C ． 在△ABC 中，若∠B ：∠C ：∠A =3:4:5，则△ABC 是直角三角形D ． △ABC 中，若，则△ABC 是直角三角形【例14】 （1）将直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，得到的三角形是______三角形；（2）若△ABC 的三边A 、B 、C 满足则△ABC 是________三角形． 【例15】 （1）一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆折断之前有多少米?（2）如果梯子的底端离建筑物8米，那么17米长的梯子可以到达建筑物的高度是__________米．【例16】 的三边分别为A 、B 、C ，且满足，判断△ABC的形状．2()()a b c b c =+-::5:4:3a b c =222()()0a b a b c -+-=ABC D 222506810a b c a b c +++=++!"0$%&'()1'()*+,-./例题解析知识精讲【例17】 如图，公路上A 、B 两点相距25千米，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA =15千米，CB =10千米，现要在公路AB 上建一车站E ． （1） 若使得C 、D 两村到E 站的距离相等，E 站建在离A 站多少千米处? （2） 若使得C 、D 两村到E 站的距离和最小，E 站建在离A 站多少千米处?【例18】 如图，在四边形ABCD 中，AB =BC =2，CD =3，DA =1，且∠B =90°，求∠DAB的度数．【例19】 如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，AB =BC ，AD 是BC 边上的中线，EF 是AD的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，求AE ：BE 的值．【例20】 如图，ABC 是等边三角形，P 是三角形内一点，P A =3，PB =4，PC =5，求∠APB 的度数．D ABCD ABCDE FBPA BCDE【例21】 如图，P 是凸四边形内一点，过点P 作AB 、BC 、CD 、DA 的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H ，已知AH =3，DH =4，DG =1，GC =5，CF =6，BF =4，且BE -AE =1，求四边形ABCD 的周长．【例22】 已知，如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，设AC =，BC =，AB =，CD = ． 求证：（1）；（2）以、、为三边可构成一个直角三角形．b ac h c h a b +>+a b +c h +h ABCDEFGHPAB CD3、 距离公式：如果平面内有两点、，则A 、B 两点间的距离为：（1） 当、两点同在轴上或平行于轴的直线上，则有，AB =；（2） 当、两点同在轴上或平行于轴的直线上，则有，AB =．【例23】 已知点A （2，2）、B （5，1）．（1） 求A 、B 两点间的距离； （2） 在轴上找一点C ，使AC =BC ．【例24】 （1）已知A （，3）、B （3，+1）之间的距离为5，则的值是_________；（2）已知点P 在第二、四象限的平分线上，且到Q （2，-3）的距离为5，则点P 的坐标为_________．【例25】 （1）以点A （1，2）、B （-2，-1），C （4，-1）为顶点的三角形是________；（2）已知点A （0，3）、B （0，-1），△ABC 是等边三角形，则点C 的坐标是_______．【例26】 已知直角坐标平面内的点A （4，1）、B （6，3），在坐标轴上求点P ，使P A =PB ．11()A x y ，22()B x y ，11()A x y ，22()B x y ，x x 12y y =12||x x -11()A x y ，22()B x y ，y y 12x x =12||y y -x x x x 例题解析!"2$345)6789/知识精讲【例27】 已知直角坐标平面内的点P （4，），且点P 到点A （-2，3）、B （-1，-2）的距离相等，求点P 的坐标．【例28】 已知点A （2，3）B （4，5），在轴上是否存在点P ，使得的值最小?若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．【例29】 已知直角坐标平面内的点A （4，）、B （6，3），在轴上求一点C ，使得 △ABC 是等腰三角形．【例30】已知点A （4，0）、B （2，-1），点C 的坐标是（，2-），若△ABC 是等腰三角形，求C 的坐标．m x PA PB +32x x x【习题1】 六根细木棒，她们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：）从中取出三根，首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这些木棒的长度分别为（）．A ． 2、4、8B ．4、8、10C ．6、8、10D ．8、10、12【习题2】 已知点A （2，4）B （-1，-3）C （-3，-2），那么△ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不是【习题3】 （1）如果等腰直角三角形一边长为2，另外两边长为_________；（2）如果直角三角形两边长为5和12，第三边长度为_______________．【习题4】 如图，将长方形ABCD 沿AE 折叠，使得点D 落在BC 上的点F 处，AB =8，AD =10．求EC 的长．【习题5】 如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB =9，BC =12，CD =15，DA =四边形ABCD 的面积．【习题6】 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，AB =5，AC =3，AD =2．求：△ABC的面积．cm 随堂检测ABCDAB D CABC DEF【习题7】 若A 、B 、C 是三角形的边长且关于的方程有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【习题8】 如图，在一条公路上有P 、Q 两个车站，相距27，A 、B 是两个村庄，AP ⊥PQ ，BQ ⊥PQ ，且AP =15，BQ =24，现在要在公路上建立一个商场M 使得A 、B 两个村庄到商场M 的距离相等，求PM 的长 ．【习题9】 已知点,点C 在轴上，使为直角直角三角形，求满足条件的点C 的坐标．【习题10】 如图，在中，是内一点，且 ,求的度数．x 222()20x a b x c ab -+++=km km km ()()2814A B -，，y ABC D ABC D 90ACB AC BC M Ð==!，，ABC D 312AM BM CM ===，，BMC Ð ABCMABQP M【习题11】 若在△ABC 中，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∠ACB =90°，则试用两种方法证明．【作业1】 下列命题中，正确的有()个（1） 腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等 （2） 有一直角边和斜边上对应相等的两个直角三角形全等 （3） 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【作业2】 如图，图中的字母、数代表正方形的面积，则A =______．【作业3】 如图，中，斜边，则的值是iiiiiiiii ． 【作业4】 已知点，点B 的横坐标为-3，且A 、B 两点之间的距离为10，那么点B的坐标是iiiiiiiiiiii ．【作业5】 现将直角三角形ABC 的直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，C 与E 重合，且AC =3，BC =4，则CD 等于_____________.【作业6】 如果的周长为12，而那么的形状是____________．【作业7】 已知等腰直角三角形斜边BC 的长为2，为等边三角形，那么A 、D两点的距离为______ij222a b c +=Rt ABC D 1AB =222AB BC AC ++()35A -，ABC D 22AB BC AC AB BC +=-=，，ABC D ABC DBC D 课后作业5072A【作业8】 已知：如图，已知在中，，将绕点逆时针旋转后得到，若，则两个三角形重叠部分的面积为_________.【作业9】 已知：如图，四边形ABCD 的三边（、、）和都为5厘米，动点P 从A 出发（），速度为2厘米/秒，动点Q 从点D 出发（）到A ，速度为2.8厘米/秒，5秒后P 、Q 相距3厘米，试确定5秒时的形状.【作业10】 阅读下列题目的解题过程： 已知、、为的三边，且满足，试判断的形状. 解：（A ），(B )(C )，是直角三角形.问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出错? 请写出该步的代号：____________； （2）错误的原因：_______________；（3）本题正确的结论为：iiiiiiiiiiiijhh h h h hRt ABC D 9030B C Ð=Ð=!!，ABC D A 30!APQ D 1AB =AB BC CD BD A B D ®®D C B A ®®®APQ D a b c ABC D 222244a c b c a b -=-ABC D !222244a c b c a b -=-()()()2222222c a b a b a b \-=+-222c a b \=+\ABC D ABCDQPABQP【作业11】 如图，一根长度为50CM 的木棒的两端系着一根长度为70CM 的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，求满足条件的点有几个，并且这个点将绳子分成的两段各有多长？【作业12】 在直角坐标平面内，已知，在坐标轴上求一点P ，使得为直角三角形，求点P 的坐标.()()1054A B -，，，PAB D。

勾股定理(讲义) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1勾股定理一、知识归纳1．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222+=a b c2．勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形3．勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC∠=︒，则c=b=，a=∆中，90C②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系二、题型题型一：直接考查勾股定理例１. 在ABC∠=︒∆中，90C⑴已知6BC=．求AB的长AC=，8⑵已知17AC=，求BC的长AB=，15解：题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABCBC=cm，CD AB⊥于D，CD＝AB=cm，3∠=︒，5∆中，90ACB⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为21DCB AAB CD E例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m三、勾股定理的逆定理知识归纳 1. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。

2. 常用的平方数112＝_______，122＝_______，132＝_______，142＝_______，152＝_______，162＝_______，172＝_______，182＝_______，192＝_______，202＝_______，252＝_______．注意.如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。

两点之间距离公式两点之间的距离是空间中的两个点之间的直线距离。

它是计算几何学的一个重要概念，可应用于许多领域，包括物理学、工程学和地理学等。

在一个平面坐标系中，我们可以通过使用勾股定理计算两点之间的距离。

勾股定理是一个关于直角三角形的定理，表示直角三角形的斜边的平方等于两条直角边的平方和。

用数学表达式表示，可以表示为：c²=a²+b²，其中c是斜边的长度，a和b是直角边的长度。

假设我们有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们可以使用勾股定理来计算它们之间的距离。

首先，我们需要计算两个点之间在x轴和y轴上的差值，即Δx=x2-x1和Δy=y2-y1、然后，我们可以计算斜边的长度c=√(Δx²+Δy²)。

下面是通过勾股定理计算两点之间距离的具体步骤：1.确定两点的坐标：假设我们有点A(x1,y1)和点B(x2,y2)。

2.计算两点在x轴和y轴上的差值：Δx=x2-x1，Δy=y2-y13.计算两点之间的直线距离c：c=√(Δx²+Δy²)。

4.若需要，可以使用适当的单位进行转换。

例如，若需要将距离从像素转换为英寸，则需要知道每英寸的像素数。

以下是一个计算两点之间距离的示例，假设点A为(2,3)和点B为(5,7)：1.Δx=5-2=3Δy=7-3=42.c=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5因此，点A和点B之间的距离为5个单位（可以是任何单位，根据给定的坐标系和应用的领域而定）。

需要注意的是，这种方法只适用于求解平面上两点之间的距离。

如果涉及到三维或更多维的空间，则需要使用其他方法，如欧氏距离或曼哈顿距离。

-欧氏距离是指平面上两点之间的最短路径距离。

在三维空间中，可以使用以下公式来计算两点之间的欧氏距离：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)。

两个点的距离公式两个点的距离公式是指两个任意空间中的两个点之间的距离，也就是说，它可以用来衡量两个点之间的距离。

在数学中，两个点的距离公式通常使用勾股定理来求出。

勾股定理是一种几何定理，它认为两个直角三角形中的斜边长度等于两个对边长度的平方和的开方，即a2 + b2 = c2。

因此，根据勾股定理，两个点的距离公式可以表示为：d=√(x1-x2)²+(y1-y2)² 。

在这里，x1和y1分别表示第一个点的横坐标和纵坐标，x2和y2分别表示第二个点的横坐标和纵坐标，d表示两点之间的距离，而√表示开方。

例如，要计算点（5，6）和点（7，8）之间的距离，可以将两者的横坐标和纵坐标代入上述公式，得出：d=√(7-5)²+(8-6)² =√4+4 =√8 =2.83因此，点（5，6）和点（7，8）之间的距离是2.83。

两个点的距离公式也可以用于三维空间中的两点之间的距离计算。

在三维空间中，两点的距离可以表示为：d=√(x1-x2)²+(y1-y2)²+(z1-z2)² 。

在这里，x1、y1、z1分别表示第一个点的横坐标、纵坐标和高度，x2、y2和z2分别表示第二个点的横坐标、纵坐标和高度，d表示两点之间的距离，而√表示开方。

两个点的距离公式可以用来计算各种几何结构的大小，包括空间中的线段、多边形、多面体、曲线等。

例如，在三维空间中，可以使用两个点的距离公式来计算多面体的表面积或体积。

另外，两个点的距离公式还可以用来计算物体在某一时刻移动的距离，这种情况通常出现在物理学中。

物理学中有一个关于动能的定义，即动能E=½mV2，其中m是物体的质量，V是物体的速度。

因此，可以使用两个点的距离公式来计算物体在一段时间内移动的距离，即d=Vt，其中t 表示时间。

总之，两个点的距离公式可以用来计算两个空间中的任意两点之间的距离，它是勾股定理的重要应用，可以用于计算各种几何结构的大小，也可以用于物理学中的应用。

距离问题的知识点总结一、距离的定义在空间中，两点之间的距离是指两点之间的空间间隔。

通常情况下，我们可以利用勾股定理进行计算，即两点之间的距离可以用勾股定理来表示。

设A点坐标为(x1, y1)，B点坐标为(x2, y2)，则AB的距离为：AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)在三维空间中，两点之间的距离可以用三维空间中的坐标表示，假设两点坐标分别为(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)，则两点之间的距离为：AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)在向量的理论中，两点之间的距离也可以用向量的模表示，即两点之间的距离等于它们的位置矢量的差的模。

二、距离的计算1. 直线距离的计算在平面直角坐标系中，两点之间的直线距离可以用勾股定理进行计算。

如果两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则直线距离为：AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)在空间直角坐标系中，三维空间中两点之间的直线距离可以用三维坐标表示，即两点坐标分别为(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)，则直线距离为：AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)2. 曲线距离的计算如果两点之间的距离不是直线距离，而是曲线距离，那么就需要对曲线进行积分来求解。

曲线在数学中可以用参数方程或者函数方程表示，在给定曲线方程的情况下，可以通过积分来计算两点之间的曲线距离。

3. 三角形边长的计算在计算三角形的边长时，可以利用两点之间的距离来进行计算。

假设三角形的三个顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，则三角形的三边长度为：AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)BC = √((x3 - x2)² + (y3 - y2)²)AC = √((x3 - x1)² + (y3 - y1)²)三、距离的应用1. 地图测距地图测距是距离问题的一个常见应用，通过测量地图上两点之间的直线距离来计算实际距离。