高中数学《空间两点间的距离公式》教案

3.3空间两点间的距离公式●三维目标1．知识与技能(1)会推导和应用长方体对角线长公式．(2)会推导空间两点间的距离公式．(3)能用空间两点间的距离公式处理一些简单的问题．2．过程与方法通过特殊长方体顶点坐标，探索并得出空间两点间的距离公式．3．情感、态度与价值观使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程．●重点难点重点：空间两点间的距离公式．难点：空间两点间的距离公式的推导过程．教学中教师可引导学生从已有的知识：平面直角坐标系中两点之间的距离公式，再借助于长方体顶点坐标，把平面两点间距离公式推广到空间得到空间两点距离公式．●教学建议教学时可以通过长方体顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式，进一步利用勾股定理，不难得出，在空间直角坐标系中，任意一点P(x，y，z)到原点的距离为|OP|＝x2＋y2＋z2类比平面直角坐标系中两点间的距离，得到空间任意两点间的距离公式．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答问题，让学生掌握空间两点间的距离公式⇒通过例1及变式训练使学生掌握两点间的距离公式⇒通过例2及互动探究，使学生掌握由距离公式求点坐标⇒通过例3及变式训练，距离公式的综合应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正1．在空间直角坐标系中，点M(0,0,3)到原点的距离是多少？2．点N(3,0,4)到原点的距离为多少？【提示】 1.|OM|＝3.2．因为点N在平面xOz上，可利用平面直角坐标系中坐标公式得|ON|＝32＋42＝5.1．长方体的对角线及其长的计算公式图2－3－10(1)连接长方体两个顶点A，C′的线段AC3－10)(2)如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c2．空间两点间的距离公式空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.3．中点坐标公式已知点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则线段P1P2的中点M的坐标为(x1＋x22，y1＋y22，z1＋z22).图2－3－11长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点，建立如图2－3－11所示空间直角坐标系．(1)写出点D，M，N的坐标；(2)求线段MD，MN的长度．【思路探究】先写出点的坐标，再利用距离公式求线段的长度．【自主解答】(1)∵A(2,0,0)，B(2,2,0)，N是AB的中点，∴N(2,1,0)．同理可得M(1,2,3)，又D是原点，则D(0,0,0)．(2)|MD|＝(1－0)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝14，|MN|＝(1－2)2＋(2－1)2＋(3－0)2＝11.1．求准点的坐标是解答本题的关键．2．空间中任意两点间的距离的计算，其关键在于明确这两点的坐标．在此基础上，利用坐标间的关系代入公式求解．在求解过程中，有时也会利用图形特征，结合平面几何的知识直接求解．已知△ABC的三顶点A(1,5,2), B(2,3,4)，C(3,1,5)，求△ABC中最短边的边长．【解】(1)由空间两点间距离公式得：|AB|＝(1－2)2＋(5－3)2＋(2－4)2＝3，|BC|＝(2－3)2＋(3－1)2＋(4－5)2＝6，|AC|＝(1－3)2＋(5－1)2＋(2－5)2＝29.∴△(2)已知点P到坐标原点的距离等于23，且它的x坐标、y坐标、z坐标均相等，求该点的坐标．【思路探究】设出点的坐标，列出相应方程，从而求解．【自主解答】(1)由题意可知，设该点的坐标为P(0，0，z)，则|P A|＝(4－0)2＋(5－0)2＋(6－z)2，|PB|＝(－5－0)2＋(0－0)2＋(10－z)2.又|P A|＝|PB|，所以z＝6，所以所求点的坐标为(0,0,6)．(2)由题意可知P点的坐标为(x，y，z)．所以|OP|＝x2＋y2＋z2＝2 3.又x＝y＝z，所以3x2＝2 3.所以x＝y＝z＝2或x＝y＝z＝－2.所以该点的坐标为(2,2,2)或(－2，－2，－2)．1．该类题目以空间中任意两点间的距离公式为载体，借助于题设中的等量关系建立含参变量的有关方程(组)，利用方程(组)的观点求解其坐标，充分体现了立体几何中以数助形，以形解数的特征．2．确定空间一点，主要有以下两种类型：一类是已知有关某点的等量关系，列方程(组)求点坐标；另一类是知某动点的运动变化规律，建立函数模型求距离最值问题．无论哪种类型，根据点的特征，合理地设出点的坐标，不但能减少参数，还能简化计算．若把本例中的(1)“在z轴上求一点”换成“在xOy平面内的直线2x－y＝0上求一点”，其余条件不变，求相应问题．【解】 设该点的坐标P 为(a,2a,0)， 则|P A |＝(4－a )2＋(5－2a )2＋(6－0)2，|PB |＝(－5－a )2＋(0－2a )2＋(10－0)2.又|P A |＝|PB |，∴a ＝－2419，∴所求点的坐标为(－24，－48，0).的距离最小，并求出最小值．【思路探究】 设出M 坐标，根据距离公式列出|PM |求最小值． 【自主解答】 ∵点M 在xOy 平面内的直线2x －y ＝0上， ∴设点M (a,2a,0)， 则|MP |＝(a ＋3)2＋(2a －4)2＋52＝5a 2－10a ＋50＝5(a －1)2＋45，∴当a ＝1时，|MP |取最小值35，此时M (1,2,0)， ∴M 坐标为(1,2,0)时|PM |最小，最小值为3 5.1．本题主要利用了距离公式表示|PM |，根据二次函数求其最小值．2．确定空间一点，主要有以下两种类型：一类是已知有关某点的等量关系，列方程(组)求点坐标；另一类是知某动点的运动变化规律，建立函数模型求距离最值问题．无论哪种类型，根据点的特征，合理地设出点的坐标，不但能减少参数，还能简化计算．在空间直角坐标系中，求到两定点A (2,3,0)，B (5,1,0)距离相等的点的坐标P (x ，y ，z )满足的条件．【解】 ∵点P (x ，y ，z ) 由题意可得|P A |＝(x －2)2＋(y －3)2＋22|PB |＝(x －5)2＋(y －1)2＋22∵|P A |＝|PB |， ∴(x －2)2＋(y －3)2＋22 ＝(x －5)2＋(y －1)2＋22，整理得6x －4y －13＝0，∴P 点坐标满足条件为6x －4y －13＝0.解析法在空间直角坐标系中的应用。

活动一：创设情景、引入课题 (5分钟)问题1：回忆，如何定义空间直角坐标系？问题2：空间直角坐标系中，点的坐标如何表示？对比平面直角坐标系中点的坐标表示？？ 问题3：回忆在平面上任意两点A ),(11y x ，B ),(22y x 之间距离的公式为|A B |=221221)()(y y x x -+-，那么对于空间中任意两点A ),,(111z y x ，B ),,(222z y x 之间距离的公式会是怎样呢？你猜猜？这就是我们这节课所要学习的内容.点题：今天我们将学习空间两点间的距离公式 活动二：师生交流、进入新知，(20分钟)问题4：空间中任间一点P (x ，y ，z )到原点O 之间的距离公式会是怎样呢？1、空间中任间一点P (x ， y ，z )到原点O 之间的距离公式|OP | =222x y z ++.思考：如果|OP | 是定长r ，那么x 2 + y 2 + z 2 = r 2表示什么图形？类比在平面直角坐标系中，方程222r y x =+表示原点或圆来回答？问题5：如果是空间中任间一点P 1 (x 1，y 1，z 1)到点P 2 (x 2，y 2，z 2)之间的距离公式是怎样呢？|P 1P 2| =222121212()()()x x y y z z -+-+-例1 : (1)已知点A 在y 轴 ，点B (0，1，2)且||5AB =，则点A 的坐标为 . 【解析】由题意设A (0，y ，0)，则2(1)45y -+=，解得：y = 0或y = 2，故点A 的坐标是(0，0，0)或(0，2，0)(2) 坐标平面yOz 上一点P 满足：(1)横、纵、竖坐标之和为2；(2)到点A (3，2，5)，B (3，5，2)的距离相等，求点P 的坐标.【解析】由题意设P (0，y ，z )，则2222222(03)(2)(5)(03)(5)(2)y z y z y z +=⎧⎨-+-+-=-+-+-⎩解得：11y z =⎧⎨=⎩ 故点P 的坐标为(0，1，1)练习(书本P 138页练习1、2)活动三：合作学习、探究新知(18分钟)例2．在yOz 平面上求与三个已知点A (3，1，2)，B (4，–2，–2)，C (0，5，1)等距离的点的坐标.。

4.3.2 空间两点间的距离公式整体设计教学分析平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣.三维目标1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力.3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神.重点难点教学重点：空间两点间的距离公式.教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容. 思路2.我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x 1-x 2|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式.推进新课新知探究提出问题①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示什么图形？在空间中方程x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形？⑥试根据②③推导两点之间的距离公式.活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.讨论结果：①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.图1②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A 作AB ⊥xOy 平面,垂足为B,过B 分别作BD ⊥x 轴,BE ⊥y 轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO 、BOD是直角三角形,所以BO 2=BD 2+OD 2,AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2,因此A 到原点的距离是d=222z y x ++.③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方.⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广.图2⑥如图2,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线,垂足是M,N,则M(x 1,y 1,0),N(x 2,y 2,0),于是可以求出|MN|=212212)()(y y x x -+-.再过点P 1作P 1H ⊥P 2N,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|.在Rt △P 1HP 2中,|P 1H|=|MN|=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.于是空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.应用示例例1 已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：(1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A 、B 都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.解:(1)设M(x,y,z)是线段AB 的中点,则根据中点坐标公式得 x=213+=2,y=203+=23,z=215+=3.所以AB 的中点坐标为(2,23,3). 根据两点间距离公式,得 d(A,B)=29)15()30()31(222=-+-+-, 所以AB 的长度为29.(2)因为点P(x,y,z)到A,B 的距离相等,所以有下面等式：222222)5()0()1()1()3()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x .化简得4x+6y-8z+7=0,因此,到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0.点评:通过本题我们可以得出以下两点：①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.②到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB 的中垂面.变式训练在z 轴上求一点M,使点M 到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等.解:设M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|,2222222)1()30()30()10()2()00()10(-+++++-=++-+-z z ,整理并化简,得z=-3,所以M(0,0,-3).例2 证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC 是一等腰三角形.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC 是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定.证明：由两点间距离公式得： |AB|=,72)12()31()47(222=-+-+- |BC|=6)23()12()75(222=-+-+-, |CA|=6)31()23()54(222=-+-+-.由于|BC|=|CA|=6,所以△ABC 是一等腰三角形.点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.变式训练三角形△ABC 的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC 是一直角三角形.活动：学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC 是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判定.解:因为三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以 |AB|=222)13()12()11(+-++-++=3, |BC|=23)15()10()10(222=+-++++, |CA|=222)53()02()01(+-+--+-=3.又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC 是直角三角形.例3 已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为( ) A.0 B.735 C.75 D.78 活动：学生阅读题目,思考解决问题的方法,教师提示,要求|AB|的最小值,首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|,然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值.解析:|AB|=222)33()23()1(-+-+-x x x =1932142+-x x =73575)78(142≥+-x . 当x=78时,|AB|的最小值为735. 故正确选项为B.答案：B点评:利用空间两点间的距离公式转化为关于x 的二次函数求最值是常用的方法. 知能训练课本本节练习1、2、3、4.拓展提升已知三棱锥P —ABC(如图4),PA ⊥平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),画出这个空间直角坐标系并求出直线AB 与x 轴所成的较小的角.图3解:根据已知条件,画空间直角坐标系如图3：以射线AC 为y 轴正方向,射线AP 为z 轴正方向,A 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz,过点B 作BE ⊥Ox,垂足为E,∵B(3m,m,0),∴E(3m,0,0).在Rt △AEB 中,∠AEB=90°,|AE|=3m,|EB|=m,∴tan ∠BAE=mm AE EB 3|||| =33.∴∠BAE=30°, 即直线AB 与x 轴所成的较小的角为30°.课堂小结1.空间两点间的距离公式的推导与理解.2.空间两点间的距离公式的应用.3.建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式.作业习题4.3 A 组3,B 组1、2、3.设计感想本节课从平面直角坐标系中两点之间的距离公式入手,创设问题情景,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离.为了培养学生的理性思维,在例题中,设计了由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中,用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,本节课的设计通过适当的创设情境,调动学生的学习兴趣.本节课以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想.把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,提高了能力、培养了兴趣、增强了信心.。

4.3.1 空间直角坐标系4.3.2空间两点间的距离公式三维目标1．知识与技能(1)通过具体情境，使学生感受建立空间直角坐标系的必要性．(2)了解空间直角坐标系，掌握空间点的坐标的确定方法和过程，感受类比思想在探究新知识过程中的作用．(3)理解空间两点间距离公式的推导过程，掌握空间两点间的距离公式．2．过程与方法让学生经历用类比的数学思想方法探索空间直角坐标系的建立方法，进一步体会数学概念、方法产生和发展的过程，学会科学的思维方法．3．情感、态度与价值观(1)通过用类比的数学思想方法探究新知识，使学生感受新旧知识的联系和研究事物从低维到高维的一般方法．(2)通过实际问题的引入和解决，让学生体会数学的实践性和应用性，感受数学刻画生活的作用，不断地拓展自己的思维空间．重点难点重点：空间直角坐标系的有关概念，空间点的坐标的确定方法及空间两点间的距离公式．难点：空间直角坐标系的产生过程及空间两点间距离公式的推导．重难点突破：以学生熟知的身边实例为切入点，让学生感知建立空间直角坐标系的必要性，在此基础上，类比平面直角坐标系的建系原则，引导学生建立空间直角坐标系，同时借助长方体，以形象直观的方式，引入空间点的坐标及空间两点间的距离公式．为了更好的突出重点、突破难点，教师可适当引入案例，通过学生的训练及教师的点拨，帮助学生实现知识的内化．【课前自主导学】 课标解读 1.了解空间直角坐标系的建系方式．(难点)2.能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点、易错点)3.理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．(难点)4.掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．(重点)知识1空间直角坐标系【问题导思】(1)在数轴上(如图1)，一个实数就能确定一个点的位置．图1(2)在平面直角坐标系中(如图2)，需要一对有序实数才能确定一个点的位置．图21．为了确定空间中任意一点的位置，需要几个实数？【提示】 三个．2．空间直角坐标系需要几个坐标轴，它们之间什么关系？【提示】空间直角坐标系需要三个坐标轴，它们之间两两相互垂直．3．空间直角坐标系中，设点P 在xOy 平面上，则点P 的坐标有何特点？点P 在yOz 平面呢？点P 在xOz 平面呢？【提示】 竖坐标为0，横坐标为0，纵坐标为0.1．空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这样就建立了一个空间直角坐标系Oxyz .(2)相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、xOz平面．2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．3．空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．其中x叫做点M 的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.知识2空间两点间的距离公式【问题导思】1．平面直角坐标系中，若O(0,0)，P(x，y)，则|OP|为多少？若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|为多少？【提示】|OP|＝x2＋y2，|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.2．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其对角线AC1的长等于多少？【提示】a2＋b2＋c2.空间两点间的距离公式(1)在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|＝x2＋y2＋z2.(2)在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距离|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.【课堂互动探究】类型1求空间点的坐标例1如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝BC＝3，AB＝5，AA1＝4，建立适当的直角坐标系，写出此长方体各顶点的坐标．【思路探究】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，先找出点在平面xDy内的射影以确定其横纵坐标，再找出点在z轴上的射影以确定其竖坐标．【解】如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Dxyz.由题意知长方体的棱长AD＝BC＝3，DC＝AB＝5，DD1＝AA1＝4，显然D(0,0,0)，A在x轴上，∴A(3,0,0)；C在y轴上，∴C(0,5,0)；D1在z轴上，∴D1(0,0,4)；B在xOy平面内，∴B(3,5,0)；A1在xOz平面内，∴A1(3,0,4)；C1在yOz平面内，∴C1(0,5,4)．由B1在xOy平面内的射影为B(3,5,0)，∴B1的横坐标为3，纵坐标为5，∵B1在z轴上的射影为D1(0,0,4)，∴B1的竖坐标为4，∴B1(3,5,4)．规律方法1．建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则：(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上．(2)充分利用几何图形的对称性．2．求某点M的坐标的方法：作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点坐标(x，y，z)．3．坐标平面上的点的坐标特征：xOy平面上的点的竖坐标为0，即(x，y,0)．yOz平面上的点的横坐标为0，即(0，y，z)．xOz平面上的点的纵坐标为0，即(x,0，z)．4．坐标轴上的点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0，即(x,0,0)．y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0，即(0，y,0)．z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0，即(0,0，z)．变式训练已知三棱锥S－ABC，SA⊥面ABC，SA＝2，△ABC为正三角形且边长为2，如图所示建立空间直角坐标系后，试写出各顶点坐标．图1 图2【解】∵SA⊥面ABC，且SA＝2，∴S(0,0,2)．∵A为原点，∴A(0,0,0)．∵C点在y轴上，且AC＝2，∴C(0,2,0)．B点位于平面xAy内，由B向AC 作垂线交AC于D，则AD＝1，BD＝3，∴B(3，1,0).类型2求对称点的坐标例2在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．【思路探究】求对称点的坐标，可以过该点向对称平面或对称轴作垂线并延长使得垂足为所作线段的中点，再根据有关性质即可写出对称点坐标．【解】(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．规律方法1．求对称点的坐标可按以下规律写出：“关于谁对称谁不变，其余的符号均相反”，如关于x 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy 坐标平面对称的点，横、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．特别地，若关于原点对称，则三个坐标均变为原来的相反数．2．在空间直角坐标系中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则线段AB 的中点坐标为x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.变式训练求点M (a ，b ，c )关于坐标平面，坐标轴及坐标原点的对称点的坐标．【解】 点M 关于xOy 平面的对称点M 1的坐标为(a ，b ，－c )，关于xOz 平面的对称点M 2的坐标为(a ，－b ，c )，关于yOz 平面的对称点M 3的坐标为 (－a ，b ，c )．关于x 轴的对称点M 4的坐标为(a ，－b ，－c )，关于y 轴的对称点M 5的坐标为(－a ，b ，－c )，关于z 轴的对称点M 6的坐标为(－a ，－b ，c )，关于原点对称的点M 7的坐标为(－a ，－b ，－c ). 类型3 求空间两点间的距离例3 已知△ABC 的三个顶点A (1,5,2)，B (2,3,4)，C (3,1,5)．(1)求△ABC 中最短边的边长； (2)求AC 边上中线的长度．【思路探究】 本题是考查空间两点间的距离公式的运用，直接运用公式计算即可．【解】 (1)由空间两点间距离公式得|AB |＝(1－2)2＋(5－3)2＋(2－4)2＝3，|BC |＝(2－3)2＋(3－1)2＋(4－5)2＝6，|AC |＝(1－3)2＋(5－1)2＋(2－5)2＝29，∴△ABC 中最短边是|BC |，其长度为 6.(2)由中点坐标公式得，AC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3，72. ∴AC 边上中线的长度为(2－2)2＋(3－3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－722＝12.1．求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键．2．若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算．变式训练已知点A(4,5,6)，B(－5,0,10)，在z轴上有一点P，使|P A|＝|PB|，则点P的坐标是________．【解析】设点P(0,0，z)，则由|P A|＝|PB|，得(0－4)2＋(0－5)2＋(z－6)2＝(0＋5)2＋(0－0)2＋(z－10)2，解得z＝6，即点P的坐标是(0,0,6)．【答案】(0,0,6)【易错易误辨析】因对空间直角坐标系中三轴间的关系不清导致建系错误典例在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，建立适当的直角坐标系，并写出各点的坐标．【错解】如图(1)所示，分别以AB，AC，AA1所在的直线为x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)．∵各棱长均为1，且B，C，A1均在坐标轴上，∴B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，C1(0,1,1)．【错因分析】∵三棱柱各棱长均为1，∴△ABC为正三角形，即∠BAC＝60°，故本题做错的根本原因在于建立直角坐标系时没有抓住空间直角坐标系三条坐标轴两两垂直的本质．【防范措施】建立空间直角坐标系时，应选择从一点出发的三条两两垂直的线作为坐标轴，如果图中没有满足条件的直线，可以通过“辅助线”达到建系的【正解】 如图(2)所示，取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1，连接BO ，OO 1，可得BO ⊥AC ，BO ⊥OO 1，分别以OB ，OC ，OO 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．∵各棱长均为1，∴OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32.∵A ，B ，C 均在坐标轴上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0. ∵点A 1，C 1均在yOz 平面内，∴A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1. ∵点B 1在xOy 面内的射影为点B ，且BB 1＝1，∴B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1. 【课堂小结】1．结合长方体的长宽高理解点的坐标(x ，y ，z )，培养立体思维，增强空间想象力．2．学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系．3．在导出空间两点间的距离公式的过程中体会转化化归思想的应用，突出化空间为平面的解题思想.【当堂达标检测】1．点(2,0,3)位于( )A ．y 轴上B ．xOy 平面上C ．xOz 平面上D ．第一象限内【解析】 点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在xOz 平面上．【答案】 C2．在空间直角坐标系中，点A (1,0,1)与点B (2,1，－1)间的距离为________．【解析】 |AB |＝(2－1)2＋(1－0)2＋(－1－1)2＝ 6.【答案】 63．点P (1,1,1)关于xOy 平面的对称点P 1的坐标为________；点P 1关于z 轴的对 称点P 2的坐标为________．【解析】点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(1,1，－1)，P1关于z轴的对称点P2的坐标为(－1，－1，－1)．【答案】(1,1，－1)(－1，－1，－1)4．如图所示，在长方体DABC－D′A′B′C′中，|DA|＝6，|DC|＝8，|DD′|＝5，(1)求D′，C，A′，B′四点的坐标；(2)求|A′C|.【解】因为D′在z轴上，且|DD′|＝5，所以它的竖坐标是5，横坐标x与纵坐标y都是0，所以点D′的坐标是(0,0,5)．因为点C在y轴上，且|DC|＝8，所以它的纵坐标是8，横坐标x与竖坐标z 都是0，所以点C的坐标是(0,8,0)．同理，点A′的坐标为(6,0,5)．点B′在xOy平面内的射影是点B，因此它的横坐标x与纵坐标y同点B的横坐标x与纵坐标y，在xOy平面上，点B的横坐标x＝6，纵坐标y＝8，点B′在z 轴上的射影是点D′，它的竖坐标与点D′的竖坐标相同，点D′的竖坐标z＝5，所以点B′的坐标是(6,8,5)．(2)|A′C|＝(6－0)2＋(0－8)2＋(5－0)2＝5 5.。

4.3.2空间两点间的距离公式教案1． 教学任务分析通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式2． 教学重点和难点重点：空间两点间的距离公式难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。

3． 教学过程（1）在空间直角坐标系中，任意一点P(x,y,z)到原点的距离：(2) 在空间直角坐标系中，任意两点P 1(x 1,y 1,z 1)和P 2(x 2,y 2,z 2)间的距离：（3）练习1、在空间直角坐标系中，已知两点A 、B 坐标，求出它们之间的距离：(1)A(2,3,5) B(3,1,4)；(2)A(6,0,1) B(3,5,7)2、在z 轴上求一点M ，使得点M 到点A(1，0，2)与点B(1，-3，1)的距离相等。

3、如图，正方体OABC-D`A`B`C`的棱长为a ，|AN|=2|CN|，|BM|=2|MC`|，求MN 的长.，，连接平面的垂线，垂足为点做过OP')0,,(P'P y x xy 222222222|'||'||OP |OPP')0y ()0(|OP |z y x PP OP y x x y x ++=+=∆+=-+-=中，在轴构成的平面上，轴在H.N P MN P MN,M,xy P N xy P 2112于的平行线，交作过连接平面的垂线，垂足为做；过平面的垂线，垂足为做过2212212212122212112221221221221122221111)()()(|H P ||H P ||P P |H P P RT |z z ||NH ||N P ||H P |||)y -y ()x -x (|MN |),N(),y ,M(x ),,,(P ),z ,y ,(x P z z y y x x H P y x y x z y x -+-+-=+=∆∴-=-==+=中，在，可得：轴的平面上，轴则在已知Θ70)71()50()36(|AB |)2(6)45()13()32(|AB |)1(222222=-+-+-==-+-+-=有：解：由两点间距离公式)3,0,0(M 3)1()30()10()2()00()10(|MB ||MA |),0,0(M 222222-∴-=-+++-=-+-+-=点的坐标为。

空间两点间的距离公式教案教案标题：空间两点间的距离公式教案教案目标：1. 理解空间中两点之间的距离概念；2. 学习并掌握空间两点间的距离公式；3. 运用距离公式解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备：投影仪、电脑、教学PPT、白板、黑板、书籍、练习题；2. 学生准备：纸、铅笔、计算器。

教学过程：步骤一：导入新知识1. 利用投影仪或黑板绘制一个空间坐标系，引导学生回顾平面坐标系的概念和用法。

2. 引导学生思考，空间中两点之间的距离是否与平面上两点之间的距离有何不同。

步骤二：引入距离公式1. 通过教学PPT或书籍，向学生介绍空间两点间的距离公式：d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)。

2. 解释公式中各符号的含义：(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)分别表示两点的坐标，d 表示两点之间的距离。

3. 指导学生通过几个示例计算实际距离，加深对公式的理解。

步骤三：练习与巩固1. 分发练习题，让学生独立或合作完成。

2. 鼓励学生在计算过程中使用计算器，但同时要提醒他们理解公式的原理和计算步骤。

3. 收集学生的答案，进行讲评，解答学生可能存在的疑惑。

步骤四：拓展应用1. 引导学生思考，如何应用距离公式解决实际问题，例如计算两个建筑物之间的距离、飞机的飞行距离等。

2. 提供一些实际问题，让学生运用所学知识进行解决。

3. 鼓励学生在解决问题的过程中运用创造性思维，提出自己的解决方案。

步骤五：总结与评价1. 总结本节课所学的内容，强调空间两点间距离公式的重要性和应用价值。

2. 对学生的学习情况进行评价，鼓励他们继续巩固和拓展所学知识。

教学延伸：1. 鼓励学生通过实际测量与计算，验证空间两点间的距离公式的准确性。

2. 引导学生探索其他空间几何问题，如点到平面的距离、线段长度等，并引入相关公式。

教学反思：本节课通过引入空间两点间的距离公式，帮助学生理解和应用该公式解决实际问题。

人教A版高中数学必修教案：空间两点间的距离公式一、教学目标：1. 理解空间两点间的距离公式的推导过程。

2. 掌握空间两点间的距离公式的应用。

3. 培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。

二、教学重点：1. 空间两点间的距离公式的推导。

2. 空间两点间的距离公式的应用。

三、教学难点：1. 空间两点间的距离公式的理解。

2. 空间两点间的距离公式的灵活运用。

四、教学准备：1. 教师准备PPT或者黑板，展示空间两点间的距离公式及相关例题。

2. 学生准备笔记本，记录教学内容和解题步骤。

五、教学过程：1. 引入新课：通过简单的实例，引导学生思考空间两点间的距离如何计算。

2. 推导公式：引导学生通过几何图形的分析，推导出空间两点间的距离公式。

3. 讲解公式：解释空间两点间的距离公式的含义，解释各个变量的意义。

4. 例题讲解：通过具体的例题，讲解如何应用空间两点间的距离公式进行计算。

5. 练习巩固：让学生独立完成一些练习题，巩固对空间两点间的距离公式的理解和应用。

6. 总结归纳：对本次课程的内容进行总结，强调重点和难点。

7. 作业布置：布置一些相关的作业题，让学生进一步巩固所学内容。

六、教学拓展：1. 通过多媒体展示空间几何体的图像，帮助学生更好地理解空间两点间的距离公式。

2. 引导学生思考空间两点间的距离公式在实际问题中的应用，如测量、建筑设计等。

七、课堂互动：1. 教师提出问题，引导学生思考并回答空间两点间的距离公式的推导过程。

2. 学生分组讨论，分享彼此对空间两点间的距离公式的理解和应用方法。

3. 教师选取学生的回答进行点评和指导，帮助学生巩固知识点。

八、教学评价：1. 课堂讲解：评价学生对空间两点间的距离公式的理解和掌握程度。

2. 练习题：评价学生对空间两点间的距离公式的应用能力。

3. 作业：评价学生对空间两点间的距离公式的巩固和运用情况。

九、课后作业：1. 复习空间两点间的距离公式，巩固知识点。

2. 完成一些相关的习题，提高对空间两点间的距离公式的应用能力。

4.3.2 空间两点间的距离公式（一）教学目标1．知识与技能 使学生掌握空间两点间的距离公式 2．过程与方法3．情态与价值观通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程（二）教学重点、难点重点：空间两点间的距离公式；难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。

（3）如果|OP | 是定长r 先推导特殊情况下空间两点间的距离公式推导一般情况下的空间两点间的距离公式巩固练习1．先在空间直角坐标系中标出A、B两点，再求它们之间的距离：（1）A(2，3，5)，B(3 1，4)；（2）A(6，0，1)，B(3备选例题例1 已知点A 在y 轴 ，点B (0，1，2)且||AB =A 的坐标为.【解析】由题意设A (0，y ，0)=解得：y = 0或y = 2，故点A 的坐标是(0，0，0)或(0，2，0) 例2 坐标平面yOz 上一点P 满足：（1）横、纵、竖坐标之和为2；（2）到点A (3，2，5)，B (3，5，2)的距离相等，求点P 的坐标.【解析】由题意设P (0，y ，z )，则2222222(03)(2)(5)(03)(5)(2)y z y z y z +=⎧⎨-+-+-=-+-+-⎩ 解得：11y z =⎧⎨=⎩ 故点P 的坐标为(0，1，1)例3 在yOz 平面上求与三个已知点A (3，1，2)，B (4，–2，–2)，C (0，5，1)等距离的点的坐标.【解析】设P (0，y ，z )，由题意||||||||PA PC PB PC =⎧⎨=⎩所以==即4607310y zy z--=⎧⎨+-=⎩，所以12yz=⎧⎨=-⎩，所以P的坐标是(0，1，–2).。

空间两点间的距离公式教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解空间两点间的距离公式的推导过程；（2）掌握空间两点间的距离公式的应用；（3）培养空间想象能力和逻辑思维能力。

2. 过程与方法：（1）通过实例引入空间两点间的距离问题；（2）引导学生参与公式的推导过程，培养学生的探究能力；（3）运用公式解决实际问题，提高学生的应用能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和自信心；（2）培养学生勇于探究、合作学习的精神；（3）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）空间两点间的距离公式的推导过程；（2）空间两点间的距离公式的应用。

2. 教学难点：（1）空间两点间的距离公式的推导；（2）空间想象能力和逻辑思维能力的培养。

三、教学过程1. 导入新课：（1）利用实例引入空间两点间的距离问题；（2）引导学生思考如何计算空间两点间的距离。

2. 探究与交流：（1）分组讨论，引导学生参与公式的推导过程；（2）展示推导过程，讲解公式及其含义；（3）让学生运用公式计算实例中的空间两点间距离。

3. 巩固练习：（1）布置练习题，让学生独立完成；（2）挑选学生进行讲解，评价其解题过程；（3）针对学生存在的问题进行讲解和辅导。

四、课堂小结2. 强调空间想象能力和逻辑思维能力在解题中的重要性；3. 激发学生对下一节课内容的兴趣。

五、课后作业1. 完成课后练习题，巩固空间两点间的距离公式的应用；2. 预习下一节课内容，为课堂学习做好准备。

六、教学策略1. 实例导入：通过现实生活中的实例，如测量两地间的距离、判断物体间的位置关系等，引出空间两点间的距离问题。

2. 合作学习：组织学生分组讨论，共同探究空间两点间的距离公式的推导过程。

3. 直观教学：利用模型、图片等直观教具，帮助学生建立空间形象，理解空间两点间的距离概念。

4. 练习巩固：设计不同难度的练习题，让学生在练习中掌握空间两点间的距离公式的应用。

人教A版高中数学必修教案：空间两点间的距离公式一、教学目标1. 理解空间两点间的距离公式的推导过程。

2. 掌握空间两点间的距离公式的应用。

3. 培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。

二、教学重点1. 空间两点间的距离公式的推导。

2. 空间两点间的距离公式的应用。

三、教学难点1. 空间两点间的距离公式的理解与记忆。

2. 在实际问题中灵活运用空间两点间的距离公式。

四、教学准备1. 教师准备PPT，包括空间两点间的距离公式及相关例题。

2. 学生准备笔记本，用于记录公式和解答过程。

五、教学过程1. 引入新课通过提问方式引导学生回顾平面两点间的距离公式，激发学生对空间两点间距离公式的兴趣。

2. 推导公式教师引导学生思考空间两点间的距离应该如何表示，通过画图和几何分析，引导学生推导出空间两点间的距离公式。

3. 讲解公式教师详细讲解空间两点间的距离公式的含义，强调公式中各符号的意义和公式的适用范围。

4. 例题讲解教师选取典型例题，讲解如何运用空间两点间的距离公式进行计算，引导学生跟着解答过程，加深对公式的理解。

5. 练习巩固学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。

6. 总结与拓展教师总结本节课的主要内容，提醒学生注意空间两点间距离公式的应用。

给出拓展问题，激发学生的学习兴趣。

7. 布置作业教师布置作业，要求学生熟记空间两点间的距离公式，并运用公式解决实际问题。

8. 教学反思教师在课后反思本节课的教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略。

9. 学生反馈学生通过课后反馈，向教师反映对本节课教学内容的掌握情况，以及在学习过程中遇到的问题。

10. 家校沟通教师与家长保持沟通，了解学生在家庭环境下的学习状况，鼓励家长关注学生的数学学习。

六、教学评价1. 通过课堂讲解、练习和作业，评价学生对空间两点间的距离公式的理解和掌2. 关注学生在解决问题时的思维过程和方法，评价其空间想象能力和解决问题的能力。

3. 结合学生的课堂表现和作业完成情况，全面评价学生的学习效果。

4.3.2空间两点间的距离公式一、教学目标(一)核心素养通过这节课学习,理解空间两点间距离的概念、体会平面点的距离与空间点的距离之间的关系,会用距离公式表示空间中两点间的距离,在直观想象、数学抽象中感受距离的几何意义.(二)学习目标1.了解平面两点间的距离与空间两点间的距离之间的关系.2.理解空间两点间的距离公式的概念.3.掌握用距离公式计算空间两点间的距离的方法.(三)学习重点1.不同维度下距离公式的特点.2.两点间的距离公式的含义.3.空间中两点间的距离的计算方法.(四)学习难点1.平面距离与空间距离的差别.2.距离公式的几何意义.3.建立适当的空间直角坐标系计算空间两点间的距离.二、教学设计(一)课前设计1.预习任务(1)读一读:阅读教材第136页至第137页,填空:在空间中,点P (x ,y ,z )到坐标原点O 的距离|OP |在空间中,P 1(x 1,y 1,z 1)与P 2(x 2,y 2,z 2)的距离|P 1P 2|(2)写一写:线段中点的坐标是什么？在空间直角坐标系中,若已知点A (x 1,y 1,z 1)与点B (x 2,y 2,z 2),则线段AB 的中点坐标是121212(,,)222x x y y z z +++. 2.预习自测1.已知空间三点的坐标为A (1,5,2-),B (2,4,1),C (p ,3,q +2),若A 、B 、C 三点共线,则p 、q 的值分别为( )A.3,2B.2,3C.3-,2D.3,2-答案：A.2.正方体不在同一平面上的两顶点为A (1-,2,1-),B (3,2-,3),则正方体的体积是()A.16B.192C.64D.48答案：C.3.点P (1,2,3)关于点Q (4,5,6)的对称点的坐标为()A.(7,8,9)B.(9,8,7)C.(5,7,9)D.(9,7,5)答案：A.(二)课堂设计1.知识回顾（1）空间一点M 的坐标可以用三元有序实数组(x ,y ,z )来表示,有序实数组(x ,y ,z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标,记作M (x ,y ,z ).（2）点(x ,y ,z )关于坐标平面xOy 的对称点的坐标为(x ,y ,-z );关于坐标平面yOz 的对称点的坐标为(-x ,y ,z );关于坐标平面zOx 的对称点的坐标为(x ,-y ,z ).（3）中点公式：1111(,,)P x y z 与2222(,,)P x y z 的中点的坐标为(122x x +,122y y +,122z z +). 2.问题探究探究一 重温平面距离,认识空间距离●活动①数形结合,重温平面距离平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.【设计意图】回忆点与线段之间的关系,体会数形结合的思想.●活动②数形结合,重温平面距离设A (x ,y ,z )是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算?图1如图1,设A (x ,y ,z )是空间任意一点,过A 作AB ⊥xOy 平面,垂足为B ,过B 分别作BD ⊥x 轴,BE ⊥y 轴,垂足分别为D ,E .根据坐标的含义知,AB =z ,BD =x ,BE =OD =y ,由于三角形ABO 、BOD 是直角三角形,所以BO 2=BD 2+OD 2,AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2,因此A 到原点的距离是d 【设计意图】回忆点的投影关系,体会数形结合的思想.●活动③类比推广,认识空间距离给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.【设计意图】类比一维的数轴与二维的平面,推广至三维的空间,体会几何的直观性. 探究二 探究两点间的距离的计算方法●活动①类比推广,认识空间在空间直角坐标系中,空间两点之间的距离应怎样计算？由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d =212212)()(y y x x -+-,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d =212212212)()()(z z y y x x -+-+-,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方.【设计意图】类比一维的数轴与二维的平面,推广至三维的空间,体会几何的直观性 ●活动②类比推广,认识空间平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示什么图形？在空间中方程x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形？图2平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广.【设计意图】类比一维的数轴与二维的平面,推广至三维的空间,体会几何的直观性 ●活动③类比推广,认识空间试根据②③推导两点之间的距离公式.如图2,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离.我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线,垂足是M ,N ,则M (x 1,y 1,0),N (x 2,y 2,0),于是可以求出|MN |=212212)()(y y x x -+-.再过点P 1作P 1H ⊥P 2N ,垂足为H ,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|.在Rt △P 1HP 2中,|P 1H |=|MN |=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.于是空间两点之间的距离公式是d =212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.【设计意图】类比一维的数轴与二维的平面,推广至三维的空间,体会几何的直观性 探究三 结合实例、探究空间两点间距离的表示方法●活动①归纳梳理、理解提升例1.已知A (3,3,1),B (1,0,5),求：(1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A ,B 两点的距离相等的点P (x ,y ,z )的坐标满足的条件.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A 、B 都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.解:(1)设M (x ,y ,z )是线段AB 的中点,则根据中点坐标公式得x =213+=2,y =203+=23,z =215+=3.所以AB 的中点坐标为(2,23,3). 根据两点间距离公式,得d (A ,B )=29)15()30()31(222=-+-+-,所以AB 的长度为29.(2)因为点P (x ,y ,z )到A ,B 的距离相等, 所以有等式：222222)5()0()1()1()3()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x .化简得4x ＋6y －8z ＋7＝0,因此,到A ,B 两点的距离相等的点P (x ,y ,z )的坐标满足的条件是4x ＋6y －8z ＋7＝0.点评:通过本题我们可以得出以下两点：①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.②到A ,B 两点的距离相等的点P (x ,y ,z )构成的集合就是线段AB 的中垂面.变式训练：1.在z 轴上求一点M ,使点M 到点A (1,0,2),B (1,-3,1)的距离相等.解:设M (0,0,z ),由题意得|MA |=|MB |,2222222)1()30()30()10()2()00()10(-+++++-=++-+-z z ,整理并化简,得z =-3,所以M (0,0,-3).【设计意图】通过学生自主阅读与归纳,培养学生的数学抽象、归类整理意识.●活动②互动交流、初步实践例2.证明以A (4,3,1),B (7,1,2),C (5,2,3)为顶点的△ABC 是一等腰三角形.活动:学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC 是一等腰三角形,只需求出|AB |,|BC |,|CA |的长,根据边长来确定.证明:由两点间距离公式得：|AB |=,72)12()31()47(222=-+-+-|BC |=6)23()12()75(222=-+-+-,|CA |=6)31()23()54(222=-+-+-.由于|BC |=|CA |=6,所以△ABC 是一等腰三角形.点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.变式训练2.三角形△ABC 的三个顶点坐标为A (1,-2,-3),B (-1,-1,-1),C (0,0,-5),试证明△ABC 是一直角三角形.活动:学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC 是一直角三角形,只需求出|AB |,|BC |,|CA |的长,利用勾股定理的逆定理来判定.证明:因为三个顶点坐标为A (1,-2,-3),B (-1,-1,-1),C (0,0,-5),所以|AB |=222)13()12()11(+-++-++=3,|BC |=23)15()10()10(222=+-++++,|CA |=222)53()02()01(+-+--+-=3.又因为|AB |2+|CA |2=|BC |2,所以△ABC 是直角三角形.【设计意图】通过几何的直观性与代数的严谨性,培养数形结合的基本功.3.课堂总结知识梳理(1)空间两点间的距离公式的推导与理解.(2)空间两点间的距离公式的应用.(3)建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式.重难点归纳(1)结合长方体的长宽高理解点的坐标(x ,y ,z ),培养立体思维,增强空间想象力.(2)学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则,切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系.(3)在导出空间两点间的距离公式中体会转化与化归思想的应用,突出化空间为平面的解题思想.(三)课后作业基础型自主突破1.若A (1,3,-2)、B (-2,3,2),则A 、B 两点间的距离为( ) A.61B.25C.5D.57答案：C.解析：【知识点】两点间距离的公式.【数学思想】数形结合.=.5点拨：根据距离公式进行计算.2.在长方体ABCD－A1B1C1D1中,若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3),则对角线AC1的长为( )A.9B.29C.5D.2 6答案：B.解析：【知识点】两点间距离的公式.【数学思想】数形结合.【解题过程】由已知求得C1(0,2,3),∴|AC1|＝29.点拨：根据距离公式进行计算.3.到点A(-1,-1,-1),B(1,1,1)的距离相等的点C(x,y,z)的坐标满足( )A.x＋y＋z＝－1B.x＋y＋z＝0C.x＋y＋z＝1D.x＋y＋z＝4答案：B.解析：【知识点】两点间距离的公式.【数学思想】数形结合.【解题过程】|AC|＝|BC|⇒(x＋1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2.即x＋y＋z＝0. 点拨：根据距离公式进行计算.4.已知A(2,1,1),B(1,1,2),C(2,0,1),则下列说法中正确的是( )A.A、B、C三点可以构成直角三角形B.A、B、C三点可以构成锐角三角形C.A、B、C三点可以构成钝角三角形D.A、B、C三点不能构成任何三角形【知识点】两点间距离与勾股定理.【数学思想】数形结合.【解题过程】|AB|＝2,|BC|＝3,|AC|＝1,∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2.故构成直角三角形. 点拨：根据距离公式进行计算.答案：A.5.已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x-2,2-x),当|AB|取最小值时,x的值为( )A.19B.-8 7C.8 7D.19 14答案：C.解析：【知识点】两点间距离与二次函数. 【数学思想】数形结合.【解题过程】|AB|＝14x2－32x＋19,∴当x＝－－322×14＝87时,|AB|最小.点拨：先转化为二次函数,再求函数最值.6.点P(x,y,z)2=,则点P在( )A.以点(1,1,-1)为球心,以2为半径的球面上B.以点(1,1,-1)为中心,以2为棱长的正方体内C.以点(1,1,-1)为球心,以2为半径的球面上D.无法确定答案：C.解析：【知识点】两点间距离与球面公式.【数学思想】数形结合.【解题过程】视为动点P (x ,y ,z )到定点(1,1,-1)的距离为2.点拨：根据几何意义进行判断.能力型师生共研7.在空间直角坐标系中,正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A (3,-1,2),其中心M 的坐标为(0,1,2),则该正方体的棱长为________.【知识点】立方体的对称性.【数学思想】数形结合.=点拨：根据几何意义进行计算. 答案：2393.8.已知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52，z 到直线AB 中点的距离为3,其中A (3,5,-7),B (-2,4,3),则z ＝________. 答案：0或-4.解析：【知识点】点的对称性.【数学思想】数形结合.【解题过程】利用中点坐标公式,则AB 中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，92，－2,|PC |＝3,即3=,解得z ＝0或z ＝-4. 点拨：根据距离公式进行计算.探究型多维突破9.在空间直角坐标系中,已知点A (1,0,2),B (1,-3,1),点M 在y 轴上,且M 到A 与到B 的距离相等,则M 的坐标是________.答案：(0,-1,0).解析：【知识点】点的对称性.【数学思想】数形结合.【解题过程】设M 的坐标为(0,y,0),由|MA |＝|MB |得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2,整理得6y ＋6＝0,∴y ＝-1,即点M 的坐标为(0,-1,0).点拨：根据距离公式进行计算.10.在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ,使它到点N (6,5,1)的距离最小. 答案：(1,0,0).解析：【知识点】两点距离与二次函数最值.【数学思想】数形结合.【解题过程】∵点M 在直线x ＋y ＝1(xOy 平面内)上,∴可设M (x,1-x,0).∴|MN |=≥当且仅当x ＝1时取等号,∴当点M 坐标为(1,0,0)时,|MN |min ＝51.点拨：先转化为二次函数,再求最值.自助餐1.已知A (x ,5-x ,2x -1),B(1,x +2,2-x ),则|AB |的最小值为( ) A.0 B.735 C.75 D.78 答案：B.解析：【知识点】两点距离与二次函数最值. 【数学思想】数形结合.【解题过程】|AB |=222)33()23()1(-+-+-x x x =1932142+-x x =73575)78(142≥+-x . 当x =78时,|AB|的最小值为735.故正确选项为B. 点拨：先转化为二次函数,再求最值.2.已知点A (1-t,1-t ，t )，B (2，t ，t )，则|AB |的最小值为( )B.答案：A.解析：【知识点】两点距离与二次函数最值. 【数学思想】数形结合.【解题过程】|AB≥当t＝15时，|AB|取最小值，最小值为355.故正确选项为A.点拨：先转化为二次函数,再求最值.3.已知A(1,2,3)、B(6,5,4),到A、B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标x、y、z满足的条件为_________.答案：10x＋6y＋2z-63＝0.解析：【知识点】两点间的距离公式.【数学思想】数形结合.【解题过程】因为点P(x,y,z)到A、B的距离相等,=,化简得10x＋6y＋2z-63＝0,即到A、B距离相等的点P的坐标(x,y,z)满足的条件是10x＋6y＋2z-63＝0.点拨：先根据几何意义写出恒等式,再化简得到轨迹方程.4.如图所示,BC＝4,原点O是BC的中点,点A的坐标为(32,12,0),点D在平面yOz上,且∠BDC＝90°,∠DCB＝30°,面积AD的长度为_______.6.解析：【知识点】解三角形.【数学思想】数形结合.【解题过程】由题意得B (0,-2,0),C (0,2,0),设D (0,y ,z ),则在Rt △BDC 中,∠DCB ＝30°,∴BD ＝2,CD ＝23,z ＝3,y ＝-1.∴D (0,-1,3).又∵A (32,12,0),∴|AD |＝=点拨：根据距离公式进行计算.5.已知正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1,且平面ABCD ⊥平面ABEF ,点M 在AC 上移动,点N 在BF 上移动,若CM ＝BN ＝a (0＜a ＜2).(1)求MN 的长；(2)当a 为何值时,MN 的长最小.答案：(1)⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12;(2)当a ＝22时,|MN |最短. 解析：【知识点】立方几何与二次函数.【数学思想】数形结合.【解题过程】∵平面ABCD ⊥平面ABEF ,平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ,AB ⊥BE ,∴BE ⊥平面ABCD ,∴AB 、BC 、BE 两两垂直.过点M 作MG ⊥AB ,MH ⊥BC ,垂足分别为G 、H ,连接NG ,易证NG ⊥AB .∵CM ＝BN ＝a ,∴CH ＝MH ＝BG ＝GN ＝22a ,∴以B 为原点,以AB 、BE 、BC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz ,则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a ,N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0. (1)|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02a 2－2a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12, (2)由(1)得,当a ＝22时,|MN |最短,最短为22,这时M 、N 恰好为AC 、BF 的中点.点拨：先转化为二次函数,再求函数最值.6.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,|AB |＝|AD |＝3,|AA 1|＝2,点M 在A 1C 1上,|MC 1|＝2|A 1M |,N 在D 1C 上且为D 1C 中点,求M 、N 两点间的距离.答案：212.解析：【知识点】立方体的对称性.【数学思想】数形结合.【解题过程】如图分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.由题意可知C (3,3,0),D (0,3,0),∵|DD 1|＝|CC 1|＝2,∴C 1(3,3,2),D 1(0,3,2),∵N 为CD 1的中点,∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，1. M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点,∴M (1,1,2).由两点间距离公式,得|MN |＝212. 点拨：根据立方体的对称性进行计算.。

空间两点间的距离公式教案一、教学目标：1. 让学生理解空间两点间的距离公式的概念和意义。

2. 引导学生掌握空间两点间的距离公式的推导过程。

3. 培养学生运用空间两点间的距离公式解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 空间两点间的距离公式的定义和表达式。

2. 空间两点间的距离公式的推导过程。

3. 空间两点间的距离公式的应用实例。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：空间两点间的距离公式的定义和表达式，推导过程，应用实例。

2. 教学难点：空间两点间的距离公式的推导过程。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间两点间的距离公式的推导过程。

2. 利用几何模型和实物模型，帮助学生形象直观地理解空间两点间的距离公式。

3. 提供丰富的练习题，让学生在实践中巩固空间两点间的距离公式的应用。

五、教学过程：1. 导入：通过简单的例子，引入空间两点间的距离公式的概念。

2. 新课：讲解空间两点间的距离公式的定义和表达式，推导过程。

3. 应用：提供一些实际问题，让学生运用空间两点间的距离公式进行解决。

4. 练习：布置一些练习题，让学生巩固空间两点间的距离公式的应用。

5. 小结：总结本节课的主要内容和知识点。

6. 作业：布置一些作业题，让学生进一步巩固空间两点间的距离公式的应用。

六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对空间两点间距离公式的理解和掌握程度。

2. 练习题：布置一些针对性强的练习题，评估学生对空间两点间距离公式的应用能力。

3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，评估学生在团队合作中解决问题的能力。

七、教学资源：1. 几何模型：使用三维几何模型，帮助学生直观理解空间两点间的距离。

2. 教学软件：利用多媒体教学软件，展示空间两点间的距离公式的推导过程。

3. 练习题库：准备一定量的练习题，供学生课后巩固所学知识。

八、教学拓展：1. 空间几何其他知识点：引导学生探索空间几何其他知识点，如空间角度、立体几何等。