4.3.2空间两点间的距离公式

4.3.2空间两点间的距离公式【学习目标】1.理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．2.掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．【学习重难点】重点：空间两点间的距离公式和它的简单应用 难点：一般情况下,空间两点间的距离公式的推导 【预习指导】（1）一楼屋顶C ’处有一蜂窝，住户报119，消防官兵拟用高压水枪击落蜂巢，但水枪有效射程只有20米，而消防车也只能到达楼房角A 处，若屋的长、宽、高分别为15米、10米、4米，蜂巢能被击落吗？（2）在平面上任意两点A ),(11y x ，B ),(22y x 之间距离的公式为|AB|=221221)()(y y x x -+-，那么对于空间中任意两点A ),,(111z y x ，B ),,(222z y x 之间距离的公式会是怎样呢？（3）空间中任意一点P ),,(z y x 到原点之间的距离公式会是怎样呢？【合作探究】空间两点间的距离公式问题：在研究这一问题之前，我们先想想平面两点距离是怎样推出来的呢？如果是空间中任意一点),,(1111z y x P 到点),,(2222z y x P 之间的距离公式会是怎样呢？O yzxMP 1P 2NM 1N 2N 1M 2H 22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=例1 课堂一开始提到的问题。

例2在四面体P-ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA=PB=PC=a ，H 为三角形ABC 的外心，求点P 与H 的距离？ 【巩固练习】 教材P138练习1、2、3、4题 【当堂检测】1．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )A.62B. 3C.32D.63【解析】设P(x ，y ，z)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y 2＋z 2＝1，x 2＋z 2＝1，∴x 2＋y 2＋z 2＝32.∴x 2＋y 2＋z 2＝62.【答案】 A图4-3-32．如图4-3-3，空间直角坐标系Oxyz 中，正三角形ABC 的顶点A ，B 分别在xOy 平面和z 轴上移动．若AB ＝2，则点C 到原点O 的最远距离为( )A.3－1 B ．2 C.3＋1 D ．3【解析】 连结OA ，△AOB 为直角三角形(图略)，设D 为AB 的中点，当OD⊥AB 时，O 到AB 的距离最大为1，又C 到AB 的距离为3，所以C 到O 的最远距离为3＋1，故选C.【答案】 C3．(2014·景德镇高一期末)在空间直角坐标系中，以O(0，0，0)、A(2，0，0)、B(0，2，0)、C(0，0，2)为一个三棱锥的顶点，则此三棱锥的表面积为________．【解析】 S △AOC ＝S △BOC ＝S △AOB ＝12×2×2＝2， S △ABC ＝34×|AB|2＝34×8＝2 3.故三棱锥的表面积S ＝6＋2 3. 【答案】 6＋2 3图4­3­ 44．(2014·江苏苏州中学周练)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB|＝|BC|＝2，|D 1D|＝3，点M 是B 1C 1的中点，点N 是AB 的中点．建立如图4­3­4所示的空间直角坐标系．(1)写出点D ，N ，M 的坐标； (2)求线段MD ，MN 的长度；(3)设点P 是线段DN 上的动点，求|MP|的最小值． 【拓展延伸】图4-3-1如图4-3-1，以棱长为a 的正方体的三条相交棱所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系Oxyz ，点P 在正方体的体对角线AB 上，点Q 在正方体的棱CD 上．(1)当点P 为体对角线AB 的中点，点Q 在棱CD 上运动时，探究|PQ|的最小值；(2)当点Q 为棱CD 的中点，点P 在体对角线AB 上运动时，探究|PQ|的最小值．【解】 (1)当点P 为体对角线AB 的中点时，点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2.因为点Q 在线段CD 上， 故设Q(0，a ，z)． 则|PQ|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－z 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－z 2＋12a 2.当z ＝a 2时，|PQ|取得最小值，且最小值为22a.即当点Q 为棱CD 的中点时，|PQ|有最小值，且最小值为22a.(2)因为点P 在体对角线AB 上运动，点Q 是定点，所以当PQ⊥AB 时，|PQ|最短．连接AQ ，BQ ，因为点Q 为棱CD 的中点，所以|AQ|＝|BQ|，所以△QAB是等腰三角形，所以当P是线段AB的中点时，|PQ|取得最小值，由(1)知最小值为22a.【课堂小结】今天通过这堂课的学习，你能有什么收获？【课外作业】习题4.3组第3题【教学反思】。