晶体的宏观对称性
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1-2-3-4晶体的宏观对称性1
材料科学基础
• 显然对称的图形必须由两个以上的相同的部分组成。 但是，只具有相同的部分还不一定是对称的图形。 • 如下图是由两个全等的三角形组成，但它并不是对 称图形。 • 对称的图形还必须符合另一个条件，那就是这些相
同的部分，通过一定的操作(如旋转、反映、反伸) 可以发生重复；
• 举例： （1）蝴蝶的两个相同的部分可以通过垂直平分它的镜 面的反映，彼此重合； （2）花冠通过围绕一根垂直它井通过它中心的直线旋 转，可以多次重复其原来的形象。
第二节：晶体的宏观对称性
材料科学基础
• 对称性是晶体的基本性质之一，是晶体分类的基础。 • • • • • • • 对称：symmetry Latin symmetria 拉丁语 symmetria from Greek summetria 源自 希腊语 summetria from summetros [of like measure] 源自 summetros [相似的尺寸]
2019年3月31日12时28分
P27
Hbqref@
对称中心（center of symmetry)
材料科学基础
C,国际符号：i
• 特点：对于一个点的反伸（倒反） • 晶体内部一个假象点，过此点作一直线在此直 线上距中心等距离的两端必然可出现晶体上的 相等部分（面、棱、角顶） • 1）具有对称中心的晶体，每一个晶面必有另 一相等晶面与它平行反向 • 2）晶体对称中心必为几何中心且只能有一个， 反之不成立。
问题的引出
材料科学基础
• 雪的基本形状是六角形。但在不同的环境下，却 可表现出各种样的形态。 • 为什么雪花的基本形态是六角形的片状和柱状呢?
雪的基本形状是六角形。但在不同的环境下， 却可表现出各种样的形态。 为什么雪花的基本形态是六角形的片状和柱状呢?
第2章 晶体结构
互为镜象的两个等同部分；国际符号：m 。 对应对称操作：对对称面反映，记为M。
A4
B4
A4′
A1
B1
A1′
A B AB
A3
A2
B2
B3
A3′
A2′
P1
E1
ED P2
ED
P1、P2是对称面，AD不是 24
注意：晶体可以没有对称面， 也可以有一个或几个P，但 最多有9个，有n个对称面记 为nP。
三角形有1P
(2)因为晶体外形为有限、封闭凸多多面体，晶体的 宏观对称性还有以下特点：(1)不存在平移对称性，(2)如 果同时包含几种宏观对称要素，它们必定交于一点。
31
2.1.2.4 晶体的对称型与晶体分类
(1) 对称(类)型(点群)
对称型：一个晶体中全部宏观对称要素的组合。
特点：①它包含了晶体中全部对称要素的总和以及它们
但由于提高了轴次，一般用（L3+P）代替它。
27
Li1=C
Li2=P
Li3= L3+C
Li4(独立)
Li6=L3+P
对称反轴示意图
28
四次对称反轴 L4i
L4i
A
B
C
D
29
六次对称反轴
L6i
L 6i
三方柱
30
小结： (1)晶体宏观对称性只包含8种独立对称要素：
L1、L2、L3、L4、L6 、P、C、 Li4
33
32个点群的意义在于不管晶体形状如何多 样复杂，但它的宏观对称性必属于32个点群中 的某一个，绝不会找不到它的对称类型。 32个 点群是研究晶体宏观对称性的依据，也是晶体 宏观对称性可靠性的系统总结。
A4
B4
A4′
A1
B1
A1′
A B AB
A3
A2
B2
B3
A3′
A2′
P1
E1
ED P2
ED
P1、P2是对称面，AD不是 24
注意：晶体可以没有对称面， 也可以有一个或几个P，但 最多有9个，有n个对称面记 为nP。
三角形有1P
(2)因为晶体外形为有限、封闭凸多多面体，晶体的 宏观对称性还有以下特点：(1)不存在平移对称性，(2)如 果同时包含几种宏观对称要素，它们必定交于一点。
31
2.1.2.4 晶体的对称型与晶体分类
(1) 对称(类)型(点群)
对称型：一个晶体中全部宏观对称要素的组合。
特点：①它包含了晶体中全部对称要素的总和以及它们
但由于提高了轴次，一般用（L3+P）代替它。
27
Li1=C
Li2=P
Li3= L3+C
Li4(独立)
Li6=L3+P
对称反轴示意图
28
四次对称反轴 L4i
L4i
A
B
C
D
29
六次对称反轴
L6i
L 6i
三方柱
30
小结： (1)晶体宏观对称性只包含8种独立对称要素：
L1、L2、L3、L4、L6 、P、C、 Li4
33
32个点群的意义在于不管晶体形状如何多 样复杂，但它的宏观对称性必属于32个点群中 的某一个，绝不会找不到它的对称类型。 32个 点群是研究晶体宏观对称性的依据，也是晶体 宏观对称性可靠性的系统总结。
晶体的对称性
7. 三斜–点阵符号后是1或(- 1)。
晶体结构的对称性-董成
从空间群符号确定点群
点群可以从简略H-M符号通过下列变换得出： 1.把所有滑移面全部转换成镜面； 2.把所有螺旋轴全部转换成旋转轴。 例如： 空间群= Pnma 点群= mmm
空间群= I `4c2 点群= `4m2 空间群= P42/n 点群= 4/m
21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，65
41
对称要素的符号表示
从晶系到空间群
7个晶系 （按照晶胞的特征对称元素分类）
旋转，反射，反演
32个点群
平移
14种Bravais格子
螺旋轴，滑移面
230个空间群
空间群国际符号LS1S2S3
运用以下规则，可以从对称元素获得H-M空间群符号。
对称方向
三斜 单斜
正交 四方 六角 三角 三角
立方
从空间群符号辨认晶系
1. 立方–第2个对称符号： 3 或 `3 (如： Ia3, Pm3m, Fd3m)
2. 四方–第1个对称符号： 4, `4 , 41, 42 或 43 (如： P41212, I4/m, P4/mcc)
3. 六方–第1个对称符号： 6, `6 , 61, 62, 63, 64 或 65 (如： P6mm, P63/mcm)
立变化。 特殊位置：所有不在一般位置的。 1. 处于一个或多个对称元素上的位置；
2. 其多重性是一般位置多重性的公因子，即比一般位置小（一个整数倍）。
3. 特殊位置的分数座标中必有一个（或多个）是不变的常数。
晶体结构的完整描述
1、晶体化学式 （化学成分）
2、名称
Chem Name Min Name
晶体结构的对称性-董成
从空间群符号确定点群
点群可以从简略H-M符号通过下列变换得出： 1.把所有滑移面全部转换成镜面； 2.把所有螺旋轴全部转换成旋转轴。 例如： 空间群= Pnma 点群= mmm
空间群= I `4c2 点群= `4m2 空间群= P42/n 点群= 4/m
21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，65
41
对称要素的符号表示
从晶系到空间群
7个晶系 （按照晶胞的特征对称元素分类）
旋转，反射，反演
32个点群
平移
14种Bravais格子
螺旋轴，滑移面
230个空间群
空间群国际符号LS1S2S3
运用以下规则，可以从对称元素获得H-M空间群符号。
对称方向
三斜 单斜
正交 四方 六角 三角 三角
立方
从空间群符号辨认晶系
1. 立方–第2个对称符号： 3 或 `3 (如： Ia3, Pm3m, Fd3m)
2. 四方–第1个对称符号： 4, `4 , 41, 42 或 43 (如： P41212, I4/m, P4/mcc)
3. 六方–第1个对称符号： 6, `6 , 61, 62, 63, 64 或 65 (如： P6mm, P63/mcm)
立变化。 特殊位置：所有不在一般位置的。 1. 处于一个或多个对称元素上的位置；
2. 其多重性是一般位置多重性的公因子，即比一般位置小（一个整数倍）。
3. 特殊位置的分数座标中必有一个（或多个）是不变的常数。
晶体结构的完整描述
1、晶体化学式 （化学成分）
2、名称
Chem Name Min Name
07-2.3晶体的对称性
2.3.2.1 点群
定义：点群是指一个晶体中所有点对称元素的集合。 点对称操作的集合称为点群。
晶体可能存在的对称类型可通过宏观对称元素在一点 上组合运用而得出。
点群在宏观上表现为晶体外形的对称。利用组合定律 可导出晶体外形中只能有32种对称点群。
点群可以用对称元素相结合而导出，在不破坏原有对称的
前提下，结合方式有n/m (表示m⊥n，镜面垂直于n次旋转轴)， nm (表示m∥n，镜面包含n次旋转轴)， n/mm或n/m m(第
晶体绕某一轴回转能复原n次，就称之为n次对称轴。 晶体中实际可能存在的对称轴有五种，并用符号1，
2，3，4，和6来表示。
旋转角 n名称 符号
360 180 120 90 60 度
1
2 3 4 6 次轴
1
2 356
2. 对称面
立方晶系{100} {110}
晶体通过某一平面作 镜像反映而能复原， 则该平面称为对称面 或镜面，用符号m表示。 对称面通常是晶棱或 晶面的垂直平分面或 者为多面角平分面， 且必定通过晶体几何
晶体基本的对称操作有点对称操作和平移对称操作。
在对称操作过程中保持空间至少有一个不动点的操作 称为点对称操作。在一般的对称操作过程中，空间有许多 点在动，但操作前后状态一样。 如旋转，反演，平面反映 均为点对称操作。
用点对称操作ห้องสมุดไป่ตู้组合可以描述有规则几何外形的单晶 体所具有的点对称性，但许多金属单晶体虽然不一定具备 规则的几何外形，但它们相应的点对称性却仍然存在。
180º与P3点重合，再经O点反 演而与P’重合，则称BB‘为2
次旋转—反演轴。
旋转—反演轴有1，2，3，4
和6次五种，分别以国际符号
_ ____
定义：点群是指一个晶体中所有点对称元素的集合。 点对称操作的集合称为点群。
晶体可能存在的对称类型可通过宏观对称元素在一点 上组合运用而得出。
点群在宏观上表现为晶体外形的对称。利用组合定律 可导出晶体外形中只能有32种对称点群。
点群可以用对称元素相结合而导出，在不破坏原有对称的
前提下，结合方式有n/m (表示m⊥n，镜面垂直于n次旋转轴)， nm (表示m∥n，镜面包含n次旋转轴)， n/mm或n/m m(第
晶体绕某一轴回转能复原n次，就称之为n次对称轴。 晶体中实际可能存在的对称轴有五种，并用符号1，
2，3，4，和6来表示。
旋转角 n名称 符号
360 180 120 90 60 度
1
2 3 4 6 次轴
1
2 356
2. 对称面
立方晶系{100} {110}
晶体通过某一平面作 镜像反映而能复原， 则该平面称为对称面 或镜面，用符号m表示。 对称面通常是晶棱或 晶面的垂直平分面或 者为多面角平分面， 且必定通过晶体几何
晶体基本的对称操作有点对称操作和平移对称操作。
在对称操作过程中保持空间至少有一个不动点的操作 称为点对称操作。在一般的对称操作过程中，空间有许多 点在动，但操作前后状态一样。 如旋转，反演，平面反映 均为点对称操作。
用点对称操作ห้องสมุดไป่ตู้组合可以描述有规则几何外形的单晶 体所具有的点对称性，但许多金属单晶体虽然不一定具备 规则的几何外形，但它们相应的点对称性却仍然存在。
180º与P3点重合，再经O点反 演而与P’重合，则称BB‘为2
次旋转—反演轴。
旋转—反演轴有1，2，3，4
和6次五种，分别以国际符号
_ ____
晶体的对称性和分类
2. 对称操作的变换矩阵
从数学角度来看,晶体的点对称操作实质上是对晶体进行一定的几何变换,它使得晶体中的某一点
写成矩阵形式，则有
1
以上证明显示,如果晶体在某正交变换下不变,就称这个正交变换是晶体的一个点对称操作.
2
绕某一轴的旋转(rotation about an axis)
晶体只能具有有限个数的宏观对称操作或对称元素，对称元素的组合也是一定的，这称为晶体的宏观对称性破缺
如果一个晶体绕某轴旋转2π/n及其倍数不变，称该轴为n次（或n度）旋转轴。
晶体中允许的转动对称轴只能是1、2、3、4和6次轴，称为晶体的对称性定律
晶体的对称性定律的证明
如果绕A转角,晶格保持不变(对称操作).则该操作将使B 格点转到 位置,则由于转动对称操作不改变格子,在 处必定原来就有一个格点。
因为B 和A 完全等价,所有旋转同样可以绕B 进行.
如图,A为格点,B为离A最近的格点之一,则与 平行的格点之间的距离一定是 的整数倍。
由此可设想绕B 转角，这将使A 格点转到 的位置。同样 处原来也必定有一个格点
亦即：
而且,m必须为整数,所以,m只能取 -1,0,1,2,3
01
如果,晶体有对称中心,则中心反演也是对称操作. 对原点的反演使得 (x, y, z) → (-x, -y, -z)，即：
02
(3) 镜面反映(Reflection across a plane) 一个镜面反映对称操作(symmetry operation of mirror image)意味着将点阵对应于某一个面进行反射,点阵保持不变.这表明一系列格点对应于这个反射面的位置是等价的,点阵具有镜面反射对称性.如以xy面为镜面，则(x, y, z) →(x, y, -z)。用矩阵形式表示，则有
从数学角度来看,晶体的点对称操作实质上是对晶体进行一定的几何变换,它使得晶体中的某一点
写成矩阵形式，则有
1
以上证明显示,如果晶体在某正交变换下不变,就称这个正交变换是晶体的一个点对称操作.
2
绕某一轴的旋转(rotation about an axis)
晶体只能具有有限个数的宏观对称操作或对称元素，对称元素的组合也是一定的，这称为晶体的宏观对称性破缺
如果一个晶体绕某轴旋转2π/n及其倍数不变，称该轴为n次（或n度）旋转轴。
晶体中允许的转动对称轴只能是1、2、3、4和6次轴，称为晶体的对称性定律
晶体的对称性定律的证明
如果绕A转角,晶格保持不变(对称操作).则该操作将使B 格点转到 位置,则由于转动对称操作不改变格子,在 处必定原来就有一个格点。
因为B 和A 完全等价,所有旋转同样可以绕B 进行.
如图,A为格点,B为离A最近的格点之一,则与 平行的格点之间的距离一定是 的整数倍。
由此可设想绕B 转角，这将使A 格点转到 的位置。同样 处原来也必定有一个格点
亦即：
而且,m必须为整数,所以,m只能取 -1,0,1,2,3
01
如果,晶体有对称中心,则中心反演也是对称操作. 对原点的反演使得 (x, y, z) → (-x, -y, -z)，即：
02
(3) 镜面反映(Reflection across a plane) 一个镜面反映对称操作(symmetry operation of mirror image)意味着将点阵对应于某一个面进行反射,点阵保持不变.这表明一系列格点对应于这个反射面的位置是等价的,点阵具有镜面反射对称性.如以xy面为镜面，则(x, y, z) →(x, y, -z)。用矩阵形式表示，则有
crystalchap4_1
立方体的旋转对称性：3L44L36L2
27
对称中心：如果在物体或图形中有一个固定点，在 通过这个固定点的任意直线上，距离该固定点等距 离处总可以找到对应点，这个固定点称为对称中心 反演：与对称中心对应的对称操作
以对称中心为原点，(x,y,z)→(-x,-y,-z)
它的书写符号记为:
习惯符号 Li1(C)
7
4.1晶体宏观对称要素 一、基本概念 1对称图形：图形中有完全相同的部分，这些相同 部分能有规律地重复出现。
对称图形中相同部分重复的情况有两种类型:
(a)迭合相等: 借助于平移或旋转的方法，使相同部 分能够重复。例如花朵绕花心旋转使花瓣重迭； (b)反映相等: 相同部分必须经过镜像反映后才能重 复，也就是一部分正好是另一部分镜中的像，这称 为左右形。例如左右手、蝴蝶的翅膀等。 迭合相等没有手性的变化，反映相等有手性的变化
熊夫利斯符号： Cs
对称面的图示用双线||或粗线 | 表示 重复次数为2
30
2
或m
对称面为 投影面
对称面垂直 于投影面
重复次数为2
31
立方体的对称面：共9个 垂直平分立方体四条棱的平面：3个
穿过两对棱的平面:6个
32
4 旋转反演轴( 象转轴)
旋转反演轴是复合对称要素，它相当于一条直 线加该直线上一个固定点。 物体或图形绕直线旋转一定角度后(这时图形还 没有重合)，再对此直线上的固定点进行反演， 使图形得到重复，相应的对称操作称为旋转反 演(或象转)。 受对称定律的限制，旋转反演轴也只有1次、2 次、3次、4次、6次这五种，不可能有5次及大 于6次的旋转反演轴。
10
点对称操作的种类：
反演、反映、旋转、旋转反演 点对称操作的分类： 依据有没有手性的变化进行分类，可分为两类： (a)第一类点对称操作 是真旋转，被作用的对象没有手性的变化，即没 有右手到左手的变化；
4、晶体的对称性
第 25 页
(c) n度旋转反演轴
§1.6晶体的对称性
晶体经绕轴作n度旋转与中心反演的复合操作后与自身 重合则称其具有n度旋转反演轴对称。
晶体由于受周期性的制约，也只可能有2、3、4、与6度 旋转反演轴，分别用数字符号 2346 表示。
第 26 页
§1.6晶体的对称性
n 度旋转反演轴的对称性（操作的总效果一样）。
x~ ' x'
x2' 2 x3' 2 x12 x~A~Ax x~x
x22
x32
x~
'x'
x1'
x
' 2
x1'
x3' x2'
x3'
x~ ' 为转置矩阵，即行列互换所得矩阵。因此要求
第5页
即A为正交矩阵。
A ~ A I A ~ A1
第 45 页
§1.7 晶体结构的分类 我们已经知道布喇菲格子可以由
的格矢表示。
Rn n1a1 n2a2 n3a3
基矢a、b、c之间的关系，即其长度的异同和彼此间夹角 决定了不同的布喇菲格子的类型。
第 46 页
§1.7 晶体结构的分类
前面我们已经看到晶体在宏观对称操作作用下，其空 间格子必相应地变动。
分别为
0,60,90,120,180
第 21 页
§1.6晶体的对称性
即，晶体绕固定轴转动对称操作的转角只可能是
i 2
n
而n 必须是1、2、3、4、和6， i为任意整数。 常将这一类转动对称轴称作n度旋转轴，晶体周期性结构限制了只能
(c) n度旋转反演轴
§1.6晶体的对称性
晶体经绕轴作n度旋转与中心反演的复合操作后与自身 重合则称其具有n度旋转反演轴对称。
晶体由于受周期性的制约，也只可能有2、3、4、与6度 旋转反演轴，分别用数字符号 2346 表示。
第 26 页
§1.6晶体的对称性
n 度旋转反演轴的对称性（操作的总效果一样）。
x~ ' x'
x2' 2 x3' 2 x12 x~A~Ax x~x
x22
x32
x~
'x'
x1'
x
' 2
x1'
x3' x2'
x3'
x~ ' 为转置矩阵，即行列互换所得矩阵。因此要求
第5页
即A为正交矩阵。
A ~ A I A ~ A1
第 45 页
§1.7 晶体结构的分类 我们已经知道布喇菲格子可以由
的格矢表示。
Rn n1a1 n2a2 n3a3
基矢a、b、c之间的关系，即其长度的异同和彼此间夹角 决定了不同的布喇菲格子的类型。
第 46 页
§1.7 晶体结构的分类
前面我们已经看到晶体在宏观对称操作作用下，其空 间格子必相应地变动。
分别为
0,60,90,120,180
第 21 页
§1.6晶体的对称性
即，晶体绕固定轴转动对称操作的转角只可能是
i 2
n
而n 必须是1、2、3、4、和6， i为任意整数。 常将这一类转动对称轴称作n度旋转轴，晶体周期性结构限制了只能
晶体的对称性
点群的Schönflies符号：
主轴：Cn、Dn、Sn、T和O Cn：n次旋转轴； Sn ： n次旋转－反映轴； Dn：n次旋转轴加上一个与之垂直的二次轴 T： 四面体群； O： 八面体群。
脚标：h、v、d h：垂直于n次轴（主轴）的水平面为对称面； v：含n次轴（主轴）在内的竖直对称面； d：垂直于主轴的两个二次轴的平分面为对称面。
用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——保持
两点距离不变的变换： ⎛ x ' ⎞ ⎛ a11 a12 a13 ⎞ ⎛ x ⎞
数学上可以写作：
⎜ ⎜⎜⎝
y z
' '
⎟ ⎟⎟⎠
=
⎜ ⎜⎜⎝
a21 a31
a22 a32
a23 a33
⎟⎟⎟⎠i⎜⎜⎜⎝
y z
⎟ ⎟⎟⎠
其中 Aij 为正交矩阵
从解析几何知道，符合正交 变换的是：绕固定轴的转动 (Rotation about an axis)
准晶态结构特点：具有长程取向序，没有长程平移对 称性。
其实准晶可以看作是具有平移对称性的六维超空间在三维真实 空间的投影
黄昆书 47-48 陈长乐书 20-22
1974年Penrose提出的数学游戏
五次对称的黄金分割无理数
边长有两种取值：1， 1+ 5 = 1.618
2
二十面体AlPdMn表面的STM图像
D2、C2V、D2h
C3、S6、D3 C3Ｖ、D3d
C4、S4、C4h、D4 C4V、D2d、D4h C6、C3h、C6h、 D6、C6V、D3h、
D6h T、Th、Td
O、Oh
P、C P、C、I、
F R P、I
H
ssp-05-晶体的宏观对称性-2014
第5讲_晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
中心反演矩阵的行列式等于-1
—— 空间转动加中心反演，矩阵行列式等于－1
不动也是一个操作
1 0 0 0 1 0 0 0 1
对称操作 —— 一个物体在某一个正交变换下保持不变
—— 物体的对称操作越多，其对称性越高
第5讲_晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
——
0 0 0 0 0 0 0 0 0
D 0E
—— 正四面体晶体上述结论亦然成立 —— 介电常数的论证和推导也适合于一切具有二阶张量形 式的宏观性质：如导电率、热导率……等
第5讲_晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
—— 六角对称晶体，将坐标轴取在 六角轴和垂直于六角轴的平面 内介电常数具有如下形式
在三维情况下，正交变换可以写成
x x ' a11 y y ' a 12 z z ' a 13
{aij }, i, j 1, 2, 3
a12 a22 a13
a13 x a23 y a33 z
B点转到B’点 —— B’点必有一个格点
A和B两点等价——以通过B点 的轴顺时针转过
A点转到A’点 —— A’点必有一个格点 且有 B ' A ' nAB — n为整数
第5讲_晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
B ' A ' nAB
B ' A ' AB(1 2cos )
1 2cos n
第五讲： 晶体的宏观对称性
1. 2. 3. 4. 晶体中的基本宏观对称操作 晶体中的32个点群 晶体中的空间群（73点空间群，157复杂空间群） 晶体表面的几何结构
中心反演矩阵的行列式等于-1
—— 空间转动加中心反演，矩阵行列式等于－1
不动也是一个操作
1 0 0 0 1 0 0 0 1
对称操作 —— 一个物体在某一个正交变换下保持不变
—— 物体的对称操作越多，其对称性越高
第5讲_晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
——
0 0 0 0 0 0 0 0 0
D 0E
—— 正四面体晶体上述结论亦然成立 —— 介电常数的论证和推导也适合于一切具有二阶张量形 式的宏观性质：如导电率、热导率……等
第5讲_晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
—— 六角对称晶体，将坐标轴取在 六角轴和垂直于六角轴的平面 内介电常数具有如下形式
在三维情况下，正交变换可以写成
x x ' a11 y y ' a 12 z z ' a 13
{aij }, i, j 1, 2, 3
a12 a22 a13
a13 x a23 y a33 z
B点转到B’点 —— B’点必有一个格点
A和B两点等价——以通过B点 的轴顺时针转过
A点转到A’点 —— A’点必有一个格点 且有 B ' A ' nAB — n为整数
第5讲_晶体的宏观对称性 —— 晶体结构
B ' A ' nAB
B ' A ' AB(1 2cos )
1 2cos n
第五讲： 晶体的宏观对称性
1. 2. 3. 4. 晶体中的基本宏观对称操作 晶体中的32个点群 晶体中的空间群（73点空间群，157复杂空间群） 晶体表面的几何结构
实验一 晶体的宏观对称
实验一晶体的宏观对称在日常生活中，大家知道对称性，常接触到的是对称面和对称心。
晶体的对称性要比上述的多。
常见的例子也有一些。
如完整雪花，具有6次对称性，源于冰的晶体结构具有6次对称性。
雪花主枝间角距离是60度，主枝与侧枝之间夾角也是60度。
以前食用的大粒盐呈立方体颗粒，面、角、棱、顶都各自有对称性。
有对称心，对称面，3次对称，4次对称。
粒状单晶冰糖，呈现晶体结构对称性很显明，成为带有特定对称切面的单斜晶系晶胞形状。
天然宝石（指金刚石）等价的面、棱、角，顶各自都有对称性，例如三角正方的十四面体，有对称心，对称面，3次对称，4次对称。
既使加工成珠宝工艺品也是沿对称关系加工，使其光彩夺目。
单晶体在性能上，包括力、电、光、声等各种性能各向异性，且具有和形状相一致的对称性。
这就是晶体的宏观对称性。
宏观对称性产生根源是晶体结构的微观对称性，是晶体结构微观对称性在宏观显现。
但有区别，前者是一块晶体的对称性，即单晶对称性。
后者是具有周期性晶体结构的对称性，因为晶体结构具有周期性，旋转轴可以伴随平移，形成螺旋轴。
对称面可以伴随平移形成滑移面。
本文只讲宏观对称性。
这种对称性不会有平移，但不同对称要素可以相交于一点，形成点群。
晶体结构的微观对称性，被事实所验证被数学所证明，由于晶体结构的周期性，即平移性，对应着晶格，晶体结构中可允许存在的对称性是特定的，只能是1次、2次、3次、4次、6次对称性，没有5次和6次以上的对称性。
就是说5次和6次以上的对称性和周期性即平移性相矛盾，是不能存在的。
既然宏观对称性是微观对称性宏观显现，同样原因，单晶体没有5次和6次以上的宏观对称性。
晶体宏观对称要素有两大部分。
一部分是旋转轴，另一部分是旋转反演轴，即旋转同时伴随反演。
强调一句，不是旋轴轴加反演。
旋转轴旋转轴对称要素和对称操作不用图了，读者也能理解。
1次旋转轴。
设定一点，用逗号代表（以下同）。
这个点可以代表晶体的面、棱、角，直至任何一点。
结构化学晶体结构的对称性和基本定理
点击按钮观察动画.注意：反映滑移操作中
的“反映”是虚操作，可想象而难以实际表现, 故动画 中用幻影逗号的移动来模拟反映，请勿误解！
8.2.2 晶胞
设想把点阵放回晶体中去， 将把晶体切分成并置的平行六面 体小晶块，每个空间格子对应一 个小晶块. 这种小晶块就是晶胞, 是代表晶体结构的最小单元.
晶胞参数
NaCl型晶体
原子的分数坐标： A: 0 0 0
0 1/2 1/2 1/2 0 1/2 1/2 1/2 0 B: 1/2 0 0
0 1/2 0 0 0 1/2 1/2 1/2 1/2 结构基元: A-B （每个晶胞中有4个结构基元）
CsCl型晶体
原子的分数坐标： A: 0 0 0 B: 1/2 1/2 1/2
为什么要考虑带心格子?
立方面心格子，若按左图取素格子只能表现三方对称性；若取右图 所示的复格子就表现出立方对称性(格子选取方式不能改变点阵结构的对 称性,但点阵固有的较高对称性在素格子上可能被掩盖)：
14种布拉维格子之一：立方简单（cP）
14种布拉维格子二：立方体心（cI）
14种布拉维格子三：立方面心（cF）
晶胞参数:
a、b、c α、β、γ
晶
胞
两
要
（1）晶胞的大小、型式
素
晶胞的大小可由晶胞参数确定，晶胞的型式是
指素晶胞或复晶胞.
（2）晶胞的内容
晶胞中原子的种类和位置. 表示原子位置要用 分数坐标.
分数坐标
晶胞中原子P 的位置用向量OP=xa+yb+zc代表. x、y、z
就是分数坐标，它们永远不会大于1.
14种布拉维格子之八：正交简单（oP)
14种布拉维格子之九：正交体心（oI)
固体物理导论1.7
1、反映面(对称面,m) 反映面(对称面,m)
反映: 反映:在镜面的作用下使 晶体自身重合的动作。 晶体自身重合的动作。 立方体有3 立方体有3类反映面
2、旋转轴(n) 旋转轴(n)
旋转: 旋转:在某一个固定轴作用下使 晶体自身重合的对称操作。 晶体自身重合的对称操作。 只能取1,2,3,4,6 1,2,3,4,6。 n只能取1,2,3,4,6。 立方体有3个四次轴, 立方体有3个四次轴, 4个三次轴,6个二次轴。 个三次轴,6个二次轴。 ,6个二次轴
第七节 晶体的宏观对称性
对称性:经过某种对称操作后物体能自身重合的性质。 对称性:经过某种对称操作后物体能自身重合的性质。 对称操作:能使物体复原的动作。 对称操作:能使物体复原的动作。 对称元素:对称操作凭借的几何元素。 对称元素:对称操作凭借的几何元素。
四种对称操作反映、旋转、反演、 四种对称操作:反映、旋转、反演、象转 四种对称元素:反映面、旋转轴、反演中心、 四种对称元素:反映面、旋转轴、反演中心、象转轴
(4)6次象转轴等价于3次轴和反映面。 (4)6次象转轴等价于3次轴和反映面。 次象转轴等价于
(5)4次象转轴是一个独立的对称元素。 (5)4次象转轴是一个独立的对称元素。 次象转轴是一个独立的对称元素
5、晶体的宏观对称操作中只有8种独立的基本对称元素： 晶体的宏观对称操作中只有8种独立的基本对称元素： 1,2,3,4,6, ,i ,m 6、点群 描述晶体宏观对称性的全部操作构成群。 描述晶体宏观对称性的全部操作构成群。 晶体的基本对称元素的组合称为点群。 晶体的基本对称元素的组合称为点群。 32种晶体点群 32种晶体点群
3、反演中心(i) 反演中心(i) (i 反演：在某一固定点作用下使晶体自身重合的对称操作。 反演：在某一固定点作用下使晶体自身重合的对称操作。 立方体只有一个反演中心，即体心。 立方体只有一个反演中心，即体心。 象转轴（ 4、象转轴（ ） 象转：经过旋转后再作反演的对称操作。 象转：经过旋转后再作反演的对称操作。 象转轴并不都是独立的基本对称元素。 n次(度)象转轴并不都是独立的基本对称元素。 (1)1次象转轴就是反演中心 次象转轴就是反演中心。 (1)1次象转轴就是反演中心。 (2)2次象转轴等价于反映面 次象转轴等价于反映面。 (2)2次象转轴等价于反映面。 (3)3次象转轴等价于 次轴和反演中心。 次象转轴等价于3 (3)3次象转轴等价于3次轴和反演中心。
第一章晶体的对称性
第一章晶体的对称性§1-1 晶体内部结构的周期性---点阵与晶格大家都知道晶体内部原子(分子、离子和原子团等，以后称质点)的排列是规则的，具有一定的周期性，这是晶体的主要特点。
不同晶体中的质点在空间中的排列规律是不同的，有许多种排列方式。
因此，在对晶体进行研究时，为了归类方便，常将构成晶体的实际质点抽象成纯粹的几何点，并称之为阵点。
这样的阵点在空间中周期性规则排列并有相同的周围环境。
这种阵点的空间排列就称为空间点阵，或晶体点阵，也称布拉法格子，简称点阵或晶格，共有14种。
§1-2 晶体的宏观对称性---点对称操作晶体内部结构不仅具有周期性，还具有比较复杂的对称性。
实际上，晶体宏观性质和外形的对称性都是其内部结构对称性的反映，与其有着密切关系。
应该说，人们最初认识晶体，是从它们丰富多彩又有规则的外部形状开始的，后来才逐步认识到，晶体外形上的规则性及其宏观性质的对称性，是与其内部微观结构的对称性密切相关的。
在本节及以下几节中，通过对晶体的宏观对称性的描述，引进群的初步概念，给出晶体的32个点群，并依据晶体对称性特征，区分晶类和晶系。
1．晶体的宏观对称性。
晶体外形上（宏观上）的规律性，突出表现在晶面的对称排列上。
如：把立方体的岩盐晶体绕其中心轴每转900后，晶体自身就会重合，而把六面柱体的石英晶体绕其柱轴每转600后，晶体亦会自身重合。
这里提到的绕轴转动称旋转操作，是一种点对称操作。
通常把经过某种点对称操作后晶体自身重合的性质称为晶体的宏观对称性。
描述晶体宏观对称性的方法，就是列举使其自身重合的所有点对称操作。
为了明确对称性和对称操作的概念，先给出以下概念：●相等图形。
如花瓣。
●等同图形。
如左右手。
相等图形属于等同图形，但等同图形不一定是相等图形。
●对称图形。
由两个或两个以上的等同图形构成的并在空间有规律排列的图形称对称图形。
2．对称性。
对称图形中各等同部分在空间排列的特殊规律性称对称性。
材料分析方法2 晶体学简介-宏观对称性-点群-点阵描述
四面体 六面体 八面体 十二面体 二十面体
{3，3} {4，3} {3，4} {5，3} {3，5}
四面体群 八面体群 二十面体群
值得一提的五次对称 性 准晶，生物分子
面心立方Cu的单胞结构
面心立方氯化钠单胞 精选pp大t 球代表Na离子，小球代表Cl离子18
第二章 晶体的对称性
• 对称（Symmetry）：物体（或图形）的各个相同 部分借助于一定的操作而有规律的重复。晶体的 几何外形等外部性质上的对称，是其内部晶格构 造对称的外在表现。
• 对称操作（Symmetry operation）：能够使对称 物体(或图形)中的各个相同部分间作有规律重复 的变换动作。
48
晶面指数的意义
Z XZ X
晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着一 组相互平行的晶面。 平行晶面的晶面指数相同，或数字相同而符号相反
在晶体内凡晶面间距和晶面上原子的分布完全相
同，只是空间位向不同的晶面可以归并为同一晶
Y
面族，以{h k l}表示，它代表由对称性相联系的 若干组等效晶面的总和。
对称特点：必有4个3次轴， 3个相互垂直的二次轴或 四次轴
选3个相互垂直的二次轴 或四次轴为晶轴，C轴直 立，a轴前后水平放置，b 轴左右水平放置。
精选ppt
32
2，四方系
对称特点：有一根4次轴
选4次轴为C轴直立，有二次 轴选互相垂直的两个二次轴为 a ，b轴，无二次轴时，在与c 轴垂直的面网上选两个相互垂 直的行列为a ，b轴。
精选ppt
9
晶体
非晶体
SiO2
精选ppt
10
准晶体( quasicrystal)
原子排列长程有序但不是周期平移，即存在准周期。
中科大《结晶化学导论》第2章——唐凯斌2015
第二节 晶体的宏观对称元素
• 宏观对称元素(symmetry element)和对称操作 (symmetry operation)
对称动作类型 对称元素 反映面 对称中心 旋转轴 反轴 对称操作 反映 反演 旋转 旋转反演
简单
复合
反映面(reflection/mirror plane)：对称物体或图形中，存在一 平面，作垂直于该平面的任意直线，在直线上距该平面等距 离两端上必定可以找到对应的点。这一平面即为反映面。相 应的对称操作为反映。
L3 3L2
3L2 4L3
二、旋转轴型与反映面的组合 旋转轴型与反映面组合的基本原则是，对称类型不能 在新的方向上产生旋转轴，否则组合结果将与欧拉定理矛 盾，或产生重复的对称类型。因此，反映面应与旋转轴垂 直、或穿过旋转轴、或平分两个相同旋转轴的夹角。 对于具有多个旋转轴的对称类型，反映面垂直或穿过 的旋转轴，一般选取与两个（以上）相同旋转轴垂直的旋 转轴。 1、垂直2次轴，穿 1、垂直4次轴，穿 过4次轴，穿过2次 过2次轴。 轴。 2、穿过4次轴，垂 2、穿过2次轴，垂 直2次轴，穿过2次 直4次轴。 轴。 3、穿过4次轴，平 分2次轴间夹角。
反轴(inversion/rotainversion axis)：物体或图形中存在 一直线，当图形绕直线旋转一定角度后，再继之以对 此直线上的一个定点进行反演，其最后结果可使图形 相同部分重合。相应的对称操作为旋转和反演的复合 对称操作。
2(3’) 1(2’) 1(3’) 2(4’)
3(4’) 4(1’) 4(2’)
L6PC
L33L24P
3L24L33PC
3L44L36L29PC
L3 3L2 4P
3L2 4L3 3PC
§1.5 晶体的对称性
(3)中心反映： 。 (3)中心反映：i。 中心反映
(4)镜象反映： 。 (4)镜象反映：m。 镜象反映
独立的对称操作有8种,即1，2，3，4，6，i，m， 4 。
或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。
三维实例： 三维实例：立方晶格
＋中心反演 操作（24个） ＝48个对称 操作。
体对角线C (a)绕立方轴 4： (b)体对角线 3： (c)面对角线 2： （d）不动， a)绕立方轴C ： 绕立方轴 体对角线 面对角线C 面对角线 ）不动， 4个3度轴； 个 度轴； 度轴 个立方轴； 3个立方轴； 6个2度轴；有6 一个对称操 度轴； 个 度轴 作。 个对称操作。 个对称操作。 个对称操作。 个对称操作。 个对称操作 共9个对称操作。 8个对称操作。 个旋转对称操作。 共24个旋转对称操作。 个旋转对称操作
( x1 , x2 , x3 ) 变为 (− x1 ,− x2 ,− x3 )
′ x1 − x1 x′ x 2 = − 2 x′ − x 3 3
−1 0 0 A = 0 −1 0 0 0 − 1
A = −1
等腰梯形
不规则四边形
外的任何旋转都不能保持不变， 除2 π外的任何旋转都不能保持不变， 不存在反演不变的线。 不存在反演不变的线。
2.几何变换均为正交变换（保持两点距离不变） 2.几何变换均为正交变换（保持两点距离不变） 几何变换均为正交变换 经过某一对称操作，把晶体中任一点 X ( x1 , x2 , x3 ) 变为 经过某一对称操作，
1− 2cosθ＝m,
2π θ = , n = 1, , , , 2346 n
晶体中允许的旋转对称轴只能是1， ， ， ， 度轴 度轴。 晶体中允许的旋转对称轴只能是 ，2，3，4，6度轴。
第四讲 晶体的宏观对称
网吗？
2、数学的证明方法为：
t’ = mt
t’= 2t sin(-90)+ t = -2t cos + t
所以，mt = -2t cos + t
t’
2 cos = 1- m
cos = (1 - m)/2
-2 ≤ 1 - m ≤ 2
t tBiblioteka m = -1,0,1,2,3
相应的 ＝ 0 或2 ， /3,
（ L33L24P=Li63L23P ） ； L44L25PC ； L66L27PC 。
6）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型为：
Li1=C；Li2=P；Li3=L3C；Li4；Li6=L3P。
◆ 不符合对称要素组合定理的共存形式就不可能 存在。
对称要素组合定理：
定理1：LnL2LnnL2 (L2与L2的夹角是Ln基转角的一半) 逆定理： L2与L2相交，在其交点且垂直两L2会产生Ln，其基
转角是两L2夹角的两倍。并导出n个在垂直Ln平面内的L2。 例如: L4L2L44L2 , L3L2L33L2
5）对称轴Ln与垂直它的对称面以及包含它的对称 面的组合。垂直Ln的P与包含Ln的P的交线必为 垂直Ln的L2，即Ln P⊥ P∥=Ln P⊥ P∥ L2 =LnnL2(n + 1)P（C）（C只在有偶次轴垂直P的 情况下产生），可能的对称型为： (L1L22P=L22P ） ； L22L23PC=3L23PC ；
如果L2与Ln斜交有可能
出现多于一个的高次轴， 这时就不属于A类对称型了。
3）对称轴Ln与垂直它的对称面P的组合。根据组合 定 理 Ln( 偶 次 )P⊥→Ln( 偶 次 )PC ， 则 可 能 的 对 称 型 为 ： （L1P=P）；L2PC；（L3P=Li6）；L4PC；L6PC。
2、数学的证明方法为：
t’ = mt
t’= 2t sin(-90)+ t = -2t cos + t
所以，mt = -2t cos + t
t’
2 cos = 1- m
cos = (1 - m)/2
-2 ≤ 1 - m ≤ 2
t tBiblioteka m = -1,0,1,2,3
相应的 ＝ 0 或2 ， /3,
（ L33L24P=Li63L23P ） ； L44L25PC ； L66L27PC 。
6）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型为：
Li1=C；Li2=P；Li3=L3C；Li4；Li6=L3P。
◆ 不符合对称要素组合定理的共存形式就不可能 存在。
对称要素组合定理：
定理1：LnL2LnnL2 (L2与L2的夹角是Ln基转角的一半) 逆定理： L2与L2相交，在其交点且垂直两L2会产生Ln，其基
转角是两L2夹角的两倍。并导出n个在垂直Ln平面内的L2。 例如: L4L2L44L2 , L3L2L33L2
5）对称轴Ln与垂直它的对称面以及包含它的对称 面的组合。垂直Ln的P与包含Ln的P的交线必为 垂直Ln的L2，即Ln P⊥ P∥=Ln P⊥ P∥ L2 =LnnL2(n + 1)P（C）（C只在有偶次轴垂直P的 情况下产生），可能的对称型为： (L1L22P=L22P ） ； L22L23PC=3L23PC ；
如果L2与Ln斜交有可能
出现多于一个的高次轴， 这时就不属于A类对称型了。
3）对称轴Ln与垂直它的对称面P的组合。根据组合 定 理 Ln( 偶 次 )P⊥→Ln( 偶 次 )PC ， 则 可 能 的 对 称 型 为 ： （L1P=P）；L2PC；（L3P=Li6）；L4PC；L6PC。
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1.1.5 晶体的宏观对称性 1、几个概念
对称性：若一个物体（或晶体图形）当对其施行某
种规律的动作以后，它仍然能够恢复原状（即其中
点、线、面都与原始的点、线、面完全重合）时，
就把该物体（图形）所具有的这种特性称之为“对 称性”。
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对称条件
a〕物体或图形必须包含若干个彼此相同部分或本身可以被 划分若干个彼此相同部分。 b〕相同部分必须借助某种特定动作而发生有规律重复。 对称操作：能使对称物体或图形中各个相同部分作有规律
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表1.3 晶体的32种点群
晶系 三斜 单斜
m 2 2/m
正交
2 2 2 2/m 2/m 2/m
四方
4
菱方
3
3
六方
6
立方
2 3 2/m 3
4
2 m m 表1.3 1 晶体的32种点群
1
对 称 要 素
4 4/m
4 2m
6 6/m
6
1
3m 32
3 2/m
2 m
3 m 432
4 m m 4 2 2
对称中心 对称面 点
回转-反演轴 3次 4次 6次
直线
绕直线旋转
360 1 180 2 120 3 90 4 60 6
平面
直线和直线上的定点 绕线旋转+对点反演
对称操作
基转角α 国际符号
对点反演 对面反映
120 i
1
90
4
60
6
m
2
3
3+i
3+m
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5)晶体的32种点群及分类
点群:把一个结晶多面体所具有的全部对称要 素以一定的顺序组合排列使成为晶体的对称 型。 所有晶体能存在的对称型共有32种，亦称32 种点群。
立方体的棱 ( a )
代表的方向
立方体的体对角线 ( a b c ) 立方体的面对角线 ( a b ) 6次轴 ( c )
六方晶系 四方晶系
a
菱方晶系
正交晶系 单斜晶系 三斜晶系
与6次轴垂直 与6次轴垂直并与 a交 成 30 2 a b ) （ 4次轴 ( c ) 与4次轴垂直 ( a ) 与4次轴垂直并与 a交 成 45 a b ) （ 3次轴 ( a b c ) 与3次轴垂直 （ a b )
6 m m 6 2 2 6/m 2/m 2/m
4/m 3
2/m
4/m4/m4/m
特征 对称 要素
无
1个2 或m
三个互相 垂直的2 或2个互 相垂直的 m
1个4 或 4
1个3 或 3
1个6 或 6
4个3
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表1.4 国际符号中各个符号在每个晶系中代表的方向 晶系 立方晶系 符号位序
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 1 1
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图1.14
旋转平移
左-右旋
右-左旋
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螺旋轴有：
2次（平移距离为c/2，不分右旋和左旋。记为21）
3次（平移距离为c/3分为右旋或左旋，记为31或32） 4次（平移距离c/4或c/2，前者分为右旋或左旋，记为41 或43，后者不分左右旋为42） 6次（平移距离c/6，分右旋或左旋，记为61或65，平移距
(a ) 三个互相垂直的2次轴 (b )
(c )
(a )
2次轴 ( b )
1次轴 ( a )
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1.1.6 晶体的微观对称
1、微观对称要素（元素）和对称操作
（1) 螺旋轴和旋转平移
螺旋轴：晶体结构可借绕螺旋轴回转360/n角度同时沿轴平移 一定距离而得到重合，此螺旋轴称为n次螺旋轴。螺旋轴是一 个假想直线 对称动作：旋转+轴向平移，晶体中任一部分先绕轴旋转一定 角度后，再沿轴平移一定距离，使相等部分重复。
对称操作：反映，尤如照镜子一样。
对称面通常是晶棱或晶面的垂直平分面或者为多面角的平分面，且必定通过 晶体几何中心。
图1.13
晶体的对称面 目录 上页 下页 退出
图1.14立方体中的对称面
目录Leabharlann 上页下页退出3）对称中心和倒反
对称中心：若晶体中所有的点在经过某一点反演后
能复原，则该点就称为对称中心。晶体中心的一点
离c/3，分右旋或左旋，记为62或64，平移距离c/2，不分
左右旋，记为63）
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（2）滑动面和反映平移
是一个假想平面，相应对称操作是反映+滑移，晶体结构中任
意部分，先以滑移面为镜面反映，再平行于滑移面进行平移， 使相等部分重合。例：
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滑动面的符号： 如平移为a/2, b/2或c/2时，写作a,b或c； 如沿面对角线平移1/2距离，则写作n； 如沿面对角线平称1/4距离，则写作d。
重复所进行的动作。
对称要素（对称元素）：进行对称操作时所凭借的几何要 素。
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2、宏观对称要素和对称操作 1） 对称轴和旋转
对称轴：是一根通过晶体几何中心的假想直线，晶体绕此轴 旋转一定角度后，可使相等部分（晶面、晶棱或角顶）重复。 对称操作：晶体绕轴旋转。符号Ln，国际符号n。 L—对称轴，n—代表绕L旋转一周重复的次数。 n
对称操作—倒反。符号C，国际符号i。
晶体可有对称中心，可没有，但最多只有一个。
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4） 回转-反演轴与旋转倒反
回转-反演轴：若晶体绕某一轴回转一定角度，再
以轴上的一个中心点作反演之后能得到复原时，此
轴称为回转-反演轴。又称旋转反伸轴，符号Lin，
国际符号
n
对称操作－复合操作，旋转+反伸，先绕一根直线 旋转一定角度后，再通过该直线上某一点进行倒反。
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2、230种空间群
宏观对称→四种要素组合→32种点群，将四种 宏观对称要素和三种微观对称要素组合，可得 到230种空间群，80种没有找到实例，常见的
100多个，比较重要的30多个。
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Li1，Li2，Li3，Li4，Li6 注意：
1 ,2,3,4,6
绕某直线旋转一定角度后，相等部分并未重 复，只有经该直线上一点反伸，才能使晶体 相等部分重复。
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表1.2 晶体的宏观对称元素和对称操作
对称元素 1次
辅助几何元素
对称轴
2次 3次 4次 6次
360
α－基准角，使图形复原的最小旋转角。晶体中，对称轴只有1，
2，3，4，6次，即L1，L2，L3，L4，L6，没有L5和高于6次。
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立方晶系有3L4,4L3,6L2对称轴
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2） 对称面与反映
国际符号m。
是一个假想平面，它能把晶体分成互为镜象反映关系的两个相等部分，符号P，
对称性：若一个物体（或晶体图形）当对其施行某
种规律的动作以后，它仍然能够恢复原状（即其中
点、线、面都与原始的点、线、面完全重合）时，
就把该物体（图形）所具有的这种特性称之为“对 称性”。
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对称条件
a〕物体或图形必须包含若干个彼此相同部分或本身可以被 划分若干个彼此相同部分。 b〕相同部分必须借助某种特定动作而发生有规律重复。 对称操作：能使对称物体或图形中各个相同部分作有规律
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表1.3 晶体的32种点群
晶系 三斜 单斜
m 2 2/m
正交
2 2 2 2/m 2/m 2/m
四方
4
菱方
3
3
六方
6
立方
2 3 2/m 3
4
2 m m 表1.3 1 晶体的32种点群
1
对 称 要 素
4 4/m
4 2m
6 6/m
6
1
3m 32
3 2/m
2 m
3 m 432
4 m m 4 2 2
对称中心 对称面 点
回转-反演轴 3次 4次 6次
直线
绕直线旋转
360 1 180 2 120 3 90 4 60 6
平面
直线和直线上的定点 绕线旋转+对点反演
对称操作
基转角α 国际符号
对点反演 对面反映
120 i
1
90
4
60
6
m
2
3
3+i
3+m
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5)晶体的32种点群及分类
点群:把一个结晶多面体所具有的全部对称要 素以一定的顺序组合排列使成为晶体的对称 型。 所有晶体能存在的对称型共有32种，亦称32 种点群。
立方体的棱 ( a )
代表的方向
立方体的体对角线 ( a b c ) 立方体的面对角线 ( a b ) 6次轴 ( c )
六方晶系 四方晶系
a
菱方晶系
正交晶系 单斜晶系 三斜晶系
与6次轴垂直 与6次轴垂直并与 a交 成 30 2 a b ) （ 4次轴 ( c ) 与4次轴垂直 ( a ) 与4次轴垂直并与 a交 成 45 a b ) （ 3次轴 ( a b c ) 与3次轴垂直 （ a b )
6 m m 6 2 2 6/m 2/m 2/m
4/m 3
2/m
4/m4/m4/m
特征 对称 要素
无
1个2 或m
三个互相 垂直的2 或2个互 相垂直的 m
1个4 或 4
1个3 或 3
1个6 或 6
4个3
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表1.4 国际符号中各个符号在每个晶系中代表的方向 晶系 立方晶系 符号位序
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 1 1
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图1.14
旋转平移
左-右旋
右-左旋
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螺旋轴有：
2次（平移距离为c/2，不分右旋和左旋。记为21）
3次（平移距离为c/3分为右旋或左旋，记为31或32） 4次（平移距离c/4或c/2，前者分为右旋或左旋，记为41 或43，后者不分左右旋为42） 6次（平移距离c/6，分右旋或左旋，记为61或65，平移距
(a ) 三个互相垂直的2次轴 (b )
(c )
(a )
2次轴 ( b )
1次轴 ( a )
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1.1.6 晶体的微观对称
1、微观对称要素（元素）和对称操作
（1) 螺旋轴和旋转平移
螺旋轴：晶体结构可借绕螺旋轴回转360/n角度同时沿轴平移 一定距离而得到重合，此螺旋轴称为n次螺旋轴。螺旋轴是一 个假想直线 对称动作：旋转+轴向平移，晶体中任一部分先绕轴旋转一定 角度后，再沿轴平移一定距离，使相等部分重复。
对称操作：反映，尤如照镜子一样。
对称面通常是晶棱或晶面的垂直平分面或者为多面角的平分面，且必定通过 晶体几何中心。
图1.13
晶体的对称面 目录 上页 下页 退出
图1.14立方体中的对称面
目录Leabharlann 上页下页退出3）对称中心和倒反
对称中心：若晶体中所有的点在经过某一点反演后
能复原，则该点就称为对称中心。晶体中心的一点
离c/3，分右旋或左旋，记为62或64，平移距离c/2，不分
左右旋，记为63）
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（2）滑动面和反映平移
是一个假想平面，相应对称操作是反映+滑移，晶体结构中任
意部分，先以滑移面为镜面反映，再平行于滑移面进行平移， 使相等部分重合。例：
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滑动面的符号： 如平移为a/2, b/2或c/2时，写作a,b或c； 如沿面对角线平移1/2距离，则写作n； 如沿面对角线平称1/4距离，则写作d。
重复所进行的动作。
对称要素（对称元素）：进行对称操作时所凭借的几何要 素。
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2、宏观对称要素和对称操作 1） 对称轴和旋转
对称轴：是一根通过晶体几何中心的假想直线，晶体绕此轴 旋转一定角度后，可使相等部分（晶面、晶棱或角顶）重复。 对称操作：晶体绕轴旋转。符号Ln，国际符号n。 L—对称轴，n—代表绕L旋转一周重复的次数。 n
对称操作—倒反。符号C，国际符号i。
晶体可有对称中心，可没有，但最多只有一个。
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4） 回转-反演轴与旋转倒反
回转-反演轴：若晶体绕某一轴回转一定角度，再
以轴上的一个中心点作反演之后能得到复原时，此
轴称为回转-反演轴。又称旋转反伸轴，符号Lin，
国际符号
n
对称操作－复合操作，旋转+反伸，先绕一根直线 旋转一定角度后，再通过该直线上某一点进行倒反。
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2、230种空间群
宏观对称→四种要素组合→32种点群，将四种 宏观对称要素和三种微观对称要素组合，可得 到230种空间群，80种没有找到实例，常见的
100多个，比较重要的30多个。
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Li1，Li2，Li3，Li4，Li6 注意：
1 ,2,3,4,6
绕某直线旋转一定角度后，相等部分并未重 复，只有经该直线上一点反伸，才能使晶体 相等部分重复。
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表1.2 晶体的宏观对称元素和对称操作
对称元素 1次
辅助几何元素
对称轴
2次 3次 4次 6次
360
α－基准角，使图形复原的最小旋转角。晶体中，对称轴只有1，
2，3，4，6次，即L1，L2，L3，L4，L6，没有L5和高于6次。
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立方晶系有3L4,4L3,6L2对称轴
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2） 对称面与反映
国际符号m。
是一个假想平面，它能把晶体分成互为镜象反映关系的两个相等部分，符号P，