晶体的宏观对称性

晶体的宏观对称性一宏观对称性晶体的点阵结构使晶体的对称性跟分子的对称性有一定的差别。

晶体的宏观对称性仍然具有分子对称性的4种类型，但受到点阵的制约：旋转轴和反轴的轴次只能为1、2、3、4、6等几种。

因此，宏观对称元素只有：n=1，2，3，4，6；i，m,二宏观对称元素组合和32个点群对于宏观对称元素而言，进行组合是必须严格遵从两个条件的限制：第一，晶体的多面体外形是一种有限图形，因而各对称元素组合必须通过一个公共点，否则将会产生出无限多个对称元素来，这是与有限外形相互矛盾的；第二，晶体具有周期性的点阵结构，任何对称元素组合的结果，都不允许产生与点阵结构不相容的对称元素（如5、7、…等），可产生32个点群。

三晶系根据晶体的对称性，按有无某种特征对称元素为标准，将晶体分成7个晶系：立方晶系：在立方晶胞4个方向对角线上均有三重旋转轴(a=b=c, α=β=γ=90)六方晶系：有1个六重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)四方晶系：有1个四重对称轴(a=b, α=β=γ=90;)三方晶系：有1个三重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)正交晶系：有3个互相垂直的二重对称轴或2个互相垂直的对称面(α=β=γ=90;)单斜晶系：有1个二重对称轴或对称面(α=γ=90;)三斜晶系：没有特征对称元素十四种空间点阵由于这些型式是由布拉维（A.Bravais）在1885年推引得出的，故也称为"布拉维空间格子"。

⑴简单三斜(ap)⑵简单单斜(mP)⑶C心单斜(mC,mA,mI⑷简单正交(oP)⑸C心正交(oC,oA,oB)⑹体心正交(oI)⑺面心正交(oF)⑽简单四方(tP)⑾体心四方(tI)⑻简单六方(hP)⑼R心六方(hR)⑿简单立方(cP)⒀体心立方(cI)⒁面心立方(cF)。

第三章晶体的宏观对称性第一节对称性基本概念第二节晶体的宏观对称元素第三节宏观对称元素组合原理第四节晶体的三十二点群第一节对称性基本概念z对称–物体或图形的相同部分有规律的重复。

z对称动作（操作）–使物体或图形相同部分重复出现的动作。

z对称元素（要素）--对称动作所借助的几何元素（点、线、面）。

z晶体外形的对称为宏观对称性，晶体内部结构原子或离子排列的对称性为微观对称性。

前者是有限大小宏观物体具有的对称性，后者是无限晶体结构具有的对称性。

两者本质上是统一的。

宏观对称性是微观对称性的外在表现。

晶体的对称必须满足晶体对称性定律。

晶体对称性对称自身：国际符号为1，习惯记号为L1。

当它处于任意坐标中的坐标原点时，它的坐标是1(000)，所导出的一般位置等效点系为：x,y,z→x,y,z (1(000))反映面（reflection plane ）：对称物体或图形中，存在一平面，作垂直于该平面的任意直线，在直线上距该平面等距离两端上必定可以找到对应的点。

这一平面即为反映面。

相应的对称操作为反映。

反映面的惯用符号：P ；国际符号：m ；圣佛里斯符号：Cs反映面的极射赤面投影对称中心（inversion center)：对称物体或图形中，存在一定点，作通过该点的任意直线，在直线上距该点等距离两端，可以找到对应点，则该定点即为对称中心。

相应的对称操作为反演。

对称中心的惯用符号：C；国际符号：1；圣佛里斯符号：C对称中心的极射赤面投影返回旋转轴（rotation axe）：物体或图形中存在一直线，当图形围绕它旋转一定角度后，可使图形相同部分复原，此直线即为旋转轴。

相应的对称操作为旋转。

在旋转过程中，能使图形相同部分复原的最小旋转角称为该对称轴的基转角（α）。

任何图形在旋转一周（360o）必然自相重复，因此有：360/ α= n n正整数n表示图形围绕旋转轴旋转一周过程中，图形相同部分重复的次数，因此n定义为旋转轴的轴次。

晶体的宏观对称性物理科学学院 季淑英 2014020231摘 要: 晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，通过对晶体三类宏观对称操作的介绍，找出了晶体的8种基本宏观对称操作。

关键词：对称中心； 反映面； 旋转轴一 什么是晶体人们最早认识晶体是从石英开始的，只知道它天然的具有规则的几何多面体，真正揭开晶体内部结构是在1914年，人类首次测定了Nacl 的晶体结构。

此后，人们积累大量测定资料开始认识到：无论晶体的外形是否规则，它们内部的原子有规则地在三维空间呈周期性重复排列。

所以，晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，或着说晶体是具有格子结构的固体。

而晶体的规则几何外形，只是晶体内部格子构造的外在部表现。

二 晶体的宏观对称对称性是晶体的基本性质之一，一切晶体都是对称的；但不同的晶体的对称性往往又是互有差异的。

1 对称操作对一种晶体而言,其内部结构的质点表现出某种对称性的规律排列,当在进行某种操作（线性变换）后能使自身复原,这种对称性是晶体的一个客观存在的基本性质,是晶体内部结构的规律在几何形状上的表现,晶体的许多宏观性质都与其结构上的对称性有密切关系。

对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对称操作，物体在某一正交变换下保持不变，即：操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作。

一个物体的对称操作越多，其对称性越高。

例如密度ρ作为位矢r 的函数，即）r （ρ。

我们可以定义一个引起坐标变换的操作g 满足’r gr r =→，如果这导致）r （）gr （）’r （ρρρ==那么g 是）r （ρ的一个对称操作。

2 对称元素对称操作过程中保持不变的几何要素：对称点，反演中心（i ）；对称线，旋转轴（n 或者n C ）和旋转反演轴（n ）；对称面，反映面（m ）等。

以上，考察在一定几何变换之下物体的不变性，使用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——保持两点距离不变的变换：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛•⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x a a aa a a a a a z y x 333231232221131211，，，其中，M 为正交矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a aa a a a a a M 2.1 对称中心和反演（i ）取晶体中心为原点，将晶体中任一点()z ，y ，x 变成()z -，y -，x - ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1-0001-0001-M2.2 对称面和反映（m ）以0z =作为镜面，将晶体中的任何一点()z ，y ，x 变成()z -y x ，， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1-00010001M2.3 n 次旋转对称轴（n 或者n C ）和n 次旋转反演轴（n ） 2.3.1n 次旋转对称轴（n 或者n C ）若晶体绕某一固定轴旋转角度/n π2=α以后能自身重合，则称该轴为n 次旋转对称轴。

第1篇一、引言晶体是自然界中普遍存在的物质形态，它们在微观结构上具有高度的有序性。

晶体的这种有序性可以通过宏观对称操作来描述，这些操作能够保持晶体的几何形态和物理性质。

宏观对称操作是晶体学中一个重要的概念，它有助于我们理解晶体的结构特征和性质。

本文将详细探讨晶体的宏观对称操作，包括其定义、分类、性质以及在实际中的应用。

二、定义宏观对称操作是指对晶体进行一系列的几何变换，这些变换能够保持晶体的几何形态和物理性质不变。

这些操作包括旋转、反射、平移和螺旋等。

在晶体学中，这些操作被统称为点群对称操作。

三、分类1. 旋转操作旋转操作是指将晶体绕某一轴线旋转一定角度，使晶体的几何形态和物理性质保持不变。

旋转操作的轴线称为旋转轴，旋转角度称为旋转角。

根据旋转角的不同，旋转操作可以分为以下几种：（1）一级旋转：旋转角为360°，即整个晶体绕旋转轴旋转一周。

（2）二级旋转：旋转角为180°，即晶体绕旋转轴旋转半周。

（3）三级旋转：旋转角为120°，即晶体绕旋转轴旋转1/3周。

（4）n级旋转：旋转角为360°/n，即晶体绕旋转轴旋转1/n周。

2. 反射操作反射操作是指将晶体相对于某一平面进行镜像变换，使晶体的几何形态和物理性质保持不变。

这个平面称为反射面。

根据反射面的不同，反射操作可以分为以下几种：（1）镜面反射：反射面为晶体的一个平面。

（2）轴面反射：反射面为晶体的一个轴面。

（3）体对角面反射：反射面为晶体的一个体对角面。

3. 平移操作平移操作是指将晶体沿某一方向进行平行移动，使晶体的几何形态和物理性质保持不变。

平移操作可以看作是无限多个平移操作叠加的结果。

4. 螺旋操作螺旋操作是指将晶体绕某一轴线旋转一定角度，同时沿轴线方向进行平行移动，使晶体的几何形态和物理性质保持不变。

螺旋操作的轴线称为螺旋轴，旋转角称为螺旋角。

四、性质1. 对称性晶体的宏观对称操作具有以下性质：（1）自反性：晶体经过对称操作后，其几何形态和物理性质与原始状态相同。

复习：1.正点阵基矢与倒易点阵基矢之间的关系同种正应阵基去如倒易点阵基去的栋量叙为1,系 同种正点阵基央如倒易点阵基水的标■叙为零 2、晶带定律[uvw]的方向：r uvw = u a + V b + w c(hkl)面的法线方向:r*hki = h a* + k b* + 1 c* (h a* + kb* + 1 c*)・ (ua + vb + wc) = Ohu+kv+lw=OUVW 加 k] " h, k, h 2 k 2 12 h 2 k 212 两个晶面同属于一个晶带[uvw](112), (232)一个晶面同属于两个晶带[uvw][321], [111]晶面间距通用公式:h hakcosy cos/Jkh ./1cosy//ak1akcosp——1cosa+ —cos/—cosa+ _ c osy1—a bc cosa1bcos ftb4c1c c os。

cosa b /c11 cosy cos/i cosy 1cos a cosp cos a 1简立方：(cP): a=4 A,面间距：(111)体心立方：: a= 4 A,面间距：(111)立方晶系:简立方1 _ /?2+k2 +/2“ =2cr体心立方/面心立方晶面间距：d简立方/ 2§3-1对称性与对称操作对称元素；对称操作；晶体的对称性晶体外部形态的对称性，通常称为宏观对称性, 点对称性。

晶体内部原子排列的对称性，称为微观对称，1生§3.2晶体的宏观对称元素惯用记号:C; 国1 ＞对称中心际符号:i；熊夫利符号:G2、旋转轴旋转操作;旋转反演、倒反对称轴（旋转轴）基转角:a旋转轴的轴次:n = 3607a旋转矩阵:X2cos a-sin。

0「力= sin a cos a0.0 0 I .Z|.cos a -sin。

0/?；(©)= sin a cos 67 00 0 IN只能是1, 2, 3, 4, 6没有5或者7等更高次c AB 一AC, AD/ AD = AC = ABA -------- •* E AE = m-AB AE = 2-AC-cosaXy Bm = |2-cosa| （m整数，晶体的平移周期D 性）-2 < m < 2m：・2、・1、0^ 1、2,a： 180, 120, 90, 60和360。