第三章 晶体的宏观对称
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第三章 晶体的宏观对称
第三章晶体的宏观对称第一节：对称性概述教材上关于对称的形象化描述非常好：对称，顾名思义就是不同的物体或同一物体的不同部分相对又相称，因此将这不同的物体或同一物体的不同部分的空间位置以某种方式对换一下好像没动过一样（复原）。
晶体的宏观对称就是指晶体表面几何要素（但并非只是几何要素）的有规律重复。
一、几个相关术语1.等同图形（同形等大的图形）；2.对称操作；3.对称元素；4.关于左右型图形的问题；5.对称图形的阶次和对称要素的阶次。
二、宏观对称元素1.反映对称面(符号用P)；描述：面不动，阶次为2。
2.对称中心（符号用C）：描述：点不动。
对称中心可以产生左右型、阶次为2。
3.旋转对称轴（用L n表示）：描述：线不动，阶次为n.；基转角、对称定律（画图并作几何推导）。
对称定律：对应的对称轴只可能是L1、L6、L4、L3、L2。
4.旋转反伸对称轴（用L-n表示）：描述：点不动。
基转角、旋转反伸对称轴次、先旋转后反伸与先反伸后旋转、旋转反伸轴是一个复合对称操作，阶次为n。
反伸轴的等价对称操作：一次反伸轴等于对称中心（L-1=C）(证明)二次反伸轴等于对称面（L-2=P）(证明)三次反伸轴等于三次对称轴加对称中心（L-3=L3C）(证明)四次反伸轴无等价对称操作（独立）(证明)六次反伸轴为三次反伸轴加反映对称面（L-6=L3P，优选L-6）(证明)所以真正存在的旋转反伸轴只有四次反伸轴L-4和六次反伸轴L-6两种。
三、宏观对称要素和点阵的几何配置1.对称中心对应于点阵点2.旋转轴对应于点阵行列并垂直于点阵面网（包含平行）3.对称面对应于点阵面（包含平行）四、宏观对称要素与宏观晶体几何配置对称中心总是位于晶体中心。
对称轴的出露点总是位于晶面中心、晶棱中心或角顶对称面的出露位置可以平分晶面、平分或包含晶棱第二节、对称要素的组合规律对于一个宏观几何多面体，可以存在的对称要素一般不止一个（当然可以只存在一个），当有两个对称元素存在时，由于对称要素本身的相互作用就可能产生第三个对称要素，第三个对称要素单独作用的结果等于前两者连续作用的结果。
晶体宏观对称
= the symbol for a twofold rotation
6
第二步
Element
6
13
结晶学与矿物学
对称轴(Ln)之对称操作
• 对称轴
二次(two-fold rotation) A Symmetrical Pattern
– 变换矩阵
cosa sin a 0
sin a cosa 0
• Motif: the fundamental part of a symmetric design that, when repeated, creates the whole pattern
6
结晶学与矿物学
对称元素
• 对称元素(symmetry element)：在进行对称操 作时所凭借的几何要素——点、线、面等。 • 对称元素种类
对称变换矩阵
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
10
结晶学与矿物学
对称轴(Ln)之对称操作
• 对称轴
二次(two-fold rotation) A Symmetrical Pattern
– = 360o/2 rotation – to reproduce a motif in a symmetrical pattern
= the symbol for a twofold rotation
6
Element
6
12
结晶学与矿物学
对称轴(Ln)之对称操作
• 对称轴
二次(two-fold rotation) A Symmetrical Pattern Motif
第一步
6
第二步
Element
6
13
结晶学与矿物学
对称轴(Ln)之对称操作
• 对称轴
二次(two-fold rotation) A Symmetrical Pattern
– 变换矩阵
cosa sin a 0
sin a cosa 0
• Motif: the fundamental part of a symmetric design that, when repeated, creates the whole pattern
6
结晶学与矿物学
对称元素
• 对称元素(symmetry element)：在进行对称操 作时所凭借的几何要素——点、线、面等。 • 对称元素种类
对称变换矩阵
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
10
结晶学与矿物学
对称轴(Ln)之对称操作
• 对称轴
二次(two-fold rotation) A Symmetrical Pattern
– = 360o/2 rotation – to reproduce a motif in a symmetrical pattern
= the symbol for a twofold rotation
6
Element
6
12
结晶学与矿物学
对称轴(Ln)之对称操作
• 对称轴
二次(two-fold rotation) A Symmetrical Pattern Motif
第一步
第三章晶体的宏观对称剖析
宏观对称性是指晶体在宏观尺度 上所表现出的对称性质，包括晶 体形状、晶面和对称轴等方面。
宏观对称性可以通过几何图形来 表示，例如六方晶系、立方晶系 等。
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宏观对称性是晶体分类的重要依 据之一，不同晶体的宏观对称性 特征不同。
宏观对称性还可以通过晶面指数 和对称轴的描述来表达，这些描 述方式有助于研究晶体的结构和 物理性质。
空间群的特点：空间群决定了晶体结构的对称性和物理性质，不同的空间群具有不同的对称性和 物理性质。
空间群的应用：空间群在材料科学、物理学、化学等领域有着广泛的应用，对于理解晶体结构和 性质以及开发新材料具有重要的意义。
空间群与晶体结构的关系：空间群与晶体结构密切相关，通过对空间群的研究可以深入了解晶体 结构的本质和规律。
点群的特点和性质
点群是由对称操作构成的群，具 有确定的点群符号
点群能够确定晶体的对称性，从 而推断晶体的物理性质
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点群将晶体划分为若干个等同部 分，具有空间均匀性
点群是晶体分类和鉴别的基本依 据之一
空间群的分类和特点
空间群的分类：按照晶体结构的特点，空间群可以分为七大类，包括简单立方、面心立方、体心 立方等。
征。
对称性的分类
晶体点群：晶体中原子或分子的排列方式 晶体空间群：晶体中原子或分子的空间排列方式 对称轴：晶体中存在的对称元素，如C轴、S轴等 对称面：晶体中存在的对称元素，如M面、Y面等
对称性在晶体结构中的作用
决定晶体外形
影响晶体物理性质
形成晶体群
决定晶体中的原子排 列
晶体的宏观对称性
03
宏观对称性的定义
宏观对称性可以通过几何图形来 表示，例如六方晶系、立方晶系 等。
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宏观对称性是晶体分类的重要依 据之一，不同晶体的宏观对称性 特征不同。
宏观对称性还可以通过晶面指数 和对称轴的描述来表达，这些描 述方式有助于研究晶体的结构和 物理性质。
空间群的特点：空间群决定了晶体结构的对称性和物理性质，不同的空间群具有不同的对称性和 物理性质。
空间群的应用：空间群在材料科学、物理学、化学等领域有着广泛的应用，对于理解晶体结构和 性质以及开发新材料具有重要的意义。
空间群与晶体结构的关系：空间群与晶体结构密切相关，通过对空间群的研究可以深入了解晶体 结构的本质和规律。
点群的特点和性质
点群是由对称操作构成的群，具 有确定的点群符号
点群能够确定晶体的对称性，从 而推断晶体的物理性质
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点群将晶体划分为若干个等同部 分，具有空间均匀性
点群是晶体分类和鉴别的基本依 据之一
空间群的分类和特点
空间群的分类：按照晶体结构的特点，空间群可以分为七大类，包括简单立方、面心立方、体心 立方等。
征。
对称性的分类
晶体点群：晶体中原子或分子的排列方式 晶体空间群：晶体中原子或分子的空间排列方式 对称轴：晶体中存在的对称元素，如C轴、S轴等 对称面：晶体中存在的对称元素，如M面、Y面等
对称性在晶体结构中的作用
决定晶体外形
影响晶体物理性质
形成晶体群
决定晶体中的原子排 列
晶体的宏观对称性
03
宏观对称性的定义
晶体的宏观对称性
1
某些晶体在几何外形上体现出明显旳对称， 如立方等构造，这种对称性不但表目前几何外形 上，而且反应在晶体旳宏观物理性质上，对于研 究晶体旳性质有极主要旳意义。
、对称性
(a)
(b)
(c)
(d)
1 图 对称性不同旳几种图形
以上分析所用旳措施，就是考察在一定几何 变换之下物体旳不变性。我们把旋转及反射统称 为正交变换。概括宏观对称性旳系统措施正是考 察物体在正交变换下旳不变性，在三维情况下， 正交变换能够写成：
（2）存在单位元素E，使得全部元素满足：AE=A
（3）对于任意元素A，存在逆元素A-1，有：AA-1=E
（4）元素间旳“乘法运算”满足结合律：A（BC)=A （ＢＣ）
一种物体全部对称操作旳集合，也满足上述群旳定义 ，这时运算法则就是“连续操作”，不动操作作为单 位元素，绕轴转θ角旳逆为绕该轴转－θ角；中心反演 旳逆还是中心反演。
、对称操作群：一种物体全部对称操作旳集合，构成 对称操作群。
最终，作为一种例子，我们应用对称操作旳概念，证 明具有立方对称旳晶体旳介电性能够归结为一种标量 介电常数。
按照一般表达(D为电位移矢量，E为电场强度， 为介
电常数）：
D E
, —— X，Y，Z轴分量
—— X，Y，Z轴为立方体旳三个立方轴方向
假设电场沿Y轴方向 Ey E, Ex Ez 0
x ' a11 a12 a13 x
y
'
a12
a22
a23
y
z ' a13 a13 a33 z
{aij}, i, j 1, 2, 3，为正交矩阵
绕z轴转角旳正交矩阵是：
cos sin 0
sin cos 0
某些晶体在几何外形上体现出明显旳对称， 如立方等构造，这种对称性不但表目前几何外形 上，而且反应在晶体旳宏观物理性质上，对于研 究晶体旳性质有极主要旳意义。
、对称性
(a)
(b)
(c)
(d)
1 图 对称性不同旳几种图形
以上分析所用旳措施，就是考察在一定几何 变换之下物体旳不变性。我们把旋转及反射统称 为正交变换。概括宏观对称性旳系统措施正是考 察物体在正交变换下旳不变性，在三维情况下， 正交变换能够写成：
（2）存在单位元素E，使得全部元素满足：AE=A
（3）对于任意元素A，存在逆元素A-1，有：AA-1=E
（4）元素间旳“乘法运算”满足结合律：A（BC)=A （ＢＣ）
一种物体全部对称操作旳集合，也满足上述群旳定义 ，这时运算法则就是“连续操作”，不动操作作为单 位元素，绕轴转θ角旳逆为绕该轴转－θ角；中心反演 旳逆还是中心反演。
、对称操作群：一种物体全部对称操作旳集合，构成 对称操作群。
最终，作为一种例子，我们应用对称操作旳概念，证 明具有立方对称旳晶体旳介电性能够归结为一种标量 介电常数。
按照一般表达(D为电位移矢量，E为电场强度， 为介
电常数）：
D E
, —— X，Y，Z轴分量
—— X，Y，Z轴为立方体旳三个立方轴方向
假设电场沿Y轴方向 Ey E, Ex Ez 0
x ' a11 a12 a13 x
y
'
a12
a22
a23
y
z ' a13 a13 a33 z
{aij}, i, j 1, 2, 3，为正交矩阵
绕z轴转角旳正交矩阵是：
cos sin 0
sin cos 0
结晶学 第三章 晶体的对称
3）对称轴Ln 与垂直它的对称面P的组合。考虑到组 合规律Ln(偶次)P⊥→Ln(偶次)PC，则可能的对称型为： （L1P=P）；L2PC；（L3P=Li6）；L4PC；L6PC。 4）对称轴Ln与包含它的对称面的组合。根据组合规 律Ln P∥→LnnP，可能的对称型为：（L1P=P） L22P；L33P；L44P；L66P。
根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导 出晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅 有32个。那么，这32个对称型怎么推导出来？
A类对称型（高次轴不多于一个）的推导： 1）对称轴Ln单独存在，可能的对称型为 L1； L2；L3； L 4；L 6 。 2）对称轴与对称轴的组合。在这里我们只考虑Ln与垂 直它的 L2 的组合。根据上节所述对称要素组合规律 LnL2→LnnL2 ， 可 能 的 对 称 型 为 ： （ L1L2=L2 ） ； L22L2=3L2；L33L2；L44L2；L66L2 如果L2与Ln斜交有可能 出现多于一个的高次轴， 这时就不属于A类对称型了。
6）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型为： Li1=C； Li2=P；Li3=L3C；；Li6=L3P。 7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含它的P）的 组合。根据组合规律，当n为奇数时LinnL2nP，可能 的对称型为：（Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC； 当n为偶数时 Lin(n /2)L2(n /2)P，可能的对称型为： （Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。
Li 2= P
Li 3= L3C
Li 4
Li 6= L3P
• 值得指出的是，除Li4外，其余各种旋转反伸轴 都可以用其它简单的对称要素或它们的组合来 代替，其间关系如下： Li1 = C， Li2 = P， Li3 = L3 +C， Li6 = L3 + P • 但一般我们在写晶体的对称要素时，保留Li4 和Li6，而其他旋转反伸轴就用简单对称要素代 替。这是因为Li4 不能被代替， Li6在晶体对称 分类中有特殊意义。
第三章晶体的宏观对称剖析
（L33L24P=Li63L23P）；L44L25PC；L66L27PC。
2021/2/4
1
39
• 6）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型
为：Li1=C；Li2=P；Li3=L3C；Li4；Li6=L3P。
• 7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含 它的P）的组合。根据组合规律，当n为 奇数时LinnL2nP，可能的对称型为： （Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC； 当n为偶数时 Lin(n /2)L2(n /2)P，可能的 对称型为：（Li2L2P=L22P）；Li42L22P； Li63L23P=L33L24P。
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1
28
4-fold rotoinversion
A more fundamental representative of the pattern
This is a unique operation
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1
A’
B
A
B’
C’
C
D
D’
29
6-fold rotoinversion So Li6 = L3 +P
2021/2/4
plane
1
m
15
晶体中对称面与晶面、晶棱有如下关系： （1） 垂直并平分晶面； （2） 垂直晶棱并通过它的中点； ( 3 ) 包含晶棱。
2021/2/4
1
16
对称面可能出现的位置
2021/2/4
1
17
对称面(a)与非对称面(b)
2021/2/4
1
18
对称中心（C）
对称中心是一个假想的点，与之相应的对称操作 为对此一点的反伸(Inversion)。当晶体具有对称中心时， 通过晶体中心点的任意一直线，在其距中心点等间距 的两端，必定出现晶体上两个相等部分。
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1
39
• 6）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型
为：Li1=C；Li2=P；Li3=L3C；Li4；Li6=L3P。
• 7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含 它的P）的组合。根据组合规律，当n为 奇数时LinnL2nP，可能的对称型为： （Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC； 当n为偶数时 Lin(n /2)L2(n /2)P，可能的 对称型为：（Li2L2P=L22P）；Li42L22P； Li63L23P=L33L24P。
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1
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4-fold rotoinversion
A more fundamental representative of the pattern
This is a unique operation
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1
A’
B
A
B’
C’
C
D
D’
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6-fold rotoinversion So Li6 = L3 +P
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plane
1
m
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晶体中对称面与晶面、晶棱有如下关系： （1） 垂直并平分晶面； （2） 垂直晶棱并通过它的中点； ( 3 ) 包含晶棱。
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对称面可能出现的位置
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对称面(a)与非对称面(b)
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对称中心（C）
对称中心是一个假想的点，与之相应的对称操作 为对此一点的反伸(Inversion)。当晶体具有对称中心时， 通过晶体中心点的任意一直线，在其距中心点等间距 的两端，必定出现晶体上两个相等部分。
晶体的宏观对称性
代入
进一步选择其它的对称操作，最后得到 对于n阶张量形式的物理量，系数用n阶张量表示
在坐标变换下 如果A为对称操作 —— 这样可以简化n阶张量
3) 对于任意元素A, 存在逆元素A-1, 有：AA-1=E
4) 元素间的“乘法运算”满足结合律：A(BC)=(AB)C
正实数群 —— 所有正实数(0 除外)的集合，以普通乘法为 运算法则
整数群 —— 所有整数的集合，以加法为运算法则
—— 一个物体全部对称操作的集合满足上述群的定义 运算法则 —— 连续操作
可以证明
—— 满足结合律
S’
6 立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明 — 1
—— X，Y，Z轴分量 —— X，Y，Z轴为立方体的三个立方轴方向 假设电场沿Y轴方向
将晶体和电场同时绕Y轴转动/2
Y
Z
转动的实施
X
—— 电场没变
—— 同时是一个对称操作，晶体转动前后没有任何差别
应有
xy zy 0
—— 对称素为镜面
—— 用
表示
一个物体的全部对称操 作构成一个对称操作群
5 群的概念
—— 群代表一组“元素”的集合，G {E, A ,B, C, D ……} 这些“元素”被赋予一定的“乘法法则”，满足下列
性质 1) 集合G中任意两个元素的“乘积”仍为集合内的元素
—— 若 A, B G, 则AB=C G. 叫作群的封闭性 2) 存在单位元素E, 使得所有元素满足：AE = A
0 0 0
D 0E
—— 正四面体晶体上述结论亦然成立 —— 介电常数的论证和推导也适合于一切具有二阶张量形
式的宏观性质：如导电率、热导率……等
立方对称晶体的介电系数为一个标量常数的证明 — 2
晶体的宏观对称性
1、直观形象的理解： 垂直五次及高于六次的 对称轴的平面结构不能 构成面网，且不能毫无 间隙地铺满整个空间, 即不能成为晶体结构。
☆对称中心—C 操作为反伸，是位于晶体中心的 一个假想的点。 。只可能在晶体中心，只可能一 个。
对称中心（C）
总结：凡是有对称中心的晶体，晶面总是成对出现且两 两反向平行、同形等大。
L22P
L33P L44P L66P
Li2 L2P=L22P
Li3 3L2 3P= L3 3L2 3PC Li4 2L22P
3L2 3PC
L3 3L2 3PC L44L2 5PC
Li6 3L2 3P= L3 3L2 L66L2 7PC 4P
六、晶体的对称分类
1、晶族、晶系、晶类的划分，见表3-1。 这个表非常重要，一定要熟记。
四、对称要素的组合
在结晶多面体中，可以有一个对称要素单独存在， 也可以有若干各对称要素组合在一起共同存在。
◆ 对称要素组合不是任意的，必须符合对
称要素的组合定律； ◆ 当对称要素共存时，也可导出新的对称 要素。
定理1：如果有（能找到）一个对称面P包含Ln，则必有（必能 找到）n个对称面包含此Ln（Ln即为这n个对称面的交线）， 且任意二相邻P之间的交角δ等于 360 2n 。 简式为：Ln P// LnnP//； 逆定理：两个对称面P以δ相交，其交线必为一Ln，n 360 2
6）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型为： Li1=C； Li2=P；Li3=L3C；；Li6=L3P。 7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含它的P）的 组合。根据组合规律，当n为奇数时LinnL2nP，可能 的对称型为：（Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC； 当n为偶数时 Lin(n /2)L2(n /2)P，可能的对称型为： （Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。
☆对称中心—C 操作为反伸，是位于晶体中心的 一个假想的点。 。只可能在晶体中心，只可能一 个。
对称中心（C）
总结：凡是有对称中心的晶体，晶面总是成对出现且两 两反向平行、同形等大。
L22P
L33P L44P L66P
Li2 L2P=L22P
Li3 3L2 3P= L3 3L2 3PC Li4 2L22P
3L2 3PC
L3 3L2 3PC L44L2 5PC
Li6 3L2 3P= L3 3L2 L66L2 7PC 4P
六、晶体的对称分类
1、晶族、晶系、晶类的划分，见表3-1。 这个表非常重要，一定要熟记。
四、对称要素的组合
在结晶多面体中，可以有一个对称要素单独存在， 也可以有若干各对称要素组合在一起共同存在。
◆ 对称要素组合不是任意的，必须符合对
称要素的组合定律； ◆ 当对称要素共存时，也可导出新的对称 要素。
定理1：如果有（能找到）一个对称面P包含Ln，则必有（必能 找到）n个对称面包含此Ln（Ln即为这n个对称面的交线）， 且任意二相邻P之间的交角δ等于 360 2n 。 简式为：Ln P// LnnP//； 逆定理：两个对称面P以δ相交，其交线必为一Ln，n 360 2
6）旋转反伸轴单独存在。可能的对称型为： Li1=C； Li2=P；Li3=L3C；；Li6=L3P。 7）旋转反伸轴Lin与垂直它的L2（或包含它的P）的 组合。根据组合规律，当n为奇数时LinnL2nP，可能 的对称型为：（Li1L2P=L2PC）；Li33L23P=L33L23PC； 当n为偶数时 Lin(n /2)L2(n /2)P，可能的对称型为： （Li2L2P=L22P）；Li42L22P；Li63L23P=L33L24P。
晶体的宏观对称性
推论一：两个二次轴相交，交角为α/2，则垂直于这两个 二次轴所定平面，必有一基转角为α的n次轴。 推论二：一个二次轴和一个n次轴垂直相交，，则有n个二 次轴同时与n次轴相交，且相邻两二次轴的交角为n次轴基 转角的一半。
二次轴和四次 轴的组合 L44L2
第四节 晶体的三十二点群
晶体点群的推导 晶体的分类 晶体的定向 点群的符号 晶体的晶型
L6
L33L2
3L24L3、旋转轴型与反映面的组合 1、旋转轴与反映面垂直 L1 + P⊥ = P (Cs) L3 + P⊥ = L3 P (C3h) L6 + P⊥ = L6 PC (C6h) L33L2 + P⊥ = L33L24P (D3h) L66L2 + P⊥ = L66L27PC (D6h) 3L24L3 + P⊥ = 3L24L33PC (Th) 4L33L46L2 + P⊥ = 4L33L46L29PC (Oh) 组合原理：定理三及推论（偶次轴）；定理四或定理二 L2 + P⊥= L2 PC (C2h) L4 + P⊥ = L4 PC (C4h) 3L2 + P⊥ = 3L23PC (D2h) L44L2 + P⊥ = L44L25PC (D4h)
第二节 晶体的宏观对称元素
宏观对称元素(Symmetry element)和对称动作 (symmetry operation)
对称动作类型 对称元素 反映面 对称中心 旋转轴 反轴 对称动作 反映 倒反（反演） 旋转 旋转倒反
简单 复合
反映面：对称物体或图形中，存在一平面，作垂直于该平面 的任意直线，在直线上距该平面等距离两端上必定可以找到 对应的点。这一平面即为反映面。相应的对称操作为反映。
晶体结构和对称性
在晶体的空间点阵结构中，任何对称轴(包括旋转轴、反轴 以及以后介绍的螺旋轴)都必与一组直线点阵平行，与一组 平面点阵垂直(除一重轴外)；任何对称面(包括镜面及微观 对称元素中的滑移面)都必与一组平面点阵平行，而与一组 直线点阵垂直。
晶体宏观对称性受到的限制
晶体中的对称轴(包括旋转轴,反轴和螺旋轴)的轴次n并不 是可以有任意多重，n仅为1,2,3,4,6，即在晶体结构中， 任何对称轴或轴性对称元素的轴次只有一重、二重、三重、 四重和六重这五种，不可能有五重和七重及更高的其它轴 次，这一原理称为“晶体的对称性定律”。
其对称操作是旋转反映。
sˆncˆnˆh
在晶体中反轴 n ，对应的操
作是先绕轴旋转 2P n，再过 轴的中心进行倒反。
L()I ＝ L() ● I
由此可知，n 与Sn都属于复合对称操作，且都由旋转与另
一相连的操作组合而成。
关于旋转反映轴与反轴的说明
❖ 用映轴表示的对称操作都可以用反轴表示，所以在新的晶体 学国际表中只用反轴。
(1)晶体多面体外形是有限图形，故对称元素组合时必通 过质心，即通过一个公共点。
(2)任何对称元素组合的结果不允许产生与点阵结构不相 容的对称元素，如5、7、…。
晶体宏观对称元素的组合
组合程序：
（1）组合时先进行对称轴与对称轴的组合， （2）再在此基础上进行对称轴与对称面的组合， （3）最后为对称轴、对称面与对称中心的组合。
格子。空间格子一定是平行六面体。
顶点的阵点，对每单位贡献1/8； 边上的阵点，对每单位贡献1/4； 面上的阵点，对每单位的献1/2； 六面体内的阵点，对每单位贡献1。
空间点阵与正当空间格子
C 空间点阵
空间点阵对应的平移群
T m n p m a n b p cm , n ,p = 0 , 1 , 2 ,
晶体宏观对称性受到的限制
晶体中的对称轴(包括旋转轴,反轴和螺旋轴)的轴次n并不 是可以有任意多重，n仅为1,2,3,4,6，即在晶体结构中， 任何对称轴或轴性对称元素的轴次只有一重、二重、三重、 四重和六重这五种，不可能有五重和七重及更高的其它轴 次，这一原理称为“晶体的对称性定律”。
其对称操作是旋转反映。
sˆncˆnˆh
在晶体中反轴 n ，对应的操
作是先绕轴旋转 2P n，再过 轴的中心进行倒反。
L()I ＝ L() ● I
由此可知，n 与Sn都属于复合对称操作，且都由旋转与另
一相连的操作组合而成。
关于旋转反映轴与反轴的说明
❖ 用映轴表示的对称操作都可以用反轴表示，所以在新的晶体 学国际表中只用反轴。
(1)晶体多面体外形是有限图形，故对称元素组合时必通 过质心，即通过一个公共点。
(2)任何对称元素组合的结果不允许产生与点阵结构不相 容的对称元素，如5、7、…。
晶体宏观对称元素的组合
组合程序：
（1）组合时先进行对称轴与对称轴的组合， （2）再在此基础上进行对称轴与对称面的组合， （3）最后为对称轴、对称面与对称中心的组合。
格子。空间格子一定是平行六面体。
顶点的阵点，对每单位贡献1/8； 边上的阵点，对每单位贡献1/4； 面上的阵点，对每单位的献1/2； 六面体内的阵点，对每单位贡献1。
空间点阵与正当空间格子
C 空间点阵
空间点阵对应的平移群
T m n p m a n b p cm , n ,p = 0 , 1 , 2 ,
第三章晶体的宏观对称
对称面是把晶体平分为互为镜像的两个相等 部分的假想平面。 相应对称操作：对一个平面的反映。
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
A
B
P1
E P2 D E D
E1 P
该切面是对称面
该切面不是矩形体的对称面
对称面在晶体中可能存在的位置：
• ⑴垂直并平分晶面； • ⑵垂直晶棱并通过它的中心； • ⑶包含晶棱并平分晶面夹角。
晶体中可不存在对称面，也可存在一或多个对称面， 最多可达9个。对称面的描述方法为3P、9P等。
四、对称要素的组合
在结晶多面体中，可以有一个对称要素单独 存在，也可以有若干对称要素组合一起共存。 对称要素组合不是任意的，必须符合对称要 素的组合定律。
对称要素的组合服从以下定律：
定理一：若有一个二次轴L2垂直于Ln， 则必有n个L2垂直于Ln。即：LnL2LnnL2 ；
相邻两个L2的夹角是Ln基转角的一半。 逆定理：如果两个L2相交，在交点上且垂直两 个L2必产生一个Ln，其基转角是两个L2夹角的两倍 。并导出其他n个在垂直Ln平面内的L2。 例如: L4L2L44L2 , L3L2L33L2
根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导出
晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅有 32种。那么，这32种对称型怎么推导出来？
1、A类对称型(高次轴不多于一个)的推导
1）对称轴Ln单独存在，可能的对称型为L1；L2；L3；L4；L6 2）对称轴与对称轴的组合。在这里只考虑 Ln 与垂直它的 L2 的组合。根据对称要素组合定理 LnL2→LnnL2 ，可能的 对称型为：（L1L2=L2）；L22L2=3L2；L33L2；L44L2；L66L2 如果L2与Ln斜交有可能出现 多于一个的高次轴，这时就 不属于A类对称型了。 如图(a) 斜交产生新的Ln ， 图(b) 垂直不产生新的Ln。
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
A
B
P1
E P2 D E D
E1 P
该切面是对称面
该切面不是矩形体的对称面
对称面在晶体中可能存在的位置：
• ⑴垂直并平分晶面； • ⑵垂直晶棱并通过它的中心； • ⑶包含晶棱并平分晶面夹角。
晶体中可不存在对称面，也可存在一或多个对称面， 最多可达9个。对称面的描述方法为3P、9P等。
四、对称要素的组合
在结晶多面体中，可以有一个对称要素单独 存在，也可以有若干对称要素组合一起共存。 对称要素组合不是任意的，必须符合对称要 素的组合定律。
对称要素的组合服从以下定律：
定理一：若有一个二次轴L2垂直于Ln， 则必有n个L2垂直于Ln。即：LnL2LnnL2 ；
相邻两个L2的夹角是Ln基转角的一半。 逆定理：如果两个L2相交，在交点上且垂直两 个L2必产生一个Ln，其基转角是两个L2夹角的两倍 。并导出其他n个在垂直Ln平面内的L2。 例如: L4L2L44L2 , L3L2L33L2
根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导出
晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅有 32种。那么，这32种对称型怎么推导出来？
1、A类对称型(高次轴不多于一个)的推导
1）对称轴Ln单独存在，可能的对称型为L1；L2；L3；L4；L6 2）对称轴与对称轴的组合。在这里只考虑 Ln 与垂直它的 L2 的组合。根据对称要素组合定理 LnL2→LnnL2 ，可能的 对称型为：（L1L2=L2）；L22L2=3L2；L33L2；L44L2；L66L2 如果L2与Ln斜交有可能出现 多于一个的高次轴，这时就 不属于A类对称型了。 如图(a) 斜交产生新的Ln ， 图(b) 垂直不产生新的Ln。
晶体的宏观对称性
α = β = 90 γ = 120
a=b≠c
α = β = γ = 90
注： 四方也不可能有底心，假如有，则破坏了“点阵点最少” 的条件，还可画出只有一个点阵点的格子。
单斜（P）
单斜（C）
三斜（P）
晶胞类型：
a ≠ b ≠ c
晶胞类型：
a ≠b≠c
α = γ = 90 β ≠ 90
α ≠ β ≠ γ ≠ 90
i
m
32 2, 2 m 3 2 , 3 m, i
2
α = β = γ = 90
a=b≠c
D 2h
中
四 方
4
10 11 12
α = β = γ = 90
c4 s4
c4h
D4
222 mm 2 22 2 mmm 4 4 4 m 422
4
4 4 , m, i 4, 4 2
续表：
对称 晶 性的 高低 系 四 方 特征对 晶胞类型 称元素 序 号 13 14 15 菱面体晶胞 点 熊夫里 斯记号 群 国际记号 对称元素
特征对称元素与7 特征对称元素与7个晶系
由于晶胞或空间点阵的小平行六面体都是不可能直接观察到的 内部微观结构，而特征对称元素却是它们在整个晶体外形上的反 映，是能够直接观察到的，所以特征对称结构可以作为实际划分 晶体的依据。 由表3我们已经知道，根据晶胞类型的不同，即与其相对应 的平行六面体形状的差异，可将32点群分为7类，即7个晶系。 七个晶系按照对称性的高低又可并归为三个晶族，即： 晶 族 包含的晶系 立方晶系 对称性强弱 对称性最高 高级晶族 中级晶族 低级晶族
六方、四方、三方晶系 对称性较弱 正交、单斜、三斜晶系 对称性最弱
明确了晶体对称性与规则性的关系，可以根据其宏观外形的 特征对称元素来判定晶体的晶系。
晶体的宏观对称操作(3篇)
第1篇一、引言晶体是自然界中普遍存在的物质形态，它们在微观结构上具有高度的有序性。
晶体的这种有序性可以通过宏观对称操作来描述，这些操作能够保持晶体的几何形态和物理性质。
宏观对称操作是晶体学中一个重要的概念，它有助于我们理解晶体的结构特征和性质。
本文将详细探讨晶体的宏观对称操作，包括其定义、分类、性质以及在实际中的应用。
二、定义宏观对称操作是指对晶体进行一系列的几何变换，这些变换能够保持晶体的几何形态和物理性质不变。
这些操作包括旋转、反射、平移和螺旋等。
在晶体学中，这些操作被统称为点群对称操作。
三、分类1. 旋转操作旋转操作是指将晶体绕某一轴线旋转一定角度，使晶体的几何形态和物理性质保持不变。
旋转操作的轴线称为旋转轴，旋转角度称为旋转角。
根据旋转角的不同，旋转操作可以分为以下几种：（1）一级旋转：旋转角为360°，即整个晶体绕旋转轴旋转一周。
（2）二级旋转：旋转角为180°，即晶体绕旋转轴旋转半周。
（3）三级旋转：旋转角为120°，即晶体绕旋转轴旋转1/3周。
（4）n级旋转：旋转角为360°/n，即晶体绕旋转轴旋转1/n周。
2. 反射操作反射操作是指将晶体相对于某一平面进行镜像变换，使晶体的几何形态和物理性质保持不变。
这个平面称为反射面。
根据反射面的不同，反射操作可以分为以下几种：（1）镜面反射：反射面为晶体的一个平面。
（2）轴面反射：反射面为晶体的一个轴面。
（3）体对角面反射：反射面为晶体的一个体对角面。
3. 平移操作平移操作是指将晶体沿某一方向进行平行移动，使晶体的几何形态和物理性质保持不变。
平移操作可以看作是无限多个平移操作叠加的结果。
4. 螺旋操作螺旋操作是指将晶体绕某一轴线旋转一定角度，同时沿轴线方向进行平行移动，使晶体的几何形态和物理性质保持不变。
螺旋操作的轴线称为螺旋轴，旋转角称为螺旋角。
四、性质1. 对称性晶体的宏观对称操作具有以下性质：（1）自反性：晶体经过对称操作后，其几何形态和物理性质与原始状态相同。
晶体学：第三章 晶体的宏观对称性
复习：1.正点阵基矢与倒易点阵基矢之间的关系同种正应阵基去如倒易点阵基去的栋量叙为1,系 同种正点阵基央如倒易点阵基水的标■叙为零 2、晶带定律[uvw]的方向：r uvw = u a + V b + w c(hkl)面的法线方向:r*hki = h a* + k b* + 1 c* (h a* + kb* + 1 c*)・ (ua + vb + wc) = Ohu+kv+lw=OUVW 加 k] " h, k, h 2 k 2 12 h 2 k 212 两个晶面同属于一个晶带[uvw](112), (232)一个晶面同属于两个晶带[uvw][321], [111]晶面间距通用公式:h hakcosy cos/Jkh ./1cosy//ak1akcosp——1cosa+ —cos/—cosa+ _ c osy1—a bc cosa1bcos ftb4c1c c os。
cosa b /c11 cosy cos/i cosy 1cos a cosp cos a 1简立方：(cP): a=4 A,面间距：(111)体心立方：: a= 4 A,面间距：(111)立方晶系:简立方1 _ /?2+k2 +/2“ =2cr体心立方/面心立方晶面间距：d简立方/ 2§3-1对称性与对称操作对称元素；对称操作；晶体的对称性晶体外部形态的对称性，通常称为宏观对称性, 点对称性。
晶体内部原子排列的对称性，称为微观对称，1生§3.2晶体的宏观对称元素惯用记号:C; 国1 ＞对称中心际符号:i；熊夫利符号:G2、旋转轴旋转操作;旋转反演、倒反对称轴（旋转轴）基转角:a旋转轴的轴次:n = 3607a旋转矩阵:X2cos a-sin。
0「力= sin a cos a0.0 0 I .Z|.cos a -sin。
0/?；(©)= sin a cos 67 00 0 IN只能是1, 2, 3, 4, 6没有5或者7等更高次c AB 一AC, AD/ AD = AC = ABA -------- •* E AE = m-AB AE = 2-AC-cosaXy Bm = |2-cosa| （m整数，晶体的平移周期D 性）-2 < m < 2m：・2、・1、0^ 1、2,a： 180, 120, 90, 60和360。
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第三章晶体的宏观对称第一节：对称性概述教材上关于对称的形象化描述非常好：对称，顾名思义就是不同的物体或同一物体的不同部分相对又相称，因此将这不同的物体或同一物体的不同部分的空间位置以某种方式对换一下好像没动过一样（复原）。
晶体的宏观对称就是指晶体表面几何要素（但并非只是几何要素）的有规律重复。
一、几个相关术语1.等同图形（同形等大的图形）；2.对称操作；3.对称元素；4.关于左右型图形的问题；5.对称图形的阶次和对称要素的阶次。
二、宏观对称元素1.反映对称面(符号用P)；描述：面不动，阶次为2。
2.对称中心（符号用C）：描述：点不动。
对称中心可以产生左右型、阶次为2。
3.旋转对称轴（用L表示）：描述：线不动，阶次为n.；基转角、对称定律（画n图并作几何推导）。
对称定律：对应的对称轴只可能是L、L、L、L、L。
246134.旋转反伸对称轴（用L-表示）：描述：点不动。
基转角、旋转反伸对称轴次、n先旋转后反伸与先反伸后旋转、旋转反伸轴是一个复合对称操作，阶次为n。
反伸轴的等价对称操作：一次反伸轴等于对称中心（L=C）(证明) -1二次反伸轴等于对称面（L=P）(证明) -2三次反伸轴等于三次对称轴加对称中心（L=LC）(证明) 3-3四次反伸轴无等价对称操作（独立）(证明)六次反伸轴为三次反伸轴加反映对称面（L=LP，优选L）(证明) -6-63所以真正存在的旋转反伸轴只有四次反伸轴L和六次反伸轴L两种。
-6-4三、宏观对称要素和点阵的几何配置1.对称中心对应于点阵点2.旋转轴对应于点阵行列并垂直于点阵面网（包含平行）3.对称面对应于点阵面（包含平行）四、宏观对称要素与宏观晶体几何配置对称中心总是位于晶体中心。
对称轴的出露点总是位于晶面中心、晶棱中心或角顶对称面的出露位置可以平分晶面、平分或包含晶棱第二节、对称要素的组合规律对于一个宏观几何多面体，可以存在的对称要素一般不止一个（当然可以只存在一个），当有两个对称元素存在时，由于对称要素本身的相互作用就可能产生第三个对称要素，第三个对称要素单独作用的结果等于前两者连续作用的结果。
下面研究这种组合规律。
一、反映对称面-反映对称面间的组合规律定理：两个反映对称面相交，其交线为旋转对称轴。
旋转对称轴的基转角为反映对称面交角的二倍（证）。
推论：基转角为α的旋转对称轴可分解为（注：不一定真实存在）两个反映对称面的连续操作，两个反映对称面的夹角为α/2。
二、反映对称面-旋转对称轴组合规律定理：当一个反映对称面包含一L时，必然有n个P同时包含L。
nn三、旋转对称轴与对称中心的组合定理：如果偶次对称轴上有对称中心，那么必有一对称面与对称轴垂直相交于对称中心。
推论1：在有对称中心时，若还有偶次对称轴，偶次对称轴的数目和对称面的数目相等。
推论2：对称面和偶次对称轴垂直，必有对称中心。
推论3：对称面和对称中心存在时，必有一垂直对称面的二次对称轴。
四、旋转轴之间的组合定理1：如果有一个L垂直L，则必然有n个L垂直L。
相邻L的夹角是L基n2nn22转角的一半。
推论：两个二次轴相交，交角为α，则垂直于这两个二次轴必然有一基转角为2α的n次对称轴。
定理2：（欧拉定理）：两个对称轴的适当组合可产生第三个对称轴。
五、旋转反伸轴与二次对称轴和对称面组合定理：如果有一个二次旋转对称轴垂直于反伸轴（或有一个对称面包含反伸轴）当反伸轴的轴次为奇数时必然有n个L垂直它，（或n个P包含它）的2组）；当其为偶数时必然有n/2个L垂直它，（或n/2个P包含它）2第三节、32种对称型（或32种点群）在晶体宏观对称性中，对称要素的数目是有限的，根据对称要素的组合规律可推导出的对称要素组合的数目也是有限的，共计32种，我们称之为32种对称型。
由于在每种对称要素组合中，所有的对称要素相交于一点，换句话说，在每种对称要素操作过程中，至少有一点是不动的。
所以，按照数学中群论的观点，这些对称要素的集合构成了一个群（符合群的基本属性），每种对称要素就是群中的元素。
这些群元素在空间上相交于一点，所以我们也常将32种对称型称之为32种点群。
一、32种对称型推导从前述内容可知，宏观晶体中可能存在的对称要素有：旋转对称轴：L、L、L、L、L；62341反映对称面：P（L-=P）2对称中心：C（L-=C）1旋转反伸轴：（L= C、L=P、L= LC）、L、L= LP；-6-43-1-3-23共计9种，这9种毒称要素可单独存在，就构成了9种对称型。
下面推导由这九种对称要素组合所产生的新的对称型。
为了便于推导，我们一般将这些对称要素的组合分成两类：将高次轴（n>2）不多于一个地组合称为A类，将高次轴多于一个的组合称为B 类。
先考虑A类：1.对称轴与对称轴的组合，只有两种组合关系：垂直和包含。
先考虑L与2L垂直组合，根据定理“如果有一个L垂直L，则必然有n个L垂直L，n2n2n相邻L 的夹角是L基转角的一半。
”即L+ L= L n L。
组合所产生的新的222nnn L 6L，共计4 4L、种。
、L=L）、3L、L 3LL（对称型有：L22324262122.对称轴与垂直它的对称面组合，可产生的新的对称型有：（LP=P）、L PC、21、L PC，共计3种。
P=L（L）、L PC64-633.对称轴与包含它的对称面的组合，可产生的新对称型有：（LP=P）、L 2P、21L 6P，共计 4P、4种。
3PL、L6434.对称轴同时与垂直它的对称面和包含它的对称面组合，可产生的新的对称型有：（LLP=L2P）、3L3PC、（L3L4P=L3L3P）、L4L5PC、2422322-6216L7PC，共计3种。
L265.旋转反伸轴与垂直它的L（或包含它的P）的组合，可形成的新的对称型2有（定理有：如果有一个二次旋转对称轴垂直于反伸轴（或有一个对称面包含反伸轴）当反伸轴的轴次为奇数时必然有n个LP个n（或垂直它，2．包含它）的组）；当其为偶数时必然有n/2个L垂直它，（或n/2个P包含它））：2，共计33L3P种。
LL3L3PC、2L2P 、L L3L3P=2322-4-62-3C，共计1旋转对称轴与对称中心的组合，可产生的新对称型有L种。
6.3综上所述，对于A类，我们一共推导了27种对称型。
下面推导B类（包含多个高次对称轴的对称要素组合）4L，共计26L、3L1.根据欧拉公式，首先推导高次轴的组合，有3L4L32443种。
，共计1种。
6L4L和对称面组合，可形成3L4L6L 9PC2.3L243243，共计2种。
4L6P、3L6PC 3.3L4L和对称面的组合，可形成3L4L3-42334对于B类，我们一共推导出了5种对称型。
以上我们运用对称要素组合规律和对称定律，一一推导出晶体中所有可能的对称型（点群），见教材36页表2-1二、根据对称要素的特点对七大晶系的划分等轴晶系（或立方晶系）.：包含4个L 3四方晶系：包含一个L 或L-44六方晶系：包含一个L或L-6 6三方晶系：包含一个L 3斜方晶系：.L和P的数目大于1 2单斜晶系：.L和P的数目等于12三斜晶系：无对称面和真正意义上的旋转对称轴人们习惯上将上述七大晶系又划分为三大晶族：高级、中级、低级。
三、对称型符号（点群符号）对称型的表示有两种方法：1. 其一为全称表示法：就是将各对称型中的对称要素按轴、面、心的顺序全部写出，多余一个的将其数目置于对称要素符号之前。
如L6L7PC等262. 其二为符号表示法：根据是一个对称型种的全部对称要素并不都是独立存在的，根据其独立存在的对称要素必然可以导出其它对称要素，所以在书写时没必要全部写出。
符号表示法有两种：一种是所谓的圣弗里斯符号（Shoentlies），一种是国际符号。
在圣弗里斯符号中，主符号分别有C、D、O、T、S、,其意义分别代表旋转点群（Cyclic Group）、二面体点群（Dihedral Group）、八面体点群（Octahedral Group）、四面体点群（Tetrahedral Group）、旋转反映轴（Spiegnl）；其下标符号有数字、n、i、v、h、d、s等，分别代表旋转轴轴次、对称中心(inner)、对称面和主轴平行（vertical）、对称面和主轴垂直（hrizontal）、对称面包含）等。
diagonal 主轴又何两个二次轴夹等角（．圣弗里斯符号虽然非常简洁，但比较晦涩难懂，在其后国际有关组织颁布了国际符号，国际符号的表示方法如下：单一对称轴以数字表示，数字代表对称轴的轴次，如1、2、3、4、6分别代表L、L、L、L、L。
国际符号表示法采用轴次采用数字，旋转反伸轴在61432轴次数字上加一负号；若为对称轴组合，则采用数字并列的方式。
如L6L对称型的国际符号表示26为622（62）。
反映对称面用m表示，若旋转对称轴与对称面垂直，则写为n(数字)/m（符号），如LPC对称型的国际符号表示为4/m。
. 4对称中心用T表示。
表示原则：1.在国际符号表示法中，一般选用晶体中三个不同方向上的主要对称要素符号顺序写出即可，如3L对称型的国际符号为222。
22.省略原则：如果能从所表示的对称要素推导出其它对称要素，就没必要写出其它对称要素，L2P的国际符号为mm（mm2）。
23.面优先原则：在既可以写面又可以写轴的情况下尽量写面，因为面组合可以产生旋转轴，而轴组合不能产生对称面,如对称型L4L5PC的国际符号我们写成4/mmm(4/m2/m2/m)。
244.国际符号中最多只表示晶体三个不同方向上的对称要素，而不同晶系这种选择规律不同。
如立方晶系为：a,a+b+c,a+b，如m3m(3L4L6L9PC) 243四方晶系为：c,a,a+b，如4/mmm（L4L5PC）24斜方晶系为：a, b, c，如mmm（3L3PC）2单斜晶系为：b，如2（L）2三斜晶系为：a，如1（L）；T（C）1三方和六方晶系为：c, a, 2a+b或c，a，如32（L3L）；62（L6L）2326以上所述的三种对称型表示法：全称表示法最容易理解和接受，但相对繁琐；圣弗里斯表示法和相对简洁，但难于理解，国际符号法介于其间。
对于对称型的真正理解，只有掌握了符号表示法才算真正掌握了对称要素组合规律的真谛，建议大家先掌握全称表示法，慢慢过渡到符号表示法。
第四节晶体定向与晶面指数一、晶体定向为了精确并简洁地表示晶体几何形态上的几何要素（角顶、晶面和晶棱等），我们需要用数学语言。
要完成几何形态到数学语言的转变，首先必须围绕晶体的几何形态建立坐标系。
要使这种表达精确无误地进行交流，必须对建立坐标系的原则作出规定。
所谓的晶体定向就是建立晶体坐标系。
实际上，我们在介绍空间格子和点阵参数时已介绍了七大晶系的坐标系特点，在这只是介绍如何将宏观晶体放置到这个坐标系中去。