晶体的宏观对称性

矿物结晶学基础：晶体的宏观对称与分类晶体的宏观对称晶体的内部质点在三维空间为周期性的重复排列，因此晶体（原石）都具有一个特性----对称性→构成其外部几何形态的面、棱和角顶有规律地重复。

钻石原石海蓝宝原石尖晶石原石与成品对称是有限的不同的宝石矿物由于其内部质点按不同的规律重复排列（格子构造不同），因而会具有不同的对称性。

有的矿物晶体对称性很高(如钻石和尖晶石等)，有的则对称性较低(如托帕石、天河石等)。

只有符合格子构造规律的对称才能在晶体上体现出来，因此晶体的对称是有限的。

对称性很高的石榴石对称性没那么明显的天河石如何分析对称性？为了研究和分析晶体的对称性，往往要进行一系列的操作----使晶体中相同部分重复而进行的操作，称之为对称操作。

进行对称操作所借助的几何要素(点、线、面)称为对称要素，一般包括对称面、对称轴和对称中心等。

对称面----是一个假想的通过晶体中心的平面，它将晶体平分为互为镜像的两个相等部分，以P来表示，最多可有9个。

对称面与非对称面的对比立方体的九个对称面（记作9P）对称轴----一根假想的通过晶体中心的直线。

怎么确定呢？围绕此直线旋转一周，看晶体中相同部分重复出现的次数，我们把次数叫轴次，且只能出现2、3、4、6次，分别表示为L2、L3、L4、L6。

其中轴次高于2次的对称轴（即L3、L4、L6）称为高次轴。

绿柱石具六次对称轴（可见正六边形的横截面）对称中心----一个假想的位于晶体中心的点，相应的对称操作就是对此点的反伸。

如果通过此点作任意直线，则在此直线上距对称中心等距离的两端必定可找到对应点。

对称中心用C来表示。

PS：对称中心C最多只有一个。

当存在对称中心时，晶面常成对分布、两两平行、同形等大......对称要素总结一个晶体中所有对称要素（对称面、对称轴和对称中心）的组合称为该晶体的对称型。

例如，萤石晶体存在三个L4、四个L3、六个L2、九个对称面P、一个对称中心C，那么萤石的对称型就是所有这些对称要素的总和。

晶体的宏观对称性一宏观对称性晶体的点阵结构使晶体的对称性跟分子的对称性有一定的差别。

晶体的宏观对称性仍然具有分子对称性的4种类型，但受到点阵的制约：旋转轴和反轴的轴次只能为1、2、3、4、6等几种。

因此，宏观对称元素只有：n=1，2，3，4，6；i，m,二宏观对称元素组合和32个点群对于宏观对称元素而言，进行组合是必须严格遵从两个条件的限制：第一，晶体的多面体外形是一种有限图形，因而各对称元素组合必须通过一个公共点，否则将会产生出无限多个对称元素来，这是与有限外形相互矛盾的；第二，晶体具有周期性的点阵结构，任何对称元素组合的结果，都不允许产生与点阵结构不相容的对称元素（如5、7、…等），可产生32个点群。

三晶系根据晶体的对称性，按有无某种特征对称元素为标准，将晶体分成7个晶系：立方晶系：在立方晶胞4个方向对角线上均有三重旋转轴(a=b=c, α=β=γ=90)六方晶系：有1个六重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)四方晶系：有1个四重对称轴(a=b, α=β=γ=90;)三方晶系：有1个三重对称轴(a=b, α=β=90;, γ=120;)正交晶系：有3个互相垂直的二重对称轴或2个互相垂直的对称面(α=β=γ=90;)单斜晶系：有1个二重对称轴或对称面(α=γ=90;)三斜晶系：没有特征对称元素十四种空间点阵由于这些型式是由布拉维（A.Bravais）在1885年推引得出的，故也称为"布拉维空间格子"。

⑴简单三斜(ap)⑵简单单斜(mP)⑶C心单斜(mC,mA,mI⑷简单正交(oP)⑸C心正交(oC,oA,oB)⑹体心正交(oI)⑺面心正交(oF)⑽简单四方(tP)⑾体心四方(tI)⑻简单六方(hP)⑼R心六方(hR)⑿简单立方(cP)⒀体心立方(cI)⒁面心立方(cF)。

第三章晶体的宏观对称性第一节对称性基本概念第二节晶体的宏观对称元素第三节宏观对称元素组合原理第四节晶体的三十二点群第一节对称性基本概念z对称–物体或图形的相同部分有规律的重复。

z对称动作（操作）–使物体或图形相同部分重复出现的动作。

z对称元素（要素）--对称动作所借助的几何元素（点、线、面）。

z晶体外形的对称为宏观对称性，晶体内部结构原子或离子排列的对称性为微观对称性。

前者是有限大小宏观物体具有的对称性，后者是无限晶体结构具有的对称性。

两者本质上是统一的。

宏观对称性是微观对称性的外在表现。

晶体的对称必须满足晶体对称性定律。

晶体对称性对称自身：国际符号为1，习惯记号为L1。

当它处于任意坐标中的坐标原点时，它的坐标是1(000)，所导出的一般位置等效点系为：x,y,z→x,y,z (1(000))反映面（reflection plane ）：对称物体或图形中，存在一平面，作垂直于该平面的任意直线，在直线上距该平面等距离两端上必定可以找到对应的点。

这一平面即为反映面。

相应的对称操作为反映。

反映面的惯用符号：P ；国际符号：m ；圣佛里斯符号：Cs反映面的极射赤面投影对称中心（inversion center)：对称物体或图形中，存在一定点，作通过该点的任意直线，在直线上距该点等距离两端，可以找到对应点，则该定点即为对称中心。

相应的对称操作为反演。

对称中心的惯用符号：C；国际符号：1；圣佛里斯符号：C对称中心的极射赤面投影返回旋转轴（rotation axe）：物体或图形中存在一直线，当图形围绕它旋转一定角度后，可使图形相同部分复原，此直线即为旋转轴。

相应的对称操作为旋转。

在旋转过程中，能使图形相同部分复原的最小旋转角称为该对称轴的基转角（α）。

任何图形在旋转一周（360o）必然自相重复，因此有：360/ α= n n正整数n表示图形围绕旋转轴旋转一周过程中，图形相同部分重复的次数，因此n定义为旋转轴的轴次。

晶体的对称性与晶系自然界不论是宏观物体还是微观粒子，普遍存在着对称性。

晶莹的雪花、美丽的花朵、艳丽的蝴蝶都具有对称性，人体也具有对称性。

地下的矿物，如水晶、钻石、闪锌矿……也都具有对称性。

微观粒子如水分子、苯分子以及所有分子都具有对称性。

对称性显示出物体的匀称和完美，为人们所喜爱和追求，因而设计师设计的宏伟建筑如天安门、人民大会堂、长江大桥……都呈现出对称性。

本文主要介绍晶体的宏观对称性，包括旋转轴、对称面和对称中心等，以及晶体宏观对称性与晶系的关系。

晶体的宏观对称性晶体宏观对称性有旋转轴（也称对称轴）、对称面（也称镜面）和对称中心，分别介绍如下。

旋转轴 旋转轴是对称元素，绕旋转轴可做旋转操作。

n 次旋转轴记为n ，απ2=n ，α称为基转角。

例如NaCl 晶体的外形是立方体，立方体对应面中心联线方向有4次旋转轴，绕此轴每旋转90°后，晶体形状不变；立方体对角线联线方向有3次旋转轴，绕此轴每旋转120°后，晶体形状不变；立方体对应棱边中心联线方向有2次旋转轴，绕此轴每旋转180°，晶体形状不变。

图6－4示出这3种旋转轴。

可以证明在晶体宏观外形中存在的旋转轴有1，2，3，4和6次旋转轴5种，不存在5次轴和大于6次的旋转轴。

对称面 对称面是对称元素，对称面也称镜面，常用m 表示。

凭借对称面可以做反映操作，如同物体与镜子中的像是反映关系。

人的双手手心相对，平行放置，左右手就互为镜象。

许多晶体中存在对称面，NaCl 晶体有9个对称面。

对称中心 对称中心也是对称元素，常用i 表示。

通过对称中心可以做倒反操作。

例如人的双手手心相对，逆平行放置，此时左右手构成倒反关系。

NaCl 晶胞中，在体心位置存在对称中心。

因此晶胞中任意一个原子与对称中心相连，在反方向等距离处必存在同样的原子。

晶体有无对称中心对晶体的性质有较大的影响。

凭借上述三种对称元素所做的对称操作都是简单操作，如果连续做两个简单操作就成为复合操作。

晶体的宏观对称性物理科学学院 季淑英 2014020231摘 要: 晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，通过对晶体三类宏观对称操作的介绍，找出了晶体的8种基本宏观对称操作。

关键词：对称中心； 反映面； 旋转轴一 什么是晶体人们最早认识晶体是从石英开始的，只知道它天然的具有规则的几何多面体，真正揭开晶体内部结构是在1914年，人类首次测定了Nacl 的晶体结构。

此后，人们积累大量测定资料开始认识到：无论晶体的外形是否规则，它们内部的原子有规则地在三维空间呈周期性重复排列。

所以，晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，或着说晶体是具有格子结构的固体。

而晶体的规则几何外形，只是晶体内部格子构造的外在部表现。

二 晶体的宏观对称对称性是晶体的基本性质之一，一切晶体都是对称的；但不同的晶体的对称性往往又是互有差异的。

1 对称操作对一种晶体而言,其内部结构的质点表现出某种对称性的规律排列,当在进行某种操作（线性变换）后能使自身复原,这种对称性是晶体的一个客观存在的基本性质,是晶体内部结构的规律在几何形状上的表现,晶体的许多宏观性质都与其结构上的对称性有密切关系。

对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对称操作，物体在某一正交变换下保持不变，即：操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作。

一个物体的对称操作越多，其对称性越高。

例如密度ρ作为位矢r 的函数，即）r （ρ。

我们可以定义一个引起坐标变换的操作g 满足’r gr r =→，如果这导致）r （）gr （）’r （ρρρ==那么g 是）r （ρ的一个对称操作。

2 对称元素对称操作过程中保持不变的几何要素：对称点，反演中心（i ）；对称线，旋转轴（n 或者n C ）和旋转反演轴（n ）；对称面，反映面（m ）等。

以上，考察在一定几何变换之下物体的不变性，使用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——保持两点距离不变的变换：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛•⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x a a aa a a a a a z y x 333231232221131211，，，其中，M 为正交矩阵，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a aa a a a a a M 2.1 对称中心和反演（i ）取晶体中心为原点，将晶体中任一点()z ，y ，x 变成()z -，y -，x - ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1-0001-0001-M2.2 对称面和反映（m ）以0z =作为镜面，将晶体中的任何一点()z ，y ，x 变成()z -y x ，， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1-00010001M2.3 n 次旋转对称轴（n 或者n C ）和n 次旋转反演轴（n ） 2.3.1n 次旋转对称轴（n 或者n C ）若晶体绕某一固定轴旋转角度/n π2=α以后能自身重合，则称该轴为n 次旋转对称轴。

复习：1.正点阵基矢与倒易点阵基矢之间的关系同种正应阵基去如倒易点阵基去的栋量叙为1,系 同种正点阵基央如倒易点阵基水的标■叙为零 2、晶带定律[uvw]的方向：r uvw = u a + V b + w c(hkl)面的法线方向:r*hki = h a* + k b* + 1 c* (h a* + kb* + 1 c*)・ (ua + vb + wc) = Ohu+kv+lw=OUVW 加 k] " h, k, h 2 k 2 12 h 2 k 212 两个晶面同属于一个晶带[uvw](112), (232)一个晶面同属于两个晶带[uvw][321], [111]晶面间距通用公式:h hakcosy cos/Jkh ./1cosy//ak1akcosp——1cosa+ —cos/—cosa+ _ c osy1—a bc cosa1bcos ftb4c1c c os。

cosa b /c11 cosy cos/i cosy 1cos a cosp cos a 1简立方：(cP): a=4 A,面间距：(111)体心立方：: a= 4 A,面间距：(111)立方晶系:简立方1 _ /?2+k2 +/2“ =2cr体心立方/面心立方晶面间距：d简立方/ 2§3-1对称性与对称操作对称元素；对称操作；晶体的对称性晶体外部形态的对称性，通常称为宏观对称性, 点对称性。

晶体内部原子排列的对称性，称为微观对称，1生§3.2晶体的宏观对称元素惯用记号:C; 国1 ＞对称中心际符号:i；熊夫利符号:G2、旋转轴旋转操作;旋转反演、倒反对称轴（旋转轴）基转角:a旋转轴的轴次:n = 3607a旋转矩阵:X2cos a-sin。

0「力= sin a cos a0.0 0 I .Z|.cos a -sin。

0/?；(©)= sin a cos 67 00 0 IN只能是1, 2, 3, 4, 6没有5或者7等更高次c AB 一AC, AD/ AD = AC = ABA -------- •* E AE = m-AB AE = 2-AC-cosaXy Bm = |2-cosa| （m整数，晶体的平移周期D 性）-2 < m < 2m：・2、・1、0^ 1、2,a： 180, 120, 90, 60和360。