第18卷 第1期 1999年 1月机械科学与技术M ECHA NI CAL SCIEN CE AN D T ECHN O L OG Y Vo l.18 N o.1 Jan 1999 张建云刚度阵奇异的多平行轴转子系统振动的求解张建云 丘大谋(西安交通大学 西安 710049)摘 要 分析了具有斜齿轮传动的多平行轴转子系统,采用集中参数模型,用传递矩阵法建立了系统弯扭耦合振动方程,系统振动方程的刚度阵、阻尼阵为大型稀疏、不对称阵,由于刚度为奇异阵,使方程的求解更加困难。
本文用两种方法求解了系统的振动方程。
关键词 多平行轴转子系统 刚度阵奇异 弯扭耦合振动中图号 T H 113 引 言在多行轴转子系统中,由于齿轮传动的存在,在振动过程中,齿轮间传递的动载荷使各单根转子之间的弯振、扭振产生了耦合。
系统振动方程的自由度多达几百,阻尼阵不为零,因此刚度阵的奇异使方程的求解更加困难。
本文采用两种方法解决了刚度奇异的特殊情况,并将解的结果代入原方程进行了检验。
1 多平行轴转子系统振动方程的建立图1 多平行轴转子系统多平行轴转子系统主要由转轴、齿轮、滑动轴承、叶轮和联轴器组成。
分析系统所采用的坐标系及振动正方向的规定如图1所示。
图2 转子的弯曲力学模型转子系统振动方程的建立采用集中参数模型,即转子被简化成许多由无质量弹性轴段联接起来的集中质量系统。
弯振力学模型如图2所示。
下面给出用传递矩阵法得到的第j 个轴段质点的弯振方程为:∑P X ∑P Y ∑M ∑Nj-12EI /L 30-6EI /L 20012EI /L 30-6EI /L 26EI /L 20-2EI /L006EI /L 20-2EI /Lj +1XY j +1-12EI /L 306EI /L 20012EI /L 306EI /L 2-6EI /L 20-2EI /L00-6EI /L 20-2EI /L j X Yj -1+12EI /L 306EI /L 20012EI /L 306EI /L 26EI /L 204EI /L 006EI /L 24EI /Lj -1X Yj+12EI /L 30-6EI /L 20012EI /L 30-6EI /L 2-6EI /L 204EI /L 00-6EI /L 204EI /LjX Yj=0000(1)式中: ∑M ∑Nj=Mg N gj+ M N j陀螺力矩:Mg Ngj=Y 00 Xjj+0 - Z Z 0j 收稿日期:1998∑P X∑P Y =m 00 mjX Yj+K X X K X Y K YX K YY jX Yj+D X X D X Y D Y X D YYjXYj+P X P Yj 扭振力学模型如图3所示。
图3 转子的扭转力学模型第j 个节点的扭振方程为I j j +K j ( j - j -1)+K j +1( j - j +1)+ T j =0(2)式(1)(2)中 P X 、 P Y 、 M 、 N 和 T 分别表示作用在第j 个质点上的与本征性质无关的外加激振力和力矩,方向与所规定的振动方向相反为正。
由上述分析可知,转子的一个集总质量有5个自由度,弯振X 、Y 、 、 及扭振 。
设三根转子的集总质点数分别为n 1、n 2、n 3,则系统总质点数n =n 1+n 2+n 3。
系统的自由度振动方程可写成[M ]{X }+[C ]{X }+[K ]{X }={0}(3)振动变量{X }={ 1 2… n x 1y 1 1 1x 2y 2 2 2…x n y n nn }T2 多平行轴转子系统弯扭耦合刚度阵的奇异我们知道,单根转子的扭振方程刚度阵是奇异的,弯扭耦合振动刚度阵又如何呢?在系统振动方程(1)中,通过方程的行变换,只要使刚度阵的一行元素均为零,则可知弹性系统的刚度阵是奇异的。
下面通过对弯扭耦合振动方程进行行变换,即可得到刚度阵一行元素均为零。
设齿轮1与齿轮2、齿轮3之间传递的力波值为F 12、F 13,齿轮1、齿轮2、齿轮3分别位于三根转子的第i 点、第j 点、第k 点。
转子1各个集中质量节点的扭转方程为I 1 1+K 2( 1- 2)=0I 2 2+K 2( 2- 1)+K 3( 2- 3)=0I i i +K i ( i - i -1)+K i +1( i - i +1)+F 12r 1+F 13r 1=0I n 1 n 1+K n 1( n 1- n 1-1)=0将转子1的扭振方程相加可得∑N 1i =1I i i +F 12r 1+F 13r 1=0(4) 同理可由转子2、转子3的扭振方程相加推得∑N 2i =I ii+F 12r 2=0(5)∑N 3i =N 2+1I ii+F 13r 3=0(6)式中N 1=n 1,N 2=n 1+n 2,N 3=n 1+n 2+n 3,将(4)+(-r 1/r 2)×(5)+(-r 1/r 3)×(6)可将系统振动方程的第n 个方程变换为∑N 1i =1I i i +(-r 1/r 2)∑N 2i =N 1+1I ii +(-r 1/r 3)∑N 3i =N 2+1I ii=0(7) 从(7)中可知,通过对弯扭耦合振动方程中前n 个方程进行变换,可使刚度阵[K ]中一行元素全部为零,因此多平行轴转子系统弯扭耦合振动方程的刚度[K ]是奇异的。
3 求解刚度阵奇异的弯扭耦合振动方程的两种方法3.1 变换方程,除去零频设方程的解 i = o e t ,则 i = 2i 代入变换后弯扭耦合振动方程中第n 个扭振方程(7)可得 2(∑N 1i =1I i i+(-r 1/r 2)∑N 2i =N 1+1I i i+(-r 1/r 3)∑N 3i =N 2+1I i i)=0 如果所解特征值不为零频,即 ≠0,则有∑N 1i =1I i i+(-r 1/r 2)∑N 2i =N 1+1I i i+(-r 1/r 3)∑N 3i =N 2+1I i i= 利用上式可将刚度阵第n -1行变换为K (n -1,i )=[K (n -1,i )-K (n -1,n )]/[M (n ,n )×M (n ,i )]i =1,2, (5) 变换后,刚度阵元素K (n -1,i )=0,则原方程矩阵的第n 行、第n 列可划掉,系统振动方程的刚度阵不再为奇异阵,经变换后,方程的自由度少了一个,除去了零频解3.2 变换振动方程为刚度阵非奇异方程振动方程[M ]{X}+[C ]{X }+[K ]{X }={0},其中[K ]奇异,阻尼阵不为零,本文用如下方法求解振动方程。
设 {X }={X o }e t,代入方程(3)有[M 2+C +K ]{X o }={0}(8) 方程的解还可写成:{X }={X }e (-∝)t,代入方程(3)整理后:[M 2+(D -2M ) +(M 2-D +K )]{X 0}={0} 令:[M ]=[M ],[D ]=[D ]-2 [M ],[K ]=[M ] 2-[D ] +[K ]则有{[M ] 2+[D ] +[K ]=0}(9)成立。
由方程(9)可知,[K ]已不再是奇异阵,变换后的方程(9)与原方程(8)之间的特征向量相同,特征值关系为实部= 实部-虚部= 虚部式中 、 为复数, 为实数,通常选的值与所算的各级 2i 在数量上接近。
通过上述方法,将刚度阵奇异的方程变换为刚度阵非奇异的方程。
可采用一般方法求解多平行轴转子系统弯扭耦合振动。
本文采用广义逆迭方法对变换后刚度阵非奇异・45・第1期张建云等:刚度阵奇异的多平行轴转子系统振动的求解的振动方程进行了求解。
4 计算实例例1 单根转子纯扭单根转子纯扭具有刚体模态,其刚度阵是奇异的。
本文依上述刚度阵奇异的方法解单根转子扭振固有频率,并与理论值进行了比较,列出了前六阶。
转子直径D=0.02m,长度L=1m。
表1 单根转子纯扭固有频率(rad/s)阶 次123456理论值9991.319982.729974.139965.549956.859947.8计算值9988.819962.229904.839801.349636.159395.1例2 多平行轴转子系统弯扭耦合振动表2 转子系统结构参数节点数12345678轴段长度30454530458080100轴段半径10062.562.5100112.510010062.5 910111213-192021226011.579797929293362.56262157.557.5404040232425262728293033404053802020204040404040406464313233343536378080202020208069.5646464404040齿轮参数:Z2=262,Z1=39,Z3=42,m n= 3.5mm, =9°下面给出用两种方法计算得到的转子系统固有频率前九阶值,解代入原方程进行了检验,满足原方程。
表3 转子系统固有频率(rad/s)阶 次12345方法1870.41539.31601.42068.53544.8方法2870.41539.31601.42068.73544.7阶 次6789方法14263.64302.55091.86163.5方法24261.44301.95092.76126.5通过计算实例可知,以刚度阵奇异、阻尼阵不为零的多平行轴转子弯扭耦合振动方程的处理是可行的。
5 结论(1)建立了多平行轴转子系统弯扭耦合振动方程;(2)多平行轴转子系统弯扭耦合振动方程的刚度是奇异的,系统存在零频解。
转子系统在几何上可作整体刚性位移;(3)对于阻尼阵不为零、刚度阵奇异的弯扭耦合振动方程采用两种方法求解了系统的振动方程。
参 考 文 献1 Kahraman A.Dyn amic An alys is of Geared Rotors By Finite Elements.Journ al of M ech an ical Design,Vol.114:507～514 2 Subb iah B.On the T rans ient Analysis of Rotor-Bearing Sys tems.Journal of Vibration,Acous tics,Stres s,and Reliability in Design,Vol.110:515～5203 Kahr aman A.Effect of Axial Vibration s on th e Dynam ics of a Gear Pair.J ournal of Vibration and Acous tics,Vol.115:33～39Solution for the Vibration ofMulti-stage Rotor System with Singular Stiffness MatrixZhang Jianyun Qiu Damou(X i an Jiaot ong U niver sity,Xi an710049)Abstract In this paper,t he par allel mult i-stag e ro to r system of helical g ear tra nsmissio n is analyzed.U sing concent rat e param eter model and the method of tr ansmission matr ix,the co upled later al to rsio na l vibr ation equation has been built up.Because the stiffness and damp matr ices ar e spar e and unba lance, especia lly t he st iffness matrix is sing ular,t he solut ion for t he vibr ation equatio n beco mes v ery difficult t o be obtained.In this pa per,the author s use tw o metho de to so lv e the vibration equation of t he sy stem. Keywords Pa rallel muti-stage ro tor system Singular stiffness matr ix Coupled latera l to rsional v ibr atio n・46・机械科学与技术第18卷。
