高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理新人教B版选修2_2

2.1。

1 合情推理1．归纳推理（1）概念：由某类事物的□01部分对象具有某些特征，推出该类错误!全部对象都具有这些特征的推理,或由错误!个别事实概括出错误!一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳)．(2)特征：归纳推理是由错误!部分到错误!整体、由错误!个别到错误!一般的推理．（3）一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些错误!相同性质；第二步，从已知的错误!相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想)．2．类比推理（1)概念：由两类对象具有某些□，11类似特征和其中一类对象的某些错误!已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．(2)特征：类比推理是由错误!特殊到错误!特殊的推理．(3)一般步骤：第一步，找出两类事物之间的错误!相似性或错误!一致性;第二步,用一类事物的错误!性质去推测另一类事物的错误!性质,得出一个明确的命题(猜想）．3．合情推理（1)含义归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过错误!观察、错误!分析、错误!比较、错误!联想，再进行错误!归纳、错误!类比，然后提出错误!猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．(2)合情推理的过程错误!→错误!→错误!→错误!归纳推理与类比推理的区别与联系区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真或可假．1．判一判(正确的打“√"，错误的打“×”）（1）统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于类比推理．( )(2）类比推理得到的结论可以作为定理应用. （）(3)归纳推理是由个别到一般的推理．( )答案（1）×（2）×(3）√2．做一做（1)已知数列｛a n}中，a1＝1，a n＋1＝错误!(n∈N＊)，则可归纳猜想｛a n｝的通项公式为__________________．(2)数列5，9,17，33,x，…中的x等于________．(3）等差数列{a n｝中有2a n＝a n－1＋a n＋1（n≥2且n∈N＊）,类比以上结论,在等比数列{b n｝中类似的结论是__________．答案(1）a n＝错误!(n∈N＊) (2)65 （3)b错误!＝b n－1·b n＋1(n≥2且n∈N＊）探究1 数列中的归纳推理例1 已知数列{a n｝的首项a1＝1，且a n＋1＝错误!（n＝1,2,3,…)，试归纳出这个数列的通项公式．[解］当n＝1时，a1＝1，当n＝2时,a2＝错误!＝错误!，当n＝3时，a3＝错误!＝错误!，当n＝4时，a4＝错误!＝错误!,…通过观察可得：数列的前四项都等于相应序号的倒数，由此归纳出数列｛a n}的通项公式是a n＝错误!。

高中数学 第二章 推理与证明本章整合 新人教B 版选修2-2知识网络专题探究专题一 合情推理与演绎推理1．归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳，然后提出猜想的推理，我们统称为合情推理．合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．归纳推理的思维过程大致如下：实验，观察→概括，推广→猜测一般性结论 类比推理的思维过程大致如下：观察，比较→联想，类推→猜测新的结论 2．演绎推理是由一般到特殊的推理，又叫逻辑推理．其中三段论推理是演绎推理的主要形式．演绎推理具有如下特点： (1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论完全蕴涵于前提之中．(2)演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，演绎推理是数学中严格证明的工具． (3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它创造性较少，但却具有条理清晰、令人佩服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．【例1】 证明下列各等式，并从中归纳出一个一般性的结论． 2cos π4＝2，2cos π8＝2＋2，2cos π16＝2＋2＋ 2.证明：2cos π4＝2×22＝2，2cos π8＝2×1＋cosπ42＝2×1＋222＝2＋2，2cos π16＝2×1＋cosπ82＝2×1＋122＋22＝2＋2＋ 2.……从以上各式归纳可得一般性的结论如下： 2cos π2n ＋1＝2＋2＋2＋… (n ∈N ＋，n ≥1)．【例2】 已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．解：类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明：设点M ，P 的坐标为(m ，n )，(x ，y )， 则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )在已知双曲线上，所以n 2＝b 2a2m 2－b 2.同理y 2＝b 2a2x 2－b 2.因为k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)，所以k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值． 专题二 直接证明与间接证明1．直接证明的两种基本方法是综合法与分析法． 综合法与分析法的区别与联系：分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．分析法与综合法各有其特点．有些具体的问题，用分析法或综合法都可以证明出来，人们往往选择比较简单的一种．在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P .若由Q 可以推出P 成立，就可以证明结论成立．2．反证法是一种间接证明命题的方法，它的理论基础是互为逆否命题的两个命题为等价命题，反证法反映了“正难则反”的证明思想．用反证法证明问题时要注意以下三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能的情况，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．【例3】 设集合S ＝{x |x ∈R 且|x |＜1}，若S 中定义运算“*”，使得a *b ＝a ＋b 1＋ab.证明：(1)如果a ∈S ，b ∈S ，那么a *b ∈S ；(2)对于S 中的任何元素a ，b ，c ，都有(a *b )*c ＝a *(b *c )成立． 证明：(1)由a ∈S ，b ∈S ，则|a |＜1，|b |＜1，a *b ＝a ＋b1＋ab， 要证a *b ∈S ，即证|a *b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab ＜1，只需证|a ＋b |＜|1＋ab |， 即只需证(a ＋b )2＜(1＋ab )2， 即证(1－a 2)(1－b 2)＞0. ∵|a |＜1，|b |＜1， ∴a 2＜1，b 2＜1，∴(1－a 2)(1－b 2)＞0成立， ∴a *b ∈S . (2)(a *b )*c ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab *c ＝a ＋b ＋c ＋abc 1＋ab ＋ac ＋bc ，同理a *(b *c )＝a *⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 1＋bc ＝a ＋b ＋c ＋abc 1＋ab ＋ac ＋bc，∴(a *b )*c ＝a *(b *c )．【例4】 有10只猴子共分了56个香蕉，每只猴子至少分到1个香蕉，最多分到10个香蕉，试证：至少有两只猴子分到同样多的香蕉．证明：假设10只猴子分到的香蕉都不一样多．∵每只猴子最少分到一个香蕉，至多分到10个香蕉， ∴只能是分别分到1,2,3，…，10个香蕉．此时10只猴子共分了：1＋2＋3＋…＋10＝55(个)，这与共分了56个香蕉相矛盾， 故至少有两只猴子分得同样多的香蕉． 专题三 归纳—猜想—证明的方法探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论．它的解题思路是：从所给条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明．【例5】 若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1＞a24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论．解：取n ＝1，11＋1＋11＋2＋13×1＋1＝2624.令2624＞a24，得a ＜26，而a ∈N ＋， 所以取a ＝25，下面用数学归纳法证明 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1＞2524. (1)当n ＝1时，已证结论正确． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，结论成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＞2524， 则当n ＝k ＋1时，有 1k ＋＋1＋1k ＋＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋1k ＋＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1＞2524＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤13k ＋2＋13k ＋4－2k ＋. 因为13k ＋2＋13k ＋4＝k ＋9k 2＋18k ＋8＞k ＋k 2＋2k ＋＝2k ＋，所以13k ＋2＋13k ＋4－2k ＋＞0，所以1k ＋＋1＋1k ＋＋2＋…＋1k ＋＋1＞2524， 即当n ＝k ＋1时，结论也成立． 由(1)(2)可知，对一切n ∈N ＋，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1＞2524， 故a 的最大值为25.。

高中数学第二章推理与证明 2。

1.1 合情推理预习导航新人教B版选修1-21．合情推理前提为真时,结论可能为真的推理，叫做合情推理．归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理．思考1你能举出日常生活中应用合情推理的例子吗？提示：在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞,蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断--天要下雨了;张三今天没来上课，我们会推断-—张三一定生病了；谚语说：“八月十五云遮月，正月十五雪打灯”等．特别提醒（1）合情推理的根据是已有的事实和正确的结论（包括定义、定理、公理等)、实验和实践的结果，以及个人的经验等．（2)合情推理的结论具有偶然性，既可能为真，也可能为假．（3)合情推理不能作为数学证明的工具，但它能为我们提供证明的思路方向,对于数学的创新和发现十分有用．2．归纳推理(1）概念根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理(简称归纳）．归纳是从特殊到一般的过程．(2)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想)．特别提醒(1）归纳是依据特殊现象推断一般现象，因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围．(2）归纳是依据若干已知的现象推断未知的现象,因而结论具有猜测性．(3）归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上,提出带有规律性的结论．思考2古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：其中（1）中的数称为三角形数,(2）中的数称为正方形数，你能举出一个既是三角形数，又是正方形数的数吗？提示:可先归纳出通项公式，（1）中a n＝错误!，(2)中b m＝m2，令m2＝错误!（n＋1)，其中m,n∈N＋，可探索出m＝35，n＝49能满足，此时对应的数为 1 225，当然这样的数不唯一．3．类比推理(1）概念:根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性,推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同)的性质的推理，叫做类比推理（简称类比）．（2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性;②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想)．特别提醒 (1)如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠．(2)类比的结论具有偶然性，既可能真，也可能假．思考3归纳推理和类比推理有何区别与联系？提示：类比推理和归纳推理的结论都是有待于证明的．归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．两种推理在探索未知数学领域都具有重要作用．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

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高中数学第二章推理与证明本章整合新人教B版选修2-2知识网络专题探究专题一合情推理与演绎推理1．归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳，然后提出猜想的推理，我们统称为合情推理．合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．归纳推理的思维过程大致如下：错误!→错误!→错误!类比推理的思维过程大致如下:错误!→错误!→错误!2．演绎推理是由一般到特殊的推理，又叫逻辑推理．其中三段论推理是演绎推理的主要形式．演绎推理具有如下特点：（1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论完全蕴涵于前提之中．(2)演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系,演绎推理是数学中严格证明的工具．(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它创造性较少,但却具有条理清晰、令人佩服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．【例1】证明下列各等式，并从中归纳出一个一般性的结论．2cos π4＝2,2cos错误!＝错误!，2cos错误!＝错误!.证明:2cos错误!＝2×错误!＝错误!，2cos错误!＝2×错误!＝2×错误!＝错误!，2cos错误!＝2×错误!＝2×错误!＝错误!.……从以上各式归纳可得一般性的结论如下：2cos错误!＝错误! (n∈N＋，n≥1）．【例2】已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为k PM，k PN时，那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线错误!－错误!＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．解:类似的性质为:若M,N是双曲线错误!－错误!＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM,PN的斜率都存在,并记为k PM,k PN时，那么k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值．证明：设点M，P的坐标为(m,n），(x，y），则N（－m，－n）．因为点M(m,n)在已知双曲线上，所以n2＝b2a2m2－b2.同理y2＝错误!x2－b2.因为k PM·k PN＝错误!·错误!＝错误!＝错误!·错误!＝错误!（定值），所以k PM与k PN之积是与点P的位置无关的定值．专题二直接证明与间接证明1．直接证明的两种基本方法是综合法与分析法．综合法与分析法的区别与联系:分析法的特点是:从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．综合法的特点是:从“已知”看“可知”，逐步推向“未知",其逐步推理,实际上是寻找它的必要条件．分析法与综合法各有其特点．有些具体的问题，用分析法或综合法都可以证明出来，人们往往选择比较简单的一种．在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P。