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绝密★启用前北京师范大学附属中学2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学（理科）试题第I卷（选择题）一、单选题1．已知i为虚数单位，复数在复平面上对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】分析：根据除法运算将复数化为代数形式，得到复数对应的点后可得结论．详解：，所以复数对应的点为，位于第一象限．故选A．点睛：由复数的几何意义可得，复数、复平面内的点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可根据向量的知识来理解复数运算的几何意义．2．若直线（t为参数）的倾斜角为α，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由直线的参数方程中参数的系数的意义可得，进而可得的值．详解：∵直线的参数方程为（t为参数）∴，∴．故选C ．点睛：本题考查直线的参数方程中参数系数的意义，主要考查学生的理解能力，属于容易题．3．已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的虚轴长为2，焦距为近线方程为（ ）A. y =B. 2y x =±C. 2y x =± D. 12y x =±【答案】C【解析】由题意知∴2=c 2-b 2∴渐近线方程为y=±ba 2x.故选C.视频 4．计算定积分()12xex dx +=⎰ ( )A. 1B. e-1C. eD. e+1【答案】C【解析】试题分析： ()()121002|11xx ex dx e x e e +=+=+-=⎰，故选：C ．考点：定积分． 5．下面为函数的递增区间的是 ( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：求出导函数，根据导函数的符号判断即可． 详解：∵， ∴，∴当时，单调递增，∴函数的递增区间的是．故选B ．点睛：解题时注意单调性与导函数符号间的关系，即当时，函数在相应区间上单调递增（减），但反之不成立．同时解题时还要注意三角函数值的符号，可借助三角函数的图象来判定．6．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是13x t y t =+⎧⎨=-⎩，（t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）A ．142 C ．2 D ．22 【答案】D【解析】试题分析：直线的普通方程为40x y --=，圆的直角坐标方程为()2224x y -+=，圆心到直线的距离d ==2222l d r l ⎛⎫+=∴= ⎪⎝⎭考点：1．参数方程化普通方程；2．极坐标与直角坐标的转化；3．直线与圆相交的弦长问题7．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA 1=2，点G 与E 分别是A 1B 1和CC 1的中点，点D 与F 分别是AC 和AB 上的动点．若GD ⊥EF ，则线段DF 长度的最小值为 ( )A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：建立空间直角坐标系，设出点F,D 的坐标，求出向量,，利用GD ⊥EF求得关系式，然后可得到DF 长度的表达式，最后利用二次函数求最值．详解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0),E (0,2,1),G (1,0,2),F (x ,0,0),D (0,y ,0)，则,，由于GD⊥EF，所以，所以，故，所以当时，线段DF长度取得最小值，且最小值为．故选A．点睛：建立空间直角坐标系后，可将立体几何问题转化为数的运算的问题来处理，解题时要注意建立的坐标系要合理，尽量多地把已知点放在坐标轴上，同时求点的坐标时要准确．8．已知函数的图象关于点(-1，0)对称，且当x∈(-∞，0)时，成立，(其中f′(x)是f(x)的导数）；若, ，，则a，b，c的大小关系是（）A. a>b>cB. b>a>cC. c>a>bD. c>b>a【答案】B【解析】分析：令，则，可得在(∞，0)上单调递增．由函数的图象关于点(1，0)对称，可得函数的图象关于点(，0)对称，故函数为奇函数，所以函数为偶函数，且在(∞，0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减．由于，可得．详解：令，则，∴当x∈(∞，0)时，函数单调递增．∵函数的图象关于点(1，0)对称，∴函数的图象关于点(，0)对称，∴函数为奇函数，∴函数为偶函数，且在(∞，0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减．又，，∴．故选B．点睛：（1）本题考查函数性质的综合运用，解题时要认真分析题意，从中得到函数的相关性质．（2）解题时注意偶函数性质的运用，即若函数为偶函数，则，运用这一性质可将问题转化到同一单调区间上研究．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．若复数z满足，其中i为虚数单位，则|z|=____________．【答案】【解析】分析：先求得复数z，再求|z|．详解：∵，∴，∴．点睛：本题考查复数的乘法运算和复数的模，解题的关键是正确得到复数，然后再根据模的定义求解．10．在极坐标系中，极点到直线的距离是________．【答案】【解析】分析：将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再根据点到直线的距离公式求解．详解：由题意得，整理得，把代入上式可得，故直线的直角坐标方程为，所以所求距离为．故极点到直线的距离是．点睛：解题的关键是把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，其中要注意转化公式的合理利用．11．如图，圆222:O x y π+=内的正弦曲线sin y x =与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是______________．【答案】π34【解析】3003y sinx x M S 2sinxdx 2cosx |4O A A M P 4/B ππππ==⎰=-==解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为正弦曲线与轴围成的区域记为，根据图形的对称性得：面积为，由几何概率的计算公式可得，随机往圆内投一个点，则点落在区域内的概率故选．12．设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为_____．【答案】【解析】试题分析：对y ＝e x 求导得y ′＝e x ，令x ＝0，得曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y ＝(x >0)上点P 处的切线斜率为－1，由y ′＝－＝－1，得x ＝1，则y ＝1，所以P 的坐标为(1，1)． 考点：导数的几何意义．视频 13．已知函数在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线在点(1，0)处相切，则函数f(x)的表达式为________________。
2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z 1=（m 2﹣2m+3）+（m 2﹣m+2）i （m ∈R ），z 2=6+8i ，则m=3是z 1=z 2的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为（ ）A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除3．定积分（x 2+sinx ）dx 的值为（ ）A ．+ B ．﹣ C ．﹣ D ．+4．若复数z=（a ∈R ，i 是虚数单位）是纯虚数，则复数z 的共轭复数是（ ）A ． iB ．﹣ iC ．3iD ．﹣3i5．求曲线y 2=4x 与直线y=x 所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积（ ）A ．B ．π C ．π D ．24π6．若复数z 满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（ ）A ．3+B ．+C ．+D ．37．已知=（ ）A ． f′（x 0）B ．f′（x 0）C ．2f′（x 0）D ．﹣f′（x 0）8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．例如，用十六进制表示E+D=1B ，则A ×C=（ ）A．6E B．78 C．5F D．C09．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= ．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m，即可判断出结论．【解答】解：由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m=3．∴m=3是z1=z2的充要条件．故选：C．2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除．【解答】解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除，故选 B．3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的运算，即可求得答案．【解答】解：（x2+sinx）dx=（x3﹣cosx）=（﹣）﹣（0﹣1）=+，（x2+sinx）dx=+，故选B．4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简z=，结合已知条件列出方程组，求解可得a的值，然后代入z=化简求出复数z，则复数z的共轭复数可求．【解答】解：∵z===是纯虚数，∴，解得a=6．∴z==．则复数z的共轭复数是：﹣3i．故选：D．5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用定积分求体积．【解答】解：解方程组得x=4，y=4．∴几何体的体积V=π（4x﹣x2）dx=π•（2x2﹣）|=．故选B．6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．3【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由|z+3+i|=的几何意义，即复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为画出图形，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+i|=的几何意义，复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为，可作图象如图：∴|z|的最大值为|OP|+=．故选：B．7．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）【考点】6F：极限及其运算．【分析】化简，根据极限的运算，即可求得答案．【解答】解：==+=2f′（x），），∴=2f′（x故选C．8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C0【考点】EM：进位制．【分析】本题需先根据十进制求出A与C的乘积，再把结果转化成十六进制即可．【解答】解：∵A×C=10×12=120，∴根据16进制120可表示为78．故选：B．9．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣【考点】RG：数学归纳法．【分析】只须求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．【解答】解：当n=k时，左边的代数式为，当n=k+1时，左边的代数式为，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：，故选：D．10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]【考点】63：导数的运算．【分析】求导，当x=1时，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），即可求得θ+∈（﹣，），根据正弦函数的性质，即可求得导数f′（1）的取值范围．【解答】解：f（x）=x3+x2+，f′（x）=x2+x，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），则θ+∈（﹣，），则sin（θ+）∈（﹣，1]，∴导数f′（1）的取值范围（﹣，1]，故选A．11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】设g（x）=，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）=，∵当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，∴当x＞0时，g′（x）＞0∴g（x）在（0，+∞）递增，∵f（﹣x）=f（x），∴g（﹣x）==﹣g（x），∴g（x）是奇函数，∴g（x）在（﹣∞，0）递增，∵f（2）=0∴g（2）==0，当x＞0时，f（x）＜0等价于＜0，∴g（x）＜0=g（2），∴0＜x＜2，当x＜0时，f（x）＜0等价于＞0，∴g（x）＞0=g（﹣2），∴﹣2＜x＜0，不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2），故选：C．12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由f′（x）＜0求出f（x）的减区间，利用对称性求得f（﹣x）的增区间，再由平移变换可得函数f（1﹣x）的单调递增区间．【解答】解：由f′（x）=x2﹣3x﹣10＜0，得﹣2＜x＜5，∴函数f（x）的减区间为（﹣2，5），则函数y=f（﹣x）的增区间为（﹣5，2），而f（1﹣x）=f[﹣（x﹣1）]是把函数y=f（﹣x）向右平移1个单位得到的，∴函数f（1﹣x）的单调递增区间是（﹣4，3）．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i 17）﹣= 4+2i ．【考点】A7：复数代数形式的混合运算． 【分析】利用复数的运算法则分别计算即可．【解答】解：原式=+（3+i ）﹣=+3+i ﹣i 10=i+3+i+1 =4+2i ；故答案为：4+2i ．14．在Rt △ABC 中，两直角边分别为a 、b ，设h 为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S ﹣ABC 中的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，且长度分别为a 、b 、c ，设棱锥底面ABC上的高为h ，则+．【考点】F3：类比推理．【分析】立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面⇔空间，点⇔点或直线，直线⇔直线或平面，平面图形⇔平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可． 【解答】解：∵PA 、PB 、PC 两两互相垂直，∴PA ⊥平面PBC ． 设PD 在平面PBC 内部，且PD ⊥BC ，由已知有：PD=，h=PO=，∴，即．故答案为：．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为 4x+y ﹣4=0 ． 【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，再把已知点代入，求出切点横坐标，则切线方程可求．【解答】解：设切点为（），由y=，得y′=，∴，则切线方程为y﹣，把点（1，0）代入，可得，解得．∴切线方程为y﹣2=﹣4（x﹣），即4x+y﹣4=0．故答案为：4x+y﹣4=0．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】题目中给出了函数图象与x轴围成的封闭图形的面积，所以我们可以从定积分着手，求出函数以及函数与x轴的交点，建立等式求解参数．【解答】解：由已知对方程求导，得：f′（x）=3x2+2ax+b．由题意直线y=0在原点处与函数图象相切，故f′（0）=0，代入方程可得b=0．故方程可以继续化简为：f（x）=x3+ax2=x2（x+a），令f（x）=0，可得x=0或者x=﹣a，可以得到图象与x轴交点为（0，0），（﹣a，0），由图得知a＜0．故对﹣f（x）从0到﹣a求定积分即为所求面积，即：﹣a f（x）dx=3，﹣∫将 f（x）=x3+ax2代入得：﹣a（﹣x3﹣ax2）dx=3，∫求解，得a=﹣．故答案为：﹣．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数z+i，均为实数，可设z=x﹣i， =﹣i，可得﹣=0，z=﹣2﹣i．在复平面内，（z+ai）2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，可得4﹣（a ﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解出即可得出．【解答】解：∵复数z+i，均为实数，设z=x﹣i， ==﹣i，∴﹣ =0，∴x=﹣2．∴z=﹣2﹣i．∵在复平面内，（z+ai）2=[﹣2+（a﹣1）i]2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，∴4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解得：1＜a＜3．∴实数a的取值范围是（1，3）．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f′（x ）=x 2﹣（3a+2）x+6a ，由函数f （x ）在x=1处取得极值﹣，列出方程组，能求出a ，b ．（2）由f′（x ）=x 2﹣3x+2，利用导数性质能求出函数f （x ）的单调递增区间．【解答】解：（1）∵f （x ）=﹣x 2+6ax+b ，其中a ，b ∈R ，∴f′（x ）=x 2﹣（3a+2）x+6a ，∵函数f （x ）在x=1处取得极值﹣，∴，解得a=，b=﹣1．（2）由（1）得f （x ）=﹣+2x ﹣1，∴f′（x ）=x 2﹣3x+2，由f′（x ）=x 2﹣3x+2＞0，得x ＞2或x ＜1，∴函数f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，1]，[2，+∞）．19．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且关于x 的方程x 2﹣a n x ﹣a n =0有一根为S n ﹣1． （1）求出S 1，S 2，S 3；（2）猜想{S n }的通项公式，并用数学归纳法证明． 【考点】RG ：数学归纳法；8E ：数列的求和．【分析】（1）由题设求出S 1=，S 2=．S 3=．（2）由此猜想S n =，n=1，2，3，…．然后用数学归纳法证明这个结论．【解答】解：（1）当n=1时，x 2﹣a 1x ﹣a 1=0有一根为S 1﹣1=a 1﹣1，于是（a 1﹣1）2﹣a 1（a 1﹣1）﹣a 1=0，解得a 1=．当n=2时，x 2﹣a 2x ﹣a 2=0有一根为S 2﹣1=a 2﹣，于是（a 2﹣）2﹣a 2（a 2﹣）﹣a 2=0，解得a 2=由题设（S n ﹣1）2﹣a n （S n ﹣1）﹣a n =0， S n 2﹣2S n +1﹣a n S n =0． 当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1， 代入上式得S n ﹣1S n ﹣2S n +1=0．①得S 1=a 1=，S 2=a 1+a 2=+=．由①可得S 3=．（2）由（1）猜想S n =，n=1，2，3，…．下面用数学归纳法证明这个结论． （i ）n=1时已知结论成立．（ii ）假设n=k 时结论成立，即S k =，当n=k+1时，由①得S k+1=，可得S k+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i ）、（ii ）可知S n =对所有正整数n 都成立．20．设铁路AB 长为100，BC ⊥AB ，且BC=30，为将货物从A 运往C ，现在AB 上距点B 为x 的点M 处修一公路至C ，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4． （1）将总运费y 表示为x 的函数； （2）如何选点M 才使总运费最小．【考点】HT ：三角形中的几何计算．【分析】（1）由题意，AB=100，BC ⊥AB ，BC=30，BM=x ，则AM=100﹣x ．MC=，可得总运费y 表示为x 的函数；（2）根据（1）中的关系式，利用导函数单调性，可得最值．【解答】解：（1）由题意，AB=100，BC ⊥AB ，BC=30，BM=x ，则AM=100﹣x ．MC=，∴总运费y=2×+4×MC=200﹣2x+4，．（2）由（1）可得y=200﹣2x+4，．则y′=﹣2+4××令y′=0．可得：2=4x，解得：x=10．当时，y′＜0，则y在当单调递减．当时，y′＞0，则y在单调递增．∴当x=10时，y取得最大值为200+60．∴选点M距离B点时才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．【考点】8G：等比数列的性质．【分析】y，z为正数，可得≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．根据a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0．可得2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，可得2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2⇔（m﹣n）2≥0，【解答】证明：∵y，z为正数，∴≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．∵a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0，∴2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，则2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2．⇔（m﹣n）2≥0，上式显然成立，因此：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由题意求得a=1，得到函数解析式，构造函数g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．利用导数可得函数在[1，+∞）上为增函数，可得g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，求其导函数，结合（1）放缩可得h′（x）≥3（x ﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．然后对m分类讨论求解．【解答】（1）证明：由f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1），得f′（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）=2axlnx+ax ﹣1．∵曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0，∴a﹣1=0，得a=1．则f（x）=x2lnx﹣x+1．设g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．g′（x）=2xlnx﹣x+1，g″（x）=2lnx+1＞0，∴g′（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g′（x）≥g′（1）=0，则g（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）解：设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，h′（x）=2xlnx+x﹣2m（x﹣1）﹣1，由（1）知，x2lnx≥（x﹣1）2+x﹣1=x（x﹣1），∴xlnx≥x﹣1，则h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．①当3﹣2m≥0，即m时，h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=0成立；②当3﹣2m＜0，即m＞时，h′（x）=2xlnx+（1﹣2m）（x﹣1），h″（x）=2lnx+3﹣2m．令h″（x）=0，得＞1，∴当x∈[1，x）时，h′（x）＜h′（1）=0，）上单调递减，则h（x）＜h（1）=0，不合题意．∴h（x）在[1，x综上，m．。
北京四中高二第二学期数学期中模拟考试（理科卷）2018年度（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，请将答案写在答题纸上，考试结束后只交答题纸.第I 卷一．选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．物体运动方程为4134S t =-，则2t =时瞬时速度为（ ）A ．2B ．4C ． 6D ．82．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果0()0f x '=，那么0x x =是函数()f x 的极值点，因为函数3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以0x =是函数3()f x x =的极值点.以上推理中（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是( ) A ．假设三个内角都不大于60度 B ．假设三个内角都大于60度 C ．假设三个内角至多有一个大于60度 D ．假设三个内角至多有两个大于60度 4．曲线13sin 3+-=x x y 在点(0,1)P 处的切线的倾斜角为 ( )A ．30B ．60C ．120D ．1505．如图，由曲线12-=x y ,直线0=x ,2=x 和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A ．1B ．32C ．34 D ．26．平面几何中，有边长为a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（ ）A ．3a B C D7．函数x xe x f -=)(的( )A ．极大值为1e - B ．极小值为1e - C ．极大值为e - D ．极小值为e -8．用数学归纳法证明2321242n n n +=++++，当n=k+1时左端应在n=k 的基础上添加的式子为（ ）A.222)1()2()1(++++++k k k B.2(1)k + C.42(1)(1)2k k +++ D. 21k +9．若1,,a xdx b c ===⎰⎰⎰，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a << 10．观察按下列顺序排列的等式：9011⨯+=，91211⨯+=，92321⨯+=，93431⨯+=，…，猜想第*()n n ∈N 个等式应为（ ） A ．9(1)109n n n ++=+ B ．9(1)109n n n -+=- C ．9(1)101n n n +-=-D ．9(1)(1)1010n n n -+-=-11.下列不等式对任意的(0,)x ∈+∞恒成立的是（ ）A ．xe ex > B ． 20x x -> C ． sin 1x x >-+ D ． ln(1)x x >+12.已知可导函数()f x )(R x ∈满足)()('x f x f >，则当0a >时，()f a 和e (0)a f 大小关系为（ ）A. ()<e (0)a f a fB. ()=e (0)a f a fC. ()>e (0)a f a fD. ()e (0)a f a f ≤第II 卷二．填空题：(本题共4小题，每小题5分，满分20分)13．若3()log (1)(1)f x x x =->，则(2)f '=．14．=-++-⎰dx x x x)12(1123．15．仔细观察下面图形：图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数是 ．16. 如果a b b a b b a a +>+，则实数b a ,应满足的条件是________ ．三．解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）若0,0a b >>，求证：11()()4a b a b++≥．18.（12分）已知函数321()22f x x x x c =--+，若对于[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围．19.（12分）一质点从时刻)(0s t =开始以速度)/(342s m t t v +-=沿直线运动，求该质点：(1)在)(4s t =时的位置；(2)在)](4,0[s t ∈时间段内运动的路程.20.（12分）如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M N ，分别是AB PC ，的中点．求证：（1）MN ∥平面PAD ；（2）MN CD ⊥．21．（12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知.,2,1),1(,2121 =--==n n n a n S a n n （1）写出n S 与1-n S 的递推关系式)2(≥n ，并求n S 关于n 的表达式； （2）设))((,)('1R p p f b x nS x f n n n n n ∈==+，求数列{}n b 的前n 项和.n T22.（12分）设函数()f x 定义在(0,)+∞上，(1)0f =，导函数1(),()()().f x g x f x f x x''==+ （1）求()g x 的单调区间和最小值； （2）讨论()g x 与1()g x的大小关系． （3）是否存在00>x ，使得xx g x g 1)()(0<-对任意0>x 成立？若存在，求出0x 的取值范围；若不存在，请说明理由.19.（本题12分）22.（本题12分）解 （Ⅰ）由题设易知()ln f x x =，1()ln g x x x=+， ∴21'()x g x x -=，令'()0g x =得1x =， 当(0,1)x ∈时，'()0g x <，故（0,1）是()g x 的单调减区间， 当(1,)x ∈+∞时，'()0g x >，故(1,)+∞是()g x 的单调增区间，因此，1x =是()g x 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为(1)1g =. （Ⅱ）1()ln g x x x=-+，设11()()()2ln h x g x g x x x x =-=-+，则22(1)'()x h x x-=-， 当1x =时，(1)0h =，即1()()g x g x=， 当(0,1)(1,)x ∈⋃+∞时'()0h x <，'(1)0h =， 因此，()h x 在(0,)+∞内单调递减，当01x <<时，()(1)0h x h >=，即1()()g x g x>， 当1x >时，()(1)0h x h <=，即1()()g x g x<. （Ⅲ）满足条件的0x 不存在. 证明如下：证法一 假设存在00x > ，使01|()()|g x g x x-< 对任意0x > 成立， 即对任意0x >，有 02()Inx g x Inx x<<+ ，（*） 但对上述0x ，取0()1g x x e=时，有 10()Inx g x =，这与(*)左边不等式矛盾，因此，不存在00x > ，使01|()()|g x g x x-<对任意0x >成立。
海淀区高二年级第二学期期中练习数学（理科）参考答案及评分标准2018.4一. 选择题.二.填空题.9.四，210. 211.333222，，12. (1,0)- 13. (1,+)∞14.2说明：9题，每个空2分，11题，第一个，第二空各1分，第三个空2分三.解答题.15.解: ( I )令242x x -+=，解得11x =-21x =-（舍）…………………2分因为点2(2), (4)A x,x B x,x -+所以2()(42)f x x x x =-+-3224x x x =--+，…………………4分其定义域为(0,1x ∈-…………………5分（II ）因为2'()344f x x x =--+…………………7分令0'()0f x =，得123x =，22x =-（舍） …………………8分 所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表…………………10分因为23x =是函数()f x 在(0,1-+上的唯一的一个极大值，所以在23x =时，函数()f x 取得最大值4027.…………………12分 16.证明：（Ⅰ）因为32a =， 所以232222a a a =+=， 所以22244a a +=，解得22a =，…………………2分同理解得12a =.…………………4分（Ⅱ）证明：要证 2n ≥时，1n n a a +≤，只需证 1n na a + 1 ≤，…………………6分 只需证 22 n n n na a a a +1≤，…………………7分 只需证 21212na +≤. 只需证2n a ≥ 4 ，…………………9分只需证n a ≥ 2，…………………10分根据均值定理，112=22n n n a a a --+≥= 所以原命题成立.说明：上面的空，答案不唯一，请老师具体情况具体分析17.解：（I ）因为2'()3f x x =…………………1分所以直线l 的斜率200'()3k f x x ==…………………2分所以直线l 的方程为320003()y x x x x -=-…………………3分化简得到230032y x x x =-…………………4分(Ⅱ)法一：把曲线和直线l 的方程联立得3230032y x y x x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 所以3230032x x x x =-…………………5分所以32300320x x x x -+=令32300()32g x x x x x =-+…………………6分所以220'()33g x x x =-，令'()0g x =，得到得10x x =，20x x =-…………………7分当00x >时，,'(),()x g x g x 的变化情况如下表…………………8分因为0x x =-时，300()40g x x -=>，而300(3)160g x x -=-<（或者说：x →-∞时，()g x →-∞），所以()g x 在0(,)x -∞-上有一个零点而0x x =时，0()0g x =，所以()g x 在0[,)x +∞上只有一个零点又()g x 在00(,)x x -上没有零点…………………9分所以()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点. 当00x <时,同理可证()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点. …………………10分法二： 把曲线和直线l 的方程联立得3230032y x y x x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 所以3230032x x x x =-…………………5分所以32300320x x x x -+=令32300()32g x x x x x =-+…………………6分因为3223200000()22()(2)g x x x x x x x x x x x =--+=-+…………………8分令()0g x =，得到10x x =，202x x =-…………………9分又00x ≠，所以002x x ≠-所以()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点.…………………10分18.解：（Ⅰ）法一：…………………2分 因为22'()x x a f x x--=，其中0x > 因为()f x 是单调函数，所以'()0f x ≥或'()0f x ≤对0x >成立当'()0f x ≥对0x >成立时，220x x a x--≥，…………………3分 即220x x a --≥对0x >成立所以22x x a -≥，根据二次函数的性质得到18a -≥ …………………4分 当'()0f x ≤对0x >成立时，220x x a x--≤，…………………5分 即220x x a --≤对0x >成立所以22x x a -≤，根据二次函数的性质这种情形不成立…………………6分 综上，18a ≤-，所以实数a 的最大值为18-.法二： 因为22'()x x a f x x--=，其中0x >…………………2分 因为()f x 是单调函数，所以'()0f x ≥或'()0f x ≤对0x >成立根据二次函数的性质知道当+x →∞时，22+x x a --→∞所以只能是'()0f x ≥对0x >成立 …………………4分即22'()0x x af x x--=≥对0x >成立所以220x x a --≥对0x >成立…………………5分所以22x x a -≥，根据二次函数的性质得到18a ≤-，…………………6分 所以实数a 的最大值为18-. （Ⅱ）法一：由（Ⅰ），当18a ≤-时，函数()f x 是单调递增函数， 而(1)0f =，（或者说：当0x →时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞） 所以函数()f x 只有一个零点…………………8分 当18a >-时，令22'()0x x af x x--==，得12x x ==， 当108a -<<时，120x x << 所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表因为21111()ln f x x a x x =-- 而21120x x a --=，所以22111111()ln (1ln )f x x a x x a x x =--=-- 注意到121x x <<所以2111ln 0,0,0x a x -><-<， 所以2111()(1ln )0f x a x x =--< 所以在2(0,)x x ∈时，1()()0f x f x ≤<，(或者说：注意到121x x <<，因为(0,1)x ∈时，20,ln 0x x a x -<-<，所以()0f x <）所以函数()f x 在区间2(0,)x 上没有零点， 而当x →+∞时，()f x →+∞，所以函数()f x 在区间2(+)x ∞，上有一个零点…………………10分 当0a >，其中10x =<（舍） 所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表当2114x ==时，即1a =时，2()0f x = 函数()f x 的唯一的一个极小值，即最小值为(1)0f =，符合题意，当21x =>时，即1a >时， 则2()(1)0f x f <=，而当x →+∞时，()f x →+∞，所以函数()f x 在区间2(+)x ∞，上还有一个零点，矛盾当201x <=<，即1a <时 则2()(1)0f x f <=，而此时0x →时，()f x →+∞，所以函数()f x 在区间2(0,)x 上还有一个零点，矛盾…………………12分 综上，实数a 的取值范围是{|0a a <或1}a =说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。
高三数学 期中试卷（理）（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1．已知集合{(2)(1)0}A x x x =∈+-<Z ，{2,1}B =--，那么A B U 等于A ．{2,1,0,1}--B ．{2,1,0}--C ．{2,1}--D ．{1}-2．若tan 0α>，则A ．sin 0α>B ．cos 0α>C ．sin 20α>D ．cos 20α>3．已知向量,a b 满足2=-0a b ，()2=-⋅a b b ，则||=b A.12B. 1C. D.24．设3log 7a =， 1.12b =， 3.10.8c =，则A ．b a c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a c b <<5．已知(1,1),(1,3)x x =-=+a b ，则2x =是ab 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 的解析式可以为 A. 21()f x x x=- B. 31()f x x x =-C. 1()e xf x x =- D. 1()ln f x x x=-7．实数,x y 满足30,60x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则实数a 的取值范围是A. [1,0]-B. [0,1]C. [1,1]-D. (,1][1,)-∞-+∞y Ox8．设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正实数m ，使得对任意x D ∈，都有()()f x m f x +>，则称()f x 为D 上的“m 型增函数”．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()f x x a a =--(a ∈R )．若()f x 为R 上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是A ．0a >B ．5a <C ．10a <D ．20a <二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 若函数32,6()log ,6x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，则((2))f f 等于___________.10. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，若向量OA AB ⊥，则实数k =___________.11. 已知函数()()sin (0,)2f x x ωϕωϕπ=+><的导函数()'y f x =的部分图象如图所示，且导函数()'f x 有最小值2-，则ω=___________，ϕ=___________.12. 已知正数,x y 满足1x y +=，则14x y +的最小值是___________.13.已知函数226e 5e 2,e,()2ln ,e x x xf x x x x ⎧-++--≤=⎨->⎩（其中e 为自然对数的底数，且e 2.718≈），若2(6)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是___________.14．以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间[,]M M -．例如，当31()x x ϕ=，2()sin x x ϕ=时，1()x A ϕ∈，2()x B ϕ∈. 现有如下命题：第11题图①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“,,()b a D f a b ∀∈∃∈=R ”； ②若函数()f x B ∈，则()f x 有最大值和最小值；③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈,()g x B ∈，则()()f x g x B +∉； ④若函数2()ln(2)(2,)1xf x a x x a x =++>-∈+R 有最大值，则()f x B ∈. 其中的真命题有___________. （写出所有真命题的序号）三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）已知集合2{|10210}A x x x =-+<, 22{|1log log 10}B x x =<<,{|22}x a C x =<.（Ⅰ）求()A B R ð；（Ⅱ）已知:p x A ∈，:q x C ∈，若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围.16.（本小题满分13分）在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，已知5b =，sin A =，ABC ∆的面积ABC S ∆=（Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）求sin C 的值.17.（本小题满分13分）已知函数()sin )sin ,.f x x x x x =-∈R （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.18.（本小题满分13分）已知函数1()ln f x a x x=-，a ∈R ． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值； （Ⅱ）当1a =时，试问曲线()y f x =与直线23y x =-是否有公共点？如果有，求出所有公共点；若没有，请说明理由．19.（本小题满分14分）已知函数x a x a x x f ln )2()(2++-= (a 为实常数). （Ⅰ）若2-=a ，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 在[1,e]上的单调性；（Ⅲ）若存在[]1,e x ∈，使得()0f x ≤成立，求实数a 的取值范围.20.（本小题满分14分）设()f x 是定义在D 上的函数，若对D 中的任意两数12,x x （12x x ≠），恒有()()121212123333⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭f x x f x f x ，则称()f x 为定义在D 上的C 函数．（Ⅰ）试判断函数()2=f x x 是否为定义域上的C 函数，并说明理由；（Ⅱ）若函数()f x 是R 上的奇函数，试证明()f x 不是R 上的C 函数；（Ⅲ）设()f x 是定义在D 上的函数，若对任何实数[0,1]α∈以及D 中的任意两数12,x x （12x x ≠），恒有()()()()()121211f x x f x f x αααα+-≤+-，则称()f x 为定义在D 上的π函数. 已知()f x 是R 上的π函数，m 是给定的正整数，设(),0,1,2,,==n a f n n m L ，且00,2m a a m ==，记12=+++f m S a a a L . 对于满足条件的任意函数()f x ，试求f S 的最大值.北京四中2017-2018学年第一学期高三期中考试理科数学答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.三、解答题共6小题，共80分。
北京四中2017-2018学年第一学期高三期中考试理科数学试卷满分150分 考试时间120分钟一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合{(2)(1)0}A x x x =∈+-<Z ，{2,B =-1}-，那么A B U 等于A ．{2101}，，，--B ．{210}，，--C ．{21}，--D ．{1}-2．若tan 0α>，则A ．sin 0α>B ．cos 0α>C ．sin 20α>D ．cos 20α>3.已知向量a,b 满足2-0a b =，()2-⋅=a b b ，则=|b |A.12B. 1C.D.24.设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．a <c <b5.已知(1,1),(1,3)x x =-=+a b ，则x =2是a //b 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6.函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 的解析式可以为 A. 21()f x x x=- B. 31()f x x x =-C. 1()e xf x x =- D. 1()ln f x x x=-7．实数,x y 满足3,0,60.x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则a 的取值范围是A. [1,0]-B. [0,1]C. [1,1]-D. (,1][1,)-∞-+∞8.设函数()f x 的定义域D ，如果存在正实数m ，使得对任意x D ∈，都有()()f x m f x +>，则称()f x 为D 上的“m 型增函数”．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()f x x a a =--(a ∈R )．若()f x 为R 上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是A ．0a >B ．5a <C ．10a <D ．20a <y Ox二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京四中2017—2018学年度第二学期高二期中考试试卷语文（本试卷满分150分，考试时间150分钟）第Ⅰ卷（50分）一、基础知识（每题3分，共15分）1．下列词语，字音字形全都正确的一项是A．徘徊．(huái) 拓．印(tuò) 合盘托出走投无路B．间．(jiān)或寒暄．(xuān) 震臂一呼膏粱子弟C．炮．烙(páo) 鄙薄．(bó) 聊以慰藉无精打采D．应．酬(yīng) 侮．(wǔ)蔑浮想联篇风靡一时2．下列成语，使用有误．．的一项是A．为了人民的利益，周总理一生勤勤恳恳，任劳任怨，鞠躬尽瘁．．．．，死而后已，无私地奉献自己的一切。
B．很多家长误以为课外班老师讲的都是金科玉律．．．．，其实仅仅通过花高价报班来提高成绩的做法并不明智。
C．长城VV7s设计理念先进、价格亲民，在国内刚一上市，这款国产全新的SUV就让很多消费者趋之若鹜．．．．。
D．如果我们每位同学都向“爱心社”捐献一份爱心，集腋成裘．．．．,就可以汇成巨大的力量，救助更多的失学儿童。
3．下列成语，使用有误．．的一项是A．有的官员讲成绩累牍连篇．．．．，讲问题惜墨如金，这是不符合共产党人实事求是的思想作风的。
B．建设现代化强国是一项艰苦卓绝的任务，我们还处于社会主义初级阶段，尚不到歌舞升平．．．．的时候。
C．如果高校师生皆以为鸿鹄将至．．．．，一心惦记着官场，这样的心态会影响整个大学的教育氛围的。
D．下乡“送温暖”，钱物必须真正送到贫困者手中，任何李代桃僵．．．．的冒领行为，都要受到法律的严惩。
4．下列成语，使用有误．．的一项是A．“百白破”疫苗产品良莠不齐．．．．，日前食品药品监管总局已查出两批次疫苗的效价指标不符合标准。
B．尽管“现实主义热”已经持续了一段时间，但令人遗憾的是，真正优质的现实题材作品却凤毛麟角．．．．。
C．随着生活节奏的加快，有的人变得好高骛远．．．．，但还是有很多人义无反顾地选择了坚守，脚踏实地去做事。
北京四中2016-2017学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，共计150分，考试时间120分钟卷（I ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1. 复数i-12= A. 2+2i B. 22+22i C. 1-i D. 1+i2. 下列求导正确的是A. （3x 2-2）'=3xB. （log 2x ） '=2ln 1⋅xC. （cosx ） '=sinxD. （xln 1）'=x 3. 曲线y=x ·e x 在x=1处切线的斜率等于A. 2eB. eC. 2D. 1 4. ⎰421dx x等于 A. -21n 2 B. 21n 2 C. -ln 2 D. ln 25. 函数f （x ）=3+x lnx 的单调递增区间为A. （0，e 1）B. （e ，+∞）C. （e 1，+∞）D. （e 1，e0，31，221，e-1，+∞） B. （-1，+∞） C. （-∞，-11，2g （x ）+21x-2 三、解答题：本大题共2小题，共20分.17. （本小题满分8分）解：（I ）因为f （x ）=lnx-x 2+x 其中x>0所以f '（x ）=x 1-2x+1=xx x )12)(1(+- 所以f （x ）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）.（II ）由（I ）f （x ）在hslx3y3h 21，11，e1，21，21，21，21，21，2g （x ）+21x-2（1-lnx ）+21x-2hslx3y3h=xlnx-21x 2+x, 则F'（x ）=lnx+l-x+l=lnx-x+2. 设t （x ）=lnx-x+2，则t '（x ）=x 1-1=xx -1. 令t '（x ）=0，得x=1.则由t '（x ）>0，得0<x<1，F '（x ）为增函数；由t '（x ）<0，得x>1，F '（x ）为减函数；而F '（21e ）=-2-21e +2=-21e <0，F '（1）=1>0. 则F '（x ）在（0，1）上有且只有一个零点x 1，且在（0，x 1）上F '（x ）<0，F （x ）为减函数；在（x 1，1）上F '（x ）>0，F （x ）为增函数.所以x 1为极值点，此时m=0.又F '（3）=ln3-1>0，F '（4）=21n2-2<0,则F '（x ）在（3，4）上有且只有一个零点x 2，且在（3，x 2）上F '（x ）>0，F （x ）为增函数；在（x 2，4）上F '（x ）<0，F （x ）为减函数.所以x 2为极值点，此时m=3.综上m=0或m=3. …………………9分（III ）（1）当x ∈（0，e ）时，g （x ）>0，依题意，h （x ）≥g （x ）>0，不满足条件；（2）当x=e 时，g （e ）=0，f （e ）=e 3-3ae+e ，①若f （e ）=e 3-3ae+e≤0，即a≥312+e ，则e 是h （x ）的一个零点； ②若f （e ）=e 3-3ae+e>0，即a<312+e ，则e 不是h （x ）的零点； （3）当x ∈（e ，+∞）时，g （x ）<0，所以此时只需考虑函数f （x ）在（e,+∞）上零点的情况. 因为f '（x ）=3x 2-3a>3e 2-3a ，所以①当a≤e 2时，f '（x ）>0，f （x ）在（e ，+∞）上单调递增.又f （e ）=e 3-3ae+e ，所以（i ）当a≤312+e 时，f （e ）≥0，f （x ）在（e ，+∞）上无零点； （ii ）当312+e <a≤e 2时，f （e ）<0， 又f （2e ）=8e 3-6ae+e≥8e 3-6e 3+e>0，所以此时f （x ）在（e ，+∞）上恰有一个零点；②当a>e 2时，令f '（x ）=0，得x=±a .由f '（x）<0，得e<x<a；由f '（x）>0，得x>a；所以f（x）在（e，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增. 因为f（e）=e3-3ae+e<e3-3e3+e<0，f（2a）=8a3-6a2+e>8a2-6a2+e=2a2+e>0，所以此时f（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；综上，a>312e. …………12分。
2017-2018学年北京四中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．（5分）复数z满足（1+i）z=i，则在复平面内复数z所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）定积分（2x+e x）dx的值为（）A．e+2 B．e+1 C．e D．e﹣13．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y=x﹣1 B．y=﹣x+1 C．y=2x﹣2 D．y=﹣2x+2 4．（5分）函数y=xcosx的导数为（）A．y′=cosx﹣xsinx B．y′=cosx+xsinxC．y′=xcosx﹣sinx D．y′=xcosx+sinx5．（5分）设f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则函数f（x）的增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1），（2，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣1，0）6．（5分）若复数z=（x2﹣4）+（x+3）i（x∈R），则“z是纯虚数”是“x=2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），其导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在区间（a，b）内极小值点的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．18．（5分）直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为（）A．B．9 C．D．9．（5分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（）A．y=sinx B．y=lnx C．y=e x D．y=x310．（5分）函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f （x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（）A．20 B．18 C．3 D．011．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）12．（5分）设函数f（x）=（x﹣2）lnx﹣ax+1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，]C．（，1）D．[，1）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分13．（5分）下列是关于复数的类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由实数绝对值的性质|x|2=x2类比得到复数z的性质|z|2=z2；③已知a，b∈R，若a﹣b＞0，则a＞b．类比得已知z1，z2∈C，若z1﹣z2＞0，则z1＞z2；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．其中推理结论正确的是．14．（5分）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（2018）+f'（2018）=．15．（5分）已知函数f（x）=e x﹣2x+a有零点，则a的取值范围是．16．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=l处有极值10，则（a，b）=．17．（5分）函数f（x）=ax3+bx2+cx的图象如图所示，且f（x）在x=x0与x=﹣1处取得极值，给出下列判断：①f（1）+f（﹣1）=0；②f（﹣2）＞0；③函数y=f'（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数．其中正确的判断是．（写出所有正确判断的序号）18．（5分）对于函数f（x）=（2x﹣x2）e x（1）是f（x）的单调递减区间；（2）是f（x）的极小值，是f（x）的极大值；（3）f（x）有最大值，没有最小值；（4）f（x）没有最大值，也没有最小值．其中判断正确的是．三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分.19．（15分）已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在处取得极值．（1）确定a的值；（2）若g（x）=f（x）e x，讨论g（x）的单调性．20．（15分）设f（x）=a（x﹣5）2+6ln x，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．21．（15分）已知函数f（x）=e x+．（I）当a=时，求函数f（x）在x=0处的切线方程；（II）函数f（x）是否存在零点？若存在，求出零点的个数；若不存在，请说明理由．22．（15分）已知函数．（Ⅰ）当a=2时，（i）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（ii）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若1＜a＜2，求证：f（x）＜﹣1．2017-2018学年北京四中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．（5分）复数z满足（1+i）z=i，则在复平面内复数z所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：由（1+i）z=i，得，∴z在复平面内对应的点为，在第一象限，故选：A．【点评】本题本题考查复数的运算与坐标表示，是基础题．2．（5分）定积分（2x+e x）dx的值为（）A．e+2 B．e+1 C．e D．e﹣1【分析】根据微积分基本定理计算即可．【解答】解：（2x+e x）dx=（x2+e x）|=（1+e）﹣（0+e0）=e．故选：C．【点评】本题主要考查了微积分基本定理，关键是求出原函数．3．（5分）曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（）A．y=x﹣1 B．y=﹣x+1 C．y=2x﹣2 D．y=﹣2x+2【分析】欲求在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：验证知，点（1，0）在曲线上∵y=x3﹣2x+1，y′=3x2﹣2，所以k=y′|x﹣1=1，得切线的斜率为1，所以k=1；所以曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为：y﹣0=1×（x﹣1），即y=x﹣1．故选：A．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．4．（5分）函数y=xcosx的导数为（）A．y′=cosx﹣xsinx B．y′=cosx+xsinxC．y′=xcosx﹣sinx D．y′=xcosx+sinx【分析】利用导数的运算法则（μv）′=μ′v+μv′及导数的公式cosx′=﹣sinx求出导函数即可．【解答】解：根据（μv）′=μ′v+μv′可得y′=x′cosx+x（cosx）′=cosx﹣xsinx故选：A．【点评】求函数的导数值时，先根据函数的形式选择合适的导数运算法则及导数公式，属于基础题．5．（5分）设f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则函数f（x）的增区间为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1），（2，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣1，0）【分析】用导函数求函数的增区间，常规题目．【解答】先求其定义域为（0，+∞），，借助分子函数y=2（x+1）•（x﹣2）的图象，只考虑x＞0上，容易知道当0＜x＜2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，故所求增区间为（2，+∞）．故选：C．【点评】数字系数的函数的单调性判断，常用导数做工具来解决，常规题目．6．（5分）若复数z=（x2﹣4）+（x+3）i（x∈R），则“z是纯虚数”是“x=2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先通过复数的基本概念求出“z是纯虚数”最简形式，判断前者成立能否推出后者成立，反之后者成立能否推出前者成立，利用充要条件的定义判断出结论．【解答】解：“z是纯虚数”的充要条件为即x=±2∵x=±2成立推不出x=2成立；反之若x=2成立则x=±2成立∴“z是纯虚数”是“x=2”的必要不充分条件故选：B．【点评】判断一个条件是另一个条件的什么条件，一般先化简各个条件，再确定出哪一个是条件哪一个是结论；判断前者是否推出后者，后者是否推出前者，利用充要条件的定义加以判断．7．（5分）函数f（x）的定义域为（a，b），其导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在区间（a，b）内极小值点的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，然后得到答案【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知在（a，b）内只有一个极小值点．故选：D．【点评】本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系．属基础题．8．（5分）直线y=3x与曲线y=x2围成图形的面积为（）A．B．9 C．D．【分析】此类题目需先求出两曲线的交点，进而确定积分区间，再依据函数图象的上下位置确定出被积函数，最后依据微积分基本定理求出面积即可．【解答】解：由已知，联立直线与曲线方程得到解得或则围成图形的面积为====故选：C．【点评】本题主要考查了微积分基本定理，属于基础题．9．（5分）若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（）A．y=sinx B．y=lnx C．y=e x D．y=x3【分析】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案．【解答】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，当y=sinx时，y′=cosx，满足条件；当y=lnx时，y′=＞0恒成立，不满足条件；当y=e x时，y′=e x＞0恒成立，不满足条件；当y=x3时，y′=3x2＞0恒成立，不满足条件；故选：A．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档．10．（5分）函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f （x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（）A．20 B．18 C．3 D．0【分析】对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，利用导数确定函数的单调性，求最值，即可得出结论．【解答】解：对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，∵f（x）=x3﹣3x﹣1，∴f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），∵x∈[﹣3，2]，∴函数在[﹣3，﹣1]、[1，2]上单调递增，在[﹣1，1]上单调递减∴f（x）max=f（2）=f（﹣1）=1，f（x）min=f（﹣3）=﹣19∴f（x）max﹣f（x）min=20，∴t≥20∴实数t的最小值是20，故选：A．【点评】本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，正确求导，确定函数的最值是关键．11．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【分析】由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．12．（5分）设函数f（x）=（x﹣2）lnx﹣ax+1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，]C．（，1）D．[，1）【分析】设g（x）=（x﹣2）lnx，h（x）=ax﹣1，问题转化为存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣1的下方，求导数判断单调性，数形结合可得g（1）≥h（1）=a﹣1且h（3）=3a﹣1≤g（3）=ln3，h（2）＞g（2），解关于a的不等式组可得．【解答】解：设g（x）=（x﹣2）lnx，h（x）=ax﹣1，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=h（x）=ax﹣1的下方，∵g′（x）=lnx+1﹣，∴当x≥2时，g′（x）＞0，当0＜x≤1时，g′（x）＜0，当x=1时，g（1）=0，当x=1时，h（1）=a﹣1＜0，即a≤1．直线y=ax﹣1恒过定点（0，﹣1）且斜率为a，由题意结合图象可知，存在唯一的整数x0=2，f（x0）＜0，故h（2）=2a﹣1＞g（2）=0，h（3）=3a﹣1≤g（3）=ln3，解得＜a≤．故选：B．【点评】本题考查导数的运用：判断单调性，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分13．（5分）下列是关于复数的类比推理：①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；②由实数绝对值的性质|x|2=x2类比得到复数z的性质|z|2=z2；③已知a，b∈R，若a﹣b＞0，则a＞b．类比得已知z1，z2∈C，若z1﹣z2＞0，则z1＞z2；④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．其中推理结论正确的是①④．【分析】复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则，由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义，但是向量的模长和复数的模长不是通过列举法得到，还有两个复数不能比较大小．【解答】解：复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则，①正确由实数绝对值的性质|x|2=x2类比得到复数z的性质|z|2=z2，这两个长度的求法不是通过类比得到的．故②不正确，对于③：已知z1，z2∈C，若z1﹣z2＞0，则z1＞z2；因两个复数不能比较大小，故③错；由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．故④正确．故答案为：①④【点评】本题考查类比推理，是一个观察几个结论是不是通过类比得到，本题解题的关键在于对于所给的结论的理解．14．（5分）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（2018）+f'（2018）=﹣2011．【分析】根据题意，由导数的几何意义可得f′（2018）=﹣1，将x=2018代入切线方程，可得f（2018）的值，将其相加即可得答案．【解答】解：根据题意，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f′（2018）=﹣1，将x=2018代入切线方程y=﹣x+8，得f（2018）=﹣2018+8=﹣2010，则f（2018）+f'（2018）=﹣2011；故答案为：﹣2011．【点评】本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值是切线的斜率．15．（5分）已知函数f（x）=e x﹣2x+a有零点，则a的取值范围是（﹣∞，2ln2﹣2] ．【分析】先讨论函数的单调性，得出函数的最值，由函数的最大值大于或等于零（或函数的最小值小于或等于零）得出a的取值范围．【解答】解：f′（x）=e x﹣2，可得f′（x）=0的根为x0=ln2当x＜ln2时，f′（x）＜0，可得函数在区间（﹣∞，ln2）上为减函数；当x＞ln2时，f′（x）＞0，可得函数在区间（ln2，+∞）上为增函数，∴函数y=f（x）在x=ln2处取得极小值f（ln2）=2﹣2ln2+a，并且这个极小值也是函数的最小值，由题设知函数y=f（x）的最小值要小于或等于零，即2﹣2ln2+a≤0，可得a≤2ln2﹣2，故答案为：（﹣∞，2ln2﹣2]．【点评】利用导数工具讨论函数的单调性，是求函数的值域和最值的常用方法，本题可以根据单调性，结合函数的图象与x轴交点，来帮助对题意的理解16．（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=l处有极值10，则（a，b）=（4，﹣11）．【分析】求出导函数，令导函数在1处的值为0；f（x）在1处的值为10，列出方程组求出a，b的值，注意检验，从而求出函数值即可．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b，由题意得，f′（1）=3+2a+b=0①，f（1）=1+a+b+a2=10②，联立①②解得或，当a=﹣3，b=3时，f′（x）=3x2﹣6x+3=3（x﹣1）2，x＜1或x＞1时，f′（x）＞0，所以x=1不为极值点，不合题意；经检验，a=4，b=﹣11符合题意，则（a，b）=（4，﹣11）故答案为：（4，﹣11）．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，可导函数f（x）在x=x0处取得极值的充要条件是f′（x0）=0，且在x0左右两侧导数异号．17．（5分）函数f（x）=ax3+bx2+cx的图象如图所示，且f（x）在x=x0与x=﹣1处取得极值，给出下列判断：①f（1）+f（﹣1）=0；②f（﹣2）＞0；③函数y=f'（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数．其中正确的判断是②③．（写出所有正确判断的序号）【分析】先根据题意可得f′（x）=3ax2+2bx+c=3a（x+1）（x﹣x0）且a＜0，然后求出f（1）+f（﹣1），f（﹣2）判定符号即可，最后根据f′（x）是开口向下，对称轴为x=＞0的二次函数，可得函数在区间（﹣∞，0）上的单调性．【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx2+cx的图象如图所示，且f（x）在x=x0与x=﹣1处取得极值∴f′（x）=3ax2+2bx+c=3a（x+1）（x﹣x0），a＜0则2b=3a（1﹣x0），c=﹣3ax0∴f（1）+f（﹣1）=2b=3a（1﹣x0）＞0故①不正确f（﹣2）=﹣8a+4b﹣2c=﹣8a+6a=﹣2a＞0，故②正确f′（x）=3ax2+2bx+c=3a（x+1）（x﹣x0）是开口向下，对称轴为x=＞0∴函数y=f'（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，故③正确故答案为：②③【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值和二次函数的性质，以及研究函数的单调性，同时考查了识图能力，运算分析能力，属于中档题．18．（5分）对于函数f（x）=（2x﹣x2）e x（1）是f（x）的单调递减区间；（2）是f（x）的极小值，是f（x）的极大值；（3）f（x）有最大值，没有最小值；（4）f（x）没有最大值，也没有最小值．其中判断正确的是（2）（3）．【分析】对函数f（x）进行求导，然后令f'（x）=0求出x，在根据f'（x）的正负判断原函数的单调性进而可确定（1）不正确，（2）正确，根据函数的单调性可判断极大值即是原函数的最大值，无最小值，（3）正确，（4）不正确，从而得到答案．【解答】解：f′（x）=e x（2﹣x2），由f′（x）=0得x=±，由f′（x）＜0得x＞或x＜﹣，由f′（x）＞0得﹣＜x＜，∴f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣），（，+∞），单调增区间为（﹣，），故（1）不正确；∴f（x）的极大值为f（），极小值为f（﹣），故（2）正确．∵x＜﹣时，f（x）＜0恒成立，在（﹣，）单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴当x=时取极大值，也是最大值，而当x→+∞时，f（x）→﹣∞∴f（x）无最小值，但有最大值f（）则（3）正确．从而f（x）没有最大值，也没有最小值，则（4）不正确．故答案为：（2）（3）【点评】本题主要考查函数的极值与其导函数关系，即函数取到极值时导函数一定等于0，但导函数等于0时还要判断原函数的单调性才能确定原函数的极值点，属于中档题．三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分.19．（15分）已知函数f（x）=ax3+x2（a∈R）在处取得极值．（1）确定a的值；（2）若g（x）=f（x）e x，讨论g（x）的单调性．【分析】（1）求导数，利用f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣处取得极值，可得f′（﹣）=0，即可确定a的值；（2）由（1）得g（x）的解析式，利用导数的正负可得g（x）的单调性．【解答】解：（1）对f（x）求导得f′（x）=3ax2+2x．∵f（x）=ax3+x2（a∈R）在x=﹣处取得极值，∴f′（﹣）=0，∴3a•+2•（﹣）=0，∴a=；（2）由（1）得g（x）=（x3+x2）e x，∴g′（x）=（x2+2x）e x+（x3+x2）e x=x（x+1）（x+4）e x，令g′（x）=0，解得x=0，x=﹣1或x=﹣4，当x＜﹣4时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；当﹣4＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0，故g（x）为减函数；当x＞0时，g′（x）＞0，故g（x）为增函数；综上知g（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣1，0）内为减函数，在（﹣4，﹣1）和（0，+∞）内为增函数．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查分类讨论的思想方法，以及函数和方程的转化思想，属于中档题．20．（15分）设f（x）=a（x﹣5）2+6ln x，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．（1）确定a的值；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．【分析】（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）列出方程求a的值即可；（2）由（1）求出的原函数及其导函数，求出导函数的零点，把函数的定义域分段，判断导函数在各段内的符号，从而得到原函数的单调区间，根据在各区间内的单调性求出极值点，把极值点的横坐标代入函数解析式求得函数的极值．【解答】解：（1）因f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，故f′（x）=2a（x﹣5）+，（x＞0），令x=1，得f（1）=16a，f′（1）=6﹣8a，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣16a=（6﹣8a）（x﹣1），由切线与y轴相交于点（0，6）．∴6﹣16a=8a﹣6，∴a=．（2）由（1）得f（x）=（x﹣5）2+6lnx，（x＞0），f′（x）=（x﹣5）+=，令f′（x）=0，得x=2或x=3，当0＜x＜2或x＞3时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，2），（3，+∞）上为增函数，当2＜x＜3时，f′（x）＜0，故f（x）在（2，3）上为减函数，故f（x）在x=2时取得极大值f（2）=+6ln2，在x=3时取得极小值f（3）=2+6ln3．【点评】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性、函数的极值及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论思想、化归与转化思想．属于中档题．21．（15分）已知函数f（x）=e x+．（I）当a=时，求函数f（x）在x=0处的切线方程；（II）函数f（x）是否存在零点？若存在，求出零点的个数；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）欲求曲线y=f（x）在其上一点x=0处的切线的方程，只须求出切线斜率，切点坐标即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，利用函数求出切点坐标，进而得切线方程；（Ⅱ）由于函数f（x）的定义域为（﹣∞，a）∪（a，+∞）．下面对x的范围进行分类讨论：当x∈（a，+∞）时，f（x）在区间（a，+∞）上没有零点．当x ∈（﹣∞，a）时，令g（x）=e x（x﹣a）+1．构造新函数，对新函数求导，做出函数的单调性，得到函数的最小值，从而得到要求的结果．【解答】解：（I）f（x）=e x+，f'（x）=e x﹣，f'（0）=1﹣．当a=时，f'（0）=﹣3．又f（0）=﹣1，则f（x）在x=0处的切线方程为y=﹣3x﹣l．（II）函数f（x）的定义域为（﹣∞，a）∪（a，+∞）．当x∈（a，+∞）时，e x＞0，＞0，所以f（x）=e x+＞0，即f（x）在区间（a，+∞）上没有零点．当x∈（﹣∞，a）时，f（x）=e x+=，令g（x）=e x（x﹣a）+1，只要讨论g（x）的零点即可．g'（x）=e x（x﹣a+1），g'（a﹣1）=0．当x∈（﹣∞，a﹣1）时，g'（x）＜0，g（x）是减函数；当x∈（a﹣1，a）时，g'（x）＞0，g（x）是增函数，所以g（x）在区间（﹣∞，a）上的最小值为g（a﹣1）=1﹣e a﹣1．当a=1时，g（a﹣1）=0，所以x=a﹣1是f（x）的唯一的零点；当a＜l时，g（a﹣1）=1﹣e a﹣1＞0，所以f（x）没有零点；当a＞l时，g（a﹣1）=1﹣e a﹣1＜0．所以f（x）有两个零点．【点评】本题以函数为载体，主要考查导数的几何意义，考查考查函数的单调性，属于中档题．22．（15分）已知函数．（Ⅰ）当a=2时，（i）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（ii）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若1＜a＜2，求证：f（x）＜﹣1．【分析】（Ⅰ）（i）根据题意，求出函数的导数，据此计算f′（1）与f（1），即可得切线的斜率以及切点的坐标，由直线的点斜式方程即可得答案；（ii）根据题意，令g（x）=2﹣lnx﹣2x2，分析g（x）的符号，即可得函数f（x）的导数的符号，即可得函数f（x）的单调区间，（Ⅱ）根据题意，f（x）＜﹣1，即，设，对h（x）求导分析可得h（x）的单调性，分析h（x）的最值，即可得结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，，定义域为（0，+∞），，f′（1）=﹣1﹣2=﹣3，f'（1）=2﹣2=0；所以切点坐标为（1，﹣3），切线斜率为0所以切线方程为y=﹣3；（ii）令g（x）=2﹣lnx﹣2x2，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，且g（1）=0所以当x∈（0，1）时，g（x）＞0即f'（x）＞0所以当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0即f'（x）＜0综上所述，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．（Ⅱ）证明：f（x）＜﹣1，即设，，设φ（x）=﹣ax2﹣lnx+2所以φ'（x）在（0，+∞）小于零恒成立即h'（x）在（0，+∞）上单调递减因为1＜a＜2，所以h'（1）=2﹣a＞0，h'（e2）=﹣a＜0，所以在（1，e2）上必存在一个x0使得，即，所以当x∈（0，x0）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以，因为，所以，令h（x0）=0得，因为1＜a＜2，所以，，因为，所以h（x0）＜0恒成立，即h（x）＜0恒成立，综上所述，当1＜a＜2时，f（x）＜﹣1．【点评】本题考查利用导数求函数的最值、单调性以及切线的方程，注意正确求出函数的导数．。
（下）高二年段期中考试题理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分.考试时间120分钟.选择题的答案一律写在答题卷上，凡写在试卷上的无效；解答题请写出完整步骤。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中有且只有一个选项是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1． 《新课程标准》规定,那些希望在理学、工科等方面发展的学生,除了修完数学必修内容和选修系列二的全部内容外,基本要求是还要在系列四的4个专题中选修2个专题,则每位同学的不同选课方案有( )种A.4B.6C.8D.12 2.函数2sin y x x =的导数为（ ）A ．22sin cos y x x x x '=+B ．22sin cos y x x x x '=-C ．2sin 2cos y x x x x '=+D ．2sin 2cos y x x x x '=- 3．下列积分值为2的是( )A.12xdx ⎰ B . 1xe dx ⎰ C . 11edx x⎰D .sin xdx π⎰4，则a 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 5. 设函数()x f x xe =,则（ ）A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点6．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为3181233y x x =-+-，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件 7. 在一个盒子中有大小一样的20个球，其中10个红球，10个白球，则在第一个人摸出1个红球的条件下，第二个人摸出1个白球的概率为（ ）(A) 1019 (B) 519 (C) 12 (D) 19208.若n xx )2(-展开式中二项式系数之和为64，则展开式中常数项为 （ ）A ．20B ．－160C ．160D ．—2709． 位于坐标原点的一个质点P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向左或向右，并且向左、向右移动的概率都是12，质点P 移动6次后回到原点的概率是（ ）A ．612⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．63612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．33612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．6336612C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭10. 84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是 （ ）A ．56B ．84C ．112D ．16811. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体。
