江苏省2014届一轮复习数学试题选编30：常用逻辑用语(教师版)

江苏省11市县2014届高三上学期期中试题分类汇编集合与常用逻辑用语一、填空题1、（常州市武进区2014届高三上学期期中考）已知集合{}24A x x =<，{}0,1,2B =，则AB =▲ ． 答案：{}0,12、（海安县2014届高三上学期期中）已知集合A {1，2，4 }，B { 2，3，4，5 }，则A ∩B ▲ ．答案：{2，4}3、（海门市2014届高三11月诊断）设集合2{|log 2,}A x x x Z =<∈，则集合A 共有 ▲ 个子集． 答案：84、（淮安、宿迁市2014届高三11月诊断）已知全集{1,2,3,4}U =，集合{2,3}A =，{3,4}B =，则()U A B ＝ ▲ . 答案：{1}5、（苏州市2014届高三上学期期中）已知全集{}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，,{}=23B ，,则()=UA B ▲答案：46、（无锡市2014届高三上学期期中）设全集U R =，集合{}{}|3,|16A x x B x x =≥=-≤≤，则集合()U C A B ⋂= 。

答案：[1,3)-7、（兴化市2014届高三上学期期中）已知集合{}2,1,1-=M ，集合{}20|<<=x x N ，则=⋂N M ＿＿＿＿．答案：{}1 8、（徐州市2014届高三上学期期中）已知全集U R =，集合{}|1M x y x ==-，则U C M = 。

答案：{}1|<x x9、（盐城市2014届高三上学期期中）已知集合{}1,0,1,2A =-, {}2|10B x x =->，则A B =▲ . 答案：{2}10、（扬州市2014届高三上学期期中）命题“2,10x R x ∀∈+>”的否定是 ▲ ． 答案：2,10x R x ∃∈+≤11、（海安县2014届高三上学期期中）命题“x R ，x 2≥0”的否定是“▲ ”．答案：x R ，x 2 012、（海门市2014届高三11月诊断）给出如下命题：①若“p 且q ”为假命题，则,p q 均为假命题；②命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若,221a b a b ≤≤-则”； ③命题“00,20x x R ∃∈≤学科网”的否定是“,20x x R ∀∈>”； ④ “5a ≥” 是 “2[1,2],0x x a ∀∈-≤恒成立”的充要条件.其中所有正确的命题的序号是 ▲ . 答案：②③ 13、（海门市2014届高三11月诊断）已知2()23f x x x =-+，()1g x kx =-，则“2k ≤”是“()()f x g x ≥在R 上恒成立”的 ▲ 条件.（填“充分不必要、必要而不充分、充要、既不充分也不必要”之一） 答案：充分不必要14、（淮安、宿迁市2014届高三11月诊断）写出命题“2010x x ∃-＞≤，”的否定： ▲ . 答案：2001x x ∀-＞＞，15、（徐州市2014届高三上学期期中）“1x >”是“21x >”的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）答案：充分不必要16、（盐城市2014届高三上学期期中）命题“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定是 ▲ ． 答案：17、（盐城市2014届高三上学期期中）设命题:p 4>x ；命题082:2≥--x x q ，那么p 是q 的▲ 条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)． 答案：充分不必要 二、解答题 1、（盐城市2014届高三上学期期中）设集合{}21A x x =-<<-，|lg ,0,3x a B x y a a R a x -⎧⎫==≠∈⎨⎬-⎩⎭.（1）当a =1时，求集合B ；（2）当A B B =时，求a 的取值范围．2、（扬州市2014届高三上学期期中）已知集合4|1+1A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，()(){}|410B x x m x m =---+>.（1）若2m =，求集合A B ；（2）若A B =∅，求实数m 的取值范围.解：（1）由411x >+得13x -<< 即{}|13A x x =-<<， ····················· 2分 当2m =时，由()()610x x -->得6x >或1x < ········· 4分 所以{}|36AB x x x =<>或 ················· 7分（2）由()()410x m x m ---+>得4x m >+或1x m <-即{}|41B x x m x m =>+<-或 ················· 9分因为AB =∅，所以⎧⎨⎩3411m m ≤+-≥-， ··············· 12分即10m -≤≤. ························ 14分。

专题一集合与常用逻辑用语【命题趋势探秘】【高频考点聚焦】 ◇考点1 集合及集合的运算【基础知识梳理】 1．集合与元素（1）集合元素的三个特征：① 、② 、③． （2）元素与集合的关系是④ 或⑤ 关系，用符号⑥ 或⑦ 表示． （3）集合的表示法：⑧ 、⑨ ． （4）常见数集的记法2（1）子集：对任意的x ∈A ，都有x ∈B ，则A ⑩ B （或⑪ ）． （2）真子集：若A ⊆B ，且A ≠B ，则A ⑫ B （或⑬ ）．（3）空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A ，∅⑭B ()B φ≠． （4）若A 含有n 个元素，则A 的子集有⑮ 个，A 的非空子集有⑯ 个．（5）集合相等：若A ⊆B ，且B ⊆A ，则⑰ ． 3．集合的基本运算集合的并集 集合的交集 集合的补集图形语言符号语言A ∪B ＝⑱A ∩B ＝⑲∁U A ＝⑳描述法⑩A ⊆B ⑪B ⊇A ⑫≠⊂⑬A B ≠⊂⑭≠⊂⑮2n ⑯21n -⑰A B =⑱{x |x ∈A ，或x ∈B } ⑲{x |x ∈A ，且x ∈B } ⑳{x |x ∈U ，且x ∉A }． 【核心考点讲练】题型一：元素与集合之间的关系【典例1】（2012·全国卷）（1）已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为 _______．（2）设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba，b ，则b －a ＝________．【解析】（1）由x －y ∈A ，及A ＝{1,2,3,4,5}得x >y ，当y ＝1时，x 可取2,3,4,5,有4个；当y ＝2时，x 可取3,4,5，有3个； 当y ＝3时，x 可取4,5，有2个；当y ＝4时，x 可取5，有1个； 故共有1＋2＋3＋4＝10（个），选D ． （2）因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，得ba＝－1， 所以a ＝－1，b ＝1． 所以b －a ＝2．【答案】（1）D （2）2【技巧点拔】（1）解题（1）的关键在于准确理解集合B 的含义，逐个列举求解，研究一个集合首先看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件；（2）利用元素与集合的关系求字母的值时，一要注意分类讨论，二要注意求出字母的值后，要注意元素互异性的检验．题型二：集合间的基本关系【典例2】（某某市五市三区2013届高三期中改编）已知集合A ]1,2[-=,集合)4,(a B --∞=,集合}015|{≥+-=x xx C ,集合}121|{-<≤+=m x m x D )0(>m ．（1）若B B A = ,某某数a 的取值X 围；（2）若C D ⊆,某某数m 的取值X 围．【解析】（1因为B B A = 所以可得:B A ⊆,所以14>-a,所以4-<a 即实数a 的取值X 围为)4,(--∞ （2）因为015≥+-x x ,所以有015≤+-x x ,所以21≤<-x ,所以]5,1(-=C ,对于集合C m x m x D ⊆-<≤+=}121|{有:①当121-≥+m m 时,即20≤<m 时∅=D ,满足C D ⊆ ②当121-<+m m 时,即2>m 时∅≠D ,所以有:⎩⎨⎧≤-->+51211m m 32≤<-⇒m ,又因为2>m ,所以32≤<⇒m 综上:由①②可得:实数m 的取值X 围为]3,0(．【技巧点拔】（1）已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．（2）在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式（或方程）时，要对参数进行讨论．【当堂演练】（某某省某某市2013届高三上学期期中调研测试数学试题）已知23{|1}6x A x x -=>-,22{|210,0}B x x x m m =-+-≤>, （1）若2m =,求A B ；（2）若AB B =,某某数m 的取值X 围．【典例3】（2014·某某文卷） 设集合2{|20},{|14}A x x x B x x =-<=≤≤，则A B =．【命题立意】本题考查集合的运算，交集的定义． 【解析】{}02A x x =<<，{}14B x x =≤≤∴{}12A B x x =≤<．【答案】{}12AB x x =≤<．【技巧点拔】一般来讲，集合中的元素离散时，则用Venn 图表示；集合中的元素是连续的实数时，则用数轴表示，此时要注意端点取舍．【当堂演练】（2014·某某文卷）设全集为R ，集合{}092<-=x x A ，{}51≤<-=x x B ，则()R A C B =．()R C B =【答案】{x -专题热点集训1集合及集合的运算（时间：45分钟）一、填空题1．（某某省某某市·2015届一模）已知集合{}1,3,5,9U =，{}1,3,9A =，{}1,9B =，则()U C A B =_______．2．（2014·全国卷）设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=_______． 3．（2014·大纲卷）设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N =_______．4．（某某省某某市·2015届一模）已知集合{}21,A x x k k ==-∈,{}13B x x =-≤≤,AB =．5．（2014·某某卷）已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U （A ∪B ）＝_______． 6．（2013·某某卷）已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是_____．7．（教材习题改编）已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有_____． 8．（2014·某某卷）设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A ___． 9．（2014·某某卷）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U _______．10．（2014·某某卷）已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤，集合B 为整数集，则A B =____．11．（教材习题改编）已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |ax ＋1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的所有可能取值组成的集合为________．专题热点集训1 集合及集合的运算参考答案与解析1．【答案】{}5．2．【答案】∵[1,2]N =，∴{1,2}MN =．3．【答案】求解一元二次不等式化简集合M ，然后直接利用交集运算求解．由2340x x ﹣﹣＜ ，得14x ﹣＜＜．2{|}{|}34014M x x x x x ∴==﹣﹣＜﹣＜＜又,{}05|N x x =≤≤{}{|}100|4[54M N x x x x ∴⋂=⋂≤≤=﹣＜＜，）．4．【答案】{}1,1,3-．5．【答案】由题意可知，A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，所以∁U （A ∪B ）＝{x |0＜x ＜1}． 6．【答案】x －y ∈{}－2，－1，0，1，2．7．【答案】∵M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，∴M ∩N ＝{1,3}．∴M ∩N 的子集共有22＝4个． 8．【答案】∵12x -<，∴212x -<-<，∴13x -<<∵2xy =，[]0,2x ∈，∴[]1,4y ∈∴[)1,3A B ⋂=．9．【答案】∵全集{}2U x N x =∈≥，集合{}{}253A x N x x N x =∈≥=∈≥，则{}{}32U C A x N x =∈<=．10．【答案】∵[-12],Z A B ==，，∴{10,1,2}AB =-，．11．【答案】若a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ，若a ≠0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1a ，∵B ⊆A ，∴－1a ＝－1或－1a＝1，∴a ＝1或a ＝－1．所以a ＝0或a ＝1或a ＝－1组成的集合为{}1,0,1-．2015届某某省高三一、二、三模模数学试题1．（淮、宿、连、徐四市2015届高三一模）已知集合 {}{}0,1,2,3,2,3,4,5A B ==，则A B中元素的个数为_______． 【答案】6．2．（某某市、某某市2015届高三一模）设集合{}2,0,M x =，集合{}0,1N =，若N M ⊆，则x =_______． 【答案】1．3．（某某市2015届一模）已知集合{}1,3,5,9U =，{}1,3,9A =，{}1,9B =，则()U C A B =_______．【答案】{}5．4．（某某市2015届一模）已知集合{}Z k k x x A ∈-==,12,{}13B x x =-≤≤,AB =．【答案】{}1,1,3-．5．（某某市2015届一模）已知集合{|22},{|1}A x x B x x =-<<=≤，则A B =．【答案】(]2,1-．6．（某某市2015届一模）设全集Z U =，集合{}{}2,1,0,1,2,2,1--==P M ，则=M C P U ．【答案】{}2,1,0--．7．（某某市2015届一模）集合{}1,0,2A =-，{}1B x x =<，则A B =．【答案】{}0．8．（某某市2015届一模）设集合{}1,0,1A =-，{}0,1,2,3B =，则A B =．【答案】{}0,1．9．（某某市2015届一模）已知{}1,3,4A =，{}3,4,5B =，则A B =．【答案】{}3,4．10．（某某、某某、某某市2015届二模）设集合{}11 0 3 2A =-，，，，{}2 1B x x =≥，则A B =．【答案】{}1 3-，【命题立意】本题考查了集合的交集运算．【解析】根据题意得，{}{}2 1 11B x x x x x ==≤-≥≥或，AB ={}1 3-，． 11．（苏锡常镇四市2015届调研一）已知集合{}{}11,0A x x B x x =-<<=>，则A B =．【答案】{}01x x <<【命题立意】本题考查了集合的运算，属于基础题. 【解析】根据题意可得，AB ={}01x x <<.12．（某某市2015届二模）已知集合{}1,2,4A =，{},4B a =，若{1,2,3,4}AB =，则A B =．【答案】{4}【命题立意】本题考查了交集、并集及集合运算． 【解析】∵{1,2,3,4}AB =，∴a=3，∴{}3,4B =，∴{}4A B =．13．（苏锡常镇四市2015届调研二）已知集合{}{}{}1,1,3,2,21,1a A B A B =-=-=，则实数a 的值为 【答案】1【命题立意】本题旨在考查集合的运算． 【解析】由题可得2a－1=1，即2a=2，解得a =1．14.（某某、某某、宿迁2015届三模）已知集合},4,2{],3,1(=-=B A 则=B A . 【答案】{2}【命题立意】本题旨在考查集合的运算． 【解析】由题可得A ∩B={2}．15．（某某市2015届三模）设集合A ={3，m }，B ={3m ，3}，且A =B ，则实数m 的值是． 【答案】0【命题立意】本题考查集合相等，意在考查对集合概念的理解能力.容易题. 【解析】依题意，m m =3，所以0=m 或1=m （舍去）.16．（某某市2015届三模）已知集合{}210A x x =-=，集合[0,2]B =，则A B =．【答案】{1}【命题立意】本题旨在考查集合的运算．【解析】由于A={x|x 2－1=0}={－1，1}，故A ∩B={1}．某某六年高考试题1．（2010·某某）设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2+4},A ∩B={3}，则实数a =_________． 【答案】由集合中元素的互异性有a+2=3或a 2+4=3，⇒a=1或a 2=－1(舍) ⇒a=1． 2．（2011·某某）已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 则_______,=⋂B A 【答案】{}1－，2．3．（2012·某某）已知集合{}4,2,1=A ，{}6,4,2=B ，则=B A ． 【答案】{}6,4,2,1． 4．（2013·某某）集合{-1，0，1}共有个子集． 【答案】8．5．（2014·某某）已知集合}4,3,1,2{A --=，}3,2,1{B -=，则B A =．【答案】∵A {2,1,3,4}=--，B {1,2,3}=-，∴{}AB=1,3．故答案为：{1,3}-．6．（2015·某某）已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A 中元素的个数为． 【答案】5【命题立意】本题考查集合的运算、集合的元素，同时考查运算能力。

江苏省名校2014届高三12月月考数学试题分类汇编常用逻辑用语一、填空题1、（江苏省扬州中学2014届高三上学期12月月考）已知命题:p “若b a =，则||||b a =”，则命题p 及其逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是 ▲ ．答案：22、（江苏省南京市第一中学2014届高三12月月考）函数a x f x +-=131)( （)0≠x ，则“1)1(=f ”是“函数)(x f 为奇函数”的 条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）答案：充要3、（江苏省诚贤中学2014届高三12月月考）由命题“02,2≤++∈∃m x x R x ”是假命题，求得实数m 的取值范围是),(+∞a ，则实数a 的值是 ▲ .答案：14、（江苏省东海县第二中学2014届高三第三次学情调研）不等式111x <-的解集记为p ，关于x 的不等式2(1)0x a x a +-->的解集记为q ，已知p q 是的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ▲ .答案：(2,1]--5、（江苏省东台市创新学校2014届高三第三次月考）命题“0x ∀>，20x >”的否定是 ．答案：6、（江苏省东台市创新学校2014届高三第三次月考）已知抛物线C ：y 2＝x 与直线l ：y ＝kx ＋1.“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同的交点”的 条件 （填“必要不充分、充分不必要、充要、既不充分又不必要）答案：必要不充分7、（江苏省灌云高级中学2014届高三第三次学情调研）直线x ＋ay ＋3＝0与直线ax ＋4y ＋6＝0平行的充要条件是_________．答案：a ＝－2；8、（江苏省如东县掘港高级中学2014届高三第三次调研考试）已知x 为实数，则“3x ≥”是“2230x x --≥”的 条件答案：充分不必要9、（江苏省无锡市洛社高级中学等三校2014届高三12月联考）命题:,sin 2x R x ∀∈<的否定是 命题（填“真”、“假”） 答案：假 10、（江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ．则“||2q =”是“627S S =”的充分而不必要条件．答案：充分而不必要11、（江苏省张家港市后塍高中2014届高三12月月考）命题“∃x ∈R ，x 2+ax +1<0” 的否定是 ▲答案：2,10x R x ax ∀∈++≥二、解答题1、（江苏省东台市创新学校2014届高三第三次月考）已知m 为实常数．命题:p 方程22126x y m m -=-表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：方程22111x y m m +=+-表示双曲线. （1）若命题p 为真命题，求m 的取值范围；（2）若命题q 为假命题，求m 的取值范围；(3) 若命题p 或q 为真命题，且命题p 且q 为假命题，求m 的取值范围．解：（1）据题意6020(6)2m m m m -<⎧⎪>⎨⎪-->⎩，解之得0＜m ＜2；故命题p 为真命题时m 的取值范围为(0,2);…………5分（2）若命题q 为真命题，则(1)(1)0m m +-<，解得11m -<<，故命题q 为假命题时m 的取值范围(,1][1,)-∞-+∞；…………10分2、（江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考）已知命题：“{}|11x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题． （1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求a 的取值范围． 解: (1) 由题意知，方程20x x m --=在()1,1-上有解， 即m 的取值范围就为函数x x y -=2在()1,1-上的值域，易得124M m m ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭(2) 因为x ∈N 是x ∈M 的必要条件，所以N M ⊆当1=a 时，解集N 为空集，不满足题意当1>a 时，a a ->2，此时集合{}a x a x N <<-=2| 则⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-2412a a ，解得49>a 当1<a 时，a a -<2，此时集合{}a x a x N -<<=2| 则⎪⎩⎪⎨⎧≥--<2241a a ，解得41-<a 综上，94a >或 14a <-。

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】专题1.2 常用逻辑用语【考纲解读】内 容要 求5年统计AB C常用逻辑用语命题的四种形式√充分条件、必要条件、充分必要条件 √简单的逻辑联接词√全称量词与存在量词√【直击考点】题组一 常识题1． 已知a ≠0，命题“若a >0，则ax －2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >2a ”的否命题是____________________．【答案】若a ≤0，则ax －2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≤2a 或∅【解析】 根据原命题与否命题的关系写出否命题．2． 若{x |y ＝2x }∩{x |y ＝ax －1}＝∅是真命题，则a 的值是________. 【答案】2【解析】依题意，直线y ＝2x 与y ＝ax －1平行，所以a ＝2.3． 已知集合A ＝{1，2，a }，B ＝{－1，0，1，2}，则“a ＝－1”是“A ⊆B ”的________条件． 【答案】充分不必要题组二 常错题4．命题“若a 2＋b 2＝0，a ，b ∈R ，则a ＝b ＝0”的逆否命题是________________________________．【答案】若a ≠0或b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0【解析】 “若p ，则q ”的逆否命题为“若非q ，则非p ”，又a ＝b ＝0的实质为a ＝0且b ＝0，故其否定为a ≠0或b ≠0.5．已知命题“对任意a ，b ∈R ，如果ab >0，则a >0”，则它的否命题是__________________________．【答案】对任意a ，b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0【解析】 因为ab >0，a >0的否定分别为ab ≤0，a ≤0，所以原命题的否命题为“对任意a ，b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0”．6．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________________． 【答案】【解析】 由题意可知，ax 2－2ax －3≤0恒成立．当a ＝0时，－3≤0成立； 当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a <0.故－3≤a ≤0.7．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的______________条件． 【答案】充分不必要【解析】 依题意有p ⇒r ，r ⇒s ，s ⇒q ，∴p ⇒r ⇒s ⇒q .但由于r ⇒/ p ，∴q ⇒/ p . 题组三 常考题8．设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的否命题是________________________________________________________________________． 【答案】若m ≤0，则方程x 2＋x －m ＝0没有实根9．命题“若函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域内是减函数，则log a 2＜0”的逆否命题是________________________________________________________________________． 【答案】若log a 2≥0(a ＞0，a ≠1)，则函数f (x )＝log a x 在其定义域内不是减函数 【解析】 “若函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在定义域内是减函数，则log a 2＜0”的条件的否定是“在定义域内不是减函数”，结论的否定是“log a 2≥0”． 10．设A ，B 是两个集合，则“A ∪B ＝B ”是“A ⊆B ”的________条件． 【答案】充要【解析】 由题意，A ∪B ＝B 可得A ⊆B ，反之，A ⊆B 可得A ∪B ＝B ，故“A ∪B ＝B ”是“A ⊆B ”的充要条件．【知识清单】1．四种命题 命题 表述形式 原命题若p ，则q逆命题 若q ，则p 否命题 若⌝p ，则⌝q 逆否命题若⌝q ，则⌝p2．四种命题间的逆否关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 4．充分条件与必要条件1．如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 2．如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件． 3. 充分条件与必要条件的两个特征(1)对称性：若p 是q 的充分条件，则q 是p 的必要条件，即“p ⇒q ”⇔“q ⇐p ”； (2)传递性：若p 是q 的充分(必要)条件，q 是r 的充分(必要)条件，则p 是r 的充分(必要)条件．5．简单的逻辑联接词1. 命题p ∧q ，p ∨q ，p ⌝的真假判断：p ∧q 中p 、q 有一假为假，p ∨q 有一真为真，p 与非p 必定是一真一假．2．正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是关键，解题时应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断． 6. 全称量词与存在性量词 1．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x ∈M ，p(x)0x M ∃∈，0()p x ⌝0x M∃∈，0()p x∀x M ∈，()p x ⌝2.一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下： 正面词语 等于(＝) 大于(>) 小于(<) 是 都是 否定词语 不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是不都是正面词语 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 一定 … 否定词语 至少有两个 一个也没有 某个某些不一定…【考点深度剖析】简易逻辑近年均没有单独考查，多为以其他知识为载体考查思想方法.如在立体几何证明过程中考查充要关系【重点难点突破】考点1 命题及其关系【1-1】 命题“若0a <，则一元二次方程20x x a ++=有实根”的原命题与其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是 .【答案】2【1-2】 命题中①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题；④“若x －312是有理数，则x 是无理数”的逆否命题，正确的是 .【答案】①③④【解析】 ①中否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”，正确；③中，Δ＝1＋4m ，当m >0时，Δ>0，原命题正确，故其逆否命题正确；②中逆命题不正确；④中原命题正确故逆否命题正确． 【思想方法】1．由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”．2. 对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假．【温馨提醒】“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论. 考点2 充分条件与必要条件【2-1】【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】已知命题:||4p x a -<，命题:(1)(2)0q x x -->，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】【解析】:44p a x a -<<+，:12q x <<，因为p 是q 的必要不充分条件，所以q 是p 的真子集，即41,2425a a a -≤≤+⇒-≤≤【2-2】【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】“三个数a ，b ，c 成等比数列”是“2b ac =”的 条件．（填“充分不必要、充要、必要不充分、既不充分也不必要”）【答案】充分不必要【思想方法】1．判断“p 是q 的什么条件”的实质是对命题“若p ，则q”与“若q ，则p”的真假的确定．2. 判断充分条件，必要条件，充要条件的方法： (1)利用定义判断①若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件； ②若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件； ③若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件； ④若p ⇒q 且q /⇒p ，则p 是q 的充分不必要条件； ⑤若p /⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件； ⑥若p /⇒q 且q /⇒p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件(2) 利用集合判断记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则： 若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件； 若AB ，则p 是q 的充分不必要条件；若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件； 若AB ，则p 是q 的必要不充分条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；若A /⊆B ，且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．【温馨提醒】注意区分“p 是q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是q ”两者的不同，前者是“p ⇒q ”而后者是“q ⇒p ”．. 考点3 简单的逻辑联接词【3-1】已知命题:,2lg p x R x x ∃∈->，命题2:,0q x R x ∀∈>，则在命题p q ∨，p q ∧，()p q ∧⌝，()p q ∨⌝中真命题是 .【答案】()p q ∧⌝和()p q ∨⌝【3-2】如果命题()p q ⌝∨为假命题，则命题p 、q 的真假为 . 【答案】p 、q 中至少有一个为真.【解析】因为命题()p q ⌝∨为假命题，则p q ∨为真命题，所以p 、q 中至少有一个为真. 【思想方法】1. “或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．2. 一个复合命题，从字面上看不一定有“或”“且”“非”字样，这样需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词“或”“且”“非”的关系，如“或者”“x＝±1”“≤”的含义为“或”；“并且”“1x ≠±”的含义为“且”；“不是”“/⊆”的含义为“非”． 【温馨提醒】⌝p 为对一个命题p 全盘否定，读作“非p ”或“p 的否定”． p 与p ⌝的并集应是全集，考点4 全称量词与存在性量词【4-1】【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】命题“2,10x x x ∃∈-+R ≤”的否定是 ▲ ．【答案】2,10x x x ∀∈-+>R【解析】命题“2,10x x x ∃∈-+R ≤”的否定是2,10x x x ∀∈-+R >【4-2】【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】命题“(0,)2x π∀∈，sin 1x <”的否定是 ▲ ． 【答案】()0,2x π∃∈，sin 1≥【思想方法】1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p(x)成立；但要判断全称命题为假命题，只要能举出集合M 中的一个0x x =，使得0()p x 不成立即可．2．要判断一个特称命题为真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个0x x =使0()p x 成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．3．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定． 4．要判断“p ⌝”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p ”的真假，p 与p ⌝的真假相反．【温馨提醒】全称命题(特称命题)的否定与命题的否定有着一定的区别，全称命题(特称命题)的否定是其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论即可．从命题形式上看，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．【易错试题常警惕】1.充分条件、必要条件的判断问题，一般是必须从正、反两个方面进行推理论证，缺一不可，再根据充分条件、必要条件的定义进行判断．如：设a ，R b ∈，且0a ≠，则“()20a b a -<”是“a b <”的________条件． 【分析】因为0a ≠，所以20a >．由()20a b a -<得0a b -<，即a b <．所以“()20a b a -<”是“a b <”的充分条件．反之，因为a ，R b ∈，且0a ≠，所以20a >．因为a b <，即0a b -<，所以()20a b a -<．所以“()20a b a -<”是“a b <”的必要条件．【易错点】忽略题中“0a ≠”这一条件而致误．2.全称命题、特称命题的否定问题，一定要否定量词和结论． 如：已知命题:p 0x ∀>，总有()11xx e +>，则p ⌝为________．【分析】“0x ∀>”的否定为“00x ∃>”，“ ()11x x e +>”的否定为“()11x x e +≤”，所以命题p 的否定为“00x ∃>，使得()0011xx e +≤”．【易错点】全称命题、特称命题的否定容易出现只否定结论，没有否定量词而致误．。

江苏省 2014 届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编 2：函数的定义域、解析式
一、填空题
1 ．（江苏省诚贤中学 2014 届高三上学期第一次月考数学试题）设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≤0 时，f(x)＝2x2－x，则 f(1)等于_______． 【答案】－3
2 ．（ 江 苏 省 沛 县 歌 风 中 学 （ 如 皋 办 学 ） 2014 届 高 三 第 二 次 调 研 数 学 试 题 ） 已 知 函 数
f(x)=
,当 t∈[0,1]时,f(f(t))∈[0,1],则实数 t 的取值范围是__________.
【答案】
3
．（ 江 苏 省 沛 县 歌 风 中 学 （ 如 皋 办 学 ） 2014
届高三第二次调研数学试题）设
g(x)

ex, x

Hale Waihona Puke 0.则lnx, x 0.
g(g(1)) __________ 2
是_____________.
【答案】 (1, 2)
1
8 ．（江苏省泰州市姜堰区 2014 届高三上学期期中考试数学试题）函数 f (x) x 2 的定义域为________.
【答案】 [0,)
9 ．（江苏省涟水中学 2014 届高三上学期（10 月）第一次统测数学(理)试卷）函数 y=ln(x-1)的定义域为 ___________ 【答案】{x|x>1}
若 P(x, y) 满足 d(P, l1 ) d(P, l2 ) ,则 y 关于 x 的函数解析式为______.
0
【答案】
y

1


4 x
x2 1
(x 0) (0 x 2)

学校班级姓名【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

】专题1.2 常用逻辑用语班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 【2017天津，理4改编】设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的_________条件．【答案】充分而不必要 【解析】πππ||012126θθ-<⇔<< 1sin 2θ⇒< ，但10,sin 2θθ=<，不满足 ππ||1212θ-<，所以是充分不必要条件2. 【2017北京，理13】能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a +b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为______________________________．【答案】-1，-2，-3（答案不唯一）3. “1a <-”是“直线30ax y +-=的倾斜角大于4π”的 条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”） 【答案】充分而不必要4.若命题“0932,2<+-∈∃ax x R x ”为假命题，则实数a 的取值范围是 【答案】]22,22[-【解析】原命题的否命题为“2,2390x R x ax ∀∈-+≥”，且为真命题，则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立，只需294290a ∆=-⨯⨯≤，解得：2222a -≤≤5.若命题p ：曲线22x a -－26y a-＝1为双曲线，命题q ：函数f(x)＝(4－a)x在R 上是增函数，且p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，2]∪[3,6)6.函数32)(2+-=x x x f ，若a x f -)(＜2恒成立的充分条件是21≤≤x ，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】1＜a ＜4【解析】()2f x a -<⇒()2()2f x a f x -<<+，由题意，当12x ≤≤时，()2f x +的最小值是4，()2f x -的最大值是1，故14a <<．7.已知命题:p x R ∀∈,23x x <;命题:q x R ∃∈,321x x =-,则在命题①p q ∧②p q ⌝∧③p q ∧⌝④p q ⌝∧⌝中为真命题的是 ．【答案】②【解析】当0x =时，00231==，所以p 为假。

高考数学一轮复习专题1.2 常用逻辑用语1.与函数、不等式、解析几何等知识结合考查充分条件与必要条件的判断及应用,凸显逻辑推理的核心素养；2.以函数、不等式为载体考查全称命题、特称命题的否定及真假判断的应用,凸显逻辑推理、数学运算的核心素养.1. 充分条件、必要条件与充要条件的概念A B B A A B 2.全称量词与存在量词 1.全称量词与全称命题（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示. （2）含有全称量词的命题，叫做全称命题.（3）全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为,()x M p x ∀∈，读作“对任意x 属于M ，有p (x )成立”. 2.存在量词与特称命题（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.（2）含有存在量词的命题，叫做特称命题.（3）特称命题“存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为00,()x M p x ∃∈，读作“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立”. 3.全称命题与特称命题的否定（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题. （2）含有一个量词的命题的否定充分条件、必要条件的判断【方法储备】充要关系的几种判断方法：（1）定义法：①若p ⇒q,q ⇏p ，则p 是q 的充分而不必要条件； ②若p ⇏q,q ⇒p ，则p 是q 的必要而不充分条件； ③若p ⇒q,q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；④若p ⇏q,q ⇏p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.（2）等价转化法：即利用p ⇒q 与¬q ⇒¬p ；q ⟹p 与¬p ⇒¬q ；p ⟺q 与¬q⇒¬p的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价转化法. （3）集合关系法：从集合的观点理解，根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系.【精研题型】1.已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件2.（多选）下列命题中为真命题的是A.“a-b=0”的充要条件是“=1”B.“a>b”是“<”的既不充分也不必要条件C.命题“x R,-<0”的否定是x R,-0”D.“a>2,b>2”是“ab>4”的必要条件3.某班从A，B，C，D四位同学中选拔一人参加校艺术节展演，在选拔结果公布前，甲、乙、丙、丁四位教师预测如下：甲说：“C或D被选中，”乙说：“B被选中，”丙说：“A，D均未被选中，”丁说：“C被选中．”若这四位教师中只有两位说的话是对的，则被选中的是A.AB.BC.CD.D【思维升华】4.满足“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件的电路图是A. B.C. D.5.设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件充分条件、必要条件的应用【方法储备】1.求参数的取值范围：（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，由集合之间的关系列不等式(或不等式组)求解；（2）要注意区间端点值的检验．．．．．．．．，不等式是否能够取等号决定端点值得取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.2.探求某结论成立的充分、必要条件：（1）准确化简条件，即求出每个条件对应的充要条件；（2）问题的形式：①“p是q的……”，②“p的……是q”，②要转化为①，再求解；（3）准确判断两个条件之间的关系：①转化为两个命题关系的判断；②借助两个集合之间的关系来判断.【精研题型】6.设p：2x2-3x+1≤0，q：x2-（2a+1）x+a（a+1）≤0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是A. B.C. D.7.“，”为真命题的一个充分不必要条件是A. B. C. D.【思维升华】8.“关于的方程有解”的一个必要不充分条件是A. B.C. D.9.已知函数的定义域是，不等式的解集是．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，且是的充分不必要条件，求的取值范围．【特别提醒】对于不等式问题：小范围可以推出大范围，大范围推不出小范围全称命题与特称命题【方法储备】1.全称(或特称)命题的否定：①将全称(或存在)量词改为存在 (或全称) 量词； ②结论否定；即全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． 2. 全称命题与特称命题真假的判断：3.常见词语的否定形式有：【精研题型】10.命题“∃x∈R，”的否定是A.∀x∈R，B.∃x∈R，C.∀x∈R，D.∃x∈R，11.（多选）若“∀x∈M，|x|＞x”为真命题，“∃x∈M，x＞3”为假命题，则集合M可以是A.{x|x＜-5}B.{x|-3＜x＜-1}C.{x|x＞3}D.{x|0≤x≤3}12.公元1637年前后，法国学者费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的”．被提出后，经历许多著名数学家猜想论证，历经三百多年的历史，最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明．其中“一般地，将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的”，这句话用数学语言可以表示为A.∀x，y，z，n，m，p∈Z且n≥2，x n＋y m≠z p恒成立B.∀x，y，z，n，p∈Z且n＞2，x n＋y n≠z p恒成立C.∀x，y，z，n∈Z且n＞2，x n＋y n≠z n恒成立D.∀x ，y ，z ，n ∈Z 且n≥2，x n ＋y n ≠z n 恒成立【思维升华】13. （多选）下列四个关于三角函数的全称量词命题与存在量词命题，其中真命题为 A.， B.，C.，D.，14. 在①∃x ∈R ，x 2+2x +2-a ＝0，②存在集合A ＝{x |2＜x ＜4}，非空集合B ＝{x |a ＜x ＜3a }，使得A ∩B ＝∅这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解问题中的实数a ．问题：求解实数a ，使得命题p ：∀x ∈{x |1≤x ≤2}，x 2-a ≥0，命题q ：_______都是真命题．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．全称（存在）量词命题的综合应用【方法储备】含有量词的命题求参数的问题是恒成立或有解问题：（1）全称量词命题()x M a f x ∀∈>，（或()a f x <）为真：不等式恒．成立问题，通常转化为求()f x 的最大值（或最小值），即max ()a f x >（或min ()a f x <）；（2）存在量词命题()x M a f x ∃∈>，（或()a f x <）为真：不等式能．成立问题，通常转化为求()f x 的最小值（或最大值），即min ()a f x >（或max ()a f x <）．【精研题型】15. 若“,使得成立”是假命题，则实数的取值范围是 ．16.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(−x)=2，且在[0，+∞）上单调递减，若对任意的x∈R，f(x2−a)+f(x)<2恒成立，则实数a的取值范围为A. B.（-∞，-1） C. D.（1，+∞）17.若∃x0∈R，为假，则实数a的取值范围为．【思维升华】18.已知函数f(x)＝x，g(x)＝-x2+2x+b，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，9]，19.（多选）已知p:，q:,则下列说法正确的是A.p的否定是：B.q的否定是：C.p为真命题时，D.q为真命题时，。

第一章集合与常用逻辑用语知识网络考纲要求其中A（了解）：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.B（理解）：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.C（掌握）：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.复习策略在近几年的江苏高考中，集合知识主要考查集合与集合之间的运算，考查中常与其他知识相结合，比如不等式、方程以及函数的性质.逻辑知识重点考查充要条件，考查方式都是出现在解答题的证明或求解的语言叙述中，简单逻辑联结词、命题和新增加的量词近几年没有在小题中出现，它们只是以语言叙述的方式出现在题目中，说明这些了解性知识只是考查其最基本的含义.从上述考纲要求及分析可知，集合每年都以小题形式考查，涉及集合关系和运算，常与其他知识交汇，要学会化简、转化集合.对于充要条件,要理解其概念，要会从“充分”和“必要”两个方面判断.其他知识只要求了解其含义，会处理最基本的问题，无需提高要求.第1课 集合的概念与运算课前热身激活思维1．用“∈”或“∉”填空：3.14___________ Q ；π___________ R ；0___________ N ；-1____________{-2，0}；1.5___________{x |-2<x <3,x ∈Z }. [答案]: ∈,∈,∈,∉, ∉2．（2010·南京市学情分析）设集合A ={x |x ≤1|},B ={x |x ≥-2}，则A ∩B =___________. [答案]: {x |－2≤x ≤1-}3．（2009·全国卷Ⅱ文）已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则()U M N ð=___________.[答案]: {2，4，8} [解析]M N ={1,3,5,6,7}.4.（2009·浙江卷理改编）设U =R ，A ={x |x >0}，B ={x |x >1}，则()U A B ð=___________.[答案]: {x |0<x ≤1}[解析]因为ðU B ={}1x x ≤,所以A (ðU B )={}01.x x <≤5．（2009·上海卷理）已知集合A ={x |x ≤1}，B ={x |x ≥a }，且A ∪B =R ，则实数a 的取值范围是___________. [答案] (-≦,1］[解析]因为A B =R ,画数轴可知,实数a 必须在点1上或在1的左边,所以,a 1≤.知识梳理1．集合的概念(1) 集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.(2) 集合的表示法：列举法、描述法、Venn 图法等.(3) 集合按所含元素个数可分为:有限集、无限集；按元素特征可分为：数集、点集.(4) 常用数集符号：N 表示自然数集；N *或N +表示正整数集；Z 表示整数集；Q 表示有理数集；R 表示实数集. 2. 两类关系（1） 元素与集合的关系，用∈或()∉∈或表示.（2） 集合与集合的关系，用⊆，或=表示.当A B ⊆时，称A 是B 的子集；当AB 子时，称A 是B 的真子集；当A =B 时，称A是与B 相等的集合，两集合的元素完全相同.3． 集合的运算(1) 全集：如果集合S 含有我们所研究的各个集合的全部元素，那么这个集合就可以看作一个全集，通常用U 来表示.一切所研究的集合都是这个集合的子集.（2） 交集：由属于A 且属于B 的所有元素组成的集合，叫做集合A 与B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ={}x x A x B ∈∈且.(3) 并集：由属于A 或属于B 的所有元素组成的集合，叫做集合A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ={}x x A x B ∈∈或.(4) 补集：集合A 是集合S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合叫做A 的补集（或余集），记作A S ð，即A S ð={},x x S x A ∈∉但.4． 常见结论与等价关系(1) 若集合A 中有n （n ∈N +）个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有2n-1个，非空真子集有2n -2个. (2) A ∩B =A A B ⇔⊆;A ∪B =A A B ⇔⊇.(3)ðU (A ∩B )=()()U U A B 痧，ðU (A ∩B )=()()U U A B 痧.课堂导学知识点1 集合中元素的性质【例1】设a ，b ∈R ，集合{1,a +b ,a }=0,,b b a ⎧⎫⎨⎬⎭⎩，求b -a . ［思维引导］ 本题通过集合相等，考查集合中元素的关系.由于集合中元素性质的无序性,必须分别对应讨论，但从特殊观察上要能抓住关键的元素0进行分析. ［解答］∵a ≠0,∴a +b =0.∴ba=-1. ∴a =-1,b =1.∴b -a =2.［精要点评］本题利用集合元素的互异性与无序性，先找到特殊的元素0及a 处于分母位置作为突破口，从而逐个求出a ,b .因此，我们在处理问题时要注意观察题目的特点. 集合之间的关系2 知识点2 集合之间的关系【例2】已知集合A ={x |－2≤x ≤7}，B ={x |m +1<x <2m －1}且B ≠∅.若B A ⊆，求m 的取值范围.［思维引导］本题考查集合之间的关系，所给集合是用不等式表示的关于集合的包含关系，从而得知集合之间的元素关系，然后利用数轴来处理.［解答］∵B ⊆A ，且B ≠∅，∴(]12,217,24,2,4.121,m m m m m m +≥-⎧⎪-≤<≤∈⎨⎪+<-⎩得即 ［精要点评］学会利用数轴来处理有关不等式表示的集合关系问题，要注意端点是否取到.【变式拓展】已知集合A ={x |－2≤x ≤7}，B ={x |m +1<x <2m －1}.若A ∪B =A ，求m 的取值范围. ［解答］∵A ∪B=A ，∴B ⊆A .（1） 若B=∅，则m+1≥2m-1，即m ≤2；（2） 若B ≠∅，则12217,2 4.121,m m m m m +≥-⎧⎪-≤<≤⎨⎪+<-⎩得综上所述,(],4.m ∈-∞.知识点3 集合的运算【例3】已知全集U ={x |-1≤x ≤4}，A ={x |x 2-1≤0}，B ={x |0<x ≤3}，求A ∩B ，A ∪B ，ðU A ，(ðU B )∩A .［思维引导］本题主要考查集合的各种运算，首先要把集合A 化成最简单的集合形式，由于都是不等式形式，所以我们可以用数轴的方式进行处理，要注意端点的取舍.［解答］∵A ＝{x |x 2-1≤0}={ x |-1≤x ≤1}， ∴A ∩B={x |0<x ≤1}，A ∪B={x |-1≤x ≤3}，U A ð={x |1<x ≤4}，U B ð={x |-1≤x ≤0或3<x ≤4}.∴()UB ð A ={x |-1≤x ≤0}.［精要点评］对集合进行运算，首先要化简集合，再根据集合的类型选择数轴，或韦恩图，或转化为函数来处理.【变式拓展】（2009·苏、锡、常、镇二模）已知集合A ={x |x 2-2x -3≤0,x ∈R }，B ={x |x 2-2mx +m 2-4≤0,x ∈R ,m ∈R }．(1) 若A ∩B =[0,3]，求实数m 的值； (2) 若R A B ⊆ð，求实数m 的取值范围．［解答］由已知得：A ={x |-1≤x ≤3}，B={x |m-2≤x ≤m+2}． (1) ∵A ∩B=［0,3］，∴20,23,m m -=⎧⎨+≥⎩∴2,2.1,m m =⎧=⎨≥⎩即m (2) R B ð={x |x <m -2或x >m +2}．∴R A B ⊆ð,∴m -2>3或m +2<-1.∴m >5或m <-3,即∈(),3-∞-()5,.+∞【备讲例题】设A ={x |x 2+4x =0}，B={x |x 2-ax -6a <0}.若A ∩B=A ，求a 的取值范围.［解答］由A ∩B =A ，知A ⊆B . 而A ={0,-4}，令f （x ）=x 2-a x -6a , 得()(0)60,8,8,.(4)16460,f a a f a a =-<⎧>∈+∞⎨-=+-<⎩所以即a规范答题赏析（2009·淄博一模）（本小题满分12分）已知集合A ={x ||x -2|≤a }，B ={x |x 2-5x +4≥0}.若A ∩B =∅，求实数a 的取范围.［规范解答］① 当a <0时，A =∅，显然A ∩B =∅成立.………………………………2分 ② 当a ≥0时，A ≠∅.A ={x |2-a ≤x ≤2+a },……………………………………………4分B ={x |x ≤1或x ≥4},……………………………………………………………………………6分由A ∩B =∅，得21,24,0,a a a ->⎧⎪+<⎨⎪≥⎩……………………………………………………………10分解得0≤a <1.…………………………………………………………………………………11分 综上所述，a 的取值范围为（-∞，1）. …………………………………………………12分［要点反思］ (1) 空集是一种不含任何元素的特殊集合，在解题中很容易被忽视，应引起足够的重视.(2) 分类讨论是一种重要的数学思想，它是思维是否严谨的重要体现.在分类讨论的过程中，要从简单的讨论着手，并注意讨论的完整性，最后更不要忘记总结结论.总结规律1．准确把握集合的有关概念与关系，能熟练地将集合语言、数学语言和图形语言进行转化.在分类讨论时要注意空集的情况，以及在集合关系转化时要特别注意端点.2. 解决集合问题时，一般经历化简、找关系、列式子、解答四个过程，主要思想方法是数形结合思想（利用数轴和韦恩图）、转化思想（转化集合的表达形式或化简问题）和分类讨论思想（把问题分成几个层次来处理）.3. 高考考查本课内容时，往往会涉及其他章节的内容,因此，我们在处理问题时,一定要及时提取其他章节处理问题的方法. 温馨提醒本课时结束后，请使用《配套检测与评估》相应的第1课时.第2课四种命题与充要条件课前热身激活思维1．(2009·淮安调研)已知集合A={3，m2},B={-1,3,2m-1}.若A B，则实数m的值为___________.[答案]1[解析]由m2=2m-1,得m=1.经验证,满足互异性.2．(2009·重庆卷文)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是“___________”.[答案]若一个数的平方是正数，则它是负数[解析]因为一个命题的逆命题是将原命题怕条件与结论进行交换,所以逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”.3．命题“若a>1,则a2>1”的逆否命题是“___________”.[答案]若a2≤1,则a≤1[解析]因为一全命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换并否定，所以其逆命题为“若a2≤1,则a≤1”4．(2009·天津卷文改编)设x∈R,则“x=1”是“x3=x”的___________条件.[答案]充分不必要[解析]因为x3=x,解得x=0,1或-1.显然条件表示的集合小，结论表示的集合大，所以由集合的包含关系，我们不难得出结论. 5．(2009·安徽卷文)“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的___________条件.[答案]必要不充分[解析]当a>b且c>d时，必有a+c>b+d；当a+c>b+d时，可能有a>d且c>b.故填“必要不充分”知识梳理1． 记“若p 则q ”为原命题，则否命题为“若非p 则非q ”，逆命题为“若q 则p ”，逆否命题为“若非q 则非p ”.其中互为逆否命题的两个命题同真假，即等价，原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价.因此，四种命题为真的个数只能是偶数个.2． 对命题“若p 则q ”而言，当它是真命题时，即p ⇒q ，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；当它是假命题时，即pq ，p 是q 的非充分条件，q 是p 的非必要条件.3． ① 若p ⇒q ，但qp ，则p 是q 的充分不必要条件；② 若pq ，但q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；③ 若p ⇒q ，且q ⇒p ，即p ⇔q ，则p 是q 的充分必要条件；④ 若pq ，且qp ，则p 是q 的即不充分也不必要条件.4． 证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).课堂导学知识点1 四种命题及其关系【例１】 写出“若x =3且y =2，则x +y =5”的逆命题、否命题和逆否命题. [思维引导]本题考查四种命题之间的转换，抓住条件与结论时行改写.[解答]逆命题:“若x +y =5，则x =3且y =2”;否命题:“若x ≠3或y ≠2，则x +y ≠5”;逆否命题:“若x +y ≠5，则x ≠3或y ≠2”. [精要点评]四种命题的转换，要抓住“若p ,则q ”的结构时行转换，先写成“若q ,则p ”，其次要注意常见的否定转换. 【变式拓展】写出“有一组对边平行且相等的四边形是菱形”的逆命题、否命题和逆否命题. [解答]将原命题改写成“若一个四边形有一组对边平行且相等，则这个四边形是菱形”. 逆命题:“若一个四边形是菱形，则这个四边形有一组对边平行且相等”； 否命题:“若一个四边形有一组对边不平行或不相等，则这个四边形不是菱形”； 逆否命题:“若一个四边形不是菱形，则这个四边形有一组对边不平行或不相等”. 【备讲例题】写出“若x 2<1,则-1<x <1”的逆命题、否命题和逆否命题；［解答］逆命题:“若-1<x <1，则x 2<1”；否命题:“若x 2≥1，则x ≥1或x ≤-1”；逆否命题:“若x ≥1或x ≤-1，则x 2≥1”. 知识点2 充要条件的判定与运用【例2】已知20,:100x p x x ⎧+≥⎧⎫⎪⎨⎨⎬-≤⎩⎭⎪⎩,q :{x |1-m ≤x ≤1+m ,m ＞0}. (1) 若m =1,则p 是q 的什么条件?(2) 若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.［思维引导］问题(1)考查充要条件的判定,我们需要从“充分”和“必要”两个方面考查,并且用集合方法处理；问题（2）考查充要条件的应用,根据“若p 是q 的充分不必要条件”,得出所对应集合的关系,从而求出实数m 的取值范围.[解答］(1) 因为{20,:210},100x p xx x x ⎧+≥⎧⎫⎪=-≤≤⎨⎨⎬-≤⎩⎭⎪⎩q :{x |1-m ≤x ≤1+m ,m ＞0}={x |0≤x ≤2},显然{x |0≤x ≤2}{x |-2≤x ≤10}， 所以p 是q 的必要不充分条件. (2) 由(1)知,p:{x |-2≤x ≤10}. 因为p 是q 的充分不必要条件,所以01211012110m m m m m >⎧⎪-≤-⎪⎨+≥⎪⎪-=-+=⎩与不同时相等,解得m ≥9，即m [)9,.∈+∞［精要点评］处理充要性问题，要先化简，再把充要性转化为集合的包含关系，然后再列关系式解之.【变式拓展】 把(2)中“若p 是q 的充分不必要条件”改为“若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件”，求m 的取值范围. ［解答一］直接法求出p ⌝={x |x >10或x <-2}，q ⌝={x |x >m+1或x <1-m}.由“⌝p 是q ⌝的必要不充分条件”，01211012x m m m >⎧⎪-≤-⎪⎨+≥⎪⎪-=-⎩得与1+m=10不同时相等解得m ≥9，即[)9,.∈+∞［解答二］先根据互为逆否命题同真假把“若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件”转化为“若p 是q 的充分不必要条件”，再用上面的过程解答.【备讲例题】在△A BC 中,“∠A =∠B ”是“cos A =cosB ”的什么条件? ［解答］∠A =∠B ⇒cos A =cosB,反之也成立,所以是充要条件. 知识点3 充要条件的证明【例3】 已知函数f (x )是R 上的增函数，a ，b ∈R ,求证：f (a )+f (b)≥f (-a )+f (-b )的充要条件是a +b ≥0. ［思维引导］本题考查充要条件的证明，涉及到函数的单调性，对充分性与必要性的证明要灵活变化命题. ［解答］(1) 充分性，即已知a +b ≥0，求证:f （a ）+f （b ）≥f （-a ）+f （-b ）. ∵a +b ≥0, ∴a ≥-b ,b ≥-a .∴f （a ）≥f （-b ）,f （b ）≥f （-a ）. ∴f （a ）+f （b ）≥f （-a ）+f （-b ）.（2） 必要性，即已知f （a ）+f （b ）≥f （-a ）+f （-b ），求证:a +b ≥0. 由于直接证明比较困难，所以可以用反证法. 假设a +b <0, ∴a <-b ,b <-a .∴f （a ）<f （-b ）,f （b ）<f （-a ） ∴f (a )+f (b )<f (-a )+f (-b )， 与已知矛盾， 所以必要性成立.综合（1）（2），可得f （a ）+f （b ）≥f （-a ）+f （-b ）的充要条件是a +b ≥0.［精要点评］充要条件的证明需要注意三个方面:（1） 从两个方面来证明，即充分性和必要性;（2） 注意充分、必要的方向;（3） 当直接解答较困难时，可以考虑命题的转化和反证法.规范答题赏析 (2008·江苏卷)(本小题满分12分)若f 1(x )=13x p -，f 2（x ）=2·23x p -，x ∈R ,p 1,p 2为常数，且112212(),()(),()(),()().f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨>⎩（1） 求f （x ）=f 1（x ）对所有实数成立的充要条件（用p 1,p 2表示）；（2） 略. ［规范解答］ （1） f （x ）=f 1（x ）恒成立⇔f 1(x )≤f 2(x )⇔13x p -≤2·23x p -⇔123x p x p ---≤3log 23………………………………………………2分⇔|x -p 1|-|x -p 2|≤log 32.………………………………………………………………………3分因为|x -p 1|-|x -p 2|≤|（x -p 1）-（x -p 2）|=|p 1-p 2|,所以，只需| p 1-p 2|≤log 32恒成立.………5分 综上所述，f （x ）=f 1(x )对所有实数成立的充要条件是| p 1-p 2|≤log 32.…………………6分 (2)略.［要点反思］ 求充要条件即是求其等价条件，注意等价转化.总结规律(1) 写一个命题的其他三个命题时,首先要注意转化为标准的“若p 则q ”的结构，再进行转换;其次要注意否定中的“或”与“且”的转化. (2) 在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论;其次，要从两个方面即“充分”与“必要”分别考查.判定时，对于有关范围的问题可以从集合观点看，如p ,q 对应的范围为集合A ，B ，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A 、B 互为充要条件.(3) 充要条件的证明要注意从两个方面来证明，即充分性和必要性.如果是证不必要，或是不充分，只需要举出特殊例子否定即可. 温馨提醒本课时结束后，请使用《配套检测与评估》相应的第2课时.第3课 简单的逻辑联结词、全称量词和存在量词课前热身激活思维1． 已知命题p :a ∈M ={x |x 2-x <0}；命题q :a ∈N ={x ||x |<2},则p 是q 的___________条件． ［答案］充分不必要［解析］a ∈M ={x |x 2-x <0}={x |0<x <1}，a ∈N ={x ||x |<2}={x |-2<x <2},所以p 是q 的充分不必要条件.2． (2009·天津卷理改编)命题“0x ∃∈R ,使2x 0≤0”的否定是___________. ［答案］∀x ∈R ，2x >03． 下列是全称命题的有___________.① 末位是0的整数，可以被2整除；② 有些三角形不是等腰三角形； ③ 正四面体中两侧面的夹角相等；④ 有的菱形是正方形. ［答案］①③4． 若命题“p ⌝或q ⌝”是假命题，则下列各结论中正确的是___________. ① 命题“p 且q ”是真命题；② 命题“p 且q ”是假命题； ③ 命题“p 或q ”是真命题；④ 命题“p 或q ”是假命题. ［答案］①③［解析］命题“⌝p 或⌝q ”是假命题，则⌝p 、⌝q 都是假命题，所以p 、q 都是真命题，所以“p 且q ”是真命题，“p 或q ”也是真命题.5． (2009·金陵中学三模）若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是___________． ［答案］［1,2)［解析］x ∈［2,5］或x ∈{x |x <1或x >4}={x |x ≥2或x <1},而“x ∈［2,5］或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，所以x 的取值范围是［1,2). 知识梳理1. 全称量词我们把表示全体的量词称为全称量词.对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示. 含有全称量词的命题，叫做全称命题.如“对任意实数x ∈M ,都有p （x ）成立”简记成“,()x M p x ∀∈”.2. 存在量词我们把表示部分的量词称为存在量词.对应日常语言中的“存在一个”“至少有一个”“有个”“某个”“有些”“有的”等词，用符号“∃”表示. 含有存在量词的命题，叫做存在性命题.“存在实数x 0∈M ，使p （x 0）成立”简记成“00,()x M p x ∃∈”.3． 简单逻辑联结词有或（符号为∨），且（符号为∧），非（符号为⌝）. 4． 命题的否定：“,()x M p x ∀∈”与“,()x M p x ∃∈⌝”互否定.5. 复合命题的真假：对p 且q 而言，当q 、p 均为真时，其为真；当p 、q 中有一个为假时，其为假.对p 或q 而言，当p 、q 均为假时，其为假；当p 、q 中有一个为真时，其为真；当p 为真时,p ⌝为假；当p 为假时,p ⌝为真.6． 常见词语的否定如下表所示：课堂导学知识点1 含逻辑联结词命题的判定【例1】已知命题p :对任意实数a ，都有|a |>0;命题q:存在数列{a n }既是等差数列，又是等比数列.试判定“p 或q ”“p 且q ”“p ⌝”“p ⌝”的真假.［思维引导］本题考查复合命题的真假，对于复合命题的真假判定，首先要判定每一个命题的真假，再根据真值表判定复合命题的真假. ［解答］由于当a =0时，命题“对任意实数a ，有|a |>0”是假命题，所以命题p 是假命题.因为数列a n =1既是等差数列，又是等比数列，所以命题q 是真命题.所以“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题、“⌝p ”为真命题、“⌝q ”为假命题.［精要点评］判断命题的真假要注意：全称命题为真要证明，为假时要举反例；存在性命题为真时要举一个例子，为假要证明全称为假.【变式拓展】写出由下述各命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假. (1) p ：连续的三个整数的乘积能被2整除，q ：连续的三个整数的乘积能被3整除. (2) p ：对角线互相垂直的四边形是菱形，q ：对角线互相平分的四边形是菱形. ［解答］（1）p 或q ：连续的三个整数的乘积能被2或3整除; p 且q ：连续的三个整数的乘积能被2和3整除;⌝p ：连续的三个整数的乘积不能被2整除.∵连续的三个整数中有一个（或两个）是偶数，且有一个是3的倍数， ∴p 真，q 真.∴“p 或q ”与“p 且q ”均为真，而“⌝p ”为假.（2） 根据真值表，只能用逻辑联结词联结两个命题，不能写成简单形式. p 或q ：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形; p 且q ：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形;⌝p ：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.∵p 假,q 假，∴“p 或q ”与“p 且q ”均为假，而“⌝p ”为真. 【备讲例题】（2009·辽宁卷文改编）有下列4个命题:（1） p 1:∃x ∈（0,+∞）,11;23x x⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2） p 2: ∃x ∈（0,1）,12log x >13log x ;(3) p 3:∀ x ∈（0,+∞）,121log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭;(4) p 4: ∀x ∈0,13, 131log 3xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭.其中，真命题有_________. ［答案］(2)(4)知识点2 含量词的命题的否定【例2】 写出下列命题的否定形式，并判定其真假. （1） p :不论m 取何实数，方程x 2+x -m =0必有实数根； （2） q :存在一个实数x ，使得x 2+x +1≤0； （3） r :等圆的面积相等，周长相等； （4） s :对任意角α，都有sin 2α+cos 2α=1.［思维引导］ 本题考查命题的否定形式，要分析其是全称命题还是存在性命题，要抓住本质，然后根据其否定形式来判断其真假. ［解答］（1） 否定为“∃m ∈R ，使方程x 2+x -m =0没有实数根”，由于Δ=1+4m <0有解，所以 ⌝p 为真；（2） 否定为“∀x ∈R ，有x 2+x +1>0”，由于x 2+x +1=213024x ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，所以⌝q 为真；（3） 否定为“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识得知，⌝r 为假； （4） 否定为“∃α∈R ，使sin 2α+cos 2α≠1”，由三角知识，显然错误，所以⌝s 为假.［精要点评］要写一个命题的否定，得先分清其是全称命题，还是存在性命题，注意与否命题区别.对于真假，可以直接判定，也可以先判定原命题，再判定其否定. 知识点3 命题的真假问题【例3】 已知命题p :方程x 2+mx +1=0有两个不相等的负数根；命题q :方程4x 2+4(m -2)x +1=0无实根．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．［解答］240,: 2.0,m p m m ⎧∆=->∴>⎨-<⎩ q:Δ=16（m -2）2-16=16（m 2-4m +3）<0，∴1<m <3． ∵p 或q 为真，p 且q 为假， ∴p 真，q 假或p 假，q 真．∴21m m >⎧⎨≤≥⎩或1<m 3,或2,13,m m ≤⎧⎨<<⎩故m ≥3或1<m ≤2．即(][)1,23,.m ∈+∞【变式拓展】（2009·通州一模）若命题“∃x∈[1,2],使x2+2x+a≥0”是真命题，求实数a的取值范围. ［解答］令f（x）=x2+2x+a.先求其否定命题：∀x∈［1,2］,有x2+2x+a<0.即(1)0,3,8.(2)08f aaf a<<-⎧⎧⇒⇒<-⎨⎨<<-⎩⎩所以，所求实数a的取值范围为［-8，+∞）.【备讲例题】若命题“∃a∈［1,3］,使a x2+(a-2)x-2>0”是真命题，求实数x的取值范围. ［解答］令f(a)=a x2+(a-2)x-2=(x2+x)a-2x-2.先求其否定命题：∀a∈［1,3］,有(x2+x)a-2x-2≤0，即12,(1)0,21.2(3)0313xfxf x-≤≤⎧≤⎧⎪⇒⇒-≤≤⎨⎨≤-≤≤⎩⎪⎩所以，所求实数x的取值范围为（-∞,-1）2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭总结规律1. 判断一个命题是全称命题还是存在性命题时，要抓住其本质含义是全部还是部分，一般我们学过的定理都是全称命题.2．要写一个命题的否定，得先分清其是全称命题还是存在性命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；对于命题否定的真假，可以直接判定，也可以先判定原命题，再判定其否定.判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；存在性命题为真需举一个例子，为假则要证明全称为假.3．要把握命题的形成、相互转化，会根据复合命题，或命题的否定来判断简单命题的真假.4．简易逻辑联结词内容的考查注重基础、注重交汇，较多地考查简易逻辑与其他知识的综合问题，要注意其他知识的提取与应用，一般先化简转化命题，再处理关系.温馨提醒本课时结束后，请使用《配套检测与评估》相应的第3课时.第4课性集合与常用逻辑用语的综合应用课前热身激活思维1．(2009·广州二模)命题“∃x∈R，x2-2x+1<0”的否定是___________.［答案］∀x ∈R ，x 2-2x +1≥02． 已知如图，其中A ，B 为全集U 的子集，则图中阴影部分表示的集合（用含有A 、B 、U 的式子表示）为___________.［答案］U ð（A ∪B ）或U UA B痧3． (2009·浙江卷文)“x >0”是“x ≠0”的___________. ［答案］充分而不必要条件［解析］对于“x >0”⇒“x ≠0”,反之不一定成立，因此“x >0”是“x ≠0”的充分而不必要条件． 4． (2009·广州调研)命题“若a >b ，则a -1>b -1”的否命题是___________. ［答案］若a ≤b,则a -1≤b-15． （2009·北京卷文）设A 是整数集的一个非空子集.对于k ∈A ，如果k -1∉A 且k +1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”.给定S ={1,2,3,4,5,6,7,8,}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个___________.［答案］6［解析］依题意可知，“孤立元”必须是没有与k 相邻的元素，因而无“孤立元”3个元素的集合一定是相邻的3个数, 因此，符合题意的集合是：{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8}共6个.课堂导学知识点1 集合关系与运算综合【例１】 设A ={x |x 2+4x =0}.若B ={x |x 2+2(a +1)x +a 2－1=0},A ∩B =B ,求实数a 的值. [思维引导]本题的关键是把A B =B 转化为B ⊆A . ［解答］A ={x |x 2+4x =0}={0，－4}. ∵A ∩B =B ,∴B ⊆A .（1） 若B =∅，则Δ=4［（a +1）2-（a 2-1）］<0,∴a <-1.（2） 若B ={0}，则把x =0代入方程得a =±1. 当a =1时，B ={0,-4}≠{0};∴当a =-1时,B ={0}. ∴a =-1.（3） 若B ={-4}，则把x =-4代入方程得a =1或a =7. 当a =1时，B ={0，-4}≠{-4},∴a ≠1; 当a =7时，B ={-4，-12}≠{-4},∴a ≠7. （4） 若B ={0，-4}，则a =1. 综上所述,a ≤-1或a =1.［精要点评］不要忘记B =∅，B =A 的情况【变式拓展】 设A ={x |x 2+4x <0},B ={x |x 2+2(a +1)x +a 2－1<0}.若A ∩B =A ,求实数a 的值. ［解答］A ={x |x 2+4x <0}={x |-4<x <0}. ∵A ∩B =A ,∴A ⊆B .令f （x ）=x 2+2(a +1)x +a 2－1, ∴(0)0,1.(4)0,f a f ≤⎧∴=⎨-≤⎩知识点2 常用逻辑关系的综合【例2】（2009·广州一模改编）已知p ：关于x 的不等式x 2+2a x -a >0的解集是R ，q ：-1<a <0.试判定p 是q 的什么条件. ［思维引导］ 本题考查充要条件问题，要先化简命题p,再从充分性与必要性两个方面判断. ［解答］∵关于x 的不等式x 2+2a x -a >0的解集是R ， ∴Δ=（2a ）2-4（-a ）<0，解得-1<a <0， 即p ：-1<a <0. ∴p 是q 的充要条件.【变式拓展】已知p ：关于x 的不等式x 2+a x -a >0的解集是R ，q ：-1<a <0.若“p 或q ”为真“p 且q ”为假，求a 的取值范围. ［解答］由关于x 的不等式x 2+ax -a >0的解集是R ，得Δ=a 2-4（-a ）<0，解得-4<a <0.即p ：-4<a <0. 若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则p 、q 中有且仅有一个为真. （1） p 真、q 假40,4 1.10a a a a -<<⎧⇒-<≤-⎨≤-≥⎩或（2）q 真、p 假10,.40a a a a -<<⎧⇒∈∅⎨≤-≥⎩或 所以a ∈（-4,-1］.【备讲例题】已知p ：关于x 的不等式x 2+2ax -3a 2>0的解集为{x ｜-3a ＜x ＜a }，q ：-1<x <0.若p 是q 必要不充分条件，求正数a 的取值范围. ［解答］关于x 的不等式x 2+2ax -3a 2>0的解为-3a <x <a . ∵p 是q 必要不充分条件，∴0,1313031a a a a a >⎧⎪-≤-⇒≥⎨⎪≥-≤-⎩与等号不能同时成立（取等号时满足条件）. ∴正数a 的取值范围为1,.3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭知识点3 集合与逻辑关系的综合【例3】设A ={x |-2≤x ≤a }，B ={y |y =2x +3,x ∈A }，C ={z |z =x 2,x ∈A }，求使C ⊆B 的充要条件.［思维引导］ 先化简集合B ，C ，注意集合是值域，再根据子集关系利用数轴来处理，求充要条件就是找等价关系. ［解答］B ={y |y =2x +3,x ∈A }={y |-1≤y ≤2a +3}.（1） 当-2≤a <0时，C ={z |z =x 2,x ∈A }={z |a 2≤z ≤4}.由C ⊆B ，得234,.20a a a +≥⎧⇒∈∅⎨-≤<⎩（2）当0≤a ≤2时，C ={z |z =x 2,x ∈A }={z |0≤z ≤4}.由C ⊆B ，得234,12.022a a a +≥⎧⇒≤≤⎨≤≤⎩（3）当a >2时，C ={z |z =x 2,x ∈A }={z |0≤z ≤a 2}.由C ⊆B ，得22,2 3.23a a a a >⎧⇒<≤⎨≤+⎩综上所述,使C⊆B的充要条件是13. 2a≤≤［精要点评］对集合问题要分清集合元素是什么，如不清楚，则先根据所涉及的知识化简、讨论，然后根据条件列关系式解答.总结规律本章内容处理的问题多数是以其他章节知识为核心内容，因此在解答时要联想对应章节的知识和方法.一般解题思路为：(1）认识是什么知识；（2）要不要化简转化，使命题或集合清晰化；（3）根据提供的条件列出关系式；（4）处理关系式.此外，本章知识有许多需要注意的地方：（1）集合中的空集；（2）利用互为逆否命题进行等价转化；（3）充要条件要注意两种说法和两种方法；（4）注意量词定义的理解.温馨提醒本课时结束后，请使用《配套检测与评估》相应的第4课时.。

江苏省2014届一轮复习数学试题选编30：常用逻辑用语（教师版）填空题错误！未指定书签。

．（2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题）“3x >”是“5x >”的_____条件(请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个合适的填空).【答案】必要不充分错误！未指定书签。

．（江苏省扬州市2013届高三上学期期中调研测试数学试题）已知命题p :|52|3x -<,命题q :21045x x <+-,则p 是q 的____条件.( 在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”、“充要”选择并进行填空)【答案】充分不必要错误！未指定书签。

．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷 ）已知下列两个命题: p :x ∀∈+R ,不等式1x ≥恒成立;q :2log (1)a y x ax =-+(0,1)a a >≠有最小值.若两个命题中有且只有一个是真命题,则实数a 的取值范围是____________..【答案】(2,4)错误！未指定书签。

．（江苏海门市2013届高三上学期期中考试模拟数学试卷）命题"1),,0(:"xx x p >+∞∈∃,命题p 的否定为命题q ,则q 的真假性为______.(填真或假).【答案】假错误！未指定书签。

．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷 ）给出定义:若2121+≤<-m x m (其中m 为整数),则m 叫做离实数x 最近的整数,记作{x },即m x =}{.在此基础上给出下列关于函数}{)(x x x f -=的四个命题: ①函数)(x f y =的定义域是R,值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0;②函数)(x f y =的图像关于直线)(2Z k k x ∈=对称;③函数)(x f y =是周期函数,最小正周期是1;④函数)(x f y =在⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数.则其中真命题是_______________.【答案】错误！未指定书签。

A⊆ B且B ⊆ A
⇔A＝B
A⊆B 或_____ B⊇A
_____ AB 或 BA ∅ ⊆A ∅ __B(B≠∅)
真子集
空集
空集是 任何集合 的子集，是 _____ 任何
非空集合 的真子集
[探究]
3.对于集合A，B，若A∩B＝A∪B，则A，
B有什么关系？
提示：A＝B.假设A≠B，则A∩BA∪B，与A∩B ＝A∪B矛盾，故A＝B.
1 1，－1， . A∪B＝ 2
(3)依题意及韦恩图得，B∩(∁UA)＝{5,6}．
[答案]
(1){1,2,4,6}
1 ，1，－1 (2) 2
(3){5,6}
—————
1.集合的运算口诀
————————————
集合的交、并、补运算口诀如下：交集元素仔细找，属 于 A 且属于 B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集 U 是大范围，去掉 U 中 A 元素，剩余元素成补集. 2.解决集合的混合运算的方法
[例 3] (1)(2012· 江苏高考)已知集合 A＝{1,2,4}，B＝{2，
4,6}，则 A∪B＝________. (2)(2012· 威海模拟改编)已知集合 A＝{1,2a}，B＝{a，b}， 若
1 A∩B＝2，则
A∪B＝________.
(3)(2012· 武汉模拟)已知 A，B 均为集合 U＝{1,2,3,4,5,6} 的子集， A∩B＝{3}， UB)∩A＝{1}， UA)∩(∁UB)＝{2,4}， 且 (∁ (∁ 则 B∩(∁UA)＝________.
[自主解答] (1)∵A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}， ∴A∪B＝{1,2,4,6}． (2)由

2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第1章《集合与常用逻辑用语》（第2课时）（新人教A 版）一、选择题1．下列命题中的假命题是( )A ．∃x ∈R ，lg x ＝0B ．∃x ∈R ，tan x ＝1C ．∀x ∈R ，x 3>0D ．∀x ∈R,2x>0解析：选C.对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0，正确；对于B ，当x ＝π4时，tan x ＝1，正确；对于C ，当x <0时，x 3<0，错误；对于D ，∀x ∈R,2x>0，正确．2．(2011·高考北京卷)若p 是真命题，q 是假命题，则( ) A ．p ∧q 是真命题 B ．p ∨q 是假命题 C ．綈p 是真命题 D ．綈q 是真命题解析：选D.根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D 正确．3．(2012·高考辽宁卷)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0解析：选C.利用“全称命题的否定是存在性命题”求解．命题p 的否定为“∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0”．4．(2013·日照质检)下列命题中，真命题是( )A ．∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12B ．∀x ∈(0，＋∞)，e x＞x ＋1C ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1D ．∀x ∈(0，π)，sin x ＞cos x解析：选B.∵sin 2x2＋cos 2x2＝1，∴A 错．∵x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34，∴C 错．又∵sin π6＜cos π6，∴D 错．故选B.5．(2013·大连质检)已知命题p ：∃a ，b ∈(0，＋∞)，当a ＋b ＝1时，1a ＋1b＝3；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1≥0，则下列命题是假命题的是( )A ．綈p ∨綈qB ．綈p ∧綈qC ．綈p ∨qD ．綈p ∧q解析：选B.由基本不等式可得：1a ＋1b ＝(1a ＋1b )×(a ＋b )＝2＋b a ＋ab≥4，故命题p 为假命题，綈p 为真命题；∀x ∈R ，x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34>0，故命题q 为真命题，綈q 为假命题，綈p ∧綈q 为假命题，故选B.二、填空题6．已知命题p ：“∃x ∈R ＋，x ＞1x”，命题p 的否定为命题q ，则q 是“________________”；q 为________命题．(填“真”或“假”)解析：x ＞1时，x ≤1x为假命题．答案：∀x ∈R ＋，x ≤1x假7．命题“∀x ∈R ，∃m ∈Z ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1”是________命题．(填“真”或“假”)解析：由于∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34，因此只需m 2－m <34，即－12<m <32，所以当m ＝0或m ＝1时，∀x ∈R ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1成立，因此命题是真命题．答案：真8．给定下列几个命题：①“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件；②若“p ∨q ”为真，则“p ∧q ”为真；③“等底等高的三角形是全等三角形”的逆命题．其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号)解析：①中，若x ＝π6，则sin x ＝12，但sin x ＝12时，x ＝π6＋2k π或5π6＋2k π(k ∈Z )．故“x ＝π6”是“sin x ＝12”的充分不必要条件，故①为真命题；②中，令p 为假命题，q 为真命题，有“p ∨q ”为真命题，而“p ∧q ”为假命题，故②为假命题；③为真命题．答案：①③ 三、解答题9．(2013·德州质检)写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)q ：所有的正方形都是矩形；(2)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0.解：(1)綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题．(2)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，是真命题．10．已知命题p ：方程2x 2－2 6x ＋3＝0的两根都是实数；q ：方程2x 2－2 6x ＋3＝0的两根不相等，试写出由这组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的复合命题，并指出其真假．解：“p 或q ”的形式：方程2x 2－2 6x ＋3＝0的两根都是实数或不相等． “p 且q ”的形式：方程2x 2－2 6x ＋3＝0的两根都是实数且不相等．“非p ”的形式：方程2x 2－2 6x ＋3＝0无实根． ∵Δ＝24－24＝0，∴方程有两相等的实根．∵p 真，q 假，∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“非p ”为假．一、选择题1. 已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2≥a ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2]B ．(－2,1)C ．(－∞，－2]∪{1}D ．[1，＋∞)解析：选C.因为命题“p 且q ”是真命题，故命题p 与命题q 均为真命题．由命题p 为真命题，可知a ≤1.由命题q 是真命题，可知Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，解得a ≤－2或a ≥1.综上可知a 的取值范围为(－∞，－2]∪{1}．2．(2013·抚顺六校第二次检测)下列命题中，真命题是( )A ．∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin x ＋cos x ≥2B ．∀x ∈(3，＋∞)，x 2＞2x ＋1C ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1D ．∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan x ＞sin x 解析：选B.对于选项A ，sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，∴此命题不成立；对于选项B ，x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x ＞3时，(x －1)2－2＞0，∴此命题成立；对于选项C ，x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＞0，∴x 2＋x ＝－1对任意实数x 都不成立，∴此命题不成立；对于选项D ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，tan x ＜0，sin x ＞0，命题显然不成立．故选B.二、填空题3．设p ：关于x 的不等式a x >1的解集为{x |x <0}，q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则a 的取值范围是________．解析：p 真时，0<a <1；q 真时，ax 2－x ＋a >0对x ∈R 恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝1－4a 2<0，即a >12；p ∨q 为真，p ∧q 为假，则p 、q 应一真一假：①当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1a ≤12⇒0<a ≤12；②当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0或a ≥1a >12⇒a ≥1.综上，a ∈(0，12]∪[1，＋∞)．答案：(0，12]∪[1，＋∞)4．已知m 、n 是不同的直线，α、β是不重合的平面． 命题p ：若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ； 命题q ：若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α∥β.下面的命题中，①p ∨q ；②p ∧q ；③p ∨綈q ；④綈p ∧q . 真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．解析：命题p 是假命题，命题q 是真命题，所以①④是真命题． 答案：①④ 三、解答题5．f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a ＞0)，∀x 1∈[－1,2]，∃x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，求a 的取值范围．解：由于函数g (x )在定义域[－1,2]是任意取值的，且必存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，因此该问题等价于函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集，又因函数f (x )的值域是[－1，3]，函数g (x )的值域为[2－a,2＋2a ]，所以则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即a ≤12，又因a ＞0，所求a 的取值范围是(0，12]．。

一．基础题组1. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】若集合{23},{14}A x x B x x x =-≤≤=<->或，则集合A B = ．2. 【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】“p q ∨为真命题”是“p ⌝为假命题”成立的 条件．3. 【江苏省诚贤中学2014届高三数学月考试题】已知集合{}(1)0P x x x =-≥，Q ={})1ln(|-=x y x ，则P Q = ．4. 【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】已知集合{3,1,1,2}A =--，集合[0,)B =+∞，则______A B = .5. 【江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考】已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==R x y y A x ,21|，{}R x x y y B ∈-==),1(log |2，则=⋂B A ．6. 【苏州市2014届高三调研测试】已知集合A = { x | x < 2 }，B = { -1，0，2，3 }，则A∩B = ▲ ．7. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考】设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则U AB = （）ð ．8. 【江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考】已知命题:p “若=，则||||=”，则命题p 及其逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是 ．二．能力题组1. 【江苏省诚贤中学2014届高三数学月考试题】由命题“02,2≤++∈∃m x x R x ”是假命题，求得实数m 的取值范围是),(+∞a ，则实数a 的值是 ．2. 【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】设函数()cos(2)f x x ϕ=+，则“()f x 为奇函数”是“2πϕ=”的 条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）3. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试】已知集合A ＝{x ｜x ＞2，或x ＜－1}，B ＝{x ｜a x b ≤≤}，若A B R = ，A B ={x ｜24x <≤}，则ba＝_ ▲__ .【答案】-4 【解析】试题分析：由{}{}|x 2x 1,|2<x 4A x A B R A B x =><-==≤ 或,可得{}|14B x x =-≤≤ ,则1,4a b =-= ,故4ba=-. 考点：集合的运算4. 【苏北四市2014届高三第一次质量检测】已知集合{2}A a =+，{1,1,3}B =-，且A B ⊆，则实数a 的值是 ．5.【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考】 已知命题：“{}|11x x x ∃∈-<<，使等式20x x m --=成立”是真命题． （1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式()(2)0x a x a -+-<的解集为N ，若x N ∈是x M ∈的必要条件，求a 的取值范围．试题解析：(1) 由题意知，方程20x x m --=在()1,1-上有解，即m 的取值范围就为函数x x y -=2在()1,1-上的值域，易得124M m m ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭(2) 因为x N ∈是x M ∈的必要条件，所以N M ⊆当1=a 时，解集N 为空集，不满足题意当1>a 时，a a ->2，此时集合{}a x a x N <<-=2|则⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-2412a a ，解得49>a当1<a 时，a a -<2，此时集合{}a x a x N -<<=2|。

2014届高考数学（文）一轮复习单元能力测试 第一章集合与常用逻辑用语单元能力测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1、．（2013年高考某某卷（文））已知集合{1,2,3,4}U =,集合={1,2}A ,={2,3}B ,则()UA B =（ ）A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}2、（2013年高考某某卷（文））设集合S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则S∩T= （ ）A ．[-4,+∞)B ．(-2, +∞)C ．[-4,1]D ．(-2,1] 【答案】D 3、（2013年高考某某卷（文4））设x Z ∈,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ∀∈∈,则（ ）A ．:,2p x A xB ⌝∃∈∈ B ．:,2p x A x B ⌝∃∉∈C ． :,2p x A x B ⌝∃∈∉D ．:,2p x A x B ⌝∀∉∉4、【某某省某某一中2013届高三第五次月考 文】设全集(){}{},1,03,-<=<+==x x B x x x A R U 则下图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}13-<<-x xB ．{}03<<-x x C ．}01|{<≤-x xD ．{}3-<x x5、【某某省师大附中2013届高三第四次模拟测试1月数学文】若全集为实数集R ，集合12{|log (21)0},R A x x C A =->则=A ．1(,)2+∞ B ．(1,)+∞ C ．1[0,][1,)2+∞ D ．1(,][1,)2-∞+∞6．.【某某师大附中2013届高三高考适应性月考卷（四）文】命题“所有实数的平方都是正数”的否定为A ．所有实数的平方都不是正数B ．有的实数的平方是正数C ．至少有一个实数的平方不是正数D ．至少有一个实数的平方是正数7、（2013年高考课标Ⅰ卷（文））（1）已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则A B =（ ）（A ）｛1，4｝ （B ）｛2，3｝ （C ）{9，16} （D ）｛1，2}8、（2013年高考某某卷（文4））设,a b ∈R , 则 “2()0a b a -<”是“a b <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件9、（2013年高考某某卷（文））设点),(y x P ,则“2=x 且1-=y ”是“点P 在直线01:=++y x l 上”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 10、【某某省六校联盟2013届高三第一次联考 文】给出下列四个命题： （1）命题“若4πα=，则1tan =α”的逆否命题为假命题；（2）命题1sin ,:≤∈∀x R x p ．则R x p ∈∃⌝0:，使1sin 0>x ； （3）“)(2Z k k ∈+=ππϕ”是“函数)2sin(ϕ+=x y 为偶函数”的充要条件；（4）命题:p “R x ∈∃0，使23cos sin 00=+x x ”；命题:q “若sin sin αβ>，则αβ>”，那么q p ∧⌝)(为真命题．其中正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．111、（2013年高考某某卷（文6））设z 是复数, 则下列命题中的假命题是（ ）A ．若20z ≥, 则z 是实数B ．若20z <, 则z 是虚数C ．若z 是虚数, 则20z ≥D ．若z 是纯虚数, 则20z <12．（2013年高考某某卷（文7））给定两个命题q p ,,p q ⌝是的必要而不充分条件,则p q⌝是（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13、（2013年高考某某（文））已知集合{2,3,6,8},{2,3},{2,6,8}U A B ===,则()C A B ⋃⋂=_____14.（某某市2013届高三期末）已知P ：|x －a|＜4；q ：（x －2）（3－x ）>0，若⌝p 是⌝q 的充分不必要条件，则a 的取值X 围为．15．【某某省某某一中2013届高三1月调研考试数学文】已知11{|2}82x A x -=<<，2{|log (2)1}B x x =-<，则A B =________________．16、（2013年高考某某卷（文））设T S ,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数)(x f y =满足;(i)}|)({S x x f T ∈=;(ii)对任意S x x ∈21,,当21x x <时,恒有)()(21x f x f <. 那么称这两个集合“保序同构”.现给出以下3对集合: ①*,N B N A ==;②}108|{},31|{≤≤-=≤≤-=x x B x x A ; ③R B x x A =<<=},10|{.其中,“保序同构”的集合对的序号是____________(写出所有“保序同构”的集合对的序号)三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)【市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文】设关于x 的函数2()lg(23)f x x x =--的定义域为集合A ，函数(),(04)g x x a x =-≤≤，的值域为集合B.（Ⅰ）求集合A ，B ； （Ⅱ）若集合A ，B 满足A B B =,某某数a 的取值X 围.18、(本小题满分12分) （某某金山区2013届高三一模）已知集合A ={x | | x –a | < 2，x ∈R }，B ={x |212x x -+<1，x ∈R }． (1) 求A 、B ；(2) 若B A ⊆，某某数a 的取值X 围．19．(本小题满分10分) （某某某某市2013届高三期末）已知:p 128x <<；:q 不等式240x mx -+≥恒成立，若p ⌝是q ⌝的必要条件，某某数m 的取值X 围.20、(本小题满分12分) 【某某省某某市乐陵一中2013届高三10月月考】设命题p ：实数x 满足03422<+-a ax x ，其中0<a ；命题q ：实数x 满足2280,x x +->且p q ⌝⌝是的必要不充分条件，某某数a 的取值X 围.21．(本小题满分12分) 【某某市某某一中2013届高三上学期一月考】设命题p:函数f(x)=lg(ax 2-4x+a)的定义域为R;命题q:不等式2x 2+x>2+ax,对∀x ∈(-∞,-1)上恒成立,如果命题“p ∨q ”为真命题,命题“p ∧q ”为假命题,某某数a 的取值X 围.22．(本小题满分12分) （某某省某某市莱州一中20l3届高三第二次质量检测）已知全集U=R ，非空集合{23x A x x -=-＜}0，{()()22B x x a x a =---＜}0. （1）当12a =时，求()U C B A ⋂；（2）命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若q 是p 的必要条件，某某数a 的取值X 围.祥细答案1、【答案】D【解析】本题考查集合的基本运算。

2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第1章《集合与常用逻辑用语》（第3课时）（新人教A 版）一、选择题 1．命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是( )A ．“若x <y ，则x 2<y 2”B ．“若x >y ，则x 2>y 2”C ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2”D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2” 解析：选C.逆命题的否命题，由定义知选C.2．对于实数a ，b ，c ，“a >b ”是“ac 2>bc 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选B.a >b ⇒ / ac 2>bc 2，原因是c 可能为0，而若ac 2>bc 2，则可以推出a >b ，故“a >b ”是“ac 2>bc 2”的必要不充分条件，故选B.3．(2012·高考福建卷)下列命题中，真命题是( ) A ．∃x 0∈R ，e x 0≤0B ．∀x ∈R,2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是a b＝－1D ．a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件解析：选D.因为∀x ∈R ，e x ＞0，故排除A ；取x ＝2，则22＝22，故排除B ；a ＋b ＝0，取a ＝b ＝0，则不能推出a b＝－1，故排除C.应选D.4．(2011·高考山东卷)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2＜3B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2＜3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3 解析：选A.由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论，因此原命题的否命题为“若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2＜3”．5．(2011·高考天津卷)设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.A ＝{x |x －2>0}＝{x |x >2}＝(2，＋∞)， B ＝{x |x <0}＝(－∞，0)，∴A ∪B ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，C ＝{x |x (x －2)>0}＝{x |x <0或x >2}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，A ∪B ＝C .∴“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件．二、填空题6．(2013·本溪质检)在命题“若m >－n ，则m 2>n 2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．解析：原命题为假命题，所以逆否命题也是假命题，逆命题“若m 2>n 2，则m >－n ”，也是假命题，从而否命题也是假命题．答案：37．e 1、e 2是不共线的两个向量，a ＝e 1＋k e 2，b ＝k e 1＋e 2，则a ∥b 的充要条件是实数k ＝________.解析：a ＝λb ，⎩⎪⎨⎪⎧1＝k λk ＝λ⇒k 2＝1⇒k ＝±1.答案：±18．给定下列命题：①若k ＞0，则方程x 2＋2x －k ＝0有实数根； ②“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题； ③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy ＝0，则x 、y 中至少有一个为0”的否命题． 其中真命题的序号是________．解析：①∵Δ＝4－4(－k )＝4＋4k ＞0， ∴①是真命题．②“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”是真命题． ③“对角线相等的四边形是矩形”是假命题． ④“若xy ≠0，则x 、y 都不为零”是真命题． 答案：①②④ 三、解答题9．已知命题p ：“若ac ≥0，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”． (1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假，并证明你的结论．解：(1)命题p 的否命题为：“若ac <0，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”． (2)命题p 的否命题是真命题．证明如下：∵ac <0，∴－ac >0⇒Δ＝b 2－4ac >0⇒一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根． ∴该命题是真命题．10．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？(1)p ：a ＋b ＝2，q ：直线x ＋y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切；(2)p ：|x |＝x ，q ：x 2＋x ≥0；(3)设l ，m 均为直线，α为平面，其中l ⊄α，m ⊂α，p ：l ∥α，q ：l ∥m .解：(1)若a ＋b ＝2，圆心(a ，b )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a ＋b |2＝2＝r ，所以直线与圆相切，反之，若直线与圆相切，则|a ＋b |＝2， ∴a ＋b ＝±2，故p 是q 的充分不必要条件．(2)若|x |＝x ，则x 2＋x ＝x 2＋|x |≥0成立．反之，若x 2＋x ≥0，即x (x ＋1)≥0，则x ≥0或x ≤－1. 当x ≤－1时，|x |＝－x ≠x ， 因此，p 是q 的充分不必要条件．(3)∵l ∥α⇒/ l ∥m ，但l ∥m ，l ⊄α，m ⊂α⇒l ∥α， ∴p 是q 的必要不充分条件．一、选择题1．(2012·高考江西卷)下列命题中，假命题为( ) A ．存在四边相等的四边形不是正方形B ．z 1，z 2∈C ，z 1＋z 2为实数的充分必要条件是z 1，z 2互为共轭复数 C ．若x ，y ∈R ，且x ＋y ＞2，则x ，y 至少有一个大于1D ．对于任意n ∈N ＋，C 0n ＋C 1n ＋…＋C nn 都是偶数解析：选B.空间四边形可能四边相等，但不是正方形，故A 为真命题；令z 1＝1＋b i ，z 2＝3－b i(b ∈R )，显然z 1＋z 2＝4∈R ，但z 1，z 2不互为共轭复数，B 为假命题；假设x ，y 都不大于1，则x ＋y ＞2不成立，故与题设条件“x ＋y ＞2”矛盾，假设不成立，故C 为真命题；C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n为偶数，故D 为真命题．排除A ，C ，D ，应选B.2．(2012·高考湖北卷)设a ，b ，c ∈R ＋，则“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ”的( )A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要的条件解析：选A.根据充分条件、必要条件的概念判断．当a ＝b ＝c ＝2时，有1a＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ，但abc ≠1，所以必要性不成立；当abc ＝1时，1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ac ＋ababc＝bc ＋ac ＋ab ，a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋b ＋c ＋a ＋c2≥ab ＋bc ＋ac ，所以充分性成立，故“abc ＝1”是“1a＋1b＋1c≤a ＋b ＋c ”的充分不必要条件．二、填空题3．已知命题p ：|2x －3|＞1，命题q ：lg(x －2)＜0，则命题p 是命题q 的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”或“充要”)解析：p ：x ＞2或x ＜1，q ：2＜x ＜3，故p 是q 的必要不充分条件． 答案：必要不充分4．已知下列四个命题：①a 是正数；②b 是负数；③a ＋b 是负数；④ab 是非正数．选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的复合命题________________________________________________________________________．解析：逆否命题为真命题，即原命题为真．a 是正数且a ＋b 是负数，则一定有b 是负数．答案：若a 是正数且a ＋b 是负数，则一定有b 是负数 三、解答题5．(2013·海口调研)已知三个集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪mx －1x＜0，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}，C ＝{x |log 12x ＞1}；三个命题p ：实数m 为小于6的正整数，q ：A 是B 成立的充分不必要条件，r ：A 是C 成立的必要不充分条件．已知三个命题p 、q 、r 都是真命题，求实数m 的值．解：∵命题p 是真命题，即0＜m ＜6，m ∈N ＋，①∴A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪mx －1x＜0＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜1m ， 又B ＝{x |x 2－3x －4≤0}＝{x |－1≤x ≤4}，C ＝{x |log 12x ＞1}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜12，∵命题q 、r 都是真命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧1m ≤41m ＞12，②由①②得m＝1.。

§1.2 常用逻辑用语 课标要求 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定． 高考要求多以选择题出现涉及知识点比较多难度不大易错 知识梳理1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p ⇒q ，则p 是q 的____________条件，q 是p 的____________条件p 是q 的____________条件p ⇒q 且q ⇏p p 是q 的____________条件p ⇏q 且q ⇒p p 是q 的____________条件p ⇔q p 是q 的________________条件p ⇏q 且q ⇏p 2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“__________”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“________”表示．3．全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题 存在量词命题 结构对M 中任意一个x ，p (x )成立 存在M 中的元素x ，p (x )成立 简记否定∃x ∈M ， p (x )常用结论1．充分、必要条件与对应集合之间的关系设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}．(1)若p 是q 的充分条件，则A ⊆B ； (2)若p 是q 的充分不必要条件，则A B ；(3)若p 是q 的必要不充分条件，则B A ； (4)若p 是q 的充要条件，则A ＝B .2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．3．命题p 与p 的否定的真假性相反．课前预习1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)当p 是q 的充分条件时，q 是p 的必要条件．( )高三数学02(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．( )(3)“x >1”是“x >0”的充分不必要条件．( )(4)命题“∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12”是真命题．( ) 2． (多选)已知命题p ：∀x ∈R ，x ＋2≤0，则下列说法正确的是( )A ．p 是真命题B ．⌝p ：∀x ∈R ，x ＋2>0C ．⌝p 是真命题D ．⌝p ：∃x ∈R ，x ＋2>03．设x >0，y >0，则“x 2>y 2”是“x >y ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知A ＝(－∞，a ]，B ＝(－∞，3)，且x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则a 的取值范围为________________________.典例精讲例1 设p ：x <3，q ：－1<x <3，则q 是p 成立的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件变式训练（1）若a ＞0，b ＞0，则“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(多选)对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题，其中是真命题的有( )A ．“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件B ．“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的充分条件C ．“a ＜5”是“a ＜3”的必要条件D ．“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件例2 不等式x (x －2)＜0成立的一个必要不充分条件是( )A ．x ∈(0,2)B ．x ∈[－1，＋∞)C ．x ∈(0,1)D ．x ∈(1,3)变式训练（1）命题“∀x ∈[1,3]，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a ≥9B ．a ≤9C ．a ≥10D ．a ≤10（2）※已知P ＝{x |－2≤x ≤10}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．例3(多选)下列说法正确的是()A．“正方形是菱形”是全称量词命题B．∃x∈R，e x<e x＋1C．命题“∃x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋3≠0”D．命题“∀x>1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x≤1，使得2x＋1≤5”变式训练(多选)下列命题中的真命题是()A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2课堂小结课后反思常用逻辑用语限时训练一、选择题1．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件2.“a＞b＋1”是“2a＞2b”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件3.若命题“∀x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是()A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．(－∞，2] D．(－∞，5]4.（多选）下列四个条件中，能成为x >y 的充分不必要条件的是( )A. xc 2>yc 2B. 1x <1y<0 C. |x |>|y | D. ln x >ln y5.(多选)命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2－m <0为假命题，则实数m 的取值可以是( )A ．－1B ．0C ．1D ．26※. （多选） 下列叙述中不正确的是( )A. 若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充要条件是“b 2－4ac ≤0”B. 若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”C. “a <1”是“方程x 2＋x ＋a ＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D. “a >1”是“1a<1”的充分不必要条件二、填空题7. 已知p ：－1＜x －a ＜1，q ：(x －4)(8－x )＞0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．8※. 若x ∈{－1，m }是不等式2x 2－x －3≤0成立的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________．三、解答题9. 已知p ：(x ＋1)(2－x )≥0，q ：关于x 的不等式x 2＋2mx －m ＋6>0恒成立．(1) 当x ∈R 时q 成立，求实数m 的取值范围；(2)※ 若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．。

第一章集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件教师用书理苏教版1.四种命题及相互关系2.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.3.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件；(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)如果q⇒p，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件；(5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件.【知识拓展】从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题.( ×)(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.(×)(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题也是真命题.( √)(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( √)(5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立.( √)(6)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件.( √)1.下列命题中为真命题的是________.(填序号)①命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题；②命题“若x>1，则x2>1”的否命题；③命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题；④命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题.答案①解析对于①，其逆命题是若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y.2.(教材改编)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是________________________.答案若x≤y，则x2≤y2解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”.3.(教材改编)给出下列命题：①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；②命题“如果△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；③命题“若a>b>0，则3a>3b>0”的逆否命题；④命题“若m>1，则不等式mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题.其中真命题的序号为________.答案①②③解析①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题为：“若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”，根据一元二次方程根的判定知其为真命题.②命题“如果△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题为：“如果△ABC 为等边三角形，那么AB＝BC＝CA”，由等边三角形的定义可知其为真命题.③原命题“若a>b>0，则3a>3b>0”为真命题，由原命题与其逆否命题有相同的真假性可知其逆否命题为真命题.④原命题的逆命题为：“若不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)>0的解集为R ，则m >1”，不妨取m ＝2验证，当m ＝2时，有2x 2－6x －1>0，Δ＝(－6)2－4×2×(－1)>0，其解集不为R ，故为假命题.4.(2016·北京改编)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的______________条件. 答案 既不充分又不必要解析 若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为菱形，a ＋b ，a －b 表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，所以“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分又不必要条件. 5.在下列三个结论中，正确的是________.(写出所有正确结论的序号) ①若A 是B 的必要不充分条件，则綈B 也是綈A 的必要不充分条件；②“⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件；③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件. 答案 ①②解析 易知①②正确.对于③，若x ＝－1，则x 2＝1，充分性不成立，故③错误.题型一 命题及其关系例1 (2016·扬州模拟)下列命题： ①“若a 2<b 2，则a <b ”的否命题； ②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a >1，则ax 2－2ax ＋a ＋3>0的解集为R ”的逆否命题； ④“若3x (x ≠0)为有理数，则x 为无理数”的逆否命题. 其中正确的命题是________.(填序号) 答案 ③④解析 对于①，否命题为“若a 2≥b 2，则a ≥b ”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，为假命题；对于③，当a >1时，Δ＝－12a <0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确. 思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意： ①对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写； ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.(1)命题“若x>0，则x2>0”的否命题是__________.(2)(2016·徐州模拟)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是______________________________.答案(1)若x≤0，则x2≤0(2)若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3解析(2)由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论，因此原命题的否命题为“若a＋b ＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”.题型二充分必要条件的判定例2 (1)(2016·江苏南京学情调研)已知直线l，m，平面α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的____________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)(2)(2016·泰州模拟)给出下列三个命题：①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件.其中正确命题的序号为________.答案(1)必要不充分(2)③解析(1)根据直线与平面垂直的定义：若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直.现在是直线与平面内给定的一条直线垂直，而不是任意一条，故由“l⊥m”推不出“l⊥α”，但是由定义知“l⊥α”可推出“l⊥m”，故填必要不充分.(2)因为函数y＝3x在R上为增函数，所以“a>b”是“3a>3b”的充要条件，故①错；由余弦函数的性质可知“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分又不必要条件，故②错；当a＝0时，f(x)＝x3是奇函数，当f(x)是奇函数时，由f(－1)＝－f(1)得a＝0，所以③正确.思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.(1)函数f(x)＝13x－1＋a (x≠0)，则“f(1)＝1”是“函数f(x)为奇函数”的________条件.(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填写)(2)(2017·镇江质检)已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax －a ≤0有解，q ：a >0或a <－1，则p 是q 的________条件.(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填写)答案 (1)充要 (2)必要不充分 解析 (1)f (x )＝13x－1＋a (x ≠0)为奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0，即13－x －1＋a ＋13x －1＋a ＝0，所以a ＝12，此时f (1)＝13－1＋12＝1，反之也成立，因此填“充要”.(2)关于x 的不等式x 2＋2ax －a ≤0有解，则4a 2＋4a ≥0⇒a ≤－1或a ≥0，从而q ⇒p ，反之不成立，故p 是q 的必要不充分条件. 题型三 充分必要条件的应用例3 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围.解 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]. 引申探究1.若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件. 解 若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，方程组无解，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件.2.本例条件不变，若x ∈綈P 是x ∈綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 解 由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇏P . ∴[－2，－m ，1＋m ].∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞).思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.(2016·盐城期中)设集合A ＝{x |x 2＋2x －3<0}，集合B ＝{x ||x ＋a |<1}.(1)若a ＝3，求A ∪B ；(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 解 (1)解不等式x 2＋2x －3<0， 得－3<x <1，故A ＝(－3，1). 当a ＝3时，由|x ＋3|<1， 得－4<x <－2，故B ＝(－4，－2)， 所以A ∪B ＝(－4，1).(2)因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集. 又集合A ＝(－3，1)，B ＝(－a －1，－a ＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a －1≥－3，－a ＋1<1或⎩⎪⎨⎪⎧－a －1>－3，－a ＋1≤1，解得0≤a ≤2，即实数a 的取值范围是0≤a ≤2.1.等价转化思想在充要条件中的应用典例 (1)已知p ，q 是两个命题，那么“p ∧q 是真命题”是“綈p 是假命题”的__________条件.(2)已知条件p ：x 2＋2x －3>0；条件q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是________.思想方法指导 等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题，在解题中经常用到.本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化.解析 (1)因为“p ∧q 是真命题”等价于“p ，q 都为真命题”，且“綈p 是假命题”等价于“p 是真命题”，所以“p ∧q 是真命题”是“綈p 是假命题”的充分不必要条件. (2)由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件. 所以{x |x >ax |x <－3或x >1}，所以a ≥1.答案 (1)充分不必要 (2)[1，＋∞)1.下列命题中的真命题为________.(填序号) ①若1x ＝1y，则x ＝y ；②若x 2＝1，则x ＝1； ③若x ＝y ，则x ＝y ； ④若x <y ，则x 2<y 2. 答案 ①2.(教材改编)命题“若a >b ，则2a>2b－1”的否命题为________________. 答案 若a ≤b ，则2a≤2b－1解析 ∵“a >b ”的否定是“a ≤b ”，“2a>2b－1”的否定是“2a≤2b－1”，∴原命题的否命题是“若a ≤b ，则2a≤2b－1”.3.(2016·南京模拟)给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是________. 答案 1解析 原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题.因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个. 4.(2015·重庆改编)“x ＞1”是“12log (x ＋2)＜0”的____________条件.答案 充分不必要解析 由x ＞1⇒x ＋2＞3⇒12log (x ＋2)＜0，12log (x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，故“x ＞1”是“12log (x ＋2)＜0”的充分不必要条件.5.(2016·山东改编)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的______________条件. 答案 充分不必要解析 若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交.6.已知集合A ＝{x ∈R |12<2x<8}，B ＝{x ∈R |－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是__________. 答案 (2，＋∞)解析 A ＝{x ∈R |12<2x<8}＝{x |－1<x <3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.7.设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的________条件. 答案 充要解析 由Venn 图易知充分性成立.反之，A ∩B ＝∅时，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件.*8.(2015·湖北改编)设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则下列说法正确的是________.(填序号)①p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件； ②p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件； ③p 是q 的充分必要条件；④p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件. 答案 ②解析 若p 成立，设a 1，a 2，…，a n 的公比为q ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝a 21(1＋q 2＋…＋q2n －4)·a 22(1＋q 2＋…＋q2n －4)＝a 21a 22(1＋q 2＋…＋q2n －4)2，(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2＝(a 1a 2)2(1＋q 2＋…＋q2n －4)2，故q 成立，故p 是q 的充分条件.取a 1＝a 2＝…＝a n ＝0，则q成立，而p 不成立，故p 不是q 的必要条件.9.(2016·无锡模拟)设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的__________条件. 答案 充要解析 设f (x )＝x |x |，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，所以f (x )是R 上的增函数，所以“a >b ”是“a |a |>b |b |”的充要条件. 10.有三个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题；③“若x ≤－3，则x 2＋x －6>0”的否命题. 其中真命题的序号为____________. 答案 ①解析 命题①为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”是真命题；因为命题“若a >b ，则a 2>b 2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x >－3，则x 2＋x －6≤0”，因为x 2＋x －6≤0⇔－3≤x ≤2，故命题③是假命题.综上知只有命题①是真命题.11.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0，1]上的增函数”是“f (x )为[3，4]上的减函数”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充要解析 ∵x ∈[0，1]时，f (x )是增函数， 又∵y ＝f (x )是偶函数，∴当x ∈[－1，0]时，f (x )是减函数. 当x ∈[3，4]时，x －4∈[－1，0]， ∵T ＝2，∴f (x )＝f (x －4).故x ∈[3，4]时，f (x )是减函数，充分性成立. 反之，若x ∈[3，4]时，f (x )是减函数， 此时x －4∈[－1，0]， ∵T ＝2，∴f (x )＝f (x －4)， 则当x ∈[－1，0]时，f (x )是减函数. ∵y ＝f (x )是偶函数，∴当x ∈[0，1]时，f (x )是增函数，必要性也成立.故“f (x )为[0，1]上的增函数”是“f (x )为[3，4]上的减函数”的充要条件.12.若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________. 答案 [0，2]解析 由已知易得{x |x 2－2x －x |x <m －1或x >m ＋1}，又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m －1，m ＋1<3，或⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2.13.若“数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)是递增数列”为假命题，则λ的取值范围是___________. 答案 [32，＋∞)解析 若数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)是递增数列，则有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1>2λ对任意的n ∈N*都成立，于是可得3>2λ，即λ<32.故所求λ的取值范围是[32，＋∞).*14.下列四个结论中：①“λ＝0”是“λa ＝0”的充分不必要条件；②在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件； ③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 全不为零”的充要条件； ④若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件. 正确的是________. 答案 ①④解析 由λ＝0可以推出λa ＝0，但是由λa ＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确； 由AB 2＋AC 2＝BC 2可以推出△ABC 是直角三角形，但是由△ABC 是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确；由a 2＋b 2≠0可以推出a ，b 不全为零， 反之，由a ，b 不全为零可以推出a 2＋b 2≠0，所以“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件，而不是“a ，b 全不为零”的充要条件，所以③不正确，④正确.15.已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝p n＋q (p ≠0，且p ≠1).求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.证明 充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，当n ＝1时也成立. ∴a n ＝pn －1(p －1)，n ∈N *.又a n ＋1a n ＝p n p －p n －1p －＝p ，∴数列{a n }为等比数列.必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q ； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn －1(p －1).∵p ≠0，且p ≠1，{a n }为等比数列， ∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p .∴p p －p ＋q＝p ，即p －1＝p ＋q ，∴q ＝－1.综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件.。