轻巧夺冠高中数学一轮复习教师用书页码 (431)

其次节充分条件与必要条件考试要求：1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．2．会推断和证明简洁的充分条件、必要条件、充要条件．一、教材概念·结论·性质重现1．充分条件、必要条件与充要条件若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q pp是q的必要不充分条件P q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p q且q pA是B的充分不必要条件(A⇒B且B A)与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A B)两者不同，在解题时要弄清它们的区分，以免出现错误．2．充要关系与集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．二、基本技能·思想·活动阅历1．推断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．( √)(2)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( √)(3)若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．( √)(4)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则B是A的真子集．( ×) 2．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：当θ＝0时，sin θ＝0成立；而当sin θ＝0时，得θ＝kπ(k∈Z)．3．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C解析：由A∩B＝A可得A⊆B；由A⊆B可得A∩B＝A.所以“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件．4．a∈(0，＋∞)，b∈(0，＋∞)，则“a＜b”是“a－1＜b－1”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C解析：若a＜b成立，则依据不等式性质，两边同时减去1，不等式符号不变，所以，a ＜b成立，则a－1＜b－1成立，充分性成立；若a－1＜b－1成立，依据不等式性质，两边同时加上1，不等式符号不变，所以，a－1＜b－1成立，则a＜b成立，必要性成立．所以“a＜b”是“a－1＜b－1”的充要条件．5．已知“p：x>a”是“q：2<x<3”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_________．(－∞，2]解析：由已知，可得{x|2<x<3}{x|x>a}，所以a≤2.考点1 充分条件与必要条件的推断——基础性1．(2024·浙江卷) 设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：因为sin 2x＋cos 2x＝1，所以当sin x＝1时，cos x＝0，充分性成立；当cos x＝0时，sin x＝±1，必要性不成立．所以当x∈R时，“sin x＝1”是“cos x＝0”的充分不必要条件．故选A.2．已知a，b，c∈R，则“”是“<”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：因为<⇔＝>0⇔ac>0，而⇒ac>0，反之，ac>0时，不肯定成立，所以“”是“<” 的充分不必要条件．3．已知{a n}是等比数列，S n为其前n项和，那么“a1>0”是“数列{S n}为递增数列”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B解析：设等比数列{a n}的公比为q，充分性：当a1>0，q<0时，S n＋1－S n＝a n＋1＝a1q n，无法推断其正负，明显数列{S n}不肯定是递增数列，充分性不成立；必要性：当数列{S n}为递增数列时，S n－S n－1＝a n>0，可得a1>0，必要性成立．故“a1>0”是“数列{S n}为递增数列”的必要不充分条件．解决这类问题一是看前面的条件能否推出后面的结论，二是看后面的条件能否推出前面的结论，最终得出答案．考点2 充分条件与必要条件的探究与证明——综合性(1)使得a>b>0成立的一个充分不必要条件是( )A．>>0 B．e a>e bC．a2>b2D．ln a>ln b>0D解析：A选项，若>>0，则可以得到a>b>0；反之，当a>b>0时也可以得到>>0，所以“>>0”是“a>b>0”的充要条件，故解除A；B选项，若e a>e b，则a>b，但不肯定得出a>b>0，所以“e a>e b”不是“a>b>0”的充分不必要条件，故B错；C选项，当a＝3，b＝－1时，a2＝9>b2＝1，故a2>b2推不出a>b>0，故解除C；D选项，由ln a>ln b>0可得ln a>ln b>ln 1，则a>b>1，能推出a>b>0，反之不能推出，所以“ln a>ln b>0”是“a>b>0”的充分不必要条件，故D正确．(2)设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.证明：设p：xy≥0，q：|x＋y|＝|x|＋|y|.①充分性(p⇒q)：假如xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种状况．当xy＝0时，不妨设x＝0，则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，所以等式成立；当xy>0时，则x>0，y>0，或x<0，y<0.又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以等式成立．当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，所以等式成立．综上，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．②必要性(q⇒p)：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|.所以|xy|＝xy，所以xy≥0.由①②可得，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．充要条件的证明策略(1)要证明p是q的充要条件，须要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若p，则q”和“若q，则p”均为真．(2)证明前必需分清晰充分性和必要性，即清晰由哪个条件推证到哪个结论．1．“∀x∈[1，2]，ax2＋1≤0”为真命题的充要条件是( )A．a≤－1 B．a≤C．a≤－2 D．a≤0A解析：因为“∀x∈[1，2]，ax2＋1≤0”为真命题，所以a≤－对随意的x∈[1，2]恒成立．由于函数y＝－在区间[1，2]上单调递增，故y min＝－1，所以a≤－1.2．设a，b，c∈R.证明：a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca的充要条件是a＝b＝c.证明：(1)必要性：假如a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，则a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝0，所以[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]＝0，所以a－b＝0，b－c＝0，c－a＝0，即a＝b＝c.(2)充分性：若a＝b＝c，则(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，所以2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)＝0，所以a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca.综上可知，a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca的充要条件是a＝b＝c.考点3 充分条件与必要条件的应用——应用性已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为_________．[0，3]解析：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}．因为“x∈P”是“x∈S”的必要条件，所以S⊆P.所以解得0≤m≤3.故0≤m≤3时，“x∈P”是“x∈S”的必要条件．若本例条件不变，是否存在实数m，使“x∈P”是“x∈S”的充要条件？请说明理由．解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．若“x∈P”是“x∈S”的充要条件，则P＝S，所以即这样的m不存在．充分必要条件的应用问题的求解方法及留意点(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后依据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要留意区间端点值的检验．1．(2024·武汉模拟)若“x＞2m2－3”是“－1＜x＜4”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是( )A．[－3，3]B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D．[－1，1]D解析：因为“x＞2m2－3”是“－1＜x＜4”的必要不充分条件，所以(－1，4)(2m2－3，＋∞)，所以2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1.2．若不等式(x－a)2<1成立的充分不必要条件是1<x<2，则实数a的取值范围是___________．[1，2]解析：由(x－a)2<1得a－1<x<a＋1，因为“1<x<2”是“不等式(x－a)2<1成立”的充分不必要条件，所以满意且等号不能同时取得，即解得1≤a≤2.已知p：x>1或x<－3，q：5x－6>x2，则¬p是¬q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[四字程序]读想算思推断充分条件、必要条件1．充分条件、必要条件的概念．2．推断充分条件、必要条件的方法解不等式转化与化归不等式5x－6>x21．定义法．2．集合法．3．等价转化法1．一元二次不等式的解法．2．集合间的包含关系充分条件、必要条件与集合的包含关系思路参考：解不等式＋求¬p，¬q.A解析：由5x－6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.¬p：－3≤x≤1，¬q：x ≥3或x≤2.明显¬p⇒¬q，¬q¬p，所以¬p是¬q的充分不必要条件．故选A.思路参考：解不等式＋推断集合间的包含关系．A解析：由5x－6>x2，得2<x<3，即¬q：A＝{x|x≤2或x≥3}，¬p：B＝{x|－3≤x≤1}．明显B A，故¬p是¬q的充分不必要条件．故选A.思路参考：原命题与逆否命题(若¬q，则¬p)等价性＋转化．A解析：利用命题与其逆否命题的等价性，该问题可转化为推断q是p的什么条件．由5x －6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.明显q是p的充分不必要条件．故选A.推断充分条件、必要条件、充要条件关系的三种方法：(1)定义法是最基本、最常用的方法．(2)集合法主要是针对与不等式解集有关的问题．(3)等价转化法体现了“正难则反”的解题思想，在正面解题受阻或不易求解时可考虑此方法．若集合A＝{x|x－x2>0}，B＝{x|(x＋1)·(m－x)>0}，则“m>1”是“A∩B≠∅”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：A＝{x|0<x<1}．若m>1，则B＝{x|－1<x<m}，此时A∩B≠∅；反之，若A∩B≠∅，则m>0.课时质量评价(二)A组全考点巩固练1．已知函数f(x)，x∈R，则“f(x)的最大值为1”是“f(x)≤1恒成立”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：由f(x)max＝1知f(x)≤1且存在实数x0∈R，使f(x0)＝1；而f(x)≤1，不能得到＝1.2．已知i是虚数单位，p：复数a－1＋b i(a，b∈R)是纯虚数，q：a＝1，则p是q的( A ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．“m>1”是“方程＝1表示焦点在y轴上的双曲线”的( B )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．(2024·济南模拟)△ABC中，“sin A＝”是“A＝”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件C解析：在△ABC中，若sin A＝，则A＝或，因为，因此，“sin A＝”是“A＝”的必要不充分条件．故选C.5．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于y轴对称的充要条件是( )A．b＝c＝0 B．b＝0且c≠0C．b＝0 D．b≥0C解析：函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于y轴对称⇔－＝0⇔b＝0. 6．(2024·哈尔滨模拟)已知非零向量a，b，c，则“b＝c”是“b·a＝c·a”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件A解析：因为向量a，b，c是非零向量，则b＝c肯定可以推出b·a＝c·a，但是若a·b＝a·c成立，不能推出b＝c，故“b＝c”是“b·a＝c·a”的充分不必要条件．故选A.7．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝_________．3或4解析：一元二次方程x2－4x＋n＝0有实数根－4n≥0⇔n≤4.又n∈N*，则n ＝4时，方程x2－4x＋4＝0有整数根2；n＝3时，方程x2－4x＋3＝0有整数根1，3；n＝2时，方程x2－4x＋2＝0无整数根；n＝1时，方程x2－4x＋1＝0无整数根．所以n＝3或n ＝4.8．设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么丁是甲的________条件．必要不充分解析：因为甲是乙的充分不必要条件，所以甲⇒乙，乙甲；因为丙是乙的充要条件，即乙⇔丙；因为丁是丙的必要不充分条件，所以丙⇒丁，丁丙．故甲⇒丁，丁甲，即丁是甲的必要不充分条件．9．(2024·济宁三模)设a，b是非零向量，“a·b＝0”是“a⊥b”的________条件．充要解析：设非零向量a，b的夹角为θ，若a·b＝0，则cos θ＝0，又0≤θ≤π，所以θ＝，所以a⊥b；反之，a⊥b⇒a·b＝0.因此，“a·b＝0”是“a⊥b”的充要条件．10．若不等式<1成立的充分不必要条件是≤0，求实数m的取值范围．解：<1⇔－1<x－m<1⇔－1＋m<x<1＋m，≤0⇔⇔0≤x<1.因为不等式<1成立的充分不必要条件是≤0，则[0，1) (－1＋m，1＋m)，所以得0≤m<1.B组新高考培优练11．已知函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)，则“函数f(x)在上单调递增”是“0＜ω≤2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A解析：因为x∈，所以ω≤ωx≤ω，由于函数f(x)在上单调递增，所以(k∈Z)，解得(k∈Z)，故k只能取0，即0<ω≤，所以“函数f(x)在上单调递增”是“0＜ω≤2”的充分不必要条件．12．王安石在《游褒禅山记》中写道：“而世之奇伟、瑰怪，特别之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”．则“有志”是“到达奇伟、瑰怪，特别之观”的( ) A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件D解析：非有志者不能至，是必要条件，但“有志”也不肯定“能至”，不是充分条件．13．(多选题)下列函数中，满意“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充要条件的是( ) A．f(x)＝tan xB．f(x)＝3x－3－xC．f(x)＝x3D．f(x)＝log3|x|BC解析：因为f(x)＝tan x是奇函数，所以x1＋x2＝0⇒f(x1)＋f(x2)＝0，但f＋f＝0时，≠0，不符合要求，所以选项A不符合题意；因为f(x)＝3x－3－x和f(x)＝x3均为单调递增的奇函数，所以满意“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充要条件，所以选项BC符合题意；对于选项D，由f(x)＝log3|x|的图象易知不符合题意．14．(多选题)直线2x－y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1有两个交点的必要不充分条件是( )A．m2≤1B．m≥－3C．m2＋m－12＜0D．＞1BC解析：若直线2x－y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1有两个交点，则＜1，解得－＜m＜.A项中，由m2≤1，得－1≤m≤1，因为{m|－1≤m≤1}⊆{m|－＜m＜}，所以“m2≤1”不是“－＜m＜”的必要不充分条件；B项中，因为{m|m≥－3}⊇{m|－＜m＜}，所以“m≥－3”是“－＜m＜”的必要不充分条件；C项中，由m2＋m－12＜0，得－4＜m＜3，因为{m|－4＜m＜3}⊇{m|－＜m＜}，所以“m2＋m－12＜0”是“－＜m＜”的必要不充分条件；D项中，由＞1，得0＜m＜3，所以“＞1”不是“－＜m＜”的必要不充分条件．15．设x，y∈R，则“x>y”是“ln x>ln y”的________条件．必要不充分解析：ln x> ln y⇔x>y>0，则“x>y”是“ln x> ln y”的必要不充分条件．16．“e a＞e b”是“log2a＞log2b”的________条件．必要不充分解析：由e a＞e b得不到log2a＞log2b，例如e2＞e-1，但log2(－1)无意义．依据对数函数在定义域上是增函数，由log2a＞log2b得a＞b.由y＝e x是增函数，可得e a＞e b，所以“e a＞e b”是“log2a＞log2b”的必要不充分条件．17．(2024·镇江高三开学考试)已知集合A＝，B＝{x|x2－4x＋4－m2≤0，m∈R}．(1)若m＝3，求A∪B；(2)若存在正实数m，使得“x∈A”是“x∈B”成立的__________，求正实数m的取值范围．从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答．解：(1)A＝＝[－2，5].因为m＝3，所以B＝{x|[x－(2－m)][x－(2＋m)]≤0，m∈R}＝[2－m，2＋m]＝[－1，5].所以A∪B＝[－2，5].(2)选①，因为“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则A是B的真子集．所以且等号不能同时取得⇒m∈[4，＋∞)．所以正实数m的取值范围是[4，＋∞)．选②，因为“x∈A”是“x∈B”成立的必要不充分条件，所以B是A的真子集．所以且等号不能同时取得⇒m∈(0，3].所以正实数m的取值范围是(0，3].。

§2.4 幂函数与二次函数最新考纲 1.通过实例,了解幂函数的概念.2.结合函数y ＝x ,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝1x,y ＝12x 的图象,了解它们的变化情况.3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质.4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.1.幂函数 (1)幂函数的定义一般地,形如y ＝x α的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较2.二次函数的图象和性质概念方法微思考1.二次函数的【解析】式有哪些常用形式？ 提示 (1)一般式:y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式:y ＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式:y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0).2.已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0),写出f (x )≥0恒成立的条件. 提示 a >0且Δ≤0.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0),x ∈[a ,b ]的最值一定是4ac －b 24a.( × )(2)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中,a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( √ )(3)函数y ＝122x 是幂函数.( × )(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.( √ ) (5)当n ＜0时,幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数.( × ) 题组二 教材改编2.已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22,则k ＋α等于( )A.12B.1C.32 D.2 答案 C【解析】 由幂函数的定义,知⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，22＝k ·⎝⎛⎭⎫12α. ∴k ＝1,α＝12.∴k ＋α＝32.3.已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞,6)内单调递减,则a 的取值范围是( ) A.a ≥3 B.a ≤3 C.a ＜－3 D.a ≤－3答案 D【解析】 函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线,其对称轴是x ＝－2a ,由函数在区间(－∞,6)内单调递减可知,区间(－∞,6)应在直线x ＝－2a 的左侧, ∴－2a ≥6,解得a ≤－3,故选D. 题组三 易错自纠 4.幂函数f (x )＝21023a a x－＋(a ∈Z )为偶函数,且f (x )在区间(0,＋∞)上是减函数,则a 等于( )A.3B.4C.5D.6 答案 C【解析】 因为a 2－10a ＋23＝(a －5)2－2, f (x )＝2(5)2a x－－(a ∈Z )为偶函数,且在区间(0,＋∞)上是减函数, 所以(a －5)2－2＜0,从而a ＝4,5,6,又(a －5)2－2为偶数,所以只能是a ＝5,故选C.5.已知函数y ＝2x 2－6x ＋3,x ∈[－1,1],则y 的最小值是______. 答案 －1【解析】 函数y ＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝32>1,∴函数y ＝2x 2－6x ＋3在[－1,1]上单调递减,∴y min ＝2－6＋3＝－1.6.设二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0),若f (m )＜0,则f (m －1)________0.(填“>”“＜”或“＝”) 答案 >【解析】 f (x )＝x 2－x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝12,且f (1)>0,f (0)>0,而f (m )＜0,∴m ∈(0,1),∴m －1＜0,∴f (m －1)>0.题型一 幂函数的图象和性质1.若幂函数的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，14,则它的单调递增区间是( ) A.(0,＋∞) B.[0,＋∞) C.(－∞,＋∞) D.(－∞,0)答案 D【解析】 设f (x )＝x α,则2α＝14,α＝－2,即f (x )＝x －2,它是偶函数,单调递增区间是(－∞,0).故选D.2.若四个幂函数y ＝x a ,y ＝x b ,y ＝x c ,y ＝x d 在同一坐标系中的图象如图所示,则a ,b ,c ,d 的大小关系是( )A.d >c >b >aB.a >b >c >dC.d >c >a >bD.a >b >d >c 答案 B【解析】 由幂函数的图象可知,在(0,1)上幂函数的指数越大,函数图象越接近x 轴,由题图知a >b >c >d ,故选B.3.已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)23n nx －(n ∈Z )的图象关于y 轴对称,且在(0,＋∞)上是减函数,则n 的值为( )A.－3B.1C.2D.1或2 答案 B【解析】 由于f (x )为幂函数,所以n 2＋2n －2＝1,解得n ＝1或n ＝－3,经检验只有n ＝1符合题意,故选B.4.(2018·潍坊模拟)若(a ＋1)13－＜(3－2a )13－,则实数a 的取值范围是____________.答案 (－∞,－1)∪⎝⎛⎭⎫23，32 【解析】 不等式(a ＋1)13－＜(3－2a )13－等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a ＜a ＋1＜0或a ＋1＜0＜3－2a ,解得a ＜－1或23＜a ＜32.思维升华 (1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R ),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其【解析】式.(2)在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”),在区间(1,＋∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x 轴.(3)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 题型二 求二次函数的【解析】式例1 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3,对∀x ∈R ,都有f (1＋x )＝f (1－x )成立,则f (x )的【解析】式为________________. 答案 f (x )＝x 2－2x ＋3 【解析】 由f (0)＝3,得c ＝3, 又f (1＋x )＝f (1－x ),∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称, ∴b2＝1,∴b ＝2, ∴f (x )＝x 2－2x ＋3.(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1,则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x【解析】 设函数的【解析】式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0), 所以f (x )＝ax 2＋2ax ,由4a ×0－4a 24a＝－1,得a ＝1,所以f (x )＝x 2＋2x .思维升华 求二次函数【解析】式的方法跟踪训练1 (1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ,b ∈R ,a ≠0),x ∈R ,若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0,则f (x )＝________. 答案 x 2＋2x ＋1【解析】 设函数f (x )的【解析】式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a (a ≠0), 又f (x )＝ax 2＋bx ＋1,所以a ＝1, 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3),它在x 轴上截得的线段长为2,并且对任意x ∈R ,都有f (2－x )＝f (2＋x ),则f (x )＝________. 答案 x 2－4x ＋3【解析】 因为f (2－x )＝f (2＋x )对任意x ∈R 恒成立,所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝2.又因为f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2,所以f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的【解析】式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0),又f (x )的图象过点(4,3),所以3a ＝3,即a ＝1,所以f (x )的【解析】式为f (x )＝(x －1)(x －3),即f (x )＝x 2－4x ＋3.题型三 二次函数的图象和性质命题点1 二次函数的图象例2 (2018·重庆五中模拟)一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )答案 C【解析】 若a >0,则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数,二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上,故可排除A ；若a ＜0,一次函数y ＝ax ＋b 为减函数,二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下,故可排除D ；对于选项B,看直线可知a >0,b >0,从而－b2a＜0,而二次函数的对称轴在y 轴的右侧,故应排除B,选C.命题点2 二次函数的单调性例3 函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1,＋∞)上是递减的,则实数a 的取值范围是( ) A.[－3,0) B.(－∞,－3] C.[－2,0] D.[－3,0]答案 D【解析】 当a ＝0时,f (x )＝－3x ＋1在[－1,＋∞)上单调递减,满足题意. 当a ≠0时,f (x )的对称轴为x ＝3－a 2a,由f (x )在[－1,＋∞)上单调递减,知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a 2a ≤－1，解得－3≤a ＜0.综上,a 的取值范围为[－3,0]. 引申探究若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1,＋∞),则a ＝________.答案 －3【解析】 由题意知f (x )必为二次函数且a ＜0, 又3－a 2a ＝－1,∴a ＝－3. 命题点3 二次函数的最值例4 已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4,求实数a 的值. 解 f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时,函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1,不符合题意,舍去；(2)当a >0时,函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数,最大值为f (2)＝8a ＋1＝4,解得a ＝38；(3)当a ＜0时,函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数,最大值为f (－1)＝1－a ＝4,解得a ＝－3. 综上可知,a 的值为38或－3.引申探究将本例改为:求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值. 解 f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2,∴f (x )的图象是开口向上的抛物线,对称轴为x ＝－a . (1)当－a ＜12即a >－12时,f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5,(2)当－a ≥12即a ≤－12时,f (x )max ＝f (－1)＝2－2a ,综上,f (x )max＝⎩⎨⎧4a ＋5，a >－12，2－2a ，a ≤－12.命题点4 二次函数中的恒成立问题例5 (1)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ,且f (0)＝1,若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立,则实数m 的取值范围为____________. 答案 (－∞,－1)【解析】 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0),由f (0)＝1,得c ＝1,又f (x ＋1)－f (x )＝2x ,得2ax ＋a ＋b ＝2x ,所以a ＝1,b ＝－1,所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立,即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立,令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝⎛⎭⎫x －322－54－m ,x ∈[－1,1],g (x )在[－1,1]上单调递减,所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0,所以m ＜－1.(2)函数f (x )＝a 2x ＋3a x －2(a >1),若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立,则a 的最大值为________. 答案 2【解析】 令a x ＝t ,因为a >1,x ∈[－1,1],所以1a ≤t ≤a ,原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2,t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ,显然g (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上单调递增,所以f (x )≤8恒成立,即g (t )max ＝g (a )≤8恒成立,所以有a 2＋3a －2≤8,解得－5≤a ≤2,又a >1,所以a 的最大值为2. 思维升华 解决二次函数图象与性质问题时要注意:(1)抛物线的开口,对称轴位置,定义区间三者相互制约,要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用,尤其是给定区间上的二次函数最值问题,先“定性”(作草图),再“定量”(看图求解).(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路:一是分离参数；二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域. 跟踪训练2 (1)函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0,＋∞))是单调函数的充要条件是( ) A.b ≥0 B.b ≤0 C.b >0 D.b ＜0答案 A【解析】 ∵函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0,＋∞))是单调函数,∴图象的对称轴x ＝－b2在区间[0,＋∞)的左边或－b 2＝0,即－b2≤0,得b ≥0.(2)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R ,值域为[1,＋∞),则a 的值为________. 答案 －1或3【解析】 由于函数f (x )的值域为[1,＋∞), 所以f (x )min ＝1.又f (x )＝(x －a )2－a 2＋2a ＋4, 当x ∈R 时,f (x )min ＝f (a )＝－a 2＋2a ＋4＝1, 即a 2－2a －3＝0,解得a ＝3或a ＝－1.(3)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2,对于满足1＜x ＜4的一切x 值都有f (x )>0,则实数a 的取值范围为________. 答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 【解析】 由题意得a >2x －2x 2对1＜x ＜4恒成立,又2x －2x 2＝－2⎝⎛⎭⎫1x －122＋12,14＜1x ＜1, ∴⎝⎛⎭⎫2x －2x 2max ＝12,∴a >12.数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用研究二次函数的性质,可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题,要明确参数对图象的影响,进行分类讨论.例 设函数f (x )＝x 2－2x ＋2,x ∈[t ,t ＋1],t ∈R ,求函数f (x )的最小值.解 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1,x ∈[t ,t ＋1],t ∈R ,函数图象的对称轴为x ＝1. 当t ＋1≤1,即t ≤0时,函数图象如图(1)所示,函数f (x )在区间[t ,t ＋1]上为减函数, 所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ＜1＜t ＋1,即0＜t ＜1时,函数图象如图(2)所示,在对称轴x ＝1处取得最小值,最小值为f (1)＝1；当t ≥1时,函数图象如图(3)所示,函数f (x )在区间[t ,t ＋1]上为增函数,所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知,f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2t ＋2，t ≥1.1.幂函数y ＝f (x )经过点(3,3),则f (x )是( ) A.偶函数,且在(0,＋∞)上是增函数 B.偶函数,且在(0,＋∞)上是减函数 C.奇函数,且在(0,＋∞)上是减函数 D.非奇非偶函数,且在(0,＋∞)上是增函数 答案 D【解析】 设幂函数的【解析】式为y ＝x α,将(3,3)代入【解析】式得3α＝3,解得α＝12,∴y＝12x ,故选D. 2.幂函数y ＝24m mx－(m ∈Z )的图象如图所示,则m 的值为( )A.0B.1C.2D.3答案 C【解析】 ∵y ＝24m mx－(m ∈Z )的图象与坐标轴没有交点,∴m 2－4m ＜0,即0＜m ＜4.又∵函数的图象关于y 轴对称且m ∈Z , ∴m 2－4m 为偶数,∴m ＝2.3.若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·268m m x －＋在(0,＋∞)上为增函数,则m 的值为( )A.1或3B.1C.3D.2 答案 B【解析】 由题意得m 2－4m ＋4＝1,m 2－6m ＋8>0, 解得m ＝1.4.已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方,则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，120 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎫120，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－120，0 答案 C【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0，得a >120.5.已知a ,b ,c ∈R ,函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1),则( ) A.a >0,4a ＋b ＝0 B.a ＜0,4a ＋b ＝0 C.a >0,2a ＋b ＝0 D.a ＜0,2a ＋b ＝0答案 A【解析】 由f (0)＝f (4),得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－b2a＝2,∴4a ＋b ＝0,又f (0)>f (1),f (4)>f (1),∴f (x )先减后增,于是a >0,故选A.6.已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ,x ∈[0,1]有最大值2,则a 等于( ) A.2 B.0 C.0或－1 D.2或－1答案 D【解析】 函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1,其图象的对称轴方程为x ＝a .当a ＜0时,f (x )max ＝f (0)＝1－a ,所以1－a ＝2,所以a ＝－1；当0≤a ≤1时,f (x )max ＝f (a )＝a 2－a＋1,所以a 2－a ＋1＝2,所以a 2－a －1＝0,所以a ＝1±52(舍去)；当a >1时,f (x )max ＝f (1)＝a ,所以a ＝2.综上可知,a ＝－1或a ＝2.7.已知f (x )＝x 2,g (x )＝12x ,h (x )＝x－2,当0＜x ＜1时,f (x ),g (x ),h (x )的大小关系是________________.答案 h (x )>g (x )>f (x )【解析】 分别作出f (x ),g (x ),h (x )的图象如图所示,可知h (x )>g (x )>f (x ).8.已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－32，49,且方程f (x )＝0的两个实根之差的绝对值等于7,则此二次函数的【解析】式是________________.答案 f (x )＝－4x 2－12x ＋40【解析】 设f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋322＋49(a ≠0), 方程a ⎝⎛⎭⎫x ＋322＋49＝0的两个实根分别为x 1,x 2, 则|x 1－x 2|＝2 －49a＝7, 所以a ＝－4,所以f (x )＝－4x 2－12x ＋40.9.已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上为增函数,那么f (2)的取值范围是______________.答案 [7,＋∞)【解析】 函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上为增函数,由于其图象(抛物线)开口向上,所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧,即应有a －12≤12,解得a ≤2,所以f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7,即f (2)≥7.10.设函数f (x )＝－2x 2＋4x 在区间[m ,n ]上的值域是[－6,2],则m ＋n 的取值范围是______________.答案 [0,4]【解析】 令f (x )＝－6,得x ＝－1或x ＝3；令f (x )＝2,得x ＝1.又f (x )在[－1,1]上单调递增,在[1,3]上单调递减,∴当m ＝－1,n ＝1时,m ＋n 取得最小值0；当m ＝1,n ＝3时,m ＋n 取得最大值4.11.(2018·河南南阳一中月考)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1,若对于任意x ∈[m ,m ＋1],都有f (x )＜0成立,则实数m 的取值范围是____________.答案 ⎝⎛⎭⎫－22，0 【解析】 因为函数图象开口向上,所以根据题意只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0， 解得－22＜m ＜0. 12.已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2,x ∈[－2,3]时,求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1,求实数a 的值.解 (1)当a ＝2时,f (x )＝x 2＋3x －3,x ∈[－2,3],函数图象的对称轴为x ＝－32∈[－2,3], ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝94－92－3＝－214, f (x )max ＝f (3)＝15,∴f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－214，15. (2)函数图象的对称轴为直线x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1,即a ≥－12时,f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3, ∴6a ＋3＝1,即a ＝－13,满足题意； ②当－2a －12>1,即a ＜－12时, f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1,∴－2a －1＝1,即a ＝－1,满足题意.综上可知,a ＝－13或－1.13.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的一部分,图象过点A (－3,0),对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论:①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a ＜b .其中正确的是( )A.②④B.①④C.②③D.①③ 答案 B【解析】 因为图象与x 轴交于两点,所以b 2－4ac >0,即b 2>4ac ,①正确；对称轴为x ＝－1,即－b 2a＝－1,2a －b ＝0,②错误； 结合图象,当x ＝－1时,y >0,即a －b ＋c >0,③错误；由对称轴为x ＝－1知,b ＝2a .又函数图象开口向下,所以a ＜0,所以5a ＜2a ,即5a ＜b ,④正确.14.当x ∈(1,2)时,不等式x 2＋mx ＋4＜0恒成立,则m 的取值范围是________.答案 (－∞,－5]【解析】 方法一 ∵不等式x 2＋mx ＋4＜0对x ∈(1,2)恒成立,∴mx ＜－x 2－4对x ∈(1,2)恒成立,即m ＜－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 对x ∈(1,2)恒成立, 令y ＝x ＋4x ,x ∈(1,2),则函数y ＝x ＋4x在x ∈(1,2)上是减函数.∴4＜y ＜5,∴－5＜－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＜－4, ∴m ≤－5.方法二 设f (x )＝x 2＋mx ＋4,当x ∈(1,2)时,由f (x )＜0恒成立,得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5，m ≤－4，即m ≤－5.15.若函数φ(x )＝x 2＋m |x －1|在[0,＋∞)上单调递增,求实数m 的取值范围.解 当0≤x ＜1时,φ(x )＝x 2－mx ＋m ,此时φ(x )单调递增,则m 2≤0,即m ≤0； 当x ≥1时,φ(x )＝x 2＋mx －m ,此时φ(x )单调递增,则－m 2≤1,即m ≥－2.综上,实数m 的取值范围是[－2,0].16.是否存在实数a ∈[－2,1],使函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]时,值域为[－2,2]？若存在,求a 的值；若不存在,请说明理由.解 f (x )＝(x －a )2＋a －a 2,当－2≤a ＜－1时,f (x )在[－1,1]上为增函数,∴由⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝－2，f (1)＝2，得a ＝－1(舍去)； 当－1≤a ≤0时,由⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝－2，f (1)＝2，得a ＝－1； 当0＜a ≤1时,由⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝－2，f (－1)＝2，得a 不存在； 综上可得,存在实数a 满足题目条件,a ＝－1.。

课时规范练53《素养分级练》P331基础巩固组1.在一次抛硬币的试验中,某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验,发现正面朝上出现了40次,那么出现正面朝上的频率和概率分别为()A.0.4,0.4B.0.5,0.5C.0.4,0.5D.0.5,0.4答案:C解析:100次试验中有40次正面朝上,所以正面朝上的频率为40100=0.4.因为硬币质地均匀,所以正面朝上和反面朝上的概率都是0.5.故选C.2.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率是90%,则甲、乙两人下成和棋的概率是()A.60%B.50%C.10%D.30%答案:B解析:“甲获胜”与“甲、乙下成和棋”是互斥事件,“甲不输”即“甲获胜或甲、乙下成和棋”,设甲不输为事件A,甲胜为事件B,甲、乙下成和棋为事件C,故P(A)=P(B)+P(C),∴P(C)=P(A)-P(B)=90%-40%=50%.3.(2022·全国甲,文6)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()A.15B.13C.25D.23答案:C解析:从6张卡片中无放回随机抽取2张,所有可能的结果是(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种,其中数字之积是4的倍数的结果是(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6),共6种,故所求概率为615=25,故选C.4.(多选)(2023·江苏苏州外国语学校模拟)某校高一年级开设了甲、乙两个课外兴趣班,供学生们选择,记事件Ω1=“只选择甲兴趣班”,Ω2=“至少选择一个兴趣班”,Ω3=“至多选择一个兴趣班”,Ω4=“一个兴趣班都不选”,则()A.Ω1与Ω3是互斥事件B.Ω2与Ω4既是互斥事件也是对立事件C.Ω2与Ω3不是互斥事件D.Ω3与Ω4是互斥事件答案:BC解析:事件Ω2包含选择甲兴趣班,选择乙兴趣班,选择甲乙两种兴趣班;Ω3包含选择甲兴趣班,选择乙兴趣班,两种兴趣班都不选择.所以Ω1与Ω3不是互斥事件,故A错误;Ω2与Ω4既是互斥事件也是对立事件,故B正确;Ω2与Ω3不是互斥事件,故C正确;Ω3与Ω4不是互斥事件,故D错误.故选BC.5.(2022·四川攀枝花三模)算盘是中国传统的计算工具,其形长方,周为木框,内贯直柱,俗称“档”,档中横以梁,梁上两珠,每珠作数五;梁下五珠,每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠,梁下部分叫下珠.如图,在十位档拨一颗上珠和两颗下珠,个位档拨四颗下珠,则表示数字74.若在个、十、百、千位四档中随机选择一档拨一颗下珠,再从这四档中随机选择两个不同档位各拨一颗上珠,则所表示的数字小于560的概率为()A.18B.524C.14D.724答案:C解析:在个、十、百、千位四档中随机选择一档拨一颗下珠,再从这四档中随机选择两个不同档位各拨一颗上珠,共有C41C42=4×4×32×1=24种不同情况.表示的数字小于560包括56,65,155,506,516,551,共6种情况,所以所表示的数字小于560的概率为624=14.6.(2022·河北张家口三模)用0,1,2,3组成无重复数字的三位数,这个三位数是偶数的概率为.答案:59解析:组成无重复数字的三位数共有C31A32=18个,当0做个位时有A32=6个,当2做个位时有C21C21=4个,故三位数是偶数的概率等于6+418=59.综合提升组7.(2022·广东广州三模)春节是中华民族的传统节日,在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸,而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿,某商家在春节前开展商品促销活动,顾客凡购物金额满80元,则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件,若有5名顾客都领取一件礼品,则他们中恰有3人领取的礼品种类相同的概率是()A.140243B.40243C.2081D.4081答案:D解析:先考虑恰有3人领取的礼品种类相同,先从5人中选取3人有C 53=10种,再从三类礼品中领取一件有C 31=3,另外2人从剩下的2类礼品中任意选择有2×2=4种,按照分步乘法计数原理可得10×3×4=120种,又总情况有35=243种,故恰有3人领取的礼品种类相同的概率是120243=4081. 8.有5个形状大小相同的球,其中3个红色、2个蓝色,从中一次性随机取2个球,则下列说法正确的是( )A.“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件B.“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件C.“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率D.“至多取到1个红球”的概率大于“至多取到1个蓝球”的概率 答案:C解析:当取出的两球为一红一蓝时,可得“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”均发生,即A 错误;当取出的两球为一红一蓝时,可得“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”均发生,即B 错误;记“至少取到1个红球”为事件A ,“至少取到1个蓝球”为事件B ,“至多取到1个红球”为事件C ,“至多取到1个蓝球”为事件D ,故P (A )=C 32+C 31C 21C 52=910,P (B )=C 22+C 31C 21C 52=710,P (C )=C 22+C 31C 21C 52=710,P (D )=C 32+C 31C 21C 52=910,显然P (A )>P (B ),P (C )<P (D ),即C 正确,D 错误.9.致敬百年,读书筑梦,某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩,党史网络知识竞赛”活动,并从中抽取100位学生的竞赛成绩作为样本进行统计,得到如图所示的频率分布直方图.规定:成绩在[80,100]内为优秀,成绩低于60分为不及格.(1)求a 的值,并用样本估算总体,能否认为该校参加本活动的学生成绩符合“不及格的人数低于20%”的要求;(2)若样本中成绩优秀的男生为5人,现从样本的优秀答卷中随机选取3份作进一步分析,求其中至少有1份是男生的概率.解:(1)由频率分布直方图得(0.004+a+0.011+0.036+0.023+0.014+a )×10=1,解得a=0.006,成绩不及格的频率为(0.004+0.006+0.011)×10=0.21, ∴“成绩不及格”的概率估计值为21%, ∵21%>20%,∴不能认为该校参加本活动的学生成绩符合“不及格的人数低于20%”的要求.(2)(方法1)由(1)可知样本中成绩优秀有20人,其中男生5人,故女生15人,记事件A=“从样本的优秀答卷中随机选取3份作进一步分析,其中至少有1份是男生”,则P (A )=C 51C 152+C 52C 151+C 53C 203=137228,∴所求概率为137228.(方法2)由(1)可知样本中成绩优秀的有20人,其中男生5人,故女生15人,记事件A=“从样本的优秀答卷中随机选取3份,其中至少有1份是男生”,则A =“从样本的优秀答卷中随机选取3份,全是女生”,则P (A )=C 153C 203=91228,∴P (A )=1-P (A )=137228,∴所求概率为137228. 创新应用组10.(2022·湖南湘潭三模)写算,是一种格子乘法,也是笔算乘法的一种,用以区别筹算与珠算,它由明代数学家吴敬在其撰写的《九章算法比类大全》一书中提出,是从天元式的乘法演变而来.例如计算89×61,将被乘数89计入上行,乘数61计入右行,然后以乘数61的每位数字乘被乘数89的每位数字,将结果计入相应的格子中,最后从右下方开始按斜行加起来,满十向上斜行进一,如图,即得5 429.类比此法画出354×472的表格,若从表内的18个数字(含相同的数字,表周边数据不算在内)中任取2个数字,则它们之和大于10的概率为( )A.251 B.8153C.10153D.451答案:D解析:画出354×472的表格,如图所示,则从18个数字中任取2个,共有C 182种不同的取法,其中6与8各2个,3与5各1个,从中任取2个,它们之和大于10的取法为(3,8),(5,6),(5,8),(6,8),(6,6),(8,8),故所求概率为1×2+1×2+1×2+2×2+2C 182=12153=451.。

规范训练!",!6*安徽芜湖调研"已知数列&*&'是等比数列%*"'(%*#+"是*"和*(的等差中项!!!"求数列&*&'的通项公式-!""设1&'";><"*&)!%求数列&*&1&'的前&项和>&!解析 %!&设数列#*&$的公比为/!因为*"'(!所以*#'(/!*('(/"!因为*#+"是*"和*(的等差中项!所以"%*#+"&'*"+*(!即"%(/+"&'(+(/"!化简得/")"/',!因为公比/",!所以/'"!所以*&'*"/&)"'(*"&)"'"&%& )&!%"&因为*&'"&!所以1&'";><"*&)!'"&)!!所以*&1&'%"&)!&"&!则>&'!*"+#*""+/*"#+/+%"&)#&"&)!+%"&)!&"&! ">&'!*""+#*"#+/*"(+/+%"&)#&"&+%"&)!&"&+!! 由 ) 得!)>&'"+"*""+"*"#+/+"*"&)%"&)!&"&+!'"+"*(%!)"&)!&!)")%"&)!&"&+!')4)%"&)#&"&+!!所以>&'4+%"&)#&"&+!!。

一元二次不等式及其解法[考试要求]1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式．1．一元二次不等式把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，其一般形式为ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．2．一元二次不等式的解法步骤(1)将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．(2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．提醒：二次项系数为正的一元二次不等式的解集求法：“大于取两边，小于取中间”．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠x1}R提醒：解集的端点是对应方程的根．[常用结论]1．一元二次不等式恒成立问题(1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a＞0且Δ＜0；(2)不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a＜0且Δ＜0. 2．简单分式不等式(1)f(x)g(x)≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)g(x)≥0，g(x)≠0；(2)f(x)g(x)＞0⇔f(x)g(x)＞0.3．能成立问题的转化：a＞f(x)能成立⇒a＞f(x)min；a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)max.一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.()(2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx ＋c＝0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.()(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.()[答案](1)√(2)√(3)×(4)×二、教材习题衍生1．不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为()A．{x|－2＜x＜－1}B．{x|－1＜x＜2}C．{x|x＜－2或x＞1} D．{x|x＜－1或x＞2}A[方程(x＋1)(x＋2)＝0的两根为x＝－2或x＝－1，则不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为{x |－2＜x ＜－1}，故选A.]2．已知集合A ＝{x |x 2－x －6＞0}，则∁R A 等于( ) A ．{x |－2＜x ＜3} B ．{x |－2≤x ≤3} C ．{x |x ＜－2}∪{x |x ＞3}D ．{x |x ≤－2}∪{x |x ≥3}B [由x 2－x －6＞0得x ＞3或x ＜－2，即A ＝{x |x ＜－2，或x ＞3}，∴∁R A ＝{x |－2≤x ≤3}，故选B.]3．关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集为∅，则a 的取值范围是________．(9，＋∞) [由题意知，x 2－6x ＋a ＞0的解集为R ，则Δ＝(－6)2－4a ＜0，解得a ＞9.]4．关于x 的不等式－12x 2＋2x ＞mx 的解集为{x |0＜x ＜2}，则m ＝________. 1 [由题意知，x ＝2是方程－12x 2＋2x ＝mx 的一个根，则2m ＝－12×22＋2×2＝2，解得m ＝1.]考点一 不含参数的一元二次不等式解一元二次不等式的四个步骤1．已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <12D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >12B [∵不等式ax 2－bx －1>0的解集是，∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a <0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝b a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3.] 2．不等式0＜x 2－x －2≤4的解集是( ) A ．{x |－2≤x ＜－1} B ．{x |2＜x ≤3} C ．{x |－2≤x ≤3}D ．{x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3}D [原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x ＋1)＞0(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1－2≤x ≤3⇔－2≤x ＜－1或2＜x ≤3，故选D.] 3．(2020·天津南开中学月考改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，f (x )＝－x 2－3x ，则方程f (x )＝－x ＋3的根是x ＝________，不等式f (x －1)＞－x ＋4的解集是________．3 (4，＋∞) [由当x ≤0时，f (x )＝－x 2－3x ，f (x )是定义在R 上的奇函数，得当x ＞0时，f (x )＝x 2－3x ，所以当x ≤0时，方程f (x )＝－x ＋3即－x 2－3x ＝－x ＋3，无解；当x ＞0时，方程f (x )＝－x ＋3即x 2－3x ＝－x ＋3，解得x ＝3或x ＝－1(舍去)．则方程f (x )＝－x ＋3的根是x ＝3.当x －1＞0时，由f (x －1)＞－x ＋4，得(x －1)2－3(x －1)＞－x ＋4，得x ＞4；当x －1≤0时，由f (x －1)＞－x ＋4，得－(x －1)2－3(x －1)＞－x ＋4，无解．所以不等式f (x －1)＞－x ＋4的解集为(4，＋∞)．]考点二 含参数的一元二次不等式解含参不等式的分类讨论依据[典例1] 解关于x 的不等式 (1)x 2＋ax ＋1＜0(a ∈R )； (2)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0.[解](1)Δ＝a 2－4.①当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，原不等式无解．②当Δ＝a 2－4＞0，即a ＞2或a ＜－2时，方程x 2＋ax ＋1＝0的两根为x 1＝－a ＋a 2－42，x 2＝－a －a 2－42，则原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －a －a 2－42＜x ＜－a ＋a 2－42. 综上所述，当－2≤a ≤2时，原不等式无解． 当a ＞2或a ＜－2时，原不等式的解集为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－a －a 2－42＜x ＜－a ＋a 2－42. (2)若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1＜0， 解得x ＞1.若a ＜0，原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＞0，解得x ＜1a 或x ＞1.若a ＞0，原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0.①当a ＝1时，1a ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0无解；②当a ＞1时，1a ＜1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0，得1a ＜x ＜1；③当0＜a ＜1时，1a ＞1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0，得1＜x ＜1a . 综上所述，当a ＜0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞1； 当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}； 当0＜a ＜1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜1a； 当a ＝1时，解集为∅； 当a ＞1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜1. 点评：(1)当判别式Δ能写成一个式子的平方的形式时，可先求方程的两根，再讨论两根的大小，从而写出解集．(2)三个方面讨论：二次项系数的讨论，根有无的讨论，根大小的讨论． (3)含参数分类讨论问题最后要写综述． [跟进训练]解关于x 的不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )． [解]原不等式可化为12x 2－ax －a 2＞0， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a ＞0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞；当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a ＜0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，＋∞.考点三 一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题的解法(1)函数法(图象法)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．①f (x )＞0在x ∈R 上恒成立⇔a ＞0且Δ＜0； ②f (x )＜0在x ∈R 上恒成立⇔a ＜0且Δ＜0；③当a ＞0时，f (x )＞0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a＜α，f (α)＞0或⎩⎪⎨⎪⎧α≤－b 2a ≤β，Δ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＞β，f (β)＞0；f (x )＜0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎨⎧f (α)＜0，f (β)＜0；④当a ＜0时，f (x )＞0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎨⎧f (α)＞0，f (β)＞0；f (x )＜0在x ∈[α，β]上恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a＜α，f (α)＜0或⎩⎪⎨⎪⎧α≤－b 2a ≤β，Δ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＞β，f (β)＜0.(2)最值法(分离参数法)对于含参数的不等式恒成立问题，常通过分离参数，把求参数的范围问题转化为求函数的最值问题．a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ， a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min .在R 上的恒成立问题[典例2－1] 若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[－2,2]C ．(－2,2]D ．(－∞，－2)C [当a －2＝0，即a ＝2时，不等式为－4＜0，对一切x ∈R 恒成立．当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，a 2＜4，解得－2＜a ＜2.所以实数a 的取值范围是(－2,2]．]点评：本题在求解中常因忽略“a －2＝0”的情形致误，只要二次项系数含参数，必须讨论二次项系数为零的情况．在给定区间上的恒成立问题[典例2－2] (1)若对任意的x ∈[－1,2]，都有x 2－2x ＋a ≤0(a 为常数)，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．(－∞，0]C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1](2)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋1对任意x ∈(0,2]恒有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，54B ．[－1,1]C ．(－∞，1]D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，54 (1)A (2)C [(1)法一(函数法)：令f (x )＝x 2－2x ＋a ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝(－1)2－2×(－1)＋a ≤0，f (2)＝22－2×2＋a ≤0，解得a ≤－3，故选A.法二(最值法)：当x ∈[－1,2]时，不等式x 2－2x ＋a ≤0恒成立等价于a ≤－x 2＋2x 恒成立，则由题意，得a ≤(－x 2＋2x )min (x ∈[－1,2])．而－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，则当x ＝－1时，(－x 2＋2x )min ＝－3，所以a ≤－3，故选A.(2)f (x )＝x 2－2ax ＋1对任意x ∈(0,2]恒有f (x )≥0成立，即2a ≤x ＋1x 在x ∈(0,2]上恒成立．因为x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取最小值2，所以2a ≤2，即a ≤1.故选C.][母题变迁]若将本例(1)改为“若存在x ∈[－1,2]，使得x 2－2x ＋a ≤0(a 为常数)，试求a 的取值范围．”[解]由题意知a ≤－x 2＋2x 在x ∈[－1,2]时有解． 则a ≤(－x 2＋2x )max ，x ∈[－1,2]，又－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，x ∈[－1,2]， ∴a ≤1，即a 的取值范围是(－∞，1]．点评：本例T (2)若用函数法求解有三种情况，较复杂． [跟进训练]1．若不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]D [当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立．则⎩⎨⎧k ＜0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38＜0，解得－3＜k ＜0.综上，满足不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．故选D.]2．(2020·深圳中学模拟)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ [∵满足1<x <4的一切x 值，都有f (x )＝ax 2－2x ＋2>0恒成立，可知a ≠0，∴a >2(x －1)x 2＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－⎝⎛⎭⎪⎫1x －122，满足1<x <4的一切x 的值恒成立， ∵14<1x <1,2⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12， 实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.]。