轻巧夺冠高中数学一轮复习教师用书页码 (391)
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轻巧夺冠高中数学一轮复习教师用书页码 (390)
使得
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"!设等差数列&*&'和等比数列&1&'首项都是!%公差与公比都是
考点一 数列与函数
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教材衍化
考题体验
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轻巧夺冠高中数学一轮复习教师用书页码 (430)
例如图%在四棱柱 #$'=)#!$!'!=!中%#$9'=%#$
F#$9'=!#$'"'=!J 是 #$ 的 中 点!E$J9'=!$J' '=!E四边形$'=J 是平行四边形!E=J9$'! 又 =JQ 平 面 $''!$!!$'P 平 面 $''!$!!E=J9 平 面 $''!$!! F==!9''!!==!Q平面 $''!$!! ''!P平面 $''!$!!E=!=9平面 $''!$!!又 =!=*=J' =!E平面 =J=!9平面$''!$!!FJHP平面 =J=!!EJH9 平面 $''!$!! %"&解以 = 为原点!分别以 =$!='!='!所在直线为" 轴)( 轴)S轴建立空间直角坐标系!如图!
则 =%,!,!,&!'%,!!!,&!'!%,!,!槡#&!$%槡#!,!,&!
E$;!':!'$; :''%)槡#!!!,&!=;':!'%,!,!槡#&! ';':! ' %,!) !!槡#&!设 平 面 $''! $! 的 法 向 量 为
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轻巧夺冠高中数学一轮复习教师用书页码 (379)
! " 若有*&+!)*&'2!&+!")2!&" , 或*&,时%**&+&! ! %
则*&+! *&%即数列&*&'是递减数列%所以数列&*&'的最大项
为*!'2!!"!
考点一 由数列的前几项求数列的通项
例!!"已知数列的前(项为"%,%"%,%则依此归纳该数列的
通项不可能是!3"
.1*&'!)!"&)!+!
一项的分子都比分母少#!且第!项可变为)"")#!
故原数列可变为)"!")!#!""")"#!)"#")##!"(")(#!/!
故其通项公式可以为*&'%)!&&*"&")&#!
规律方法 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略#
!!"常用方法#观察!观察规律"$比较!比较已知数列"$归纳$转
化!转化为特殊数列"$联想!联想常见的数列"等方法!
&(!&'!!
*&' "*#&)!!&!"!
解析%!&*!'4!'")#')!!
当&!"时!*&'4&)4&)! '%"&" )#&&)'"%&)!&")#%&)
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轻巧夺冠高中数学一轮复习教师用书页码 (377)
无数个! "!复数的模
!!"复数S'*+1:!*%1""的模,S,' 槡*"+1" !""从几何意义上理解%表示点 X 和原点间的距离%类比向量 的模可进一步引申#,S!)S",表示点X!和点X"之间的距离! 易错防范 !!两个复数作差的几何意义就是复平面内连接两个复数对应的 点%方向指向被减复数对应点的有向线段! "!注意复数 加 减 法 可 按 向 量 的 平 行 四 边 形 法 则 或 三 角 形 法 则 进行!
!!**
反思与感悟
思维升华 !!复数的几何意义
复数的几何意义架起了复数与几何之间的桥梁%使得复数问题 可以用几何方法解决%而几何问题也可以用复数方法解决!即 数形结合法"%增加了解决复数问题的途径! !!"复数S'*+1:!*%1""的 对 应 点 的 坐 标 为 !*%1"%而 不 是 !*%1:"-
!""复数S'*+1:!*%1""的对应向量I; :X是以原点I 为起点 的%否则就谈不上一一对应%因为复平面上与I; :X相等的向量有
槡! " ! " )
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"
'!所以,S!,1,S",!
由知!0,S,0"因为不等式,S,3!的解集是圆,S,'!
上和该圆外部所有点组成的集合不等式,S,0"的解集是圆,
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反思与感悟
思维升华 !!复数的几何意义
复数的几何意义架起了复数与几何之间的桥梁%使得复数问题 可以用几何方法解决%而几何问题也可以用复数方法解决!即 数形结合法"%增加了解决复数问题的途径! !!"复数S'*+1:!*%1""的 对 应 点 的 坐 标 为 !*%1"%而 不 是 !*%1:"-
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轻巧夺冠高中数学一轮复习教师用书页码 (419)
!!所以三棱锥
))#$'
的体积L'
! #
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%"&在平面 #$' 内!过点$ 作$,@#'! 垂足为 ,!在 平 面 )#' 内!过 点 , 作
+,9)# 交)' 于点 +!连接$+! 由)#@ 平 面 #$' 知 )# @#'!所 以 +,@#'!又$,*+,',!故 #'@平 面 +$,!又$+P 平面 +$,!所 以 #'@$+!在 K?<$#,
' !""判定定理!#6-@%&-P%6@%-&*&'# -6@-
!#"判定定理"#*91%*@-1@!("面面垂直的性质#@%*'6%*P%*@6-*@! "!证明面面垂直的方法# !!"利用定义#两个平面相交%所成的二面角是直二面角!""判定定理#*P%*@-@! #!转化思想#三种垂直关系之间的转化
JT!又'K'JT'槡""! 所以四边形JT'K 为平行四边形!所以 JK9'T!又'TP平 面'HN!JKQ平面'HN!所以JK9平面'HN!所以在 #' 上
存在一点 K!使得JK9平面'HN!且'K'槡""!
反思与感悟
思维升华 !!证明线面垂直的方法#
!!"线面垂直的定义#*与 内任何直线都垂直-*@-
轻巧夺冠高中数学一轮复习教师用书页码 (401)
部分其中 JK9#:=:!剩下的几何体是!3!
全等的 等腰 全 等 的 等
轴截面 全等的 矩形! 三角形!
腰梯形!
侧面 展几何体的直观图常用 斜二测!画法来画其规则是 !原图形中" 轴( 轴S 轴两两垂直直观图中":轴(:轴的 夹角为 (/A或!#/A!S:轴与":轴(:轴所在平面 垂直!! "原图形中平行于坐标轴的线段直观图中仍分别 平行于!坐 标轴!平行于"轴和S轴的线段在直观图中保持原长度 不变!平 行于(轴的线段长度在直观图中变为原来的 一半!!
不一定相等
一点!
侧面形状 平行四边形!
三角形!
梯形!
"旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相 平 行 且 相
延长线交
等 垂直!于 底面
相交于
一点! 于 一点!
疑误辨析
!!判断下列结论的正误请在括号内打/或*!
!有两个面平行其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱!
!*!
"有一个面是多边形其余各面都是三角形的几何体是棱锥!
!*!
#棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面之间
的部分!
!/!
(用斜二测画法画水平放置的D# 时若D# 的两边分别平
行于" 轴和( 轴且D#'6,A则在直观图中D#'(/A!
!*!
教材衍化
"!必修"-!,2!改编如图长方体 #$'=)#:$:':=:被截去一
第节!空间几何体及结构特征
!!认识柱锥台球及其简单组合体的结构特征能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构"!能用斜二测法画出简 单空间图形长方体球圆柱圆锥棱柱及其简单组合的直观图!
轻巧夺冠高中数学一轮复习教师用书页码 (428)
!!两个重要向量
直线的 方向向量
平面的 法向量
直线的方向向量是指和这条直线平行!或重合"的非零 向量%一条直线的方向向量有 无数!个
直线6@平面%取直线6的方向向量%则这个向量叫做 平面的法向量!显然一个平面的法向量有 无数!个% 它们是共线向量
"!向量方法求角度 !!"两条异面直线所成角的求法 设!%"分别是两异面直线6!%6"的方向向量%则
第八章!立体几何与空间向量
反思与感悟
思维升华 !!利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应
用的基础! "!利用共线向量定理$共面向量定理可以证明一些平行$共面问
题-利用数量积运算可以解决一些距离$夹角问题! #!利用向量解立体几何题的一般方法#把线段或角度转化为向量
表示%用已知向量表示未知向量%然后通过向量的运算或证明 去解决问题!其中合理选取基底是优化运算的关键! (!向量的运算有 线 性 运 算 和 数 量 积 运 算 两 大 类%运 算 方 法 有 两 种%一种是建立空间坐标系%用坐标表示向量%向量运算转化为 坐标运算%另一种是选择一组基向量%用基向量表示其它向量%
"!找两个向量的夹角%应使两个向量具有同一起点%不要误找成 它的补角!
#!用向量证明立体几何问题%写准点的坐标是关键%要充分利用 中点$向量共线$向量相等来确定点的坐标!
第+节!空间向量的应用
!!理解向量的概念)运算)基本定理的应用""!运用向量的方法研究空间向量基本图形的位置关系和度量关系!#!运用向量方 法解决简单的数学问题与实际问题!
6!与6"所成的角
范围
! , ,%"
轻巧夺冠高中数学一轮复习教师用书页码 (407)
疑误辨析
!!给出下列命题#
$过球面上任意两点只能作球的一个大圆-
%球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径-
&用 不 过 球 心 的 平 面 截 球%球 心 和 截 面 圆 心 的 连 线 垂 直 于
截ห้องสมุดไป่ตู้-
(球面也可看作到定点的距离等于定长的所有点的集合-
/半圆弧以 其 直 径 所 在 的 直 线 为 轴 旋 转 所 形 成 的 曲 面 叫 做
E原来实心球的表面积为('O"'5'=B"!故选 2!
例三个球的半径之比为!N"N#%那么最大球的表面积
是其余两个球的表面积之和的!3"
.1!倍
21"倍
31/6 倍
018( 倍
解析设最小的球的 半 径 为7!则 另 两 个 球 的 半 径 为 "7!#7!所
!#*
! " 水的体 积 为
L:)!"L球
'
! #
'
"槡# #
"
* ")
" #
*'*!# '
! " !#'
槡##;
"
;!解得;'#槡"!
考点一 球的体积
例一个平面截一球得到直径为4的圆面%球心到这个圆面 的距离为(%则这个球的体积为!3" .1!,#,' 21",#5'
31/,#,'
01(!4#槡#'
解析如图!由题意可知!I:#'#!II:'(!
EO'I#'/!
轻巧夺冠高中数学一轮复习教师用书页码 (402)
考题体验 (!!",!5*上海卷"2九章算术3中%称底面为矩形而有
一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马!设 ##! 是正 六棱柱的一条侧棱%如图%若阳马以该正六棱柱的 顶点为顶点%以 ##! 为底面矩形的一边%则这样的 阳马的个数是!!0!"
第八章!立体几何与空间向量
.1(
215
31!"
01!4
/!用一个平面去截正方体%则截面不可能是!!.!"
旋转形成的面所围成的旋转体是圆台 01用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形 解析如图所示!可排除 .!2选项!只有截面与圆柱的母线平 行或垂直时!截得的截面为矩形或圆!否则为椭圆或椭圆的一
训练给出下面四种说法# !!"有两个面平行%其余各面都是四边形的几何体叫棱柱!""有两个面平行%其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱!#"有一个面是多边形%其余各面都是三角形的几何体叫棱锥!("棱台各侧棱的延长线交于一点! 其中说法错误的序号为 %!&%"&%#&!! 解析%!&如 果 上)下 两 个 面 平 行!但 不 全 等!即使其 余 各 面 是 四 边 形!也 不 可 能 是 棱柱!%"&如 图 所 示!平 面 #$'9 平 面 #!$!'!!其 余 各 面 都 是 平 行 四 边 形!但 是 上)下相邻的两个四边形的公共边并不都 互相平行!故不是棱柱!%#&棱锥的一个面是多边形!其余各面 是有一个公共顶点的三角形!%(&棱台是由棱锥截得的!故其侧 棱延长线交于一点!
考点二 空间几何体的直观图
例已知正三角形#$' 的边长为*%那么<#$' 的平面 直观图<#:$:':的面积为!!0!"
一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马!设 ##! 是正 六棱柱的一条侧棱%如图%若阳马以该正六棱柱的 顶点为顶点%以 ##! 为底面矩形的一边%则这样的 阳马的个数是!!0!"
第八章!立体几何与空间向量
.1(
215
31!"
01!4
/!用一个平面去截正方体%则截面不可能是!!.!"
旋转形成的面所围成的旋转体是圆台 01用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形 解析如图所示!可排除 .!2选项!只有截面与圆柱的母线平 行或垂直时!截得的截面为矩形或圆!否则为椭圆或椭圆的一
训练给出下面四种说法# !!"有两个面平行%其余各面都是四边形的几何体叫棱柱!""有两个面平行%其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱!#"有一个面是多边形%其余各面都是三角形的几何体叫棱锥!("棱台各侧棱的延长线交于一点! 其中说法错误的序号为 %!&%"&%#&!! 解析%!&如 果 上)下 两 个 面 平 行!但 不 全 等!即使其 余 各 面 是 四 边 形!也 不 可 能 是 棱柱!%"&如 图 所 示!平 面 #$'9 平 面 #!$!'!!其 余 各 面 都 是 平 行 四 边 形!但 是 上)下相邻的两个四边形的公共边并不都 互相平行!故不是棱柱!%#&棱锥的一个面是多边形!其余各面 是有一个公共顶点的三角形!%(&棱台是由棱锥截得的!故其侧 棱延长线交于一点!
考点二 空间几何体的直观图
例已知正三角形#$' 的边长为*%那么<#$' 的平面 直观图<#:$:':的面积为!!0!"
轻巧夺冠高中数学一轮复习教师用书页码 (389)
>"&'%)1"!+1""&+%)1"# +1"(&+ / + %)1""&)!+1""&&'1! +1" +1#+1(+/+1"&)!+1"&'"&%1!"+1"&&'"&"!
考点三 裂项相消法求和
例已知正项数列&*&'的前& 项和为4&%且 4&%*&%!" 成等
差数列!
!!"证明#数列&*&'是等比数列-
又&'!时也满足!
故*&'"&)!!
%"&由%!&得1&'%"&)!&*#&!
所以 >&'!*#+#*#"+/+%"&)!&*#&!
则#>&'!*#"+#*##+/+%"&)!&*#&+!!
所以 >&)#>&'#+"*%#"+##+/+#&&)%"&)!&*#&+!!
考点三 裂项相消法求和
例已知正项数列&*&'的前& 项和为4&%且 4&%*&%!" 成等
差数列!
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又&'!时也满足!
故*&'"&)!!
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所以 >&'!*#+#*#"+/+%"&)!&*#&!
则#>&'!*#"+#*##+/+%"&)!&*#&+!!
所以 >&)#>&'#+"*%#"+##+/+#&&)%"&)!&*#&+!!
轻巧夺冠高中数学一轮复习教师用书页码 (404)
锥
+)JHNK
的体积为
! #
*
槡"
"
*
"
! "
'!!"!
考点一 空间几何体的表面积
考点二 空间几何体的体积&多维探究
例一个六棱锥的体积为"槡#%其底面是边长为"的正六边 形%侧棱长都相等%则该六棱锥的侧面积为 !"! 解析设六棱锥的高为;!
则L'
#!4;!所以
! #
*槡(#*(*4;'"槡#!解得;'!!
迁移探究!用长度分别为"%#%/%4%6!单位#=B"的五根木棒
连接!只允许连接%不允许折断"%组成共顶点的长方体的三条
棱%则能够得到的长方体的最大表面积为!3"
.1"/5=B" 21(!(=B"
31(!4=B"
01(!5=B"
解析设长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为*!1!5!
则长方体的表面积
4'"%*1+15+*5&
! "
'%*+1&"+
%1+5&"
+%*+5&"(!
当且仅当*'1'5时上式+',成立!
由题意可知!*!1!5!不可能相等!故当*!1!5的大小最接近时!
长方体的表面积 最 大!此 时 从 同 一 顶 点 出 发 的 三 条 棱 的 长 为
5!5!6!
用长度 为 "!4 的 木 棒 连 接!长 度 为 #!/ 的 木 棒 连 接 各 为 一 条
轻巧夺冠高中数学一轮复习教师用书页码 (413)
交故 . 是假命题 对于 2设!*"'-若*1均与 - 平行则*91故 2 是假 命题
对于 3*1可能平行异面相交故 3是假命题 对于0若!9"*P!则*与" 没有公共点则*9"故0是真 命题! "在 2中如图连接 +,), F#$' 为正方体所在棱的中点E#$9 +,#'9), F+,9=J),9JHE#$9=J#'9 JHF#$*#''#=J*JH'J #$#'P平面 #$'=JJHP平面 =JH
考点一 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ线面平行相关命题的判定
例!!"!",!6*河南开封模拟"在空间中%*%1%5是三条不同 的直线%!%" 是 两 个 不 同 的 平 面%则 下 列 命 题 中 的 真 命 题 是 !!0!" .1若*@5%1@5%则*91 21若*P!%1P"%!@"%则*@1 31若*9!%19"%!9"%则*91 01若!9"%*P!%则*9" !""!",!5*山东聊城模拟"下列四个正方体中%#%$%' 为所在 棱的中点%则能得出平面#$'9平面 =JH 的是!!2!"
21只有两条与*平行的直线
31存在无数条与*平行的直线
01存在唯一与*平行的直线 4!设!%"%*为三个不同的平面%*%1为直线%给出下列条件#
*P!%1P"%*9"%19!-!9*%"9*!@*%"@*-*@!%1@"%*91! 其中能推出!9"的条件是 !!!填上所有正确的序号"
轻巧夺冠高中数学一轮复习教师用书页码 (405)
.1槡#"
21槡##
31( #
01"#
解析如图!分别过点 #!$ 作JH 的垂线!垂足分别为N!K!连
接 =N!'K!
EJN'KH'
! "
!#N'N='$K'K''槡"#!
取 #= 的中点I!连接NI!ENI'槡""!
E4<#N=
'4<$K'
'
! "
*槡""*!'槡("!
E多面体的体积L'L三棱锥J)#=N L + 三棱锥H)$'K +L三棱柱#N=)$K'
E它的棱长*"
D
*! 槡"
D
槡" "
!
以'"各个面的中心为顶点的图形'#是正方体!
"!用等体积方法 进 行 转 化 的 时 候 注 意 等 价 性-锥 体 体 积 公 式 是
L'
!#8;%不要忘记
! #
!
#!底面是梯形的四棱柱侧放时%容易和四棱台混淆%在识别时要
紧扣定义%以防出错!
!
'槡#! 又因为平面 $$!'!'@平面 #$'!平面 $$!'!*平面 #$'' $'!#=@$'!#=P平面 #$'!由面面垂直的性质定理可得 #=@平面$$!'!'!即#= 为三棱锥#)$!='!的底面$!='! 上的高!
所以L#)$!='!
轻巧夺冠高中数学一轮复习教师用书页码 (397)
"!在求式子的范围时%同向不等式才能相加%如果多次使用不
等式的可加性%式子中的等号不能同时取到%会导致范围扩大!
训练!!"!必修/-8(例!改编"若*111,%52?2,%则一 定有!!2!"
.1?* 151
21?* 251
315* 1?1
015* 2?1
!""已知*111,%比较**11 与*11* 的大小! !#"已知,2*212!!$试猜想*+;&1与1+;&* 的大小关
;&*!
考点二 一元二次不等式的解法
角度!解一元二次不等式
例!!"求不等式"0 "! 的解集! !""已知2!""是定义在 上的奇函数!当 "1,时%2!""' "")""%求不等式2!""1" 的解集!
& & 解析%!&原不等式等价于 "1,! 或 "2,! 故不等式 "")!0,! "")!3,! 解集为#","0)!或,2"0!$! %"&当"1,时!"")""1"!得"1#!由于函数('2%"&和(' " 都是奇函数!由对称性可知在原点左侧对应的解为)#2"2 ,!故不等式的解集为#",)#2"2,或"1#$! 角度!解含参不等式 例解关于" 的不等式*"")"3"")*"!*""! 解析原不等式可因式 分 解 为 %"+!&* %*")"&3,!当 *', 时!"+!0,!所以不等式解集为%)7!)!("当*1,时!不等
轻巧夺冠高中数学一轮复习教师用书页码 (403)
4表面积 ' 4侧 +4上 +4下 !
L'
! #
4上
+4下
+
槡4上
4下
;!
疑误辨析
!!判断下列结论的正误!请在括号内打(/)或(*)"!
!!"锥体的体积等于底面面积与高之积!
!!*!"
!""两个正方体的表面积之比等于它们的边长之比!!!*!"
!#"台体的体积可转化为两个锥体的体积之差! !!/!"
第节!空间几何体的表面积和体积
!!知道棱柱棱锥棱台的表面积和体积的计算公式"!能用表面积和体积公式解决简单的实际问题!
!多面体的表侧面积 多面体的各个面都是平面%则多面体的侧面积就是所有侧面的 面积之和%表面积是侧面积与底面面积之和!
!圆柱圆锥圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
!("两个柱体的底面积相等%高也相等%则它们的体积也相等!
!!/!"
教材衍化
"!已知圆锥的表 面 积 等 于 !"=B"%其 侧 面 展 开 图 是 一 个 半 圆%
则底面圆的半径为!!2!"
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#!圆锥的底面直径与高分别都等于圆的底面的直径和高%则圆
锥的体积和圆柱的体积之比为!!0!"
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的面积的关系#4直观图 '槡("4原图形 ! 训练如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底 角为(/A%腰和上底均为!的等腰梯形%那么原平面图形的面积 是!!.!"
轻巧夺冠高中数学一轮复习教师用书页码 (395)
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轻巧夺冠高中数学一轮复习教师用书页码 (426)
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E实数的取值范围为%4!+7&!
考点三 数列与数学文化
例南北 朝 时 期 的 数 学 古 籍 2张 邱 建 算 经 3有 如 下 一 道 题# (今有十等人%每等一人%宫赐金以等次差!即等差"降之%上三 人%得金四斤%持 出-下 四 人 后 入 得 三 斤%持 出-中 间 三 人 未 到 者%亦依等次更给!问#每等人比下等人多得几斤0)!2" .1#(6 21885
良马初日行一百零三里%日增十三里-驽马初日行九十七里%日
减半里-良马先至 齐%复 还 迎 驽 马%二 马 相 逢!问#几 日 相 逢0
!."
.16日
215日
31!4日
01!"日
解析由题意知!良马 每 日 行 的 距 离 成 等 差 数 列!记 为 #*& $!其
31884
015/!
解析设第十等人得金*!斤!第九等人得金*"斤!以此类推!第
一等人得金*!, 斤!则 数 列 #*&$构 成 等 差 数 列!设 公 差 为 ?!则
每一等人比下一等人多得?斤金!
& 由题意得 *!+*"+*#+*('#! *5+*6+*!,'(!
&即 (#**!!++4"(??''#(!!解得?'885!
在 -) %使对任意&) %总有4& >-+恒成立%求实数
的取值范围!
解析%!&由*"+*8+*!"')4得*8')"!E*!'(!
E*&'/)&!E4&'&%6")&&!
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考点二 数列与不等式
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8 5
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E原不等式得证! 规律方法 数列与不等式的交汇问题#
!!"函数方法#即构造函数%通过函数的单调性$极值等得出关 于正实数的不等 式%通 过 对 关 于 正 实 数 的 不 等 式 特 殊 赋 值 得
E每一等人比下一等人多得885斤金!
规律方法 我国古代数学涉及等差$等比数列的问题很多%解决
这类问题的关键 是 将 古 代 实 际 问 题 转 化 为 现 代 数 学 问 题%掌
握等差$等比数列的概念$通项公式和前&项和公式!
训练在我国古代著名的数学专著2九章算术3里有一段叙
述#今有良马与驽马发长安至齐%齐去长安一千一百二十五里%
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方法二.当&!"时!
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