2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第一章-1-第1讲-集合及其运算

姓名，年级：时间：第一章集合与常用逻辑用语第一节集合及其运算命题导航考试要点命题预测1。

集合的含义与表示（1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系.(2）能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法)描述不同的具体问题.2。

集合间的基本关系(1）理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。

(2）在具体情境中,了解全集与空集的含义.3。

集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

（2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.（3)能使用韦恩（Venn)图表达集合的关系及运算。

1.考向预测:(1)常与不等式、函数结合，考查集合的运算。

（2)有时以新定义的形式考查集合的概念及关系.(3）与实际问题结合，考查集合的应用.2。

学科素养：主要考查数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养。

1。

元素与集合（1)集合中元素的特性：①确定性、互异性、无序性.(2）集合与元素的关系:若a属于集合A，记作②a∈A ；若b不属于集合A，记作③b∉ A 。

（3)集合的表示方法:④列举法、描述法、图示法。

(4）常见数集及其符号表示:数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号⑤N ⑥N＊或N+⑦Z ⑧Q ⑨R 2。

集合间的基本关系文字语言符号语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素x∈A⇒x∈BA⊆B或B⑩⊇A真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于AA⊆B,且∃x0∈B,x0∉AA ⫋B 或B⫌A相等集合A，B的元素完全相同A⊆B,B⊆A A=B空集不含任何元素的集合。

空集是任何集合A的子集,是任何非空集合B的真子集∀x,x∉⌀，⌀⊆A，⌀⫋B（B≠⌀)⌀▶提醒（1）“⊆”与“⫋”的区别：A⊆B⇒A=B或A⫋B，若A⊆B 和A⫋B同时成立,则A⫋B更准确。

(2)⌀，{0｝和{⌀｝的区别，⌀是集合，不含有任何元素,{0｝含有一个元素0;｛⌀｝含有一个元素⌀,且⌀∈｛⌀}和⌀⊆{⌀｝都正确.(3）在涉及集合之间的关系时,若未指明集合非空,则要考虑空集的可能性,如:若A⊆B,则要考虑A=⌀和A≠⌀两种情况。

第1讲集合的概念与运算一、知识梳理1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法＋数集，不包含0.2．集合间的基本关系A B(或B A)(1)A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅.(3)A∪A＝A，A∪∅＝A.(4)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.二、习题改编1．(必修1P12A组T5改编)若集合P＝{x∈N|x≤ 2 018}，a＝22，则()A．a∈P B．{a}∈PC．{a}⊆P D．a∉P解析：选D.因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于 2 018的自然数构成的集合，所以a∉P.故选D.2．(必修1P12B组T1改编)已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，则集合M∪N 的子集的个数为________．解析：由已知得M∪N＝{0，1，2，3，4，5}，所以M∪N的子集有26＝64(个)．答案：64一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．()(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a⊆A.()(3)若A B，则A⊆B且A≠B.()(4)N*N Z.()(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)×二、易错纠偏常见误区(1)忽视集合的互异性致错；(2)集合运算中端点取值致错；(3)忘记空集的情况导致出错．1．已知集合U＝{－1，0，1}，A＝{x|x＝m2，m∈U}，则∁U A＝________．解析：因为A＝{x|x＝m2，m∈U}＝{0，1}，所以∁U A＝{－1}．答案：{－1}2．已知集合A＝{x|(x－1)(x－3)<0}，B＝{x|2<x<4}，则A∩B＝________，A∪B＝________，(∁R A)∪B＝________.解析：由已知得A＝{x|1<x<3}，B＝{x|2<x<4}，所以A∩B＝{x|2<x<3}，A∪B＝{x|1<x<4}，(∁R A)∪B＝{x|x≤1或x>2}．答案：(2，3)(1，4)(－∞，1]∪(2，＋∞)3．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．解析：易得M＝{a}．因为M∩N＝N，所以N⊆M，所以N＝∅或N＝M，所以a＝0或a＝±1.答案：0或1或－1集合的基本概念(师生共研)(1)已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x ，y )|x ∈A 且y ∈A 且x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10(2)已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．【解析】 (1)由x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A ，得x －y ＝1或x －y ＝2或x －y ＝3或x －y ＝4，所以集合B ＝{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)，(5，3)，(5，4)}，所以集合B 中有10个元素．(2)因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3，符合题意．所以m ＝－32.【答案】 (1)D (2)－32与集合中元素有关问题的求解策略1．已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且32－x∈Z }，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选C.因为32－x∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1，1，3，又因为x ∈Z ，所以x 的值分别为5，3，1，－1，故集合A 中的元素个数为4. 2．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C.因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则ba ＝－1，所以a＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.3．设集合A ＝{0，1，2，3}，B ＝{x |－x ∈A ，1－x ∉A }，则集合B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A.若x ∈B ，则－x ∈A ，故x 只可能是0，－1，－2，－3，当0∈B 时，1－0＝1∈A ；当－1∈B 时，1－(－1)＝2∈A ； 当－2∈B 时，1－(－2)＝3∈A ； 当－3∈B 时，1－(－3)＝4∉A ，所以B ＝{－3}，故集合B 中元素的个数为1.集合间的基本关系(师生共研)(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为______． 【解析】 (1)由题意可得，A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，又因为A ⊆C ⊆B ，所以C ＝{1，2}或{1，2，3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}．(2)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}． 当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .所以0<m ≤1.综上所述，m的取值范围为(－∞，1]．【答案】(1)D(2)(－∞，1][提醒]题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论．1．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－5<x<5}，则()A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B解析：选B.因为A＝{x|x>2或x<0}，因此A∪B＝{x|x>2或x<0}∪{x|－5<x<5}＝R.故选B.2．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为()A．7 B．8C．15 D．16解析：选A.法一：A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1，2，3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．法二：因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)．3．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是()A．{a|a≤2} B．{a|a≤1}C．{a|a≥1} D．{a|a≥2}解析：选D.由A∩B＝A，可得A⊆B，又A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，所以a≥2.故选D.集合的基本运算(多维探究)角度一集合的运算(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A＝() A．{1，6} B．{1，7}C．{6，7} D．{1，6，7}(2)(2020·郑州市第一次质量预测)设全集U＝R，集合A＝{x|－3<x<1}，B＝{x|x＋1≥0}，则∁U(A∪B)＝()A．{x|x≤－3或x≥1} B．{x|x<－1或x≥3}C．{x|x≤3} D．{x|x≤－3}【解析】(1)依题意得∁U A＝{1，6，7}，故B∩∁U A＝{6，7}．故选C.(2)因为B＝{x|x≥－1}，A＝{x|－3<x<1}，所以A∪B＝{x|x>－3}，所以∁U(A∪B)＝{x|x≤－3}．故选D.【答案】(1)C(2)D集合基本运算的求解策略角度二利用集合的运算求参数(1)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．－1<a≤2 B．a>2C．a≥－1 D．a>－1(2)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为()A．0 B．1C．2 D．4【解析】(1)因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.(2)根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故a＝4.【答案】(1)D(2)D根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．1．(2019·高考天津卷)设集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝()A．{2}B．{2，3}C．{－1，2，3} D．{1，2，3，4}解析：选D.通解：因为A∩C＝{1，2}，B＝{2，3，4}，所以(A∩C)∪B＝{1，2，3，4}．故选D.优解：因为B＝{2，3，4}，所以(A∩C)∪B中一定含有2，3，4三个元素，故排除A，B，C，选D.2．(2020·宁夏石嘴山三中一模)已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2－1≥0}，则下图中阴影部分所表示的集合为()A．{－1} B．{0}C．{－1，0} D．{－1，0，1}解析：选B.阴影部分对应的集合为A∩∁R B，B＝{x|x2－1≥0}＝{x|x≤－1或x≥1}，则∁R B＝{x|－1<x<1}，则A∩∁R B＝{0}，故选B.3．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是()A．(－∞，－2) B．[2，＋∞)C．[－2，2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：选D.因为A∪B＝A，所以B⊆A，即m∈A，得m2≥4，解得m≥2或m≤－2.4．已知全集U＝R，函数y＝ln(1－x)的定义域为M，集合N＝{x|x2－x<0}，则下列结论正确的是()A．M∩N＝N B．M∩(∁U N)＝∅C．M∪N＝U D．M⊆(∁U N)解析：选A.由题意知M＝{x|x<1}，N＝{x|0<x<1}，所以M∩N＝N.又∁U N＝{x|x≤0或x≥1}，所以M∩(∁U N)＝{x|x≤0}≠∅，M∪N＝{x|x<1}＝M，M⃘(∁U N)，故选A.核心素养系列1 数学抽象——集合的新定义问题以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象．定义集合的商集运算为A B ＝{x |x ＝mn，m∈A ，n ∈B }．已知集合A ＝{2，4，6}，B ＝{x |x ＝k 2－1，k ∈A }，则集合BA ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】 由题意知，B ＝{0，1，2}，B A ＝{0，12，14，16，1，13}，则B A ∪B ＝{0，12，14，16，1，13，2}，共有7个元素，故选B.【答案】 B解决集合创新型问题的方法(1)要分析新定义的特点和本质，认清新定义对集合元素的要求，结合题目要求进行转化，并将其运用到具体的解题过程中．(2)要充分应用集合的有关性质及一些特殊方法(如特值法、排除法、数形结合法等)，将新定义问题转化到已学的知识中进行求解．1．如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A ＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________．解析：由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，所以A∩B＝{0，6}．答案：{0，6}2．设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________．解析：由已知A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，又由新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．答案：{0}∪[2，＋∞)[基础题组练]1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或x>1}，则∁U A＝()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C．(－1，1) D．[－1，1]解析：选D.因为全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或x>1}，所以∁U A＝{x|－1≤x≤1}，故选D.2．(2020·辽宁辽阳期末)设集合A＝{x∈Z|x>4}，B＝{x|x2<100}，则A∩B的元素个数为()A．3 B．4C．5 D．6解析：选C.因为B＝{x|－10<x<10}，所以A∩B＝{x∈Z|4<x<10}＝{5，6，7，8，9}．所以A∩B的元素个数为5，故选C.3．已知集合A＝{0}，B＝{－1，0，1}，若A⊆C⊆B，则符合条件的集合C的个数为() A．1 B．2C．4 D．8解析：选C.由题意得，含有元素0且是集合B的子集的集合有{0}，{0，－1}，{0，1}，{0，－1，1}，即符合条件的集合C共有4个．故选C.4.已知全集U＝R，集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是()A．(－2，1)B．[－1，0]∪[1，2)C．(－2，－1)∪[0，1]D．[0，1]解析：选C.因为集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，所以A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝(－2，1]，A∩B＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为∁A∪B(A∩B)＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C.5．(2020·江苏南京联合调研改编)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，4}，B＝{3，5}，则A∩B＝______，∁U A＝______．解析：因为全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3，4}，B＝{3，5}，所以A∩B＝{3}，则∁U A＝{2，5}．答案：{3}{2，5}6．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝________．解析：由于A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，结合数轴，∁U(A∪B)＝{x|0<x<1}．答案：{x|0<x<1}7．已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{x|x≤a，a∈R}，A∪B＝(－∞，5]，则a的值是________．解析：因为集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{x|x≤a，a∈R}，A∪B＝(－∞，5]，所以a＝5.答案：58．已知集合A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |m ≤x ＜1＋3m }．(1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)当B ⊆∁R A 时，求实数m 的取值范围．解：(1)因为m ＝1时，B ＝{x |1≤x ＜4}，所以A ∪B ＝{x |－1<x <4}．(2)∁R A ＝{x |x ≤－1或x >3}．当B ＝∅时，即m ≥1＋3m ，解得m ≤－12； 当B ≠∅时，要使B ⊆∁R A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m <1＋3m ，1＋3m ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧m <1＋3m ，m >3，解得m >3. 综上可知，实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪(3，＋∞)． [综合题组练]1．已知集合M ＝{y |y ＝x －|x |，x ∈R }，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＝⎝⎛⎭⎫13x ，x ∈R ，则下列选项正确的是( ) A ．M ＝NB ．N ⊆MC ．M ＝∁R ND ．∁R N ⃘M解析：选C.由题意得M ＝{y |y ≤0}，N ＝{y |y >0}，所以∁R N ＝{y |y ≤0}，M ＝∁R N .故C 正确，A ，B ，D 错误．2．(创新型)如图所示的Venn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合A ⊗B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |2x －x 2≥0}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A ⊗B ＝( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x ≤2}C ．{x |x ≤1或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1或x >2}解析：选D.因为A ＝{x |2x －x 2≥0}＝[0，2]，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}＝(1，＋∞)，所以A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝(1，2]，由题图知A ⊗B ＝[0，1]∪(2，＋∞)，故选D.3．(2020·济南外国语学校月考)集合M ＝{x |2x 2－x －1<0}，N ＝{x |2x ＋a >0}，U ＝R .若M ∩(∁U N )＝∅，则a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析：选B.由集合M ＝{x |2x 2－x －1<0}，N ＝{x |2x ＋a >0}，可得M ＝⎝⎛⎭⎫－12，1，∁U N ＝⎝⎛⎦⎤－∞，－a 2.要使M ∩(∁U N )＝∅，则－a 2≤－12，解得a ≥1，故选B. 4．已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________． 解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2，4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]。

第1讲 集合及其运算[基础题组练]1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{2，4，6，8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.因为集合A 和集合B 有共同元素2，4，所以A ∩B ＝{2，4}，所以A ∩B 中元素的个数为2.2．(2020·温州十五校联合体联考)已知集合A ＝{}x |e x≤1，B ＝{}x |ln x ≤0，则A ∪B ＝( )A ．(－∞，1]B ．(0，1]C ．[1，e]D ．(0，e] 解析：选A.因为A ＝{}x |e x ≤1＝{}x |x ≤0，B ＝{}x |ln x ≤0＝{}x |0＜x ≤1，所以A ∪B ＝(－∞，1]，故选A.3．(2020·宁波高考模拟)已知全集U ＝A ∪B ＝{x ∈Z |0≤x ≤6}，A ∩(∁U B )＝{1，3，5}，则B ＝( )A ．{2，4，6}B ．{1，3，5}C ．{0，2，4，6}D ．{x ∈Z |0≤x ≤6}解析：选C.因为全集U ＝A ∪B ＝{x ∈Z |0≤x ≤6}＝{0，1，2，3，4，5，6}，A ∩(∁U B )＝{1，3，5}，所以B ＝{0，2，4，6}，故选C.4．设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{2}B ．{1，2，4}C ．{1，2，4，6}D ．{x ∈R |－1≤x ≤5}解析：选B.因为A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，所以A ∪B ＝{1，2，4，6}，又C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，所以(A ∪B )∩C ＝{1，2，4}．故选B.5．(2020·宜春中学、新余一中联考)已知全集为R ，集合A ＝{x |x2－5x －6<0}，B ＝{x |2x <1}，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |－1<x ≤0}C ．{x |0≤x <6}D ．{x |x <－1}解析：选C.由x 2－5x －6<0，解得－1<x <6，所以A ＝{x |－1<x <6}．由2x <1，解得x <0，所以B ＝{x |x <0}．又图中阴影部分表示的集合为(∁R B )∩A ，因为∁R B ＝{x |x ≥0}，所以(∁R B )∩A ＝{x |0≤x <6}，故选C.6．已知集合A ＝{x |x 2－3x <0}，B ＝{1，a }，且A ∩B 有4个子集，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，3)B ．(0，1)∪(1，3)C ．(0，1)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选B.因为A ∩B 有4个子集，所以A ∩B 中有2个不同的元素，所以a ∈A ，所以a 2－3a <0，解得0<a <3且a ≠1，即实数a 的取值范围是(0，1)∪(1，3)，故选B.7．设U ＝{x ∈N *|x ＜9}，A ＝{1，2，3}，B ＝{3，4，5，6}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．{1，2，3}B ．{4，5，6}C ．{6，7，8}D ．{4，5，6，7，8} 解析：选B.因为U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁U A ＝{4，5，6，7，8}，所以(∁U A )∩B ＝{4，5，6，7，8}∩{3，4，5，6}＝{4，5，6}．故选B.8．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，b a ，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝( ) A ．{－1，2，3，5}B ．{－1，2，3}C ．{5，－1，2}D ．{2，3，5}解析：选A.由A ∩B ＝{2，－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.此时B ＝{2，3，－1}，所以A ∪B ＝{－1，2，3，5}；当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，此时不符合题意，舍去．9．已知集合P ＝{n |n ＝2k －1，k ∈N *，k ≤50}，Q ＝{2，3，5}，则集合T ＝{xy |x ∈P ，y ∈Q }中元素的个数为( )A ．147B ．140C ．130D ．117解析：选B.由题意得，y 的取值一共有3种情况，当y ＝2时，xy 是偶数，不与y ＝3，y ＝5有相同的元素，当y ＝3，x ＝5，15，25，…，95时，与y ＝5，x ＝3，9，15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140，故选B.10．(2020·温州质检)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2>0}，B＝{x|x－a≤0}，若∁U B⊆A，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，1) B．(－∞，2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)解析：选D.因为x2－3x＋2>0，所以x>2或x<1.所以A＝{x|x>2或x<1}，因为B＝{x|x≤a}，所以∁U B＝{x|x>a}．因为∁U B⊆A，借助数轴可知a≥2，故选D.11．集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为________．解析：根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故只能是a＝4.答案：412．(2020·宁波效实中学模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|log2(x－2)<1}，则A∪B＝________；A∩(∁U B)＝________．解析：log2(x－2)<1⇒0<x－2<2⇒2<x<4⇒B＝(2，4)，所以A∪B＝[－1，4)，A∩(∁U B)＝[－1，2]．答案：[－1，4) [－1，2]13．设集合A＝{n|n＝3k－1，k∈Z}，B＝{x||x－1|>3}，则B＝________，A∩(∁R B)＝________．解析：当k＝－1时，n＝－4；当k＝0时，n＝－1；当k＝1时，n＝2；当k＝2时，n ＝5.由|x－1|>3，得x－1>3或x－1<－3，即x>4或x<－2，所以B＝{x|x<－2或x>4}，∁R B ＝{x|－2≤x≤4}，A∩(∁R B)＝{－1，2}．答案：{x|x<－2或x>4} {－1，2}14．(2020·浙江省杭州二中高三年级模拟)设全集为R，集合M＝{x∈R|x2－4x＋3>0}，集合N＝{x∈R|2x>4}，则M∩N＝________；∁R(M∩N)＝________．解析：M＝{x∈R|x2－4x＋3>0}＝{x|x<1或x>3}，N＝{x∈R|2x>4}＝{x|x>2}，所以M∩N ＝(3，＋∞)，所以∁R(M∩N)＝(－∞，3]．答案：(3，＋∞)(－∞，3]15．已知集合M＝{x|x2－4x<0}，N＝{x|m＜x＜5}，若M∩N＝{x|3<x<n}，则m＝________，n＝________．解析：由x2－4x<0得0<x<4，所以M＝{x|0<x<4}．又因为N＝{x|m<x<5}，M∩N＝{x|3<x<n}，所以m＝3，n＝4.答案：3 416．设全集U＝{x∈N*|x≤9}，∁U(A∪B)＝{1，3}，A∩(∁U B)＝{2，4}，则B＝________．解析：因为全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，由∁U (A ∪B )＝{1，3}，得A ∪B ＝{2，4，5，6，7，8，9}，由A ∩(∁U B )＝{2，4}知，{2，4}⊆A ，{2，4}⊆∁U B .所以B ＝{5，6，7，8，9}．答案：{5，6，7，8，9}17．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________．解析：因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32； ②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1. 综上，可得a 的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1][综合题组练]1．(2020·金华东阳二中高三调研)已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2<16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( )A ．A ∪B ＝RB ．A ∪(∁U B )＝RC ．(∁U A )∪B ＝RD ．A ∩(∁U B )＝A 解析：选D.因为A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x >4}，所以∁U B ＝{x |x ≤4}，所以A ∩(∁U B )＝A ，故选D.2．集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，全集U ＝A ∪B ，则∁U (A ∩B )＝( )A ．{x |x ＜－1或x ≥1}B ．{x |1≤x ≤3或x ＜－1}C ．{x |x ≤－1或x ＞1}D ．{x |1＜x ≤3或x ≤－1}解析：选B.集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |1－x ＞0}＝{x |x ＜1}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |(x ＋1)(x －3)≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，所以U ＝A ∪B ＝{x |x ≤3}，所以A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1}；所以∁U (A ∩B )＝{x |1≤x ≤3或x ＜－1}．故选B.3．(2020·浙江新高考联盟联考)已知集合A ＝{1，2，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________，∁A B ＝________．解析：由题意，当m ＝2时，A ＝{1，2，2}，B ＝{1，2}，满足B ⊆A ；当m ＝m ，即m ＝0或1时，若m ＝0，则A ＝{1，2，0}，B ＝{1，0}，满足B ⊆A .若m ＝1，则A ＝{1，3，1}，B ＝{1，1}，不满足集合中元素的互异性，所以m ＝1舍去．当m ＝2时，∁A B ＝{2}；当m ＝0时，∁A B ＝{2}．答案：0或2 {2}或{2}4．函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈P ，－x ，x ∈M ，其中P ，M 为实数集R 的两个非空子集，规定f (P )＝{y |y＝g (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝g (x )，x ∈M }．给出下列四个命题：①若P ∩M ＝∅，则f (P )∩f (M )＝∅；②若P ∩M ≠∅，则f (P )∩f (M )≠∅；③若P ∪M ＝R ，则f (P )∪f (M )＝R ；④若P ∪M ≠R ，则f (P )∪f (M )≠R .其中命题不正确的有________．解析：①若P ＝{1}，M ＝{－1}，则f (P )＝{1}，f (M )＝{1}，则f (P )∩f (M )≠∅，故①错．②若P ＝{1，2}，M ＝{1}，则f (P )＝{1，2}，f (M )＝{－1}，则f (P )∩f (M )＝∅.故②错． ③若P ＝{非负实数}，M ＝{负实数}，则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{正实数}，则f (P )∪f (M )≠R ，故③错．④若P ＝{非负实数}，M ＝{正实数}，则f (P )＝{非负实数}，f (M )＝{负实数}，则f (P )∪f (M )＝R ，故④错．答案：①②③④5．设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ＝{x |x 2－2[x ]＝3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18<2x <8，求A ∩B . 解：不等式18<2x <8的解为－3<x <3， 所以B ＝(－3，3)．若x ∈A ∩B ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2[x ]＝3－3<x <3， 所以[x ]只可能取值－3，－2，－1，0，1，2.若[x ]≤－2，则x 2＝3＋2[x ]<0，没有实数解；若[x ]＝－1，则x 2＝1，得x ＝－1； 若[x ]＝0，则x 2＝3，没有符合条件的解；若[x ]＝1，则x 2＝5，没有符合条件的解；若[x ]＝2，则x 2＝7，有一个符合条件的解，x ＝7. 因此，A ∩B ＝{}－1，7.6．已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }．(1)当m ＝－1时，求A ∪B ；(2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}．(2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m >2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意； ②若2m <1－m ，即m <13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，得0≤m <13或∅，即0≤m <13. 综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．。

答案与解析二 配套精练第一章 集合与常用逻辑用语、不等式第1讲 集合及其运算1. D 解析： M ＝{x |0≤x <16}，N ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥13，则M ∩N ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫13≤x <16. 2. A 解析： 因为U ＝{x ∈N |x ≤4}＝{0,1,2,3,4}，∁U (A ∩B )＝{0,2,3}，所以A ∩B ＝{1,4}，即1∈A 且4∈A .又A ＝{1，m }，所以m ＝4.3. C 解析： 由题意，非空且互不相等的集合A ，B ，C 满足A ∪B ＝A ，可得B ⊆A .又因为B ∩C ＝C ，可得C ⊆B ，所以C ⊆A ，所以A ∩C ＝C .4. C 解析： 由题可知A ＝{－1,0,1}，所以A ∩B ＝{0,1}，所以其子集分别是∅，{1}，{0}，{0,1}，共有4个子集．5. C 解析： 因为集合M ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，集合N ＝{y |y ＝4k ＋3，k ∈Z }＝{y |y ＝2(2k ＋1)＋1，k ∈Z }，且x ∈N 时，x ∈M 成立，所以M ∪N ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }．6. ABC 解析： 当B ＝∅时，m ＋1>2m －1，即m <2，此时∁U B ＝R ，符合题意；当B ≠∅时，m ＋1≤2m －1，即m ≥2，由B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，得∁U B ＝{x |x <m ＋1或x >2m －1}．因为A ⊆∁U B ，所以m ＋1>7或2m －1<－2，可得m >6或m <－12.因为m ≥2，所以m >6.综上，实数m 的取值范围为{m |m <2或m >6}．7. BD 解析： 因为N ∩(∁R M )＝∅，所以N ⊆M .若N 是M 的真子集，则M ∩(∁R N )≠∅，故A 错误；由N ⊆M ，得M ∪(∁R N )＝R ，故B 正确；由N ⊆M ，得∁R N ⊇∁R M ，故C 错误，D 正确．8. BD 解析： 对于A ，由B －A ＝{x |x ∈B 且x ∉A }，知B －A ＝{3,8}，A 错误；对于B ，由A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，A －B ＝∅，知A ⊆B ，B 正确；对于C ，由韦恩图知B －A 如图中阴影部分所示，则B －A ＝B ∩(∁U A )，C 错误；对于D ，∁U B ＝{x |x <－2或x ≥4}，则A －B ＝A ∩(∁U B )＝{x |x <－2或x ≥4}，D 正确．(第8题)9. (－∞，1] 解析： 由x －a ≥0，得x ≥a ，所以B ＝[a ，＋∞)．因为A＝[1,6]，且A ⊆B ，所以a ≤1，所以实数a 的取值范围是(－∞，1]．10. (－∞，－1]∪[1，＋∞)∪{0} 解析： 由题意，原问题转化为方程ax 2－2x ＋a ＝0至多只有一个根．当a ＝0时，方程为－2x ＝0，解得x ＝0，此时方程只有一个实数根，符合题意；当a ≠0时，方程ax 2－2x ＋a ＝0为一元二次方程，所以Δ＝4－4a 2≤0，解得a ≤－1或a ≥1.综上，实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)∪{0}．11. 15 解析： 因为1∈A ，11＝1∈A ；－1∈A ，1－1＝－1∈A ；2∈A ，12∈A ；3∈A ，13∈A ，所以所求集合即为由1，－1，“3和13”，“2和12”这“四大”元素所组成的集合的非空子集，所以满足条件的集合的个数为24－1＝15.12. 【解答】 (1) 当a ＝0时，A ＝{x |－1<x <1}，所以∁R A ＝{x |x ≤－1或x ≥1}，所以(∁R A )∩B ＝{x |1≤x <4}．(2) 因为A ⊆B ，所以集合A 可以分为A ＝∅和A ≠∅两种情况讨论．当A ＝∅时，2a －1≥3a ＋1，即a ≤－2；当A ≠∅时，得⎩⎨⎧ 2a －1≥－1，3a ＋1≤4，2a －1<3a ＋1，即0≤a ≤1.综上，a ∈(－∞，－2]∪[0,1]．13. 【解答】 集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |0<x －13≤1＝{x |1＜x ≤4}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |y ＝1－x 2＋10x －16＝{x |2＜x ＜8}． (1) 因为集合C ＝{x |x ≤a }满足A ∩C ＝A ，所以A ⊆C ，所以a ≥4，所以实数a 的取值范围是[4，＋∞)．(2) 因为A ∩B ＝{x |2＜x ≤4}，A ∪B ＝{x |1＜x ＜8}，所以集合D ＝{x |1＜x ≤2或4＜x ＜8}．14. 【解答】 (1) 因为集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，且A ∩B ＝{2}，所以2∈A ，所以4－2a ＋a 2－19＝0，即a 2－2a －15＝0，解得a ＝－3或a ＝5.当a ＝－3时，A ＝{x |x 2＋3x －10＝0}＝{－5,2}，A ∩B ＝{2}，符合题意；当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，A ∩B ＝{2,3}，不符合题意．综上，实数a 的值为－3.(2) 因为A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{2,3}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{－4,2}，且A ∩B ≠∅，A ∩C ＝∅，所以3∈A ，所以9－3a ＋a 2－19＝0，即a 2－3a －10＝0，解得a ＝－2或a ＝5.当a ＝－2时，A ＝{x |x 2＋2x －15＝0}＝{－5,3}，满足题意；当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，不满足题意．综上，实数a 的值为－2.第2讲 充分条件、必要条件、充要条件1. B 解析： 若x <0，y ＝0满足x <y ，则(x －y )·y 2＝0，即(x －y )·y 2<0不成立；若(x －y )·y 2<0，则有y ≠0，必有y 2>0，从而得x －y <0，即x <y 成立．所以“x <y ”是“(x －y )·y 2<0”成立的必要不充分条件．2. D 解析： 非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．3. B4. A 解析： 因为x <z ，y <z ，所以x ＋y <2z ，故充分性成立；当x ＝3，y ＝1，z ＝2.5时，满足x ＋y <2z ，但不满足x <y <z ，故必要性不成立．5. C 解析： x －1x >0⇒x 2－1x >0⇒x (x ＋1)(x －1)>0⇒x >1或－1<x <0.因为{x |－1<x <0}{x |x >1或－1<x <0}，所以不等式x －1x >0成立的一个充分条件是－1<x <0.6. BC 解析： x 2>x 的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)．对于A ，因为(1，＋∞)为(－∞，0)∪(1，＋∞)的真子集，故A 不符合；对于B ，因为2x 2>2x 等价于x 2>x ，解集也是(－∞，0)∪(1，＋∞)，故B 符合；对于C ，1x <1即为x (x －1)>0，解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故C 符合；对于D ，|x (x －1)|＝x (x －1)即为x (x －1)≥0，解集为(－∞，0]∪[1，＋∞)，(－∞，0)∪(1，＋∞)为(－∞，0]∪[1，＋∞)的真子集，故D 不符合．7. AC 解析： 对于p ：|2x －1|<3，解得x ∈A ＝{x |－1<x <2}．对于q ：2x 2－ax －a 2≤0，得(2x ＋a )(x －a )≤0，当a ≥0时，解得x ∈B ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－a 2≤x ≤a ；当a <0时，解得x ∈B ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫a ≤x ≤－a 2.因为p 是q 的一个必要不充分条件，所以B A .当a ≥0时，⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2>－1，a <2，解得0≤a <2.当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >－1，－a 2<2，解得－1<a <0.综上，可得－1<a <2.故只要实数a 的取值集合是集合{a |－1<a <2}的真子集即可．8. BCD 解析： 对于A ，方程为x 2＋3＝0，方程没有实数根，所以A 错误；对于B ，如果方程没有实数根，则Δ＝(m －3)2－4m ＝m 2－10m ＋9<0，所以1<m <9，m >1是1<m <9的必要条件，所以B 正确；对于C ，因为方程有两个正根，所以⎩⎨⎧ Δ＝m 2－10m ＋9≥0，－(m －3)>0，m >0，所以0<m ≤1，所以方程有两个正根的充要条件是0<m ≤1，所以C 正确；对于D ，如果方程有一个正根和一个负根，则⎩⎨⎧Δ＝m 2－10m ＋9>0，m <0，所以m <0，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是m <0，所以D 正确．9. [1，＋∞) 解析： 由不等式|x ＋1|>2，可得x >1或x <－3，所以綈p ：－3≤x ≤1.又由綈q ：x ≤a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，可知a ≥1，所以实数a 的取值范围为[1，＋∞)．10. m ＝1(答案不唯一) 解析： 当x ∈(2,3)时，易知x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14∈(2,6)．又∃x ∈(2,3)，mx 2－mx －3>0⇔∃x ∈(2,3)，m >3x 2－x ⇔m >⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x min ，x ∈(2,3)⇔m ≥12.显然m ＝1⇒m ≥12，m ≥12D ⇒/m ＝1，故“m ＝1”是命题“∃x ∈(2,3)，mx 2－mx －3>0”成立的充分不必要条件．11. [1,2] 解析： 由(x －a )2<1得a －1<x <a ＋1.因为1<x <2是不等式(x －a )2<1成立的充分不必要条件，所以满足⎩⎨⎧a －1≤1，a ＋1≥2且等号不能同时取得，即⎩⎨⎧a ≤2，a ≥1，解得1≤a ≤2. 12. 【解答】 (1) 当m ＝2时，A ＝{x |1<x <5}，B ＝{x |－2<x <2}，所以A ∪B ＝{x |－2<x <5}，A ∩B ＝{x |1<x <2}．(2) 由“x ∈A ”是“x ∈B ”成立的充分不必要条件，得A B .当A ＝∅，即m－1≥m 2＋1时，m 无解，所以A ≠∅，所以⎩⎨⎧m －1≥－2，m 2＋1≤2且等号不能同时取得，解得－1≤m ≤1.当m ＝－1时，A ＝B ＝(－2,2)，不成立．故实数m 的取值范围为{m |－1<m ≤1}．13. 【解答】 (1) 不存在，理由如下：由|4x －3|≤1，得－1≤4x －3≤1，故12≤x ≤1，即p ：12≤x ≤1.假设存在a ，使得p 是q 的充要条件，则不等式x 2－4ax ＋3a －1≤0的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12≤x ≤1，所以x 1＝12，x 2＝1是方程x 2－4ax ＋3a －1＝0的两个根，故⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋1＝4a ，12×1＝3a －1，此方程组无解，故假设不成立，所以不存在实数a ，使得p 是q 的充要条件．(2) 若p 是q 的充分不必要条件，则集合{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12≤x ≤1为不等式x 2－4ax ＋3a －1≤0的解集的真子集．令f (x )＝x 2－4ax ＋3a －1，则由二次函数的图象性质可得⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤0，f (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4a ×12＋3a －1≤0，1－4a ＋3a －1≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤34，a ≥0，故0≤a ≤34.当a ＝0时，x 2－4ax ＋3a －1≤0⇒x 2－1≤0，解得－1≤x ≤1，满足题意；当a ＝34时，x 2－4ax ＋3a －1≤0⇒x 2－3x ＋54≤0，解得12≤x ≤52，满足题意．所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34. 14. 【解答】 必要性：若方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根，当a ＝0时，方程为2x ＋1＝0，解得x ＝－12，符合题意；当a <0时，Δ＝4－4a >0，设方程ax 2＋2x ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1x 2＝1a <0，此时方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根；当a >0时，由Δ＝4－4a ≥0，可得0<a ≤1，设方程ax 2＋2x ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1x 2＝1a >0，x 1＋x 2＝－2a <0，则x 1，x 2均为负数．由题意可知Δ＝0，可得a ＝1，符合题意．所以“方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根”⇒“a ≤0或a ＝1”．充分性：当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0，解得x ＝－12，原方程只有一个负数根；当a ＝1时，方程为x 2＋2x ＋1＝0，解得x ＝－1，原方程只有一个负数根；当a <0时，对于原方程，Δ＝4－4a >0，此时方程ax 2＋2x ＋1＝0有两根，设为x 1，x 2，则x 1x 2＝1a <0，此时方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根．所以“方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根”⇐“a ≤0或a ＝1”．综上所述，方程ax 2＋2x ＋1＝0有且只有一个负数根的充要条件为a ≤0或a ＝1.第3讲 全称量词和存在量词1. C 解析： 因为集合M ，N 满足M ∩N ≠∅，所以根据交集的定义可得∃x ∈M ，x ∈N .2. A 解析： 命题“∀x ∈R,2x >0”为全称量词命题，该命题的否定为“∃x ∈R,2x ≤0”．3. A 解析： 由题意，①若甲说的是真话，则甲不会证明，乙会证明，丙不会证明，丁不会证明，此时丁说的也是真话，与题意矛盾；②若乙说的是真话，则丙会证明，甲和丁均会证明，与题意矛盾；③若丙说的是真话，则丁会证明，甲和丁均会证明，与题意矛盾；④若丁说的是真话，则丁不会证明，甲会证明，丙不会证明，满足题意．4. A 解析： 若p 为真，则Δ1＝4－4a ≤0，解得a ≥1.若q 为真，则Δ2＝4a 2－4(2－a )<0，解得－2<a <1.若p 真q 假，则a ≥1；若p 假q 真，则－2<a <1.综上所述，若p ，q 一真一假，则实数a 的取值范围为(－2，＋∞)．5. A 解析： 若不等式(m ＋1)x 2＋(m ＋1)x ＋1>0对任意x ∈R 恒成立，则有①当m ＋1＝0，即m ＝－1时，不等式显然成立；②当m ＋1>0时，Δ＝(m ＋1)2－4(m ＋1)<0，解得－1<m <3；③当m ＋1<0时，不等式(m ＋1)x 2＋(m ＋1)x ＋1>0对任意x ∈R 显然不恒成立，舍去．综上①②③可知，不等式(m ＋1)x 2＋(m＋1)x ＋1>0对任意x ∈R 恒成立，则－1≤m <3，所以当“∀x ∈R ，(m ＋1)x 2＋(m ＋1)x ＋1>0”是假命题时，m ∈(－∞，－1)∪[3，＋∞)．6. AB 解析： 由条件可知∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，2x 2－λx ＋1≥0是真命题，即λ≤2x 2＋1x ＝2x ＋1x ，即λ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x min ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.设f (x )＝2x ＋1x ≥22x ·1x ＝22，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，等号成立的条件是2x ＝1x ⇒x ＝22∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，所以f (x )的最小值是22，即λ≤22，满足条件的是AB.7. BC 解析： 当x ＝0时，1x 2＋1＝1，A 错误．当x ＝－1时，1x <x ＋1，B 正确．命题“∃n ∈N ，n 2>2n ”的否定是命题“∀n ∈N ，n 2≤2n ”，C 正确．命题“∀n >4,2n >n 2”的否定是命题“∃n >4,2n ≤n 2”，D 错误．8. AD 解析： 函数f (x )＝x ＋4x 在[1,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，f (x )min＝f (2)＝4，f (x )max ＝f (6)＝203.对任意a ，b ，c ∈[1,6]，不妨令f (a )≥f (b )≥f (c )，则f (b )＋f (c )≥2f (c )≥2f (x )min >f (x )max ≥f (a )，即f (a )，f (b )，f (c )均能作为一个三角形的三条边长，A 正确，B 错误；取a ＝b ＝2，c ＝22＋2，满足a ，b ，c ∈[1,6]，则f (a )＝f (b )＝4，f (c )＝42，显然有[f (a )]2＋[f (b )]2＝[f (c )]2，即以f (a )，f (b )，f (c )为边的三角形是直角三角形，C 错误，D 正确．9. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ 解析： 因为∀x ∈[1,2]，x 2－ax ＋1≤0为真命题，所以a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ，x ∈[1,2]．因为y ＝x ＋1x 在区间[1,2]上单调递增，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ＝2＋12＝52，即a ≥52，所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞. 10. (－∞，2] 解析： 设x 1，x 2是方程的两个负实数根，则⎩⎨⎧ Δ＞0，x 1＋x 2＝－m ＜0，x 1x 2＝1＞0，即⎩⎨⎧m 2－4＞0，m ＞0，解得m ＞2，所以当綈p 是真命题时，m 的取值范围是(－∞，2]．11. ∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a ≤0 (－3，＋∞)解析： 綈p ：∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a ≤0.若綈p 是真命题，令f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，则 ⎩⎨⎧ f (1)≤0，f (2)≤0，即⎩⎨⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0，解得a ≤－3，故满足题意的实数a 的取值范围为(－3，＋∞)．12. 【解答】 (1) 因为命题p ：∀x ∈R ，x 2＋ax ＋2≥0为真命题，所以Δ＝a 2－4×1×2≤0，解得－22≤a ≤22，所以实数a 的取值范围为[－22，22]．(2) 因为命题q ：∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－12，x 2－ax ＋1＝0为真命题，所以a ＝x 2＋1x ＝x ＋1x ，又y ＝x ＋1x 在[－3，－1]上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12上单调递减，所以当x ＝－1时，a 取最大值－2.当x ＝－3时，a ＝－103；当x ＝－12时，a ＝－52.所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－103，－2. 13. 【解答】 若命题p 为真命题，则Δ＝(m －2)2－4≥0，解得m ≤0或m ≥4.若命题q 为真命题，由a ，b ∈(0，＋∞)，知b ＝2a a －1>0，所以a －1>0，则a (b －1)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a a －1－1＝a ·a ＋1a －1＝(a －1＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1＋2a －1＝a －1＋2a －1＋3≥3＋22，m ＋22≤22＋3⇒m ≤3.当命题p 为真，命题q 为假时，⎩⎨⎧ m ≤0或m ≥4，m >3，解得m ≥4；当命题p 为假，命题q 为真时，⎩⎨⎧0<m <4，m ≤3，解得0<m ≤3.综上所述，实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3或m ≥4}．14. 【解答】 (1) 由题设知f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≥－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立，而函数y ＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，则y max ＝－3，所以a ≥－3，所以a 的最小值为－3.(2) 由题可知，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，f ′(x )max ≤g (x )max .因为f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，所以f ′(x )max ＝f ′(2)＝8＋a .而g ′(x )＝1－xe x ，由g ′(x )＞0，得x ＜1，由g ′(x )＜0，得x ＞1，所以g (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，g (x )max ＝g (1)＝1e .由8＋a ≤1e ，得a ≤1e －8，所以实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1e －8. 第4讲 不等式的性质、基本不等式1. D 解析： 对于A ，取a ＝－1，b ＝1，则1a <1b ，A 错误；对于B ，取a＝－1，b ＝1，则a 2＝b 2，B 错误；对于C ，取a ＝－1，b ＝1，则1a 2＝1b 2，C 错误；对于D ，由a <b ，可得b 3－a 3＝(b －a )·(b 2＋ab ＋a 2)＝(b －a )⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋12a 2＋34a 2>0，所以a 3<b 3，D 正确．2. D 解析： 对于A ，当c ＝0时，显然不成立，故A 为假命题；对于B ，当a ＝－3，b ＝－2时，满足a <b <0，但a 2<ab <b 2不满足，故B 为假命题；对于C ，当c ＝3，a ＝2，b ＝1时，a c －a ＝23－2>b c －b＝12，不满足，故C 为假命题；对于D ，因为a >b >c >0，所以a b －a ＋c b ＋c ＝a (b ＋c )－b (a ＋c )b (b ＋c )＝ac －bc b (b ＋c )＝(a －b )c b (b ＋c )>0，即a b >a ＋c b ＋c，故D 为真命题． 3. B 解析： 由题知4b ＋1a ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4b ＋1a (a ＋b )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4a b ＋b a ＋5≥12(4＋5)＝92，当且仅当4a b ＝b a 时等号成立．4. C 解析： 7＝(a ＋2b )2－ab ＝(a ＋2b )2－12a ·2b ≥(a ＋2b )2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 22＝7(a ＋2b )28，则(a ＋2b )2≤8，当且仅当a ＝2b ＝2时等号成立，又a ，b ∈(0，＋∞)，所以0<a ＋2b ≤22，当且仅当a ＝2b ＝2时等号成立，所以a ＋2b 的最大值为2 2.5. BCD 解析： 对于A ，当c ＝0时，ac ＝bc ，故A 错误；对于B ，若ac 2>bc 2，则a >b ，故B 正确；对于C ，若a <b <0，则|a |>|b |，故C 正确；对于D ，若c >a >b >0，则0<c －a <c －b ，从而1c －a >1c －b，故D 正确． 6. AB 解析： 对于A ，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，故A 正确．对于B ，(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ≤a ＋b ＋a ＋b ＝2，故a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，故B 正确．对于C ，1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，所以1a ＋1b 有最小值4，故C 错误．对于D ，(a ＋b )2＝1⇒a 2＋2ab ＋b 2＝1≤a 2＋(a 2＋b 2)＋b 2，即a 2＋b 2≥12，故a 2＋b 2有最小值12，故D 错误．7. －1，－2，－3(答案不唯一) 解析： －1>－2>－3，(－1)＋(－2)＝－3>－3，矛盾，所以－1，－2，－3可验证该命题是假命题．8. 9 解析： 因为0<x <1，所以0<1－x <1，则1x ＋41－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41－x [(1－x )＋x ]＝1＋4＋1－x x ＋4x 1－x ≥5＋21－x x ·4x 1－x ＝9，当且仅当1－x x ＝4x 1－x，即x ＝13时，等号成立，故1x ＋41－x的最小值为9. 9. 6 解析： 设矩形空地的长为x m ，则宽为32x m ．由题意，试验区的总面积S ＝(x －0.5×4)⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －0.5×2＝34－x －64x ≤34－2x ·64x ＝18，当且仅当x＝64x ，即x ＝8时，等号成立，所以每块试验区的面积的最大值为183＝6(m 2)．10. 【解答】 (1) 由不等式4a 2＋b 2≥4ab ，解得ab ≤12，当且仅当2a ＝b ＝1时取等号，所以ab 的最大值为12，此时a ＝12，b ＝1.(2) 由4a 2＋b 2＝2，得4a 2＋(1＋b 2)＝3.由4a 2＋(1＋b 2)≥24a 2·(1＋b 2)＝4a 1＋b 2，解得a 1＋b 2≤34，当且仅当4a 2＝1＋b 2，即a ＝64，b ＝22时取等号，所以a 1＋b 2的最大值为34，此时a ＝64，b ＝22.11. 【解答】 (1) 因为a >1，b >2，所以a －1>0，b －2>0，所以1a －1＋1b －2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＋1b －2(a －1)(b －2)＝14[(b －2)＋(a －1)]≥14×2(b －2)(a －1)＝1，当且仅当⎩⎨⎧b －2＝a －1，(a －1)(b －2)＝4时，等号成立，解得a ＝3，b ＝4，所以1a －1＋1b －2的最小值为1，此时a ＝3，b ＝4.(2) 由2a ＋b ＝6，得2(a －1)＋(b －2)＝2，所以(a －1)＋b －22＝1，所以1a －1＋1b －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＋1b －2×1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＋1b －2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a －1)＋b －22＝32＋a －1b －2＋b －22(a －1)≥3＋222，当且仅当⎩⎨⎧b －2＝2(a －1)，2(a －1)＋(b －2)＝2时，等号成立，解得a ＝3－2，b ＝22，所以1a －1＋1b －2的最小值为3＋222，此时a ＝3－2，b ＝2 2.(3) 因为b >2，由1a ＋1b ＝1，可得a ＝b b －1，所以a －1＝1b －1，所以1a －1＋1b －2＝b －2＋1b －2＋1≥3，当且仅当a ＝32，b ＝3时，等号成立，所以1a －1＋1b －2的最小值为3，此时a ＝32，b ＝3.12. D 解析： 因为A ＝{1,2,3}，B ＝{0,1,2}，所以A ∩B ＝{1,2}，A ∪B ＝{0,1,2,3}，所以当x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B 时，z ＝0,1,2,3,4,6，所以A *B ＝{0,1,2,3,4,6}，所以∁(A *B )A ＝{0,4,6}．13. BC 解析： A 错误，当a <0时，显然有P <0.B 正确，当a >1时，P ＝a ＋2a ≥2a ·2a ＝22，故充分性成立，而P ≥22只需a >0即可．C 正确，P ＝a＋2a >3可得0<a <1或a >2，当a >2时，P >3成立．D 错误，当a >3时，a ＋2a >3＋23>3.14. 【解答】 (1) 当m ＝1时，B ＝{x |2<x <3}．因为A ＝{x |－1≤x ≤2}，所以∁R A ＝{x |x <－1或x >2}，所以A ∪B ＝{x |－1≤x <3}，(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3}．(2) 因为∅是A ∩B 的真子集，所以A ∩B ≠∅.因为A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |2m <x <3}，所以⎩⎨⎧2m <3，2m <2，解得m <1，即实数m 的取值范围为(－∞，1)．(3) 因为B ∩(∁R A )中只有一个整数，∁R A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |2m <x <3}，所以B ≠∅，且－3≤2m <－2，解得－32≤m <－1，所以实数m 的取值范围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－32≤m <－1. 第5讲 一元二次不等式1. A 解析： 因为不等式x 2＋kx ＋1<0的解集为空集，所以Δ＝k 2－4≤0，解得－2≤k ≤2.2. D 解析： 当a ＝1时，不等式为－4<0恒成立，故满足题意；当a ≠1时，要满足⎩⎨⎧a －1<0，Δ<0，解得－3<a <1.综上，实数a 的取值范围是(－3,1]．3. C 解析： 由x ＋a x －b ＝(1－b )x ＋ax ≥0，可知⎩⎨⎧x [(b －1)x －a ]≤0，x ≠0的解集为[－1,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －1>0，ab －1＝－1，则b >1且a ＋b ＝1.4. C 解析： 因为关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |1<x <3}，所以1,3为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，由韦达定理得⎩⎪⎨⎪⎧1＋3＝－ba ，1×3＝c a ，所以⎩⎨⎧c ＝3a ，b ＝－4a ，且a <0，则ax ＋b cx ＋a >0等价于x －43x ＋1>0，即(3x ＋1)(x －4)>0，故原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪(4，＋∞)．5. ACD 解析： 对于A ，ax 2>0(a >0)的解集为{x |x ≠0}，A 错误；对于B ，因为Δ＝1－4＝－3<0，所以x 2＋x ＋1<0的解集为∅，B 正确；对于C ，若a <0，Δ＝0，则ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝－b 2a ，C 错误；对于D ，x 2＋3x －4>0的解集为(－∞，－4)∪(1，＋∞)，不等式组⎩⎨⎧x －1>0，x ＋4>0的解集为(1，＋∞)，D错误．6. BD 解析： 设x 小时后蓄水池中的水量为y t ，则y ＝400＋60x －1206x .设6x ＝u ，则u 2＝6x (u ∈[0,12])，所以y ＝400＋10u 2－120u ＝10(u －6)2＋40.因为u ∈[0,12]，故当u ＝6，即x ＝6时，y min ＝40，即从供水开始到第6个小时时，蓄水池中的存水量最少，为40t ，所以A 错误，B 正确．令400＋10u 2－120u >80，即u 2－12u ＋32>0，解得u <4或u >8，所以0≤x <83或323<x ≤24，所以C 错误．由400＋10u 2－120u <80，得83<x <323，又323－83＝8，所以每天约有8小时蓄水池中水量少于80t ，所以D 正确．7. [1，＋∞) 解析： x －1x >0⇒x (x －1)>0⇒x >1或x <0，则当x >a 时，x －1x >0成立，所以a ≥1.8. (－1,2) 解析： 由表中二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值，得⎩⎨⎧c ＝2，a ＋b ＋c ＝2，a －b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1，c ＝2，所以y ＝－x 2＋x ＋2.不等式ax 2＋bx ＋c ＞0化为－x 2＋x ＋2＞0，即x 2－x －2＜0，解得－1＜x ＜2，所以该不等式的解集为(－1,2)．9. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 解析： 由题意可知，不等式(x －a )(x ＋a )<1对任意实数x 都成立，又由(x －a )(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 都成立，所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0，即4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32.10. 【解答】 (1) 因为不等式ax 2＋bx －1>0的解集是{x |1<x <2}，所以a <0，且1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，所以⎩⎨⎧a ＋b －1＝0，4a ＋2b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝32.(2) 由(1)知不等式ax ＋1bx －1≥0即为－12x ＋132x －1≥0⇔x －23x －2≤0⇔⎩⎨⎧3x －2≠0，(x －2)(3x －2)≤0，解得23<x ≤2，所以不等式的解集是{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫23<x ≤2.11. 【解答】 (1) 由已知易得y ≥4＋2a 即为x 2－(a －2)x －2a ≥0.令x 2－(a －2)x －2a ＝0，可得x ＝－2或x ＝a ，所以，当a <－2时，原不等式的解集为{x |x ≤a 或x ≥－2}；当a ＝－2时，原不等式的解集为R ；当a >－2时，原不等式的解集为{x |x ≤－2或x ≥a }．(2) 由y －2a ＋14≥0，可得a (x ＋2)≤x 2＋2x ＋18.由1≤x ≤6，得x ＋2>0，所以a ≤x 2＋2x ＋18x ＋2.因为x 2＋2x ＋18x ＋2＝x ＋18x ＋2＝(x ＋2)＋18x ＋2－2≥218－2＝62－2，当且仅当x ＋2＝18x ＋2，即x ＝32－2时等号成立，所以a ≤62－2，所以a 的取值范围是{a |a ≤62－2}．12. C 解析： 因为B ＝{x ∈N *|x 2－x －2≤0}＝{x ∈N *|(x －2)(x ＋1)≤0}＝{1,2}，A ＝{－2，－1}，所以A ∪B ＝{－2，－1,1,2}．13. C 解析： 命题“∀x ∈R ，cos x ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，cos x 0>1”，A 正确．在△ABC 中，因为sin A ≥sin B ，所以由正弦定理可得a 2R ≥b2R (R 为△ABC 外接圆的半径)，所以a ≥b ，则由大边对大角可得A ≥B ；反之，由A ≥B 可得a ≥b ，所以由正弦定理可得sin A ≥sin B .即为充要条件，B 正确．当a ＝b ＝0，c ≥0时，满足ax 2＋bx ＋c ≥0，但是得不到“a >0，且b 2－4ac ≤0”，即不是充要条件，C 错误．“若sin α≠12，则α≠π6”是真命题，D 正确．14. 【解答】 (1) 当a ＝1时，B ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x －51－x >0，因为x －51－x >0⇔(x －1)(x －5)<0⇒1<x <5，所以B ＝{x |1<x <5}．(2) 因为|x －1|<3⇒－3<x －1<3⇒－2<x <4，所以A ＝{x |－2<x <4}．因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，3a ＋2＝1，解得a ＝－13，满足题意；②当B ≠∅时，若3a ＋2>1，即a >－13，则B ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x －3a －21－x >0＝{x |1<x <3a ＋2}，故3a ＋2≤4，所以－13<a ≤23.若3a ＋2<1，即a <－13，则B ＝{x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x －3a －21－x >0＝{x |3a ＋2<x <1}，43≤a<－13.综上所述，a的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，23.故3a＋2≥－2，所以－。

第一章 集合与常用逻辑用语考试要点 考试内容1.集合的含义与表示①了解集合的含义、元素与集合的关系.②能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题. 2.集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. ②在具体情境中,了解全集与空集的含义.3.集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集. ②理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. ③能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算. 4.命题及其关系 ①理解命题的概念.②了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.5.充分必要条件 理解充分条件、必要条件与充要条件的意义.§ 1.1 集合的概念与运算1.元素与集合(1)元素a 与集合A 的关系{属于,记为① a ∈A ,不属于,记为② a ∉A .(2)集合中元素的特征 确 定 性 一个集合中的元素必须是③ 确定 的,即一个集合一旦确定,某一个元素要么是该集合中的元素,要么不是,二者必居其一.这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合互 异 性 集合中的元素必须是④ 互异 的.对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确,或用来求集合中的未知元素无 序 性集合与其中元素的排列顺序⑤ 无关 ,如a,b,c 组成的集合与b,c,a 组成的集合是相同的.这个特性通常被用来判断两个集合的关系(3)集合的表示方法:列举法、⑥ 描述法 和图示法.(4)集合的分类:⑦ 无限集 、有限集.特别地,我们把不含有任何元素的集合叫做⑧ 空集 ,记作⑨.要注意空集表现形式的多样性,如A={x∈R|x 2+2x+3=0}是空集,B={x∈R|ax 2+2x+3=0}有可能为空集.(5)常用数集及其表示符号名称 非负整数集 (自然数集)正整数集整数集 有理数集 实数集符号 ⑩ N N *或N + Z Q R2.集合间的基本关系 名称自然语言描述符号语言表示Venn 图表示子集 如果集合A 中所有元素 都是 集合B中的元素,那么称集合A 为集合B 的子集 AB (或B A)真子集如果集合 AB,但存在元素a∈B,且aA,那么称集合A 是集合B 的真子集 AB (或BA)集合 相等 如果集合A 与集合B 中元素 相同,那么就说集合A 与集合B 相等A=B3.集合间的基本运算 名称自然语言描述符号语言表示 Venn 图表示并集对于两个给定集合A 、B,由所有属于集合A 或 属于集合B 的元素组成的集合 A∪B= {x|x∈A,或x∈B}交集对于两个给定集合A 、B,由所有属于集合A 且 属于集合B 的元素组成的集合 A∩B= {x|x∈A,且x∈B}补集 对于一个集合A,由全集U 中所有属于集合U 但 不属于 集合A 的元素组成的集合称为集合A 在全集U 中的补集,记作UAUA= {x|x∈U,且xA}4.集合间的逻辑关系交集 A ∩B ⊆ A A ∩B ⊆ B A ∩A=A A ∩= A∩B=B∩A 并集 A ∪B ⊇ A A∪B⊇ B A∪A=A A ∪=AA∪B=B∪A 补集 ∁U (∁U A)=A∁U U=⌀∁U ⌀=U (∁U A)∩A=(∁U A)∪A = U 5.若有限集合A 中的元素个数为n(n∈N *),则(1)A 的子集个数是 2n ; (2)A 的真子集个数是 2n -1 ; (3)A 的非空子集个数是 2n -1 ; (4)A 的非空真子集个数是 2n -2 . 知识拓展研究一个集合,首先看集合中的代表元素,然后看元素满足的属性(限制条件),运用其属性解题.注意:除题目中所描述的属性外,往往需检验集合中元素的互异性.用描述法表示的常见集合的类型: 集合 {x|f(x)=0} {x|f(x)>0} {x|y=f(x)} {y|y=f(x)}{(x,y)|y=f(x)} 集合 的含 义方程f(x)=0的解集不等式f(x)>0的解集函数y=f(x)的定义域函数y=f(x)的值域函数y=f(x)图象上的点集或方程f(x)-y=0的解集1.(2019浙江三校第二次联考)已知全集U={x|x≥0},A={x|x≥1},则∁U A=( ) A.B.{x|x<1}C.{x|0≤x<1}D.{x|x≥0}1.答案 C2.已知集合A={x|2x 2-5x-3≤0},B={x∈Z|x≤2},则A∩B 中的元素个数为( ) A.2 B.3C.4D.52.答案 B3.已知实数集R,集合A={x|log 2x<1},B={x∈Z|x 2+4≤5x},则(∁R A)∩B=( ) A.[2,4]B.{2,3,4}C.{1,2,3,4}D.[1,4] 3.答案 B4.若集合A={1,2,3},B={(x,y)|x+y-4>0,x,y∈A},则集合B 中的元素个数是( ) A.9 B.6C.4D.34.答案 D5.已知集合A={x 2+x,4x},若0∈A,则x= . 5.答案 -16.若全集U={0,1,2,3},且∁U A={2},则集合A 的真子集的个数为 . 6.答案7考点一元素与集合典例1 (1)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中的元素个数为( )A.3B.4C.5D.6,1}={a2,a+b,0},则a+b=( )(2)已知a,b∈R,若{a,baA.1B.0C.-1D.±1答案(1)B (2)C解析(1)因为集合M中的元素为x=a+b,a∈A,b∈B,所以当b=4时,若a=1,2或3,则x=5,6或7;当b=5时,若a=1,2或3,则x=6,7或8.由集合中元素的互异性,可知x=5,6,7或8,即M={5,6,7,8},共有4个元素.(2)由已知得a≠0,则b=0,a所以b=0,易知a2=1,且a≠1,所以a=-1,故a+b=-1.方法技巧与集合中的元素有关的问题的求解策略(1)确定构成集合的元素是什么,即确定性.(2)看这些元素的限制条件是什么,即元素的特征性质.(3)根据元素的特征性质求参数的值或取值范围,或确定集合中元素的个数,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.1-1 集合A={x|x2-7x<0,x∈N*},则B={y|6∈N*,y∈A}中元素的个数为( )yA.1B.2C.3D.4答案 D A={x|x2-7x<0,x∈N*}={1,2,3,4,5,6},∵B={y|6y∈N*,y∈A},∴B={1,2,3,6},即B={y|6y∈N*,y∈A}中元素的个数为4.考点二集合间的基本关系典例2 (1)已知集合A={x|y=√1-x2,x∈R},B={x|x=m2,m∈A},则( )A.A BB.B AC.A⊆BD.A=B(2)(2019温州中学月考)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,则实数m 的取值范围是.答案(1)B (2)(-∞,3]解析(1)由题意知A={x|-1≤x≤1},∴B={x|x=m2,m∈A}={x|0≤x≤1},∴B A,故选B.(2)∵B⊆A,∴若B=⌀,则2m-1<m+1,此时m<2.若B≠⌀,则{2m-1≥m+1,m+1≥-2,2m-1≤5,解得2≤m≤3.综上可得,实数m的取值范围是m≤3.方法指导1.判断两集合间的关系常用两种方法:一是化简集合,从表达式中寻找两集合间的关系;二是用列举法表示各集合,从元素中寻找两集合间的关系.2.已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常运用数轴、Venn 图帮助分析.3.集合中因含有参数而使元素不能确定时,或出现A ⊆B,A∩B=A,A∪B=B 等条件时,不要忘记考虑空集的情况. 易错警示题目中若有条件B ⊆A,则应分B=⌀和B≠⌀两种情况进行讨论.2-1 设集合A={-1,1},集合B ={x|ax=1,a∈R},若B ⫋A,则a 的所有取值构成的集合是( )A.{0,1}B.{0,-1}C.{1,-1}D.{-1,0,1}答案 D 因为B A,所以B=或{-1}或{1}, 当B=时,a=0;当B={-1}时,a=-1; 当B={1}时,a=1.故选D.2-2 已知集合A={x|x<-1或x>4},B={x|2a≤x≤a+3}.若B ⊆A,则实数a 的取值范围是 .答案 (-∞,-4)∪(2,+∞)解析 当B=⌀时,只需2a>a+3,即a>3; 当B≠⌀时,根据题意作出如图所示的数轴.可得{a +3≥2a ,a +3<-1或{a +3≥2a ,2a >4,解得a<-4或2<a≤3.综上可得,实数a 的取值范围是(-∞,-4)∪(2,+∞).考点三集合的基本运算命题方向一集合的运算常与方程、不等式、函数结合命题,考查集合的基本运算.典例3 (1)(2018浙江五校联考)若集合A={x|f(x)=√2x-1},B={y|y=log2(2x+2)},则A∩∁RB=( )A.(1,+∞)B.[0,1]C.[0,1)D.[0,2)(2)(2018浙江模拟)设全集U=R,集合A={x|x2-x-2<0},B={x|1<x<3},则A∪B=,∁U(A∩B)=.答案(1)B (2)(-1,3);(-∞,1]∪[2,+∞)解析(1)由A中f(x)=√2x-1,得2x-1≥0,即2x≥1=20,解得x≥0,即A=[0,+∞).由2x+2>2,得y=log2(2x+2)>1,即B=(1,+∞).因为全集为R,所以∁RB=(-∞,1],则A∩(∁RB)=[0,1].(2)因为A={x|x2-x-2<0}={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},所以A∪B={x|-1<x<3},A∩B={x|1<x<2},又因为U=R,所以∁U(A∩B)=(-∞,1]∪[2,+∞).方法技巧集合的混合运算的解题思路进行集合的混合运算时,一般先运算括号内的部分.当集合用不等式形式表示时,可借助数轴求解,对于端点值的取舍,应单独检验.命题方向二利用集合的运算求参数常与方程、不等式、函数结合命题,考查集合的运算、集合间关系的转化.典例4 (1)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=( )A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}(2)已知A={x|x>1},B={x|x<m}.若A∪B=R,则m的值可以是( )A.-1B.0C.1D.2答案(1)C (2)D解析(1)∵A∩B={1},∴1∈B,∴1-4+m=0,∴m=3.由x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.∴B={1,3}.经检验符合题意.故选C.(2)由A∪B=R,结合数轴知m>1,故m的值可以是2,故选D.规律方法1.集合运算的常用方法(1)若集合中的元素是离散的,则常用Venn图求解.(2)若集合中的元素是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点值的取舍.2.利用集合运算求参数的值或取值范围的方法(1)与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到.(2)若集合能一一列举,则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解.▶提醒在求出参数后,注意结果的验证(满足集合中元素的互异性).命题方向三新定义集合问题此类题常见的有定义新概念、新公式、新运算、新法则.解决此类问题的一般思路:理解新概念、新公式、新运算、新法则的本质含义;利用已有的知识与方法进行逻辑推理.典例5 (1)(2018杭州调研)设A,B是两个非空集合,定义集合A-B={x|x∈A且x∉B}.若A={x∈N|0≤x≤5},B={x|x2-7x+10<0},则A-B=( )A.{0,1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{0,1,2,5}(2)已知a,b,c为实数, f(x)=(x+a)(x2+bx+c),g(x)=(ax+1)(cx2+bx+1).记集合S={x|f(x)=0,x∈R},T={x|g(x)=0,x∈R},若card S,card T分别表示集合S,T中元素的个数,则下列结论不可能成立的是( )A.card S=1,card T=0B.card S=1,card T=1C.card S=2,card T=2D.card S=2,card T=3答案(1)D (2)D解析(1)∵A={x∈N|0≤x≤5}={0,1,2,3,4,5},B={x|x2-7x+10<0}={x|2<x<5},A-B={x|x∈A且x∉B},∴A-B={0,1,2,5}.故选D.(2)显然0∉T,所以T={x|(a+1x )(1x2+b1x+c)=0},即x0∈T⇔1x0∈S.若0∉S,则card S=card T,若0∈S,则card S=card T+1,故选D.方法技巧解决集合新定义问题的方法(1)紧扣新定义:首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程中,这是解答新定义型集合问题的关键所在.(2)用好集合的性质:集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是解答集合新定义问题的基础,也是突破口,在解答时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质.3-1 (2019浙江,1,4分)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则(∁UA)∩B=()A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}答案 A ∵∁U A={-1,3},∴(∁UA)∩B={-1},故选A.3-2 设有序集合对(A,B)满足:A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8},A∩B=⌀,记card(A),card(B)分别表示集合A,B中元素的个数,则符合条件card(A)∉A,card(B)∉B的集合对(A,B)的对数是.答案44解析由条件可得card(A)∈B,card(B)∈A.当card(A)=0,card(B)=8时,显然不成立;当card(A)=1,card(B)=7时,7∈A,1∈B,所以A={7},B={1,2,3,4,5,6,8},符合条件的集合对有1对;当card(A)=2,card(B)=6时,6∈A,2∈B,则集合A中有2个元素,且必须有6,不能有2,所以A中的另一个元素可为其余6个元素中的任意一个元素,故符合条件的集合对有C61=6对;当card(A)=3,card(B)=5时,5∈A,3∈B,则集合A中有3个元素,且必须有5,不能有3,所以A中的另两个元素可为其余6个元素中的任意2个元素,故符合条件的集合对有C62=15对;当card(A)=4,card(B)=4时,4∈A,4∈B,矛盾.由对称性,得符合条件的集合对(A,B)的对数是2×(0+1+6+15)+0=44.A组基础题组A=( )1.(2018浙江,1,4分)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁UA. B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}1.答案 C2.(2019浙江台州高三调研)若全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,3,4},B={2,3},则集合A∩B)=( )(∁UA.{1}B.{4}C.{1,4,5}D.{1,4}2.答案 D3.(2019浙江宁波高三上期末)已知集合P={x∈R|0≤x≤8},Q={x∈R||x|<7},则P∪Q=()A.[7,8]B.(-7,8]C.(-∞,8]D.(-7,+∞)3.答案 B4.(2019浙江金华十校高三上期末)若全集U=R,A={y|y=x2+2,x∈R},B={y|y=2x,x>0},则(∁A)∩B=()UA.[1,2]B.(1,2)C.(1,2]D.[1,2)4.答案 B5.(2019浙江金丽衢十二校高三第一次联考)若集合A=(-∞,5),B=[3,+∞),则(∁R A)∪ (∁R B)=( ) A.R B.C.[3,5)D.(-∞,3)∪[5,+∞)5.答案 D6.已知集合A={(x,y)|x 2+y 2≤3,x∈Z,y∈Z},则A 中元素的个数为( ) A.9 B.8C.5D.46.答案 A 由题意可知A={(-1,0),(0,0),(1,0),(0,-1),(0,1),(-1,-1),(-1,1),(1, -1),(1,1)},集合A 中共有9个元素,故选A.7.若集合A={x|y=lg(3x-x 2)},B=y y=1+4x+1,x∈A ,则A∩∁R B=( ) A.(0,2] B.(2,3)C.(3,5)D.(-2,-1)7.答案 A ∵A=(0,3),∴B=(2,5),∴A ∩(∁R B)=(0,2].故选A.8.已知集合A={x|x 2-3x<0},B={1,a},且A∩B 有4个子集,则实数a 的取值范围是( ) A.(0,3) B.(0,1)∪(1,3) C.(0,1) D.(-∞,1)∪(3,+∞)8.答案 B ∵A ∩B 有4个子集,∴A ∩B 中有2个元素,∴a ∈A,∴a 2-3a<0,∴0<a<3,又易得a≠1,∴实数a 的取值范围是(0,1)∪(1,3),故选B.9.设U=R,已知集合A={x|x≥1},B={x|x>a},且(∁U A)∪B=R,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,1) B.(-∞,1]C.[1,+∞)D.(1,+∞)9.答案 A 因为A={x|x≥1},所以∁U A={x|x<1},又(∁UA)∪B=R,B={x|x>a},所以a<1,故选A.10.已知a∈R,集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为.10.答案 1解析∵B={a,a2+3},A∩B={1},∴a=1或a2+3=1,∵a∈R,∴a2+3≠1,故a=1.经检验,满足题意.11.设集合A={x|(x-a)2<1},且2∈A,3∉A,则实数a的取值范围是.11.答案1<a≤2解析由题意得,{(2-a)2<1,(3-a)2≥1,即{1<a<3,a≤2或a≥4,所以1<a≤2.12.(2019嘉兴一中月考)已知集合A={2x,y-1x,1},B={x2,x+y,0},若A=B,则x+y= . 12.答案 2解析由题意,得A中必有0,又x≠0,所以y-1x=0,所以y=1.此时A={2x,0,1},B={x2,x+1,0}.因为A=B,所以{2x=x2,x+1=1或{2x=x+1,x2=1,即x=0(不符合题意,舍去)或x=1.所以x+y=2.B组提升题组1.(2018浙江上虞高三第二次调测)已知集合A={x|y=√2+x+2,x∈R},B={x|ln x<1,x∈R},则A∩B=()A.[-1,2]B.(0,2]C.[1,2]D.[1,e]1.答案 B 易知A={x|-1≤x≤2},B={x|0<x<e},∴A ∩B={x|0<x≤2},即(0,2]. 故选B.2.已知集合A={1,2},B={x|x 2-(a+1)x+a=0,a∈R},若A=B,则a=( ) A.1B.2C.-1D.-22.答案 B ∵A={1,2},B={x|x 2-(a+1)x+a=0,a∈R},且A=B,∴1,2是方程x 2-(a+1)x+a=0的两根,则{1+2=a +1,1×2=a ,即a=2,故选B.3.设U 为全集,对集合A,B 定义运算“*”,A*B=∁U (A∩B),若X,Y,Z 为三个集合,则(X*Y)*Z=( ) A.(X∪Y)∩∁U Z B.(X∩Y)∪∁U Z C.(∁U X∪∁U Y)∩ZD.(∁U X∩∁U Y)∪Z3.答案 B 由题意知X*Y=∁U (X∩Y),则( X*Y )*Z=∁U (X∩Y)*Z=∁U [∁U (X∩Y)∩Z]=(X∩Y)∪∁U Z,故选B.4.已知集合A={x ∈R|x -1x =0},则满足A∪B={-1,0,1}的集合B 的个数是( ) A.2 B.3C.4D.94.答案 C 解方程x-1x =0,得x=1或x=-1,所以A={1,-1},又A∪B={-1,0,1},所以B={0}或{0,1}或{0,-1}或{0,1,-1},共有4个.5.设A={x|x 2-4x+3≤0},B={x|ln(3-2x)<0},则图中阴影部分表示的集合为( )A.(-∞,32) B.(1,32) C.[1,32)D.(32,3]5.答案 B 易知题图中阴影部分表示的集合为A∩B,因为A={x|x2-4x+3≤0}={x|1≤x≤3},B={x|ln(3-2x)<0}={x|0<3-2x<1}={x|1<x<32},所以A∩B={x|1<x<32},故选B.6.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“垂直对点集”,给出下列两个集合: ①M={(x,y)|y=1x};②M={(x,y)|y=sin x+1}.则以下选项正确的是( )A.①是“垂直对点集”,②不是“垂直对点集”B.①不是“垂直对点集”,②是“垂直对点集”C.①②都是“垂直对点集”D.①②都不是“垂直对点集”6.答案 B 由题意知M为函数y=f(x)图象上的点组成的集合,对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,即函数y=f(x)的图象上存在点P(x1,y1),Q(x2,y2)满足OP⊥OQ(O为坐标原点).易知函数y=1x 的图象上,不存在点P(x1,y1),Q(x2,y2)满足OP⊥OQ(O为坐标原点),且对于函数y=sin x+1图象上任意一点P(x1,y1),都存在点Q(x2,y2)满足OP⊥OQ(O为坐标原点),即①不是“垂直对点集”,②是“垂直对点集”,故选B.1.(2019天津,1,5分)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=()A.{2}B.{2,3}C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}1.答案 D 本题主要考查集合的交集、并集运算,通过集合的交集、并集运算考查了学生的运算求解能力,体现了数学运算的核心素养.由题意可知A∩C={1,2},则(A∩C)∪B={1,2,3,4},故选D.2.(2019课标全国Ⅰ理,1,5分)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=()A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}2.答案 C 本题主要考查集合的交集运算;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是直观想象.∵N={x|x2-x-6<0}={x|-2<x<3},M={x|-4<x<2},∴M∩N={x|-2<x<2},故选C.3.(2018北京,1,5分)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=()A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}答案 A 本题主要考查集合的运算.化简A={x|-2<x<2},∴A∩B={0,1},故选A.4.(2018课标全国Ⅲ理,1,5分)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}答案 C 本题考查集合的运算.∵A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2},故选C.5.(2018天津,1,5分)设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则A∩(∁B)=( )RA.{x|0<x≤1}B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2}答案 B 本题主要考查集合的基本运算.B={x|x<1},由B={x|x≥1},得∁R借助于数轴,可得A∩(∁B)={x|0<x<1},故选B.R6.(2017课标全国Ⅲ理,1,5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为( )A.3B.2C.1D.0答案 B 集合A表示单位圆上的所有的点,集合B表示直线y=x上的所有的点.A∩B表示直线与圆的公共点,显然,直线y=x经过圆x2+y2=1的圆心(0,0),故共有两个公共点,即A∩B中元素的个数为2.7.(2017北京理,1,5分)若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则A∩B=()A.{x|-2<x<-1}B.{x|-2<x<3}C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<3}答案 A 由集合的交集运算可得A∩B={x|-2<x<-1},故选A.8.(2017天津,1,5分)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C=()A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{x∈R|-1≤x≤5}答案 B 因为A={1,2,6},B={2,4},所以A∪B={1,2,4,6},又C={x∈R|-1≤x≤5},所以(A∪B)∩C={1,2,4}.故选B.9.(2017课标全国Ⅲ文,1,5分)已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案 B 因为集合A和集合B有共同元素2,4,所以A∩B={2,4},所以A∩B中元素的个数为2.A=( )10.(2017北京文,1,5分)已知全集U=R,集合A={x|x<-2或x>2},则∁UA.(-2,2)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.[-2,2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)A={x|-2≤x≤2}=[-2,2].故选C.答案 C 根据补集的定义可知,∁U11.(2017山东文,1)设集合M={x||x-1|<1},N={x|x<2},则M∩N=()A.(-1,1)B.(-1,2)C.(0,2)D.(1,2) 答案 C |x-1|<1⇒-1<x-1<1⇒0<x<2,即M={x|0<x<2}.又N={x|x<2},所以M∩N={x|0<x<2}=(0,2).故选C.。

（某某专用）2018版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语 1.1 集合及其运算教师用书1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B(或B A)集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集A＝B3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁U A＝{x|x∈U且x∉A}1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩(∁U A)＝∅；A∪(∁U A)＝U；∁U(∁U A)＝A.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．( ×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( ×)(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( ×)(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( √)(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( √)(6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( ×)1．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是( ) A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A答案 D解析由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝22，知a∉A.2．(2016·某某质检)设集合A＝{x|x2－2x≥0}，B＝{x|－1<x≤2}，则(∁R A)∩B等于( ) A．{x|－1≤x≤0} B．{x|0<x<2}C．{x|－1<x<0} D．{x|－1<x≤0}答案 B解析因为A＝{x|x≥2或x≤0}，所以∁R A＝{x|0<x<2}，(∁R A)∩B＝{x|0<x<2}，故选B. 3．(2016·某某)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B等于( ) A．{1} B．{4}C．{1,3} D．{1,4}答案 D解析因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；当x＝2时，y＝3×2－2＝4；当x＝3时，y＝3×3－2＝7；当x＝4时，y＝3×4－2＝10；即B＝{1,4,7,10}．又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．故选D.4．(2016·某某名校联考)集合A＝{x|x－2<0}，B＝{x|x<a}，若A∩B＝A，则实数a的取值X围是__________．答案 [2，＋∞)解析 由A ∩B ＝A ，知A ⊆B ，从数轴观察得a ≥2.题型一 集合的含义例1 (1)(2016·某某模拟)设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P ＋Q 中元素的个数是( )A ．9B ．8C ．7D ．6(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 答案 (1)B (2)0或98解析 (1)当a ＝0时，a ＋b ＝1,2,6； 当a ＝2时，a ＋b ＝3,4,8； 当a ＝5时，a ＋b ＝6,7,11.由集合中元素的互异性知P ＋Q 中有1,2,3,4,6,7,8,11共8个元素．(2)若a ＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意；若a ≠0，则由题意得Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98.综上，a 的值为0或98.思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型是数集、点集还是其他类型的集合．(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．(1)(2016·某某模拟)已知A ＝{x |x ＝3k －1，k ∈Z }，则下列表示正确的是( )A ．－1∉AB ．－11∈AC ．3k 2－1∈A (k ∈Z ) D ．－34∉A(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，则b －a ＝________.答案 (1)C (2)2解析 (1)∵k ∈Z ，∴k 2∈Z ，∴3k 2－1∈A . (2)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，得b a＝－1， 所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2. 题型二 集合的基本关系例2 (1)(2016·余姚一模)设A ，B 是全集I ＝{1,2,3,4}的子集，A ＝{1,2}，则满足A ⊆B 的B 的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2(2)已知集合A ＝{x |x 2－2 017x ＋2 016<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值X 围是__________________． 答案 (1)B (2)[2 016，＋∞) 解析 (1)∵{1,2}⊆B ，I ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的集合B 有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个． (2)由x 2－2 017x ＋2 016<0，解得1<x <2 016， 故A ＝{x |1<x <2 016}，又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 016. 引申探究本例(2)中，若将集合B 改为{x |x ≥a }，其他条件不变，则实数a 的取值X 围是____________． 答案 (－∞，1]解析 A ＝{x |1<x <2 016}，B ＝{x |x ≥a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≤1.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．(1)(2016·某某模拟)已知集合A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{1，x ，x 2－x }，且B ⊆A ，则x 等于( )A ．1B ．0C ．2D ．－1(2)(2016·某某模拟)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值X 围是____________． 答案 (1)D (2)(－∞，4]解析 (1)当x ＝0时，x 2－x ＝0，不满足条件； 当x ＝2时，x 2－x ＝2，不满足条件； 当x ＝－1时，x 2－x ＝2，满足条件， 所以x ＝－1，故选D.(2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2； 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值X 围为(－∞，4]． 题型三 集合的基本运算 命题点1 集合的运算例3 (1)(2016·全国乙卷)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B 等于( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3(2)(2016·某某)已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )等于( ) A ．[2,3] B ．(－2,3]C ．[1,2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 答案 (1)D (2)B解析 (1)由A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2x －3>0}＝{x |x >32}，得A ∩B ＝{x |32<x <3}＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，故选D. (2)由已知得Q ＝{x |x ≥2或x ≤－2}． ∴∁R Q ＝(－2,2)．又P ＝[1,3]，∴P ∪(∁R Q )＝[1,3]∪(－2,2)＝(－2,3]． 命题点2 利用集合的运算求参数例4 (1)已知集合P ＝[1,3]，集合Q ＝(－∞，a )∪(b ，＋∞)，其中a <b ，若P ∩(∁R Q )＝[2,3]，则( )A ．a ＝2，b ＝3B ．a ＝2，b ≤3C ．a ＝2，b ≥3 D．a ≤2，b ≥3(2)设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值X 围是( ) A ．－1<a ≤2 B ．a >2 C ．a ≥－1 D ．a >－1 答案 (1)C (2)D解析 (1)因为∁R Q ＝[a ，b ]，P ∩(∁R Q )＝[a ，b ]∩[1,3]＝[2,3]，所以a ＝2，b ≥3，故选C. (2)因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a >－1.思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．(1)(2016·某某)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B 等于( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值X 围为( )A ．[－1,2)B ．[－1,3]C ．[2，＋∞) D．[－1，＋∞) 答案 (1)C (2)D解析 (1)∵A ＝{y |y >0}，B ＝{x |－1<x <1}， ∴A ∪B ＝(－1，＋∞)，故选C.(2)由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}．又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值X 围为[－1，＋∞)． 题型四 集合的新定义问题例5 若对任意的x ∈A ，1x ∈A ，则称A 是“伙伴关系集合”，则集合M ＝{－1,0，12，1,2}的所有非空子集中，具有伙伴关系集合的个数为________． 答案 7解析 具有伙伴关系的元素组有－1；1；2和12共三组，它们中任一组、两组、三组均可组成非空伙伴关系集合，所以非空伙伴关系集合分别为{1}，{－1}，{12，2}，{－1,1}，{－1，12，2}，{1，12，2}，{－1,1，12，2}，共7个． 思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．定义一种新的集合运算△：A △B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }．若集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，则按运算△，B △A 等于( ) A ．{x |3<x ≤4} B．{x |3≤x ≤4} C ．{x |3<x <4} D ．{x |2≤x ≤4} 答案 B解析 A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2≤x ≤4}，由题意知B △A ＝{x |x ∈B 且x ∉A }＝{x |3≤x ≤4}．1．集合关系及运算典例 (1)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或3B ．0或3 C ．1或3D ．1或3或0(2)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若B ⊆A ，则实数a 的取值X 围是________． 错解展示解析 (1)由A ∪B ＝A 得B ⊆A ，∴m ＝3或m ＝m ， 故m ＝3或m ＝0或m ＝1. (2)∵B ⊆A ，讨论如下：①当B ＝A ＝{0，－4}时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a ＋12－4a 2－1>0，－2a ＋1＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1.②当B A 时，由Δ＝0得a ＝－1， 此时B ＝{0}满足题意，综上，实数a 的取值X 围是{1，－1}． 答案 (1)D (2){1，－1} 现场纠错解析 (1)A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，故B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，其中m ＝1不符合题意，所以m ＝0或m ＝3，故选B. (2)因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a ＋12－4a 2－1>0，－2a ＋1＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意； ③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综上所述，所某某数a 的取值X 围是(－∞，－1]∪{1}． 答案 (1)B (2)(－∞，－1]∪{1}纠错心得 (1)集合的元素具有互异性，参数的取值要代入检验． (2)当两个集合之间具有包含关系时，不要忽略空集的情况.1．(2016·某某模拟)若A ＝{x |x ＝4k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，则( ) A ．A ⊆B B ．B ⊆A C ．A ＝B D ．A ∩B ＝∅ 答案 A解析 ∵k ∈Z ，∴4k ＋1∈B ，∴A ⊆B .2．(2016·某某)设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是( ) A．3 B．4 C．5 D．6答案 C解析由题意可知，A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩Z中元素的个数为5.故选C.3．已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M且2x∉M}的子集的个数为( )A．8 B．4 C．3 D．2答案 B解析由题意得P＝{3,4}，∴集合P有4个子集．4．(2016·某某期末调研)设集合S＝{x|x>2}，T＝{x|x2－x－12≤0}，则S∩T等于( ) A．[3，＋∞) B．[4，＋∞)C．(2,3] D．(2,4]答案 D解析由x2－x－12≤0，得－3≤x≤4，所以T＝{x|－3≤x≤4}，所以S∩T＝(2,4]，故选D.5．(2017·某某二中月考)已知全集为U，集合M＝{x|－2≤x<2}，N＝{x|y＝log2(x－1)}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|－2≤x≤1} B．{x|1<x<2}C．{x|1≤x<2} D．{x|－2≤x<0}答案 A解析由x－1>0，解得x>1，所以N＝{x|x>1}．图中阴影部分表示的集合为M∩(∁U N)，又∁U N＝{x|x≤1}，所以M∩(∁U N)＝{x|－2≤x≤1}，故选A.6．已知集合A＝{x|－1<x<0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则a的取值X围为( )A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)答案 B解析用数轴表示集合A，B(如图)，由A⊆B，得a≥0.7．(2015·某某)已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则(∁R P)∩Q等于( )A ．[0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．[1,2] 答案 C解析 ∵P ＝{x |x ≥2或x ≤0}，∁R P ＝{x |0＜x ＜2}， ∴(∁R P )∩Q ＝{x |1＜x ＜2}，故选C.8．(2016·某某第二中学考试)已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值X 围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(1，＋∞) 答案 B解析 由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.9．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 D解析 由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}． 由题意知B ＝{1,2,3,4}．∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．*10.设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |n －13≤x ≤n ，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫作集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( ) A.13 B.23 C.112 D.512 答案 C解析 由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋34≤1，即0≤m ≤14；⎩⎪⎨⎪⎧n －13≥0，n ≤1，即13≤n ≤1，取m 的最小值0，n 的最大值1，可得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，所以M ∩N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34，此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝112，故选C.x<0}，则A∩(∁U B)＝11．(2016·某某五校高三联考)定义集合A＝{x|2x≥1}，B＝{x|log12________.答案[0,1]解析∵A＝{x|x≥0}，B＝{x|x>1}，∴∁U B＝{x|x≤1}，∴A∩(∁U B)＝[0,1]．12．(2016·某某高三5月质检)已知集合P＝{1，m}，Q＝{m2}，若P∪Q＝P，则实数m的值是________．答案0或－1解析由P∪Q＝P，得Q⊆P，∴m2∈{1，m}，当m2＝1时，m＝1(舍)或m＝－1；当m2＝m时，m＝1(舍)或m＝0.综上，m＝－1或m＝0.13．(2016·临安模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|y＝x2－2x－3}，B＝{y|y＝e x＋1}，则A∪B ＝__________.答案(－∞，－1]∪(1，＋∞)解析因为A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{y|y>1}，所以A∪B＝{x|x>1或x≤－1}．14．已知集合A＝{x|x2－2x＋a>0}，且1∉A，则实数a的取值X围是__________．答案(－∞，1]解析∵1∉{x|x2－2x＋a>0}，∴1∈{x|x2－2x＋a≤0}，即1－2＋a≤0，∴a≤1.15．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________．答案 5解析当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个．*16.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.答案－1 1解析A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.。

姓名，年级：时间：第一章集合、常用逻辑用语与不等式第一讲集合1。

下列说法正确的是（)①集合｛x∈N|x3=x},用列举法表示为｛ - 1，0，1}.②{x|y=x2}=｛y｜y=x2｝={（x,y)｜y=x2｝.③方程√x-2 020+(y+2 021)2=0的解集为｛2 020, — 2 021}.④若5∈｛1,m+2,m2+4}，则m的取值集合为｛1， - 1,3}。

⑤若P ∩M=P ∩N=A，则A⊆（M ∩N）。

⑥设U=R，A=｛x｜lg x〈1},则∁U A=｛x｜lg x≥1}=｛x|x≥10｝.A.①③④ B。

⑤⑥ C.⑤ D。

②⑤2。

[易错题］已知集合A=｛x|1x-1<1｝,则∁RA=（)A。

(—∞，2］B.［1,2］ C.（1,2］ D.（—∞，2）3.［2020广东四校联考]已知集合A={ —1，0，1,2，3},B={x｜x-2x+1≥0｝，则A∩B中元素的个数为(）A。

1 B。

2 C。

3 D。

44。

［2020大同市高三调研测试］已知集合A满足{0，1｝⊆A⫋{0,1,2,3｝，则满足条件的集合A的个数为() A。

1 B。

2 C.3 D.45.［2019全国卷Ⅱ]设集合A={x|x2 - 5x+6>0｝,B=｛x|x— 1<0}，则A∩B=（ ）A 。

( — ∞,1) B.( — 2，1) C.( - 3， — 1） D.（3,+∞) 6.[2019天津高考］设集合A =｛ — 1，1,2,3，5｝,B ={2,3，4｝，C ={x ∈R |1≤x 〈3｝,则（A ∩C ）∪B =（ ）A.｛2}B.{2,3} C 。

｛ - 1，2,3｝ D.{1，2,3,4}考法1 集合的含义与表示命题角度1 集合元素的“三性"1［福建高考]已知集合｛a ,b ,c ｝=｛0,1,2},且下列三个关系①a ≠2，②b =2,③c ≠0中有且只有一个正确, 则100a +10b +c等于。