北师大版-江西省宜春中学必修1学案换底公式

《换底公式》◆教材分析根据教材及学情特点，本课以探究式教学法为主，辅之以讨论法和自学辅导法．以问题为主线，力求创设有效的教学情境，引导学生在观察中思考，在思考中探索，在探索中发现，在发现中收获，在收获中创新，在创新中升华．通过具有一定层次梯度的问题序列，多角度、全方位训练学生思维的聚敛性和发散性．同时注重信息技术与数学课程的整合，借助多媒体设备进行辅助教学．◆教学目标【知识与能力目标】对数换底公式的应用,理解对数换底公式的意义.【过程与方法目标】在学习的过程中体会研究具体函数的过程和方法.【情感态度价值观目标】让学生了掌握其推导方法，初步学会它在对数式恒等变形中的应用。

；培养学生观察问题、分析问题的能力.◆教学重难点◆【教学重点】对数换底公式的应用。

【教学难点】对数换底公式的推导。

教学课件、图表、清单。

从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e 为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题．【设计意图】设置案例，引出新课题，引起学生的兴趣和思考。

新课讲授1．换底公式(1)log b N ＝log a Nlog a b (a 、b>0，a 、b≠1，N>0)(2) log a b.log b a ＝1 (a>0且a≠1，b>0且b≠1)(3) log a b.log b c.log c d ＝ (a ，b ，c ，d>0，且a ，b ，c≠1)2. 证明公式：log b N ＝log a Nlog a b (a 、b>0，a 、b≠1，N>0)证明：设x=log b N ，则b x =N ，两边取以a 为底的对数，得x ,即。

§4.2 换底公式----教学设计教材分析本节是在新高中课程标准下新增的内容之一.通常情况下,计算对数需要使用计算工具,而一般的科学计算器只能对常用对数或自然对数进行计算,因此需要用换底公式,化成常用对数或自然对数.前面对数的运算性质只能解决同底对数的加减幂运算,对于乘除束手无策,因此也需要换底公式化不同底为同底,化未知为已知,从而再进行运算.教学目标1.知识与技能（1）理解从特殊到一般的类比推导对数的换底公式的方法，并掌握换底公式；(2)能够灵活地运用换底公式与对数的运算性质进行对数运算与并解决实际问题.2.过程与方法通过设置问题串的方式,让学生通过在问题的引导下自主学习、合作学习经历推导对数的换底公式的过程,培养学生分析问题和解决问题的能力.3.情感态度与价值观让学生探究对数的换底公式，培养学生的探究意识，培养学生严谨的思维品质，感受对数的广泛应用，增强学习的积极性.教学重点和难点教学重点：对数的运算性质及换底公式及其应用.教学难点：灵活地使用对数的运算性质和换底公式进行计算、化简.教学方法与手段教学方法：启发引导式教学.教学手段：多媒体辅助教学.教学过程一、导入课题1.复习对数的定义及运算性质.log15的值呢？借助科学计算器呢?这样如果2.思考:我们能否直接求出lg15、ln2、2能将其他底的对数转化成以10为底或以e 为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数.那么,如何转换呢?引出课题换底公式.二、探究课题1、提出问题阅读教材,回答以下问题(通过投影仪提出问题,提供5分钟时间让学生自学探究,适时引导).问题1.如何使用科学计算器计算2log 15?问题2.如果0a >且1a ≠，你能用以a 为底的对数式来表示2log 15吗？ 问题3.更一般地,log log (,0,,1,0)log a b a NN a b a b N b=>≠>成立吗？如何证明？问题4.你能用自己的话概括出换底公式吗？活动:学生针对提出的问题,交流讨论,回顾所学,力求转化,教师适时指导,必要时提示学生解题的思路,给学生创造一个互动的学习环境,培养学生的自学能力与创造性思维能力.对于问题1,考虑利用对数的定义,转化成指数方程,再两边取常用对数或自然对数来求解；对于问题2,考虑参考问题1的思路和结果的形式借助对数的定义可以表示；对于问题3,借助问题1、2的思路,利用对数的定义来证明；问题4抓住问题的实质,用准确的语言描述出来,一般是按照从左到右的形式.2、探究结果探究1.设2log 15x =，根据对数的定义,写成指数式，得215x= ①对①式两边取常用对数（两边取对数的依据是什么？），得lg 2lg 15x =，所以lg 15lg 2x =. 这样我们可以用科学计算器中“log ”键算出2lg15log 15 3.9068906lg 2=≈. 如果对①式两边取自然对数，得ln 2ln15x =所以2ln15log 15 3.9068906ln 2=≈. 探究2.如果对①式两边取以a 为底的对数，得log 2log 15a a x =所以log 15log 2a a x =.探究3.证明:设log b x N =,根据对数定义,写成指数式，得xN b =.根据相等的两个正数的同底对数相等，两边取以a 为底的对数，得log log x a a N b =. 而log log x a a b x b =，所以log log a a N x b =. 由于1b ≠，则log 0a b ≠，解出x ，得log log a a Nx b=.因为log b x N =，所以log log log a b a NN b=(板书对数换底公式).探究4.一个数的对数,等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个同底对数的商.三、新知应用例1.用科学计算器计算（精确到0.001）： （1）2log 48； (2)8log π. 解：(1)2lg 48log 48 5.585lg 2=≈；(2)8ln log 0.550ln8ππ=≈. 课堂练习1.利用科学计算器计算：2log 10；2log 100；2log 50；3log 20；3log 1000；5log 0.99.活动:让学生通过合作学习,使用计算器完成.看谁算得快,增强合作与竞争意识. 解:2log 10 3.3219≈；2log 100 6.6439≈；2log 50 5.6439≈；3log 20 2.7268≈；3log 1000 6.2877≈；35log 0.99 6.244610-≈-⨯.例2.计算：（1）9log 27； （2）827log 9log 32⋅.活动:学生观察题目,思考讨论,互相交流,教师适时提示,使用换底公式统一底数；根据题目的特点,底数不同,所以考虑把底数统一起来,可以化成常用对数或自然对数,当然以2为底或以3为底的对数也可.在讲授时通过实物展示台放映学生解答过程.分析解答情况.解：⑴392lg 27lg33log 27lg9lg32===.⑵2582732lg3lg 22lg35lg 210log 9log 32lg 2lg33lg 22lg39⋅=⋅=⋅=.点评:灵活应用对数的换底公式是解决问题的关键.再思考活动:从例题的解答过程中,引导学生思考一般性结论,log log m na a nb b m=(强调底数的次方数为分母,真数的次方数为分子),log log 1a b b a ⋅=(强调互为倒数).上题也可直接这样算：(1)233333log 3log 322===原式. (2)332523232510log 3log 2log 3log 2339=⋅=⋅=原式.课堂练习3.利用换底公式证明： （1）1log log m a b b m a=； （2）log log m m a a b b =.活动:学生针对提出的问题,交流讨论,回顾所学,力求转化,教师适时指导,在讲授时可通过实物展示台放映学生解答过程.分析解答情况.证明:(1)log 1log log log m b m a b b b b a m a ==；(2)log log log log log log m m ma a a m a a ab m b b b a m a===.例3.一种放射性物质不断变化为其它物质，每经过一年剩留的质量约为原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半（结果保留1个有效数字）.解：设最初的质量是1，经过x 年，剩留量是y ，则经过1年，剩留量是0.84y =；经过2年，剩留量是20.84y =； ……经过x 年，剩留量是0.84xy =； 方法一:根据函数关系式列表如下观察表中数据，0.5y ≈时对应有4x =， 即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半. 方法二:依题意得0.840.5x=，用科学计算器计算得0.84ln 0.5log 0.5 3.98ln 0.84x ==≈.即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半.四、课题小结1.换底公式可以完成不同底数的对数式之间的转化,该公式既可以正用,也可逆用,使用时的关键是选择底数,在对数的运算中,应尽量化为同底的对数,以便用于运算.2.不论是指数和对数的互化,还是把底数不同的对数转化为底数相同的对数,都用到了转化与化归的思想,方程思想.另外本堂课题还用到了数学建模思想等.五、课题延伸问题:对数有换底公式,指数有换底公式吗?一般地，根据指数函数的性质可以知道,对于任意的正数a 和b ,总能把a 的指数幂化为b 的指数幂.因为一定存在唯一的常数α,使得a b α=.所以根据实数指数幂的运算性质,得()n n n a b b αα==(log b a α=).问题与思考(1)你能证明指数换底公式吗?(2)已知lg 20.3010=，lg30.4771=，你能否较快地比较1002与653的大小吗?(3)指数换底公式的意义是什么?有什么作用?六、课题分层作业必做题: 教材88页B 组第4题.选做题:(1)已知77log 3,log 4a b ==,求48log 49的值；(2)已知lg lg 2lg(2)x y x y +=-,求的值. 七、板书设计八、教学反思本节课的成功之处:一、本节课采用学生探究的方式教学，充分发挥了学生的积极性和主动性，效果比较好.二、例题由易到难，设置得比较科学，学生做起来比较轻松. 不足之处：一、时间未把握好，课题延伸这一环节没有时间讲.。

换底公式【学习目标】1．通过对数换底公式的推导，提升逻辑推理素养。

2．通过用对数换底公式进行化简求值，培养数学运算素养。

【学习重难点】1．能推导出对数的换底公式。

(重点)2．会用对数换底公式进行化简与求值。

(难点、易混点)【学习过程】一、预习提问思考：换底公式的作用是什么？[提示] 换底公式的主要作用是把不同底的对数化为同底的对数，再运用对数的性质进行运算。

二、合作探究【例1】 计算：log 1627log 8132．[思路探究] 在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值。

[解] log 1627log 8132＝lg 27lg 16·lg 32lg 81＝lg 33lg 24·lg 25lg 34＝3lg 34lg 2·5lg 24lg 3＝1516。

【例2】 已知log 189＝a ，18b ＝5，用a ，b 表示log 3645．[解] 法一：因为log 189＝a ，所以9＝18a ，又5＝18b ，所以log 3645＝log 2×18(5×9)＝log 2×1818a ＋b＝(a ＋b )·log 2×1818．又因为log 2×1818＝1log 1818×2 ＝11＋log 182＝11＋log 18189＝11＋1－log 189＝12－a， 所以原式＝a ＋b 2－a。

法二：∵18b ＝5，∴log 185＝b ，∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 185×9log 184×9 ＝log 185＋log 1892log 182＋log 189＝a ＋b 2log 18189＋log 189＝a ＋b 2－2log 189＋log 189＝a ＋b 2－a。

法三：∵log 189＝a ，18b ＝5，∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18，∴log 3645＝lg 9×5lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b 2－a。

2．2 换底公式必备知识基础练知识点一 利用换底公式求值1．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．52．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________．3．设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值．知识点二 利用换底公式计算4．(log 134)·(log 227)＝( )A ．23B ．32C ．6D ．－6 5．计算：(1)log 927；(2)log 21125 ×log 3132 ×log 513； (3)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92).知识点三 利用换底公式证明6．证明：log a a b m ＝m n log a b (a >0，且a ≠1，n ≠0).7．已知2x ＝3y ＝6z ≠1，求证：1x ＋1y ＝1z.关键能力综合练1.log 29log 23＝( )A ．12B ．2C ．32D ．922．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝( )A ．a ＋bB ．a －bC ．abD ．a b3．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )A ．10B ．10C ．20D ．1004.1log 1419 ＋1log 1513＝( )A ．lg 3B ．－lg 3C ．1lg 3D ．－1lg 35．(多选题)已知2x ＝3y ＝a ，且(x －1)(y －1)＝1，则a 的值可能为() A ．1 B ．2 C ．3 D ．66．(探究题)设a ，b ，c 都是正数，且4a ＝6b ＝9c ，那么( )A ．ab ＋bc ＝2acB ．ab ＋bc ＝acC ．2c ＝2a ＋1bD ．1c ＝2b －1a7．已知log 32＝m ，则log 3218＝________．(用m 表示)8．(易错题)计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258).9．计算：5log 53－log 311·log 1127＋log 82＋log 48.核心素养升级练1．(多选题)已知正数x ，y ，z 满足等式2x ＝3y ＝6z ，下列说法正确的是( )A ．x >y >zB ．3x ＝2yC ．1x ＋1y －1z ＝0D ．1x －1y ＋1z＝0 2．(学科素养—逻辑推理)已知a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．2．2 换底公式必备知识基础练1．答案：A解析：∵log a x ＝1log x a ＝2，∴log x a ＝12. 同理log x c ＝16 ，log x b ＝13.∴log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c＝1. 2．答案：9解析：由换底公式，得lg 4lg 3 ×lg 8lg 4 ×lg m lg 8 ＝lg m lg 3＝log 416＝2，∴lg m ＝2lg 3＝lg 9，∴m ＝9.3．解析：∵3x ＝36，4y＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式，得 x ＝log 3636log 363 ＝1log 363 ，y ＝log 3636log 364 ＝1log 364， ∴1x＝log 363，1y ＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4) ＝log 3636＝1.4．答案：D解析：(log 13 4)·(log 227)＝(log 13 22)·(log 2(13 )－3)＝(2log 132)·(－3log 213 )＝－6·lg 2lg 13·lg 13lg 2 ＝－6. 5．解析：(1)log 927＝log 327log 39 ＝log 333log 332 ＝3log 332log 33 ＝32. (2)log 21125 ×log 3132 ×log 513＝log 25－3×log 32－5×log 53－1＝－3log 25×(－5log 32)×(－log 53)＝－15×lg 5lg 2 ×lg 2lg 3 ×lg 3lg 5＝－15. (3)原式＝(lg 3lg 4 ＋lg 3lg 8 )(lg 2lg 3 ＋lg 2lg 9) ＝(lg 32lg 2 ＋lg 33lg 2 )(lg 2lg 3 ＋lg 22lg 3) ＝12 ＋14 ＋13 ＋16 ＝54. 6．证明： log a a b m ＝lg b m lg a n ＝m lg b n lg a ＝m n log a b .7．证明：设2x ＝3y ＝6z ＝k (k ≠1)，∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k ，∴1x＝log k 2，1y ＝log k 3，1z ＝log k 6＝log k 2＋log k 3， ∴1z ＝1x ＋1y. 关键能力综合练1．答案：B解析：由换底公式得log 39＝log 29log 23 ，又∵log 39＝2，∴log 29log 23 ＝2. 2．答案：C解析：log 27＝log 23×log 37＝ab .3．答案：A解析：∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m .1a ＋1b＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m 2＝10.又m >0，∴m ＝10 ，选A.4．答案：C解析：原式＝log 19 14 ＋log 13 15 ＝log 13 12 ＋log 13 15 ＝log 13110 ＝log 310＝1lg 3 .选C. 5．答案：AD解析：由(x －1)(y －1)＝1，可得xy ＝x ＋y .当xy ＝0时，x ＝y ＝0，此时a ＝1满足；当xy ≠0时，由1x ＋1y＝1. 又2x ＝3y ＝a ，所以x ＝log 2a ，y ＝log 3a ，则1x ＝1log 2a ＝log a 2，1y ＝1log 3a＝log a 3. 所以有1x ＋1y＝log a 2＋log a 3＝log a 6＝1，解得a ＝6. 综上所述，a ＝1或a ＝6.故选AD.6．答案：AD解析：由a ，b ，c 都是正数，可设4a ＝6b ＝9c ＝M ，∴a ＝log 4M ，b ＝log 6M ，c ＝log 9M ，则1a ＝log M 4，1b ＝log M 6，1c＝log M 9，∵log M 4＋log M 9＝2log M 6，∴1c ＋1a ＝2b ，即1c ＝2b －1a，去分母整理得ab ＋bc ＝2ac .故选AD. 7．答案：m ＋25m解析：log 23＝1log 32 ＝1m ，log 3218＝lg 18lg 32 ＝lg 2＋2lg 35lg 2 ＝15 ＋25 log 23＝15 ＋25m＝m ＋25m. 8．解析：解法一：原式＝(log 253＋log 225log 24 ＋log 25log 28 )(log 52＋log 54log 525 ＋log 58log 5125)＝(3log 25＋2log 252log 22 ＋log 253log 22 )(log 52＋2log 522log 55 ＋3log 523log 55 )＝(3＋1＋13)log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25＝13. 解法二：原式＝(lg 125lg 2 ＋lg 25lg 4 ＋lg 5lg 8 )(lg 2lg 5 ＋lg 4lg 25 ＋lg 8lg 125 )＝(3lg 5lg 2 ＋2lg 52lg 2 ＋lg 53lg 2 )(lg 2lg 5 ＋2lg 22lg 5 ＋3lg 23lg 5 )＝(13lg 53lg 2 )·(3lg 2lg 5)＝13. 解法三：原式＝(log 2 53＋log 2252＋log 235)(log 52＋log 5222＋log 5323)＝(3log 2 5＋log 2 5＋13 log 2 5)(log 5 2＋log 5 2＋log 5 2)＝(3＋1＋13 )log 2 5·3log 5 2＝3×133＝13. 9．解析：原式＝3－log 311×3log 113＋13 log 22＋32log 22 ＝3－3＋13 ＋32 ＝116 . 核心素养升级练1．答案：AC解析：设2x ＝3y ＝6z＝k (k >1)，则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k .因为x ＝log 2k ＝1log k 2 ，y ＝log 3k ＝1log k 3 ，z ＝log 6k ＝1log k 6 ，且0<log k 2<log k 3<log k 6， 所以1log k 2 >1log k 3 >1log k 6，即x >y >z ，故A 正确； 3x ＝3ln k ln 2 ，2y ＝2ln k ln 3 ，则3x 2y ＝3ln 32ln 2>1，故B 错误； 1x ＋1y ＝log k 2＋log k 3＝log k 6＝1z，故C 正确；1x －1y ＋1z＝log k 2－log k 3＋log k 6＝log k 4≠0，故D 错误．故选AC. 2．解析：解法一：设a x ＝b y ＝c z ＝t ，则x ＝log a t ，y ＝log b t ，z ＝log c t ， ∴1x ＋1y ＋1z ＝1log a t ＋1log b t ＋1log c t＝log t a ＋log t b ＋log t c ＝log t (abc )＝0， ∴abc ＝t 0＝1，即abc ＝1.解法二：设a x ＝b y ＝c z ＝t ，∵a ，b ，c 是不等于1的正数，∴t >0且t ≠1，∴x ＝lg t lg a ，y ＝lg t lg b ，z ＝lg t lg c， ∴1x ＋1y ＋1z ＝lg a lg t ＋lg b lg t ＋lg c lg t ＝lg a ＋lg b ＋lg c lg t， ∵1x ＋1y ＋1z＝0，且lg t ≠0， ∴lg a ＋lg b ＋lg c ＝lg (abc )＝0，∴abc ＝1.。

换底公式☆学生版☆
届数学学科组编号：编写人：高洁审核人：
班级小组姓名学习日期：
学习目标：
1、换底公式的理解.
2、换底公式的应用.
重点：换底公式的理解.
难点：换底公式的应用.
学法指导：根据“自主学习”中的问题，阅读教材内容，进行知识梳理，熟记基础知识。

将预习中不能解决的问题标出来，并填写到后面的“我的疑惑”处。

一、自主学习
.换底公式及其证明:
二、我的疑惑（请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，在课堂上与老师和同学们探究解决。

）
三、合作探究
★. 课本例
★. 课本例
★★. 课本例
四、课堂检测
. 课本练习第小题。

. 课本练习第小题。

§4.2换底公式一．教学目标：1．知识与技能①通过实例推导换底公式，准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能.②运用对数运算性质解决有关问题.③培养学生分析、综合解决问题的能力.培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.2.过程与方法①让学生经历并推理出对数的换底公式.②让学生归纳整理本节所学的知识.3.情感、态度、和价值观让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性.二．教学重点、难点重点：对数运算的性质与换底公式的应用难点：灵活运用对数的换底公式和运算性质化简求值。

三．学法和教学用具学法：学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.教学用具：投影仪四．教学过程问题提出我们使用的计算器中，“log”通常是常用对数，如何使用科学计算器计算㏒215？分析理解设㏒215=x ，写成指数式得2x =15两边取常用对数得Xlg2=lg15所以x=2lg 15lg 这样就可以使用科学计算器计算㏒键算出㏒215=2lg 15lg ≈3.9068906. 同理也可以使用科学计算器计算ln 键算出㏒215=2ln 15ln ≈3.9068906. 由此我们有理由猜想㏒ b N=b N a a log log ( a,b>0,a,b ≠1,N>0).先让学生自己探究讨论，教师巡视，最后投影出证明过程.证明设㏒ b N=x,根据对数定义，有N=b x两边取以a 为底的对数，得㏒a N=㏒a b x故 x ㏒a b =㏒a N ，由于b ≠1则㏒a b ≠0，解得 x=bN a a log log 故㏒b N=b N a a log log由换底公式易知㏒a b=ab log 1 例题分析例7 计算： （1）㏒927； （2）㏒89㏒2732注：由例7可以猜想并证明 b nm nb a m a log log例8 用科学计算器计算下列对数（精确到0.001）：㏒248 ㏒310 ㏒8∏ ㏒550 ㏒ 1.0822例9 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量是原来的 84℅，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半（结果保留1个有效数字）。

《换底公式》教学设计一．教学内容：北师大版数学必修一第三章指数函数与对数函数第4节《换底公式》。

二．三维目标：1、知识与技能（1）理解对数的换地公式思想—两边同时取相同的对数运算（2）进一步掌握对数的运算性质,能灵活运用换底公式化简计算（3）拓展学生思维空间，培养学生的计算能力，交流合作能力，语言表达能力，培养学生探究问题，解决问题的兴趣和能力2、过程与方法.利用多媒体教学，采取学生合作讨论的方法，3、情感态度与价值观通过本章节的学习，使学生明白可以多角度思考问题，未知问题要用已有知识来解决，树立正确的人生价值观，不怕困难，勇于挑战的精神。

三、学生分析学生基础不错，大部分学生学习自觉性很强理解力很强，极少数学生学习吃力，不得方法，通过互助式学习得到帮助，缩小学生学习差距，共同进步。

四、教材分析1.本节的作用和地位本节内容是进一步学习对数运算，通常情况下，计算对数需要使用计算工具，而一般的科学计算器只能对常用对数和自然对数进行计算，因此需要对数换底公式。

2．本节主要内容、换底公式的证明以及应用3.教学重点难点：教学重点：对数的换底公式，教学难点：对数换底公式的证明及公式的合理运用4.课时要求：1课时五、教学理念通过学生自主探究，合作交流，让部分技术水平高的同学带动学习吃力的同学，让学生在参与中学到新的知识，培养相互帮扶的能；通过探究发现新问题，再用已有知识解决问题六、教学策略在教学中，尽量采用合作探究式，提问式，案例分析，例题讲解，练习等手段七、教学手段多媒体教学八、教学过程（一）复习回顾：对数的三条运算性质：如果则,0,0,1,0>>≠>NMaa(1))(log log log MN N M a a a =+ (2)NM N M a a a log log log =- (3))(log log R n M n M a n a ∈=（二）新知探究1. 请同学们用计算器计算下列对数思考1： 如何计算15l 2og =？探究1：设15215log 2=⇒=x x两边取以10为底的对数得探究2: 两边取以e 为底的对数得思考2： 成立吗？且)10(2log 15log 15log 2≠>=a a a a 猜一猜：这就是对数换底公式，下面我们给出证明。

做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。

对数换底公式 一、换底公式：)0,1,0,1,0(log log log >≠>≠>=b c c a a a b b c c a 二、常用关系：1、自然对数与常用对数之间关系：e N N ln ln lg =2、)0,1,0(lg lg log >≠>=b a a ab b a 3、)1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a 4、 )0,0,1,0(log log ≠>≠>=m b a a b b m a a m5、)1,0,1,0(log log ≠>≠>=n b a a b n m ba m a n 三、例题：例1、求证：1log log =⋅a b b a例2、求下列各式的值。

(1)、log 98•log 3227(2)、（log 43+log 83）•(log 32+log 92)(3)、log 49•log 32(4)、log 48•log 39(5)、（log 2125+log 425+log 85）•(log 52+log 254+log 1258)例3、若log 1227=a,试用a 表示log 616.解：法一、换成以2为底的对数。

法二、换成以3为底的对数。

法三、换成以10为底的对数。

练习：已知log 189=a, 18b =5,求log 3645。

例4、已知12x =3,12y =2,求y x x+--1218的值。

练习：已知7log log ,5log log 248248=+=+a b b a ，求a •b 的值；例5、有一片树林，现有木材22000方，如果每年比上一年增长2.5%，求15年后约有多少方木材？解：设15年后约有木材A 方，则A=22000（1+2.5%)15=22000×1.02515lgA=lg22000+15×lg1.025=4.3424+15×0.0107=4.5029∴ A=131840教学无忧/专注中小学 教学事业！ 客服唯一联系qq 1119139686 欢迎跟我们联系答：15年后约有木材131840方。

《换底公式》尊敬的各位考官大家好，我是今天的06号考生，今天我说课的题目是换底公式。

接下来我将从教材分析、学情分析、教学过程（手势）等几个方面展开我的说课。

一、说教材从教材的地位和作用来看，本课选自北师大版高中数学必修一第四章第二节。

本课是在学生学习了对数的概念和运算性质的基础上研究换底公式，是解决对数运算的重要基础。

二、说学情深入了解学生是新课标要求下教师的必修课，学生在学习本节课之前已经学习了对数的概念和运算性质，具有一定的分析、归纳的能力。

三、说教学目标依据学生的知识水平和年龄特点，以及本节课在教材中所处的地位及作用，我制定了以下教学目标：1.理解并掌握换底公式，会用换底公式将一般对数化为常用对数或自然对数，并能进行简单的化简和证明。

2.通过换底公式的学习过程，使学生体会化归与转化的数学思想，培养学生分析、归纳的能力。

3.通过知识的形成过程，使学生体会知识之间的联系，培养学生数学运算的核心素养。

四、说教学重难点要上好一节数学课，在教学内容上一定要做到突出重点、突破难点。

根据本节课的内容，确定教学重点为换底公式的应用，我会通过例题来突出重点。

教学难点为换底公式的推导，我会通过详细板书举例论证来突破难点。

五、说教法和学法结合本节课的内容和学生的认知规律，我主要采用讲授法、启发法、小组合作、自主探究等教学方法。

在学法上,我主要采用观察法、合作交流法、归纳总结法等教学方法。

六、说教学过程古语说“凡事预则立，不预则废”，为了更好的以学定教，我会让学生在课前完成一份前置作业（预习单），分为两部分：1.是旧知连接，出一些本课知识紧密相关的已经学过的练习题，这样可以很好的摸清学生基础。

2.是新知速递，是让学生自己先进行预习，完成一些与本课知识相关的基础的练习，从而培养学生的预习能力。

为了实现这节课的教学目标，突出重点，突破难点，整节课的教学分几个部分进行环节一：创设情境，引入新课在这个环节，我会提问学生：“同学们，你能说出计算器里面的对数键有哪些吗？”“我要如何用计算器算出log a b的对数呢？”我这样设计的意图是通过设计问题情境，激发学生的学习兴趣，为后面的学习做铺垫。