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§4.2 换底公式----教学设计教材分析本节是在新高中课程标准下新增的内容之一.通常情况下,计算对数需要使用计算工具,而一般的科学计算器只能对常用对数或自然对数进行计算,因此需要用换底公式,化成常用对数或自然对数.前面对数的运算性质只能解决同底对数的加减幂运算,对于乘除束手无策,因此也需要换底公式化不同底为同底,化未知为已知,从而再进行运算.教学目标1.知识与技能（1）理解从特殊到一般的类比推导对数的换底公式的方法，并掌握换底公式；(2)能够灵活地运用换底公式与对数的运算性质进行对数运算与并解决实际问题.2.过程与方法通过设置问题串的方式,让学生通过在问题的引导下自主学习、合作学习经历推导对数的换底公式的过程,培养学生分析问题和解决问题的能力.3.情感态度与价值观让学生探究对数的换底公式，培养学生的探究意识，培养学生严谨的思维品质，感受对数的广泛应用，增强学习的积极性.教学重点和难点教学重点：对数的运算性质及换底公式及其应用.教学难点：灵活地使用对数的运算性质和换底公式进行计算、化简.教学方法与手段教学方法：启发引导式教学.教学手段：多媒体辅助教学.教学过程一、导入课题1.复习对数的定义及运算性质.log15的值呢？借助科学计算器呢?这样如果2.思考:我们能否直接求出lg15、ln2、2能将其他底的对数转化成以10为底或以e 为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数.那么,如何转换呢?引出课题换底公式.二、探究课题1、提出问题阅读教材,回答以下问题(通过投影仪提出问题,提供5分钟时间让学生自学探究,适时引导).问题1.如何使用科学计算器计算2log 15?问题2.如果0a >且1a ≠，你能用以a 为底的对数式来表示2log 15吗？ 问题3.更一般地,log log (,0,,1,0)log a b a NN a b a b N b=>≠>成立吗？如何证明？问题4.你能用自己的话概括出换底公式吗？活动:学生针对提出的问题,交流讨论,回顾所学,力求转化,教师适时指导,必要时提示学生解题的思路,给学生创造一个互动的学习环境,培养学生的自学能力与创造性思维能力.对于问题1,考虑利用对数的定义,转化成指数方程,再两边取常用对数或自然对数来求解；对于问题2,考虑参考问题1的思路和结果的形式借助对数的定义可以表示；对于问题3,借助问题1、2的思路,利用对数的定义来证明；问题4抓住问题的实质,用准确的语言描述出来,一般是按照从左到右的形式.2、探究结果探究1.设2log 15x =，根据对数的定义,写成指数式，得215x= ①对①式两边取常用对数（两边取对数的依据是什么？），得lg 2lg 15x =，所以lg 15lg 2x =. 这样我们可以用科学计算器中“log ”键算出2lg15log 15 3.9068906lg 2=≈. 如果对①式两边取自然对数，得ln 2ln15x =所以2ln15log 15 3.9068906ln 2=≈. 探究2.如果对①式两边取以a 为底的对数，得log 2log 15a a x =所以log 15log 2a a x =.探究3.证明:设log b x N =,根据对数定义,写成指数式，得xN b =.根据相等的两个正数的同底对数相等，两边取以a 为底的对数，得log log x a a N b =. 而log log x a a b x b =，所以log log a a N x b =. 由于1b ≠，则log 0a b ≠，解出x ，得log log a a Nx b=.因为log b x N =，所以log log log a b a NN b=(板书对数换底公式).探究4.一个数的对数,等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个同底对数的商.三、新知应用例1.用科学计算器计算（精确到0.001）： （1）2log 48； (2)8log π. 解：(1)2lg 48log 48 5.585lg 2=≈；(2)8ln log 0.550ln8ππ=≈. 课堂练习1.利用科学计算器计算：2log 10；2log 100；2log 50；3log 20；3log 1000；5log 0.99.活动:让学生通过合作学习,使用计算器完成.看谁算得快,增强合作与竞争意识. 解:2log 10 3.3219≈；2log 100 6.6439≈；2log 50 5.6439≈；3log 20 2.7268≈；3log 1000 6.2877≈；35log 0.99 6.244610-≈-⨯.例2.计算：（1）9log 27； （2）827log 9log 32⋅.活动:学生观察题目,思考讨论,互相交流,教师适时提示,使用换底公式统一底数；根据题目的特点,底数不同,所以考虑把底数统一起来,可以化成常用对数或自然对数,当然以2为底或以3为底的对数也可.在讲授时通过实物展示台放映学生解答过程.分析解答情况.解：⑴392lg 27lg33log 27lg9lg32===.⑵2582732lg3lg 22lg35lg 210log 9log 32lg 2lg33lg 22lg39⋅=⋅=⋅=.点评:灵活应用对数的换底公式是解决问题的关键.再思考活动:从例题的解答过程中,引导学生思考一般性结论,log log m na a nb b m=(强调底数的次方数为分母,真数的次方数为分子),log log 1a b b a ⋅=(强调互为倒数).上题也可直接这样算：(1)233333log 3log 322===原式. (2)332523232510log 3log 2log 3log 2339=⋅=⋅=原式.课堂练习3.利用换底公式证明： （1）1log log m a b b m a=； （2）log log m m a a b b =.活动:学生针对提出的问题,交流讨论,回顾所学,力求转化,教师适时指导,在讲授时可通过实物展示台放映学生解答过程.分析解答情况.证明:(1)log 1log log log m b m a b b b b a m a ==；(2)log log log log log log m m ma a a m a a ab m b b b a m a===.例3.一种放射性物质不断变化为其它物质，每经过一年剩留的质量约为原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半（结果保留1个有效数字）.解：设最初的质量是1，经过x 年，剩留量是y ，则经过1年，剩留量是0.84y =；经过2年，剩留量是20.84y =； ……经过x 年，剩留量是0.84xy =； 方法一:根据函数关系式列表如下观察表中数据，0.5y ≈时对应有4x =， 即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半. 方法二:依题意得0.840.5x=，用科学计算器计算得0.84ln 0.5log 0.5 3.98ln 0.84x ==≈.即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半.四、课题小结1.换底公式可以完成不同底数的对数式之间的转化,该公式既可以正用,也可逆用,使用时的关键是选择底数,在对数的运算中,应尽量化为同底的对数,以便用于运算.2.不论是指数和对数的互化,还是把底数不同的对数转化为底数相同的对数,都用到了转化与化归的思想,方程思想.另外本堂课题还用到了数学建模思想等.五、课题延伸问题:对数有换底公式,指数有换底公式吗?一般地，根据指数函数的性质可以知道,对于任意的正数a 和b ,总能把a 的指数幂化为b 的指数幂.因为一定存在唯一的常数α,使得a b α=.所以根据实数指数幂的运算性质,得()n n n a b b αα==(log b a α=).问题与思考(1)你能证明指数换底公式吗?(2)已知lg 20.3010=，lg30.4771=，你能否较快地比较1002与653的大小吗?(3)指数换底公式的意义是什么?有什么作用?六、课题分层作业必做题: 教材88页B 组第4题.选做题:(1)已知77log 3,log 4a b ==,求48log 49的值；(2)已知lg lg 2lg(2)x y x y +=-,求的值. 七、板书设计八、教学反思本节课的成功之处:一、本节课采用学生探究的方式教学，充分发挥了学生的积极性和主动性，效果比较好.二、例题由易到难，设置得比较科学，学生做起来比较轻松. 不足之处：一、时间未把握好，课题延伸这一环节没有时间讲.。
第2课时 对数的运算性质及换底公式 内 容 标 准学 科 素 养 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算．2.了解换底公式、能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数. 准确定义概念 熟练等价转化 提升数学运算授课提示：对应学生用书第52页[基础认识]知识点一 对数的运算性质预习教材P 80－82，思考并完成以下问题当m ＞0，N ＞0时，log a (M ＋N )＝log a M ＋log a N ，log a (MN )＝log a M ·log a N 是否成立？ 提示：不一定成立．知识梳理 对数的运算性质 条件 a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0性质 log a (MN )＝log a M ＋log a Nlog a M N＝log a M －log a N log a M n ＝n log a M (n ∈R )思考并完成以下问题(1)换底公式中的底数a 是特定数还是任意数？提示：是大于0且不等于1的任意数．(2)换底公式有哪些作用？提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，便于运用对数的运算性质进行化简、求值．知识梳理log a b ＝log c b log c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)． 2．用换底公式推得的两个常用结论：(1)log a b ·log b a ＝1(a ＞0，且a ≠1；b ＞0，且b ≠1)；(2)log am b n ＝n mlog a b (a ＞0，且a ≠1；b ＞0；m ≠0)． 知识点三 常用结论思考并完成以下问题结合教材P 81－82，例4和例5，你认为怎样利用对数的运算性质计算对数式的值？提示：第一步：将积、商、幂、方根的对数直接运用运算性质转化．第二步：利用对数的性质化简、求值．知识梳理 常用结论由换底公式可以得到以下常用结论：(1)log a b ＝1log b a； (2)log a b ·log b c ·log c a ＝1；(3)log an b n ＝log a b ；(4)log an b m ＝m nlog a b ； (5)log 1ab ＝－log a b . 思考：M ·N ＞0，则式子log a (M ·N )＝log a M ＋log a N 成立吗？提示：不一定成立．当M ＞0，N ＞0时成立；当M ＜0，N ＜0时不成立．2．换底公式一般在什么情况下应用？提示：(1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值时，可化成以10为底的常用对数进行运算．(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．[自我检测]1．若a ＞0，a ≠1，x ＞0，y ＞0，x ＞y ，下列式子中正确的个数是( )①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a ⎝⎛⎭⎫x y ＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0B ．1C ．2D ．3解析：根据对数运算性质知4个式子均不正确，③应为log a x y＝log a x －log a y ，④应为log a (xy )＝log a x ＋log a y .答案：A2．(log 29)×(log 34)＝( ) A.14 B.12C ．2D ．4 解析：∵log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4. 答案：D3．若lg a 与lg b 互为相反数，则a 与b 的关系式为________．解析：∵lg a ＋lg b ＝0，∴lg(ab )＝0，∴ab ＝1.答案：ab ＝1授课提示：对应学生用书第52页探究一 利用对数的运算性质化简求值[例1] 计算下列各式的值：(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18； (2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg； (3)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. [思路点拨] 灵活运用对数的运算性质求解． [解析] (1)法一：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18 ＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.法二：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18 ＝lg 14－lg ⎝⎛⎭⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝⎛⎭⎫732×18＝lg 1＝0. (2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg ＝lg (33)12＋lg 23－3lg 1012lg 3×2210＝32lg 3＋3lg 2－32lg 10lg 3＋2lg 2－1＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32. (3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.方法技巧 1.在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，应避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式的错误，同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用．譬如在常用对数中，lg 2＝1－lg 5，lg 5＝1－lg 2的运用．2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．3．对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．跟踪探究 lg 243lg 9的值． 解析：lg 243lg 9＝lg 35lg 32＝5lg 32lg 3＝52. 探究二 利用换底公式化简、求值[例2] 已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 312＝( )A.2a ＋b bB.2a ＋b aC.a 2a ＋bD.b 2a ＋b[思路点拨] 把log 312利用换底公式：log 312＝lg 12lg 3建立log 312同a ，b 的关系． [解析] ∵log 312＝lg 12lg 3＝lg 3＋lg 4lg 3＝lg 3＋2lg 2lg 3， 又lg 2＝a ，lg 3＝b ，∴log 312＝b ＋2a b.[答案] A延伸探究 把题设条件换成“log 23＝b a”试求相应问题． 解析：∵log 23＝b a， ∴log 312＝log 212log 23＝log 23＋2log 23＝b a ＋2b a＝b ＋2a b. 方法技巧 1.换底公式的主要用途在于将一般对数化为常用对数或自然对数，然后查表求值，解决一般对数求值的问题．2．换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．跟踪探究 2.(1)已知log 23＝a,3b ＝7，用a ，b 表示log 1256；(2)已知log 32＝a ，log 37＝b ，试用a ，b 表示log 28498. 解析：(1)∵3b ＝7，∴b ＝log 37.log 1256＝log 356log 312＝3log 32＋log 371＋2log 32＝3a ＋b 1＋2a＝3＋ab a ＋2. (2)∵log 32＝a ，log 37＝b ，log 28498＝log 3498log 328＝log 349－log 38log 34＋log 37 ＝2log 37－3log 322log 32＋log 37＝2b －3a 2a ＋b. 探究三 换底公式、对数运算性质的综合应用[例3] (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值； (2)若26a ＝33b ＝62c ≠1，求证：1a ＋2b ＝3c. [思路点拨] 用对数式表示出x ，y ，a ，b ，c 再代入所求(证)式．[解析] (1)∵3x ＝4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，∴2x ＝2log 336＝2log 3636log 363＝2log 363＝log 369， 1y ＝1log 436＝1log 3636log 364＝log 364. ∴2x ＋1y＝log 369＋log 364＝log 3636＝1. (2)证明：设26a ＝33b ＝62c ＝k (k ＞0，且k ≠1)．则6a ＝log 2k ≠0,3b ＝log 3k ≠0,2c ＝log 6k ≠0.∴1a ＝6log 2k ＝6log k 2，1b ＝3log 3k＝3log k 3， 1c ＝2log 6k＝2log k 6， ∴1a ＋2b ＝6log k 2＋2×3log k 3＝log k 26＋log k 36＝log k 66＝6log k 6＝3c， ∴1a ＋2b ＝3c. 方法技巧 1.带有附加条件的对数式或指数式的求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握 对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．2．解对数方程时，先要对数有意义(真数大于0，底数大于0且不等于1)求出未知数的取值范围，去掉对数值符号后，再解方程，此时只需检验其解是否在其取值范围内即可．跟踪探究 ．(1)12(lg x －lg 3)＝lg 5－12lg(x －10)； (2)lg x ＋2log (10x )x ＝2；(3)log (x 2－1)(2x 2－3x ＋1)＝1.解析：(1)方程中的x 应满足x ＞10，原方程可化为lgx 3＝lg 5x －10， ∴x 3＝5x －10，即x 2－10x －75＝0.解得x ＝15或x ＝－5(舍去)，经检验，x ＝15是原方程的解．(2)首先，x ＞0且x ≠110， 其次，原方程可化为lg x ＋2lg x1＋lg x ＝2， 即lg 2x ＋lg xt ＝lg x ，则t 2＋t －2＝0，解得t ＝1或t ＝－2，即lg x ＝1或lg x ＝－2.∴x ＝10或x ＝1100. 经检验，x ＝10，x ＝1100都是原方程的解． (3)首先，x 2－1＞0且x 2－1≠1，即x ＞1或x ＜－1且x ≠±2.由2x 2－3x ＋1＞0，得x ＜12或x ＞1. 综上可知，x ＞1或x ＜－1且x ≠±2.其次，原方程可化为x 2－1＝2x 2－3x ＋1.∴x 2－3x ＋2＝0，∴x ＝1或x ＝2.又∵x ＞1或x ＜－1且x ≠±2，∴x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解.授课提示：对应学生用书第53页[课后小结]1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．[素养培优]忽略对数的真数为正致错易错案例：lg(x ＋1)＋lg x ＝lg 6易错分析：解对数方程时要注意验根，以保证所得方程的根满足对数的真数为正数，底数为不等于1的正数，否则得到的新方程与原方程不等价，产生了增根，考查概念、定义、数学运算的学科素养．自我纠正：∵lg(x＋1)＋lg x＝lg(x2＋x)＝lg 6，∴x2＋x＝6，解得x＝2或x＝－3，经检验x ＝－3不符合题意，∴x＝2.。
对数换底公式[教学目的]使学生理解对数换底公式的意义，掌握其推导方法，初步学会它在对数式恒等变形中的应用。
[教学重点]对数换底公式的应用 [教学难点]对数换底公式的推导 一、新课引入：已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求log 65=?像log 65这样的对数值是不能直接从常用对数表中查出的。
能不能将以5为底的对数，换成以10为底的对数呢？这就要学习对数换底公式。
什么是对数换底公式？怎样用我们所掌握的知识来得到它呢？又如何运用它呢？这就是本节课要解决的问题。
二、新课讲解：公式：b NN a a b log log log =证明：设N log x b =，则N b x=，两边取以a 为底的对数，得x Nlog b log a a =b log N log x a a =⇒,即b log Nlog N log a a b =。
1、成立前提：b>0且b ≠1,a>0,且a ≠12、公式应用：对数换底公式的作用在于“换底”，这是对数恒等变形中常用的工具。
一般常换成以10为底。
3、自然对数 lnN=log N e e=2.71828 三、巩固新课例1、求证：1：1a log b log b a =⋅2：b log m nb log a n a m=例2、求下列各式的值。
（1）、log 98•log 3227（2）、（log 43+log 83）•(log 32+log 92) (3)、log 49•log 32 (4)、log 48•log 39(5)、（log 2125+log 425+log 85）•(log 52+log 254+log 1258) 例3、若log 1227=a,试用a 表示log 616. 解：法一、换成以2为底的对数。
法二、换成以3为底的对数。
法三、换成以10为底的对数。
练习：已知log 189=a,18b =5,求log 3645。
例4、已知12x =3,12y =2,求yx x +--1218的值。
《换底公式》教学设计一．教学内容：北师大版数学必修一第三章指数函数与对数函数第4节《换底公式》。
二．三维目标：1、知识与技能（1）理解对数的换地公式思想—两边同时取相同的对数运算（2）进一步掌握对数的运算性质,能灵活运用换底公式化简计算（3）拓展学生思维空间，培养学生的计算能力，交流合作能力，语言表达能力，培养学生探究问题，解决问题的兴趣和能力2、过程与方法.利用多媒体教学，采取学生合作讨论的方法，3、情感态度与价值观通过本章节的学习，使学生明白可以多角度思考问题，未知问题要用已有知识来解决，树立正确的人生价值观，不怕困难，勇于挑战的精神。
三、学生分析学生基础不错，大部分学生学习自觉性很强理解力很强，极少数学生学习吃力，不得方法，通过互助式学习得到帮助，缩小学生学习差距，共同进步。
四、教材分析1.本节的作用和地位本节内容是进一步学习对数运算，通常情况下，计算对数需要使用计算工具，而一般的科学计算器只能对常用对数和自然对数进行计算，因此需要对数换底公式。
2．本节主要内容、换底公式的证明以及应用3.教学重点难点：教学重点：对数的换底公式，教学难点：对数换底公式的证明及公式的合理运用4.课时要求：1课时五、教学理念通过学生自主探究，合作交流，让部分技术水平高的同学带动学习吃力的同学，让学生在参与中学到新的知识，培养相互帮扶的能；通过探究发现新问题，再用已有知识解决问题六、教学策略在教学中，尽量采用合作探究式，提问式，案例分析，例题讲解，练习等手段七、教学手段多媒体教学八、教学过程（一）复习回顾：对数的三条运算性质：如果则,0,0,1,0>>≠>NMaa(1))(log log log MN N M a a a =+ (2)NM N M a a a log log log =- (3))(log log R n M n M a n a ∈=（二）新知探究1. 请同学们用计算器计算下列对数思考1： 如何计算15l 2og =？探究1：设15215log 2=⇒=x x两边取以10为底的对数得探究2: 两边取以e 为底的对数得思考2： 成立吗？且)10(2log 15log 15log 2≠>=a a a a 猜一猜：这就是对数换底公式，下面我们给出证明。
做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。
对数换底公式 一、换底公式：)0,1,0,1,0(log log log >≠>≠>=b c c a a a b b c c a 二、常用关系：1、自然对数与常用对数之间关系：e N N ln ln lg =2、)0,1,0(lg lg log >≠>=b a a ab b a 3、)1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a 4、 )0,0,1,0(log log ≠>≠>=m b a a b b m a a m5、)1,0,1,0(log log ≠>≠>=n b a a b n m ba m a n 三、例题：例1、求证：1log log =⋅a b b a例2、求下列各式的值。
(1)、log 98•log 3227(2)、（log 43+log 83）•(log 32+log 92)(3)、log 49•log 32(4)、log 48•log 39(5)、（log 2125+log 425+log 85）•(log 52+log 254+log 1258)例3、若log 1227=a,试用a 表示log 616.解：法一、换成以2为底的对数。
法二、换成以3为底的对数。
法三、换成以10为底的对数。
练习：已知log 189=a, 18b =5,求log 3645。
例4、已知12x =3,12y =2,求y x x+--1218的值。
练习：已知7log log ,5log log 248248=+=+a b b a ，求a •b 的值；例5、有一片树林，现有木材22000方，如果每年比上一年增长2.5%，求15年后约有多少方木材？解：设15年后约有木材A 方，则A=22000（1+2.5%)15=22000×1.02515lgA=lg22000+15×lg1.025=4.3424+15×0.0107=4.5029∴ A=131840教学无忧/专注中小学 教学事业！ 客服唯一联系qq 1119139686 欢迎跟我们联系答：15年后约有木材131840方。
4.2 换底公式导入新课思路1.问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？a ＞0，且a ≠1，c ＞0，且c ≠1，b ＞0，log a b ＝log c b log c a.教师直接点出课题． 思路2.前两节课我们学习了以下内容：1.对数的定义及性质；2.对数恒等式；3.对数的运算性质及应用．我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢？这就是本堂课的主要内容．教师板书课题．思路3.从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e 为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题．推进新课新知探究提出问题①已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求log 23的值.②根据①，如a >0，a ≠1，你能用含a 的对数式来表示log 23吗？③更一般地，我们有log a b ＝log c b log c a，如何证明？④证明log a b ＝log c b log c a的依据是什么？⑤你能用自己的话概括出换底公式吗？⑥换底公式的意义是什么？有什么作用？活动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力．对①目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来解；对②参考①的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示；对③借助①②的思路，利用对数的定义来证明；对④根据证明的过程来说明；对⑤抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式；对⑥换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了．讨论结果：①因为lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，根据对数的定义，所以100.301 0＝2,100.477 1＝3.不妨设log 23＝x ，则2x ＝3，所以(100.301 0)x ＝100.477 1， 100．301 0×x ＝100.477 1，即0.301 0x ＝0.477 1，x ＝0.477 10.301 0＝lg 3lg 2. 因此log 23＝lg 3lg 2＝0.477 10.301 0≈1.585 1. ②根据①我们看到，最后的结果是log 23用lg 2与lg 3表示，是通过对数的定义转化的，这就给我们以启发，本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数，不妨设log 23＝x ，由对数定义知道，2x ＝3，两边都取以a 为底的对数，得log a 2x ＝log a 3，x log a 2＝log a 3，x ＝log a 3log a 2，也就是log 23＝log a 3log a 2. 这样log 23就表示成了以a 为底的3的对数与以a 为底的2的对数的商．③证明log a b ＝log c b log c a. 证明：设log a b ＝x ，由对数定义知道，a x ＝b ；两边取c 为底的对数，得log c a x＝log c b x log c a ＝log c b ；所以x ＝log c b log c a ，即log a b ＝log c b log c a. 一般地，log a b ＝log c b log c a(a ＞0，a ≠1，b ＞0，c ＞0，c ≠1)称为对数换底公式． ④由③的证明过程来看，换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M ＞0，N ＞0，M ＝N ，则log a M ＝log a N .⑤一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商．⑥换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使用运算法则创造条件，更方便化简求值．说明：我们使用的计算器中，“log”通常是常用对数，因此要使用计算器计算对数，一定要先用换底公式转化为常用对数．如log 23＝lg 3lg 2， 即计算log 23的值的按键顺序为：“log”→“3”→“÷”→“log”→“2”→“＝”．再如：在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算x ＝log 1.011813， 所以x ＝log 1.011813＝lg 1813lg 1.01＝lg 18－lg 13lg 1.01≈1.255 3－1.1390.043＝32.883 7≈33年． 可以看到运用对数换底公式，有时要方便得多．应用示例思路1例1计算：(1)log 927；(2)log 89·log 2732.活动：学生观察题目，思考讨论，互相交流，教师适时提示，学生板演，利用换底公式统一底数；根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，可以化成常用对数或以2为底的对数，以3为底的对数也可．(1)解：log 927＝log 327log 39＝32. (2)解法一：log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝109. 解法二：log 89·log 2732＝log 29log 28·log 232log 227＝2log 233·53log 23＝109. 解法三：log 89·log 2732＝log 39log 38·log 332log 327＝23log 32·5log 323＝109. 点评：灵活运用对数的换底公式是解决问题的关键．例2 用科学计算器计算下列对数(精确到0.001)：log 248；log 310；log 8π；log 550；log 1.0822.解：log 248＝5.585；log 310＝2.096；log 8π≈0.550；log 550＝2.431；log 1.0822＝8.795.例3 (1)证明log a x log ab x＝1＋log a b ； (2)已知log a 1b 1＝log a 2b 2＝…＝log a n b n ＝λ，求证：log a 1a 2…a n (b 1b 2…b n )＝λ.活动：学生思考、讨论，教师适当提示：(1)运用对数换底公式，统一成以a 为底的对数，或利用对数的定义，分别把三个式子设出，再由定义转化成指数形式，利用指数幂的性质得解，利用换底公式可直接得解；(2)这是条件证明问题，应在现有条件下利用换底公式，转化成积的形式，从题目的结论来看，真数是积的形式，因此要创造对数的和的形式，这就想到先换底，再利用等比性质来解．(1)证法一：设log a x ＝p ，log ab x ＝q ，log a b ＝r ，则x ＝a p ，x ＝(ab )q ＝a q b q ，b ＝a r .所以a p ＝(ab )q ＝a q (1＋r )，从而p ＝q (1＋r )．因为q ≠0，所以p q ＝1＋r ，即log a x log ab x ＝1＋log a b (获证)． 证法二：左边＝log a x log ab x ＝log x ab log x a＝log a ab ＝1＋log a b ＝右边． (2)证明：因为log a 1b 1＝log a 2b 2＝…＝log a n b n ＝λ， 所以由换底公式得lg b 1lg a 1＝lg b 2lg a 2＝…＝lg b n lg a n＝λ. 由等比定理，所以lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n ＝λ.所以lg b 1b 2…b n lg a 1a 2…a n ＝λ. 所以log a 1a 2…a n (b 1b 2…b n )＝lg b 1b 2…b n lg a 1a 2…a n ＝λ. 点评：在解题过程中，根据题目的需要，把底数转化，换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简．例4 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字)．活动：学生审题，教师引导，学生交流，展示自己的思维过程，教师强调实际问题的注意事项．根据题目给出的数学模型及其含义来解决．这是实际问题，但题目给出了数学模型即关系式，关系式是以常用对数的形式给出，因此要利用对数的定义和运算性质，同时要使实际问题有意义．解：设最初的质量是1，经过x 年，剩留量是y .则经过1年，剩留量是y ＝0.84；经过2年，剩留量是y ＝0.842；……经过x 年，剩留量是y ＝0.84x .即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半．方法二：依题意得0.84x ＝0.5，用科学计算器计算得x ＝log 0.840.5＝ln 0.5ln 0.84＝3.98， 即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半．图2点评：利用所学知识解决实际问题，是教学的一个难点．思路2例1 (1)已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a ，b 表示log 4256.(2)若log 83＝p ，log 35＝q ，求lg 5.活动：学生交流，展示自己的思维过程，教师对学生的表现及时评价，要注意转化．利用对数运算性质法则和换底公式进行化简，然后再表示．对(1)据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，再利用对数的运算性质化简．对(2)利用换底公式把底数统一起来，再灵活利用对数的运算性质解决．解：(1)因为log 23＝a ，则1a＝log 32，又因为log 37＝b ， 所以log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3·log 32log 37＋log 32＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1. (2)因为log 83＝p ，即log 233＝p ，所以log 23＝3p .所以log 32＝13p. 又因为log 35＝q ，所以lg5＝log 35log 310＝log 35log 32＋log 35＝3pq 1＋3pq. 点评：本题是条件问题，要充分考虑到条件与结论的关系，更要灵活运用对数的换底公式和运算性质.变式训练已知log 189＝a,18b ＝5，用a ，b 表示log 3645.解：因为log 189＝a ，所以log 18182＝1－log 182＝a .所以log 182＝1－a . 因为18b ＝5，所以log 185＝b .所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 2－a. 点评：在解题过程中，根据问题的需要，指数式转化为对数式，或对数式转化为指数式，这正是数学中转化思想的具体体现，转化思想是中学中重要的数学思想，要注意学习、体会，逐步达到灵活运用.例2 设x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且3x ＝4y ＝6z .(1)求证：1x ＋12y ＝1z；(2)比较3x,4y,6z 的大小． 活动：学生观察，积极思考，尽量把所学知识与题目结合起来，教师及时提示引导．(1)利用对数的定义把x ，y ，z 表示出来，根据对数的定义把3x ＝4y ＝6z 转化为指数式，求出x ，y ，z ，然后计算．(2)在(1)的基础上利用中间量，作差比较，利用对数的运算性质进行比较．(1)证明：设3x ＝4y ＝6z ＝k ，因为x ，y ，z ∈(0，＋∞)，所以k ＞1.取对数，得x ＝lg k lg 3，y ＝lg k lg 4，z ＝lg k lg 6， 所以1x ＋12y ＝lg 3lg k ＋lg 42lg k ＝2lg 3＋lg 42lg k ＝2lg 3＋2lg 22lg k ＝lg 6lg k ＝1z， 即1x ＋12y ＝1z. (2)解：因为3x －4y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3lg 3－4lg 4lg k ＝lg 64－lg 81lg3·lg 4lg k ＝lg k ·lg 6481lg 3·lg 4＜0， 所以3x ＜4y .又因为4y －6z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4lg 4－6lg 6lg k ＝lg 36－lg 64lg 2·lg 6lg k ＝lg k ·lg 916lg 2·lg 6＜0， 所以4y ＜6z .所以3x ＜4y ＜6z .点评：如果题目中有指数式，常根据对数的定义转化为对数式，有对数式常根据对数的定义转化为指数式，比较大小常用作差，如果是几个数比较大小，有时采用中间量法，要具体情况具体分析．例3 已知log a x ＝log a c ＋b ，求x .活动：学生讨论，教师指导，教师提问，学生回答，教师对解题中出现的问题及时处理．把对数式转化为指数式求解，或把b 转化为对数形式利用对数的运算性质来解．由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将log a c 移到等式左端，或者将b 变为对数形式来解．解法一：由对数定义，可知x ＝a log a c ＋b ＝a log a c ·a b ＝c ·a b .解法二：由已知移项可得log a x －log a c ＝b ，即log a x c ＝b ，由对数定义，知x c ＝a b ， 所以x ＝c ·a b .解法三：因为b ＝log a a b ，所以log a x ＝log a c ＋log a a b ＝log a c ·a b .所以x ＝c ·a b . 点评：利用对数定义进行指数式与对数式的互化对解题起到关键作用．知能训练(1)已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 12lg 15等于( )． A.2a ＋b 1＋a ＋b B.a ＋2b 1＋a ＋bC.2a ＋b 1－a ＋bD.a ＋2b 1－a ＋b(2)已知2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则x y的值为( )．A ．1B ．4C ．1或4D ．4或－1(3)若3a ＝2，则log 38－2log 36＝__________.(4)lg 12.5－lg 58＋lg 0.5＝__________. 答案：(1)C (2)B (3)a －2 (4)1拓展提升探究换底公式的其他证明方法：活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导：大胆设想，运用对数的定义及运算性质和指数幂的运算性质．证法一：设log a N ＝x ，则a x ＝N ，两边取以c (c ＞0且c ≠1)为底的对数，得log c a x ＝log c N ，所以x log c a ＝log c N ，即x ＝log c N log c a .故log a N ＝log c N log c a. 证法二：由对数恒等式，得N ＝a log a N ，两边取以c (c ＞0且c ≠1)为底的对数，得log c N＝log a N ·log c a ，所以log a N ＝log c N log c a. 证法三：令log c a ＝m ，log a N ＝n ，则a ＝c m ，N ＝a n ，所以N ＝(c m )n ＝c mn .两边取以c (c ＞0且c ≠1)为底的对数，得mn ＝log c N ，所以n ＝log c N m ，即log a N ＝log c N log c a. 对数换底公式的应用：换底公式log a N ＝log c N log c a(c ＞0且c ≠1，a ＞0且a ≠1，N ＞0)的应用包括两个方面，即由左端到右端的应用和由右端到左端的应用，前者较为容易，而后者则易被学生忽视，因此，教学时应重视后者的用法，下面仅就后者举例说明：例：化简：log a M log a N ＋log b M log b N ＋log c M log c N ＋log d M log d N. 解：原式＝log N M ＋log N M ＋log N M ＋log N M ＝4log N M .课堂小结1．对数换底公式．2．换底公式可用于对数式的化简、求值或证明．若对数式的底数和真数可转化成同底数的幂的形式，则该幂底数可被选作换底公式的底数，也可把对数式转化成以10为底的常用对数或以任意数a (a ＞0且a ≠1)为底的对数式的形式，进行化简、求值或证明．作业1．已知1271log 7＝a ，131log 5＝b ，求log 81175的值．解：因为1271log 7＝log 277＝13log 37＝a ， 所以log 37＝3a . 又因为131log 5＝log 35＝b ， 所以log 81175＝14log 325×7＝14(log 325＋log 37)＝14(2log 35＋log 37)＝3a ＋2b 4. 2．求证：(log 23＋log 49＋log 827＋…＋log 2n 3n)log 9n32＝52. 证明：左边＝(log 23＋log 49＋log 827＋…＋log 2n 3n )log 9n 32＝ ＝n log 23·1n log 332＝log 23·52log 32＝52＝右边． 设计感想本堂课主要是学习对数的换底公式，它在以后的学习中有着非常重要的应用，由于对数的运算法则是在同底的基础上，因此利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要，有时也可以逆用对数的换底公式达到我们的目的，特别是实际问题的应用更为广泛，因此要反复训练，强化记忆，所以设计了大量的例题与练习，授课时要加快速度，激发学生学习的兴趣，多运用多媒体的教学手段．备课资料【备选例题】【例1】 化简：log a M log b N ·log b M log c N ·log c M log d N ·log d M log a N. 解：原式＝log a M log a N ·log b M log b N ·log c M log c N ·log d M log d N＝log N M ·log N M ·log N M ·log N M ＝(log N M )4. 【例2】 求证：log a b ＝1log b a(a ＞0，b ＞0且a ≠1，b ≠1)． 证法一：log a b ＝log b b log b a ＝1log b a. 证法二：1log b a ＝log b b log b a＝log a b . 【例3】 试证：1log 2x ＋1log 3x ＋1log 4x ＋…＋1log n x ＝1log n ！x. 证明：1log 2x ＋1log 3x ＋1log 4x ＋…＋1log n x＝log x (2×3×4×…×n ) ＝log x (1×2×3×4×…×n )＝log x n ！＝1log n ！x. 对数的创立对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是16世纪末到17世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔(Napier,1550—1617年)男爵．在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样．在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的．那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14，….1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1 024,2 048,4 096,8 192,16 384，….这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的加和来实现．比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6,256对应8；然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16 384，所以有64×256＝16 384.纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了．回忆一下，我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候，采用的不正是这种思路吗？计算两个复杂数的乘积，先查《常用对数表》，找到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数的反对数表》查出加和值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了．这种“化乘除为加减”，从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点．所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣．伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡儿的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明．法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯(Pierre Simon Laplace,1749—1827)曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．(设计者：刘菲)。
