高考总复习北师大BSD版数学 换底公式 课后练习

【优化课堂】2016秋高中数学 3.4.2 换底公式练习 北师大版必修1[A 基础达标]1．式子log 916·log 881的值为( )A ．18 B.118C.83D.38解析：选C.原式＝log 3224·log 2334＝2log 32·43log 23＝83.故选C.2．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为() A ．a －b B.a bC ．abD ．a ＋b解析：选B.因为ln 2＝a ，ln 3＝b ，所以log 32＝ln 2ln 3＝a b .3．已知2x ＝3y ≠1，则x y ＝( )A ．lg 23B ．lg 32C ．log 32D ．log 23解析：选D.令2x ＝3y ＝k (k >0且k ≠1)，所以x ≠y ≠0，x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，故x y ＝log2klog 3k ＝log k 3log k 2＝log 23.4．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( )A ．9 B.19C ．25 D.125解析：选D.由换底公式，得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lgx lg 6＝2，lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125.5．若2.5x ＝1 000，0.25y ＝1 000，则1x －1y＝( ) A.13B ．3C ．－13D ．－3解析：选A.因为x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，所以1x ＝1log 2.51 000＝log 1 0002.5， 同理1y ＝log 1 0000.25，所以1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝lg 10lg 1 000＝13. 6．计算：2723－2log 23×log 218＋log 23×log 34＝________． 解析：原式＝33×23－3×log 22－3＋log 23(2log 32)＝9＋9＋2＝20. 答案：207．设2a ＝3b ＝6，则1a ＋1b＝________． 解析：因为2a ＝3b＝6，所以a ＝log 26，b ＝log 36，所以1a ＋1b ＝1log 26＋1log 36＝log 62＋log 63＝log 66＝1. 答案：1 8．若lg x －lg y ＝a ，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 210－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 210＝________． 解析：因为lg x －lg y ＝a ，所以lg x y ＝a ，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 210－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 210＝10⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＝10lg x y ＝10a .答案：10a9．常用对数lg N 和自然对数ln N 之间可以互相转换，即存在实数A ，B 使得lg N ＝A ·ln N ，ln N ＝B ·lg N ．试求A 、B 的值．解：因为lg N ＝ln N ln 10，所以A ＝1ln 10＝lg e ，因为ln N ＝lg N lg e ，所以B ＝1lg e＝ln 10. 10．解不等式9log 3x －7log 49x 2－12>0.解：因为9log 3x ＝(32)log 3x ＝32log 3x ＝3log 3x 2＝x 2，又log 49x 2＝log 7x 2log 749＝log 7x ，所以7log 49x 2＝7log 7x ＝x . 所以原不等式可化为x 2－x －12>0.解得x >4或x <－3.因为真数大于0，故原不等式的解集为{x |x >4}．[B 能力提升]1．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．log a b ·log c b ＝log c aB ．log a b ·log c a ＝log c bC ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c解析：选B.对A ，log a b ·log c b ＝lg b lg a ·lg b lg c≠log c a ，A 不恒成立；对B ，log a b ·log c a ＝lg b lg a ·lg a lg c ＝lg b lg c＝log c b ，B 恒成立；对C ，log a (bc )＝log a b ＋log a c ≠log a b ·log a c ，C 不恒成立；对D ，log a b ＋log a c ＝log a (bc )≠log a (b ＋c )．故选B.2．若函数y ＝2x ，y ＝5x 与直线l ：y ＝10的交点的横坐标分别为x 1和x 2，则1x 1＋1x 2＝________．解析：因为2x 1＝10，x 1＝log 210，5x 2＝10，x 2＝log 510，所以1x 1＋1x 2＝1log 210＋1log 510＝lg 2＋lg 5＝1. 答案：13．已知a ，b ，c 都是大于1的正数，m >0，且log a m ＝24，log b m ＝40，log abc m ＝12，求log c m 的值．解：因为log a m ＝24， log b m ＝40，log abc m ＝12，所以log m a ＝124，log m b ＝140，log m (abc )＝112. 因为log m (abc )＝log m a ＋log m b ＋log m c ，所以log m c ＝112－124－140＝160. 所以log c m ＝1log m c＝60. 4．(选做题)已知x ， y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z，2x ＝py .(1)求p 的值；(2)证明：1z －1x ＝12y. 解：(1)设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k >0且k ≠1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k .由2x ＝py 得：2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3k log 34， 因为log 3k ≠0，所以p ＝2log 34＝4log 32.(2)证明：因为1z －1x ＝1log 6k －1log 3k＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12log 4k ＝12y. 所以原式得证．。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.4.2 换底公式课时训练 北师大版必修1一、选择题1．下列等式不成立的是( ) A ．log 54＝lg 4lg 5B ．log 54＝ln 4ln 5C ．log 54＝log 44log 4 5D ．log 54＝log －34log －35【解析】 由换底公式的定义知，D 不成立． 【答案】 D2．式子log 916·log 881的值为( ) A ．18 B.118C.83D.38【解析】 原式＝lg 16lg 9·lg 81lg 8＝4lg 22lg 3·4lg 33lg 2＝83. 【答案】 CA ．lg 3B ．－lg 3 C.1lg 3D ．－1lg 3【解析】【答案】 C4．若log a b ·log 3a ＝5，则b ＝( ) A ．a 3B ．a 5C ．35D ．53【解析】 由换底公式得， lg b lg a ·lg alg 3＝5， 化简得lg b ＝5lg 3＝lg 35， ∴b ＝35. 【答案】 C5．(2013·晋城高一检测)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝( )A.10 B ．10 C ．20D ．100【解析】 ∵2a＝5b＝m ， ∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m .∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m 2＝10，∴m ＝10. 【答案】 A 二、填空题6．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝________.(用a ，b 表示) 【解析】 由于log 37＝log 27log 23＝b ，又log 23＝a ，所以log 27＝ab .【答案】 ab7．若m log 35＝1，n ＝5m＋5－m，则n 的值为________． 【解析】 ∵m log 35＝1，∴m ＝1log 35＝log 53，【答案】1038.log 52·log 79log 513·log 734＋log 2(3＋5－3－5)＝________.【解析】原式＝12×2log52·log73－log53·23·log72＋log4(3＋5－3－5)2＝(－12log32)·3log23＋log42＝－32＋12＝－1.【答案】－1三、解答题9．计算：(1)(log43＋log83)(log32＋log92)－；(2)(log25＋log40.2)(log52＋log250.5)．【解】(2)原式＝(log25＋12log215)(log52＋12log512)＝(log25＋12log25－1)(log52＋12log52－1)＝(log25－12log25)(log52－12log52)＝14·log25·log52＝14.10．已知一个驾驶员喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒以后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液中的酒精含量不得大于0.08 mg/mL.问若喝了少量酒的驾驶员至少过几个小时后才能驾驶？【解】设喝酒x小时后才能驾驶，在x小时后，血液中的酒精含量达0.3×(1－50%)x ＝0.3×0.5x mg/mL.依题意得0.3×0.5x≤0.08，∴0.5x≤0.266 7，∴x ≥lg 0.266 7lg 0.5≈2(小时)．即大约2小时后，驾驶员才能驾车． 11．已知x ，y ，z 为正数，且3x＝4y＝6z. (1)求使2x ＝py 的p 的值； (2)求证：12y ＝1z －1x.【解】 (1)设3x＝4y＝6z＝k (显然k ≠1)， 则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ， 由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3klog 34，∵log 3k ≠0，∴p ＝2log 34. (2)证明 1z －1x ＝1log 6k －1log 3k＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12log 4k ＝12y.。

第四章 对数运算与对数函数§2 对数的运算2.2 换底公式知识点 对数的换底公式1.☉%8#65￥@7￥%☉(2020·银川一中月考)log 29·log 34=( )。

A.14 B.12C.2D.4 答案：D解析：原式=log 232·log 322=4log 23·log 32=4·lg3lg2·lg2lg3=4。

故选D 。

2.☉%11##*4#3%☉(2020·菏泽高一检测)log 849log 27的值是( )。

A.2B.32C.1D.23答案：D 解析：log 849log 27=log 272log 223÷log 27=23。

故选D 。

3.☉%0#90#￥0*%☉(2020·江西赣州十三县市高一期中考试)若log 2x ·log 34·log 59=8,则x 等于( )。

A.8 B.25 C.16 D.4 答案：B解析：因为log 2x ·log 34·log 59=lgxlg2·lg4lg3·lg9lg5=lgx lg2·2lg2lg3·2lg3lg5=8,所以lg x =2lg 5=lg 25,所以x =25。

故选B 。

4.☉%#*#29#62%☉(2020·白城一中月考)化简:log 212+log 223+log 234+…+log 21516等于( )。

A.5 B.4 C.-5 D.-4 答案：D解析：原式=log 2(12×23×34×…×1516)=log 2116=-4。

故选D 。

5.☉%￥7@@74#3%☉(2020·闽侯八中高一月考)若log 34·log 8m =log 416,则m 等于( )。

A.3 B.9 C.18 D.27 答案：D解析：原式可化为log 8m =2log 34,所以13log 2m =2log 43,所以m 13=3,m =27。

1．log 8127等于( )A.34B.43C.12D.13[ 解析：选A.log 8127＝lg27lg81＝3lg34lg3＝34. 2.log 2716log 34的值为( ) A ．2 B.32C ．1 D.23解析：选D.log 2716log 34＝log 316log 327×log 34＝2log 343×log 34＝23. 3．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝________.(用a ，b 表示)解析：log 27＝log 23·log 37＝ab .答案：ab4．若log 32＝log 23x ，则x ＝________.解析：由log 32＝log 23x ，得log 32＝x log 23，所以x ＝log 32log 23＝lg2lg3lg3lg2＝⎝⎛⎭⎫lg2lg32＝(log 32)2. 答案：(log 32)2[A 级 基础达标]1.log 89log 83等于( ) A ．3B ．8C ．27D ．2 解析：选D.原式＝log 39＝2.2．式子log 916·log 881的值为( ) A ．18 B.118C.83D.38解析：选C.原式＝log 3224·log 2334＝2log 32·43log 23＝83.故选C. 3．若log a b ·log 3a ＝5，则b ＝( )A ．a 3B ．a 5C ．35D ．53解析：选C.利用换底公式，得lg b lg a ·lg a lg3＝5，化简得lg b lg3＝5，即lg b ＝5lg3，故b ＝35. 4．计算：log 43·log 92＝________.解析：log 43·log 92＝lg3lg4×lg2lg9＝lg32lg2×lg22lg3＝14.答案：145．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 125＝________.解析：log 125＝lg5lg12＝1－lg22lg2＋lg3＝1－a 2a ＋b. 答案：1－a 2a ＋b6．计算(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)的值．解：原式＝⎝⎛⎭⎫lg3lg4＋lg3lg8⎝⎛⎭⎫lg2lg3＋lg2lg9＝⎝⎛⎭⎫lg32lg2＋lg33lg2⎝⎛⎭⎫lg2lg3＋lg22lg3＝12＋14＋13＋16＝54. [B 级 能力提升]7．设a ＝log 132，b ＝log 1213，c ＝⎝⎛⎭⎫120.3，则( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c解析：选 B.∵a ＝log 132＝log 32log 313＝－log 32＜－log 31＝0，b ＝log 1213＝log 213log 212＝log 23＞log 22＝1，c ＝⎝⎛⎭⎫120.3，由指数函数的性质知0＜c ＜1，∴a ＜c ＜b .8.1log 1419＋1log 1513等于( ) A ．lg3 B ．－lg3C.1lg3 D ．－1lg3解析：选C.原式＝1log (12)2(13)2＋1log 1513＝log 1312＋log 1315＝log 13110＝log 3－110－1＝log 310＝1lg3.故选C. 9．(创新题)若函数y ＝2x ，y ＝5x 与直线l ：y ＝10的交点的横坐标分别为x 1和x 2，求1x 1＋1x 2？ 解：2x 1＝10，x 1＝log 210,5x 2＝10，x 2＝log 510，1x 1＋1x 2＝1lg 210＋1lg 510＝lg2＋lg5＝lg10＝1. 10．化简：log 23·log 34·log 45·log 52.解：原式＝lg3lg2·lg4lg3·lg5lg4·lg2lg5＝1. 11．设a ，b ，c 是直角三角形的三边长，其中c 为斜边，且c ≠1，求证：log (c ＋b )a ＋log (c －b )a ＝2log (c ＋b )a ·log (c －b )a证明：由勾股定理得a 2＋b 2＝c 2.log (c ＋b )a ＋log (c －b )a ＝1log a (c ＋b )＋1log a (c －b )＝log a (c ＋b )＋log a (c －b )log a (c ＋b )·log a (c －b )＝log a (c 2－b 2)log a (c ＋b )·log a (c －b )＝log a a 2log a (c ＋b )·log a (c －b )＝2log (c ＋b )a ·log (c －b )a .∴原等式成立．。

2．2 换底公式必备知识基础练知识点一 利用换底公式求值1．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．52．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________．3．设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值．知识点二 利用换底公式计算4．(log 134)·(log 227)＝( )A ．23B ．32C ．6D ．－6 5．计算：(1)log 927；(2)log 21125 ×log 3132 ×log 513； (3)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92).知识点三 利用换底公式证明6．证明：log a a b m ＝m n log a b (a >0，且a ≠1，n ≠0).7．已知2x ＝3y ＝6z ≠1，求证：1x ＋1y ＝1z.关键能力综合练1.log 29log 23＝( )A ．12B ．2C ．32D ．922．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝( )A ．a ＋bB ．a －bC ．abD ．a b3．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )A ．10B ．10C ．20D ．1004.1log 1419 ＋1log 1513＝( )A ．lg 3B ．－lg 3C ．1lg 3D ．－1lg 35．(多选题)已知2x ＝3y ＝a ，且(x －1)(y －1)＝1，则a 的值可能为() A ．1 B ．2 C ．3 D ．66．(探究题)设a ，b ，c 都是正数，且4a ＝6b ＝9c ，那么( )A ．ab ＋bc ＝2acB ．ab ＋bc ＝acC ．2c ＝2a ＋1bD ．1c ＝2b －1a7．已知log 32＝m ，则log 3218＝________．(用m 表示)8．(易错题)计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258).9．计算：5log 53－log 311·log 1127＋log 82＋log 48.核心素养升级练1．(多选题)已知正数x ，y ，z 满足等式2x ＝3y ＝6z ，下列说法正确的是( )A ．x >y >zB ．3x ＝2yC ．1x ＋1y －1z ＝0D ．1x －1y ＋1z＝0 2．(学科素养—逻辑推理)已知a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．2．2 换底公式必备知识基础练1．答案：A解析：∵log a x ＝1log x a ＝2，∴log x a ＝12. 同理log x c ＝16 ，log x b ＝13.∴log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c＝1. 2．答案：9解析：由换底公式，得lg 4lg 3 ×lg 8lg 4 ×lg m lg 8 ＝lg m lg 3＝log 416＝2，∴lg m ＝2lg 3＝lg 9，∴m ＝9.3．解析：∵3x ＝36，4y＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式，得 x ＝log 3636log 363 ＝1log 363 ，y ＝log 3636log 364 ＝1log 364， ∴1x＝log 363，1y ＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4) ＝log 3636＝1.4．答案：D解析：(log 13 4)·(log 227)＝(log 13 22)·(log 2(13 )－3)＝(2log 132)·(－3log 213 )＝－6·lg 2lg 13·lg 13lg 2 ＝－6. 5．解析：(1)log 927＝log 327log 39 ＝log 333log 332 ＝3log 332log 33 ＝32. (2)log 21125 ×log 3132 ×log 513＝log 25－3×log 32－5×log 53－1＝－3log 25×(－5log 32)×(－log 53)＝－15×lg 5lg 2 ×lg 2lg 3 ×lg 3lg 5＝－15. (3)原式＝(lg 3lg 4 ＋lg 3lg 8 )(lg 2lg 3 ＋lg 2lg 9) ＝(lg 32lg 2 ＋lg 33lg 2 )(lg 2lg 3 ＋lg 22lg 3) ＝12 ＋14 ＋13 ＋16 ＝54. 6．证明： log a a b m ＝lg b m lg a n ＝m lg b n lg a ＝m n log a b .7．证明：设2x ＝3y ＝6z ＝k (k ≠1)，∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k ，∴1x＝log k 2，1y ＝log k 3，1z ＝log k 6＝log k 2＋log k 3， ∴1z ＝1x ＋1y. 关键能力综合练1．答案：B解析：由换底公式得log 39＝log 29log 23 ，又∵log 39＝2，∴log 29log 23 ＝2. 2．答案：C解析：log 27＝log 23×log 37＝ab .3．答案：A解析：∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m .1a ＋1b＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m 2＝10.又m >0，∴m ＝10 ，选A.4．答案：C解析：原式＝log 19 14 ＋log 13 15 ＝log 13 12 ＋log 13 15 ＝log 13110 ＝log 310＝1lg 3 .选C. 5．答案：AD解析：由(x －1)(y －1)＝1，可得xy ＝x ＋y .当xy ＝0时，x ＝y ＝0，此时a ＝1满足；当xy ≠0时，由1x ＋1y＝1. 又2x ＝3y ＝a ，所以x ＝log 2a ，y ＝log 3a ，则1x ＝1log 2a ＝log a 2，1y ＝1log 3a＝log a 3. 所以有1x ＋1y＝log a 2＋log a 3＝log a 6＝1，解得a ＝6. 综上所述，a ＝1或a ＝6.故选AD.6．答案：AD解析：由a ，b ，c 都是正数，可设4a ＝6b ＝9c ＝M ，∴a ＝log 4M ，b ＝log 6M ，c ＝log 9M ，则1a ＝log M 4，1b ＝log M 6，1c＝log M 9，∵log M 4＋log M 9＝2log M 6，∴1c ＋1a ＝2b ，即1c ＝2b －1a，去分母整理得ab ＋bc ＝2ac .故选AD. 7．答案：m ＋25m解析：log 23＝1log 32 ＝1m ，log 3218＝lg 18lg 32 ＝lg 2＋2lg 35lg 2 ＝15 ＋25 log 23＝15 ＋25m＝m ＋25m. 8．解析：解法一：原式＝(log 253＋log 225log 24 ＋log 25log 28 )(log 52＋log 54log 525 ＋log 58log 5125)＝(3log 25＋2log 252log 22 ＋log 253log 22 )(log 52＋2log 522log 55 ＋3log 523log 55 )＝(3＋1＋13)log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25＝13. 解法二：原式＝(lg 125lg 2 ＋lg 25lg 4 ＋lg 5lg 8 )(lg 2lg 5 ＋lg 4lg 25 ＋lg 8lg 125 )＝(3lg 5lg 2 ＋2lg 52lg 2 ＋lg 53lg 2 )(lg 2lg 5 ＋2lg 22lg 5 ＋3lg 23lg 5 )＝(13lg 53lg 2 )·(3lg 2lg 5)＝13. 解法三：原式＝(log 2 53＋log 2252＋log 235)(log 52＋log 5222＋log 5323)＝(3log 2 5＋log 2 5＋13 log 2 5)(log 5 2＋log 5 2＋log 5 2)＝(3＋1＋13 )log 2 5·3log 5 2＝3×133＝13. 9．解析：原式＝3－log 311×3log 113＋13 log 22＋32log 22 ＝3－3＋13 ＋32 ＝116 . 核心素养升级练1．答案：AC解析：设2x ＝3y ＝6z＝k (k >1)，则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k .因为x ＝log 2k ＝1log k 2 ，y ＝log 3k ＝1log k 3 ，z ＝log 6k ＝1log k 6 ，且0<log k 2<log k 3<log k 6， 所以1log k 2 >1log k 3 >1log k 6，即x >y >z ，故A 正确； 3x ＝3ln k ln 2 ，2y ＝2ln k ln 3 ，则3x 2y ＝3ln 32ln 2>1，故B 错误； 1x ＋1y ＝log k 2＋log k 3＝log k 6＝1z，故C 正确；1x －1y ＋1z＝log k 2－log k 3＋log k 6＝log k 4≠0，故D 错误．故选AC. 2．解析：解法一：设a x ＝b y ＝c z ＝t ，则x ＝log a t ，y ＝log b t ，z ＝log c t ， ∴1x ＋1y ＋1z ＝1log a t ＋1log b t ＋1log c t＝log t a ＋log t b ＋log t c ＝log t (abc )＝0， ∴abc ＝t 0＝1，即abc ＝1.解法二：设a x ＝b y ＝c z ＝t ，∵a ，b ，c 是不等于1的正数，∴t >0且t ≠1，∴x ＝lg t lg a ，y ＝lg t lg b ，z ＝lg t lg c， ∴1x ＋1y ＋1z ＝lg a lg t ＋lg b lg t ＋lg c lg t ＝lg a ＋lg b ＋lg c lg t， ∵1x ＋1y ＋1z＝0，且lg t ≠0， ∴lg a ＋lg b ＋lg c ＝lg (abc )＝0，∴abc ＝1.。

4.2　换底公式课后篇巩固提升A 组　基础巩固1.的值为( )log 49log 43A. B.2 C. D.123292解析:=log 39=2.log 49log 43答案:B2.log 9的值等于( )3A.4B .C .-4D .-214解析:log 9=lo log 33=.3g 32312=12214答案:B3.若10a =2,10b =3,则log 36等于( )A. B.a +b a a +bbC. D.a a +b ba +b解析:由已知得a=lg 2,b=lg 3,所以log 36=.lg6lg3=lg2+lg3lg3=a +bb 答案:B4.若a>0,a ≠1,x>y>0,n ∈N +,则下列各式:①(log a x )n =n log a x ;②(log a x )n =log a x n ;③log a x=-log a ;④=log a ;1x log a x log a y xy⑤log a x ;⑥=log a ;nlog a x =1n log a xn nx ⑦log a x n =n log a x ;⑧log a =-log a .x -y x +y x +yx -y 其中成立的有( )A.3个B.4个C.5个D.6个解析:根据对数的运算法则及换底公式得③⑥⑦⑧正确,①②④⑤不正确.答案:B5.已知4a =7,6b =8,则log 1221可以用a ,b 表示为( )A. B.3-b +2ab 3+b 2a +b -ab3+bC. D.3-b +2ab 4-2b 2a +b -ab4-2b解析:由题意可得a=log 47=,则=2a ,lg72lg2lg7lg2b=log 68=,则,据此有:3lg2lg6lg6lg2=3b log 1221=.lg21lg12=lg6+lg7-lg2lg6+lg2=lg6lg2+lg7lg2-1lg6lg2+1=3b +2a -13b +1=3+2ab -b 3+b 答案:A6.若m log 35=1,n=5m ,则n 的值为 .解析:∵m==log 53,∴n=5m ==3.1log 355log 53答案:37.已知3x =4y =36,则的值为 .2x +1y 解析:∵3x =36,4y =36,∴x=log 336,y=log 436.∴=log 363,=log 364,1x 1y ∴=2log 363+log 364=log 36(32×4)=1.2x +1y 答案:18.log 35log 46log 57log 68log 79= .解析:log 35log 46log 57log 68log 79==3.lg5lg3·lg6lg4·lg7lg5·lg8lg6·lg9lg7=lg8lg9lg3lg4=3lg2·2lg3lg3·2lg2答案:39.已知x ,y 为正数,且3x =4y ,求使2x=py 成立的p 的值.解:设3x =4y =k (显然k ≠1),则x=log 3k ,y=log 4k ,由2x=py ,得2log 3k=p log 4k=p ·.log 3klog 34∵log 3k ≠0,∴p=2log 34.10.导学号85104068计算:(log 43+log 83)+log 535-2log 5+log 57-log 51.8.lg2lg373解:根据对数的换底公式和运算性质可得(log 43+log 83)·,lg2lg3=(lg3lg4+lg3lg8)·lg2lg3=lg32lg2·lg2lg3+lg33lg2·lg2lg3=12+13=56log 535-2log 5+log 57-log 51.8=log 5(5×7)-2(log 57-log 53)+log 57-log 5=1+log 57-73952log 57+2log 53+log 57-2log 53+1=2,所以(log 43+log 83)+log 535-2log 5+log 57-log 51.8=.lg2lg373176B 组　能力提升1.计算log 2·log 3·log 5的值为( )12513219A.-20 B.-5 C.5D.20解析:原式=-log 225·log 332·log 59=-lg25lg2·lg32lg3·lg9lg5=-=-20.2lg5lg2·5lg2lg3·2lg3lg5答案:A2.已知f (3x )=1+2x ·log 23,则f (21 007)的值等于( )A.2 013B.2 014C.2 015D.2 017解析:令3x =t (t>0),则x=log 3t ,f (t )=1+2·log 3t ·log 23=1+2·=1+,所以f (x )=1+,故f (21lgt lg3·lg3lg22lgt lg22lgx lg2007)=1+=2 015.2lg 21 007lg2答案:C3.已知x ,y ,z 都是大于1的正数,m>0,且log x m=24,log y m=40,log xyz m=12,则log z m 的值为( )A.60B.160C.D.2003320解析:由已知log m x=,log m y=,log m xyz=,124140112所以log m x+log m y+log m z=,即log m z=,所以log z m=60,故选A.112112‒124‒140=160答案:A4.已知2x =3,log 4=y ,则x+2y= .83解析:∵2x =3,∴x=log 23.∵log 4=y ,83∴y=log 48-log 43=log 23,log 28log 24‒log 23log 24=32‒12∴x+2y=log 23+2=3.(32-12log 23)答案:35.导学号85104069(信息题)已知a n =log (n+1)(n+2)(n ∈N +),观察下列运算:a 1a 2=log 23·log 34=2;a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6=log 23·log 34·…·log 78=·…·=3,……定义使lg3lg2·lg4lg3·lg5lg4lg8lg7a 1·a 2·…·a k 为整数的k (k ∈N +)叫作企盼数.试确定当a 1·a 2·…·a k =2 016时,企盼数k= .解析:a 1·a 2·…·a k =·…·=log 2(k+2)=2 016,解得k=22 016-2.lg3lg2·lg4lg3·lg5lg4lg (k +2)lg (k +1)=lg (k +2)lg2答案:22 016-26.某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是μ=μ0e -λt ,其中μ0,λ是正常数.经检测,当t=2时,μ=0.90μ0,则当稳定性系数降为0.50μ0时,该种汽车已使用的年数为 (结果精确到1,参考数据:lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1).解析:由0.90μ0=μ0(e -λ)2,得e -λ=.又0.50μ0=μ0(e -λ)t ,则=()t ,两边取常用对数,得0.90120.90lg lg 0.90,故t=≈13.12=t 22lg21-2lg3=2×0.301 01-2×0.477 1答案:137.计算:(1);lg2+lg5-lg8lg50-lg40(2)lg -lg +lg -log 92·log 43.125854解:(1)原式==1.lg 2×58lg 5040=lg 54lg 54(2)(方法一)原式=lg +lg 125854‒lg2lg9×lg3lg4=lg (45×54)‒lg22lg3×lg32lg2=lg 1-=-.1414(方法二)原式=(lg 1-lg 2)-(lg 5-lg 8)+(lg 5-lg 4)-=-lg 2+lg 8-lg 4-=-(lglg2lg9×lg3lg4lg22lg3×lg32lg22+lg 4)+lg 8-=-lg (2×4)+lg 8-=-.1414148.已知log 1227=a ,求log 616的值(用a 表示).解:∵由log 1227=a ,得=a ,3lg32lg2+lg3∴lg 2=lg 3.3-a2a ∴log 616=.lg16lg6=4lg2lg2+lg3=4×3-a 2a 3-a 2a +1=12-4a 3+a 9.(拓展探究)已知log a x+3log x a-log x y=3(a>1).(1)若设x=a t ,试用a ,t 表示y ;(2)若当0<t ≤2时,y 有最小值8,求a 和x 的值.解:(1)由换底公式,得log a x+=3(a>1),3log a x ‒log a y log a x 所以log a y=(log a x )2-3log a x+3,当x=a t 时,log a x=log a a t =t ,所以log ay=t 2-3t+3.所以y=(t ≠0).a t 2-3t +3(2)y=,因为0<t ≤2,a>1,a (t -32)2+34所以当t=时,y min ==8,32a 34所以a=16,此时x==64.a 32。

【世纪金榜】（教师用书）2014高中数学 3.4.2 换底公式同步课时训练 北师大版必修1(30分钟 50分)一、选择题（每小题4分，共16分）1.log 8127=( ) (A)13 (B)12 (C)43 (D)342.化简log 34·log 45·log 58·log 89的结果是( )(A)1 (B)32 (C)2 (D)33.已知b 1log a ，lga lgb,, n n b log a ,ab ab 1log a 1log b --（）（）(a ＞0,a ≠1,b ＞0,b ≠1,ab ≠1,n ∈N *)，其中和log a b 相等的有( )(A)2个 (B)3个(C)4个 (D)1个 4.（2012·厦门高一检测）若xlog 23=1,则3x +9x 的值为( )(A)6 (B)3 (C)52 (D)12二、填空题（每小题4分，共8分）5.（2012·诸暨高一检测）求值：98·log答案化为最简形式）6.（易错题）已知log 147=a,log 145=b,则log 3528=_______.(用a 、b 表示）三、解答题（每小题8分，共16分）7.计算：（1）（log 43+log 83)(log 32+log 92)-2log (2)(log 25+log 40.2)(log 52+log 250.5).8.20世纪30年代，查尔斯·里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大. 这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为：M=lgA-lgA 0，其中A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪与实际震中距离造成的偏差）.（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001, 计算这次地震的震级（lg2≈0.3）；（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？（100.6≈3.98,精确到1）【挑战能力】(10分)已知lga,lgb 是方程2x 2-4x+1=0的两个实数根，求log a b+log b a 的值.答案解析1.【解析】选D.log 8127=lg27lg81=34lg3lg3=34.2.【解析】选C.log 34·log 45·log 58·log 89 =lg4lg5lg8lg9lg3lg4lg5lg8g g g =lg9lg3 =2.【变式训练】已知log 34·log 48·log 8m=log 416，那么m 的值为( ) (A)12 (B)9 (C)18(D)27【解析】选B.∵log 34·log 48·log 8m=log 3m ，且log 416=2,∴log 3m=2,即m=9.3.【解析】选A.结合换底公式可知log a b=b1log a ,lgalgb =log b a， =log b a,n nb log a =log b a,ab ab)ab ab ab ab ab ab log ab log a 1log a log b1log b log ab log b log a--==--（）（（）（）（）（）（）（）（）（）=log ab.故选A.4.【解析】选A.∵xlog 23=1,∴x=log 32,∴3x =3log 23=2, 9x =(3x )2=4,∴3x +9x =6. 5.【解析】∵98·log34lne+lg8lg9·1lg33lg4 =34+3lg22lg3·lg36lg2=34+14=1.答案：16.【解析】log 3528=1414log 28log 35=14141414log 7log 4log 7log 5++ =14a 2log 2a b ++=1414a 2log 7a b ++=()14a 21log 7a b+-+=()a 21a a b +-+ =2a a b-+. 答案：2a a b -+ 7.【解析】（1）原式=（12log 23+13log 23)·(log 32+12log 32)+542log 2 =(56log 23)·(32log 32)+54=53lg3lg2555562lg2lg34442⨯⨯⨯+=+=. (2)原式=（log 25+12log 215）(log 52+12log 512) =（log 25+12log 25-1)(log 52+12log 52-1) =(log 25-12log 25)(log 52-12log 52)=14·log 25·log 52=14. 【方法技巧】对数运算的实质及应用技巧1.对数运算的理论依据()()()()a a a logb 1log a 1log 10a 0,a 1).2a b(a 0,a 1b 0).34⎧==≠⎪=≠⎪⎨⎪⎪⎩对数的性质：，（＞对数恒等式：＞，＞对数的运算性质换底公式 2.应用技巧n a b m a a 11log b (a 0,a 1b 0b 1).log a 2m log b log b(a 0,a 1,n 0,b 0).n ⎧⎪⎧⎪=≠≠⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪=≠≠⎪⎪⎩⎩（）对数的运算法则的逆用①＞，＞且（）换底公式的两个结论②＞＞ 8.【解析】(1)M=lg20-lg0.001=lg 200.001=lg20 000=lg2+lg10 000=lg2+4≈4.3, 因此，这是一次约为里氏4.3级的地震.(2)由M=lgA-lgA 0可得M=lg 0A A ⇔0A A =10M ⇔A=A 0·10M , 当M=7.6时，地震的最大振幅为A 1=A 0·107.6;当M=5时，地震的最大振幅为A 2=A 0·105. 所以，两次地震的最大振幅之比是12A A =7.6050A 10A 10g g =107.6-5=102.6≈398. 故7.6级地震最大振幅约是5级地震最大振幅的398倍.【挑战能力】【解题指南】利用换底公式把表达式整理成两根之和与两根之积的形式，然后再利用根与系数的关系求解.【解析】因为lga,lgb 是方程2x 2-4x+1=0的两个实数根，由根与系数的关系得 lga+lgb=-42-=2,lga ·lgb=12. 所以log a b+log b a=lgb lga lga lgb + =()()22lgb lga lga lgb +g =()2lga lgb 2lga lgb lga lgb +-g g=2122212-⨯=6.。

双基达标 (限时20分钟)1．下列四个命题中，真命题是( )． A ．lg 2lg 3＝lg 5 B ．lg 23＝lg 9C ．若log a (M ＋N )＝b ，则M ＋N ＝b aD ．若log 2M ＋log 3N ＝log 2N ＋log 3M ，则M ＝N解析 A 项错用对数运算法则，错误；B 项lg 32＝lg 9错误运用对数运算法则；C 项M ＋N ＝a b 指数对数之间关系用错；因此选D 项． 答案 D2．log 56·log 67·log 78·log 89·log 910的值为( )． A ．1 B ．lg 5 C.1lg 5 D ．1＋lg 2 解析 原式＝lg 6lg 5·lg 7lg 6·lg 8lg 7·lg 9lg 8·lg 10lg 9＝lg 10lg 5＝1lg 5. 答案 CA ．lg 3B ．－lg 3 C.1lg 3D ．－1lg 3答案 C4．已知 ＝49(a ＞0)，则log 23a ＝________. 解析 由 ＝49(a ＞0)，得 ＝23， 所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233，答案 35．若log 32＝log 23x ，则x ＝________. 解析 由log 32＝log 23x ， 得log 32＝x log 23，所以x ＝log 32log 23＝lg 2lg 3lg 3lg 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 32＝(log 32)2.答案 (log 32)26．设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y 的值． 解 ∵3x ＝36,4y ＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436， ∴1x ＝1log 336＝1log 3636log 363＝log 363，1y ＝1log 436＝1log 3636log 364＝log 364，∴2x ＋1y ＝2log 363＋log 364＝log 36(9×4)＝1.综合提高 (限时25分钟)A ．lg 15B ．lg 5C ．lg 215D ．lg 25解析∵lg22＋lg 52＝⎝⎛⎭⎪⎫lg1052＋lg2510＝(1－lg 5)2＋2lg 5－1＝lg25，答案 B8．计算log2125·log3132·log519的值为()．A．－20 B．－5C．5 D．20解析原式＝－log225·log332·log59＝－lg 25lg 2·lg 32lg 3·lg 9lg 5＝－2lg 5lg 2·5lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝－20.答案 A9．若m log35＝1，n＝5m＋5－m，则n的值为________．答案10 310．已知a n＝log n＋1(n＋2)(n∈N＋)，观察下列运算：a1a2＝log23·log34＝2；a1·a2·a3·a4·a5·a6＝log23·log34·…·log78＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·lg 5lg 4·…·lg 8lg 7＝3.…定义使a1·a2·…·a k为整数的k (k∈N＋)叫做企盼数．试确定当a1·a2·…·a k＝2 010时，企盼数k＝________.答案22 010－211．2011年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长8%，那么约经过多少年后国民生产总值是2011年的2倍？(lg 2≈0.301 0，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年)解设经过x年后国民生产总值是2011年的2倍，则2a＝a×(1＋8%)x，∴2＝1.08x，两边取对数得：lg 2＝x lg 1.08，∴x ＝lg 2lg 1.08≈0.301 00.033 4≈9.所以约经过9年后国民生产总值是2011年的2倍． 12．(创新拓展)(1)计算：log 23·log 34·log 45·log 52；(3)已知lg 2＝a ，lg 7＝b ，求log 89.8的值． 解 (1)原式＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·lg 5lg 4·lg 2lg 5＝1.(3)log 89.8＝lg 9.8lg 8＝lg 72×210lg 23＝2lg 7＋lg 2－13lg 2＝2b ＋a －13a.。

课时作业(十五)一、选择题1．对任意实数a ，下列等式正确的是( )解析：选项A 中，若a <0，则等式不成立，这是因为>0，而a 13<0；选项B 中当a <0时，无意义，不成立；选项C中当a ＝0时不成立．答案：D 2．(－x )2－1x 等于( )A.x B ．－x －x C ．x x D ．x －x解析：由 －1x 知x <0，因此(－x )2－1x ＝x 2·－x|x |＝－x－x .故选B.答案：B3．计算：8－ 13 －⎝ ⎛⎭⎪⎫450＋(23) 43＝()A ．15 12B ．15C ．14 12D ．14解析：原式＝(23)－13－1＋22×43＝2－1－1＋24＝12－1＋16＝1512.答案：A4．已知a－1a＝3(a>0)，则a2＋a＋a－2＋a－1的值等于() A．13－11 B．11－13C．13＋11 D．11＋13解析：由a－1a＝3，得⎝⎛⎭⎪⎫a－1a2＝9，因此a2＋1a2－2＝9，故a2＋a －2＝11.又(a＋a－1)2＝a2＋a－2＋2＝11＋2＝13，且a>0，所以a＋a－1＝13.于是a2＋a＋a－2＋a－1＝11＋13.答案：D5．在⎝⎛⎭⎪⎫－12－1,2－12，⎝⎛⎭⎪⎫12－12，2－1中，最大的数是()A.⎝⎛⎭⎪⎫－12－1B．2－12C.⎝⎛⎭⎪⎫12－12D．2－1解析：∵⎝⎛⎭⎪⎫－12－1＝1－12＝－2，2－1＝12，∴最大的数为⎝ ⎛⎭⎪⎫12－ 12答案：C6．设2x ＝8y ＋1,9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为( ) A ．18 B ．21 C ．24D ．27解析：由题意得，2x ＝23(y ＋1)，(32)y ＝3x －9，∴⎩⎨⎧x ＝3(y ＋1)2y ＝x －9⇒⎩⎨⎧x ＝21y ＝6，∴x ＋y ＝27.答案：D 二、填空题 7．计算[(－2)2] － 12 的结果是________． 解析：[(－2)2] － 12 ＝2－ 12 ＝12 12)＝22.答案：228．已知m －x＝5＋2，则m 2x －1＋m －2xm －3x ＋m 3x的值为________．解析：∵m －x ＝5＋2，∴m 2x －1＋m －2x m －3x ＋m 3x ＝(m x )2－m x m －x ＋(m －x )2(m x ＋m －x )[(m x )2－m x m －x ＋(m －x )2] ＝1m x ＋m－x ＝115＋2＋5＋2＝510.答案：5109．解析：答案：263三、解答题10．化简：解：11．计算：(32×3)6－4×⎝⎛⎭⎪⎫1649－12－(－2 008)0.解：－1＝22×33－7－1＝100.12．(1)已知2x＋2－x＝a(常数)，求8x＋8－x的值；(2)已知x＋y＝12，xy＝9，且x<y，求的值．解：(1)8x＋8－x＝(2x)3＋(2－x)3＝(2x＋2－x)(22x＋2－2x－1)＝(2x＋2－x)[(2x＋2－x)2－3]＝a(a2－3)＝a3－3a.。