北师大版数学必修一《换底公式》参考教案

§4.2 换底公式----教学设计教材分析本节是在新高中课程标准下新增的内容之一.通常情况下,计算对数需要使用计算工具,而一般的科学计算器只能对常用对数或自然对数进行计算,因此需要用换底公式,化成常用对数或自然对数.前面对数的运算性质只能解决同底对数的加减幂运算,对于乘除束手无策,因此也需要换底公式化不同底为同底,化未知为已知,从而再进行运算.教学目标1.知识与技能（1）理解从特殊到一般的类比推导对数的换底公式的方法，并掌握换底公式；(2)能够灵活地运用换底公式与对数的运算性质进行对数运算与并解决实际问题.2.过程与方法通过设置问题串的方式,让学生通过在问题的引导下自主学习、合作学习经历推导对数的换底公式的过程,培养学生分析问题和解决问题的能力.3.情感态度与价值观让学生探究对数的换底公式，培养学生的探究意识，培养学生严谨的思维品质，感受对数的广泛应用，增强学习的积极性.教学重点和难点教学重点：对数的运算性质及换底公式及其应用.教学难点：灵活地使用对数的运算性质和换底公式进行计算、化简.教学方法与手段教学方法：启发引导式教学.教学手段：多媒体辅助教学.教学过程一、导入课题1.复习对数的定义及运算性质.log15的值呢？借助科学计算器呢?这样如果2.思考:我们能否直接求出lg15、ln2、2能将其他底的对数转化成以10为底或以e 为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数.那么,如何转换呢?引出课题换底公式.二、探究课题1、提出问题阅读教材,回答以下问题(通过投影仪提出问题,提供5分钟时间让学生自学探究,适时引导).问题1.如何使用科学计算器计算2log 15?问题2.如果0a >且1a ≠，你能用以a 为底的对数式来表示2log 15吗？ 问题3.更一般地,log log (,0,,1,0)log a b a NN a b a b N b=>≠>成立吗？如何证明？问题4.你能用自己的话概括出换底公式吗？活动:学生针对提出的问题,交流讨论,回顾所学,力求转化,教师适时指导,必要时提示学生解题的思路,给学生创造一个互动的学习环境,培养学生的自学能力与创造性思维能力.对于问题1,考虑利用对数的定义,转化成指数方程,再两边取常用对数或自然对数来求解；对于问题2,考虑参考问题1的思路和结果的形式借助对数的定义可以表示；对于问题3,借助问题1、2的思路,利用对数的定义来证明；问题4抓住问题的实质,用准确的语言描述出来,一般是按照从左到右的形式.2、探究结果探究1.设2log 15x =，根据对数的定义,写成指数式，得215x= ①对①式两边取常用对数（两边取对数的依据是什么？），得lg 2lg 15x =，所以lg 15lg 2x =. 这样我们可以用科学计算器中“log ”键算出2lg15log 15 3.9068906lg 2=≈. 如果对①式两边取自然对数，得ln 2ln15x =所以2ln15log 15 3.9068906ln 2=≈. 探究2.如果对①式两边取以a 为底的对数，得log 2log 15a a x =所以log 15log 2a a x =.探究3.证明:设log b x N =,根据对数定义,写成指数式，得xN b =.根据相等的两个正数的同底对数相等，两边取以a 为底的对数，得log log x a a N b =. 而log log x a a b x b =，所以log log a a N x b =. 由于1b ≠，则log 0a b ≠，解出x ，得log log a a Nx b=.因为log b x N =，所以log log log a b a NN b=(板书对数换底公式).探究4.一个数的对数,等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个同底对数的商.三、新知应用例1.用科学计算器计算（精确到0.001）： （1）2log 48； (2)8log π. 解：(1)2lg 48log 48 5.585lg 2=≈；(2)8ln log 0.550ln8ππ=≈. 课堂练习1.利用科学计算器计算：2log 10；2log 100；2log 50；3log 20；3log 1000；5log 0.99.活动:让学生通过合作学习,使用计算器完成.看谁算得快,增强合作与竞争意识. 解:2log 10 3.3219≈；2log 100 6.6439≈；2log 50 5.6439≈；3log 20 2.7268≈；3log 1000 6.2877≈；35log 0.99 6.244610-≈-⨯.例2.计算：（1）9log 27； （2）827log 9log 32⋅.活动:学生观察题目,思考讨论,互相交流,教师适时提示,使用换底公式统一底数；根据题目的特点,底数不同,所以考虑把底数统一起来,可以化成常用对数或自然对数,当然以2为底或以3为底的对数也可.在讲授时通过实物展示台放映学生解答过程.分析解答情况.解：⑴392lg 27lg33log 27lg9lg32===.⑵2582732lg3lg 22lg35lg 210log 9log 32lg 2lg33lg 22lg39⋅=⋅=⋅=.点评:灵活应用对数的换底公式是解决问题的关键.再思考活动:从例题的解答过程中,引导学生思考一般性结论,log log m na a nb b m=(强调底数的次方数为分母,真数的次方数为分子),log log 1a b b a ⋅=(强调互为倒数).上题也可直接这样算：(1)233333log 3log 322===原式. (2)332523232510log 3log 2log 3log 2339=⋅=⋅=原式.课堂练习3.利用换底公式证明： （1）1log log m a b b m a=； （2）log log m m a a b b =.活动:学生针对提出的问题,交流讨论,回顾所学,力求转化,教师适时指导,在讲授时可通过实物展示台放映学生解答过程.分析解答情况.证明:(1)log 1log log log m b m a b b b b a m a ==；(2)log log log log log log m m ma a a m a a ab m b b b a m a===.例3.一种放射性物质不断变化为其它物质，每经过一年剩留的质量约为原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半（结果保留1个有效数字）.解：设最初的质量是1，经过x 年，剩留量是y ，则经过1年，剩留量是0.84y =；经过2年，剩留量是20.84y =； ……经过x 年，剩留量是0.84xy =； 方法一:根据函数关系式列表如下观察表中数据，0.5y ≈时对应有4x =， 即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半. 方法二:依题意得0.840.5x=，用科学计算器计算得0.84ln 0.5log 0.5 3.98ln 0.84x ==≈.即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半.四、课题小结1.换底公式可以完成不同底数的对数式之间的转化,该公式既可以正用,也可逆用,使用时的关键是选择底数,在对数的运算中,应尽量化为同底的对数,以便用于运算.2.不论是指数和对数的互化,还是把底数不同的对数转化为底数相同的对数,都用到了转化与化归的思想,方程思想.另外本堂课题还用到了数学建模思想等.五、课题延伸问题:对数有换底公式,指数有换底公式吗?一般地，根据指数函数的性质可以知道,对于任意的正数a 和b ,总能把a 的指数幂化为b 的指数幂.因为一定存在唯一的常数α,使得a b α=.所以根据实数指数幂的运算性质,得()n n n a b b αα==(log b a α=).问题与思考(1)你能证明指数换底公式吗?(2)已知lg 20.3010=，lg30.4771=，你能否较快地比较1002与653的大小吗?(3)指数换底公式的意义是什么?有什么作用?六、课题分层作业必做题: 教材88页B 组第4题.选做题:(1)已知77log 3,log 4a b ==,求48log 49的值；(2)已知lg lg 2lg(2)x y x y +=-,求的值. 七、板书设计八、教学反思本节课的成功之处:一、本节课采用学生探究的方式教学，充分发挥了学生的积极性和主动性，效果比较好.二、例题由易到难，设置得比较科学，学生做起来比较轻松. 不足之处：一、时间未把握好，课题延伸这一环节没有时间讲.。

4.2 换底公式一、学习目标1.掌握对数的换底公式及其变形公式2.能正确地利用对数的运算性质及其相关公式进行对数运算.二、重、难点分析1.对数的换底公式2.对数换底公式的变形公式三、学习过程(一)自主预习复习回顾对数的运算性质如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①log a(M·N)=log a M+log a N；即积的对数等于对数的和.推广： log a(N1N2...N k)=log a N1+log a N2+....+log a N k(k∈N*)；②log a MN=log a M-log a N；即商的对数等于对数的差.③log a M n=nlog a M(n∈R).即指数幂的对数等于底数的对数的指数倍.(二)合作探究1.换底公式及其变形公式首先规定，下列对数式中的字母都使对数式有意义：对数换底公式：log loglogaNaMMN由对数的换底公式可得：①log N M ·log M N=1； ②log log m n N N n M M m =； ③log log log log log a b N a b M M M N N ==； 由③可得：④log a M ·log b N=log a N ·log b M ； ⑤log log log log a a b b M N M N= 由④可得：log log log log a a M N b b NM =，由此可得： ⑥log log a a M N NM =2.对数式的化简和求值(1)对于同底的对数式的化简的常用方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).(2)对于常用对数式的化简要充分利用“lg5+lg2=1”来解题.(3)对于含多重对数符号对数式的化简，应从内向外逐层化简求值.(4)注意性质：log a 1=0，log a a=1，log a N aN =(a ＞0，a ≠1，N ＞0).四、同步练习1.已知：lg2=a ，lg3=b ，试用a ，b 表示下列各式的值：(1)lg6； (2)lg 29； (3)log 92．解析：(1)(2)(3)利用对数的换底公式及其运算性质即可得出． 答案：(1)∵lg2=a ，lg3=b ，∴lg6=lg2+lg3=a+b ；(2)lg29=lg2-2lg3=a-2b；(3)log92=lg22lg32ab=．2.利用对数的换底公式化简下列各式：(1)log a c·log c a；(2)log23·log34·log45·log52；(3)(log43+log83)(log32+log92).解析：根据换底公式，把对数换为以10为底的对数，进行计算即可. 答案：(1)logac·logca=lgclga·lgalgc=1；(2)log23·log34·log45·log52=lg3lg4lg5lg2lg2lg3lg4lg5⋅⋅⋅=1；(3)(log43+log83)(log32+log92)=lg3lg3lg2lg2 lg4lg8lg3lg9⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝+⎭+=lg3lg3lg2lg2 2lg23lg2lg32lg3⎛⎫⎛⎫ ⎪+⎝⎭⎝+⎪⎭=5lg33lg2 6lg22lg3⋅=54.五、自我测评1.利用换底公式求log225·log34·log59的值．解析：利用对数的运算法则和对数的换底公式即可得出．答案：原式=log252·log322·log532=2log25·2log32·2log53=8log25·log32·log53=lg5lg2lg3 8lg2lg3lg5⨯⨯⨯=8．2.利用对数换底公式化简：(log43+log83)(log32+log92). 解析：直接利用对数的换底公式化简求值．答案：(log43+log83)(log32+log92)=lg3lg3lg2lg2·lg4lg8lg3lg9++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=lg3lg3lg2lg2 2lg23lg2lg32lg3+⋅⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=3lg32lg32lg2lg2 6lg22lg3++⋅=5lg33lg256lg22lg34⋅=．六、小结1.对数的换底公式2.对数换底公式的变形公式。

3.4.2 换底公式本节教材分析我们在前面的学习过程中，已了解了指数函数的概念和性质，它是后续学习的基础，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.教材注重从现实生活的事例中引出对数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望. 三维目标1．知识与技能①通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能.②运用对数运算性质解决有关问题.③培养学生分析、综合解决问题的能力.培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.2. 过程与方法①让学生经历并推理出对数的运算性质. ②让学生归纳整理本节所学的知识.3. 情感、态度、和价值观：让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性.教学重点：对数运算的性质与对数换底公式的应用． 教学难点：对数概念的理解，对数换底公式的推导及应用． 教学建议：1. 先给学生证明公式，让学生明白如何证明，如何应用.2. 注意公式的灵活性与限制范围.强调.3. 通过实例说明换底公式的意义.新课导入设计导入一:问题：你能根据对数的定义推倒下面的换底公式吗？,0>a .且,0,1>≠c a 且.log log log ,0,1ab b bc c c a =>≠教师直接点题.导入二：前面我们学得是同底的对数问题，那么不同底的对数，应该如何处理呢？这就是本节课研究的主要内容，教师板书课题.3.4.2 换底公式一、引入：在实际应用中，常常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数呢？例如，如何求5log 3？我们可以根据对数的性质，利用常用对数来计算。

设 x =5log 3，写成指数形式，得53=x两边取常用对数，得5lg 3lg =x所以 465.14771.06990.03lg 5lg ===x 即 465.15log 3=二、讲授新课： 1、换底公式)0,1,,0,(log log log >≠>=N b a b a bNN a a b 证明 设N xb log =，根据对数定义，有x b N =两边取以a 为底的对数，得x a a b N log log =而b x b a x alog log =，所以b x N a a log log =由于1≠b，则0log ≠b a ，解出x ，得bNx a a log log =，因为N xb log =，所以bNN a a b log log log =很容易由换底公式得到ba ab log 1log =例7 计算： （1） 27log 9（2） 32log 9log 278⋅解 （1）239log 27log 27log 339==（2）9103lg 32lg 52lg 33lg 227lg 32lg 8lg 9lg 32log 9log 278=⋅=⋅=⋅ 例8 用科学计算器计算下列对数（精确到0.001）： 48log 2； 10log 3； π8log ； 50log 5； 2log 082.1解 585.548log 2=096.210log 3= 550.0log 8≈π431.250log 5=795.82log 082.1=例9 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的84%，估计经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半（结果保留1个有效数字）。

2.2 换底公式[情境导入]计算器上，只有常用对数键“log ”和自然对数键“ln ”，要计算log a b 必须将它转换成常用对数或自然对数．[问题] 你知道如何转换吗？[新知初探]知识点 换底公式一般地，若a >0，b >0，c >0，且a ≠1，c ≠1，则log a b ＝ ．这个结论称为对数的换底公式．[点一点] 换底公式的推论[想一想]1．对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？2．你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论log N n M m ＝mnlog N M 吗？[做一做]1．log 6432的值为( ) A ．12B ．2C ．56D ．652．若log 23＝a ，则log 49＝( ) A ．a B ．a C ．2aD ．a 23．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________．——研教材·典例精析——题型一 对数换底公式的应用 [例1] 计算：(1)log 29·log 34； (2)log 52×log 79log 5 13×log 734.[通性通法]利用换底公式求值的思想与注意点[跟踪训练]1．计算(log 32＋log 23)2－log 32log 23－log 23log 32的值为( )A ．log 26B ．log 36C ．2D ．12．若log 2x ·log 34·log 59＝8，则x ＝( ) A ．8 B ．25 C ．16D ．4题型二 用已知对数式表示求值问题[例2] 已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示)[母题探究]1．(变设问)若本例条件不变，如何求log 1845(用a ，b 表示)?2．(变条件)若将本例条件“log 189＝a ，18b ＝5”改为“log 94＝a ，9b ＝5”，则又如何求解呢？[通性通法]求解与对数有关的各种求值问题应注意如下三点 (1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式； (2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法；(3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题．[跟踪训练]设a ＝log 36，b ＝log 520，则log 215＝( ) A.a ＋b －3（a －1）（b －1） B.a ＋b －2（a －1）（b －1） C.a ＋2b －3（a －1）（b －1）D.2a ＋b －3（a －1）（b －1）题型三 有附加条件的对数式求值问题[例3] (1)已知a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z ＝0，则abc 的值为________；(2)已知5x ＝2y ＝(10)z ，且x ，y ，z ≠0，则z x ＋zy的值为________．[通性通法]与对数有关的带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．[跟踪训练]已知实数a ，b ，c ，d 满足5a ＝4，4b ＝3，3c ＝2，2d ＝5，则(abcd )2 022＝________．[随堂检测]1．式子log 32·log 227的值为( ) A ．2 B ．3 C ．13D ．－32．在1log b a ，lg alg b ，log b a ，log a n b n (a ，b 均为不等于1的正数)中，与log a b 一定相等的有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个3．计算：1＋lg 2·lg 5－lg 2·lg 50－log 35·log 259·lg 5＝( ) A ．1 B ．0 C ．2D ．44．若实数a ，b ，c 满足25a ＝404b ＝2 020c ＝2 019，则下列式子正确的是( ) A ．1a ＋2b ＝2cB ．2a ＋2b ＝1cC ．1a ＋1b ＝2cD ．2a ＋1b ＝2c5．方程log 2x ＋1log （x ＋1）2＝1的解是________．参考答案——读教材·知识梳理——[新知初探]知识点 换底公式 log c blog c a[想一想]1．提示：log a b ＝lg b lg a ，log a b ＝ln bln a.2．提示：log N nM m＝lg M m lg N n ＝m lg M n lg N ＝m n ·lg M lg N ＝mn log NM .[做一做]1．【答案】C【解析】log 6432＝lg 32lg 64＝lg 25lg 26＝5lg 26lg 2＝56.2．【答案】B【解析】log 49＝lg 9lg 4＝2lg 32lg 2＝log 23＝a .故选B.3．【答案】9【解析】利用换底公式，得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg mlg 8＝2， ∴lg m ＝2lg 3＝lg 9，于是m ＝9.——研教材·典例精析——题型一 对数换底公式的应用 [例1] 解：(1)由换底公式可得， log 29·log 34＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3lg 2·2lg 2lg 3＝4.(2)原式＝log 52log 513×log 79log 734＝log 132×log 349＝lg 2lg 13×lg 9lg 413＝12lg 2－lg 3×2lg 323lg 2＝－32. [跟踪训练]1．【答案】C【解析】原式＝(log 32)2＋2log 32×log 23＋(log 23)2－(log 32)2－(log 23)2＝2log 32×log 23 ＝2×lg 2lg 3×lg 3lg 2＝2.2．【答案】B【解析】∵log 2x ·log 34×log 59＝lg x lg 2·lg 4lg 3·lg 9lg 5＝lg x lg 2×2lg 2lg 3×2lg 3lg 5＝8，∴lg x ＝2lg 5＝lg 25，∴x ＝25. 题型二 用已知对数式表示求值问题 [例2] 解：因为18b ＝5，所以b ＝log 185. 所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（5×9）log 18（2×18）＝log 185＋log 189log 182＋log 1818＝a ＋b 1＋log 182 ＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－log 189＝a ＋b 2－a. [母题探究]1．解：因为18b ＝5，所以log 185＝b ，所以log 1845＝log 189＋log 185＝a ＋b . 2．解：因为9b ＝5，所以log 95＝b . 所以log 3645＝log 945log 936＝log 9（5×9）log 9（4×9）＝log 95＋log 99log 94＋log 99＝b ＋1a ＋1. [跟踪训练]【答案】D【解析】∵a ＝log 36＝log 26log 23＝1＋log 23log 23，∴log 23＝1a －1.∵b ＝log 520＝log 220log 25＝2＋log 25log 25，∴log 25＝2b －1.∴log 215＝log 23＋log 25＝1a －1＋2b －1＝2a ＋b －3（a －1）（b －1）.题型三 有附加条件的对数式求值问题 [例3] 【答案】(1)1 (2)2【解析】(1)法一：设a x ＝b y ＝c z ＝t ，则x ＝log a t ，y ＝log b t ，z ＝log c t ，∴1x ＋1y ＋1z ＝1log a t ＋1log b t ＋1log c t ＝log t a ＋log t b ＋log t c ＝log t (abc )＝0，∴abc ＝t 0＝1. 法二：∵a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，∴令a x ＝b y ＝c z ＝t >0，∴x ＝lg t lg a ，y ＝lg t lg b ，z ＝lg t lg c， ∴1x ＋1y ＋1z ＝lg a lg t ＋lg b lg t ＋lg c lg t ＝lg a ＋lg b ＋lg clg t . ∵1x ＋1y ＋1z＝0，且lg t ≠0， ∴lg a ＋lg b ＋lg c ＝lg(abc )＝0，∴abc ＝1.(2)令5x ＝2y ＝(10)z ＝k ，则x ＝log 5k ，y ＝log 2k ，12z ＝lg k ，z ＝2lg k ，∴z x ＋z y ＝2lg k log 5k ＋2lg k log 2k＝2lg k (log k 5＋log k 2)＝2lg k ·log k 10＝2·log 10k ·log k 10＝2. [跟踪训练]【答案】1【解析】将5a ＝4，4b ＝3，3c ＝2，2d ＝5转化为对数式， 得a ＝log 54＝ln 4ln 5，b ＝ln 3ln 4，c ＝ln 2ln 3，d ＝ln 5ln 2，所以(abcd )2 022＝⎝⎛⎭⎫ln 4ln 5×ln 3ln 4×ln 2ln 3×ln 5ln 22 022＝12 022＝1.[随堂检测]1．【答案】B【解析】log 32·log 227＝lg 2lg 3·lg 27lg 2＝lg 27lg 3＝log 327＝3，故选B.2．【答案】C【解析】1log b a ＝log a b ，lg a lg b ＝log b a ，log b a ＝log b a ，log a n b n ＝log a b ，故选C.3．【答案】B【解析】原式＝1＋lg 2·lg 5－lg 2(1＋lg 5)－lg 5 lg 3·2lg 32lg 5·lg 5＝1＋lg 2·lg 5－lg 2－lg 2·lg 5－lg 5＝1－(lg 2＋lg 5)＝1－lg 10＝1－1＝0. 4．【答案】A【解析】由已知，得52a ＝404b ＝2 020c ＝2 019，得2a ＝log 52 019，b ＝log 4042 019， c ＝log 2 0202 019，所以12a ＝log 2 0195，1b ＝log 2 019404，1c ＝log 2 0192 020，而5×404＝2 020，所以12a ＋1b ＝1c ，即1a ＋2b ＝2c ，故选A.5．【答案】1【解析】原方程可变为log 2x ＋log 2(x ＋1)＝1，即log 2[x (x ＋1)]＝1， ∴x (x ＋1)＝2，解得x ＝1或x ＝－2.又⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1.即x >0，∴x ＝1.。

§4.2换底公式一．教学目标：1．知识与技能①通过实例推导换底公式，准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能.②运用对数运算性质解决有关问题.③培养学生分析、综合解决问题的能力.培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.2.过程与方法①让学生经历并推理出对数的换底公式.②让学生归纳整理本节所学的知识.3.情感、态度、和价值观让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性.二．教学重点、难点重点：对数运算的性质与换底公式的应用难点：灵活运用对数的换底公式和运算性质化简求值。

三．学法和教学用具学法：学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.教学用具：投影仪四．教学过程问题提出我们使用的计算器中，“log”通常是常用对数，如何使用科学计算器计算㏒215？分析理解设㏒215=x ，写成指数式得2x =15两边取常用对数得Xlg2=lg15所以x=2lg 15lg 这样就可以使用科学计算器计算㏒键算出㏒215=2lg 15lg ≈3.9068906. 同理也可以使用科学计算器计算ln 键算出㏒215=2ln 15ln ≈3.9068906. 由此我们有理由猜想㏒ b N=b N a a log log ( a,b>0,a,b ≠1,N>0).先让学生自己探究讨论，教师巡视，最后投影出证明过程.证明设㏒ b N=x,根据对数定义，有N=b x两边取以a 为底的对数，得㏒a N=㏒a b x故 x ㏒a b =㏒a N ，由于b ≠1则㏒a b ≠0，解得 x=bN a a log log 故㏒b N=b N a a log log由换底公式易知㏒a b=ab log 1 例题分析例7 计算： （1）㏒927； （2）㏒89㏒2732注：由例7可以猜想并证明 b nm nb a m a log log例8 用科学计算器计算下列对数（精确到0.001）：㏒248 ㏒310 ㏒8∏ ㏒550 ㏒ 1.0822例9 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量是原来的 84℅，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半（结果保留1个有效数字）。

安边中学 高一 年级 1学期 数学 学科导学稿 执笔人： 邹英 总第 27课时 备课组长签字： 包级领导签字： 学生： 上课时间：第八周集体备课 个人空间一、课题： 3.4.2换底公式二、学习目标1.理解换底公式推到过程和应用的规律和方法；2. 熟练掌握换底公式，提高运算求解能力。

三、教学过程【温故知新】1、对数的运算性质：如果 0,0,1,0>>≠>N M a a 有：（1） ；（2） ；（3） 。

2、求值。

（1）852l g (42)o ⨯= ；（2）lg 4lg 25+= ；（3）()=⨯52339log ；（4）3lg 3000lg -= 。

3、求下列各式中的x 。

（1）91log 27=x ； （2）327log -=x ；（3）363=x ；【导学释疑】阅读教材P 83-P 85页。

1、你能用计算器计算下列对数吗？（1）3ln )4(;33lg )3(;4log )2(;15log 412。

2、换底公式： 。

3、b a log 与a b log 有什么关系吗？【巩固提升】例1、⑴27log 9； ⑵81log3； ⑶32log 9log 278⨯。

例2、见P85页例9。

【检测反馈】1、 计算：（1）()3lg 2lg 3log 3log 84+；（2）()()32log 32-+。

2、若,7log ,3log 32b a ==用b a ,表示（1）27log 4；（2）56log 143、P 86页练习1、2（选做3、4）。

反思栏。

《换底公式》教学设计一．教学内容：北师大版数学必修一第三章指数函数与对数函数第4节《换底公式》。

二．三维目标：1、知识与技能（1）理解对数的换地公式思想—两边同时取相同的对数运算（2）进一步掌握对数的运算性质,能灵活运用换底公式化简计算（3）拓展学生思维空间，培养学生的计算能力，交流合作能力，语言表达能力，培养学生探究问题，解决问题的兴趣和能力2、过程与方法.利用多媒体教学，采取学生合作讨论的方法，3、情感态度与价值观通过本章节的学习，使学生明白可以多角度思考问题，未知问题要用已有知识来解决，树立正确的人生价值观，不怕困难，勇于挑战的精神。

三、学生分析学生基础不错，大部分学生学习自觉性很强理解力很强，极少数学生学习吃力，不得方法，通过互助式学习得到帮助，缩小学生学习差距，共同进步。

四、教材分析1.本节的作用和地位本节内容是进一步学习对数运算，通常情况下，计算对数需要使用计算工具，而一般的科学计算器只能对常用对数和自然对数进行计算，因此需要对数换底公式。

2．本节主要内容、换底公式的证明以及应用3.教学重点难点：教学重点：对数的换底公式，教学难点：对数换底公式的证明及公式的合理运用4.课时要求：1课时五、教学理念通过学生自主探究，合作交流，让部分技术水平高的同学带动学习吃力的同学，让学生在参与中学到新的知识，培养相互帮扶的能；通过探究发现新问题，再用已有知识解决问题六、教学策略在教学中，尽量采用合作探究式，提问式，案例分析，例题讲解，练习等手段七、教学手段多媒体教学八、教学过程（一）复习回顾：对数的三条运算性质：如果则,0,0,1,0>>≠>NMaa(1))(log log log MN N M a a a =+ (2)NM N M a a a log log log =- (3))(log log R n M n M a n a ∈=（二）新知探究1. 请同学们用计算器计算下列对数思考1： 如何计算15l 2og =？探究1：设15215log 2=⇒=x x两边取以10为底的对数得探究2: 两边取以e 为底的对数得思考2： 成立吗？且)10(2log 15log 15log 2≠>=a a a a 猜一猜：这就是对数换底公式，下面我们给出证明。

做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。

对数换底公式 一、换底公式：)0,1,0,1,0(log log log >≠>≠>=b c c a a a b b c c a 二、常用关系：1、自然对数与常用对数之间关系：e N N ln ln lg =2、)0,1,0(lg lg log >≠>=b a a ab b a 3、)1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a 4、 )0,0,1,0(log log ≠>≠>=m b a a b b m a a m5、)1,0,1,0(log log ≠>≠>=n b a a b n m ba m a n 三、例题：例1、求证：1log log =⋅a b b a例2、求下列各式的值。

(1)、log 98•log 3227(2)、（log 43+log 83）•(log 32+log 92)(3)、log 49•log 32(4)、log 48•log 39(5)、（log 2125+log 425+log 85）•(log 52+log 254+log 1258)例3、若log 1227=a,试用a 表示log 616.解：法一、换成以2为底的对数。

法二、换成以3为底的对数。

法三、换成以10为底的对数。

练习：已知log 189=a, 18b =5,求log 3645。

例4、已知12x =3,12y =2,求y x x+--1218的值。

练习：已知7log log ,5log log 248248=+=+a b b a ，求a •b 的值；例5、有一片树林，现有木材22000方，如果每年比上一年增长2.5%，求15年后约有多少方木材？解：设15年后约有木材A 方，则A=22000（1+2.5%)15=22000×1.02515lgA=lg22000+15×lg1.025=4.3424+15×0.0107=4.5029∴ A=131840教学无忧/专注中小学 教学事业！ 客服唯一联系qq 1119139686 欢迎跟我们联系答：15年后约有木材131840方。

《换底公式》尊敬的各位考官大家好，我是今天的06号考生，今天我说课的题目是换底公式。

接下来我将从教材分析、学情分析、教学过程（手势）等几个方面展开我的说课。

一、说教材从教材的地位和作用来看，本课选自北师大版高中数学必修一第四章第二节。

本课是在学生学习了对数的概念和运算性质的基础上研究换底公式，是解决对数运算的重要基础。

二、说学情深入了解学生是新课标要求下教师的必修课，学生在学习本节课之前已经学习了对数的概念和运算性质，具有一定的分析、归纳的能力。

三、说教学目标依据学生的知识水平和年龄特点，以及本节课在教材中所处的地位及作用，我制定了以下教学目标：1.理解并掌握换底公式，会用换底公式将一般对数化为常用对数或自然对数，并能进行简单的化简和证明。

2.通过换底公式的学习过程，使学生体会化归与转化的数学思想，培养学生分析、归纳的能力。

3.通过知识的形成过程，使学生体会知识之间的联系，培养学生数学运算的核心素养。

四、说教学重难点要上好一节数学课，在教学内容上一定要做到突出重点、突破难点。

根据本节课的内容，确定教学重点为换底公式的应用，我会通过例题来突出重点。

教学难点为换底公式的推导，我会通过详细板书举例论证来突破难点。

五、说教法和学法结合本节课的内容和学生的认知规律，我主要采用讲授法、启发法、小组合作、自主探究等教学方法。

在学法上,我主要采用观察法、合作交流法、归纳总结法等教学方法。

六、说教学过程古语说“凡事预则立，不预则废”，为了更好的以学定教，我会让学生在课前完成一份前置作业（预习单），分为两部分：1.是旧知连接，出一些本课知识紧密相关的已经学过的练习题，这样可以很好的摸清学生基础。

2.是新知速递，是让学生自己先进行预习，完成一些与本课知识相关的基础的练习，从而培养学生的预习能力。

为了实现这节课的教学目标，突出重点，突破难点，整节课的教学分几个部分进行环节一：创设情境，引入新课在这个环节，我会提问学生：“同学们，你能说出计算器里面的对数键有哪些吗？”“我要如何用计算器算出log a b的对数呢？”我这样设计的意图是通过设计问题情境，激发学生的学习兴趣，为后面的学习做铺垫。

《换底公式》本课是在学习了对数的概念和运算性质的基础上来研究换底公式，利用换底公式统一对数底数，即“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，一般利用它将对数转化为常用对数或自然对数来计算；在具体解题过程中，不仅要能正用换底公式，还要能熟练地逆用换底公式。

另外还安排了两个对数的应用问题，使学生进一步认识到数学在现实生活、生产中的重要作用。

教材通过实例研究引出换底公式，既明确学习换底公式的必要性，同时也在公式推导中应用对数的概念和对数的运算性质，在教学中可以根据学生的不同基础适当地增加具体实例，便于学生理解换底公式的本质，培养学生从具体的实例中抽象出一般公式的能力。

【知识与能力目标】理解从特殊类比推导对数的换底公式并掌握换底公式。

能够灵活地将换底公式与对数的运算性质结合起来进行较复杂的对数运算与实际运用。

通过阅读材料，了解对数的发展历史及对简化运算的作用，了解指数换底公式。

【过程与方法目标】通过设置问题串的方式，让学生通过在问题的引导下自主学习、合作学习经历推导对数的换底公式的过程，培养学生分析、综合解决问题的能力。

在换底公式的应用的过程中，引导学生自己思考发现规律，提高学生的探索发现并总结问题的能力。

【情感态度价值观目标】让学生探索研究对数的换底公式，培养学生的探究意识，培养学生的严谨的思维品质，感受对数的广泛应用，增强学习的积极性。

培养学生数学应用意识和科学分析问题的精神和态度。

【教学重点】换底公式得出的过程及其应用。

【教学难点】 推导换底公式过程中的“指、对转化”意识和对指数幂的换底想法。

换底公式的灵活应用。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

1、复习对数的定义及运算性质2、思考: 我们能否直接求出2log 16、lg15、ln 2、2log 15的值呢？借助科学计算器呢?这样如果能将其他底的对数转化成以10为底或以e 为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数。