北师大版数学高一必修1试题换底公式

【优化课堂】2016秋高中数学 3.4.2 换底公式练习 北师大版必修1[A 基础达标]1．式子log 916·log 881的值为( )A ．18 B.118C.83D.38解析：选C.原式＝log 3224·log 2334＝2log 32·43log 23＝83.故选C.2．已知ln 2＝a ，ln 3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为() A ．a －b B.a bC ．abD ．a ＋b解析：选B.因为ln 2＝a ，ln 3＝b ，所以log 32＝ln 2ln 3＝a b .3．已知2x ＝3y ≠1，则x y ＝( )A ．lg 23B ．lg 32C ．log 32D ．log 23解析：选D.令2x ＝3y ＝k (k >0且k ≠1)，所以x ≠y ≠0，x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，故x y ＝log2klog 3k ＝log k 3log k 2＝log 23.4．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于( )A ．9 B.19C ．25 D.125解析：选D.由换底公式，得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lgx lg 6＝2，lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125.5．若2.5x ＝1 000，0.25y ＝1 000，则1x －1y＝( ) A.13B ．3C ．－13D ．－3解析：选A.因为x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，所以1x ＝1log 2.51 000＝log 1 0002.5， 同理1y ＝log 1 0000.25，所以1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝lg 10lg 1 000＝13. 6．计算：2723－2log 23×log 218＋log 23×log 34＝________． 解析：原式＝33×23－3×log 22－3＋log 23(2log 32)＝9＋9＋2＝20. 答案：207．设2a ＝3b ＝6，则1a ＋1b＝________． 解析：因为2a ＝3b＝6，所以a ＝log 26，b ＝log 36，所以1a ＋1b ＝1log 26＋1log 36＝log 62＋log 63＝log 66＝1. 答案：1 8．若lg x －lg y ＝a ，则lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 210－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 210＝________． 解析：因为lg x －lg y ＝a ，所以lg x y ＝a ，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 210－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 210＝10⎣⎢⎡⎦⎥⎤lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＝10lg x y ＝10a .答案：10a9．常用对数lg N 和自然对数ln N 之间可以互相转换，即存在实数A ，B 使得lg N ＝A ·ln N ，ln N ＝B ·lg N ．试求A 、B 的值．解：因为lg N ＝ln N ln 10，所以A ＝1ln 10＝lg e ，因为ln N ＝lg N lg e ，所以B ＝1lg e＝ln 10. 10．解不等式9log 3x －7log 49x 2－12>0.解：因为9log 3x ＝(32)log 3x ＝32log 3x ＝3log 3x 2＝x 2，又log 49x 2＝log 7x 2log 749＝log 7x ，所以7log 49x 2＝7log 7x ＝x . 所以原不等式可化为x 2－x －12>0.解得x >4或x <－3.因为真数大于0，故原不等式的解集为{x |x >4}．[B 能力提升]1．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．log a b ·log c b ＝log c aB ．log a b ·log c a ＝log c bC ．log a (bc )＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c解析：选B.对A ，log a b ·log c b ＝lg b lg a ·lg b lg c≠log c a ，A 不恒成立；对B ，log a b ·log c a ＝lg b lg a ·lg a lg c ＝lg b lg c＝log c b ，B 恒成立；对C ，log a (bc )＝log a b ＋log a c ≠log a b ·log a c ，C 不恒成立；对D ，log a b ＋log a c ＝log a (bc )≠log a (b ＋c )．故选B.2．若函数y ＝2x ，y ＝5x 与直线l ：y ＝10的交点的横坐标分别为x 1和x 2，则1x 1＋1x 2＝________．解析：因为2x 1＝10，x 1＝log 210，5x 2＝10，x 2＝log 510，所以1x 1＋1x 2＝1log 210＋1log 510＝lg 2＋lg 5＝1. 答案：13．已知a ，b ，c 都是大于1的正数，m >0，且log a m ＝24，log b m ＝40，log abc m ＝12，求log c m 的值．解：因为log a m ＝24， log b m ＝40，log abc m ＝12，所以log m a ＝124，log m b ＝140，log m (abc )＝112. 因为log m (abc )＝log m a ＋log m b ＋log m c ，所以log m c ＝112－124－140＝160. 所以log c m ＝1log m c＝60. 4．(选做题)已知x ， y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z，2x ＝py .(1)求p 的值；(2)证明：1z －1x ＝12y. 解：(1)设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k >0且k ≠1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k .由2x ＝py 得：2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3k log 34， 因为log 3k ≠0，所以p ＝2log 34＝4log 32.(2)证明：因为1z －1x ＝1log 6k －1log 3k＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12log 4k ＝12y. 所以原式得证．。

换底公式基础全面练 (15分钟 30分)1．设a ＝lg 6，b ＝lg 20，则log 23＝( ) A ．a ＋b －1b ＋1 B ．a ＋b －1b －1 C ．a －b ＋1b ＋1 D ．a －b ＋1b －12．已知2x ＝3y≠1，则xy＝( )A ．lg 23B ．lg 32 C ．log 32 D ．log 233．化简：(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________．4．某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是μ＝μ0e－λt，其中μ0，λ是正常数．经检测，当t ＝2时，μ＝0.90μ0，则当稳定性系数降为0.50μ0时该种汽车已使用的年数为________．(结果精确到1，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)5．计算下列各式：(1)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)＋22log 5；(2)2lg 5＋23 lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22.综合提升练 (15分钟 30分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1.log 2716log 34的值为( ) A ．2 B ．32 C ．1 D ．232．若2.5x ＝1 000，0.25y＝1 000，则1x －1y＝( )A ．13B ．3C ．－13 D ．－33．若log 513 ·log 36·log 6x ＝2，则x ＝( )A ．9B ．19C ．25D ．1254．如果lg 2＝m ，lg 3＝n ，那么log 1512＝( ) A ．2m ＋n 1＋m ＋n B ．2mnn ＋1－m C ．2m ＋n 1－m ＋n D ．m ＋2n 1－m ＋n5．若a log 32＝1，b ＝log 38·log 82，则a ，b 关系不正确的是( ) A ．a >b B ．a >1，b <1 C ．ab ＝1 D ．a ＝b二、填空题(每小题5分，共15分) 6．下列式子表示正确的是________．①log a b ＝2lg b 2lg a ＝lg b 2lg a 2 ； ②log 32＝log （－3）2log （－3）3 ； ③log a 2b 2＝2lg b 2lg a ＝lg b lg a ； ④log 332·log 227＝15.7．计算：log 2125 ·log 318 ·log 519 ＝________．8．已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z，且2x ＝py ，则p ＝________，1x ，1y ，1z的关系为________．【变式训练】已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg 3＝______．三、解答题(每小题10分，共20分)9．求下列各式的值：(1)log427·log258·log95.(2)log225·log3116·log519.10．设a>0，a≠1，x，y满足log a x＋3log x a－log x y＝3，用log a x表示log a y，并求当x取何值时，log a y取得最小值．创新练1．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：2．若函数y＝2x，y＝5x与直线l：y＝10的交点的横坐标分别为x1和x2，求1x1＋1x2.参考答案：基础全面练 (15分钟 30分)1．设a ＝lg 6，b ＝lg 20，则log 23＝( ) A ．a ＋b －1b ＋1 B ．a ＋b －1b －1 C ．a －b ＋1b ＋1 D ．a －b ＋1b －1【解析】选D.因为a ＝lg 6＝lg 2＋lg 3，b ＝lg 20＝1＋lg 2，所以log 23＝lg 3lg 2 ＝a －b ＋1b －1. 2．已知2x＝3y≠1，则xy＝( )A ．lg 23B ．lg 32 C ．log 32 D ．log 23【解析】选D.令2x＝3y＝k (k >0且k ≠1)， 所以x ≠y ≠0，x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，故x y ＝log 2k log 3k ＝log k 3log k 2＝log 23. 3．化简：(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)＝________． 【解析】原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8 ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3＝56 log 23·32 log 32＝54 . 答案：544．某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是μ＝μ0e－λt，其中μ0，λ是正常数．经检测，当t ＝2时，μ＝0.90μ0，则当稳定性系数降为0.50μ0时该种汽车已使用的年数为________．(结果精确到1，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 【解析】由0.90μ0＝μ0(e －λ)2，得e－λ＝0.90 ，又0.50μ0＝μ0(e－λ)t，则12＝(0.90 )t，两边取常用对数，得lg 12 ＝t2 lg 0.90，故t ＝2lg 21－2lg 3 ＝2×0.301 01－2×0.477 1≈13.答案：135．计算下列各式：(1)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)＋22log 5；(2)2lg 5＋23 lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22.【解析】(1)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)＋22log 5＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2 ＋5＝lg 2lg 3 ·lg 3lg 2 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13 ＋5＝32 ×56 ＋5＝254 . (2)2lg 5＋23 lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 22＝2lg 5＋23 lg 23＋lg 5·lg (4×5)＋lg 22＝2lg 5＋2lg 2＋2lg 5·lg 2＋lg 25＋lg 22 ＝2(lg 5＋lg 2)＋2lg 5·lg 2＋lg 25＋lg 22 ＝2＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋1＝3. 一、选择题(每小题5分，共25分) 1.log 2716log 34的值为( ) A ．2 B ．32 C ．1 D ．23【解析】选D.原式＝log 3342log 34 ＝23log 34log 34 ＝23.2．若2.5x ＝1 000，0.25y＝1 000，则1x －1y＝( )A ．13B ．3C ．－13D ．－3 【解析】选A.因为x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000， 所以1x ＝1log 2.51 000 ＝log 1 0002.5，同理1y＝log 1 0000.25，所以1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝lg 10lg 1 000 ＝13 .3．若log 513 ·log 36·log 6x ＝2，则x ＝( )A ．9B ．19C ．25D ．125【解析】选D.因为由换底公式，得lg13lg 5 ·lg 6lg 3 ·lg x lg 6 ＝2，所以－lg x lg 5 ＝2. 所以lg x ＝－2lg 5＝lg 125 .所以x ＝125 .4．如果lg 2＝m ，lg 3＝n ，那么log 1512＝( ) A ．2m ＋n 1＋m ＋n B ．2mnn ＋1－m C ．2m ＋n 1－m ＋n D ．m ＋2n 1－m ＋n【解析】选C.因为lg 2＝m ，lg 3＝n ， 所以log 1512＝lg 12lg 15 ＝2lg 2＋lg 3lg 3＋lg 5＝2m ＋n n ＋（lg 10－lg 2） ＝2m ＋nn ＋1－m.【误区】本题求解时，由于对数的运算性质背错导致可能选B. 5．若a log 32＝1，b ＝log 38·log 82，则a ，b 关系不正确的是( ) A ．a >b B ．a >1，b <1 C ．ab ＝1 D ．a ＝b【解析】选D.因为b ＝log 38·log 82＝log 32，a log 32＝1，即a ＝1log 32 ，所以ab ＝1，a >1，0<b <1，显然a >b ，所以a ，b 关系不正确的是D. 二、填空题(每小题5分，共15分) 6．下列式子表示正确的是________．①log a b ＝2lg b 2lg a ＝lg b 2lg a 2 ； ②log 32＝log （－3）2log （－3）3 ； ③log a 2b 2＝2lg b 2lg a ＝lg b lg a ； ④log 332·log 227＝15.答案：①④7．计算：log 2125 ·log 318 ·log 519＝________．【解析】原式＝lg 125lg 2 ·lg 18lg 3 ·lg 19lg 5 ＝（－2lg 5）·（－3lg 2）·（－2lg 3）lg 2·lg 3·lg 5 ＝－12. 答案：－128．已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z，且2x ＝py ，则p ＝________，1x ，1y ，1z的关系为________．【解析】设3x ＝4y ＝6z＝k (显然k >0，且k ≠1)， 则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k ； 由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3klog 34 ；因为log 3k ≠0，所以p ＝2log 34； 1z －1x ＝1log 6k －1log 3k＝log k 6－log k 3＝log k 2， 又12y ＝12 log k 4＝log k 2，所以1z －1x ＝12y . 答案：2log 34 1z －1x ＝12y【变式训练】已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg 3＝______．【解析】由已知得a ＝lg 9lg 8 ＝2lg 33lg 2 ①，b ＝lg 5lg 2 ＝1－lg 2lg 2 ②，由②得lg 2＝1b ＋1 ③，把③代入①得a ＝2lg 33b ＋1 ，所以lg 3＝3a2（b ＋1） .答案：3a2（b ＋1）三、解答题(每小题10分，共20分) 9．求下列各式的值： (1)log 427·log 258·log 95. (2)log 225·log 3116 ·log 519.【解析】(1)原式＝lg 27lg 4 ·lg 8lg 25 ·lg 5lg 9＝3lg 32lg 2 ·3lg 22lg 5 ·lg 52lg 3 ＝98 . (2)原式＝log 252·log 32－4·log 53－2＝2lg 5lg 2 ·（－4）lg 2lg 3 ·（－2）lg 3lg 5＝16. 10．设a >0，a ≠1，x ，y 满足log a x ＋3log x a －log x y ＝3，用log a x 表示log a y ，并求当x 取何值时，log a y 取得最小值．【解析】由换底公式，得log a x ＋3log a x －log a y log a x ＝3，整理得(log a x )2＋3－log a y ＝3log a x ， 所以log a y ＝(log a x )2－3log a x ＋3＝⎝⎛⎭⎪⎫log a x －32 2＋34 . 所以当log a x ＝32，即x ＝a 32时，log a y 取得最小值34 .创新练1．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：【解析】因为lg 9＝2lg 3，lg 8＝3(1－lg 5)，所以在lg 3，lg 9，lg 5，lg 8中若有一个错，必还有一个错，所以这4个对数的值都对，所以lg 15的值错． 又lg 15＝lg 3＋lg 5，则lg 15＝(2a －b )＋(a ＋c )＝3a －b ＋c . 答案：15 3a －b ＋c2．若函数y ＝2x ，y ＝5x与直线l ：y ＝10的交点的横坐标分别为x 1和x 2，求1x 1 ＋1x 2.【解析】因为2x 1＝10，x 1＝log 210，5x 2＝10，x 2＝log 510， 所以1x 1 ＋1x 2 ＝1log 210 ＋1log 510 ＝lg 2＋lg 5＝1.。

2．2 换底公式必备知识基础练知识点一 利用换底公式求值1．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．52．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________．3．设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值．知识点二 利用换底公式计算4．(log 134)·(log 227)＝( )A ．23B ．32C ．6D ．－6 5．计算：(1)log 927；(2)log 21125 ×log 3132 ×log 513； (3)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92).知识点三 利用换底公式证明6．证明：log a a b m ＝m n log a b (a >0，且a ≠1，n ≠0).7．已知2x ＝3y ＝6z ≠1，求证：1x ＋1y ＝1z.关键能力综合练1.log 29log 23＝( )A ．12B ．2C ．32D ．922．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝( )A ．a ＋bB ．a －bC ．abD ．a b3．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( )A ．10B ．10C ．20D ．1004.1log 1419 ＋1log 1513＝( )A ．lg 3B ．－lg 3C ．1lg 3D ．－1lg 35．(多选题)已知2x ＝3y ＝a ，且(x －1)(y －1)＝1，则a 的值可能为() A ．1 B ．2 C ．3 D ．66．(探究题)设a ，b ，c 都是正数，且4a ＝6b ＝9c ，那么( )A ．ab ＋bc ＝2acB ．ab ＋bc ＝acC ．2c ＝2a ＋1bD ．1c ＝2b －1a7．已知log 32＝m ，则log 3218＝________．(用m 表示)8．(易错题)计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258).9．计算：5log 53－log 311·log 1127＋log 82＋log 48.核心素养升级练1．(多选题)已知正数x ，y ，z 满足等式2x ＝3y ＝6z ，下列说法正确的是( )A ．x >y >zB ．3x ＝2yC ．1x ＋1y －1z ＝0D ．1x －1y ＋1z＝0 2．(学科素养—逻辑推理)已知a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z＝0，求abc 的值．2．2 换底公式必备知识基础练1．答案：A解析：∵log a x ＝1log x a ＝2，∴log x a ＝12. 同理log x c ＝16 ，log x b ＝13.∴log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c＝1. 2．答案：9解析：由换底公式，得lg 4lg 3 ×lg 8lg 4 ×lg m lg 8 ＝lg m lg 3＝log 416＝2，∴lg m ＝2lg 3＝lg 9，∴m ＝9.3．解析：∵3x ＝36，4y＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式，得 x ＝log 3636log 363 ＝1log 363 ，y ＝log 3636log 364 ＝1log 364， ∴1x＝log 363，1y ＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4) ＝log 3636＝1.4．答案：D解析：(log 13 4)·(log 227)＝(log 13 22)·(log 2(13 )－3)＝(2log 132)·(－3log 213 )＝－6·lg 2lg 13·lg 13lg 2 ＝－6. 5．解析：(1)log 927＝log 327log 39 ＝log 333log 332 ＝3log 332log 33 ＝32. (2)log 21125 ×log 3132 ×log 513＝log 25－3×log 32－5×log 53－1＝－3log 25×(－5log 32)×(－log 53)＝－15×lg 5lg 2 ×lg 2lg 3 ×lg 3lg 5＝－15. (3)原式＝(lg 3lg 4 ＋lg 3lg 8 )(lg 2lg 3 ＋lg 2lg 9) ＝(lg 32lg 2 ＋lg 33lg 2 )(lg 2lg 3 ＋lg 22lg 3) ＝12 ＋14 ＋13 ＋16 ＝54. 6．证明： log a a b m ＝lg b m lg a n ＝m lg b n lg a ＝m n log a b .7．证明：设2x ＝3y ＝6z ＝k (k ≠1)，∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k ，∴1x＝log k 2，1y ＝log k 3，1z ＝log k 6＝log k 2＋log k 3， ∴1z ＝1x ＋1y. 关键能力综合练1．答案：B解析：由换底公式得log 39＝log 29log 23 ，又∵log 39＝2，∴log 29log 23 ＝2. 2．答案：C解析：log 27＝log 23×log 37＝ab .3．答案：A解析：∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m .1a ＋1b＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m 2＝10.又m >0，∴m ＝10 ，选A.4．答案：C解析：原式＝log 19 14 ＋log 13 15 ＝log 13 12 ＋log 13 15 ＝log 13110 ＝log 310＝1lg 3 .选C. 5．答案：AD解析：由(x －1)(y －1)＝1，可得xy ＝x ＋y .当xy ＝0时，x ＝y ＝0，此时a ＝1满足；当xy ≠0时，由1x ＋1y＝1. 又2x ＝3y ＝a ，所以x ＝log 2a ，y ＝log 3a ，则1x ＝1log 2a ＝log a 2，1y ＝1log 3a＝log a 3. 所以有1x ＋1y＝log a 2＋log a 3＝log a 6＝1，解得a ＝6. 综上所述，a ＝1或a ＝6.故选AD.6．答案：AD解析：由a ，b ，c 都是正数，可设4a ＝6b ＝9c ＝M ，∴a ＝log 4M ，b ＝log 6M ，c ＝log 9M ，则1a ＝log M 4，1b ＝log M 6，1c＝log M 9，∵log M 4＋log M 9＝2log M 6，∴1c ＋1a ＝2b ，即1c ＝2b －1a，去分母整理得ab ＋bc ＝2ac .故选AD. 7．答案：m ＋25m解析：log 23＝1log 32 ＝1m ，log 3218＝lg 18lg 32 ＝lg 2＋2lg 35lg 2 ＝15 ＋25 log 23＝15 ＋25m＝m ＋25m. 8．解析：解法一：原式＝(log 253＋log 225log 24 ＋log 25log 28 )(log 52＋log 54log 525 ＋log 58log 5125)＝(3log 25＋2log 252log 22 ＋log 253log 22 )(log 52＋2log 522log 55 ＋3log 523log 55 )＝(3＋1＋13)log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25＝13. 解法二：原式＝(lg 125lg 2 ＋lg 25lg 4 ＋lg 5lg 8 )(lg 2lg 5 ＋lg 4lg 25 ＋lg 8lg 125 )＝(3lg 5lg 2 ＋2lg 52lg 2 ＋lg 53lg 2 )(lg 2lg 5 ＋2lg 22lg 5 ＋3lg 23lg 5 )＝(13lg 53lg 2 )·(3lg 2lg 5)＝13. 解法三：原式＝(log 2 53＋log 2252＋log 235)(log 52＋log 5222＋log 5323)＝(3log 2 5＋log 2 5＋13 log 2 5)(log 5 2＋log 5 2＋log 5 2)＝(3＋1＋13 )log 2 5·3log 5 2＝3×133＝13. 9．解析：原式＝3－log 311×3log 113＋13 log 22＋32log 22 ＝3－3＋13 ＋32 ＝116 . 核心素养升级练1．答案：AC解析：设2x ＝3y ＝6z＝k (k >1)，则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k .因为x ＝log 2k ＝1log k 2 ，y ＝log 3k ＝1log k 3 ，z ＝log 6k ＝1log k 6 ，且0<log k 2<log k 3<log k 6， 所以1log k 2 >1log k 3 >1log k 6，即x >y >z ，故A 正确； 3x ＝3ln k ln 2 ，2y ＝2ln k ln 3 ，则3x 2y ＝3ln 32ln 2>1，故B 错误； 1x ＋1y ＝log k 2＋log k 3＝log k 6＝1z，故C 正确；1x －1y ＋1z＝log k 2－log k 3＋log k 6＝log k 4≠0，故D 错误．故选AC. 2．解析：解法一：设a x ＝b y ＝c z ＝t ，则x ＝log a t ，y ＝log b t ，z ＝log c t ， ∴1x ＋1y ＋1z ＝1log a t ＋1log b t ＋1log c t＝log t a ＋log t b ＋log t c ＝log t (abc )＝0， ∴abc ＝t 0＝1，即abc ＝1.解法二：设a x ＝b y ＝c z ＝t ，∵a ，b ，c 是不等于1的正数，∴t >0且t ≠1，∴x ＝lg t lg a ，y ＝lg t lg b ，z ＝lg t lg c， ∴1x ＋1y ＋1z ＝lg a lg t ＋lg b lg t ＋lg c lg t ＝lg a ＋lg b ＋lg c lg t， ∵1x ＋1y ＋1z＝0，且lg t ≠0， ∴lg a ＋lg b ＋lg c ＝lg (abc )＝0，∴abc ＝1.。

第四章 对数运算与对数函数§2 对数的运算2.2 换底公式知识点 对数的换底公式1.☉%8#65￥@7￥%☉(2020·银川一中月考)log 29·log 34=( )。

A.14 B.12C.2D.4 答案：D解析：原式=log 232·log 322=4log 23·log 32=4·lg3lg2·lg2lg3=4。

故选D 。

2.☉%11##*4#3%☉(2020·菏泽高一检测)log 849log 27的值是( )。

A.2B.32C.1D.23答案：D 解析：log 849log 27=log 272log 223÷log 27=23。

故选D 。

3.☉%0#90#￥0*%☉(2020·江西赣州十三县市高一期中考试)若log 2x ·log 34·log 59=8,则x 等于( )。

A.8 B.25 C.16 D.4 答案：B解析：因为log 2x ·log 34·log 59=lgxlg2·lg4lg3·lg9lg5=lgx lg2·2lg2lg3·2lg3lg5=8,所以lg x =2lg 5=lg 25,所以x =25。

故选B 。

4.☉%#*#29#62%☉(2020·白城一中月考)化简:log 212+log 223+log 234+…+log 21516等于( )。

A.5 B.4 C.-5 D.-4 答案：D解析：原式=log 2(12×23×34×…×1516)=log 2116=-4。

故选D 。

5.☉%￥7@@74#3%☉(2020·闽侯八中高一月考)若log 34·log 8m =log 416,则m 等于( )。

A.3 B.9 C.18 D.27 答案：D解析：原式可化为log 8m =2log 34,所以13log 2m =2log 43,所以m 13=3,m =27。

2.2 换底公式[情境导入]计算器上，只有常用对数键“log ”和自然对数键“ln ”，要计算log a b 必须将它转换成常用对数或自然对数．[问题] 你知道如何转换吗？[新知初探]知识点 换底公式一般地，若a >0，b >0，c >0，且a ≠1，c ≠1，则log a b ＝ ．这个结论称为对数的换底公式．[点一点] 换底公式的推论[想一想]1．对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？2．你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论log N n M m ＝mnlog N M 吗？[做一做]1．log 6432的值为( ) A ．12B ．2C ．56D ．652．若log 23＝a ，则log 49＝( ) A ．a B ．a C ．2aD ．a 23．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________．——研教材·典例精析——题型一 对数换底公式的应用 [例1] 计算：(1)log 29·log 34； (2)log 52×log 79log 5 13×log 734.[通性通法]利用换底公式求值的思想与注意点[跟踪训练]1．计算(log 32＋log 23)2－log 32log 23－log 23log 32的值为( )A ．log 26B ．log 36C ．2D ．12．若log 2x ·log 34·log 59＝8，则x ＝( ) A ．8 B ．25 C ．16D ．4题型二 用已知对数式表示求值问题[例2] 已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示)[母题探究]1．(变设问)若本例条件不变，如何求log 1845(用a ，b 表示)?2．(变条件)若将本例条件“log 189＝a ，18b ＝5”改为“log 94＝a ，9b ＝5”，则又如何求解呢？[通性通法]求解与对数有关的各种求值问题应注意如下三点 (1)利用对数的定义可以将对数式转化为指数式； (2)两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法；(3)对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题．[跟踪训练]设a ＝log 36，b ＝log 520，则log 215＝( ) A.a ＋b －3（a －1）（b －1） B.a ＋b －2（a －1）（b －1） C.a ＋2b －3（a －1）（b －1）D.2a ＋b －3（a －1）（b －1）题型三 有附加条件的对数式求值问题[例3] (1)已知a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z ＝0，则abc 的值为________；(2)已知5x ＝2y ＝(10)z ，且x ，y ，z ≠0，则z x ＋zy的值为________．[通性通法]与对数有关的带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．[跟踪训练]已知实数a ，b ，c ，d 满足5a ＝4，4b ＝3，3c ＝2，2d ＝5，则(abcd )2 022＝________．[随堂检测]1．式子log 32·log 227的值为( ) A ．2 B ．3 C ．13D ．－32．在1log b a ，lg alg b ，log b a ，log a n b n (a ，b 均为不等于1的正数)中，与log a b 一定相等的有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个3．计算：1＋lg 2·lg 5－lg 2·lg 50－log 35·log 259·lg 5＝( ) A ．1 B ．0 C ．2D ．44．若实数a ，b ，c 满足25a ＝404b ＝2 020c ＝2 019，则下列式子正确的是( ) A ．1a ＋2b ＝2cB ．2a ＋2b ＝1cC ．1a ＋1b ＝2cD ．2a ＋1b ＝2c5．方程log 2x ＋1log （x ＋1）2＝1的解是________．参考答案——读教材·知识梳理——[新知初探]知识点 换底公式 log c blog c a[想一想]1．提示：log a b ＝lg b lg a ，log a b ＝ln bln a.2．提示：log N nM m＝lg M m lg N n ＝m lg M n lg N ＝m n ·lg M lg N ＝mn log NM .[做一做]1．【答案】C【解析】log 6432＝lg 32lg 64＝lg 25lg 26＝5lg 26lg 2＝56.2．【答案】B【解析】log 49＝lg 9lg 4＝2lg 32lg 2＝log 23＝a .故选B.3．【答案】9【解析】利用换底公式，得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg mlg 8＝2， ∴lg m ＝2lg 3＝lg 9，于是m ＝9.——研教材·典例精析——题型一 对数换底公式的应用 [例1] 解：(1)由换底公式可得， log 29·log 34＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3lg 2·2lg 2lg 3＝4.(2)原式＝log 52log 513×log 79log 734＝log 132×log 349＝lg 2lg 13×lg 9lg 413＝12lg 2－lg 3×2lg 323lg 2＝－32. [跟踪训练]1．【答案】C【解析】原式＝(log 32)2＋2log 32×log 23＋(log 23)2－(log 32)2－(log 23)2＝2log 32×log 23 ＝2×lg 2lg 3×lg 3lg 2＝2.2．【答案】B【解析】∵log 2x ·log 34×log 59＝lg x lg 2·lg 4lg 3·lg 9lg 5＝lg x lg 2×2lg 2lg 3×2lg 3lg 5＝8，∴lg x ＝2lg 5＝lg 25，∴x ＝25. 题型二 用已知对数式表示求值问题 [例2] 解：因为18b ＝5，所以b ＝log 185. 所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18（5×9）log 18（2×18）＝log 185＋log 189log 182＋log 1818＝a ＋b 1＋log 182 ＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－log 189＝a ＋b 2－a. [母题探究]1．解：因为18b ＝5，所以log 185＝b ，所以log 1845＝log 189＋log 185＝a ＋b . 2．解：因为9b ＝5，所以log 95＝b . 所以log 3645＝log 945log 936＝log 9（5×9）log 9（4×9）＝log 95＋log 99log 94＋log 99＝b ＋1a ＋1. [跟踪训练]【答案】D【解析】∵a ＝log 36＝log 26log 23＝1＋log 23log 23，∴log 23＝1a －1.∵b ＝log 520＝log 220log 25＝2＋log 25log 25，∴log 25＝2b －1.∴log 215＝log 23＋log 25＝1a －1＋2b －1＝2a ＋b －3（a －1）（b －1）.题型三 有附加条件的对数式求值问题 [例3] 【答案】(1)1 (2)2【解析】(1)法一：设a x ＝b y ＝c z ＝t ，则x ＝log a t ，y ＝log b t ，z ＝log c t ，∴1x ＋1y ＋1z ＝1log a t ＋1log b t ＋1log c t ＝log t a ＋log t b ＋log t c ＝log t (abc )＝0，∴abc ＝t 0＝1. 法二：∵a ，b ，c 是不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，∴令a x ＝b y ＝c z ＝t >0，∴x ＝lg t lg a ，y ＝lg t lg b ，z ＝lg t lg c， ∴1x ＋1y ＋1z ＝lg a lg t ＋lg b lg t ＋lg c lg t ＝lg a ＋lg b ＋lg clg t . ∵1x ＋1y ＋1z＝0，且lg t ≠0， ∴lg a ＋lg b ＋lg c ＝lg(abc )＝0，∴abc ＝1.(2)令5x ＝2y ＝(10)z ＝k ，则x ＝log 5k ，y ＝log 2k ，12z ＝lg k ，z ＝2lg k ，∴z x ＋z y ＝2lg k log 5k ＋2lg k log 2k＝2lg k (log k 5＋log k 2)＝2lg k ·log k 10＝2·log 10k ·log k 10＝2. [跟踪训练]【答案】1【解析】将5a ＝4，4b ＝3，3c ＝2，2d ＝5转化为对数式， 得a ＝log 54＝ln 4ln 5，b ＝ln 3ln 4，c ＝ln 2ln 3，d ＝ln 5ln 2，所以(abcd )2 022＝⎝⎛⎭⎫ln 4ln 5×ln 3ln 4×ln 2ln 3×ln 5ln 22 022＝12 022＝1.[随堂检测]1．【答案】B【解析】log 32·log 227＝lg 2lg 3·lg 27lg 2＝lg 27lg 3＝log 327＝3，故选B.2．【答案】C【解析】1log b a ＝log a b ，lg a lg b ＝log b a ，log b a ＝log b a ，log a n b n ＝log a b ，故选C.3．【答案】B【解析】原式＝1＋lg 2·lg 5－lg 2(1＋lg 5)－lg 5 lg 3·2lg 32lg 5·lg 5＝1＋lg 2·lg 5－lg 2－lg 2·lg 5－lg 5＝1－(lg 2＋lg 5)＝1－lg 10＝1－1＝0. 4．【答案】A【解析】由已知，得52a ＝404b ＝2 020c ＝2 019，得2a ＝log 52 019，b ＝log 4042 019， c ＝log 2 0202 019，所以12a ＝log 2 0195，1b ＝log 2 019404，1c ＝log 2 0192 020，而5×404＝2 020，所以12a ＋1b ＝1c ，即1a ＋2b ＝2c ，故选A.5．【答案】1【解析】原方程可变为log 2x ＋log 2(x ＋1)＝1，即log 2[x (x ＋1)]＝1， ∴x (x ＋1)＝2，解得x ＝1或x ＝－2.又⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1.即x >0，∴x ＝1.。

《换底公式》提高练习1．log 8127等于( )A.34B.43C.12D.132.log 2716log 34的值为( ) A ．2 B.32C ．1 D.233．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝________.(用a ，b 表示)4．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M ＝23lg E －3.2，其中E (焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹．5．设a ＝log 132，b ＝log 1213，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3，则( ) A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c 6.1log 1419＋1log 1513等于( )A ．lg3B ．－lg3 C.1lg3 D ．－1lg37．化简下列各式 (1)(log 25＋log 25)log 52；(2)2log 39＋log 93－0.70－2－1＋2512 . 8. 设a >0，a ≠1，x ，y 满足log a x ＋3log x a －log x y ＝3，用log a x 表示log a y ，并求当x 取何值时，log a y 取得最小值．9．化简：log 23·log 34·log 45·log 52.10．设a ，b ，c 是直角三角形的三边长，其中c 为斜边，且c ≠1，求证：log (c ＋b )a ＋log (c －b )a ＝2log (c ＋b )a ·log (c －b )a答案和解析【答案】1. A2. D3. ab4. 10005. B6. C7. （1）52 （2）8。

4.2 换底公式知识点一：对数的换底公式 1．log 3264的值是 A.65 B.56 C ．2 D.12 2．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于A ．9 B.19 C ．25 D.1253.log 89log 23的值是 A.23 B ．1 C.32 D ．2 4．log 25·log 38·log 59的值是A ．5B ．6C ．7D ．8 5.1145111193log log等于A ．lg3B ．－lg3 C.1lg3 D ．－1lg36．设N ＝1log 23＋1log 53，则A ．N ＝2B ．N ＝－2C ．N ＜－2D ．N ＞27．log 3125·log 7181·log 5149的值是__________．8．计算：(1)log 23·log 27125； (2)log 2125·log 318·log 519；(3)log 43·log 925·log 58.知识点二：换底公式的简单应用9．已知(11.2)a ＝1 000，(0.011 2)b ＝1 000，那么1a －1b等于A ．1B ．2C ．3D ．410．若lg2＝m ，log 310＝1n ，则log 56等于A.m ＋2n m ＋1B.mn 1－mC.m ＋n 1－mD.mn 1＋m11．设a ＞1，b ＞1，p ＝log b (log b a )log b a，则a p 等于A ．1B ．log a bC ．log b aD ．b 12．(易错题)已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg3等于 A.a b －1 B.32(b －1) C.3a 2(b ＋1)D.3(a －1)2b13．已知log 23＝a ，log 25＝b ，试用a 、b 表示log 295、log 315.知识点三：对数的实际应用14．抽气机每次抽取容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽几次？(lg2≈0.301 0)15．2009年我国国民生产总值为a 亿元，如果年平均增长率8%，那么经过多少年后国民生产总值是2009年的2倍？(lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1，lg1.08≈0.033 4，精确到1年)能力点一：利用换底公式化简、求值 16.log 2716log 34的值为A ．2 B.32 C ．1 D.2317．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 518的值等于A.2a ＋b 1＋aB.a ＋2b 1＋aC.2a ＋b 1－aD.a ＋2b 1－a 18．log 2125·log 38·15log 27的值是__________． 19．已知log 73＝a ，log 74＝b ，则log 4948的值为__________(用a 、b 表示)． 20．利用对数的换底公式化简下列各式： (1)log 56·log 67·log 78·log 89·log 910；(2)(log 25＋log 415)(log 52＋log 2512)．21.求(log 23＋log 89)(log 34＋log 98＋log 32)的值．22．(易错题)(1)已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a 、b 表示log 1456； (2)已知log 32＝a,3b ＝5，用a 、b 表示log 330； (3)已知log 189＝a,18b ＝5，用a 、b 表示log 3645.23．求(log 23＋log 49＋log 827＋…＋log 2n 3n )·log 9n32的值．能力点二：综合应用24．设a ，b ，c 都是正数，且3a ＝4b ＝6c ，那么 A.1c ＝1a ＋1b B.2c ＝2a ＋1b C.1c ＝2a ＋2b D.2c ＝1a ＋2b 25．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y等于A.13 B ．3 C ．－13 D ．－3 26．若y ＝log 56·log 67·log 78·log 89·log 910，则有 A ．y ∈(0,1) B ．y ∈(1,2)C ．y ∈(2,3)D ．y ＝1或y ＝227．已知2log x 25－3log 25x ＝1，则x 的值是__________．28．若2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b＝__________.29．已知log m 7log m 56＝a ，log n 8＝blog n 56(m ，n ＞0且m ≠1，n ≠1)，则a ＋b ＝__________，71a＝__________.30．已知常数a(a ＞0且a ≠1)，变量x ，y 之间有关系：log a x ＋3log x a －log x y ＝3，若y 有最小值8，求a 的值．31．已知a ＞0且a ≠1，若log 2a ＋log a 8＝4，则： (1)判断函数f(x)＝x a ＋3的奇偶性； (2)计算log a 27·log 364的值； (3)判断函数g(x)＝a x 的单调性．答案与解析基础巩固1．A 2.D 3.A 4.B5．C 原式＝lg 14lg 19＋lg 15lg 13＝lg4lg9＋lg5lg3＝2lg22lg3＋lg5lg3＝lg2＋lg5lg3＝1lg3.6．D ∵N ＝log 32＋log 35＝log 310， ∴3N ＝10＞9＝32.由y ＝3x 是R 上的增函数，知N ＞2. 7．－16 原式＝log 325－1·log 781－1·log 549－1 ＝－log 325·log 781·log 549 ＝－lg25lg3·lg81lg7·lg49lg5＝－2lg5lg3·4lg3lg7·2lg7lg5＝－16.8．解：(1)原式＝lg3lg2·3lg53lg3＝lg5lg2＝log 25.(2)原式＝lg 125lg2·lg 18lg3·lg 19lg5＝－2lg5lg2·－3lg2lg3·－2lg3lg5＝－12.(3)原式＝lg3lg4·lg25lg9·lg8lg5＝lg32lg2·2lg52lg3·3lg2lg5＝32.9．A 由(11.2)a ＝1 000，得a ＝log 11.21 000； 由(0.011 2)b ＝1 000，得b ＝log 0.011 21 000.∴1a －1b ＝1log 11.21 000－1log 0.011 21 000＝log 1 00011.2－log 1 0000.011 2＝log 1 00011.20.011 2＝log 10001 000＝1.10．C ∵lg2＝m ，log 310＝1lg3＝1n，lg3＝n ， ∴log 56＝lg6lg5＝lg2＋lg31－lg2＝m ＋n1－m .11．C 由换底公式，得p ＝log b (log b a )log b a＝log a (log b a)，∴a p ＝log b a ，故选C. 12．C ∵log 89＝log 2332 ＝23log 23＝a ， ∴log 23＝32a.又log 25＝b ，∴lg3＝log 23log 210＝log 23log 25＋1＝32a b ＋1＝3a 2(b ＋1). 点评：换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，使用的关键是选择谁为底数，换底的目的是实现对数式的求值、化简、证明．本题中已知与未知对数式的底数不同，所以为了求出未知对数式，就要利用换底公式，将未知换成已知对数式的底数．若将底数换成谁都搞不清楚，该类问题就会无从入手，或乱换一气使运算量加大，甚至导致错解．13．解：∵log 23＝a ，log 25＝b ， ∴log 295＝log 29－log 25＝2log 23－log 25＝2a －b ， log 315＝log 215log 23＝log 23＋log 25log 23＝a ＋ba.14．解：设抽n 次可使容器内的空气等于原来的0.1%，则 a·(1－60%)n ＝a ×0.1%(设原来容器中的空气体积为a)． 即0.4n ＝0.001.∴n ＝log 0.40.001＝lg0.001lg0.4＝－32lg2－1≈7.5.故至少需要抽8次，才能使容器内的空气少于原来的0.1%. 15．解：设经过x 年后国民生产总值是2009年的两倍． 经过1年，总产值为a(1＋8%)， 经过2年，总产值为a(1＋8%)2， …经过x 年，总产值为a(1＋8%)x . 由题意得a(1＋8%)x ＝2a ， 即1.08x ＝2.方法一：两边取常用对数，得lg1.08x ＝lg2， 即x ＝lg2lg1.08≈0.301 00.033 4≈9(年)． 方法二：(用换底公式)∵1.08x ＝2， ∴x ＝log 1.082＝lg2lg1.08≈9(年)．答：约经过9年，国民生产总值是2009年的2倍．能力提升16．D 原式＝13log 316log 34＝13log 416＝23. 17．D log 518＝lg18lg5＝lg2＋2lg31－lg2＝a ＋2b1－a. 18．18 原式＝－2lg5lg2·3lg2lg3·3lg3－lg5＝18.19.a ＋2b 2 ∵log 73＝a ，log 74＝b ，∴log 4948＝log 748log 749＝log 7(3×16)2＝log 73＋log 7422＝a ＋2b2.20．解：(1)原式＝lg6lg5·lg7lg6·lg8lg7·lg9lg8·lg10lg9＝lg10lg5＝log 510.(2)原式＝(lg5lg2＋lg 15lg4)(lg2lg5＋lg 12lg25)＝(lg5lg2－lg52lg2)(lg2lg5－lg22lg5)＝1－12－12＋14＝14.21.解：原式＝(log 23＋log 29log 28)(log 322＋log 38log 39＋log 32)＝(log 23＋23log 23)·(2log 32＋32log 32＋log 32)＝(53log 23)(92log 32)＝152log 23·log 32＝152. 22．解：(1)由log 23＝a ，log 37＝b 得log 23·log 37＝log 27＝ab. ∴log 1456＝log 256log 214＝log 2(7×8)log 2(2×7)＝log 27＋log 28log 22＋log 27＝3＋log 271＋log 27＝3＋ab 1＋ab .(2)∵3b ＝5，∴b ＝log 35.又∵log 32＝2，∴log 330＝12log 3(2×3×5)＝12(log 32＋log 33＋log 35)＝12(a ＋b ＋1)． (3)∵18b ＝5，∴log 185＝b. 又∵log 189＝a ，∴log 182＝1－log 189＝1－a. ∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(18×2)＝log 185＋log 1891＋log 182＝a ＋b1＋1－a ＝a ＋b2－a. 点评：用已知对数表示新的未知对数，一般方法是运用对数的运算法则及有关公式，将所求对数式转化为含有已知对数式的代数和的形式．只有将未知对数式的真数分解成已知对数的真数的积、商、幂的形式，才好利用运算性质．但要注意运算性质只有在同底的情况下才能运用，当底数不同时，要用换底公式，一般要换成已知对数的底数(如第(1)(3)小题)．23．解：∵log an b m ＝log a b m log a a n ＝mlog a b nlog a a ＝mn log ab.(当m ＝n 时，log an b n ＝log a b)． ∴原式＝(log 23＋log 2232＋log 2333＋…＋log 2n 3n )·log 32321n＝·12nlog 332 ＝nlog 23·12n log 325＝52log 23·log 32＝52.24．B 设3a ＝4b ＝6c ＝k ，则a ＝log 3k ＝1log k 3，b ＝log 4k ＝1log k 4，c ＝log 6k ＝1log k 6，所以1a ＝log k 3，1b ＝logk4，1c ＝log k 6.由log k 3＋12log k 4＝log k 6，得1a ＋12b ＝1c ，即2a ＋1b ＝2c. 25．A ∵2.5x ＝1 000，∴x ＝log 2.51 000， 1x ＝1log 2.51 000＝log 1 0002.5. 同理，1y ＝log 1 0000.25，∴1x －1y＝log 1 0002.5－log 1 0000.25 ＝log 1 0002.50.25＝log 1 00010＝13.26．B ∵y ＝log 56·log 67·log 78·log 89·log 910＝lg6lg5·lg7lg6·lg8lg7·lg9lg8·lg10lg9＝lg10lg5＝lg2＋lg5lg5＝1＋lg2lg5， ∵0＜lg2lg5＜1，∴1＜1＋lg2lg5＜2，即y ∈(1,2)． 27．25－1或2523 ∵log x 25＝1log 25x，∴原等式即为2log 25x －3log 25x ＝1.∴3(log 25x)2＋log 25x －2＝0. 令log 25x ＝t ，则3t 2＋t －2＝0， 解得t ＝－1或t ＝23.当t ＝－1时，log 25x ＝－1. ∴x ＝25－1.当t ＝23时，log 25x ＝23，∴x ＝2523，故x 值为25－1或2523.28．1 由2a ＝5b ＝10，得a ＝log 210，b ＝log 510， ∴1a ＋1b ＝1log 210＋1log 510＝lg2＋lg5＝1.29．1 56 由换底公式，得log m 7log m 56＝log 567＝a ，b ＝log n 8log n 56＝log 568. ∴a ＋b ＝log 567＋log 568＝log 5656＝1.∵log 567＝a ，∴1a＝log 756. ∴71a＝7log 756＝56. 拓展探究30．解：log a x ＋3log x a －log x y ＝3，∴log a x ＋3log a x －log a y log a x＝3，log a y ＝log 2a x －3log a x ＋3， ∴y ＝a [(logax)2－3logax ＋3]＝a [(logax －32)2＋34]．当log a x ＝32时，(log a x －32)2＋34有最小值34，∴当y 有最小值时，a ＞1.从而y min ＝34a ＝8. ∴a ＝438＝24＝16.31．解：∵log a 8＋log 2a ＝4，∴3log a 2＋log 2a ＝4.∴log 22a －4log 2a ＋3＝0.(log 2a －1)(log 2a －3)＝0，即log 2a ＝1或log 2a ＝3.∴a ＝2或a ＝8.(1)当a ＝2时，f(x)＝x 2＋3是偶函数；当a ＝8时，f(x)＝x 8＋3也是偶函数．∴f(x)＝x a ＋3为偶函数．(2)当a ＝2时，原式＝log 227·log 364＝lg27lg2·lg64lg3＝3lg3lg2·6lg2lg3＝18； 当a ＝8时，原式＝log 827·log 364＝lg27lg8·lg64lg3＝3lg3lg8·2lg8lg3＝6.(3)∵g(x)＝2x或g(x)＝8x，且2与8都大于1，∴g(x)＝a x在R上是增函数．。

做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。

对数换底公式 一、换底公式：)0,1,0,1,0(log log log >≠>≠>=b c c a a a b b c c a 二、常用关系：1、自然对数与常用对数之间关系：e N N ln ln lg =2、)0,1,0(lg lg log >≠>=b a a ab b a 3、)1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a 4、 )0,0,1,0(log log ≠>≠>=m b a a b b m a a m5、)1,0,1,0(log log ≠>≠>=n b a a b n m ba m a n 三、例题：例1、求证：1log log =⋅a b b a例2、求下列各式的值。

(1)、log 98•log 3227(2)、（log 43+log 83）•(log 32+log 92)(3)、log 49•log 32(4)、log 48•log 39(5)、（log 2125+log 425+log 85）•(log 52+log 254+log 1258)例3、若log 1227=a,试用a 表示log 616.解：法一、换成以2为底的对数。

法二、换成以3为底的对数。

法三、换成以10为底的对数。

练习：已知log 189=a, 18b =5,求log 3645。

例4、已知12x =3,12y =2,求y x x+--1218的值。

练习：已知7log log ,5log log 248248=+=+a b b a ，求a •b 的值；例5、有一片树林，现有木材22000方，如果每年比上一年增长2.5%，求15年后约有多少方木材？解：设15年后约有木材A 方，则A=22000（1+2.5%)15=22000×1.02515lgA=lg22000+15×lg1.025=4.3424+15×0.0107=4.5029∴ A=131840教学无忧/专注中小学 教学事业！ 客服唯一联系qq 1119139686 欢迎跟我们联系答：15年后约有木材131840方。