教案：1.1.3-2全集与补集

第2课时 补 集学习目标 1.了解全集的含义及其符号表示.2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.3.会用Venn 图、数轴进行集合的运算．知识点 全集与补集 1．全集(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U . 思考 全集一定是实数集R 吗？答案 不一定．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R ，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z . 2．补集自然语言 对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作∁U A符号语言 ∁U A ＝{x |x ∈U 且x ∉A }图形语言思考 ∁U A 包含哪三层意思？答案 ①A ⊆U ；②∁U A 是一个集合，且∁U A ⊆U ；③∁U A 是由U 中所有不属于A 的元素构成的集合．1．全集一定含有任何元素．( × ) 2．集合∁R A ＝∁Q A .( × )3．一个集合的补集一定含有元素．( × ) 4．存在x 0∈U ，x 0∉A ，且x 0∉∁U A .( × )5．设全集U ＝R ，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1x >1，则∁U A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1x≤1.( × )一、补集的运算例1(1)设集合U＝R，M＝{x|x>2或x<－2}，则∁U M等于()A．{x|－2≤x≤2} B．{x|－2<x<2}C．{x|x<－2或x>2} D．{x|x≤－2或x≥2}答案 A解析如图，在数轴上表示出集合M，可知∁U M＝{x|－2≤x≤2}．(2)设U＝{x∈Z|－5≤x<－2或2<x≤5}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则∁U A＝________，∁U B＝________.答案{－5，－4,3,4}{－5，－4,5}解析方法一在集合U中，∵x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．又∵A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，∴∁U A＝{－5，－4,3,4}，∁U B＝{－5，－4,5}．方法二可用Venn图表示．则∁U A＝{－5，－4,3,4}，∁U B＝{－5，－4,5}．(学生)反思感悟求补集的方法(1)列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合．(2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成集合．跟踪训练1(1)已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3<x≤4}，则∁U A＝________；答案{x|x＝－3或x>4}解析借助数轴得∁U A＝{x|x＝－3或x>4}．(2)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，则集合B＝________．答案{2,3,5,7}解析方法一(定义法)：因为A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁U B ＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}．方法二(Venn图法)：满足题意的Venn图，如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．二、交、并、补集的综合运算例2已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，A∩(∁U B)，∁U(A∪B)，(∁U A)∩(∁U B)，∁U(A∩B)，(∁U A)∪(∁U B)．解如图所示．∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}，∴∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，∁U B＝{x|x<－3或2<x≤4}，A∪B＝{x|－3≤x<3}．故A∩B＝{x|－2<x≤2}，(∁U A)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}，∁U(A∪B)＝{x|x<－3或3≤x≤4}，(∁U A)∩(∁U B)＝{x|x<－3或3≤x≤4}，∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或2<x≤4}，(∁U A)∪(∁U B)＝{x|x≤－2或2<x≤4}．反思感悟解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错．(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．跟踪训练2已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4，7,8}，求A∩B，A∪B，(∁U A)∩(∁U B)，A∩(∁U B)，(∁U A)∪B.解方法一(直接法)：由已知易求得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，∁U A＝{1,2,6,7,8}，∁U B＝{1,2,3,5,6}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{1,2,6}，A∩(∁U B)＝{3,5}，(∁U A)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．方法二(Venn图法)：画出Venn图，如图所示，可得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1,2,6}，A∩(∁U B)＝{3,5}，(∁U A)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．三、与补集有关的参数值的求解例3已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2或x≥3}，B＝{x|2m＋1<x<m＋7}，若(∁U A)∩B＝B，求实数m的取值范围．解因为A＝{x|x≤－2或x≥3}，所以∁U A＝{x|－2<x<3}，因为(∁U A)∩B＝B，所以B⊆(∁U A)．当B＝∅时，即2m＋1≥m＋7，所以m≥6，满足(∁U A)∩B＝B.当B≠∅时，由⎩⎪⎨⎪⎧2m＋1<m＋7，2m＋1≥－2，m＋7≤3无解．故m的取值范围是{m|m≥6}．延伸探究1．若把本例的条件“(∁U A)∩B＝B”改为“(∁U A)∪B＝B”，则实数m的取值范围为________．答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫m⎪⎪－4≤m≤－32解析因为(∁U A)∪B＝B，所以(∁U A)⊆B，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m＋1<m＋7，2m＋1≤－2，m＋7≥3，解得－4≤m≤－32，故实数m的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m⎪⎪－4≤m≤－32.2．若将本例的条件“(∁U A)∩B＝B”改为“(∁U A)∩B＝∅”，则实数m的取值范围为________．答案{m|m≤－9或m≥1}解析当B＝∅时，m≥6.当B≠∅时，m<6时，m＋7≤－2或2m＋1≥3，解得m≤－9或1≤m<6.故实数m的取值范围为{m|m≤－9或m≥1}．(学生)反思感悟利用补集求参数应注意两点(1)与集合的交、并、补运算有关的参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形．(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．跟踪训练3已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x<－1或x>0}．若A∩(∁R B)＝∅，求实数a的取值范围．解∵B＝{x|x<－1或x>0}，∴∁R B＝{x|－1≤x≤0}，要使A∩(∁R B)＝∅，结合数轴分析(如图)，可得a≤－1.即实数a的取值范围是{a|a≤－1}．1．已知全集U＝{0,1,2}，且∁U A＝{2}，则A等于()A．{0} B．{1} C．∅D．{0,1}答案 D解析∵U＝{0,1,2}，∁U A＝{2}，∴A＝{0,1}．2．设U＝R，A＝{x|－1<x≤0}，则∁U A等于()A．{x|x≤－1或x>0} B．{x|－1≤x<0}C．{x|x<－1或x≥0} D．{x|x≤－1或x≥0}答案 A解析因为U＝R，A＝{x|－1<x≤0}，所以∁U A＝{x|x≤－1或x>0}．3．已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B等于()A．{－2，－1} B．{－2}C．{－1,0,1} D．{0,1}答案 A解析因为集合A＝{x|x>－1}，所以∁R A＝{x|x≤－1}，则(∁R A)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．4．已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若∁A B＝{5}，则实数m＝________.答案 5解析∵∁A B＝{5}，∴5∈A，且5∉B.∴m＝5.5．设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝________，(∁R A)∩B＝________. 答案{x|x≤2或x≥10}{x|2<x<3或7≤x<10}解析把全集R和集合A，B在数轴上表示如图：由图知，A∪B＝{x|2<x<10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}．∵∁R A＝{x|x<3或x≥7}，∴(∁R A)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．1．知识清单：(1)全集和补集的概念及运算．(2)并、交、补集的综合运算．(3)与补集有关的参数值的求解．2．方法归纳：正难则反的补集思想、数形结合．3．常见误区：求补集时忽视全集，运算时易忽视端点的取舍．1．设全集U＝{x|x≥0}，集合P＝{1}，则∁U P等于()A．{x|0≤x<1或x>1} B．{x|x<1}C．{x|x<1或x>1} D．{x|x>1}答案 A解析因为U＝{x|x≥0}，P＝{1}，所以∁U P＝{x|x≥0且x≠1}＝{x|0≤x<1或x>1}．2．已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4}，B＝{6,7}，则(∁U B)∩A等于() A．{1,6} B．{1,7}C．{3,4} D．{3,4,5}答案 C解析∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4}，B＝{6,7}，∴∁U B＝{1,2,3,4,5}，∴(∁U B)∩A＝{3,4}．3．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(∁R B)等于()A．{x|x>1} B．{x|x≥1}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2}答案 D解析由A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}可知∁R B＝{x|x≥1}．∴A∩(∁R B)＝{x|1≤x≤2}．4.设全集U为实数集R，M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|x≥3或x<1}都是全集U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<2}答案 A解析阴影部分表示的集合为N∩(∁U M)＝{x|－2≤x<1}．5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析A＝{1,2}，B＝{2,4}，所以A∪B＝{1,2,4}，则∁U(A∪B)＝{3,5}，共有2个元素．6．设全集U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁U B)＝________.答案{x|0<x≤1}解析∵U＝R，B＝{x|x>1}，∴∁U B＝{x|x≤1}．又∵A＝{x|x>0}，∴A∩(∁U B)＝{x|x>0}∩{x|x≤1}＝{x|0<x≤1}．7．设全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9}，B＝{x∈Z|－4<x<4}，则集合(∁U A)∩B中的元素的个数为________．答案 4解析∵U＝R，A＝{x|0<x<9}，∴∁U A＝{x|x≤0或x≥9}，又∵B＝{x∈Z|－4<x<4}，∴(∁U A)∩B＝{x∈Z|－4<x≤0}＝{－3，－2，－1,0}，共4个元素．8．已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x<a}，若∁U A＝{x|2≤x≤5}，则a＝________.答案 2解析∵A＝{x|1≤x<a}，∁U A＝{x|2≤x≤5}，∴A ∪(∁U A )＝U ＝{x |1≤x ≤5}，且A ∩(∁U A )＝∅， ∴a ＝2.9．设U ＝R ，已知集合A ＝{x |－5<x <5}，B ＝{x |0≤x <7}，求： (1)A ∩B ；(2)A ∪B ；(3)A ∪(∁U B )；(4)B ∩(∁U A )． 解 (1)如图①.A ∩B ＝{x |0≤x <5}． (2)如图①.A ∪B ＝{x |－5<x <7}．(3)如图②.∁U B ＝{x |x <0或x ≥7}， ∴A ∪(∁U B )＝{x |x <5或x ≥7}．(4)如图③.∁U A ＝{x |x ≤－5或x ≥5}， ∴B ∩(∁U A )＝{x |5≤x <7}．10．设全集U ＝R ，M ＝{x |3a <x <2a ＋5}，P ＝{x |－2≤x ≤1}，若M ∁U P ，求实数a 的取值范围．解 ∁U P ＝{x |x <－2或x >1}，∵M ∁U P ，∴分M ＝∅，M ≠∅两种情况讨论．(1)M ≠∅时，如图可得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a <2a ＋5，2a ＋5≤－2或⎩⎪⎨⎪⎧3a <2a ＋5，3a ≥1，∴a ≤－72或13≤a <5.(2)M ＝∅时，应有3a ≥2a ＋5⇒a ≥5. 综上可知，a ≤－72或a ≥13.11．定义差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可表示下列图中阴影部分的为()答案 A解析如图所示，A－B表示图中阴影部分，故C－(A－B)所含元素属于C，但不属于图中阴影部分．12．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k<x<k＋1，k∈R}，且B∩(∁U A)≠∅，则()A．k<0或k>3 B．2<k<3C．0<k<3 D．－1<k<3答案 C解析∵A＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁U A＝{x|1<x<3}．若B∩(∁U A)＝∅，则k＋1≤1或k≥3，即k≤0或k≥3，∴若B∩(∁U A)≠∅，则0<k<3.13．设全集U是实数集R，M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|1≤x≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为________．答案{x|－2≤x<1}解析由题意知M∪N＝{x|x<－2或x≥1}，阴影部分所表示的集合为∁U(M∪N)＝{x|－2≤x<1}．14．设全集U＝R，集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，且(∁U A)∪B＝R，则实数a的取值范围是________．答案{a|a≤1}解析因为A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，所以∁U A ＝{x |x ≤1}，由(∁U A )∪B ＝R ，可知a ≤1.15．设U 为全集，对集合X ，Y ，定义运算“*”：X *Y ＝∁U (X ∩Y )．对于任意集合X ，Y ，Z ，则(X *Y )*Z 等于( )A ．(X ∪Y )∩∁U ZB ．(X ∩Y )∪∁U ZC ．(∁U X ∪∁U Y )∩ZD ．(∁U X ∩∁U Y )∪Z答案 B解析 依题意得X *Y ＝∁U (X ∩Y )，(X *Y )*Z ＝∁U [(X *Y )∩Z ]＝∁U [∁U (X ∩Y )∩Z ]＝{∁U [∁U (X ∩Y )]}∪(∁U Z )＝(X ∩Y )∪(∁U Z )．16．某校向50名学生调查对A ，B 事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是这50名学生的35，其余的不赞成；赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A ，B 都不赞成的学生数比对A ，B 都赞成的学生数的13多1人．你能说出对A ，B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人吗？解 已知赞成A 的人数为50×35＝30，赞成B 的人数为30＋3＝33，记50名学生组成的集合为U ，赞成A 的学生全体为集合A ，赞成B 的学生全体为集合B .设对A ，B 都赞成的学生人数为x ，则对A ，B 都不赞成的学生人数为x 3＋1， 赞成A 而不赞成B 的人数为30－x ，赞成B 而不赞成A 的人数为33－x .用Venn 图表示如图所示．依题意(30－x )＋(33－x )＋x ＋⎝⎛⎭⎫x 3＋1＝50，解得x ＝21.故对A ，B 都赞成的学生有21人，都不赞成的有8人．。

第2课时补集学习目标核心素养1.了解全集的含义及其符号表示．（易混点）2．理解给定集合中一个子集的补集的含义,并会求给定子集的补集．(重点、难点)3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点）1。

通过补集的运算培养数学运算素养．2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类,培养数学抽象素养．某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇,王亮，李冰，张军，赵云，冯佳,薛香芹，钱忠良，何晓慧｝,其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝｛王明，曹勇，王亮，李冰，张军｝．问题那么没有获得应用文写作比赛与技能大赛金奖的学生构成的集合是什么？1．全集(1)定义：如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么就称这个给定的集合为全集．（2）记法：全集通常记作U ．思考1:全集一定是实数集R吗？[提示］全集是一个相对概念,因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.[拓展]全集不是固定不变的，它是一个相对概念，是依据具体问题来选择的．例如，我们在研究数集时，通常把实数集R 作为全集；当我们只讨论大于0且小于8的实数时，可选｛x|0＜x＜8｝为全集,通常也把给定的集合作为全集．2．补集文字语言如果集合A是全集U的子集，则由U中不属于A 的所有元素组成的集合,称为A在U中的补集，记作∁U A符号语言∁U A＝{x｜x∈U,且x A}图形语言3.补集的运算性质条件给定全集U及其任意一个子集A结论A∪（∁U A)＝U；A∩（∁U A）＝;∁U（∁U A)＝A思考2:∁U A，A,U三者之间有什么关系？［提示](1）∁U A表示集合U为全集时,集合A在全集U中的补集,则∁U A⊆U.如果全集换成其他集合（如R)，那么记号中“U”也必须换成相应的集合（如∁R A）。

(2)求∁U A的前提条件为集合A是全集U的子集．(3）若x∈U，则x∈A,x∈∁U A必居其一．[拓展]补集是相对于全集而存在的，当全集变化时，补集也随之改变，所以在讨论一个集合的补集时，必须说明是在哪个集合中的补集．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×"）(1）∁U U＝，∁U＝U。