数学《全集与补集》教案3北师大必修1

全集与补集的教案教案标题：全集与补集的教案教学目标：1. 了解并能够正确定义全集和补集的概念。

2. 能够运用集合运算中的全集和补集进行问题解决。

3. 培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。

教学内容：1. 全集的定义和性质。

2. 补集的定义和性质。

3. 全集和补集的运算规则。

教学步骤：引入活动：1. 创设情境，引发学生对全集和补集的思考。

例如，假设有一个班级里的学生，问学生们如何定义这个班级的全集和补集。

探究活动：2. 介绍全集的概念和定义。

通过示意图或实际例子，让学生理解全集是指讨论的范围内的所有元素的集合。

3. 引导学生思考补集的概念和定义。

解释补集是指在全集中不属于某个子集的元素的集合。

4. 给出具体的例子，让学生通过思考找出全集和补集。

例如，全集可以是一个班级的所有学生，补集可以是男生或女生的集合。

拓展活动：5. 引导学生思考全集和补集的运算规则。

例如，全集的补集就是空集，补集的补集是原来的集合。

6. 给出一些练习题，让学生运用全集和补集的运算规则解决问题。

例如，给出一个集合A和全集U，让学生求A的补集。

总结活动：7. 总结全集和补集的概念、定义和运算规则。

强调全集和补集在数学中的重要性和应用。

评估活动：8. 给学生一些评估题目，测试他们对全集和补集的理解和应用能力。

例如，给出一些集合运算的问题，让学生判断正确的答案。

拓展活动：9. 鼓励学生运用全集和补集的概念解决实际问题。

例如，让学生分析一个班级的学生喜欢的体育项目，通过求补集找出不喜欢的体育项目。

教学资源：1. 教材或课本中关于全集和补集的相关内容。

2. 示意图或实际例子的图片或幻灯片。

3. 练习题和评估题目。

教学延伸：1. 鼓励学生自主学习更多集合运算的内容，如交集、并集等。

2. 引导学生运用集合运算解决更复杂的问题，如概率问题等。

注：以上教案仅供参考，具体教学内容和步骤可根据教学实际情况进行调整和修改。

解: Ⅰ部分：A B; Ⅱ部分：A (CU B); Ⅲ部分：B (CU A); Ⅳ部分：CU ( A B)或CU B
U
A
Ⅱ
Ⅲ Ⅰ B Ⅳ
CU A.
例2. 设全集为R，A x x 5 , B x x 3. 求：
1 A
B;
2 A
B;
3 CR A, CR B;
则由U中所有不属于A的元素组成的集合，称为集合A
相对于全集U的补集,简称为集合A的补集（或余集）.
3.补集的性质
课外作业
课本P15 A组 5，6，7 B组 2 补充
(1)已知 U={2，3，m2 2m 3 }，A={2，a} 若 CU A ={5}，求m、a的值。
1 (2)已知U={ 3
JXSDFZ
3.2 全集与补集
江西师大附中 郑永盛
问题： 已知集合U= x x为高一 1 班同学 ，A x x为高一 1 班男同学 ， B x x为高一 1 班女同学 .问这三个集合U，A，B间有何关系？






易知：A U , B U . A B U, A B .
x x 3 ; 5 C A C B x x 5 x x 3 x x 3, 或x 5 ; 6 CR A B x x 3, 或x 5 ;
7
CR A B .
其中相等有：CR A B CR A
CR A
CR B ; B CR A CR B .
练习：
1.判断正误 (1) 若U={四边形}，A={梯形}，则CUA={平行四边形}错 (2) 若U是全集，且AB，则CUACUB 错 (3) 若U={1，2，3}，A=U，则CUA= 对 2.设集合A={|2a-1|，2}，B={2，3，a2+2a-3},且 CBA={5}，求实数a的值。 a=2 3.已知全集U={1，2，3，4，5}，非空集合

全集与补集教学目标：了解全集的意义，理解补集的概念，能利用Venn图表达集合间的关系；渗透相对的观点.教学重点：补集的概念.教学难点：补集的有关运算.课型：新授课教学手段：发现式教学法，通过引入实例，进而对实例的分析，发现寻找其一般结果，归纳其普遍规律.自学导引设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{2,4,6}，C＝{1,3,5}．问题1：集合B∪C等于什么？提示：B∪C＝A.问题2：集合B与集合C的交集是什么？提示：B∩C＝∅.新知自解1．全集在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集．常用符号U表示．2．补集(1)设U是全集，A是U的一个子集(即A⊆U)，则由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补集(或余集)，记作∁U A.(2)符号表示：∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．(3)Venn图表示3．补集的性质(1)A∪(∁U A)＝U；(2)A∩(∁U A)＝∅.1．全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z为全集；而当问题扩展到实数集时，则R为全集，这时Z就不是全集．2．补集的定义可以解释为：如果从全集U中取出A的全部元素，则所剩下的元素组成的集合就是∁U A.把握热点考向高频考点题组化考点一补集的运算[例1](1)已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤3}，求∁U A，(∁U B)∩A；(2)设U＝{x|－5≤x<－2，或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，求∁U A，∁U B.[思路点拨](1)先求出∁U A和∁U B，利用数轴解决．(2)先写出集合U和集合B，再利用交集、补集的定义或Venn图求解．[精解详析](1)∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤3}，结合数轴(如图)，可知∁U A＝{x|1<x≤4}，∁U B＝{x|3<x≤4，或－1≤x≤0}．结合数轴(如图)．可知(∁U B)∩A＝{x|－1≤x≤0}；(2)法一：在集合U中，∵x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，B＝{－3,3,4}，∴∁U A＝{－5，－4,3,4}，∁U B＝{－5，－4,5}．法二：可用Venn图表示则∁U A ＝{－5，－4,3,4}，∁U B ＝{－5，－4,5}． [一点通]1．在解答有关集合补集运算时，如果所给集合是无限集，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，这样处理比较形象直观，但是解答过程中注意边界问题．2．如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解，针对此类问题，在解答过程中常常借助于Venn 图求解．题组集训1．若全集M ＝{1,2,3,4,5}，N ＝{2,4}，则∁M N ＝( ) A ．∅ B ．{1,3,5} C ．{2,4}D ．{1,2,3,4,5}解析：由题意知∁M N ＝{1,3,5}． 答案：B2．设全集U ＝{x ∈N ＋|x <6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )等于( ) A ．{1,4} B ．{1,5} C ．{2,4}D ．{2,5}解析：U ＝{x ∈N ＋|x <6}＝{1,2,3,4,5}，A ∪B ＝{1,3,5}，∴∁U (A ∪B )＝{2,4}． 答案：C3．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ≤2}，B ＝{x |－1<x ≤3}，P ＝{x |x ≤0，或x ≥52}，(1)求A ∩B ；(2)求(∁U B )∪P ；(3)求(A ∩B )∩(∁U P )． 解：如图所示(1)A ∩B ＝{x |－1<x ≤2}； (2)∵∁U B ＝{x |x ≤－1，或x >3}， ∴(∁U B )∪P ＝{x |x ≤0，或x ≥52}；(3)∁U P ＝{x |0<x <52}．(A ∩B )∩(∁U P )＝{x |－1<x ≤2}∩{x |0<x <52}＝{x |0<x ≤2}.考点二 Venn 图在集合运算中的应用[例2] 设全集U ＝{x |x ≤20的质数}，A ∩(∁U B )＝{3,5}，(∁U A )∩B ＝{7,19}，(∁U A )∩(∁U B )＝{2,17}，求集合A ，B .[思路点拨] 利用列举法可求得集合U ，然后利用Venn 图处理．[精解详析] 因为U ＝{2,3,5,7,11,13,17,19}，由题意画出Venn 图，如图所示，故集合A ＝{3,5,11,13}，B ＝{7,11,13,19}．[一点通] Venn 图直观形象，特别是在有限集的运算中，效果比较明显，对集合A ，B 而言，有下图：用好此图，在解题中能起到事半功倍的效果． 题组集训4．如果U ＝{x |x 是小于9的正整数}，A ＝{1,2,3,4}，B ＝{3,4,5,6}，那么(∁U A )∩(∁U B )等于( )A ．{1,2}B ．{3,4}C ．{5,6}D ．{7,8}解析：如图所示，阴影部分为(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝{7,8}． 答案：D5．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x ，画出Venn 图得到方程15－x ＋x ＋10－x ＋8＝30⇒x ＝3，∴喜爱篮球运动但不爱乒乓球运动的人数为15－3＝12人．。

高中数学北师大版必修1第一章《3.2全集与补集》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
高中数学北师大版必修1第一章《3.2 全集与补集》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
补集既是一个概念也是一种运算,它与交并运算结合,完成了集合思想的表达,可以进一步认识转化思想,分类讨论思想,它的一些结论,既是数学实质的揭示,也是哲学思想的体现。

2学情分析
我校是省级示范性高中,学生基础扎实,有较好的学习习惯,有一定的口头、书面表达能力。

通过前面的学习,学生已具备:
集合的有关概念、集合间关系、集合的交并集运算等相关知识;
有一定的数形结合的思想和能力;
作为高一新生,他们求知欲强,参与意识,自主探索意识也比较强。

但逻辑思维能力、认识事物的能力相对较弱,遇到困难容易慌张。

考虑到学生刚从初中升入到高中,数学学习还处于从算数上升到代数的初级阶段,而本节内容全集抽象度较高,补集综合性较强。

鉴于此,我把本节课重点定为:补集概念的理解及初步应用。

难点为:全集的理解,补集应用中方法规律的探究。

我采用实例引入,变式练习的方式来突出重点;用实验探究,合作交流的方式突破难点。

3重点难点
重点:理解补集概念,并能进行交并补综合运算。

难点:对结论的理解应用,在数学辩证思想认识上的升华。

4教学过程
4.1第一学时
4.1.1新设计
创设情境:某城市流行一种病,医疗队来后,不仅要研究患者这个群体,还要研究不属于患者的群体,前者目的是为什么患病,后者目的是为什么不患病。

在研究奇数问题时,往往还要研究不属于奇数的即偶数的性质。

(2) UA的数学意义包括两个方面：首先必须具备A U，其次是运用“元素分析法”
UA
＝{x|x∈U，且x A}，补集是集合间的运算关系，这可以和实数(shìshù)的减法相类比.
第十三页，共19页。
实数的差
A在U中的补集
被减数－减数＝差 全集U－集合A＝补集 UA
(3)全集含有所要研究的集合的所有元素，因此，全集是对所研究问题而言的相对 概念.全集既可以是无限(wúxiàn)集，也可以是有限集.
【解析】 (1)因为(yīn wèi)A∪B＝{1,2,3,4,5} wèi) UA＝
{1,4,6} UB＝{2,3,5,6}， 所以( UA)∩( UB)＝{6}.
(2)如图
U(A∪B)＝{6}.又因为(yīn
第十九页，共19页。
Venn
B.
【解析】 借助(jièzhù) Venn
得U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，
∵ UB={1,4,6,8,9}，
∴B={2,3,5,7}.
第五页，共19页。
根据补集定义，借助Venn图，可直观地求出全集，此类问 题，当集合中元素(yuán sù)个数较少时，可借助Venn图；当集合中元素(yuán sù)无限时，可借助数轴，利用数轴分析法求解.
∴ UX＝{x|x＜0} UY＝{y|y＜1}，显然(xiǎnrán) UX UY.
【答案】
第十八页，共19页。
4.U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{2,3,5}，B＝{1,4}.
(1) U(A∪B)与( UA)∩( UB).
(2)在图中用(zhōngyòng)
U(A∪B)与( UA)∩( UB).
第十页，共19页。
已知全集U＝{1,2,3,4,5}.A＝{x|x2－5x＋m＝0}， B＝{x|x2＋nx＋12＝0}，且( UA)∪B＝{1,3,4,5}，求m＋n的值. 【思路点拨】 A、B是由一元二次方程(fāngchéng)的根为元素组成的集合，又 ( UA)∪B＝{1,3,4,5}，故2∈A. 【解析】 ∵U＝{1,2,3,4,5}，( UA)∪B＝{1,3,4,5}， ∴2∈A，又A＝{x|x2－5x＋m＝0}， ∴2是关于x的方程(fāngchéng)x2－5x＋m＝0的一个根. 得m＝6且A＝{2,3}. ∴ UA＝{1,4,5}.而( UA)∪B＝{1,3,4,5}， ∴3∈B，又B＝{x|x2＋nx＋12＝0}. ∴3是关于x的方程(fāngchéng)x2＋nx＋12＝0的一个根 得n＝7 ∴m＋n＝－1

（ （4） CU A） B
补集的表示
CU A x / x U且x A
U A CUA
设
反馈 a, c, d，B b, d , e U a, b, c, d , e, f A；CU B
（ （2） CU A）（CU B）；（CU A）（CU B）
C （3） U ( A B)；CU ( A B)
集合的运算 之
全集和补集
导航
世间万物都是对立统一的，在一定 范围内事物有正就有反，就像数学 中，有正数必有负数，有有理数必 有无理数一样，那么，在集合内部 是否也存在这样的“对立统一”呢？ 若有，又需要什么样的条件呢？
考察下列集合A，B，C之间的 关系
1、 A ，3 4，，B ，3 C 4， 1 2， 5 ， 1 2，， 5
A 1 2，4，6，， 1 2，， 5，7 2、 ，3，5，7 B ，3 C 4，6，
（1）象上面的A集合，含有我们所研究问 题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为 全集，通常记作U。 （2）对于全集U的一个子集A，由全集U中所有 不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U的补集 ，,简称为集合A的补集

1.3.2全集与补集（教案）U普通高中课程标准实验教科书 [北师版] –必修1第一章集合§1.3.2 全集与补集（教案）[教学目标]1、知识与技能(1)了解全集与补集的概念；(2)会用数学符号和Venn 图准确地表达出来；(3)会借助Venn 图和数轴，求出集合的补集(4)进一步学习集合的交、并、补的运算。

2、过程与方法学生通过观察和类比，借助Venn 图理解集合的基本运算. 体会直观图示对理解抽象概念的作用.3、情感.态度与价值观（1）进一步树立数形结合的思想.（2）进一步体会类比的作用.（3）感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确.[教学重点]: 全集与补集的运算.[教学难点]：借助图形求补集.[教学教具]：多媒体[课时安排]: 1课时[学法指导]：自主学习、合作交流.[讲授过程]【知识复习】：1.什么叫子集、真子集、集合相等？符号分别是怎样的？2.什么叫交集、并集？符号语言如何表示？【新课导入】[活动过程1]：请同学们讨论：1.已知A ＝{x|x ＋3>0}，B ＝{x|x ≤－3}，求A ∩B,A ∪B 那么A 、B 、R 有何关系？2.U={全班同学}、A={全班参加数学兴趣学习小组的同学}、B={全班没有参加数学兴趣学习小组的同学}，则U 、A 、B 有何关系？【讲授新课】：一、全集、补集概念：1.全集：含有我们所研究问题中所涉及的所有元素构成的集合，记作U ，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。

2.补集：设全集为U, 集合A 是U 的一个子集(即A ?U)，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫作U 中子集A 的补集（或余集），记作：U C A ，读作：“A 在U 中补集”，即{|,}U C A x x U x A =∈?且。

补集的Venn 图表示如右：（说明：补集的概念必须要有全集的限制）②结论：集合U C A 是集合U 中除去集合A 之后余下来的集合。

练一练
设U＝{x|x<13，且x∈N}，A＝{8的正约数}，B＝{12的正约数}，求 、 .
例2设U=R，A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，求A∩B、A∪B、 、 .
练一练
设全集 ，M={x∣3a<x<2a+5}, ∣ 若 M，求实数a的取值范围
三巩固练习
1.设全集U=R，集合 ，则 =（）
（1）U={2,3,4}，A={4,3}，B= ，则 =， =；
（2）设U＝{x|x<8，且x∈N}，A＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则 ＝；
（3）设集合 ，则 =；
（4）设U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，则 ＝.
二师生互动
例1.已知全集I={小于10的正整数}，其子集A、B满足 ， ， .求集合A、B.
A. 1 B.－1，
C. D.
2.已知集合U= ， ，那么集合 （）.
A. B.
C. D.
3.设全集 ,集合 ,
，则 （ ）.
A．｛０｝B．
C． D．
4.已知U={x∈N|x≤10}，A={小于11的质数}，则 =.
5.定义A—B={x|x∈A，且x B}，若M={1,2,3,4,5}，N={2,4,8}，则N—M=.
教案、学案用纸
年级高一
学科数学
课题
补集
授课时间
撰写人
学习重点
全集、补集概念的理解
学习难点
补集的运算
学习目标
1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
2.能使用Venn图表达集合的运算
教学过程
一自主学习
1全集
2补集

教案、学案用纸
年级高一
学科数学
课题
补集
授课时间
撰写人
学习重点
全集、补集概念的理解
学习难点
补集的运算
学习目标
1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
2.能使用Venn图表达集合的运算
教学过程
一自主学习
1全集
2补集
.
3.用文字语言、符合语言、图形语言表示补集
4.补集的性质：
5试一试
6.已知全集 ，若 ， ， ，求集合A、B.
四课后反思
五课后巩固练习
1.已知全集I= ，若 ， ，求实数 .
ห้องสมุดไป่ตู้2.已知全集U=R，集合A= ， 若 ，试用列举法表示集合A
（1）U={2,3,4}，A={4,3}，B= ，则 =， =；
（2）设U＝{x|x<8，且x∈N}，A＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则 ＝；
（3）设集合 ，则 =；
（4）设U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，则 ＝.
二师生互动
例1.已知全集I={小于10的正整数}，其子集A、B满足 ， ， .求集合A、B.
练一练
设U＝{x|x<13，且x∈N}，A＝{8的正约数}，B＝{12的正约数}，求 、 .
例2设U=R，A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，求A∩B、A∪B、 、 .
练一练
设全集 ，M={x∣3a<x<2a+5}, ∣ 若 M，求实数a的取值范围
三巩固练习
1.设全集U=R，集合 ，则 =（）
A. 1 B.－1，1
C. D.
2.已知集合U= ， ，那么集合 （）.

3．2 全集与补集知识点补集[填一填]1．全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U.2．补集3.补集的性质(1)∁U U＝∅；(2)∁U∅＝U；(3)(∁U A)∪A＝U；(4)A∩(∁U A)＝∅；(5)∁U(∁U A)＝A.[答一答]1．全集包含任何一个元素吗？∁A C与∁B C相等吗？提示：全集仅包含我们研究问题所涉及的全部元素,而非任何元素．不一定．若A＝B,则∁A C＝∁B C,否则不相等．2．如何理解全集与补集的关系？提示：(1)补集是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的,因此,它们是互相依存、不可分割的两个概念．(2)∁U A的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁U A＝{x|x∈U,且x∉A},补集是集合间的运算关系．3．设全集U＝{2,3,4,5,6},∁U A＝{3,5},则A＝______.提示：A是∁U A相对于U的补集,所以A＝{2,4,6}．1．对全集概念的三点说明(1)全集的概念可以理解为在研究集合与集合之间的关系时,所要研究的集合都是某一个集合的子集,就把这个给定的集合称为全集．(2)全集是对于所研究的问题而言的一个概念,它不是一成不变的,它会根据所研究问题的不同而有不同的选择．所以说全集是一个相对的概念．(3)全集通常用大写的字母U表示,但没有硬性规定,只要交代清楚,可以用任何一个大写的字母来表示全集．2．对补集概念的两点说明(1)补集是相对于全集给出的一个概念,如果没有全集也就谈不上补集,当全集变化时,补集也随之变化．所以在说补集时必须交代清楚是相对于哪个全集的补集．(2)集合A在全集U中的补集隐含着集合A是集合U的子集的条件.类型一集合的补集运算【例1】(1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A＝{2,4,5},集合B＝{1,4,5},求∁U A,(∁U A)∪(∁U B)．(2)已知全集U＝{x|x≤4},集合A＝{x|－2≤x≤3},B＝{x|－3≤x≤2},求A∩(∁U B),(∁U A)∪B,(∁U A)∪(∁U B)．【思路探究】这是一类涉及集合补集关系的运算,解决的关键是明确全集,求具体的补集借助于Venn图或数轴求解．【解】(1)因为全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A＝{2,4,5},因此∁U A＝{1,3,6,7,8,9}．又B＝{1,4,5},则∁U B＝{2,3,6,7,8,9}．所以(∁U A)∪(∁U B)＝{1,2,3,6,7,8,9}．(2)首先在数轴上表示出全集U和集合A,B,如下图,则∁U A＝{x|x<－2,或3<x≤4},∁U B＝{x|x<－3,或2<x≤4},A∩(∁U B)＝{x|2<x≤3},(∁U A)∪B＝{x|x≤2,或3<x≤4},(∁U A)∪(∁U B)＝{x|x<－2,或2<x≤4}．规律方法1.如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合补集的定义来求解．另外针对此类问题,在解答过程中也常常借助于V enn图来求解．这样处理起来,相对来说比较直观、形象且解答时不易出错．2．如果所给集合是无限集,则常借助于数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后再根据补集的定义求解,这样处理比较形象直观,解答过程中注意端点值能否取得．(1)已知全集U＝{1,2,3,4},集合A＝{1,2},B＝{2,3},则∁U(A∪B)＝(D)A．{1,3,4}B．{3,4}C．{3} D．{4}解析：由A＝{1,2},B＝{2,3}得A∪B＝{1,2,3},所以∁U(A∪B)＝{4}．故选D.(2)已知全集U＝R,集合M＝{x|x2－4≤0},则∁U M等于(C)A．{x|－2<x<2} B．{x|－2≤x≤2}C．{x|x<－2或x>2} D．{x|x≤－2或x≥2}解析：∵M＝{x|－2≤x≤2},∴∁U M＝{x|x<－2或x>2}．类型二利用Venn图进行集合运算【例2】集合S＝{x|x≤10,且x∈N＋},A S,B S,且A∩B＝{4,5},(∁S B)∩A＝{1,2,3},(∁A)∩(∁S B)＝{6,7,8},求集合A和B.S【思路探究】本题可用直接法求解,但不易求出结果,用Venn图法较为简单．【解】解法1：(1)因为A∩B＝{4,5},所以4∈A,5∈A,4∈B,5∈B.(2)因为(∁S B)∩A＝{1,2,3},所以1∈A,2∈A,3∈A,1∉B,2∉B,3∉B.(3)因为(∁S A)∩(∁S B)＝{6,7,8},所以6,7,8既不属于A,也不属于B.因为S＝{x|x≤10,且x∈N＋},所以9,10不知所属．由(2)(3)可知,9,10均不属于∁S B,所以9∈B,10∈B.综上可得A＝{1,2,3,4,5},B＝{4,5,9,10}．解法2：如图所示．因为A∩B＝{4,5},所以将4,5写在A∩B中．因为(∁S B)∩A＝{1,2,3},所以将1,2,3写在A中．因为(∁S B)∩(∁S A)＝{6,7,8},所以将6,7,8写在S中A,B之外．因为(∁S B)∩A与(∁S B)∩(∁S A)中均无9,10,所以9,10在B中．故A＝{1,2,3,4,5},B＝{4,5,9,10}．规律方法此题解答中的解法2的巧妙之处就是运用数形结合的方法求解,即利用Venn 图将已知条件在图中标出,并从图中找出所求,直观形象,一目了然,省去解法1中的推理．设U＝{1,2,3,4,5,6,7,8},A＝{3,4,5},B＝{4,7,8}．求：(1)A∩B,A∪B；(2)(∁U A)∩(∁U B),(∁U A)∪(∁U B)．解：画出Venn图如图．(1)A∩B＝{4},A∪B＝{3,4,5,7,8}．(2)∵∁U A＝{1,2,6,7,8},∁U B＝{1,2,3,5,6},∴(∁U A)∩(∁U B)＝{1,2,6},(∁U A)∪(∁U B)＝{1,2,3,5,6,7,8}．类型三集合交、并、补的综合应用【例3】已知集合A＝{y|y＝x2－2x＋5},B＝{y|1<y<10},求A∪B,∁R(A∪B),(∁R A)∪B,A ∪(∁R B)．【思路探究】集合A＝{y|y＝x2－2x＋5}表示的是二次函数y＝x2－2x＋5的所有函数值组成的集合,故A＝{y|y≥4},然后利用数轴法来解．【解】集合A＝{y|y＝x2－2x＋5}＝{y|y≥4},在数轴上表示集合A,B,如下图．由图可得A∪B＝{y|y>1},∁R(A∪B)＝{y|y≤1},(∁R A)∪B＝{y|y<4}∪{y|1<y<10}＝{y|y<10},A∪(∁R B)＝{y|y≥4}∪{y|y≤1或y≥10}＝{y|y≤1或y≥4}．规律方法用不等式表示一个集合元素的特征时,常用数轴法解决问题．设全集U＝{0,1,2,3,4},集合A＝{0,1,2,3},B＝{2,3,4},则(∁U A)∪(∁U B)等于(C)A．{0} B．{0,1}C ．{0,1,4}D ．{0,1,2,3,4}解析：方法1：由题意,得∁U A ＝{4},∁U B ＝{0,1},故(∁U A )∪(∁U B )＝{0,1,4}．方法2：由题意,得A ∩B ＝{2,3},所以∁U (A ∩B )＝{0,1,4}．因为∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B ),所以(∁U A )∪(∁U B )＝{0,1,4}．类型四 补集运算中的含参问题【例4】 已知集合A ＝{x |x 2－4mx ＋2m ＋6＝0,x ∈R },B ＝{x |x <0,x ∈R }．若A ∩B ≠∅,求实数m 的取值范围．【思路探究】 A ∩B ≠∅说明集合A 是由关于x 的方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的实根组成的非空集合,且该方程的实根有以下三种情况：①两负根；②一负根一零根；③一负根一正根．若分别求解,将会比较麻烦,可以采用补集的思想求解,此时需求出A ∩B ＝∅(即关于x 的方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根均非负)时实数m 的取值范围．【解】 ∵A ∩B ≠∅,∴A ≠∅,∴Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0,解得m ≤－1或m ≥32.故可设全集U ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ≤－1或m ≥32. 若A ∩B ＝∅,则关于x 的方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1,x 2均非负,则⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2＝4m ≥0，解得m ≥32.x 1x 2＝2m ＋6≥0，而⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ≥32关于U 的补集为{m |m ≤－1}, 故实数m 的取值范围是m ≤－1.规律方法 利用补集思想解题时,首先要根据题意确定全集U ,否则本题会导致⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ≥32的补集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <32的错误．已知集合A ＝{x |x <a },B ＝{x |1<x <2},且A ∪(∁R B )＝R ,则实数a 的取值范围是a ≥2. 解析：∁R B ＝{x |x ≤1,或x ≥2},如图所示,由于A ∪(∁R B )＝R ,所以a ≥2.——规范解答——由补集关系求参数的取值范围【例5】 设全集U ＝R ,集合M ＝{x |3a －1<x <2a ,a ∈R },N ＝{x |－1<x <3},若N ⊆∁U M .求实数a 的取值集合．【审题】 抓信息,找思路(1)审条件：三个集合：全集U ,集合M ,集合N ；一个关系：N ⊆∁U M .(2)建联系：求解实数a 的取值集合,由于集合M 中含有参数a ,故把求实数a 的取值范围的问题与集合M 联系起来．(3)找思路：根据集合间的关系N ⊆∁U M ,借助数轴列出关于参数a 的不等关系,然后求出实数a 的取值集合．【解析】 根据题意可知,N ≠∅,又因为N ⊆∁U M , 所以讨论时考虑集合M 有空集和非空两种情况①. 若M ＝∅,则∁U M ＝R ,N ⊆∁U M 显然成立． 于是有3a －1≥2a ,得a ≥1. 若M ≠∅,则3a －1<2a ,有a <1. 这时∁U M ＝{x |x ≤3a －1,或x ≥2a }, 由 N ⊆∁U M 得2a ≤－1或3a －1≥3②, 即a ≤－12或a ≥43,又a <1③,故a ≤－12.综上所述,a ≥1或a ≤－12.即a 的取值集合为{a |a ≥1,或a ≤－12}．【点评】 警误区,促提升失分点1：解题时若未对集合M 的情况进行分析,即忽视了对①处的讨论,则会导致讨论不全面而失分．失分点2：解题时若在②处未考虑端点的等号是否能取到,则会导致答案错误． 失分点3：解题时若忽视③处,即忽视了本例是在大前提a <1的情况下解题的,则会导致答案错误．设集合A ＝{x |x ＋m ≥0},B ＝{x |－2<x <4},全集U ＝R ,且(∁U A )∩B ＝∅,求实数m 的取值范围．解：因为A ＝{x |x ≥－m },所以∁U A ＝{x |x <－m }, 又B ＝{x |－2<x <4},(∁U A )∩B ＝∅, 分析可知－m ≤－2,即m ≥2, 所以m 的取值范围是m ≥2.一、选择题1．设全集U ＝{1,2,3,4,5,6},集合P ＝{1,2,3,4},Q ＝{3,4,5},则P ∩(∁U Q )＝( D )A．{1,2,3,4,6}B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5} D．{1,2}解析：本题考查了集合的交、补运算,由已知得P∩(∁U Q)＝{1,2,3,4}∩{1,2,6}＝{1,2}．2．设全集U＝R,A＝{x|0≤x≤6},则∁U A等于(B)A．{0,1,2,3,4,5,6} B．{x|x<0,或x>6}C．{x|0<x<6} D．{x|x≤0,或x≥6}解析：由补集定义并结合数轴易知∁U A＝{x|x<0,或x>6},故选B.3．设集合U＝{1,2,3,4},A＝{1,3},B＝{3,4},则∁U(A∪B)等于(C)A．{1,3,4} B．{1,4}C．{2} D．{3}解析：∵A＝{1,3},B＝{3,4},∴A∪B＝{1,3,4},又∵U＝{1,2,3,4},∴∁U(A∪B)＝{2},故选C.二、填空题4．已知全集U＝{x|x<3},集合A＝{x|－1≤x≤2},则∁U A＝{x|2<x<3,或x<－1}．解析：画出数轴,结合补集定义,易知∁U A＝{x|2<x<3,或x<－1}．5．设集合U＝{1,2,3,4,5},A＝{2,4},B＝{3,4,5},C＝{3,4},则(A∪B)∩(∁U C)＝{2,5}．解析：∵A∪B＝{2,3,4,5},∁U C＝{1,2,5},∴(A∪B)∩(∁U C)＝{2,5}．三、解答题6．设U＝R,已知集合A＝{x|－5<x<5},B＝{x|0≤x<7},求(1)A∩B；(2)A∪B；(3)A∪(∁U B)；(4)B∩(∁U A)；(5)(∁U A)∩(∁U B)．解：如图1,(1)A∩B＝{x|0≤x<5}．(2)A∪B＝{x|－5<x<7}．(3)如图2,∁U B＝{x|x<0,或x≥7},∴A∪(∁U B)＝{x|x<5,或x≥7}．(4)如图3,∁U A＝{x|x≤－5,或x≥5},B∩(∁U A)＝{x|5≤x<7}．(5)方法1：∵∁U B＝{x|x<0,或x≥7},∁U A＝{x|x≤－5,或x≥5},∴如图4,(∁U A)∩(∁U B)＝{x|x≤－5,或x≥7}．方法2：(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{x|x≤－5,或x≥7}．。