第七章大气波动理论

相速度与群速度： 相速度是位相的传播速度，如槽脊的移速 群速度是振幅/能量的移动速度。
一维波动已知频散关系：＝ (k ) d 则相速度为c 群速度为c g ; k dk 三维波动 已知频散关系＝ (k , l , n) ( K ) 相速度为C 2 K K 群速度为C g i j k k l n
从力的角度讲，水平压力梯度力是回复机制。 （气柱重量差产生） 从运动角度讲，水平的辐合辐散运动回复机制。
②AA’间辐散 BA间、A’B’间辐合 由面上升扰动向左右两边传播 传播的机制：水平辐合辐散
由上面分析可见， 重力外波性质：①双向传播 ②上下振荡、水平传播垂直向横波
形成条件：①自由表面的存在 ②静力平衡 ③水平辐合辐散是产生、传播的重要机制。

kc d
dc cg ck dk dk
1、c与k无关 ——该波动的波速与波长无关
cg c; 波动的能量随波动的传播而传播 非频散波
2、c与k有关 ——该波动的波速与波长有关
cg c; 波动的能量不随波动的传播而传播 频散波
cg c
cg c
叶笃正,1949,能量频散理论:
重力外波——发生在自由表面（即ρ的不连续面）上的波动。 重力内波——发生在稳定层结的层结大气中。
物理分析：
稳定层结中，垂直向受到扰动，形成浮力振荡， 通过水平的辐合辐散传播→重力内波。
浮力振荡发生在稳定层结的层结大气中，因为只有在稳定层 结下，才能形成回复机制，使振荡传播出去形成波动。 浮力振荡： 在稳定层结中，当气团受到垂直扰动时，它要受到与位移相 反的净浮力（回复力）作用而在平衡位置附近发生振荡，这 种振荡称为浮力振荡。（类比于弹性振荡）
一个周期，正好移动一个全波形
2 2 S ( x, t ) A cos( x t ) A cos( kx t ) A cos k ( x ct ) L T
3、波动的数学表示 任一个波动，可以用无穷多个不同波长、不同强度的简谐波 （单波、单色 )叠加而形成 数学上，任一周期函数都可以用傅立叶级数展开来表达。
声波的每个物理过程，都是可以用基本方程描述的； ∴大气方程组一定具有声波解。
物理模型——假设： （1）大气是可压缩的。
（2）大气运动仅仅局限在x轴上 —— 由于声波是纵波，则声波只在x向传播
(v 0, w 0)
简化问题，先滤掉的横波（如重力波、大气长波等） 如：重力波（水面波）：上下振动，水平方向传播。
物理分析：空气块受压缩
V 0
T 压缩－膨胀速度很快，绝热过程） （ (连续方程）
质量守恒
①“大气可压缩性”是声波的产生机制。 ②声波的振动，与传播方向一致 ——典型的纵波。
③与天气系统（振荡周期为几天，传播速度为10m/s～与风速相当）相比， 声波是高频波 ——如果不滤去，会引起不稳定。
两种重力波
重力外波 大气自由面上 重力内波 层结大气内部
一、重力外波
※物理分析：
均质流体的自由表面上产生的波动，与水面波相同。以一维渠道波为例：
垂直剖面图：
没有扰动，水面呈水 平的，流体深度H为 常量。
如初始时刻，给AA’向上的扰动：
AA’间的压强（气柱高度）>BA间、A’B’间 ——A线向左，A’线向右的压力梯度力 ——A线向左运动，A’线向右运动。
（3）不计科氏力（f＝0） （∵科氏力不是引起声波的主要作用） ——滤去了由科氏力产生的波， 如惯性波、大气长波等。 （4）膨胀和压缩是绝热过程
滤除水平声波的条件
1.假定大气是不可压缩的 2.假定大气是非弹性的 3.假定大气是准地转运动的 4.假定大气是水平无辐散的
滤除垂直声波的条件
1.假定大气是不可压缩的 2.假定大气是非弹性的 3.假定大气是静力平衡的
则：S A ( x, t )e
波数为k,圆频率为ω，振幅为


i ( kx t )
的波动
A ( x, t )
k 这里A ( x, t ) 2 A cos( x t) 2 2 随时空也是周期变化，且传播的。 波振幅（波能量）的传速称为群速度。 dx cg dt d ＝ k dk A* 常量
典型波动： 一维波动：渠道波 二维波动：湖里水面波 三维波动：声波、电视塔发射的球面波
单个简谐波解（单波解）： S A cos ; A sin ; Aei kx ly nz t 三维波动 kx ly t 二维波动 kx t 一维波动
S ( x, t ) S m
m
Sm Am cos km ( x cmt ) Bm sin km ( x cmt ) Dm cos[km ( x cmt ) m ]
m=0,1,2,3…
波长L=l/m
纬向波数
2 2 2m km L l/m l
m——纬向波数目（整数）
多个简谐波迭加 至少是2个。 考察二个振幅相同，频率与波数相近 的简谐波迭加的结果。
S1 Aei ( k1x 1t ) S 2 Ae
i ( k 2 x 2t )
k 2 k1 k1 & k 2 波数相近
2 1 1 & 2
频率相近
S S1 S 2 Ae Ae [e
波动学中，求解天气系统移动的问题，即求解波速c的问题。
k——波数：
k 2 L 2
距离内波的数目；
ω——圆频率：
2 T 2
时间内质点完成全振动的次数。
(kx t )
波速：等位相线（面）的移速。 dx C dt 常量 2 2 2 dx 2 ＝( x t )＝常量 － ＝0 L T L dt T dx L C ＝ dt 常量 T
第二节 波群和波速度
振幅表示了波动强度（能量
E A 2 ）。
S S m 0 单个简谐波，振幅A是常量。
m
S S m 多个简谐波叠加可以表达实际的波动 振幅是时空的函数
考虑“线性波动传播”时，使用单个简谐波解 考虑波动强度变化时，应该用多个简谐波叠加 ——称群波或波群或波列或波包。
第七章 大气波动理论
王树舟 南京信息工程大学大气科学学院
波动学的优点：
1、可以利用成熟的波动学理论对天气系统形成机理、它的发生发展和移 i动进行研究。
2、∵槽脊的移动，即等位相线的运动，即波的移动。
∴槽的移速＝相速＝波速 3、波动学把气旋（低压）、反气旋（高压）系统联系起来。
本章目的：
用波动学理论讨论天气系统的形成、发生发展及移动的机理。 －－通过大气运动方程进行理论探讨。 存在问题： 除了大尺度的天气波动外、大气中（基本方程中）还存在其他波动。
1 大气层结
• 大气的基本状态：
P ( z )：由低层向高层，气柱的长度在减小 z ，P( z) ( z )：在重力的作用下，粒子集中在下层 z ， ( z) T ( z )：大气吸收地面的长波辐射而增温 z ，T( z)
第四节 重力波
1、实际大气：没有自由面。在讨论动力 过程时，经常把大气简化为均质大气— —具有了自由面。 在大气自由面上会产生类似于水面波 的波动——重力波。 自由面——密度不同流体的交界面。
2．实际大气是层结流体，看作是许多密度不同的流体层组成。 不同密度的流体交界面上，会产生重力波。
如：稳定层结下，气块受净浮力（重力和浮力的合力）的回复力作用， 作振荡；如果振动能够传播，形成波动。
四类基本波动： 大气长波，声波，重力波，惯性波。
重要：大气长波 谐音：要保留的； 次要：如声波等 噪音：要去掉的。 滤波
滤波的目的： 去除次要波动的干扰，讨论主要波动； 特别在数值预报中：
u u 差分 f (t ) f (t ) t t ut t ut f (t ) t 即用有限元(t )代替无限元(t 0)
2、波动的表达——波参数
简谐波：
S ( x, t ) A cos 2 2 ＝( x t) L T 位相
其中，A——振幅； L——波长：相邻两个同位相点间的距离，即一个完整的波形的长度；
x
T——周期：
质点完成一个全振动需要的时间；
c——波速或相速： 等位相线&等位相面的移动速度，即槽的移速；
且令： k1 k 2 1 2 k , ; 2 2 k k 2 k1 , 2 1
则： k i ( kx t ) S 2 A cos( x t )e 2 2 k
令：A ( x, t ) 2 A cos( 2 x 2
t)
u u t t 时间步长t 0时 误差 0 由于计算机资源限制， t不能取太小
如果取时间步长为10分钟，对于时间尺度为105s的天气尺度波动来说，误 差较小。而对于声波等快波来说，误差就很大(随机的），且是累积。
第一节 波动的基本知识
1、波动定义： 振动在弹性媒介中的传播。
需要二个条件： 1）振动 2）能够传播。
振荡机制 波动机制 缺一不可 传播机制
传播的是振荡的状态。
①振荡引起的机制： 回复力～机械学中的观点。一般回复机制
稳定：净浮力与位移方向相反，可以产生振荡； 如大气层结 不稳定：净浮力与位移方向相同。
②传播机制：质点与质点之间的联系
波动的最大特点：周期性 ——时间上周期变化；空间上周期分布 ——有规律、重复发生 ——可预测
波动学与涡旋动力学、大气能量学讨论的对象、内容、目的相同；角度和 理论不同，可以互相补充。
e.g.1 气旋增强
涡度增加～涡旋动力学； 槽加深～波动学
K’增加～能量学。
e.g.2 槽脊东移～波动学；