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滚动轴承基础知识我国滚动轴承工业的发展概况什么是轴承：轴承是支撑轴或其它旋转件的零件;它引导旋转运动并承受传递给支架的负荷;滚动轴承与滑动轴承比较,由于其尺寸已经国际标准化,并且具有互换性好、维修方便、便于专业化大生产等特点,目前已发展成为现代化机械的重要精密配件之一,广泛的应用于汽车、拖拉机、机车车辆、船舶、飞机、雷达、机床、电机以及各种矿山、冶金、石化、轻纺、工程、地质、农机等机械、仪器仪表上;特别值得一提的是我国发射的神州五号载人飞船上,使用哈轴生产的九套轴承,哈轴的副总工程师、研究所所长等都参加了神州五号载人飞船发射成功的庆功、总结、表彰大会;我国的滚动轴承工业是解放后才建立并发展起来的,新中国成立以前,全国仅在瓦房店有一家轴承制造厂,其他在上海、沈阳、天津、长治等地仅有一些简陋的轴承修造点,大多数是手工作坊式的轴承修理厂,连最普通的球轴承都不能独立、完整的生产;新中国成立后,1950年抗美援朝,由于战备的需要,瓦房店轴承厂部分人员和设备搬迁到哈尔滨,建立了我国第二个轴承厂——哈尔滨轴承厂;在第一个五年计划期间,瓦房店轴承厂和哈尔滨轴承厂的部分人员和设备又搬迁到洛阳,新建了我国第三个轴承厂——洛阳轴承厂;从此我国有了三个大型的轴承企业,初步形成了我国轴承工业的基础;随着国民经济的发展和改革开放,先后在各省、市、自治区又建立了五十多个大中型主要生产厂家,再加上一些地方发展的小型企业全国已有轴承生产厂点近千个,基本上形成了我国轴承工业的生产体系;目前,我国各类轴承的总产量已超过五亿套,已能生产近四百种结构,一千多个尺寸系列,五千多个基本型号,两万多个品种,精度等级为P0、P6、P5、P4、P2的轴承;其中包括内径为㎜的微型轴承；外径达5000㎜、重量达的特大型轴承；套圈最小壁厚为㎜的薄壁柔性轴承以及高温、低温、高速、高真空、耐腐蚀、耐辐射等特殊工作条件下的轴承;有力的促进了国民经济的建设和国防工业的发展;一;轴承的概念轴承是支承轴或其它旋转件旋转,并能传递负荷的机器配件;滚动轴承是一种通用性很强、标准化程度很高的基础件,由于各种机械有着不同的工作条件和环境,对轴承在负荷能力、结构、使用性能等方面都提出了各种不同的要求,因此滚动轴承就需要有各式各样的结构来满足机械的要求,但其最基本的结构是由“四大件”组成的,即内圈、外圈、滚动体、保持器;（一）动轴承“四大件”在轴承中的作用及零件代号1．内圈内套：通常与轴紧配合,并一起旋转;代号：02；2．外圈外套：通常与轴承座孔配合,起支承作用;代号：01；3．滚动体钢球或滚子：借助保持架均匀地排列在内、外圈之间,其形状、大小和数量影响了轴承的承载能力和使用性能;代号：04;4．保持架：将滚动体均匀地分隔开,引导滚动体的旋转及改善轴承内部润滑性能; 代号：06实体,07冲压；5．推力轴承中与轴紧配合并一起旋转的叫轴圈,也叫紧圈；6．推力轴承中与轴承座孔配合的叫座圈,也叫活圈;二滚动轴承套圈的生产过程棒料→锻造→退火→车加工→热处理→磨加工→精研或抛光→零件终检→防锈入库;（三）球轴承的装配过程零件退磁、清洗→内、外圈滚道尺寸分组选别→合套→检查游隙→铆合保持架→终检→退磁清洗→涂油、包装→入成品库装箱、发运;（四）滚动轴承的优缺点1）优点①摩擦系数小,摩擦阻力及起动力矩小,功率消耗小,机械效率高,负荷、转速和工作温度的适应范围较宽,工况条件的少量变化,对轴承性能的影响不大；②外形尺寸已标准化,具有互换性好,安装、拆卸和维修都很方便,润滑和维护保养容易,大多数类型的轴承能同时承受径向和轴向负荷；③轴向结构紧凑,使机器的轴向尺寸大为减少；④精度高,磨损小,寿命长,能在较长时间内保持轴的安装精度;⑤具有自动调心性能的轴承,当主轴有轻微挠曲或配合部件有些不同心时仍能正常工作；⑥适宜于专业化大批量生产,质量稳定、可靠,生产效率高;2缺点不宜承受强大的冲击和振动,运转时有振动和噪音,制造成本较高;二;滚动轴承的分类一滚动轴承按承受载荷的方向分类载荷的概念载荷分为径向载荷和轴向载荷；轴向载荷是指轴承载荷的作用方向平行于轴承的轴心线;径向载荷是指轴承载荷的作用方向垂直于轴承的轴心线;承受轴向载荷的能力随载荷的作用线与轴承径向平面之间的夹角的增大而增大;1．向心轴承包括：①向心球轴承：主要用于承受径向载荷,同时也可以承受不大的轴向载荷;②向心短圆柱或滚针轴承：主要用于承受径向载荷;③角接触向心轴承：能承受径向和轴向的联合载荷,一般以径向载荷为主;2．推力轴承包括：①推力轴承：仅用于承受轴向载荷;②角接触推力轴承：主要承受轴向载荷,也能承受不大的径向载荷;二滚动轴承按滚动体分类1．球轴承：深沟球轴承、调心球轴承、角接触球轴承、推力球轴承等; 2．滚子轴承：圆柱滚子轴承、滚针轴承、圆锥滚子轴承、调心滚子轴承、螺旋滚子;三滚动轴承按外径尺寸分类分为: ①微型轴承： D<26mm；②小型轴承： 26mm≤D<60mm;③中小型轴承： 60mm≤D<120mm; ④中大型轴承： 120mm≤D<200mm;⑤大型轴承： 200mm≤D<400mm; ⑥特大型轴承: 400mm≤D<2000mm;⑦重大型轴承: D≥2000mm;四滚动轴承类型代号新旧对照表三．滚动轴承代号的组成是用字母加数字来表示滚动轴承的结构、尺寸、公差等级、技术性能等特征的产品符号,由基本代号、前置代号、后置代号构成;一滚动轴承代号排列规则表2-1二滚动轴承基本代号表示的含义基本代号表示轴承类型、尺寸系列及内径代号;三尺寸系列代号的含义轴承尺寸系列代号由宽度系列代号和直径系列代号构成;1．直径系列指对应同一轴承内径的外径尺寸系列,也就是指相同内径的轴承有各种不同的外径,分别有：7、8、9、0、1、2、3、4、5等外径尺寸依次递增;2．宽度系列指对应同一轴承直径系列的宽度尺寸系列,也就是指直径系列相同的轴承有各种不同的宽度或高度,分别有8、0、1、2、3、4、5、6等宽度尺寸依次递增;四内径代号的含义轴承公称内径φ10—φ480mm内径代号的表示方法例：16205—ZN：6表示单列深沟球轴承；02表示尺寸系列为02系列；05表示内径尺寸为25mm；ZN表示外圈有止动槽一面带防尘盖的轴承;26203—2RS/Z2：6表示单列深沟球轴承；02表示尺寸系列为02系列；03表示内径尺寸为17mm；2RS表示两面带接触式橡胶密封圈；Z2表示振动加速度级值符合Z2组;五滚动轴承外部结构变动常见的代号及含义K：锥度1：12；N：轴承外圈有止动槽；—Z：轴承一面带防尘盖；—2RZ：轴承两面带非接触式橡胶密封圈；—ZN：轴承一面带防尘盖,另一面外圈有止动槽；—2Z：轴承两面带防尘盖；四．滚动轴承常用技术条件滚动轴承的技术条件是指轴承制造精度而言,主要包括各种公差等级的尺寸精度和旋转精度,以及其它技术要求．例如：硬度、游隙、旋转灵活性、振动和噪音、残磁、外观质量、标志和包装等;一轴承噪音等级的分组分Z1；Z2；Z3；Z4;噪音依次降低;二我公司生产轴承的精度等级轴承的精度按其基本尺寸精度和旋转精度分级;圆锥轴承有P0；P6X；P5；P4级轴承;其余各类轴承有P0；P6；P5；P4；P2级轴承;1．滚动轴承基本尺寸精度包括：内径、外径、宽度的制造精度;2．滚动轴承旋转精度包括：①成套轴承内圈和外圈的径向跳动Kia和Kea；②成套轴承内圈和外圈端面对滚道的跳动Sia和Sea；③内圈基准端面对内径的跳动Sd；④外表面母线对基准端面倾斜度的变动量S D;⑤推力轴承垫圈滚道对底面厚度的变动量Se；三滚动轴承游隙的分类分为径向游隙和轴向游隙1．径向游隙是指在无载荷时当轴承一个套圈固定,另一个套圈沿径向由一个极端位置到另一个极端位置的移动量;游隙是轴承工作的重要参数,它直接影响轴承的负荷分布、振动、噪音、摩擦、寿命、精度、刚性和运转精度;另一方面轴承的游隙因配合的种类、转速、温升的不同会发生变化;根据轴承所处的状态不同,游隙分为：原始游隙、安装游隙和工作游隙;一般三者是不相同的,选用时必须考虑到游隙的变化情况;1径向游隙的分组径向游隙分为C1；C2；C0；C3；C4；C5C0为基本组,在代号中可以不表示;2大游隙和小游隙适用哪些场合大游隙适用于轴承与轴和外壳采用过盈配合,轴承内圈与外圈温差较大,深沟球轴承需要受较大轴向载荷或需改善调心性能,要求提高极限转速以及降低摩擦力矩等场合;小游隙适合要求较高的旋转精度,严格控制轴或外壳的轴向位移以及需要减少振动和噪音等场合;2．轴向游隙略四新颁布滚动轴承公差符号及字母的含义答：V：表示变动量； m：表示平均； P：表示平面;s：表示单一; d：轴承公称内径; D：轴承公称外径；B：内圈公称宽度；C：外圈公称宽度; S：表示侧面;i：表示内圈； e：表示外圈； K：表示径向圆跳动;Δ：表示偏差; R：曲率半径; α：公称圆锥角;（五）轴承套圈形位公差符号及新旧术语对照表（六）滚动轴承钢的性能要求轴承内、外圈滚道和滚动体在很高的接触应力作用下进行相对滚动运动,滚动体和滚道之间还不可避免的存在着少量的滑动摩擦和滚动摩擦;滚动体、保持架、套圈挡边相互之间也存在着摩擦;因此,制造轴承套圈和滚动体的材料是轴承质量的基础;1．硬度及冲击韧性的概念1硬度是金属材料抵抗硬的物体压入其表面的能力;2冲击韧性是金属材料抵抗冲击载荷而不被破坏的能力;2．滚动轴承钢要求有较高的接触疲劳强度、有良好的耐磨性、有较高的弹性极限、有适宜的硬度、有一定的韧性、有良好的尺寸稳定性、有一定的防锈性能、有良好的加工工艺性能;3．我厂常用的轴承钢及性能我厂常用高碳铬轴承钢,牌号为GCr15和GCr15SiMn；高碳硌轴承钢是含铬~%的高碳合金钢,热处理后显微组织比较稳定,硬度高而均匀,耐磨性好,接触疲劳强度高,具有良好的尺寸稳定性和耐腐蚀性;经球化退火后,其切削加工性能良好,价格便宜;可以满足一般工作条件下运转轴承的使用要求;4．对轴承套圈和滚动体硬度的规定材料为GCr15；淬火后：套圈硬度：HRC61~65；滚动体：HRC62~66；七常用保持架的材料有黑色金属例如08和10优质碳素钢板等、有色金属如黄铜类、铜铝合金、铝合金等、非金属材料如酚醛胶布、尼龙等我公司调心球轴承和双列角接触轴承两个系列轴承全系列采用尼龙保持架其特点是重量轻、耐磨、强度好且有一定的自润滑性,对适当提高轴承转速、降低噪音、延长使用寿命均是比较有利的;并且耐温120℃~-40℃,不变形;在高速、高真空、低温和防磁情况下工作的轴承保持架用这些材料制造是很理想的;八轴承的润滑润滑脂按其主要成份分为：钙基、钙钠基、钠基、锂基、钡基等多种;我厂常用锂基润滑脂；其耐温性能及抗水性能均较好,寿命长,可适用于环境温度150℃左右并且潮湿的场合,但成本较高;严禁使用钙基脂代替锂基脂1．轴承润滑的作用①使相互接触的表面之间形成一层油膜,把两表面隔开,减少接触面的摩擦和磨损;②采用油润滑时,能带走轴承内部大部分摩擦热,起到良好的散热作用;③采用脂润滑时,可防止外部灰尘、异物进入轴承,起到一定的密封作用;④润滑剂具有一定的防锈的作用;⑤减少振动和噪音,延长轴承的使用寿命;2．轴承润滑的方法主要有脂润滑；油润滑；固体润滑;1油润滑的方式油浴润滑；滴油润滑；循环润滑；喷雾润滑；喷射润滑;2脂润滑的方式锂基脂；高温锂基脂；3．润滑油的粘度的选择粘度是润滑油的重要特性,随着工作温度的升高,润滑油的粘度将会降低,一般轴承转速较高时,选用较低粘度的润滑油；载荷较大应选用粘度较高的润滑油;4．轴承中润滑脂充填量的规定以充满轴承空间的1/2~1/3为宜,高速旋转时仅填充至1/3;低速且密封要求较严格的情况下可填满轴承空间; 五．轴承选型和安装时的注意事项一轴承安装的注意事项轴承是一种精密的机械零件,其套圈和滚动体均有较高的精度和表面粗糙度;若安装不正确及易造成轴承零件的变形和损坏,甚至使轴承不能正常运转;实践证明,轴承安装不当是轴承早期失效的主要原因之一;在轴承安装或拆卸过程中,要注意以下几个方面：1．确保轴承及其安装环境清洁,即使肉眼看不见的微小灰尘进入轴承内,也会增加轴承的磨损、振动和噪声;因此,装拆轴承的现场要清洁,轴承的清洗要干净;脂润滑的密封轴承不需要清洗2．装拆操作要认真仔细,不允许强力冲击,不允许用铁、铜锤直接敲击轴承,不允许通过滚动体传递安装力;应采用专用工具安装;允许加热轴承装轴;用油箱加热轴承时,在距箱底一定距离处应有一网栅,或者用吊钩吊着轴承;轴承不能放到箱底上,以防沉淀杂质进入轴承内或不均匀的加热;加热温度必须控制在100℃以下,以防止发生回火效应,使轴承的硬度降低;3．要使用合适的装拆工具,尽量用专用工具;极力避免使用布类和纤维之类的东西;避免微尘进入轴承内;4．轴承安装时要使轴和座孔的中心线重合;即同轴度要好;5．工作游隙和安装游隙轴承在实际运转条件下的游隙,称为工作游隙;在一般情况下,工作游隙总是大于安装游隙;特别是圆锥轴承、带锥孔的轴承、角接触轴承和推力轴承在安装时要注意调整好工作游隙;6．在安装过程中调心球轴承允许内、外圈轴线有一定的倾斜角度在普通载荷下,轴受载弯曲或加工不良及安装误差造成内、外圈倾斜角度最大允许值为3℃;深沟球轴承允许值为8′；7．安装后要确保轴承的工作环境和位置,清洁准确;8．安装后要确保轴承的润滑情况良好;二轴承选型的注意事项1．轴承的选择滚动轴承的选用直接关系到主机的工作性能,甚至影响主机的寿命;因此,在选用轴承时要根据各类轴承所具有的不同性能、精度、游隙以及机械的工作情况、负荷情况、转速要求等,选择适宜的轴承类型,仔细分析比较各类轴承的特性及性价比;通常选择轴承类型时应考虑如下因素：1分析掌握机械装置和轴承的使用条件;2明确对轴承的要求;3选择轴承的类型;4选择轴承的配置方式;5选择轴承的尺寸规格;6选择轴承的安装方法;2．滚动轴承配合中采用的基准制1）滚动轴承内圈与轴的配合采用基孔制；2）外圈与座孔的配合采用基轴制;3）一般采用较紧的过渡配合;3．轴承运转时所承受载荷的性质轴承运转时所承受载荷的性质分为：固定载荷局部载荷、旋转载荷循环载荷、摆动载荷、交变载荷、冲击载荷及振动载荷;4．对调心性的要求：外球面向心球轴承、调心球轴承和推力调心滚子轴承均具有较好的调心性能;5．对刚性的要求：所谓刚性是指轴承产生单位变形所需力的大小;当需要支撑刚度时,可选用圆柱滚子轴承或圆锥滚子轴承,因为这类轴承是线性接触,故弹性变形小,承载能力大;6．对轴承速度性能的要求：向心球轴承、角接触球轴承、圆柱滚子轴承等的极限转速均较高;7．游隙的选择和轴承的预紧1游隙是轴承是否正常工作的一个重要因素;选择适宜的轴承游隙,可以使负荷在滚动体之间分布合理,能限制轴或外壳的轴向和径向位移,从而保证轴的旋转精度;还能使轴承在要求的温度下正常工作,减少轴承工作时的振动和噪声,提高使用寿命;在选择轴承的游隙时,除应考虑轴承的工作条件如：负荷、转速、温度等和对轴承使用性能的要求如：摩擦力矩、振动和噪声、旋转精度等之外,还应考虑下列几点：A.轴承与轴和外壳的过盈配合导致游隙减小；B.轴承工作时内、外套圈的温度差导致游隙减小；C.轴和外壳的制造材料因膨胀系数不同导致游隙的减小或增大；2滚动轴承的预紧是指轴承装入轴承座和轴上后,使滚动体和内、外圈之间产生一定量的预变形,以保持内、外套圈和全部滚动体处于均匀压紧状态;在预紧状态下使用是滚动轴承的特点之一,其预紧的目的是：A.增加轴承的刚度;各类轴承通过预紧均可以增大支撑刚性;B.使旋转轴在轴向和径向正确定位,提高轴的旋转精度;C.减少轴承的振动和噪声;D.防止或减少滚动体的公转和自转打滑;8．其他要求在选择时还应综合考虑主轴对轴承轴向游动的要求,工作环境、尺寸精度的限制,安装拆卸是否方便,密封、摩擦力矩、振动、噪音等的特殊要求;9．单列深沟球轴承的性能特点结构简单,使用方便,摩擦损失小,极限转速高;但不耐冲击,不适宜承受重载荷,增大径向游隙具有一定角接触的性能,在轴向游隙范围内可限制轴和外壳两个方向的轴向位移;是我国产量最高,使用最普遍,价格最便宜的轴承;10．圆锥滚子轴承的性能特点负荷能力强,主要用来承受以径向载荷为主和一个方向的轴向载荷,可限制轴或外壳一个方向的轴向位移,因此可以作单向轴向定位;结构为分离型,可分别安装内圈和外圈,外圈可以互换,安装和拆卸比较方便,当游隙过小时,温升较高,当游隙过大时,振动加大,安装时不允许轴与外壳倾斜;11．推力球轴承的性能特点由一列钢球带保持架一个轴圈与轴紧配合和一个座圈组成;接触角α=90°,不能承受径向载荷,只能承受一个方向的轴向的载荷;负荷能力较大,允许极限转速较低;六．常见轴承的故障及失效情况各种机械装置均要求滚动轴承具有精度高、负荷力大、刚性好、摩擦力矩小及旋转平稳等性能,同时要求在使用期内能保持所需要的性能指标,低于使用要求而不能正常工作时,就称为轴承损坏或失效;轴承损坏前的使用期限就是广义的轴承的寿命;滚动轴承损坏或失效的形式有接触疲劳剥落；裂纹和断裂；塑性压痕；磨损烧伤；电流腐蚀；锈蚀；保持架损坏；精度降低；振动噪音大；摩擦力矩增大等;轴承损坏或失效的原因大多是由于安装使用不当造成的,例如：选型不合理、安装不正确、润滑不良、预紧不当、配合不当、尘埃和异物进入等等;但无论轴承设计的多么合理,使用条件多么合适,轴承也不可能永久的使用下去,终究会因为滚动表面的疲劳剥落而损坏;滚动轴承的寿命定义为：轴承中任意滚动体或滚道出现疲劳剥落前总的转速,或一定转速下的工作小时数;寿命的单位常用106转或小时表示;我们通常所说的寿命一般指的就是疲劳寿命;大量的试验表明：结构设计、材料和加工方法相同的一批轴承,在相同的条件下进行试验,其寿命数据有很大的离散性,最长寿命和最短寿命可能相差几十倍甚至上百倍,因而轴承的疲劳寿命是个随机的变量,寿命的离散性可以认为是由于材料内部组织和夹杂物分布的随机性、表面微观缺陷的随机性和试验条件不可避免的差异等随机因素造成的;评定滚动轴承寿命质量常用额定寿命和中值寿命这两个量;额定寿命：是指一批相同的轴承中,90%的轴承在疲劳破坏前能够达到或超过的寿命;中值寿命：是指一批相同的轴承中,50%的轴承在疲劳破坏前能够达到或超过的寿命;一滚动轴承破坏形式及产生的原因1．接触疲劳剥落：主要是安装使用不当造成的;如：安装误差滚动体受力、同轴度不好、轴承及环境不清洁、安装不到位产生偏移等、润滑不良、灰尘进入等;2．裂纹和断裂：安装不当或者受冲击负荷,轴承会发生微小的裂纹甚至断裂; 3．塑性压痕：受冲击力或载荷过大产生塑性变形过大,轴承工作表面上形成塑性变形凹坑,使摩擦和振动增大,运转不平稳,轴承无法正常工作;4．磨损及烧伤：轴承由于润滑不良、灰尘砂砾等异物进入、清洗不干净、润滑剂中的杂质以及工作表面锈蚀等因素,使轴承工作表面的磨损增加;当滚动表面局部摩擦和发热急剧增加,接触表面之间不能形成油膜,在干摩擦状态下就会发生烧伤;从而造成轴承的早期失效;5．电流腐蚀：当轴承内部有电流通过时,滚动体和滚道接触处很薄的油膜被击穿产生电火花,造成局部表面熔融的现象称为电蚀;6．锈蚀：产生锈蚀的因素较多,主要有酸、碱和水的溶液或气体侵入轴承时、空气中的水份凝结成水雾或水滴,附着在轴承上、润滑剂的添加剂中含有的硫磺或氯化物,在高温时分解或在水份侵入时,都会使轴承产生锈蚀;7．保持架损坏：主要原因是润滑不好滚动体和保持架之间磨损增加,继之可使保持架发生变形和断裂;二影响轴承噪音的常见原因①轴承内部清洁度；②滚动体的单体振动；③套圈滚道的粗糙度及圆度；④滚道或滚动体有伤；⑤刮盖等;实践证明,内圈、外圈、钢球三者对滚动轴承振动、噪音影响由强至弱的顺序为钢球、内圈、外圈;三残磁对轴承的影响残磁：轴承零件经退磁后残留的磁性;残磁对轴承的使用寿命有很大的影响,有了残磁的轴承,不仅不易洗净工作表面上的铁沫,工作中产生的铁沫也被吸附在轴承的工作表面上,加速了轴承的磨损;四滚动轴承的表面质量滚动轴承的表面质量指表面粗糙度和表面缺陷;1．表面粗糙度是指加工表面上具有的较小间距和峰谷所组成的微观几何形状特性,即表面微观的不平度;2．表面缺陷包括：裂纹、烧伤、打印质量、黑皮、磨伤、麻点、划伤、碰伤、锐角、毛刺和其他机械伤及材料缺陷等;五轴承的锈蚀及原因1．锈蚀是指金属表面与外界介质产生化学反应或由于电化学作用发生氧化而引起的破坏;轴承中常见的锈蚀有片状黄锈、蜂窝状孔锈、指纹锈、黄印锈、黑印锈及碰伤后产生的黑锈;2．轴承零件锈蚀的原因①潮湿的空气；②酸性物质；③腐蚀性碱、盐类；④尘埃和杂质；⑤不遵守防锈制度和防锈规程;七．轴承经销和使用过程中的常识一如何鉴别真假HRB轴承1．HRB民用产品三等分标志的内容：型号、HRB、CHINA；。
数学竞赛辅导讲义——圆幂与根轴一、圆幂的定义：在平面上，从点P 作半径为r 的圆O 的割线，从P 起到和该圆周相交为止的两线段之积是一个定值，称为点P 对于此圆周的圆幂.圆幂定理：（1）当P 在圆O 外时，点P 对于此圆的幂等于22OP r -； （2）当P 在圆O 内时，点P 对于此圆的幂等于22r OP -；（3）当P 在圆O 上时，规定：点P 对于此圆的幂等于0.二、根轴及其性质 1.根轴的定义：对于两个已知圆的圆幂相等的点的轨迹是一条直线，该直线称为这两圆的根轴.2.根轴的性质：（1）若两圆1O 与2O 相离（半径分别为1r ，2r 且12r r ≤），点M 为12O O 的中点，点H 在线段1O M 上，且2221122r r MH O O -=，则此两圆的根轴是过点H 且垂直于12O O 的直线.特别地，当两圆相离且半径相等时，它们的根轴是线段12O O 的中垂线.（2）若两个圆是同心圆，则这两个圆不存在根轴.（3）若两个圆相交，则它们的公共弦所在的直线就是它们的根轴.（4）若两圆相切，则过两圆切点的公切线是它们的根轴.（5）若三个圆的圆心互不相同，则任意两个圆的根轴共三条直线，它们相交于一点或互相平行.（6）若两圆相离，则两圆的四条公切线的中点共线（都在根轴上）. 思考：能否从解析几何的角度看根轴？三、例题例1 如图，设I 和O 分别是ABC ∆的内心和外心，r 和R 分别是ABC ∆的内切圆和外接圆的半径，过I 作ABC ∆的外接圆的弦AK . 求证：（1）IK BK =；（2）2AI IK Rr ⋅=； （3）222OI R Rr =-.（欧拉公式）例2 如图，设圆1O 与圆2O 相离，引它们的一条外公切线切圆1O 于A ，切圆2O 于B ，又引它们的一条内公切线切圆1O 于C ，切圆2O 于D ，求证：（1）AC BD ⊥；（2）直线12O O 是分别以AB ，CD 为直径的圆3O ，4O 的根轴；（3）直线AC 和BD 的交点K 在两圆的连心线12O O 上 .例1K例3（1997年全国联赛）已知两个半径不相等的1O 与2O 相交于M ，N 两点，且1O ，2O 分别与O 内切于S ，T 两点，S ，N ，T三点共线，求证：OM MN ⊥.四、练习题1.点D ，E 为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，分别以BE ，CD 为直径的圆1O 与2O 交于点M ，N .求证：ABC ∆的垂心H 在直线MN 上.1.C例32. （第36届IMO ）设A 、B 、C 、D 是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以AC ，BD 为直径的圆1O ，2O 交于点X ，Y ，直线XY 交BC 于点Z .若P 为直线XY 上异于Z 的一点，直线CP 与交圆1O 于点C 及M ，直线BP 与交圆2O 于点B 及N . 求证：（1）B ，M ，N ，C 四点共圆； （2）A ，M ，N ，D 四点共圆； （3）AM ，DN ，XY 共点.3. （第40届IMO 国家队选拔题）凸四边形ABCD 的四边满足AB AD CB CD +=+，圆O 分别与凸四边形ABCD 的AB ，BC 两边相切于G ，H 两点，与对角线AC 相交于E ，F 两点.求证：存在另一个过E ，F 两点，且分别与DA ，DC 的延长线相切的圆'O .2.3.BD。
机械设计基础课程优质教案讲义轴的设计优质教案一、教学内容本讲义基于《机械设计基础》教材第五章“轴的设计”。
详细内容涵盖轴的力学分析、轴的材料选择、轴的结构设计、轴的强度计算及轴的稳定性分析。
二、教学目标1. 理解轴的基本概念，掌握轴的设计方法。
2. 学会进行轴的强度计算，确保设计的轴能满足实际工作需求。
3. 掌握轴的稳定性分析，提高轴的使用寿命。
三、教学难点与重点重点：轴的材料选择、结构设计、强度计算。
难点：轴的稳定性分析，轴的强度计算公式推导。
四、教具与学具准备1. 教具：PPT课件、黑板、粉笔。
2. 学具：计算器、笔、纸。
五、教学过程1. 导入：通过展示实际工程中轴的应用案例，引导学生了解轴的重要性。
2. 理论讲解：a. 介绍轴的基本概念、分类及用途。
b. 讲解轴的材料选择原则，引导学生正确选择轴的材料。
c. 分析轴的结构设计方法，提高学生轴的设计能力。
3. 例题讲解：a. 以实际轴的设计为例，演示轴的强度计算过程。
b. 解释轴的稳定性分析，展示稳定性计算方法。
4. 随堂练习：a. 让学生根据所学知识，自主完成轴的强度计算。
b. 引导学生进行轴的稳定性分析。
六、板书设计1. 轴的基本概念、分类及用途。
2. 轴的材料选择原则。
3. 轴的结构设计方法。
4. 轴的强度计算公式。
5. 轴的稳定性分析。
七、作业设计1. 作业题目：a. 计算给定参数的轴的强度。
b. 分析给定轴的稳定性。
2. 答案：a. 强度计算结果。
b. 稳定性分析结果。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课的教学效果，学生对轴设计知识的掌握程度。
2. 拓展延伸：a. 研究轴的疲劳寿命分析。
b. 探讨轴的优化设计方法。
c. 了解轴在工程领域的最新应用动态。
通过本讲义的学习，学生能系统地掌握轴的设计方法，为后续课程的学习和实际工程应用打下坚实基础。
重点和难点解析1. 轴的材料选择原则。
2. 轴的结构设计方法。
3. 轴的强度计算过程。
4. 轴的稳定性分析。
数轴、相反数、绝对值（讲义）➢课前预习1.为了表示相反意义的量，我们可以把其中一个量规定为正的，用正数来表示，而把与这个量意义相反的量规定为负的，用负数来表示．请根据上述内容回答问题：（1）如果规定向东为正，那么向东走5 m可记作+5 m，向西走8 m可记作_____m．（2）一种袋装食品标准净重为200 g，质监工作人员为了了解该种食品每袋的净重与标准的误差，把食品净重205 g记为+5 g，那么食品净重197 g就记为_____g．2.正数可分为正整数和正分数，那么负数也可以分为负整数和负分数．比如：-2，-5等都是负整数，而-1.5，12-都是负分数．请将下列各数进行分类：3，-2.5，3.14，32-，-9，100，0．其中属于整数的有：__________________________________；其中属于分数的有：__________________________________；其中属于正数的有：__________________________________；其中属于负数的有：__________________________________．3.如图，点A表示小明的家，动物园在小明家西边500米，书店在小明家东边500米，车站在书店东边200米，小明从动物园出发向东走1 000米，到达_________；动物园和书店到小明家的距离都是_______米；小明从家出发，走了500米，可以到达_________________；动物园和车站之间的距离为__________米．DCA1. _______与_______统称为有理数．2. 有理数的分类：有理数_________________________________________________⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎩_________________________________________________有理数⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎩⎩ 3. 非正数：_________________；非负数：________________． 非正整数：_______________；非负整数：______________． 4. 数轴的定义：规定了_______、________、_________的一条数轴．任何一个______都可以用数轴上的一个点来表示．5.数轴的作用：__________________、___________________、___________________________．6. 利用数轴比较大小：数轴上两个点表示的数，越往右数越____，越往左数越_____，右边的总比左边的______．正数_____0，负数_______0，正数________负数．7. 相反数的定义：__________________的两个数，互为相反数．特别地，____________________． 互为相反数的两个数，和为0．8. 绝对值的定义：在________上，一个数所对应的点与原点的__________叫做这个数的绝对值． 9. 绝对值法则：正数的绝对值是_________；___________________________；___________________________．1. 若上升5 m 记作+5 m ，则-8 m 表示__________；如果-10元表示支出10元，那么+50元表示_____________；如果零上5℃记作+5℃，那么零下2℃记作___________；太平洋中的马里亚纳海沟深达11 034 m ，可记作海拔-11 034 m （即低于海平面11 034 m ），则比海平面高50 m 的地方，它的高度记作海拔___________，比海平面低30 m 的地方，它的高度记作海拔___________． 2. 选出下列不具有相反意义的量（ ）A ．气温升高4℃与气温为12℃B ．胜3局与负4局C ．转盘逆时针转4圈与顺时针转6圈D ．支出5万元与收入3万元3. 有四包真空小包装火腿，每包以标准克数（450克）为基数，超过的克数记作正数，不足的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是（ ） A ．+2B ．-3C ．+3D ．+44. 如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm ），其中不合格的是（ ） A ．Φ45.02B ．Φ44.9C ．Φ44.98D ．Φ45.015. 把下列各数填入它所在的集合里：-2，7，32-，0，2 020，0.618，3.14，-1.732，-5，+3．①正数集合：{__________________________________…}；②负数集合：{__________________________________…}； ③整数集合：{__________________________________…}； ④非正数集合：{________________________________…}； ⑤非负整数集合：{______________________________…}； ⑥有理数集合：{________________________________…}．6.7. a ，b 为有理数，在数轴上的位置如图所示，则下列关于a ，b ，0三者之间的大小关系，正确的是（ ）b0aA ．0＜a ＜bB ．a ＜0＜bC ．b ＜0＜aD ．a ＜b ＜08. 数轴上表示-2和-101的两个点分别为A ，B ，则A ，B 两点间的距离是______________．9. 在数轴上大于-4.12的负整数有______________________．10. 到原点的距离等于3的数是____________．11. 数轴上，将表示-2的点向左移动两个单位后得到点A ，与点A 距离为3个单位的点对应的数是_________．12. 文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了-60米，此时小明的位置在（ ） A ．玩具店B ．文具店C ．文具店西边40米D ．玩具店东边-60米13. 填空： 13+的相反数是_____；-3.5的相反数是_____；(1)--的相反数是_____；(2)+-的相反数是_____；0的相反数是_____． 14. A ，B 是数轴上两点，线段AB 上的点表示的数中，有互为相反数的是（ ）A ．B AB ．B AC ．B AD ．B A15. 下列各组数中，互为相反数的两个数是（ ）A ．-3和+2B ．5和15C ．-6和6D ．13-和1216. 下列化简不正确的是（ ）A ．( 4.9) 4.9--=+B ．( 4.9) 4.9-+=-C ．[]( 4.9) 4.9-+-=+D ．[]( 4.9) 4.9+-+=+ 17. 下列各数中，属于正数的是（ ）A ．)2(-+B ．-3的相反数C ．)(a --D ．-3的相反数的相反数18. a ，b 是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a ，-a ，b ，-b按照从小到大的顺序排列正确的是（ ）aA ．b a a b -<-<<B ．b a b a >->->C ．b a a b -<<-<D ．b b a a -<<-<19. 填空：5.3-=______；21+=_______；5--=_______；若x ＜0，则x =_______，x -=_______； 若m ＜n ，则m n -=________． 20. 下列各数：-2，31+，3-，0，2-+，-(-2)，2--，其中是正数的有_______________________________． 21. 有理数的绝对值一定是（ ）A ．正数B ．整数C ．正数或零D ．非正数22. 下列说法正确的是（ ）A ．一个数的绝对值一定大于它本身B ．只有正数的绝对值等于它本身C ．负数的绝对值是它的相反数D ．一个数的绝对值是它的相反数，则这个数一定是负数 23. 下列说法正确的是（ ）A ．所有的有理数都可以用数轴上的点来表示B ．绝对值等于它相反数的数是负数C ．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等D ．相反数等于它本身的数是非负数24. 请判断下列说法的正误．（对的打“√”，错的打“×”）（1）所有的有理数都能用数轴上的点表示 （ ）（2）符号不同的两个数互为相反数 （ ） （3）有理数分为正数和负数 （ ） （4）最小的正数是1 （ ） （5）最大的负整数是-1 （ ） （6）绝对值最小的数是0 （ ） （7）绝对值等于它本身的数是0和1 （ ） （8）相反数等于它本身的数是0和1 （ ）25. 填空：（1）311--=_______；（2）2.42.4--=____-____=_____； （3）53++-=____+____=____； （4）22--+=|_____-_____|=_____； （5）3 6.2-⨯=____×____=_____； （6）21433-÷-=____÷____=____×____=_____．【参考答案】 ➢ 课前预习1. （1）-8 （2）-3．2. 其中属于整数的有：3，-9，100，0；其中属于分数的有：-2.5，3.14，32-；其中属于正数的有：3，3.14，100；其中属于负数的有：-2.5，32-，-9．3. 书店，500，动物园或书店，1 200．➢ 知识点睛1. 整数、分数2.⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎩正整数整数0负整数有理数正分数分数负分数 ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎩正整数正有理数正分数有理数0负整数负有理数负分数3. 负数和0；正数和0；负整数和0；正整数和04. 原点、单位长度、正方向、直线； 有理数．5. 表示数 比较大小 表示距离6. 大，小；大；大于，小于，大于7. 只有符号不同．0的相反数为0．8. 数轴，距离9.它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩右侧框内答案 框2：图略框3：-a ，a ，-a +b框4：正数和0，负数和0➢ 精讲精练1. 下降8 m 收入50元 -2℃+50 m -30 m2. A3. A4.B5.①7，2 019，0.618，3.14，+3；②-2，23-，-1.732，-5③-2，7，0，2 019，-5，+3；④-2，23-，0，-1.732，-5⑤7，0，2 019，+3；⑥-2，7，23-，0，2 020，0.618，3.14，-1.732，-5，+36.212101332-3.5<-<-<<<+图略；7. B8.999.-4，-3，-2，-110.±311.-7或-112.B13.13-；3.5，-1，2，014.D15.C16.D17.B18.C19.3.5 12-5 -x -x-m +n20.13+，3-，-(-2)21.C22.C23.A24.（1）√（2）×（3）×（4）×（5）√（6）√（7）×（8）×25.（1）113 -；（2）4.2 4.2 0；（3）3 5 8；（4）2 2 0；（5）3 6.2 18.6；（6）231432331417．。
数学竞赛辅导讲义——圆幂与根轴一、圆幂的定义：在平面上，从点P 作半径为r 的圆O 的割线，从P 起到和该圆周相交为止的两线段之积是一个定值，称为点P 对于此圆周的圆幂.圆幂定理：（1）当P 在圆O 外时，点P 对于此圆的幂等于22OP r -； （2）当P 在圆O 内时，点P 对于此圆的幂等于22r OP -；（3）当P 在圆O 上时，规定：点P 对于此圆的幂等于0.二、根轴及其性质 1.根轴的定义：对于两个已知圆的圆幂相等的点的轨迹是一条直线，该直线称为这两圆的根轴.2.根轴的性质：（1）若两圆1O 与2O 相离（半径分别为1r ，2r 且12r r ≤），点M 为12O O 的中点，点H 在线段1O M 上，且2221122r r MH O O -=，则此两圆的根轴是过点H 且垂直于12O O 的直线.特别地，当两圆相离且半径相等时，它们的根轴是线段12O O 的中垂线.（2）若两个圆是同心圆，则这两个圆不存在根轴.（3）若两个圆相交，则它们的公共弦所在的直线就是它们的根轴.（4）若两圆相切，则过两圆切点的公切线是它们的根轴.（5）若三个圆的圆心互不相同，则任意两个圆的根轴共三条直线，它们相交于一点或互相平行.（6）若两圆相离，则两圆的四条公切线的中点共线（都在根轴上）. 思考：能否从解析几何的角度看根轴？三、例题例1 如图，设I 和O 分别是ABC ∆的内心和外心，r 和R 分别是ABC ∆的内切圆和外接圆的半径，过I 作ABC ∆的外接圆的弦AK . 求证：（1）IK BK =；（2）2AI IK Rr ⋅=； （3）222OI R Rr =-.（欧拉公式）例2 如图，设圆1O 与圆2O 相离，引它们的一条外公切线切圆1O 于A ，切圆2O 于B ，又引它们的一条内公切线切圆1O 于C ，切圆2O 于D ，求证：（1）AC BD ⊥；（2）直线12O O 是分别以AB ，CD 为直径的圆3O ，4O 的根轴；（3）直线AC 和BD 的交点K 在两圆的连心线12O O 上 .例1例3（1997年全国联赛）已知两个半径不相等的1O 与2O 相交于M ，N 两点，且1O ，2O 分别与O 内切于S ，T 两点，S ，N ，T 三点共线，求证：OM MN ⊥.四、练习题1.点D ，E 为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，分别以BE ，CD 为直径的圆1O 与2O 交于点M ，N .求证：ABC ∆的垂心H 在直线MN 上.1.C例32. （第36届IMO ）设A 、B 、C 、D 是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以AC ，BD 为直径的圆1O ，2O 交于点X ，Y ，直线XY 交BC 于点Z .若P 为直线XY 上异于Z 的一点，直线CP 与交圆1O 于点C 及M ，直线BP 与交圆2O 于点B 及N . 求证：（1）B ，M ，N ，C 四点共圆； （2）A ，M ，N ，D 四点共圆； （3）AM ，DN ，XY 共点.3. （第40届IMO 国家队选拔题）凸四边形ABCD 的四边满足AB AD CB CD +=+，圆O 分别与凸四边形ABCD 的AB ，BC 两边相切于G ，H 两点，与对角线AC 相交于E ，F 两点.求证：存在另一个过E ，F 两点，且分别与DA ，DC 的延长线相切的圆'O .2.3.BD。
2024年机械设计基础课程教案讲义轴的设计教案一、教学内容本节课选自《机械设计基础》教材第四章第二节，主题为轴的设计。
详细内容包括：轴的类型与结构特点、轴的材料选择、轴的强度计算、轴的刚度计算、轴的振动分析等。
二、教学目标1. 理解并掌握轴的类型、结构特点及其在机械系统中的应用。
2. 学会根据工作条件选择合适的轴材料，并进行轴的强度和刚度计算。
3. 了解轴的振动原因及防治措施，提高轴的设计水平。
三、教学难点与重点重点：轴的材料选择、强度计算、刚度计算。
难点：轴的振动分析及防治措施。
四、教具与学具准备1. 教具：PPT、黑板、粉笔。
2. 学具：计算器、教材、笔记本。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）：通过展示不同类型的轴及其在机械设备中的应用，激发学生对轴设计的学习兴趣。
详细内容：介绍汽车传动轴、涡轮轴、曲轴等轴的类型及结构特点。
2. 理论讲解（15分钟）：讲解轴的材料选择、强度计算、刚度计算及振动分析。
详细内容：（1）轴的材料选择：介绍常用轴材料及其性能，如碳钢、合金钢等。
（2）轴的强度计算：讲解轴的扭转强度、弯曲强度计算方法。
（3）轴的刚度计算：介绍轴的扭转刚度、弯曲刚度计算方法。
（4）轴的振动分析：分析轴振动的原因、危害及防治措施。
3. 例题讲解（15分钟）：讲解一道轴的设计计算题，巩固所学知识。
详细内容：某汽车传动轴设计计算。
4. 随堂练习（10分钟）：布置一道轴设计计算题目，让学生独立完成。
详细内容：某涡轮轴设计计算。
六、板书设计1. 轴的类型与结构特点2. 轴的材料选择3. 轴的强度计算4. 轴的刚度计算5. 轴的振动分析七、作业设计1. 作业题目：（1）简述轴的类型及结构特点。
（2）某轴的材料为45钢，直径为50mm，工作扭矩为1000N·m，试计算其扭转强度。
（3）某轴的材料为40Cr，直径为60mm，工作弯矩为1000N·m，试计算其弯曲强度。
2. 答案：（2）扭转强度计算公式：τ = T/(πd^3/16)，其中T为扭矩，d为轴径。
初二数学讲义（轴对称）知识梳理1、轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。
这条直线叫做对称轴。
互相重合的点叫做对应点。
2、轴对称：两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。
这条直线叫做对称轴。
互相重合的点叫做对应点。
3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：（1）区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。
（2）联系：把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。
4、轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。
（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
（3）对应点到对称轴的距离相等。
（4）对应点的连线互相平行。
5、线段的垂直平分线：（1）定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。
（2）性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。
（3）判定：与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
6、等腰三角形：（1）定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。
底角只能是锐角。
（2）性质：①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”，只有一条。
②“等边对等角”：等腰三角形的两个底角相等。
③三线合一：顶角平分线、底边上的中线和地边上的高相互重合。
（3）判定方法：①定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②判定（“等角对等边”）：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
7、等边三角形：（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。
说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。
（2）性质：①等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线”，有三条。
②三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。
③等边三角形的三个内角都等于60°。
（3）判定方法：①定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。
龙文教育学科教师辅导讲义知识点一：数轴的概念及画法1、2、BCD2、3……从23例1知识点2例24、-2、方法总结：用数轴上的点表示数时，通常把要表示的数写在数轴上锁对应点的上方，有理数都可以用数轴上的点来表示命题角度2：根据数轴上表示的点写出这个数例3：如图：数轴上A、B、C、D分别表示什么数知识点3：相反数1、相反数的代数定义：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别的，零的相反数是零2、相反数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数（零除外）的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等命题角度：求一个数的相反数例4：-8的相反数是；-1.3是（）的相反数-1与（ ）互为相反数 （ ）5互为相反数 （ ）的相反数时0题型全面拓展1：根据点在数轴上的位置确定数例1：数轴上与表示+1的点距离3个单位长度的点表示的数是（ ）2：借助数轴进行点的移动例2：点P 从数轴（向右为正方向）的原点开始，分别按下列条件移动两次后到达终点，说出点P 在终点时所表示的数A 、 先向右移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度B 、 先向左移动2个单位长度，再向左移动2个单位长度C 、 先向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度D 、 先向左移动3个单位长度，再向右移动3个单位长度3、 相反数与数轴的综合运用 例3：在数轴上点A 表示7，点B 、C 表示的数互为相反数，且点C 与点A 之间的距离为2，求点B 与点C 各对应的是什么数 4：应用数轴解决实际问题 例4：文具店、书店和玩具店依次坐落在一条笔直的东西走向的大街上，文具店位于书店西边20m 处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了60米，你知道此时小明的位置在哪里吗？ 例5：某城市早上测得当时的温度是3℃，中午测量时发现温度上升了5℃，晚上测量时比中午下降了6℃，那么晚上的气温是多少？晚上的气温比早上的气温变化了多少？试借助数轴进行分析同步训练：基础训练一、填空1数轴的三要素是 ，_ 和2、4的相反数是 ，－6的相反数是 ，0的相反数是 .3、在数轴上，A 、B 两点在原点的两侧，但到原点的距离相等，，如果点A 表示73，那么点B 表示 二、选择：4、在已知的数轴上，表示-2.75的点是 （ ）A 、E 点B 、F 点C 、G 点D 、H 点5、以下四个数，分别是数轴上四个点可表示的数，其中数写错的是 （ ）6、下列各语句中，错误的是 （ ）A.、数轴上，原点位置的确定是任意的；B.、数轴上，正方向可以是从原点向右，也可以是从原点向左；C.、数轴上，单位长度1的长度的确定， 可根据需要任意选取；D.、数轴上，与原点的距离等于36.8的点有两个．7、数轴上，对原点性质表述正确的是（ ）A 、表示0的点B 、开始的一个点C 、数轴上中间的一个点D 、它是数轴上的一个端点8、下列说法错误的是（ ）A 、5是－5的相反数B 、－5是5的相反数C 、－5和5是互为相反数D 、－5是相反数三、解答9、在数轴上表示出－2，1，－0.2，0，0.5 .10、写出下列各数的相反数：5，－32，－5.8，0，59 综合提高一、填空题1 若一个数的相反数是最大的负整数，则这个数是 ，相反数是它本身的数的是 2、如果将点A 向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，终点表示的数是0，那么点A 表示的数是3、如果数轴上点A 到原点的距离为3，点B 到原点的距离为5，那么A 、B 两点的距离为二、选择4、在数轴上，原点及原点右边的点表示的数是（ ）A 、正数B 、整数C 、非负数D 、非正数5、数轴是（ ）A 、一条直线B 、有原点、正方向的一条直线C 、有长度单位的一条直线D 、规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.6、通过画数轴，下列说法正确的是（ ）A 、有理数集合中没有最小数，也没有最大数；B 、有理数集合中有最小数，也有最大数；C 、有理数集合中有最小数，没有最大数；D 、有理数集合中有最大数，没有最小数；7、四位同学画数轴如图所示，其中正确（ ）A BC D8、互为相反数是指（ ）A 、意义相反的两个量B 、一个负数前面添上“+”所得的数与原数C 、数轴上原点两旁的两个点所表示的两个数D 、只有符号不同的两个数（零的相反数是零）三、解答9、大于－4而不大于4的整数有多少个？并利用数轴把它们表示出来.10、小明的家（记为A ）与他上学的学校（记为B ）、书店（记为C ）依次坐落再一条东西走向的大街上，小明家位于学校西边30米处，书店位于学校东边100米处，小明从学校沿这条大街向东走了40米，接着又向西走了 70米达到D 处.试用数轴表示上述A ，B ，C ，D 的位置.探究创新1、在数轴上A 点和B 点所表示得数分别为－2和1，若使A 点表示的数是B 点表示的数的3倍，应将点（ ）A 、向左移动5个单位B 、向右移动5个单位C 、向右移动4个单位D 、向左移动1个单位或向右移动5个单位2、数轴上的单位长度是指选取某一个长度的长作为单位长度，你能理解吗？试在数轴上表示出100001，－100003这两个数.1、 观察图，数轴上A 、B 、C 、D 四点对应的数都是整数.若A 点对应的数为a ，B 点对应的数为b ，点对应的数c ，且2c －3a=11，问数轴上的原点是A 点呢？还是B 点？还是C 点？还是D 点呢？2、。
