轴对称培优讲义

轴对称图形两个图形成轴对称直观认识：4■直观认识：111定义：定义：如果一个平面图形沿一条直线把一个图形沿着某一条直线折叠，如折叠，直线两旁的部分能够互相重果它能够与另一个图形完全重合，那么就合，这个图形就叫做轴对称图形，说这两个图形关于这条直线（成轴）对称。

这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.注意：轴对称图形指的是一个图形是轴对称图形，而两个图形成轴对称指的是两个图形。

因此，轴对称图形的对称轴可能只有一条，也可能有多条，但是两个图形成轴对称只有一条对称轴。

模块二“将军饮马”问题“将军饮马”问题比较经典，在考试中出现的频率特别的高，但是在考试中往往不是单一出现，而是“将军饮马”问题和一次函数、勾股定理、特殊的四边形结合在一起考试或者是考查比较难得“将军饮马”问题，考试的方法通常都是“将军饮马”的做法，综合考察。

模型I :最小问题第11讲几何变换之轴对称（一）模块一对轴对称的初步认识模块三常见轴对称的模型线的方法有以下三种。

但是在这三种中，同学们在运用的过程中， 往往第二种辅助线方式同 学们最容易出错，因为在出现第二种情况时，同学们往往看不出来；第三种做法最能体现轴翻折模型：其实可以这样说，翻折就是轴对称，轴对称就是翻折，而涉及到翻折往往不是单一考察，会和特殊四边形、一次函数中的图形结合考察，考察比较全面。

通常情况下， 和四边形结合，会考察求边倒角，而和一次函数结合，让你求点坐标，考察比较综合。

【教师备课提示】模块三是为了让孩子们复习回忆以前学过的知识， 所以老师可以略讲,重点是让孩子们练习。

角平分线模型：角平分线的中心思想应该是对称, 关于角平分线对称，因此常见做辅助模型II :最大问题BBAB模块一对轴对称的初步认识(1)如图1-1,直线I是四边形ABCD的对称轴，若AB CD，有下面的结论: ①AB II CD :②ACBD :③AO OC :④AB BC，其中正确的结论有_(2)(成外)如图1-2, △ABE和厶ACD是厶ABC分别沿着AB , AC边翻折180形成的, 若BAC 130，贝U EFC的度数是__________________________ .在正△ ABC内取一点BE BA，求BED .D，使DA DB，在△ ABC外取一点E,使BDE DBC，且L 121如图，已知 ABD ACD 60 ,且 ADB 90BDC .求证：△ ABC 是等腰三角形.2（1）如图4-1，在△ ABC 中， ACB 90，以AC 为一边在 △ ABC 外侧作等边 △ ACD ， 过点D作DE AC ，垂足为F , DE 与AB 相交于点E ,连接CE ，AB 15cm ，BC 9cm ， P 是射线DE 上的一点.连接 PC 、PB ,若△ PBC 的周长最小，则最小值为（ ）.A 21cmB 22cmC 24cmD 27cm（2）已知如图4-2，正方形 ABCD 的边长为3, E 在BC 边上，且 EC 1 , P 是BD 上一动“将军饮马”问题A A C点，贝V PE PC 的最小值（ ）. A . 5B .11E(1)(四川竞赛改编) 如图5-1所示，在等腰 Rt △ ABC 中，CA CB 3 , E 是BC 上一点， 满足BE 2，点P 是斜边AB 上任意一点，PC PE 的最大值和最小值分别记作 s 和t ,求 s 2t 2的值.(1) (2013-2014武侯区统考) 在锐角三角形 ABC 中，BC 3「2 ,ABC , M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，贝U CM MN 最小值是 __________________(2)如图， AOB 30 , OC 2，在OA 上找一点M ,在OB 上找一点N ,使得CM MN 最小，求出此最小值.(2)(全国初中联赛) 如图5-2，设正△ ABC 的边长为 2, M 是AB 边上的中点, P 是BC边上的任意一点，PA PM 的最大值和最小值分别记为ABC 45 , BD 平分例5图5-1 s 和t .求s 2 t 2的值. 图5-2I!A(1)如图7-1, Z AOB 30，点P位于/ AOB内，OP 3，点M、N分别是射线OA、OB 上的动点，求△ PMN的最小周长.I!例10如图，在矩形 ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接 C 恰好落在线段 AE 上的点F 处.P'(2)若/AOB 60，其它条件不变，则 △ PMN 的最小周长是多少.在△ ABC 中，Z A 45 , 求△ DEF 的最小周长.AAB 7 , AC 4.2，点 D 、E 、F 分别为BC 、AB 、AC 上的动点,C-N模块三常见轴对称的模型么」例9 .〉 -------------------------- i如图，I 是厶ABC 的内心(三角形三条角平分线的交点) 求ABC 和 AIB 的大小.，且 CA AI BC .若 BAC 80 ,ADDM3I!(1)求证：BE AF ;DE、AE, 将△ DEC沿线段DE翻折，点E(2)如果AB 9 , EC: BE 1:4，求线段DE 的长.― ■JI - j三点 A(3,1)、B(4,1)、C(6, 0)，点 P 为 x 轴上一动点.当△ OAP 与△ CBP 周长的和取得最小值时，求点 求证： AOC BCO 45 ;当 APB模块一对轴对称的初步认识(2) —个汽车车牌在水中的倒影如图，该车的车牌照号码是()如图2-1,矩形MNPQ中，点E,F,G,H分别在NP, PQ, QM , MN 上，若12 3 4 ,则称四边形 EFGH 为矩形MNPQ 的反射四边形.图 2-2，图2-3，图2-4中，四边形 ABCD 为矩形，且AB 4 , BC 8 .(1)(2) (3)(1)下列图案中，有且只有三条对称轴的是(A . WJ0103922 C . WJ0103625B . 2593010WJ D . WJ0103925例11已知: P 的坐标; 演练1)(1) 在图2-2、图2-3中，点E , F 分别在BC , CD 边上，试利用正方形网格在图上作出矩 形ABCD 的反射四边形 EFGH .(2) 求图2-2，图2-3中反射四边形(3) 如图2-4,请你猜想矩形 ABCD • |-半-卜命-E图2-2图2EFGH 的周长. 的反射四边形的周长是否为定值？并给出证明. G r图图-1模块二“将军饮马”问题(1)如图，正方形ABCD的边长是4, DAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别是AD和AE上的动点，贝U DQ PQ的最小值是(2)已知AOB 30°，点P在AOB内部，P与P关于0B对称,及与P关于0A对称，则R、0、及三点确定的三角形是( ).B .等腰直角三角形D.等边三角形图E图2-「In—|InIn演练3(1)如图3-1，已知A、B两村分别距公路l 的距离AA' 10km , BB' 40km，且A' B' 50km .在公路l上建一中转站P使AP BP的最小，贝U APA. 100kmB. 80kmC. 60kmBP的最小值为(D . 50 2 km(2)如图3-2,正方形ABCD中，AB8 , M是DC上的一点，且DM 2 , N是AC上的一动点，求DN MN的最小值与最大值.图3-2A .直角三角形C .腰底不等的等腰三角形C如图所示，已知CA上的点，则12A .5Rt△ ABC 中，B 90 , AB 3 , BC 4, D, E, F 分别是三边AB, BC, DE EF FD的最小值为(24B .).BAC 90°, AB AC , BE 平分ABC , CE BE .求证: CE51 BD .2如图，在△ ABC中,。

轴对称专题复习讲义 一. 知识要点对称是一个广阔的主题，在艺术和自然两个方面都意义重大，数学则是它的根本. 本次课主要研究以下内容：（1）轴对称图形与轴对称，它们的联系与区别：轴对称图形是对某一个图形而言的；成轴对称是对两个图形而言的，它们的辩证关系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它是轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴对称.（2）线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

遇到线段的垂直平分线时，常将垂直平分线上的点与线段的两端点连接.利用轴对称思想添加辅助线段构造全等三角形.证明线段或角相等是我们几何证明的常用方法之一. 二.基本知识点过关测试1.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与 重合，那么就说 关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做 ，折叠后重合的点是 叫做 .如果一个图形沿一直线折叠，直线 能够相互重合，这个图形就叫做 这条直线就是它的对称轴，这时，我们也说 . 2.判断下列是否为轴对称图形，若是请写出对称轴的条数： （1）圆 ；（2）正方形 ；（3）等腰三角形 3.平面直角坐标系中，点A （-2,3）关于y 轴的对称点A 1的坐标是 ，点B （-4,1）关于x 轴的对称点B 1的坐标是 ，点A 1关于一、三象限的角平分线的对称点的坐标是 .知识要点2：线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 4.如图，在△ABC 中，AB =AC ，DE 为AB 的中垂线. 且△BEC 的周长为14，BC =6，则AB 的长为 .知识要点3：等腰三角形的性质与判定5.如图，在等腰△ABC 中,AB =AC ，若∠1=∠2，则BD CD ，AD BC6.在等腰三角形中，若一个角为100°，则另两个角为 ，若一个内角为40°，则另两个角为 .7.（1）等腰三角形的腰为10，则底边长x 的范围是 ；若底边长为10，则腰长y 的范围是 .C E B DA（2）等腰三角形的顶角为60°，底边长8cm ，则腰为 .（3）等腰△ABC ，AB =AC ，BD 为AC 边的高，则∠DBC = ∠BAC ；若∠DBA =45°，则∠C = .（4）三角形三内角度数比为1：2：3，它的最短边为5cm ，则最长边为 ；等腰三角形底角为15°，腰长为30cm ，，则此三角形面积为 .知识要点4：等边三角形的性质与判定8.如图，在等边△ABC 中，BD =CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是 .知识要点5：含30°的特殊三角形9.如图，在△ABC ，∠C =90°，∠B =15°，AB 的垂直平分线交于BC 于点D ，交AB 于点E ，BD =10，则AC = .知识要点6：尺规作图问题10.如图，直线MN 表示一条铁路，A 、B 两点表示铁路旁的两个村庄，要在铁路MN 旁修建一个车站C ，要使A 、B 两个村到车站的距离相等，请确定车站C 的位置11.某地有两所大学和两条相交叉的公路（点M 、N 表示大学AO 、BO 表示公路），现计划修一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.C ED PE AD B EC A A B N MA三. 综合、提高、创新方法与技巧1：利用轴对称解决几何问题【例1】（1）如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用输气管道最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？（2）已知∠MON=30°，P为∠MON内一定点，且OP=10cm，A为OM上的点，B为ON上的点，当△P AB的周长取最小值时，请确定A、B点的位置，并求此时的最小周长.方法与技巧2：利用特殊图形的轴对称性（线段的垂直平分线，角平分线）实现边、角的集中【例2】（1）如图，AC=BG，AB，CG垂直平分线交于点F, 求证：∠ABF=∠CGF.（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分斜边AB于D，且点E在AB的下方，DE=12AB. ①求证：∠ACE=45°BAlNOFGECBDABDCA②若点E 在AB 的上方，其他条件不变，则①的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.【例3】如图，在△ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD 是角平分线，过BC 的中点M 作AD 的垂线，交AD 的延长线于F ，交AB 的延长线于E ，求证：BE=12BD【练】如图，在△ABC 中，AB >AC ，AD 是BC 上的高线，P 是AD 上一点，试比较PB —PC 与AB —AC的大小.方法与技巧3：截长补短在特殊三角形中的应用 【例4】（1）在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠C =2∠B .求证：AC +CD =BD .A CDE BE CD P B AC D B A（2）在△ABC，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M，求证：AM=12（AB+AC）【练】如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，∠ACD=60°，求证：AG=AH方法与技巧4：特殊要素法在特殊三角形中的应用【例5】（1）如图，△ABC中，AB=AC，BG⊥BC于B，CH⊥BC于C，过点A的直线l绕点A旋转，交BG、CH于G、H，求证：AG=AH（2）如图，点P为△ABC内一点G，PG垂直平分BC，交点为G，且∠PBC=12∠A，BP、CP 的延长线分别交AC、AB于D、E.求证：BE=CDCMDBADCBACHGBADPEA【例6】如图，△ABC 为等边三角形，D 为AC 所在直线上一点，AE ∥BC ，且满足∠BDE =60°，当D 点分别运动到如图所示情形时. （1）求∠CBD 和∠ADE 的关系；（2）求证：DB =DE ；（3）求AD 、AE 和BC 之间的关系.三. 反馈练习1.如图，四边形EFGH 是一矩形的台球台面，有黑白两球分别位于A 、B 两点位置上，试问：怎样撞击黑球A ，使黑球先碰撞台边EF 反弹后再击中白球B ？2.如图，E 、F 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的两定点，在BC 上求一点M 使△MEF 的周长最短.GC B AE C D B A E D B C A C E B D3 如图，A 点的坐标为（4，0），B 点的坐标为（0，4），作∠BAO 的平分线AC 交y 轴于C ，过B 作BD ⊥AC 于D ,求AC ：BD 的值.4 如图，AB =AC ，若∠A =20°，在AB 上取点W ，使AE =BC .求∠BWC 的度数？5.如图，A 、B 两点在直线l 的两侧，在l 上找一点C ，使C 到A ，B 的距离只差最大.6.如图，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，BE 平分∠ABC 交CD 于F ，CG 平分∠ACD . 求证：BE ⊥CGC BW AB Al C F EB D G A7.如图，∠1=∠2，DA =DB ，AC =12AB ，求证：DC ⊥AC .8.（1）如图，△ABC 中，若AD 平分∠BAC ，AB +BD =AC ，求∠B ：∠C（2）如图，△ABC 中，若AD 平分∠BAC ，∠B =2∠C ，求证：AB +BD =AC9.如图，AM 为△ABC 的角平分线，BD =CE ，NE ∥AM ，求证：N 为BC 中点.C D BAC D B A C D B ACD E A10.如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于D ，∠BCA 的平分线交AD 于O ，交AB 于E ，OF ∥BC ，交AB 于F ，AE =6，AB =18，求EF .11.如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且AE =12（AB +AD ）. 求∠ABC +∠ADC 的度数.12.如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，△ABE 和△ACD 都为等边三角形，F 为BE 中点，DF 交于AC 于M ，连接DE .求证：（1）AM =MC ；（2）AB 平分DE .OC DB E F A BC ED A MD FE A13.如图，△ABC 为等边三角形，CF 为∠C 的外角平分线，在BC 上任取一点D ，使∠ADE =60°，DE 交CF 于点E .求证：△ADE 为等边三角形14.如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =80°，O 为三角形内一点，∠OBC =10°，∠OCB =30°，求∠BAO 的度数.E F C D BA COBA。

初二数学：轴对称图形提优讲义例题讲解：1．探究规律：如图1，已知直线m ∥n ，A 、B 为直线n 上的两点，C 、P 为直线m 上的两点．（1）请写出图中面积相等的各对三角形：．（2）如果A 、B 、C 为三个定点，点P 在m 上移动，那么无论P 点移动到任何位置总有：与△ABC 的面积相等；理由是：．解决问题：（1）如图2，点P 在BC 上，请过点P 画直线PQ 平分△ABC 的面积；画法：例题2、文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”，“求证”（如图），她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点A 作BC 的垂直平分线AD ，垂足为D ”；彬彬：“作△ABC 的角平分线AD ”．数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正．”（1）请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；（2）根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．mnAPBCO图1AB CP 图2例题3、如图，将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.（1）试找出一个三角形与△AED全等，并加以证明.（2）若AB=8，D E=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，PG+PH的值会变化吗？若变化，请说明理由；若不变化，请求出这个值。

例题4、.阅读理解题：【几何模型】条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l 上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′P+PB=A′B，由“两点之间，线段最短”可知，点P即为所求的点．【模型应用】（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．求出PB+PE的最小值（画出示意图，并解答）（2）如图2，∠AOB=45°，P是∠AOB内一定点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．（要求画出示意图，写出解题过程）DCBAE DCB A【考点训练】：一、选择题：1．下列图形中，是轴对称图形的是（）2．下列图形中对称轴最多的是（）A ．圆B ．正方形C ．角D ．线段3．有下列长度的三条线段，能组成等腰三角形的是（）A ．1cm ，1cm ，2cmB ．1cm ，1cm ，3cmC ．2cm ，2cm ，4cmD ．3cm ，3cm ，4cm4．如图，在△ABC 中，AD=BD=BC ，若∠C=25°，则∠ADB 的度数是（）A ．50ºB ．60ºC ．80ºD ．90º5．下列结论正确的是（）A ．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是底边上的高；B ．两个全等的等边三角形一定成轴对称；C ．长方形有四条对称轴；D ．等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上、下底边中点的直线.6．在等边三角形ABC 中，边长为2，CD 平分∠ACB ，交AB 于点D ，DE ∥BC ，则△ADE 的周长为（）A ．2B ．2.5C ．3D ．4第4题（第6题）7．到三角形的三个顶点距离相等的点是（）A ．三条角平分线的交点B ．三条中线的交点C ．三条高的交点D ．三条边的垂直平分线的交点8．如图，D 为等边△ABC 的AC 边上一点，且∠ACE ＝∠ABD ，CE ＝BD ，则△ADE 是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．不等边三角形D ．等边三角形9．如图，D 是 ABC 中BC 边上一点，AB ＝AC ＝BD ，则∠1和∠2的关系是（）A ．∠1＝2∠2B ．∠1＋∠2＝90°C ．180°－∠1＝3∠2D ．180°＋∠2＝3∠1（第9题图）（第10题图）第2题图EDCBA第8题abcDCBAD CBAD C BA10．如图，a 、b 、c 表示3条公路相互交叉，现要建一个货物中转站，要求它到3条公路的距离相等，则可供选的地方有（）处。

初中数学培优辅导资料（14）轴对称、平移、旋转一、知识要点1、平移：要素：平移的方向和平移的距离。

性质：（1）平移前后的图形全等；（2）对应线段平行且相等，对应角相等；（3）对应点的连线平行且相等。

2、对称：常见的有轴对称和中心对称。

轴对称的性质：（1）关于某直线对称的两个图形是全等形；（2）对称轴是对应点连线的中垂线；（3）对应线段相等，对应角相等。

中心对称的性质：（1）中心对称的两个图形是全等形；（2）对应线段相等，对应角相等；（3）对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

3、旋转变换性质：（1）旋转前后的两个图形是全等形；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）对应点与旋转中心的连线的夹角都等于旋转角；（4）对应线段相等，对应角相等。

4、（1）线段中垂线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；（2）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。

5、图形通过平移和对称变换，可以将部分图形转移到一个新的位置，且不改变图形有大小、形状。

二、典型例题例1：如图，已知线段AB=2a （a>0），M 是AB 的中点，直线AB l ⊥1于点A ，直线AB l ⊥2于点M ，点P 是1l 左侧一点，P 到1l 的距离为b(a<b<2a)。

（1）作出点P 关于1l 的对称点1P ,并在1PP 上取一点2P ,使2P 、1P 关于2l 对称；（2）2PP 与AB 有何位置关系？请说明理由。

例2：如图，有人骑马从C 点到D 点，但必须先到河岸1l 处的1P 点去让马饮水，然后再到河岸2l 处的2P 点再次让马饮水，最后到D 点，他如何选择饮水点1P 、2P ，才能使所走的路程D P P P CP 2211++为最短？例3：如图，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接AE ，GC 。

（1） 试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论；A M Bl 1 l 2 ∙∙1l 2l C D（2） 将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使点E 落在BC 边上，如图（2），连接AE 和CG ，你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由。