第一章轴对称图形一、基础知识点知识点一：轴对称图形如果一个图形沿一条折叠，直线两旁的部分能够这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴知识点二：轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。
这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重叠的点）叫做对称点。
知识点三：关于某条直线成轴对称的图形的性质特征1、成轴对称的两个图形全等．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等，并且也是成轴对称的．2、轴对称图形和关于直线成轴对称有什么区别和联系？区别：①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。
②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。
联系：①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。
②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。
常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等知识点四：垂直平分线的定义经过线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线知识点五：线段垂直平分线的性质（1）线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的与这条线段的距离思考：反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？（2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上．知识点六：轴对称的性质以及轴对称图形：性质：⑴成轴对称的两个图形全等。
⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。
知识点七：用坐标表示轴对称1．关于x轴与y轴对称的点的坐标的规律；（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为________；（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为________．（3）点（x，y）关于原点对称的点的坐标为________．2．图形关于坐标轴对称一个图形内任一点的横坐标保持不变，纵坐标乘以-1所得的图形与原图形关于________轴对称．专题：等腰三角形知识点一：等腰三角形有相等的三角形是等腰三角形；相等的两边叫作，另一边叫作，两腰的夹角叫作，底边和腰的夹角叫作．练习1：1．如图（1）：△ABC中，若则△ABC是等腰三角形，是腰、是底边、是顶角，是底角．2．等腰三角形的两边长分别为3cm和6cm，这个三角形的周长为________．知识点二：等腰三角形的性质问题：如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是底边上的中线．求证：∠B=∠C；AD平分∠A，AD⊥BC．归纳性质：（1）等腰三角形的两个相等（简写成“等边对”）；C BA图（1）DC BA（2）等腰三角形的顶角 、底边上的 线、底边上的 互相重合（通常称作“三线合一”）；友情提醒：（1）等边对等角的边角必须是同一个三角形的边与角；（2）等腰三角形的“三线合一”不要与三角形全等混淆．练习2：1．等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是_______．2．已知等腰三角形一个内角的度数为30°，那么它的底角的度数是__ _ ___ _． 3．如果等腰三角形的一个外角是125°，则底角为 ．注：已知等腰三角形一个角的度数，求另外两角的度数，常有两种情况，需要分类讨论． 4．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，则这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 5．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，求△ABC 各个内角的度数．知识点三： 等腰三角形的判定活动：如图（4），位于海上A 、B 两处的两艘救生船接到O 处遇险船只的报警，当时测得∠A ＝∠B ．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？COBA图（4）DC BA归纳：证明边相等或角相等，一般需要构造全等的三角形．判定定理：如果一个三角形有两个 相等，那么这两个角所对的 也相等（简写成“等角对 ”）．练习3：1．如图（5），CD 、BD 平分∠BCA 及∠ABC ，EF 过D 点且EF ∥BC ， 则图中的等腰三角形有 个，它们是2．在△ABC 中，∠B ＝36°，D 、E 在BC 边上，且AD 和AE 把∠BAC 三等分，则图中等腰三角形的个数（ ）A ． 3B ． 4C ． 5D ． 63．如图（6），∠CAE 是△ABC 的一个外角，∠1＝∠2，AD//BC ， 求证：AB=AC ．4．如图（7）,在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，∠DCB ＝∠B －∠ACB ， 求证：△DCE 是等腰三角形．知识点四：等边三角形相等的三角形是等边三角形，它是特殊的等腰三角形，也叫 ；图（6）21EDCBA 图（5）图（7）练习4：如果一个等边三角形的一条边长为6cm，那么这个等边三角形的周长是．知识点五：等边三角形的性质（1）等边三角形的三个都相等，且都等于；（2）等边三角形是轴对称图形，且有对称轴；（3）等边三角形每条边上的、和三线合一，它们所在的直线都是等边三角形的．友情提醒：等边三角形是一种特殊的等腰三角形，容易知道等边三角形的三条高（或三条中线、三条角平分线）都相等．练习5：1．△ABC中，AB=BC，∠B=∠C，则∠A=_____度．2．如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE是等边三角形，连结AE，BD．求证：AE=BD．知识点六：等边三角形的判定（1）三条都相等的三角形是等边三角形；（2）三个都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是的三角形是等边三角形．练习6：1．已知△ABC中，AB=AC, ∠A+∠B=120°,那么∠A= ；△ABC是三角形；2．下面给出的几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上中线的三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．•其中是等边三角形的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3． 如图，在△ABC 中，点D 是AB 上的一点，且AD=DC=DB ，∠B=30°，求证：△ADC 是等边三角形．分析：由已知条件知△ADC 是等腰三角形，要想证明它还是等边三角形，只需要说明这个三角形中有一个内角等于60°即可．4．如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 、F 分别是线段AB 、BC 、AC 上的点， （1）若AD=BE=CF ，问△DEF 是等边三角形吗？试证明你的结论； （2）若△DEF 是等边三角形，问AD=BE=CF 成立吗？试证明你的结论．规律技巧总结：要说明一个三角形是等边三角形，可以考虑： ①利用定义证明； ②证明三个角相等；③证明它是等腰三角形并且有一个角是60°知识点七：有一个角是30°的直角三角形在直角三角形中30°的角所对的 为斜边的 ． 练习7：三角形三内角度数之比为1：2：3，最大边长是8cm ，则最小边的长是______．AC BDAFaDBEC二、典型例题讲解（2010无锡）如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝____°。
