人教版八年级数学上册 轴对称专题复习讲义
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轴对称专题复习讲义 一. 知识要点
对称是一个广阔的主题,在艺术和自然两个方面都意义重大,数学则是它的根本. 本次课主要研究以下内容:
(1)轴对称图形与轴对称,它们的联系与区别:轴对称图形是对某一个图形而言的;成轴对称是对两个图形而言的,它们的辩证关系:把成轴对称的两个图形看成一个整体,它是轴对称图形;把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形关于这条对称轴对称.
(2)线段的垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。遇到线段的垂直平分线时,常将垂直平分线上的点与线段的两端点连接.
利用轴对称思想添加辅助线段构造全等三角形.证明线段或角相等是我们几何证明的常用方法之一. 二.基本知识点过关测试
1.把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与 重合,那么就说 关于这
条直线(成轴)对称,这条直线叫做 ,折叠后重合的点是 叫做 .
如果一个图形沿一直线折叠,直线 能够相互重合,这个图形就叫做 这条直线就是它的对称轴,这时,我们也说 . 2.判断下列是否为轴对称图形,若是请写出对称轴的条数: (1)圆 ;(2)正方形 ;(3)等腰三角形 3.平面直角坐标系中,点A (-2,3)关于y 轴的对称点A 1的坐标是 ,点B (-4,1)关于x 轴的对称点B 1的坐标是 ,点A 1关于一、三象限的角平分线的对称点的坐标是 .
知识要点2:线段的垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 4.如图,在△ABC 中,AB =AC ,DE 为AB 的中垂线. 且△BEC 的周长为14,BC =6,则AB 的长为 .
知识要点3:等腰三角形的性质与判定
5.如图,在等腰△ABC 中,AB =AC ,若∠1=∠2,则BD CD ,AD BC
6.在等腰三角形中,若一个角为100°,则另两个角为 ,若一个内角为40°,则另两个角为 .
7.(1)等腰三角形的腰为10,则底边长x 的范围是 ;若底边长为10,则腰
长y 的范围是 .
C E B D
A
(2)等腰三角形的顶角为60°,底边长8cm ,则腰为 .
(3)等腰△ABC ,AB =AC ,BD 为AC 边的高,则∠DBC = ∠BAC ;若∠DBA =45°,则
∠C = .
(4)三角形三内角度数比为1:2:3,它的最短边为5cm ,则最长边为 ;等腰三角形底
角为15°,腰长为30cm ,,则此三角形面积为 .
知识要点4:等边三角形的性质与判定
8.如图,在等边△ABC 中,BD =CE ,AD 与BE 相交于点P ,则∠APE 的度数是 .
知识要点5:含30°的特殊三角形
9.如图,在△ABC ,∠C =90°,∠B =15°,AB 的垂直平分线交于BC 于点D ,交AB 于点E ,BD =10,
则AC = .
知识要点6:尺规作图问题
10.如图,直线MN 表示一条铁路,A 、B 两点表示铁路旁的两个村庄,要在铁路MN 旁修建一个车站C ,
要使A 、B 两个村到车站的距离相等,请确定车站C 的位置
11.某地有两所大学和两条相交叉的公路(点M 、N 表示大学AO 、BO 表示公路),现计划修一座物资仓库,希望仓库到两所大学的距离相等,到两条公路的距离也相等.
C E
D P
E A
D B E
C A A B N M
A
三. 综合、提高、创新
方法与技巧1:利用轴对称解决几何问题
【例1】(1)如图,要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气,泵站修在管道的什么地方,可使所用输气管道最短?你可以在l上找几个点试一试,能发现什么规律?
(2)已知∠MON=30°,P为∠MON内一定点,且OP=10cm,A为OM上的点,B为ON上的点,当△P AB的周长取最小值时,请确定A、B点的位置,并求此时的最小周长.
方法与技巧2:利用特殊图形的轴对称性(线段的垂直平分线,角平分线)实现边、角的集中【例2】(1)如图,AC=BG,AB,CG垂直平分线交于点F, 求证:∠ABF=∠CGF.
(2)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,DE垂直平分斜边AB于D,且点E在AB的下方,DE=1
2
AB. ①
求证:∠ACE=45°
B
A
l
N
O
F
G
E
C
B
D
A
B
D
C
A
②若点E 在AB 的上方,其他条件不变,则①的结论是否还成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理
由.
【例3】如图,在△ABC 中,∠ABC=2∠C ,AD 是角平分线,过BC 的中点M 作AD 的垂线,交AD 的
延长线于F ,交AB 的延长线于E ,求证:BE=
12
BD
【练】如图,在△ABC 中,AB >AC ,AD 是BC 上的高线,P 是AD 上一点,试比较PB —PC 与AB —AC
的大小.
方法与技巧3:截长补短在特殊三角形中的应用 【例4】(1)在△ABC 中,AD ⊥BC 于D ,∠C =2∠B .求证:AC +CD =BD .
A C
D
E B
E C
D P B A
C D B A
(2)在△ABC,AD平分∠BAC,AD=AB,CM⊥AD于M,求证:AM=
1
2
(AB+AC)
【练】如图,在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,AB=AD,∠ACD=60°,求证:AG=AH
方法与技巧4:特殊要素法在特殊三角形中的应用
【例5】(1)如图,△ABC中,AB=AC,BG⊥BC于B,CH⊥BC于C,过点A的直线l绕点A旋转,交BG、CH于G、H,求证:AG=AH
(2)如图,点P为△ABC内一点G,PG垂直平分BC,交点为G,且∠PBC=
1
2
∠A,BP、CP 的延长线分别交AC、AB于D、E.求证:BE=CD
C
M
D
B
A
D
C
B
A
C
H
G
B
A
D
P
E
A