作轴对称图形知识讲解
【学习目标】
1．理解轴对称变换，能作出已知图形关于某条直线的对称图形．
2．能利用轴对称变换，设计一些图案，解决简单的实际问题.
3．运用所学的轴对称知识，认识和掌握在平面直角坐标系中，与已知点关于x轴或y轴对称点的坐标的规律，进而能在平面直角坐标系中作出与一个图形关于x轴或y轴对称的图形．
4．能运用轴对称的性质，解决简单的数学问题或实际问题，提高分析问题和解决问题的能力．
【要点梳理】
要点一、对称轴的作法
若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．
要点诠释：
在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上.如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
【高清课堂：389300 作轴对称图形，用坐标表示轴对称】
要点二、用坐标表示轴对称
1.关于x轴对称的两个点的横（纵）坐标的关系
已知P点坐标，则它关于x轴的对称点的坐标为，如下图所示：
即关于x轴的对称的两点，坐标的关系是：横坐标相同，纵坐标互为相反数．
2.关于y轴对称的两个点横（纵）坐标的关系
已知P点坐标为，则它关于y轴对称点的坐标为，如上图所示．
即关于y轴对称的两点坐标关系是：纵坐标相同，横坐标互为相反数．
3.关于与x轴（y轴）平行的直线对称的两个点横（纵）坐标的关系
P点坐标关于直线的对称点的坐标为．
P点坐标关于直线的对称点的坐标为．
【典型例题】
类型一、作轴对称图形
1、（2016•临夏州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．
【思路点拨】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出各对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用平移的性质得出各对应点位置进而得出答案．
【答案与解析】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，
点A2（﹣3，﹣1），B2（0，﹣2），C2（﹣2，﹣4）．
【总结升华】此题主要考查了轴对称变换和平移变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．举一反三：
【变式】在下图中，画出△ABC关于直线MN的对称图形.
A B C为所求.
【答案】△'''
类型二、轴对称变换的应用（将军饮马问题）
【高清课堂：389300 作轴对称图形，例4】
2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河
OB上的某一位置Q，然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P 和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．
【思路点拨】通过轴对称变换，将MP转化为M'P，QN转化为Q N'，要使总路程MP＋PQ＋QN最短，就是指M'P＋PQ＋Q N'最短，而这三条线段在一条直线上的时候最短.
【答案与解析】见下图
作点M关于OA的对称点M'，作点N关于OB的对称点N'，连接M N''交OA于P、交OB于Q，则M→P→Q→N为最短路线．
【总结升华】本题主要是通过作对称点的方法得出结论，并利用了对称线段相等，三角形两边之和大于第三边的性质推得所作的图形符合条件，这是道综合性的应用问题.
举一反三：
【变式】（2014秋•花垣县期末）茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
【答案】解：①分别作点C关于OA、OB的对称点是M、N，
②连接MN，分别交OA于D，OB于E．
则C→D→E→C为所求的行走路线．
【高清课堂：389300 作轴对称图形，例4练习2】
3、将军要检阅一队士兵，要求(如图所示)：队伍长为a，沿河OB排开(从点P到点Q)；
将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．请问：在什么
位置列队(即选择点P和Q)，可以使得将军走的总路程MP＋PQ＋QN最短?
【答案与解析】见下图
作法：作N关于OB的对称点N'，再作N N'''∥BO且N N'''＝a(N''在N'的左侧)；连接MN''交OB于点P，再在OB上取点Q使得PQ＝a(Q在P的右侧)，此时，MP＋PQ＋QN最小．
【总结升华】MP ＋PQ ＋QN 最小，其中PQ 是定值a ，问题转化为MP ＋QN 最小.因为将军要沿河走一段线段a ，如果能把这段a 提前走掉就可以转化为熟悉的问题了，于是考虑从'N 沿平行的方向走a 至''N ，连接''MN 即可.
类型三、用坐标表示轴对称
4、（2014秋•江津区期中）已知点A （2a ﹣b ，5+a ），B （2b ﹣1，﹣a+b ）．
（1）若点A 、B 关于x 轴对称，求a 、b 的值；
（2）若A 、B 关于y 轴对称，求﹙4a+b ﹚2014的值．
【思路点拨】
（1）根据关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得2a ﹣b=2b ﹣1，
5+a ﹣a+b=0，解可得a 、b 的值；
（2）根据关于y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得2a ﹣b+2b ﹣1=0，
5+a=﹣a+b ，解出a 、b 的值，进而可得答案．
【答案与解析】
解：（1）∵点A 、B 关于x 轴对称，
∴2a﹣b=2b ﹣1，5+a ﹣a+b=0，
解得：a=﹣8，b=﹣5；
（2）∵A、B 关于y 轴对称，
∴2a﹣b+2b ﹣1=0，5+a=﹣a+b ，
解得：a=﹣1，b=3，
﹙4a+b ﹚2014=1．
【总结升华】此题主要考查了关于x 、y 轴对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
举一反三：
【变式1】已知点A （2，3-）关于x 轴对称的点的坐标为点B （2m ，m n +），则m n -的
值为（ ）．
A ． 5-
B ． 1-
C ． 1
D ． 5
【答案】B ；
提示：2m ＝2，m ＋n ＝3, 解得n ＝2, m ＝1，选B.
【变式2】如图，ΔABC 中，点A 的坐标为（0，1），点C 的坐标为（4，3），点B 的坐标为
（3，1），如果要使ΔABD 与ΔABC 全等，求点D 的坐标．
【答案】共3个满足条件的点：1D （4，－1），2D （－1，3），3D （－1，－1）.
【八年级下册数学第二章《一元二次方程》讲解 】 【书本相关知识点:】 1、一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程. 一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数。 2、 一元二次方程的常用解法： （1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2 ≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法. （注意：用直接开平方的方法时要记得取正、负.） （2）配方法：关键化原方程为2 ()x m n +=的形式 （警告： 用配方法时二次项系数要化1.） （3）公式法：一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是22 1,24(40)2b b ac x b ac a -±-= -≥. （注意：方程要先化成一般形式.） （4）因式分解法（主要有提取公因式、运用平方差公式、运用完全平方公式、十字相乘法）： 因式分解法的一般步骤是：① 将方程的右边化为 ；② 将方程的左边化成两个一次因式的乘积； ③ 令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程 的解. （注意：方程要先化成一般形式.） 3、一元二次方程根的判别式: 2 4b ac ?=- (1)一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠根的情况：①当0?>时，方程有两个不相等的实数根； ②当0?=时，方程有两个相等的实数根； ③当0?<时，方程无实数根. (2)判定一元二次方程根的情况； (3)确定字母的值或取值范围。 【相关练习题讲解：】 知识一：一元二次方程的概念 1、一元二次方程(1－3x)(x+3)=2x 2 +1的一般形式是 它的二次项系数是 ； 一次项系数是 ；常数项是 。 2、已知关于x 的方程(m+3)x 2 －mx+1=0，当m 时，原方程为一元二次方程，若原方程是一元一次方程， 则 m 的取值范围是 。 知识二：方程的根的问题 1、已知关于x 的一元二次方程(2m －1)x 2 +3mx+5=0有一根是x=－1，则m= 。 2、已知x 1=-1是方程052 =-+mx x 的一个根，求m 的值及方程的另一根x 2。
第19讲 梯形及等腰梯形 知识定位 讲解用时：3分钟 A 、适用范围：人教版初二，基础较好； B 、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习梯形及等腰梯形。梯形和等腰梯形属于四边形章节，选择填空中会涉及到，也经常出现在几何大题中，是中考考查范围内的一个重要知识点，熟练掌握一般梯形、直角梯形和等腰梯形及它们的性质和判定，灵活运用并处理含梯形的综合类型题目. 知识梳理 讲解用时：20分钟 梯形的认识 1、定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形 （概念记清楚哦） 一般梯形 梯形 标注：梯形是特殊的四边形，有且只有一组对边平行哦
2、梯形的分类：一般梯形、特殊梯形（直角梯形、等腰梯形） 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形 等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形 直角梯形 等腰梯形 AB//CD AB//CD AD ≠BC AD=BC AD ⊥CD AD 不平行BC 3、梯形的中位线：连接梯形两腰上的中点的线段叫做梯形的中位线. 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 你知道怎么证明吗？ EF//AB//CD EF=1 2 （AB+CD ）
1、等腰梯形的性质定理 性质定理1：等腰梯形同一底边上的两个角相等 性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等 性质3：等腰梯形既是轴对称图形，只有一条对称轴（底边的垂直平分线） ∠A=∠B AC=BD 虚线为等腰梯形的对称轴∠C=∠D 2、等腰梯形的判定定理 判定定理1：同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形 判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形 判定3：利用定义
《圆的基本性质》全章复习与巩固（提高） 【学习目标】 1．理解圆及其有关概念，了解点与圆的位置关系. 2.认识图形的旋转，理解图形的旋转的性质. 3.理解圆的性质，垂径定理，圆心角定理，圆周角定理. 4.理解圆内接四边形的性质. 5．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积. 6.会初步综合应用圆的有关知识，解决一些简单的实际问题. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角 1．圆的定义 （1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. （2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合. （3）不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 要点诠释： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. 2.点与圆的位置关系 判定一个点P是否在⊙O上 设⊙O的半径为，OP=，则有 点P在⊙O外；点P在⊙O上；点P在⊙O内. 要点诠释： 点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系. 3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦. 4．与圆有关的角
圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 在同圆或者等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. 在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等. 5.圆内接四边形 圆内接四边形的对角互补. 要点二、图形的旋转 在平面内，一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转.这个定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角. 图形经过旋转所得的图形和原图形全等. 对应点到旋转中心的距离相等.任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度. 要点三、正多边形 各边相等，各内角也相等的多边形是正多边形． 要点诠释： 判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 要点四、弧长及扇形的面积 圆心角为、半径为R的弧长. . 圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积 要点诠释： (1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； (4)扇形两个面积公式之间的联系：. 【典型例题】
二次根式是八年级数学上学期第一章第一节内容，主要对二次根式的性质及运算进行讲解，重点是二次根式的性质，难点是分母有理化的应用．学生已学过平方根、立方根、实数等概念及求法，对实数运算与性质有初步感受，为本节知识打下了基础．本节知识是前面相关内容的发展，同时是后面学习的直接基础，起到了承上启下的作用． 1、二次根式的概念 （1）代数式a （0a ）叫做二次根式，读作“根号a ”，其中a 是被开方数． （2）二次根式有意义的条件是被开方数是非负数． 二次根式的概念及性质 知识结构 模块一：二次根式的概念 知识精讲 内容分析
班假暑级年八 2 / 15 【例1】下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 2，33，1 x ，x 0x >（） ，0，42，2-，1x y +，x y +（0,0x y ≥≥）． 【答案】2、x 0x >（）、0、2-、x y +（0,0x y ≥≥）是二次根式，33、1 x 、42、 1 x y +不是二次根式． 【解析】根据二次根式的概念，可知上述几个为二次根式，其中33、42的根指数分别为3、 4，不是二次根式； 1 x 、1x y +是分式，不是二次根式． 【总结】考查二次根式的概念，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数为非负数． 【例2】设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？ （1）21x -； （2）2x - ． 【答案】（1）1 2 x ≥ ；（2）2x ≤． 【解析】（1）由1 2102 x x -≥≥， 得：；（2）由202x x -≥≤， 得：． 【总结】本题考查二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数即可． 【例3】设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？ （1）21x +； （2）2(1)x -+． 【答案】（1）任意实数；（2）1x =-． 【解析】（1）210x +≥恒成立，可知为任意实数； （2）()2 10x -+≥，当且仅当10x +=，即1x =-时该式可以成立． 【总结】本题考查二次根式有意义的条件，是被开方数为非负数注意其中一些特殊情形． 【例4】设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？ （1）1x ； （2）1 2 x -- ． 例题解析
期中复习讲义（苏教版） 2020-2021学年苏教版数学六年级下册期中章节复习精编讲义 第四单元《比例》 知识互联网 知识导航 知识点一：图像的放大和缩小 把图形按 1：n 的比缩小，就是把图形的每条边都放大到原来的 1/n； 把图形按n：1 的比放大，就是把图形的每条边都缩小到原来的n 倍。 知识点二：比例的意义 1、比例：表示两个比相等的式子。任何一个比例都是由两个内项和两个外项组成。 2、比和比例的区别： （1）比是表示两个数相除的关系。比例是表示两个比相等的关系。 （2）比由两项组成（前项、后项）。比例由四项组成（两个内项、两个外项）。
知识点三：应用比的含义组成比例 判断两个比能否组成比例，关键要看它们的比值是否相等。若比值相等，则能组成比例；若比值不想等，则不能组成比例。 知识点四：比例的基本性质理解掌握： 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。若a:b=c:d，那么ad=bc。 若用分数表示比a/b=c/d，那么ad=bc。十字交叉法 知识点五：解比例 解比例的依据是比例的基本性质，已知比例中的任意三项，就可以求出另外一项。 知识点六：用比例解应用题 解题方法：审题列出比例等量关系式------设未知数列出比例方程解比例，并检验写答 知识点七：比例尺的意义 比例尺就是图上距离与实际距离的比。图上距离是比的前项，实际距离是比的后项，比例尺是一个最简单的整数比。 相关公式：（1）比例尺=图上距离÷实际距离 （2）图上距离=比例尺×实际距离 （3）实际距离=图上距离÷比例尺 知识点八：比例尺的应用 （1）注意比例尺的前后单位是否统一。一般比例尺的单位是厘米，而题目往往会给出以千米做单位的比例尺。如 1：40 千米=1：4000000 厘米 （2）因为图上距离是比例的前项，实际距离是比例的后项，所以当比例尺的图上距离大于实际距离时，表示设计图纸大于实际物体，如比例尺是 10：1（经常在精密仪器、化学领域中出现）；当比例尺的图上距离小于实际距离时，表示设计图纸小于实际物体，如比例尺 1：
八年级数学讲义 第11章三角形 一、三角形的概念 1．三角形的定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接． 2．三角形的表示 △ABC中，边：AB，BC，AC 或c，a，b． 顶点：A，B，C ． 内角：∠A ，∠B ，∠C．． 二、三角形的边 1.三角形的三边关系:（证明所有几何不等式的唯一方法） (1) 三角形任意两边之和大于第三边:b+c>a (2) 三角形任意两边之差小于第三边:b-ca时,就可构成三角形. 1.2 确定三角形第三边的取值范围:两边之差<第三边<两边之和. 2.三角形的主要线段 2.1三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线 . ①锐角三角形三条高线交于三角形内部一点； ②直角三角形三条高线交于直角顶点； ③钝角三角形三条高线所在直线交于三角形外部一点 2.2三角形的角平分线 三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。三条角平分线交于三角形内部一点. 2.3三角形的中线 连结三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。 A C B A D
三角形的三条中线交于三角形内部一点. 三、三角形的角 1 三角形内角和定理 结论1：△ABC中：∠A+∠B+∠C=180°※三角形中至少有2个锐角 结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．※三角形中至多有1个钝角 注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角 如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B） ②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角． 如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数 2三角形外角和定理 2.1外角：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的角． 2.2性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. ③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补 2.3外角个数： 过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等）， 可见一个三角形共有6个外角 四、三角形的分类 (1) 按角分：①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形 (2) 按边分：①不等边三角形②底与腰不等的等腰三角形③等边三角形 五多边形及其内角 1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 2、正多边形:各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。 3、多边形的对角线 (1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。 (2)n边形共有条对角线。 4、n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)。任意凸形多边形的外角和等于360° ※多边形外角和恒等于360°，与边数的多少无关. ※多边形最多有3个内角为锐角，最少没有锐角（如矩形）； ※多边形的外角中最多有3个钝角，最少没有钝角. 5、实现镶嵌的条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边。【考点三】判断三角形的形状 8、若△ABC的三边a、b、c满足（a-b）（b-c）（c-a）=0，试判断△ABC的形状。 9、已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断△ABC的形状。
数学复习教学方法(具体) 数学复习教学方法 数学复习教学方法有很多种，下面列举几种： 1.互动式教学法：在数学复习课的教学过程中，应该注重师生互动，通过问题引导、学生讨论、教师总结等方式，让学生更好地理解和掌握知识。 2.归纳总结法：将学过的知识进行归纳和总结，形成知识框架，有利于学生更好地掌握知识体系。 3.练习法：通过练习题来巩固所学知识，提高解题能力。可以选择不同类型的题目，包括基础题、综合题、难题等，让学生更好地掌握知识。 4.思维导图法：利用思维导图，将学过的知识进行分类、整理，形成知识网络，有利于学生更好地掌握知识体系。 5.小组合作学习法：将学生分成小组，通过小组讨论、合作解决问题等方式，让学生更好地掌握知识和技能。 6.分层教学法：根据学生的不同水平和学习需求，采用不同的教学方法和难度，以满足不同层次学生的需求。 以上教学方法并非单一使用，可以根据实际情况进行综合运用。无论采用哪种方法，都应以提高学生数学能力和思维能力为教学目标。 数学复习课中好的教学方法 在数学复习课中，可以采用以下几种好的教学方法：
1.创设生活情境，引导数学问题：将复习的主题或内容与实际生活相结合，使学生感到数学就在身边，有利于培养学生用数学的兴趣。 2.倡导合作交流，促进知识构建：复习课同样需要自主探索、合作交流。 3.巩固知识，加强方法指导：针对学生的典型错误或困惑，教师要通过变式，加强方法指导。在解题过程中，要引导学生反思解题过程，总结解题方法。 4.整体把握，系统复习：教师可以引导学生整体回顾教材，整理知识网络，从知识立意转化为能力立意。 5.强化应用，提高能力：通过数学复习课的教学，应该使学生能在观察、猜测、分析和整理的过程中体会到数学知识的整体性，形成有序的知识网络结构，从而更好地理解数学，掌握数学，热爱数学。 总之，在数学复习课中，教师应该注重学生的参与，激发学生的学习热情和兴趣，提高复习效果。 数学复习课用什么教学方法 数学复习课的教学方法有很多种，以下是几种常见的方法： 1.互动式教学法。在复习过程中，教师可以根据学生的实际情况，采用多种形式的互动，如小组讨论、课堂提问、游戏等，以激发学生的学习兴趣，促进学生对知识的理解和掌握。 2.思维导图法。思维导图法是一种有效的学习方法，它通过图形和文字的方式，将知识点联系起来，形成一个完整的知识体系，帮助学生更好地理解和记忆。 3.习题讲解法。复习课也可以通过习题讲解来帮助学生巩固知识，教师可以选取一些典型的例题，通过分析、讲解、讨论等方式，让学生更好地掌握解题方法和技巧。
马伯强数学物理方法讲义 （最新版4篇） 目录（篇1） 一、马伯强数学物理方法讲义概述 二、数学物理方法在物理学中的应用 三、马伯强数学物理方法讲义的主要内容 四、马伯强数学物理方法讲义的价值和影响 正文（篇1） 马伯强数学物理方法讲义是一本关于数学物理方法的教材，旨在帮助学生更好地理解和应用数学物理方法在物理学中。数学物理方法是物理学中一个重要的分支，它主要涉及到物理学中的数学模型和计算方法，为物理学的理论研究和实验研究提供了重要的支持。 在物理学中，数学物理方法的应用非常广泛。例如，在研究天体物理学时，科学家们需要用数学物理方法来建立模型，以便更好地理解天体运动规律；在研究量子物理学时，科学家们也需要用数学物理方法来解决薛定谔方程，以便更好地理解量子力学的基本规律。 马伯强数学物理方法讲义主要介绍了数学物理方法的基本理论和应用，包括分离变量法、行波法和 Green 函数法等。这些方法在物理学中应用广泛，可以帮助学生更好地理解和解决物理学中的实际问题。 马伯强数学物理方法讲义的价值和影响非常深远。首先，这本教材可以帮助学生更好地理解数学物理方法的基本理论和应用，提高他们的理论水平和实践能力。其次，这本教材可以为物理学的研究和应用提供重要的参考资料，促进物理学的发展。 总之，马伯强数学物理方法讲义是一本非常重要的教材，可以帮助学生更好地理解和应用数学物理方法在物理学中。
目录（篇2） 一、马伯强数学物理方法讲义概述 二、数学物理方法在物理学中的应用 三、马伯强数学物理方法讲义的主要内容 四、数学物理方法在现代科学中的重要性 五、马伯强数学物理方法讲义的价值和影响 正文（篇2） 马伯强数学物理方法讲义是一本关于数学物理方法的讲解书籍，旨在帮助读者更好地理解和应用数学物理方法在物理学和其他科学领域中的 应用。 数学物理方法是物理系本科各专业学生必修的重要基础课，也是海洋科学类、力学类、电子信息科学类、材料科学类等专业的重要公共基础课。本课程定位于在高等数学和普通物理的基础上，以讲授古典数学物理中的常用方法为主，适当介绍近年来的新发展，为后继有关专业课程作准备。 在现代科学中，数学物理方法的应用变得越来越重要。无论是在物理学、数学、工程学还是其他领域，数学物理方法都扮演着至关重要的角色。例如，在计算机科学中，泊松方程被广泛应用于各种计算物理问题，如在通信领域中的应用等等。此外，数学物理方法也被广泛应用于硬件制备和研发、程序设计和计算物理等领域。 马伯强数学物理方法讲义是一本极具价值的书籍，它详细介绍了数学物理方法的基本概念、基本原理和应用技巧。读者通过学习这本书，可以更好地掌握数学物理方法的应用，从而在实际应用中更加得心应手。此外，马伯强数学物理方法讲义也影响了一代又一代的学者和研究人员，对数学物理方法的发展和应用产生了深远的影响。 目录（篇3）
第13讲等腰三角形一 等腰三角形从边和角两方面出发，阐述了它的特殊性．在理解等腰三角形的性质和判定的基础上，能够熟练的进行边和角之间的计算及证明，本节课的内容相对基础． 模块一：等腰三角形性质 知识精讲 等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）． （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“等腰三角形三线合一”）． （3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线． 例题解析 例1．（2018·上海七年级零模）如果一个等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，那么第三条边的长是________cm． 例2．（2018·上海市闵行区上虹中学七年级月考）若等腰三角形有一个内角为80°，则该等腰三角形顶角的度数为________ 例3．（2018·上海市兴陇中学七年级月考）等腰三角形的两边的长分别为2cm和7cm，则三角形的周长是_______________． 例4．（2020·上海闵行区·）等腰三角形的两边长为4，9，则它的周长为___________．例5．（2019·上海浦东新区·）等腰三角形的底边长为10cm，一腰上的中线将这个三角形分成两部分,这两部分的周长之差为2cm，则这个等腰三角形的腰长为_______________．例6等腰三角形底边长为7cm，它的周长不大于25cm，则它的腰长x的取值范围是____________． 例7.（1）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则顶角的度数是_______； （2）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为50°，则顶角的度数是___________． 例8.已知：AB=AC，AD=DE=BE，BD=BC，那么∠A的度数为________．
学而思数学全套讲义 （实用版） 目录 1.学而思数学全套讲义概述 2.学而思数学全套讲义的内容 3.学而思数学全套讲义的特点 4.学而思数学全套讲义的使用建议 正文 学而思数学全套讲义是一套针对中小学数学课程的辅导资料，旨在帮助学生巩固课堂所学知识，提高数学思维能力和解题技巧。本文将从学而思数学全套讲义的概述、内容、特点以及使用建议四个方面进行介绍。 一、学而思数学全套讲义概述 学而思数学全套讲义根据学生的学习需求和课程体系，分为小学、初中和高中三个阶段，涵盖了数学课程的全部知识点。该套讲义以教材为基础，结合最新的教学大纲和考试要求，系统地梳理了数学知识体系，为学生提供了全面的学习辅导。 二、学而思数学全套讲义的内容 学而思数学全套讲义的内容分为以下几个部分： 1.知识梳理：对教材中的知识点进行系统梳理，帮助学生明确学习目标，掌握重点和难点。 2.题型解析：针对不同题型，提供解题思路和方法，帮助学生熟练掌握解题技巧。 3.例题分析：通过典型例题的讲解，使学生深入理解知识点的应用，提高解题能力。
4.练习题及答案：提供丰富的练习题，帮助学生巩固所学知识，并附有详细答案解析，便于学生自查。 三、学而思数学全套讲义的特点 1.系统性强：学而思数学全套讲义以教材为基础，按照课程体系进行编排，具有很强的系统性。 2.实用性强：讲义中的题型解析和例题分析紧密结合实际教学，具有很高的实用性。 3.辅导性强：通过知识梳理、题型解析和例题分析等环节，对学生进行全面辅导，帮助学生提高数学素养。 四、学而思数学全套讲义的使用建议 1.根据个人需求选择合适的讲义：学生可根据自己的学习阶段和需求，选择相应的讲义进行学习。 2.合理安排学习时间：学生应充分利用课余时间，合理安排学习进度，确保学习效果。 3.结合教材和课堂学习：学生应将学而思数学全套讲义与教材和课堂学习相结合，巩固课堂所学知识，提高自学能力。 总之，学而思数学全套讲义是一套内容丰富、实用性强的辅导资料，对学生的数学学习具有很好的辅助作用。
分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的概念以及分解素因数，公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数这三大块内容，这节课主要讲解前面两大块内容，重点是素数与合数的概念以及分解素因数，难点是求2个整数或者是3个整数的最大公因数．通过这节课的学习一方面为我们后面学习公倍数和最小公倍数奠定基础，另一方面用所学知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣． 1、素数与合数 （1）素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数；（2）合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数； （3）1既不是素数，也不是合数；正整数可分为：1、素数和合数三类． 分解素因数 知识结构 模块一：素数与合数 知识精讲 内容分析
例题解析 【例1】判断37，39，47和49是素数还是合数． 【答案】37和47是素数，39和40是合数． 【解析】因为37和47都只有1和它本身两个因数，所以37和47是素数，39和40除了1和它本身之外，还有其它的因数，因此39和40是合数． 【总结】本题主要考查素数和合数的概念． 【例2】下列各数中，哪些是素数？哪些是合数？ 6，13，18，31，51，67，87，120． 【答案】13，31，67是素数；6，18，51，87，120是合数． 【解析】13，31，67只有1和本身两个因数，是素数； 6，18，51，87，120除了1和本身，还有其他因数，是合数． 【总结】本题主要考查素数和合数的概念． 【例3】根据要求填空：在1，2，9，21，43，51，59，64这八个数中： (1)是奇数又是素数的数是（）； (2)是奇数不是素数的数是（）； (3)是素数而不是奇数的数是（）； (4)是合数而不是偶数的数是（）． 【答案】（1）43，59 ；（2）1，9，21，51 ；（3）2；（4）9，21，51． 【解析】略 【总结】本题主要是对基本概念的考查． 【例4】已知字母p、q分别代表一个素数，并且p + q = 99，你能知道p、q这两个数相乘的积是多少吗？ 【答案】194 【解析】99是一个奇数和一个偶数的和，且这两个数都是素数，所以这两个数是2和97，积是194． 【总结】2是最小的素数，也是唯一的偶素数． 【例5】判断题（若是正确的，请说明理由；若是错误的，请把它改正确）． (1)所有的偶数是合数，所有的奇数是素数； (2)某数是3的倍数，这个数一定是合数； (3)一个合数至少有3个因数； 2/ 10
《三角形》全章复习与巩固（基础）知识讲解 【学习目标】 1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系． 2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题． 3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题. 4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用． 5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、三角形的有关概念和性质 1.三角形三边的关系： 定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边. 要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 2.三角形按“边”分类：
⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩ 不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 3.三角形的重要线段： （1）三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. （2）三角形的中线 三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形. （3）三角形的角平分线 三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心. 要点二、三角形的稳定性 如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性． 要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形． 要点三、三角形的内角和与外角和 1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 推论：1.直角三角形的两个锐角互余 2.有两个角互余的三角形是直角三角形 2.三角形外角性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°. 要点四、多边形及有关概念 1.多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n 条边就叫做n 边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形. 2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．
一元二次方程求根公式及解法综合 一元二次方程求根公式是八年级数学上学期第十七章第二节内容，主要对一 元二次方程求根公式解法进行讲解，重点是对一元二次方程求根公式的推导和解方程的理解，难点是求根公式在解一元二次方程中的灵活应用. 同时，结合之前所学的开平方法、因式分解法及配方法进行解法综合应用，让学生熟练掌握.通过这节课的学习一方面为我们后期学习一元二次方程根的判别式提供依据，另一方面也为后面学习一元二次方程的应用奠定基础. 知识结构 一元二次方程的解法 因式分解法内容分析
1、公式引入 对上面这个方程进行讨论：因为 a 0,所以4a 2 2 2 , b 4ac ①当 b 4ac 0时， ---------- 2— 0 4 a 利用开平方法，得：x — b -一4ac, 即：x 2a 4a 2 2 G5 2 , b 4ac ②当 b 4ac 0时， ---------- 2 — 0 4 a 2 这时，在实数范围内，x 取任何值都不能使方程 (x -b-) 2 b 2 4a c 左右两边的值 2a 4a 2 相等，所以原方程没有实数根. 2、求根公式 一元二次方程ax 2 bx c 0 (a 0),当b 2 4ac 0时，有两个实数根： b b 2 4ac b b 2 4ac X 1 2a ' & 2a 这就是一元二次方程 ax 2 bx c 0 ( a 0)的求根公式. 3、用公式法解一元二次方程一般步骤 ①把一元二次方程化成一般形式 ax 2 bx c 0 ( a 0 ); ②确定a 、b 、c 的值； ③求出b 2 4ac 的值(或代数式)； ④若b 2 4ac 0,则把a 、b 、c 及b 2 4ac 的值代入求根公式，求出x 、X2；若b 2 4ac 0 , 模块一：一元二次方程求根公式 元二次方程 b 2 得：（x ） 2a 2 ax bx c .2 b 4a c 4a 2 0 （a 0),可用配方法进行求解: b . b 4ac 2a 知识精讲
第12讲二次根式的计算 知识定位 讲解用时：3分钟 A、适用范围：人教版初二，基础较好； B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习二次根式的计算。二次根式是中考考查的重点，也涉及到后面勾股定理的学习，本节课我们需要了解二次根式有意义，掌握二次根式的乘除和加减运算，熟练地进行二次根式的计算。 知识梳理 讲解用时：20分钟 二次根式 1、一般地，式子√a（a≥0）叫做二次根式 a称为是被开方数 （1）表示a的算式平方根 （2）a可以是数，也可以是式 （3）形式上含有二次根号 （4）a≥0 a≥0 （双重非负性） 2、最简二次根式： 必须同时满足下列条件： （1）被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； （2）被开方数中不含分母； （3）分母中不含根式. 3、同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式.
课堂精讲精练 【例题1】 分式有意义时，x 的取值范围是 ． 二次根式的加减 1.二次根式的化简： （1）被开方数是小数时，常把小数化成相应的分数，后进行求解. 解：2332661522222.⨯====⨯ 化简时通常分子、分母同时乘以分数的分母，使分母上的数或式子称为完全平方数或完全平方式. （2）被开方数是分数的二次根式化简 解：211155512555555552525⨯====⨯⨯⨯⨯⨯ （3）被开方数是非完全平方数的二次根式化简 4816343=⨯= 将被开方数进行因数分解，是化简的基础. 2、同类二次根式： 化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式. 例如：√3与2√3是同类二次根式 3、二次根式的加减法 二次根式加减运算的实质是合并同类二次根式，即系数相加减，二次根式不变
初中数学专题讲义-二次函数的图像和性质 初中数学专题讲义-二次函数的图像和性质 课题 二次函数的图像和性质 教学目标 1. 会用描点法和平移法画二次函数的图像； 2. 会用配方法确定二次函数图像的顶点坐标和对称轴； 3. 理解二次函数)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，的图像和性质 4. 会求)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，与x 轴、y 轴的交点坐标，并会判断抛物线与x 轴的交点情况。 5. 会利用二次函数的性质解决简单的实际问题 重点、难点 ● 重点：二次函数的图像和性质。● 难点：二次函数性质的应用 考点及考试要求 利用二次函数的性质、数形结合思想、待定系数法、配方法、转化思想、分类讨论思想解决问题 教学内容知识框架 一、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： 2. 2y ax c =+的性质 3. ()2 y a x h =-的性质： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 二、二次函数图象的平移 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五、二次函数2y ax bx c =++的性质
六、二次函数解析式的表示方法 七、二次函数的图象与各项系数之间的关系八、二次函数图象的对称 九、二次函数与一元二次方程： 考点一：二次函数的定义相关 典型例题 【例1】下列函数中，是二次函数的是. ① ；②；③；④ ； 知识概括、方法总结与易错点分析【解析】①、②、③ 【方法总结】结合二次函数的定义解决此类问题。需要注意 的系数不为0. 【例2】如果函数y=(k-3)+kx+1是二次函数,则k 的值一定是_______. 知识概括、方法总结与易错点分析 【方法总结】解决此类为题首先由最高次项的次数为2列出一个方程，在根据的系数不为0讨论 方程的解的取舍. 【例3】二次函数y=x 2 +2x －7的函数值是8，那么对应的x 的值是（） A ．3 B ．5 C ．－3和5 D ．3和－5 . 针对性练习 1．已知二次函数 ，当 时 . 2．下列各式中，y 是的二次函数的是 ( ) A ． B ． C ． D ． . 3．若是二次函数，则
帅壮变形记 漫画释义 满分晋级 函数4级 一次函数初步 函数3级 函数初步 函数2级 平面直角坐标系中的变换 12 函数初步
定义示例剖析 常量 ．．、变量 ．．：在一个变化过程中，我们称数值发 生变化的量为变量，数值始终保持不变的量称为 常量. 函数 ．．：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说其中x是 自变量 ．．．，y是因变量 ．．．，y是x的函数 ．．．如果当x a =时y b =，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. 表示函数关系的式子叫做函数解析式 ．．．. 圆的面积S与半径r之间存在相应的关系：2 π S r =，π是常量，S随着r的变化而变化，r是自变量，S 是因变量，S是r的函数，当1 r=时，函数值S=π；当3 r=时，函数值9 S=π， 这里等式2 π S r =为函数解析式 总结示例剖析 函数自变量的取值范围 ．．．．．．．．．．，初中阶段主要包括： ⑴整式：一般为全体实数 ⑵根式：根指数为偶数时被开方数为非负数 ⑶分式: 分母不为零 ⑷实际问题：符合实际意义函数2 21 y x =-、1 y x =+、 2 x y x = - 自变量取值范围分别为：全体实数、1 x- ≥、2 x≠ 知识互联网 思路导航 例题精讲 题型一：常量、变量、函数
【例1】⑴判断下列所指的量之间是否是函数关系，若是，请写出函数关系式，并指出其中的自变量. ①三角形的面积S()2cm与长为5()cm的边上的高h()cm之间. ②某人坐公交车从甲站去往乙站，已知全程中各站票价均为0.4元，票价y元与经过 的车站数x之间. ⑵下图分别给出了变量y与x之间的对应关系，y是x的函数的图象是（） D C B A （人大附中期中）【解析】⑴①是， 5 2 h S=，自变量为高h. ②是，0.4 y x =，自变量为车站数x. ⑵C，对于x的每个值，y都有唯一确定的值与之对应，由x与y之间的一对一的关系 即可判断.本道例题旨在加强学生对函数定义的理解. 【例2】判断下列式子中y是否是x的函数，若是，请指出自变量x的取值范围: ⑴35 y x =-；⑵ 2 1 x y x - = - ；⑶2y x =；⑷3 y x =-； ⑸2 y x =-；⑹ y；⑺ y=；⑻ y 【解析】⑶⑸不是，其余均是.其中： ⑴x为全体实数；⑵1 x≠；⑷全体实数； ⑹1 x>-；⑺2 x≥且3 x≠；⑻全体实数. 【例3】⑴三角形的周长是cm y，三边长分别为4cm，6cm，cm x，则以x为自变量表示y的函数关系式为_________，自变量x的取值范围是. ⑵矩形周长为30，则面积y与一条边长x之间的函数关系式为____________，其中x的 取值范围是___________. ⑶一个小球由静止开始从一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2米，则小球的速度v随 时间t变化的函数关系式为_______________；第2.5秒时小球的速度为________. ⑷某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超 过12立方米，按每立方米2元收费；若超过12立方米，则超过部分每立方米按4元 收费，某户居民五月份交水费y（元）与用水量x（立方米）（12 x>）之间的关系式为，若该月交水费40元，则这个月的实际用水立方米．典题精练
章节复习考点讲义（苏教版） 苏教版数学五年级上册章节考点精讲精练 第八单元《用字母表示数》 知识点一：用字母表示数 用含有字母的式子表示简单的数量关系：在不同的数量关系中，字母所表示的意义各不相同。含有字母的式子既可以表示简单的数量，又可以表示数量关系。 知识点二：含字母式子的求值 1.代入法计算含有字母的式子的值：字母的数值确定后，含有字母的式子就有了与之对应的确定的值。 2.代入法计算含有字母的式子的值：计算公式中的字母有的是大写字母，一般已经规定的或习惯上的写法，不要随意用其他字母代替；在含有字母的式子中，乘号可以写作“·”,也可以省略不写；当字母和数字相乘是，一般数字在前，字母在后，乘号省略；数字“1”与字母相乘，“1”可以省略不写。 知识导航 知识互联网
3.用含有字母的式子表示稍复杂的数量关系：用含有字母的式子表示稍复杂的数量关系时，要做到“一推”（根据题意，推出关系式）“一表”（根据关系式用含有字母的式子表示）。 4.代入法计算稍复杂的含有字母的式子的值：求含有字母式子的值，就是将字母所代表的数值，代入到数量关系中进行计算，其中要注意：计算过程中，应把乘法算式中省略的乘号还原；求出的值不写单位名称。 5.用含有字母的式子表示稍复杂的计算公式：三角形面积公式S＝ah÷2,其中a表示三角形的底，h代表三角形的高；看准字母对应的数值，代入用字母表示的公式计算。 6. 化简形如“ax±bx”的式子：形如“ax±bx”这样含有字母的式子可以运用乘法分配律进行化简，即ax±bx＝ 考点01：用字母表示数 1．（2020五上·诸暨期末）笑笑今年a岁，妈妈今年b岁，10年后妈妈比笑笑大（）岁。 A．10 B．（b－a） C．（b－a＋10）D．（b－a－10） 2．（2020五上·建湖期末）把一个长方形对折（如图），已知原长方形长是a厘米、宽是6厘米，那么对折后小长方形的周长是（）厘米。 A．a+6 B．a+12 C．2a+6 D．a÷2+6 3．（2021五上·曲靖期末）中秋节妈妈买了a千克苹果，每千克5.5元；买了b千克石榴，每千克8.99元。那么8.99b－5.5a表示（）。 A．每千克石榴比每千克苹果贵多少元B．买苹果和石榴一共多少元 C．买苹果比石榴多付多少元D．买石榴比苹果多付多少元 4．（2020五上·红塔期末）因为2+2=2×2=22，所以a+a=2a=a2。（） 5．（2020五上·海丰期末）因为22=2×2，所以a2=a×2。（） 6．（2021五上·偃师期末）学校开展研学活动，租用大巴车和面包车共10辆。租用一辆大巴车和一辆面包车的费用分别是500元和300元。如果租了a辆大巴车，则租了辆面包车，租大巴车的费用是