北交大概率论第1章总复习

北交《概率论与数理统计》复习题一一、 填空题1. 题在一次读书活动中，某同学从2本科技书和4本文艺书中任选2本，则选中的书都是科技书的概率为______ 1/15_____． 考核知识：古典概型。

2. 设随机事件A 与B 相互独立，且5.0)(=A P ，3.0)(=B A P ，则=)(B P ___0.4________．考核知识点：事件的独立性。

3. 设A ,B 为随机事件，5.0)(=A P ，4.0)(=B P ，8.0)|(=B A P ，则=)|(A B P __0.64_____．考核知识点：条件概率。

4. 设袋中有2个黑球、3个白球，有放回地连续取2次球，每次取一个，则至少取到一个黑球的概率是____16/25_______．5.考核知识点：古典概型。

6. 设随机变量X 的分布律为：则=≥}1{X P ___0.7________． 考核知识点：离散型随机变量。

7. 设二维随机变量),(Y X 在区域D 上服从均匀分布，其中20,20:≤≤≤≤y x D ．记),(Y X 的概率密度为),(y x f ，则=)1,1(f ____1/4_______． 考核知识点：概率密度函数。

8. 设),(Y X 的分布律为X Y0 1 2 0 0.3 0.1 0.2 10.10.3则==}{Y X P ____0.4_______． 考核知识点：二维离散型随机变量。

9. 设二维随机变量),(Y X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>>--=--其他,00,0),1)(1(),(y x e e y x F yx ，则=≤≤}1,1{Y X P ___________．考核知识点：二维连续型随机变量。

10. 设总体X ～)1,(μN ，21,x x 为来自总体X 的一个样本，估计量2112121ˆx x +=μ，2123231ˆx x +=μ，则方差较小的估计量是___________． 考核知识点：估计量的有效性。

《概率论与数理统计》第一章 随机事件与概率考点1 随机事件基本概念（★三级考点，选择、填空）1.样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间。

2.样本点:试验的单个结果或样本空间的单元素称为样本点。

3.随机事件：样本空间的任意一个子集称为随机事件,简称“事件”.记作A 、B 、C 。

4.任何事件均可表示为样本空间的某个子集。

5.基本事件：一个随机事件只含有一个试验结果。

6.事件A 发生当且仅当试验的结果是子集A 中的元素。

7.两个特殊事件:1）必然事件：样本空间包含了所有的样本点，且是自身的一个子集，在每次试验中总是发生。

2）不可能事件：不包含任何的样本点，也是样本空间的一个子集，在每次试验中总不发生。

考点2 事件的关系与运算（★三级考点，选择、填空）1.包含关系：“事件A 发生必有事件B 发生”记为A ⊂B ，称A 包含于B 。

A ＝B ⇔A ⊂B 且B ⊂A.2.和事件：“事件A 与事件B 至少有一个发生”，记作A ⋃B3.积事件:事件A 与事件B 同时发生，记作A ⋂B ＝ABA 和B 的公共部分4.互斥的事件：即事件A 与事件B 不可能同时发生。

AB ＝φ5.差事件：A －B 称为A 与B 的差事件,表示事件A 发生而事件B 不发生6.互逆的事件：A ⋃B ＝Ω,且AB ＝φ。

B A B A 易见，称为称为A 的对立事A 记作B =-=7.事件的运算交换律：A ⋃B ＝B ⋃A ，AB ＝BA结合律：(A ⋃B)⋃C ＝A ⋃(B ⋃C)，(AB)C ＝A(BC)3、分配律：(A ⋃B)C ＝(AC)⋃(BC)，(AB)⋃C ＝(A ⋃C)(B ⋃C)4、对偶律：考点3 频率（★三级考点，选择、填空）1.在相同条件下，事件A 在n 次重复试验中发生m 次，则称比值m/n 称为事件A 在n 次试验中发生的频率，记为fn(A)。

考点4 概率的定义与性质（★★二级考点，选择、填空）1.若对随机试验E 所对应的样本空间Ω中的每一事件A ，定义一个实数P(A)与之对应，集合函数P(A)满足条件：(1)非负性：P(A) ≥0；(2)规范性：P(Ω)＝1；(3)可列可加性：若事件A 1，A 2，…,两两互斥，即A i A j ＝φ，(i ≠j),i,j ＝1,2,…,有P(A 1⋃A 2⋃…)＝P(A 1)＋P(A 2)+….则称P(A)为事件A 的概率。

北交《概率论与数理统计》复习题一北交《概率论与数理统计》复习题一一、填空题1.已知A 、B 为两事件，( ) 0.6 P A ，( ) 0.1 P B 。

当A 、B 为相互独立事件时，( ) P AB ，( ) P A B。

考核知识点：独立事件2.设1 2, ,nX X X 是取自总体X 的一个样本，则样本均值X。

考核知识点：样本均值3.随机变量X 、Y 相互独立，~ (1,4) X N ，~ (10,0.2) YB ，则( 2 1 ) E X，( ) D X Y。

考核知识点：期望和方差的性质4.设, , A B C 为三个事件，则, , A B C 三事件恰有一个发生可表示为。

考核知识点：概率的性质5. 连续型随机变量X 的概率密度为2 1,0 1( )0 ,其它kx xf x，又知3( )4 E X ，k。

考核知识点：连续型随机变量的概率密度6. 设随机变量X 的分布律为 , 0,1,2,!kP X k a kk，0 为常数，试确定a =。

考核知识点：随机变量的分布率7.设0 ( )x 是标准正态分布的分布函数，已经查表得到0 (1.645)0.95 ，0 (1.96)0.975 。

则0 ( 1.645)。

考核知识点：标准正态分布的性质二、计算题8. 50 个铆钉随机地取来用在10 个部件，其中有三个铆钉强度太弱，每个部件用 3 只铆钉，若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？考核知识点：古典概率9. 设随机变量X 的分布函数为. , 1, 1 , ln, 1 , 0) (e xe x __ F X ，求（1）P (X2), P {0X≤3}, P (2X25)；（2）求概率密度 f X (x). 考核知识点：分布函数和概率密度函数10. 在一箱子里装有12 只开关，其中2 只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。

考虑放回抽样。

我们定义随机变量X，Y 如下：若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品, 1, , 0X若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品, 1, , 0Y写出X 和Y 的联合分布律。

概率论知识点总结第一章 随机事件及其概率第一节 基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。

随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。

不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。

必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。

样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。

基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。

事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件 A 发生必然导致事件B 发生，则称B 包含A ，记为A B ⊇或B A ⊆。

相等关系：若A B ⊇且B A ⊆，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。

事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 的和事件。

记为 A ∪B 。

事件的积：称事件“事件A 与事件B 都发生”为A 与B 的积事件，记为A∩ B 或AB 。

事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为 A －B 。

用交并补可以表示为B A B A =-。

互斥事件：如果A ，B 两事件不能同时发生，即AB ＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。

互斥时B A ⋃可记为A ＋B 。

对立事件：称事件“A 不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为A 。

对立事件的性质：Ω=⋃Φ=⋂B A B A ,。

事件运算律：设A ，B ，C 为事件，则有 （1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA（2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A ∪C) A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC （4）对偶律（摩根律）：B A B A ⋂=⋃ B A B A ⋃=⋂第二节 事件的概率 概率的公理化体系： （1）非负性：P(A)≥0； （2）规范性：P(Ω)＝1（3）可数可加性： ⋃⋃⋃⋃n A A A 21两两不相容时++++=⋃⋃⋃⋃)()()()(2121n n A P A P A P A A A P概率的性质： （1）P(Φ)＝0（2）有限可加性：n A A A ⋃⋃⋃ 21两两不相容时)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=⋃⋃⋃当AB=Φ时P(A ∪B)＝P(A)＋P(B) （3）)(1)(A P A P -=（4）P(A －B)＝P(A)－P(AB)（5）P （A ∪B ）＝P(A)＋P(B)－P(AB)第三节 古典概率模型1、设试验E 是古典概型, 其样本空间Ω由n 个样本点组成,事件A 由k 个样本点组成.则定义事件A 的概率为nk A P =)( 2、几何概率：设事件A 是Ω的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为)()()(Ω=μμA A P 假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可.第四节 条件概率条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B).)()()|(B P AB P B A P =乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设n A A A ,,,21 是一个完备事件组，则P(B)=∑P(i A )P(B|i A ) 贝叶斯公式：设n A A A ,,,21 是一个完备事件组,则∑==)|()()|()()()()|(jj i i i i A B P A P A B P A P B P B A P B A P第五节 事件的独立性两个事件的相互独立：若两事件A 、B 满足P(AB)= P(A) P(B)，则称A 、B 独立，或称A 、B 相互独立.三个事件的相互独立：对于三个事件A 、B 、C ，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，P(ABC)= P(A) P(B)P(C)，则称A 、B 、C 相互独立三个事件的两两独立：对于三个事件A 、B 、C ，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，则称A 、B 、C 两两独立独立的性质：若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 均相互独立总结：1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。

概率论与数理统计数学第一章复习第一章概率论的基本概念一、随机试验概率论中将满足下列三个特点的实验称为随机试验，通常用E或E1，E2…来表示，这三个特点是：1.试验可在相同的条件下重复进行；2.每次试验的可能结果不止一个，但所有的结果是明确可知的；3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。

二、样本空间随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记做S。

样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点。

三、随机事件1.试验E的样本空间S的子集，即试验满足某些条件的可能结果称为E的随机事件。

在每次试验中，当且仅当事件中的一个样本点出现时，称这个事件发生。

2.由一个样本点组成的单点集称为基本事件，由多于一个样本点组成的集合称复合事件。

3.E和空集?都是E的子集，它们分别称为必然事件和不可能事件。

四、事件间的关系1.若BA?，则称事件B包含事件A，这指的是事件A发生必导致事件B 发生。

若BB?，即A=B，则称事件A与事件B相等。

A?且A2.事件BA ={x | x∈A或x∈B}称为事件A与事件B的和事件。

当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件BA 发生。

3.事件BA ={x | x∈A且x∈B}称为事件A与事件B的积事件。

当且仅当A，B同时发生时，事件BA 也记作AB。

A 发生。

B4.事件A—B=={x | x∈A且x?B}称为事件A与事件B的差事件。

当且仅当A发生，B不发生时事件A—B发生。

5.若BA =?，则称事件A与事件B是互不相容的，或互斥的。

这指的是事件A与事件B不能同时发生。

基本事件是两两互不相容的。

6.若BA =?，则称事件A与事件B互为逆事件。

又称事件A与事件B互为A =S且B对立事件。

这指的是对每次试验而言，事件A、B中必有一个发生，且仅有一个发生。

A 的对立事件记作A，A=S-A。

五、事件的运算1.交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A2.结合律：(A∪B)∪C =A∪(B∪C)，(A∩B)∩C =A∩(B∩C)=ABC3.分配律：A(B∪C)=AB∪AC, A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)4.德摩根律：A B=A B, AB=A∪B5.吸收律：A∩(A∪B)=A, A∪(A∩B)=A6.双重否定律：A=A7.排中律：A∪A=Ω，A∩A=?8.差积转换律：A-B=A B六、频率1．在相同的条件下进行的n次试验中，事件A发生的次数n A称为事件A发生的频数，比值nA /n称为事件A 发生的频率，并记成fn（A）。