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北京交通大学付俐老师课件概率论与数理统计JA48,

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《新编概率论与数理统计》第二版课件

《新编概率论与数理统计》第二版课件

基本事件 Basic Event
——由一个样本点组成的单点集 {ω}
必然事件 Certain Event
——每次试验必定发生的事件. 例 全体样本点组成的事件,记为Ω
不可能事件 Impossible Event
——每次试验必定不发生的事件. 例 不包含任何样本点的事件,记为Φ
Probability and Statistics– Chapter 1 Random Events and Probability-liqinggui Tan Kah Kee College 11
随机事件A发生——
随机试验中，当随机事件A的某个样本点出现
例 掷一颗骰子; Ω = {1,2,3,4,5,6}
设随机事件A={1，3，5}，即{出现奇数点} 当1，3，5中任一点数出现，则称事件A发生
Probability and Statistics– Chapter 1 Random Events and Probability-liqinggui Tan Kah Kee College 10
1. 包含关系 Inclusion Relation
A ⊂ B —— A 包含于B
事件 A 发生 必导致事件 B 发生
Ω AB
A 是B的子事件 A ⊂ B
2. 相等关系 Equivalent Relation
A= B
A⊂ B且 A⊃B
Probability and Statistics– Chapter 1 Random Events and Probability-liqinggui Tan Kah Kee College 13
§ 1.1 随机事件及其运算
Random Events and Operation

概率论与数理统计(完整版)(课堂PPT)

概率论与数理统计(完整版)(课堂PPT)
32
(二) 乘法公式:
由条件概 ,立率 即P 定 可 (A 义 0 得 )则 , 有 P(AP B()A)|A P)(.B
推广 P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2), P(A1A2 ...An-1)>0, 则有乘法公式: P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).
(1P) (|A )0.
(2设 )B 1,B 2,,B n两两互 ,则 不相
n
n
P ( Bi |A) P(iB|A.)
30
i1
i1
(3P )B (|A )1P (B |A ).
(4P ) (C B |A P ) |( A B P ) |( A C ) -P(|A B)C .
注 当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无 条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
不可能事件：空集φ不包含任何样本点, 它在每次试验中 都不发生，称为不可能事件。
6
例1. 试确定试验E2中样本空间, 样本点的个数, 并给出如
下事件的元素: 事件A1=“第一次出现正面”、事件A2=“ 恰好出现一次正面”、事件A3=“至少出现一次正面”.
7
（三）事件间的关系与事件的运算
1.包含关系和相等关系:
(1) 对任一事件A,有P(A)≥0; (非负性） (2) P(S)=1;（规范性) (3) 设A1,A2,…是两两互不相容的事件,则有
P(A1 A2 …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)
25
2.概率的性质： 性1质 . P()0.

概率论与数理统计课件【】

概率论与数理统计课件【】
观察 n 次试验中 A 发生的次数．
试验者 德.摩根
n
2048
nA
1061
fn (A)
0.5181
蒲丰
4040
2048
0.5069
费勒
10000
4979
0.4979
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱK.皮尔逊
12000
6019
0.5016
K.皮尔逊
24000
12012
0.5005
一口袋中有6个乒乓球，其中4个白的，2个红的．有 放回地进行重复抽球，观察抽出红色球的次数。
的次数 nA
称为事件 A 发生的频 数.比值
nA n
称为事件
A 发生的频 率,并记
成 fn ( A).
通过实践人们发现，随着试验重复次数n 的大量增加,频率fn ( A)会
越来越稳定于某一个常数, 我们称这个常数为频率的稳定值.其实这个值
就是事件A的概率f ( A).
在相同的条件下，多次抛一枚均匀的硬币，设事件 A =“正面朝上”，
1.1.4 事件间的关系与运算
1. 包含关系与相等： “事件 A发生必有事件B发生 ” 记为AB。 A＝B AB且BA.
A B
A
B Ω
2. 和（并）事件： “事件A与事件B至少有一个 发生”，记作AB或A+B。
显然：AAB，BAB；若AB，则AB=B。
推广：n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，
1.1.3 随机事件与样本空间
❖样本空间: 试验的所有可能结果所组成的集合称为 试验E的样本空间, 记为Ω. ❖样本点: 试验的每一个可能出现的结果（样本空 间中的元素）称为试验E的一个样本点, 记为ω.

概率论与数理统计课件

概率论与数理统计课件

AU B UC A 2 “恰有一人命中目标” : : ABC U ABC U ABC A 3 “恰有两人命中目标” : : ABC U ABC U ABC A 4 “最多有一人命中目标” BC U AC U AB : :
A 5 “三人均命中目标” : : A 6 “三人均未命中目标” : :
ABC AI B IC
随机试验举例
E1: 抛一枚硬币，用“H” 和“T” 表示出现正面和反面; E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E3: 某城市某年某月内发生交通事故的次数； E4: 掷一颗骰子，可能出现的点数； E5: 记录某网站一分钟内的点击次数； E6: 在一批灯泡中任取一只，测其寿命; E7: 任选一人，记录他的身高和体重 。
A U B = A I B, AB = A U B
可推广
UA
k
k
= I Ak,
k
IA
k
k
= U Ak.
k
例 设A，B，C表示三个随机事件，试以A，B， C的运算来表示以下事件。
（１）仅Ａ发生 （２）Ａ，Ｂ，Ｃ都发生 （３）Ａ，Ｂ，Ｃ都不发生 （４）Ａ，Ｂ，Ｃ不全发生
ABC ，
ABC
A BC ABCLeabharlann ⇔ 试验的结果是子集A中的元素
2. 基本事件与复合事件： 基本事件与复合事件：
基本事件 ⇔ 样本点
3. 特殊事件 特殊事件：必然事件Ω ,不可能事件Φ.(P2)
例如 ：试验E2 将一枚硬币连抛三次， A 、B、C 为三个随机事件 A＝“至少出一个正面” ＝{HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH}； B＝“ 三次出现同一面 ”＝{HHH,TTT} C＝“恰好出现一次正面”＝{HTT，THT，TTH} 再如：试验E6 在一批灯泡中任取一只，测其寿命 再如 D＝“灯泡寿命超过1000小时” ＝{t:t

北京交通大学 概率论与数理统计课件

北京交通大学 概率论与数理统计课件
k n k n n k k n k
n nn 1n 2n k 1 n 1 k！ n n
第二章 随机变量及其分布
§2离散型随机变量
Poisson定理的证明(续)
n 1 2 k 1 1 1 1 1 k! n n n n
第二章 随机变量及其分布
§2离散型随机变量
例 12（续）
1
得
由此得方程
1!
e

2
2!
e
2 2 0
得解
2．
2 4 2 2 2 P X 4 e e 3 4!
0.09022
另一个 解 0 不合题 意，舍去
所以
第二章 随机变量及其分布
第二章 ห้องสมุดไป่ตู้机变量及其分布
§2离散型随机变量
例 13（续）
解：设 B={ 此人在一年中得3次感冒 },
A1 该药疗效显著 , A2 该药疗效一般 ,
P A1 P B A1
3
A3 该药无效 , 则由Bayes公式得
P A1 B
P A1 P B A1 P A2 P B A2 P A3 P B A3
k n

n k
对于固定的 k
由lim n lim npn
n n
k 得 lim k n n
n lim1 n n
nk
n n n lim 1 n n

nk n n
§2离散型随机变量
例 13
设一个人在一年内的感 冒次数服从参数 5的 Poisson分布，现有一种预防感 冒的药，它对 30%的人来讲，可将上述参 数 降为 （疗效 1 显著）；对另 45%的人来讲，可将参数 降为

概率论与数理统计课件最新完整版

概率论与数理统计课件最新完整版

时间序列分析是一种统计学方法，用于分析和预测时间序列数据。随机过程在时间序列分析中用于描述数据随时间变化的随机性质。
随机过程在时间序列分析中用于建模和预测时间序列数据。通过使用随机过程，可以描述数据在不同时间点的变化和相关性，并基于历史数据预测未来的发展趋势。
THANK YOU
概率论与数理统计课件最新完整版
概率论基础数理统计初步概率论的应用数理统计的应用概率论与数理统计的交叉应用
01
概率论基础
概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P表示。概率的取值范围在0到1之间，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
概率的定义
概率具有可加性、可减性和有限可加性。可加性是指互斥事件的概率之和等于该事件的总概率；可减性是指对立事件的概率之和等于1；有限可加性是指任意有限个两两互斥事件的概率之和等于这些事件的总概率。
02
统计决策理论的基本思想是通过建立概率模型来描述不确定性，然后利用这些模型进行决策分析。
03
在统计决策理论中，常用的方法包括贝叶斯分析、假设检验和置信区间估计等。
04
统计决策理论在经济学、金融学、管理学等领域有广泛的应用，例如风险评估、投资组合优化和市场营销策略等。
01
试验设计涉及到如何选择合适的实验方法、如何分配实验对象、如何控制实验条件等问题。
03
概率论的应用
贝叶斯推断是一种基于概率的推理方法，它通过将先验知识与新获取的数据相结合，对未知参数进行估计和预测。
通过将先验概率分布和似然函数结合，可以得到后验概率分布，从而对未知参数进行推断。
在贝叶斯推断中，先验概率分布反映了在获取新数据之前对未知参数的认知，而似然函数则描述了数据与未知参数之间的关系。

概率论与数理统计 数理统计基础 ppt课件


F 分布： 设 X ~ 2(m),Y ~ 2(n) ，且 X 与 Y 相互独立，则称
F X / m nX Y / n mY
服从自由度为（m,n）的 F 分布，记为 F ~ F(m, n)
概率论与数理统计 概率论与数理统计 数理统计基础
抽样分布的途径： （1） 精确地求出抽样分布，并称相应的统
O
1.0
2.0
x
概率论与数理统计 数理统计基础
例 2（133.例 4）设总体 X 服从标准正态分
布, X1, X2,, Xn 是来自总体 X 的一个简单随 机样本, 试问统计量
Y
n 5
1
5 i 1
X
2 i
服从何种分布?
n
X
2 i
,
i6
n5
概率论与数理统计 数理统计基础
❖某学院今年将扩招硕士，预计招硕士新生 100人，按入学考试成绩录取，现有1000人 报名，可认为考试成绩X服从正态分布，经 往年报考成绩数据估算，X～N(350,400).那 么该学院今年应如何确定录取分数线？
例 3（129.例 1）设 0.05, 求标准正态分 布的水平 0.05 的上侧分位数和双侧分位数.
P{|X|u/2}
( uP 0 P .0{ { 5/X X 2) 1u u 0 //2 2 .或 2 } 0 5X P { 0X .u 9 7 /5 2 u } /2 }
2 uP 0{ .02X 5 1 .9u 6/2 } 2 ( u /2 )
试求常数 C, 使CY 服从 2 分布.
概率论与数理统计 概率论与数理统计 数理统计基础
t
设 X~N(0,1),Y~2(n),且 X , Y 相互独立,令
t X Y /n

北京交通大学付俐老师课件概率论与数理统计JA48,


可编辑ppt
7
在生活当中，经常会接触到一些现象。 确定性现象： 在一定条件下必然发生的现象。
随机现象： 在个别实验中其结果呈现出不确定性； 在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象。
概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门 学科，是重要的一个数学分支。 它在经济、科技、教育、管理和军事等方面已得到广泛应用。 已成为高等工科院校教学计划中一门重要的公共基础课。 通过本课程的学习，使学生掌握处理随机现象的基本理论和 方法，并且具备一定的分析问题和解决实际问题的能力。
要求：会写出随机试验的 样本空间。
称为 E 的样本空间， 记为 S 。样本空间的
元素，即 E 的每个结果，称为样本点。 S1 : { H , T } S2 : { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } S3 : {0,1,2,3……} S4 : { t | t 0 } S5 : { ( x , y ) | T 0 x , y T1 }
可编辑ppt
8
目
录
第一章 概率论的基本概念
第二章 随机变量及其分布
第三章 多维随机变量及其分布
第四章 随机变量的数字特征
第五章 大数定律及中心极限定理
第六章 样本及抽样分布
第七章 参数估计
第八章 假设检验
可编辑ppt
9
第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率 §2 等可能概型 §3 条件概率 §4 独立性
2
课程简介
例1 某车间有200台车床，它们独立地工作着，开工 率为60%，开工时耗电各为1千瓦，问供 电所至少要 供给这个车间多少电力才能保证这个车间正常生产。
用概率论方法可以圆满的解决此问题。答案是供给 141千瓦即可。可能会因供电不足而影响生产，但按 一天工作8小时算，只有不超过半分钟时间会出现这 种情况。

概率论与数理统计书ppt课件


条件概率与独立性
CHAPTER
随机变量及其分布
02
随机变量的概念与性质
定义随机变量为在样本空间中的实值函数，其取值依赖于随机试验的结果。
随机变量
讨论随机变量的可数性、可加性、正态性等性质。
随机变量的性质
离散型随机变量的概念
定义离散型随机变量为只能取可数个值的随机变量。
离散型随机变量的分布
讨论离散型随机变量的概率分布，如二项分布、泊松分布等。
应用
中心极限定理及其应用
CHAPTER
贝叶斯推断与决策分析
07
贝叶斯推断的基本原理
金融风险管理
贝叶斯推断在金融风险管理领域有着广泛的应用，如信用风险评估、投资组合优化等。
医疗诊断
贝叶斯推断在医疗诊断方面也有着重要的应用，如疾病诊断、预后评估等。
机器学习与人工智能
贝叶斯推断在机器学习算法和人工智能领域中也有着广泛的应用，如朴素贝叶斯分类器、高斯混合模型等。
参数估计与置信区间
01
点估计
用单一的数值估计参数的值。
02
区间估计
给出参数的一个估计区间，通常包括一个置信水平。
比较两个或多个组的均值差异，确定因素对结果的影响。
方差分析
检验两个或多个组的方差是否相等。
方差齐性检验
研究变量之间的关系，并预测结果。
回归分析
假设检验与方差分析
CHAPTER
回归分析与线性模型
应用
在现实生活中，大数定律被广泛应用于保险、赌博、金融等领域，通过统计数据来预测未来的趋势和风险。
大数定律及其应用
在独立随机变量序列中，它们的和的分布近似于正态分布，即中心极限定理。这意味着，当样本量足够大时，样本均值近似于正态分布。

北京交通大学-概率论与数理统计课件


n

lnim npn


得
lim
n
k n


k
lim 1 n
n
n
nk

lim 1 n
n
n
n
n

n
k n

n


eห้องสมุดไป่ตู้


第二章 随机变量及其分布 §2离散型随机变量
Poisson定理的证明(续) 所以
lnim Cnk pnk 1 pn nk
Cnk
pk n
1
pn
nk
k

0,1,n
lnim npn 0
则
lim P
n
Xn
k

lim
n
Cnk
pnk
1
pn
nk

k！k e
证明： 令npn n
则
C
k n
pnk
1
pn
nk

nn
1n

2n
k！

k

1

n
n
k
1
n
n
nk
第二章 随机变量及其分布 §2离散型随机变量
Poisson定理的证明(续)


k n
1
1
1
2
1
k
1 1

n
nk

k! n n n n
对于固定的 k
由lim n
0.9745.
第二章 随机变量及其分布 §2离散型随机变量
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(答案：选A有大奖的概率为1/3，选C有大奖的概率为2/3)
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例3 保罗和梅累两人掷骰子，各压赌注12个金C币omp，any共Logo
24个。约定：梅累若先掷出3次“6点”，或保罗先掷出
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在生活当中，经常会接触到一些现象。
确定性现象：
在一定条件下必然发生的现象。
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随机现象： 在个别实验中其结果呈现出不确定性； 在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象。
概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科，是重要的一 个数学分支。
它在经济、科技、教育、管理和军事等方面已得到广泛应用。
已成为高等工科院校教学计划中一门重要的公共基础课。
通过本课程的学习，使学生掌握处理随机现象的基本理论和方法，并且具备一定的 分析问题和解决实际问题的能力。
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课程简介
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例1 某车间有200台车床，它们独立地工作着，开工 率为60%，开工时耗电各为1千瓦，问供 电所至少要 供给这个车间多少电力才能保证这个车间正常生产。
用概率论方法可以圆满的解决此问题。答案是供给 141千瓦即可。可能会因供电不足而影响生产，但按 一天工作8小时算，只有不超过半分钟时间会出现这 种情况。
3次“4点”，就算赢了对方。赌博进行一段时间以后，
梅累已掷出2次“6点”，保罗也掷出了1次“4点”，这
时，一件意外的事件中断了他们的赌博，以后也不想继
续这场没结束的赌博了，可是怎样分配赌金呢？
保罗认为：梅累再掷一次“6点”才算赢，而自己再掷
两次“4点”也就赢了。所以，梅累应得全部金币的 2/3，即16个，自己应得1/3，即8个。
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可是梅累认为：即使下次保罗掷出“4点”，两人也就 是平分秋色，各自收回12个金币，何况，下次自己还有 一半的机会赢，所以，自己应得全部金币的3/4，即18 个，保罗应得1/4，即6个。
它的概率。
19世纪俄国数学家Chebyshev,Markov,Liapunov以及20世纪的Levy等人建立了大数定 律和中心极限定理的一般形式，解释了为什么实际问题中许多随机变量都服从正态 分布。
Einstein,Wiener,Levy等人对生物学家Brown在显微镜下观测到的花粉微粒的“无规则” 运动进行了开创性的理论分析，提出了Brown的模型。
对老师教学有看法和建议记得要提出来呀！
我的Email: lfu@
我会努力和大家一起学好，教好这门课，也希望同 学们努力并给予支持。
追求卓越，挑战极限，
从绝望中寻找希望，人生终将辉煌！
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17世纪法国著名数学家帕斯卡和费马分别用不同方法 解决了此问题。梅累应得全部金币的3/4，即18个，保 罗应得1/4，即6个。
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瑞士数学家Bernolli 建立了概率论中第一个极限定理，阐明了事件发生的C频om率pa稳ny定L于ogo
如果你认为能做到，那就在平日里去实现； 如果你认为还不能都做到，那希望尽最大努力去做！
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希望你们不一定讷于言，但一定要敏于行。
你的未来就取决于现在的每一天作为。
目
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第一章 概率论的基本概念
第二章 随机变量及其分布
第三章 多维随机变量及其分布
第四章 随机变量的数字特征
第五章 大数定律及中心极限定理
第六章 样本及抽样分布
第七章 参数估计
第八章
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假设检验
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例2 在一著名的电视节目里，台上有三扇门，Com记pan为y Logo A，B，C，其中只有一扇门后有大奖。
A
B
C
请你猜哪扇门后有大奖，如果猜中，你将得到该大奖。
若你选择了A，在A门被打开之前，主持人打开 了另外两扇门中的一扇，比如是B，发现门后什么都 没有。 问你是否改变决定（从A门到C门）？
法国数学家Bachelier在他的论文中首次提出了Brown运动，并以此作为证券价格涨落 的数学模型。他是近代金融数学的先驱。
1933年Kolmogorov创立了概率论的公理化体系，使早期概率论研究中出现的含糊之处 得以澄清，为近代概率论奠定了严密的理论基础，使得近代概率论得以健康发展。
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第一章 概率论的基本概念 Company Logo
§1 随机事件的概率 §2 等可能概型 §3 条件概率 §4 独立性
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同学们好！
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新学期开始，你对学习有什么计划？对《概率论与数
理统计》这门课有怎样的期望？
无论你从前怎样，现在都是新的开始，只要珍 惜课上的每一分钟和课下总结、复习、思考，相信 你一定会取得好成绩！
要求：不迟到，不早退，不溜号，不缺课，不抄袭
爱学习，爱思考，爱提问，爱交流，爱总 结认真思考一下，你能做到这些吗？你认为做到这些困难吗？