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第三章 线性方程组的进一步理论§3.1 n 维向量空间Kn取定数域K ，令}{12(,,,)|,1,2,,n n i K a a a a K i =∈=""n )用α、β、γ、…表示中的元素，并且规定nK1212(,,,)(,,,n n a a a b b b =""当且仅当 。
1122,,,n n a b a b a b ==="在中定义两种运算：加法与数量乘法n K加法 对任意 ，规定1212(,,,),(,,,)n n n a a a b b b K ∈""12121122(,,,)(,,,)(,,,n n a a a b b b a b a b a b +=++""")n n +数量乘法 对任意 12(,,,),nn a a a K k K ∈∈"，规定1212(,,,)(,,,n n k a a a ka ka ka )=""可证这两种运算满足以下性质：（1）α +β = β +α（2）（α + β）+ γ = α +（β + γ）（3）把元素 (0,0,…,0) 记为θ 或0 ，则 α + θ = α， 称θ 为零元素（4）对 α = ()，令n a a a ,,,21"-α = (12,,,n a a a −−−")则 α +（-α）= θ ，称 -α 为α 的负元素（5）1α = α（6）（k l ）α = k （l α）（7）（k + l ）α = k α + l α（8）k （α + β）= k α + k β这里 。
,,,,nK k l αβγ∈∈K定义 由数域K 上的全部n 元有序数组构成的集合，连同其上定义的加法与数量乘法两种运算及8条运算性质称为数域K 上的n 维向量空间，称中的nK n K)元素 12(,,,n a a a α="为n 元（n 维）向量，其中i a 称为该向量的第i 个分量，称θ为零向量，称α−为α的负向量。
习 题 三1. 矩阵A 的秩指的是什么？解 A 中非零子式的最大阶数,若没有非零子式,则A 的秩为零. 2. 设F 上的矩阵A 的秩是r ，下列论断哪些是对的？哪些是错的？是对的，给出证明；是错的，举出反例. （1）A 中只有一个r 阶子式不为零；解 错.例如A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0021,秩A =1,但一阶非零子式有两个.（2）A 中所有r -1阶子式全为零；解 错.例如A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛420210001,秩A =2, 但A 有5个2-1阶子式非零.（3）A 中可能也有r ＋1阶子式不为零； 解 错.否则与秩A =r 矛盾.（4）A 中至少有一个r 阶子式不为零. 解 对.若A 中r 阶子式全为零,则秩A <r 矛盾. 3. λ取何值时，矩阵的所有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---42211211λ 的秩最小. 解.2-=λ4. 求下列矩阵的秩(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------2201111201121021;(2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1641121213212110. 解 (1)4; (2)4.5. 设A *是F 上的n 阶矩阵A 的伴随矩阵，若秩A <n －1，问A *的秩是多少？解 秩A *=0.6. 证明，F 上的一个秩为r 的矩阵总可以表为r 个秩为1的矩阵之和.证明 设),(F M A n m ⨯∈且秩A =r ,则存在m 阶可逆矩阵P 和n阶可逆矩阵Q ,使得PAQ I r=⎪⎪⎭⎫⎝⎛000.因此, 111221111112211111)(000----------+++=+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Q E P Q E P Q E P Q E E E P Q I P A rr rr r 其中秩().,,2,1,111r i Q E Pii ==--7. 证明，F 上的一个n 阶矩阵A 的秩≤1的充分必要条件是A 可以表为一个n ⨯1矩阵和一个1⨯n 矩阵的乘积.证明 设秩A ≤1.若秩A =0,则().000000 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⨯nn O A若秩A =1,则存在可逆的P 和Q ,使得()()n n b b b a a a Q P Q P A2121001001000000001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=其中),,2,1(n i a i =不全为零, ),,2,1(n j b j =不全为零.)⇐设()n n b b b a a a A2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=,所以秩A ≤min(秩⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 21,秩()n b b b 21)≤1.8.证明，秩为1的n 阶矩阵A =()nn ija ⨯必满足：A 2=（∑=ni iia1）A .证明 因为秩A ＝1,所以由上题得()n n nn ij b b b a a a a A 2121)(⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⨯,其中),,2,1(n i a i =不全为零, ),,2,1(n j b j =不全为零. 因此2A =()n n b b b a a a 2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛()n n b b b a a a 2121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑=A b a n i i i )(1A ani ii )(1∑=.9. 设A 是F 上的m ⨯n 矩阵，其秩小于m . 证明，存在m 阶非零矩阵G ,使得GA ＝0.证明 设秩A ＝r ,则存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q , 使得PAQ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛000rI 令m 阶方阵B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-r m I 000,其中r m I -是m 阶单位矩阵,因为r <m, 所以0≠B ,而BPAQ=B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛000r I =0 令G =BP ,因为P 为m 阶可逆矩阵, 所以0≠G .在GAQ=0两边右乘以1-Q 即得GA=0.10. 叙述并证明定理1.5.2的逆定理.逆定理为若n n ⨯齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.0..........................,0,0221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a的系数行列式D 等于零, 则该齐次线性方程组有非零解. 证明略.11. 已知矩阵A 的秩为2，求一个非零矩阵C 使得AC ＝0.A ＝⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010111101解 因为=--)1()1()1(132132AT T T ⎪⎪⎭⎫⎝⎛0002I 所以)1(13T C =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000I =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100000100. 12. 设α, β 都是数域F 上的矩阵A 的属于特征根λ的特征向量，问α＋β是不是A 的特征向量？为什么？解 若,0=+βα 则βα+不是A 的特征向量; 若,0≠+βα 则βα+是A 的属于特征根λ的特征向量.这是因为A (βα+)=λ(βα+).13. 求下列矩阵的特征根.(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----242422221; (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----284014013.(1) λ1=7-,232==λλ; (2) λ1=2-,132==λλ.14. 设λ1, λ2是数域F 上的矩阵A 的不同特征根，α1, α2是相应的特征向量，证明α1＋α2不再是A 的特征向量.证明 假设α1＋α2是A 的属于特征根λ的特征向量,则 A (α1＋α2)= λ(α1＋α2),另一方面, A (α1＋α2)= λα1＋λα2于是0)()(2211=-+-αλλαλλ.因为21λλ≠,所以1λλ-,2λλ-都不为零.因此α2=k α1)0(≠k . 这样k 1λα1= k A α1= A α2=22αλ=k 2λα1从而 )(21λλ-α1=0.因此21λλ=.矛盾.15. 设A , B 都是数域F 上的n 阶矩阵，且A 可逆，证明，AB 与BA 相似.证明 因为 AB 1-=ABAA 111)()(---=A BA A , 所以AB 与BA 相似.16. 已知相似矩阵有相同的特征多项式，问这个命题的逆命题成立吗？若不成立，请举一个反例.解 不成立.例如:⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011,1001B A 尽管有2)1()()(-==x x f x f B A ,但A 与 B 不相似.17. 设矩阵A 与B 相似，其中A ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11322002a ，B ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-b 00020001.求a 与b 的值. 解 a ＝0,b ＝－2.18. 设A 是复数域上的n 阶方阵. 证明, (1) 存在复数域上的n 阶可逆矩阵P ,使得P -1AP =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n b b b b b b2222112100λ;, (2) A 相似于一个复数域上的n 阶上三角形矩阵(即主对角线下方全是0的矩阵).证明 (1)因为矩阵A 有n 个特征根(重根按重数算),设λ1为A 的一个特征根, α1是A 的属于特征根λ1的特征向量,则A α1＝λ1α1.其中α10≠.由习题二的第15题知, 存在以α1为第一列的可逆矩阵P )(C M n ∈.设),,,(11n P ααα =,因为IP P =-1,于是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-00111 αP , 所以=-AP P 1AP 1-),,,(11n ααα =(AP 1- α1,A P 1-α2, …,A P 1- αn )=(λ11-P α1, A P 1-α2, …,A P 1- αn )=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n b b b b b b 2222112100λ (2)对A 的阶数n 利用数学归纳法. 1 当n =1时,显然.2 假设n >1且n －1时结论成立,下证n 时结论也成立. 由(1)知,存在可逆的P )(C M n ∈,使得=-AP P 1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n b b b b b b 2222112100λ.令1A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n b b b b 2222,则1A )(1C M n -∈,由归纳假设知,存在可逆的Q )(1C M n -∈,使得=-AQ Q 1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ00*32令S=⎪⎪⎭⎫⎝⎛Q 001,则=--S AP P S )(11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001Q ⎪⎪⎭⎫⎝⎛*110A λ⎪⎪⎭⎫⎝⎛Q 001=⎪⎪⎭⎫⎝⎛*-AQ Q 11λ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ 00*21. 所以A 相似于一个复数域上的n 阶上三角形矩阵.19. 设A , B , T 都是复数域上的n 阶方阵, 且T 是可逆矩阵. 证明, 若T -1AT = B , 则对任意的正整数m , 有T -1A m T = B m .证明 B 2＝(T -1AT )(T -1AT )= T -1A 2TB 3＝B 2B =( T -1A 2T )( T -1AT )= T -1A 3T…………………….B m ＝T -1A m T .20. 设A 是n 阶实对称矩阵. 证明，若A 2＝0，则A ＝0. 证明 因为A 2＝⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a aa a a a a a 212221211211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a aa a a a a a 212221211211= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++*+++*++222212222221221212211nn n n nn a a a a a a a a a =0所以.,,2,1,,,0n j i j i a ij =<=即A =0.21. 设A , B 都是F 上的n 阶对称矩阵，证明，AB 是对称矩阵当且仅当AB ＝BA .证明 必要性：设AB 对称，则()TTTAB AB B A BA ===． 充分性 设AB BA =，则()TTTAB B A BA AB ===． 22. 方阵A 称为斜对称的，如果A T ＝-A . 证明，实斜对称矩阵的特征根为零或纯虚数.证明 设λ是A 的任一特征根，则存在复数域上ｎ维列向量α，使得A αλα=．设12n c cc α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，其中12,,,n c c c ⋅⋅⋅均为复数且不全为零．用α的转置矩阵Tα左乘以上式的两边，得()TTTA αααλαλαα==．由于T A A =-，所以由转置矩阵的性质可得()T T TT T A A A ααααααλαα=-=-=-所以()0Tλλαα+=，而10nTi ii c cαα==≠∑．因此0λλ+=，即λ是零或纯虚数．23. 设矩阵A 与B 合同. 证明，秩A ＝秩B .证明 若A 与B 合同，则存在可逆矩阵P 使得TB P AP =，43 所以秩B ＝秩()T P AP ＝秩A ．24. 设可逆实方阵A 与B 合同. 证明，det A 与det B 的符号相同. 证明 设实方阵A 与B 合同，则存在可逆实方阵P 使得T B P AP =，因此2det det()(det )det T B P AP P A ==，因为2(d e t )0P >，所以det A 与det B 同正，同负或同时为零．25. 如果把全体n 阶实对称矩阵按合同分类，即两个n 阶实对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，问共有几类？解 共有1(1)(2)2n n ++类． 26. 用合同变换化下列矩阵为对角形. (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛312101211， (2) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021212102121210. 解 (1)100010000⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；(2)1001004001⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭.(答案不唯一) 27. 证明： ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ 21与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n i i i λλλ 21。
