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高等代数(高教版张禾瑞著)课件ppt版(第3章)

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《高等代数》PPT课件

《高等代数》PPT课件


命题5.1.2 对于任意向量和任意数a都有:
0=0, a0=0.
a()=(a) = a.
a=0a=0 或 =0.
2021/8/17
15
三. 约定
设V是数域F上的一个向量空间. 如果a是F中的一个数, 是V中的一个向量, 我们约定 a=a. 设1, 2,…, n,是V中的n个向量, 以它们为元素写成一个1n矩阵 (1, 2,…, n). 再设A是F上的一个nm阶矩阵. 则我们可以像普通矩 阵的乘法一样, 将(1, 2,…, n)和A相乘, 但是 (1, 2,…, n)A的结果 是一个以向量为元素的矩阵, 即:
3) 0+ = 4) 对任意 ，存在 ，使得 + = 0， 称为的负元素； 5) a( +) = a +a ； 6) (a+b) =a +b ； 7) a (b)=(ab) ；
8) 1 = .
2021/8/17
8
二、向量空间的定义
定义1 设V是一个非空集合，F是一个数域. 我们
把V中的元素用小写希腊字母, ，，…来表示，
2021/8/17
4
例2 在平面上建立直角坐标系后，把从原点出发的一切向
量组成的集合记为V2. 对V2中任意向量X和Y, 用平行四边形法则，有X+YV2. 对
任意实数k以及V2中任一向量X，有kXV2. 并且对任意的X, Y,
ZV2，a, bR，有
1) X+Y＝Y+X；
2) (X+Y)+Z＝X+(Y+Z)；
高等代数课件
2021/8/17
1
第五章 向量空间
5.1 向量空间的定义 5.2 向量的线性相关性 5.3 基维数和坐标 5.4 子空间 5.5 向量空间的同构
高代

高代


后续内容介绍
线性方程组及其解法是线性代数的基本内容之一, 同时线 性代数的其它内容, 像矩阵、线性空间等, 都与它有着十分密 切的内在联系。 关于线性方程组需要解决的问题有: 线性方程组是否有解? 如果有解, 它有多少个解? 如何求出这些解? 在初等代数中我们已经知道, 二、三元线性方程组可用系 数行列式判断是否有唯一解, 而且在有唯一解时还可用行列 式表示出这个唯一的解。 对一般的n元线性方程组是否也可 用行列式判断它是否有唯一的解并用行列式表示出这个唯一 的解? 回答是肯定的。本章将首先把二、三阶行列式的定义 推广到一般的n阶行列式并讨论其性质, 然后给出线性方程组 有唯一解的条件及这个唯一解的求解公式。在下一章我们将 讨论一般的线性方程组的解法。二章 多项式 第六章 向量空间
第七章 线性变换
第八章 欧氏空间
第三章 行列式
第五章 矩阵
第四章 线性方程组 第九章 二次型
唐山师专数学系制作
第一章 基本概念
第二章 多项式
第三章 行列式
第一节 线性方程组与行列式 第二节 排列 第三节 n阶行列式 第四节 余子式与行列式展开 第五节 克莱姆规则
三. 例4,5,6
一. 基本定义
1.子式: 在行列式D中任意选定k行和k列, 位于这些行和列的 相交处的元素所构成的k阶行列式叫做行列式D的一个k阶子式.
例1. 在四阶行列式
a11 a D 21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a31 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44
由若干个含有n个未知数的一次方程构成的方程组称为n元线性 方程组. 线性方程组中方程的个数未必等于未知数的个数. n元线性 方程组的一般形式是: a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 (1) am1 x1 am 2 x2 amn xn bm 其中, x1, x2,,xn表示未知数, aij, bi (i=1,2,,m, j=1,2, ,n)表示已知 的常数, 称为aij未知数的系数, 称bi为常数项. 方程组(1)的一个解是指这样的一组数(k1, k2,,kn), 用它们依 次代替方程组(1)的未知数x1, x2,,xn后, (1)中的每一个方程都成为 恒等式.
高等代数CAI课件张禾瑞 郝炳新 编 (第四版)(1)

高等代数CAI课件张禾瑞 郝炳新 编 (第四版)(1)


一、集合
1、概念
把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合； 把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合； 集合 组成集合的这些事物称为集合的元素． 组成集合的这些事物称为集合的元素． 元素 等表示集合； ☆ 常用大写字母A、B、C 等表示集合； 等表示集合的元素． 用小写字母a、b、c 等表示集合的元素． 的元素时， 当a是集合A的元素时，就说a 属于A，记 a ∈ A 作: ； 的元素时， 记作： 当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作：a ∉ A
σ σ : M → M '或 M M ' M到M´的一个映射，记作 : 映射， 到 ´的一个映射 →
在映射σ下的 下的象 在映射σ下的 称 a´为 a 在映射 下的象，而 a´ 称为 在映射 下的 ´ ´ 称为a在映射 原象，记作σ(a)＝a´ 或 σ : a a a′. 原象，记作 ＝ ´
注
显然有， 显然有，A I B ⊆ A;
A ⊆ AU B
例题： 例题：
1、证明等式: A I ( A U B ) = A ． 、证明等式 证：显然， I ( A U B ) ⊆ A ．又 ∀x ∈ A, 则 x ∈ A U B ， 显然，A 从而, ∴ x ∈ A I ( A U B ) ， 从而 A ⊆ A I ( A U B ) ． 故等式成立． 故等式成立．
例4
判断下列M 到M ´对应法则是否为映射 判断下列
1）M＝｛ ，b，c｝、 ´＝｛ ，3,4｝ ） ＝｛ ＝｛a， ， ｝、 ＝｛1,2， ｝ ｝、M´ σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2 ： ＝ ， ＝ ， ＝ δ：δ(a)＝1,δ(b)＝2,δ(c)＝3,δ(c)＝4 ： ＝ ＝ ＝ ＝ τ：τ(b)＝2，τ(c)＝4 ： ＝ ， ＝ 2）M＝Z，M´＝Z＋， ） ＝ ， ´ σ：σ(n)＝|n|, ： ＝ τ：τ(n)＝|n|＋1, ： ＝ ＋
高等代数电子教案(Ⅲ)

高等代数电子教案(Ⅲ)


进一步，设 f ( x) a0 a1 x an x . 是F上一个多项式，而 L(V ), 以σ代替x，以 a 0 代替 a 0 ，得到V的一个线性变换
n
a0 a1 an n .
这个线性变换叫做当 记作 f ( ).
x 时f (x)的值，并且
7.4 不变子空间 7.5 本征值和本征向量 7.6 可以对角化矩阵
7.1 线性映射
学习内容 线性映射的定义、线性变换的象与核.
§7.1.1 线性映射的定义
设F是一个数域，V和W是F上向量空间. 定义1 设σ是V 到W 的一个映射. 如果下列条 件被满足，就称σ是V 到W 的一个线性映射： ①对于任意 , V , ( ) ( ) ( ). ②对于任意 a F , V , (a ) a ( ) 容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件： ③对于任意 a, b F 和任意 , V ,

设 L(v), σ的负变换－σ指的是V到V的映射 : ( ). 容易验证，－σ也是V的线性变换，并且 （4） ( )
线性变换的数乘满足下列算律：
(5) (6) (7) (8)
k ( ) k k , (k l ) k l , (kl) k (l ), 1 ,
f x 与它对应，根据导数的基本性质，这样定义 的映射是F[x]到自身的一个线性映射.
例8 令C[a, b]是定义在[a, b]上一切连续实函数所
成的R上向量空间，对于每一 f x Ca,b, 规定
f x 仍是[a, b]上一个连续实函数，根据积分的
基本性质，σ是C[a, b]到自身的一个线性映射.
张禾瑞高等代数第三章课件

张禾瑞高等代数第三章课件

i1i2 in得出j1 j2 jn
证明:我们已经知道，通过一系列对换可以由 i1i2 in得出 no 我们只需证明， 12 通过一系列对换可由 12n得出j1 j2 jn ，
而通过一系列对换可以由 j1 j2 jn得出12n ，按照相反的次序施行这些对换，就可由 12n得出j1 j2 jn 。 定理3.2.2 任意一个排列经过一个对换后的奇偶性 改变. 证明: 1 我们首先看一个特殊的情形，就是被对 换的两个数码是相邻的。设给定的排列为 A B
1 2 n
1
2
n
1 2
n
例1 我们看一个四阶行列式
a D 0 0 g 0 c e 0 0 d f 0 b 0 0 h .
根据定义,D是一个4! = 24项的代数和。然而在这个 行列式里，除了acfh,adeh,bdeg,bcfg这四项外， 其余的项都至少含有一个因子0，因而等于0，与上 面四项对应的排列依次是1234,1324,4321,4231.其 中第一个和第三个是偶排列,第二个和第四个是奇排 列.因此 D acfh adeh b deg bcfg.
2
3.2 排列
一、内容分布 3.2.1 排列、反序与对换
3.2.2 奇、偶排列的定义及性质
二、教学目的
了解排列、反序、对换的定义
三、重点难点
求反序数
3.2.1
排列、反序与对换
定义1 n个数码 1,2, n 的一个排列指的是由这n个数码组 成的一个有序组. 例如: 1234，2314都是四个数码的排列。 n个数码的不同排列共有n！个 例如：1，2，3这三个数码的全体不同的排列一共有3！= 6 个，它们是：123，132，231，213，312，321。 定义2 在一个排列里，如果某一个较大的数码排在某一个 较小的数码前面，就说这两个数码构成一个反序。 计算反序数的方法：看有多少个数码排在1的前面，设为 m1 个，那么就有 m1 个数码与1构成反序；然后把1划去，再看 有多少个数码排在2的前面，设为 m2个，那么就有 m2 个数 码与2构成反序；然后把2划去，计算有多少个数码在3前面， 设为 m3 个，……，如此继续下去，最后设在 n前面有 mn 个
大一高数上_1完整_第三章ppt课件

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例如, f(x)x22x3(x3 )x (1 ).
在[1,3]上连,续 在 (1,3)内可导 , 且 f( 1 ) f(3 ) 0 ,
f(x ) 2 (x 1 )取 , 精 选1 课,件(1 ( 1 ,3 ))f()0. 2Biblioteka 几何解释:yC
yf(x)
若连续曲线弧的两个
端点的纵坐标相等，
且除去两个端点外处 o a 处有不垂直于横轴的
f(x2)f(x1)。 因此 f(x)在区间I上是一个常数。
精选课件
10
例 2 ． 证 明 当 x > 0 时 ， x l 1 x ) n x 。 ( 1 x
证明：设f(x)ln(1x)，显然f(x)在区间[0, x]上满足
拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有
f(x)f(0)f ()(x0)，0<<x。
在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导,且F ' ( x)
在(a, b)内每一点处均不为零，那么在(a, b)内至少
有一点(a b),使等式
f F
(a) (a)
f (b) F (b)
f F
' ()成立. ' ()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
精选课件
12
结构图
特例
推广
lim xn 0.
n x 0
精选课件
21
2. 型
步骤: 11 0 0 . 0 0 00
例8 求lim ( 1 1). x0 sinx x
()
解 原式 lim xsin xlim1coxs x 0 xsin x x 0sin xxcoxs
lim sinx
0.
x0 2cosxxsinx
张禾瑞高等代数

张禾瑞高等代数

惠州学院数学系
f (x)
例1 令Z是一切整数的集合. 对于每一整数n，令 f (n) 2n 与它对应. 那 f 是Z到Z的一个映射，
例2 令R是一切实数的集合，B是一切非负实数的集合 ， 对于每一 x R，令 f (x) x2与它对应； f : x x2 ，那么 f 是R到B的一个映射.
例3 设 A B {1,2,3,4} f :1 2,2 3,3 4,4 1 这是A到B的一个映射.
惠州学院数学系
设给映射 f : A B ，g : B C ，h : C D ，有 h (g f ) (h g) f . 但是，一般情况下 f g g f ，
设A是非空集ห้องสมุดไป่ตู้ jA : A A ，x x,
称为设A上的 恒等映射。
设A，B是两个非空集合，用 jA 和 jB 表示A和B的恒等 映射. 设 f : A B是A到B的一个映射. 显然有：
合，则 A (A
A
B)
或B(是xA一A(切A实BB)数)的(集x 合A.且显x然，B)
惠州学院数学系
交运算 由集合A与B的公共元素所组成的集合叫做A 与B的交集(简称交)，记作：A B ，如图2所示.
A B
显然，A B A ， A B B 例如，A={1，2，3，4}，B={2，3，4，5}，则
注意：并没有要求B是A的子集. 例如，Q C Ø
积运算：
设设A，B是两个集合，令
A B {(a,b) | a A,b B}
称为A与B的笛卡儿积（简称为积）. A B是一切元素对（a, b ）所成的集合，其中第一个 位置的元素a取自A，第二个位置的元素b取自B.
惠州学院数学系
1．2 映射
一、 内容分布 1.2.1 映射的概念及例 1.2.2 映射的相等及像 1.2.3 映射的合成 1.2.4 单射、满射、双射 二、 教学目的 掌握映射的概念, 映射的合成，满射、单射、可逆映射 的判断。 三、 重点、难点 映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。
高等代数电子教案(Ⅲ)

高等代数电子教案(Ⅲ)

7.4 不变子空间 7.5 本征值和本征向量 7.6 可以对角化矩阵
7.1 线性映射
学习内容 线性映射的定义、线性变换的象与核.
§7.1.1 线性映射的定义
设F是一个数域，V和W是F上向量空间. 定义1 设σ是V 到W 的一个映射. 如果下列条 件被满足，就称σ是V 到W 的一个线性映射： ①对于任意 , V , ( ) ( ) ( ). ②对于任意 a F , V , (a ) a ( ) 容易证明上面的两个条件等价于下面一个条件： ③对于任意 a, b F 和任意 , V ,
进一步，设 f ( x) a0 a1 x an x . 是F上一个多项式，而 L(V ), 以σ代替x，以 a 0 代替 a 0 ，得到V的一个线性变换
n
a0 a1 an n .
这个线性变换叫做当 记作 f ( ).
x 时f (x)的值，并且
例3 令A是数域F上一个m × n矩阵，对于n元列空 间的 F m 每一向量
x1 x2 x n
规定： 是一个m×1矩阵，即是空间 F m的一个向量， σ是 到 F n 的一个线性映射. Fm
例4 令V 和W是数域F 上向量空间.对于V 的每一向 量ξ令W 的零向量0与它对应，容易看出这是V 到 W的一个线性映射，叫做零映射.
令 k ，那么对于任意 a, b F 和任意 , V ,
(a b ) k ( (a b )) k (a ( ) b ( ))
ak ( ) bk ( ) a 的一个线性变换.
如果线性映射 : V W 有逆映射 1 ，那么是W 到V 的一个线性映射. 建议同学给出证明.
高等代数课件 (3)

高等代数课件 (3)

其中 um ( x1 , … , xn-1 ) 0 . 由归纳假设, 存在 a1 , … , an-1 K , 使得
um ( a1 , a2 , … , an-1 ) 0.
于是
u0 ( a1 , … , an-1 ) + u1 ( a1 , …, an-1 ) xn
+ … + um ( a1 , … , an-1 ) xnm 是 xn 的非零多项式, 故存在 an K , 使得
ux+vy=1. 证: 比较两边常数项…
多元多项式函数
映射法则能用 n 元多项式表达的函数 叫做 n 元多项式函数. 例: f ( x , y ) = x + x 3 – x y 2 R[ x , y ] , 则映射 f : R2 R
(a,b) a+a3–ab2 是 R2 上的一个 2 元多项式函数
多项式函数相加, 相乘
Kn
K
( a1 , … , an ) f ( a1 , …, an ) + g ( a1 , …, an) ( a1 , … , an ) f ( a1 , …, an ) g ( a1 , …, an ) 结果仍是多项式函数. Kn 上的多项式函数
则 ( i1 , i2 , … , in ) > ( k1 , k2 , … , kn )
补充题: 1. 求椭圆曲线 y 2 = x 3 + 5 的四个有理点. 注: 若有理数 x , y 满足曲线方程, 则称
点 ( x , y ) 是曲线的有理点. 2. 证明: 在曲线 x 3 + 3 x y + y 3 = 1 上
n 元多项式的加法
若
f
a
i
1
i
高等代数(绪论)讲解课件

高等代数(绪论)讲解课件


善于总结
在做题过程中，要注意总结解题方法和技巧 ，形成自己的解题思路和经验。
学习过程中注重归纳总结
要点一
归纳知识体系
在学习过程中，要注重归纳总结，将所学知识形成完整的 知识体系，以便更好地理解和记忆。
要点二
总结解题方法
对于同一类问题，要总结出通用的解题方法，形成自己的 解题技巧和策略。
培养数学思维与逻辑推理能力
矩阵的加法、减法、乘法
矩阵的逆
掌握矩阵的基本运算规则，能够进行 矩阵的加法、减法和乘法运算。
掌握矩阵逆的定义和性质，能够求出 矩阵的逆。
矩阵的转置
了解矩阵转置的定义和性质，能够进 行矩阵的转置运算。
多项式的因式分解与根的性质
因式分解
掌握多项式的因式分解方法，如提取公因式、分组分 解、十字相乘法等。
线性变换与几何变换
总结词
线性变换是高等代数中描述几何变换的 基本工具，它可以用于图像处理、计算 机图形学和机器人学等领域。
VS
详细描述
线性变换是矩阵在向量空间上的作用，它 可以描述旋转、平移、缩放等基本的几何 变换。通过线性变换，可以研究几何对象 的性质和关系，并将其应用于图像处理、 计算机图形学等领域，实现图像的旋转、 缩放和剪切等操作。
培养数学思维
学习高等代数需要具备数学思维，即能够运用数学语言 和符号进行推理和表达的能力。
提高逻辑推理能力
通过学习和练习高等代数的证明和推导，可以提高逻辑 推理能力，增强思维的严密性和条理性。
T量是一个有方向的量，它由一组有 序数组成。在高等代数中，向量通常 表示为有序数对的序列，这些数对可 以表示空间中的点、方向和大小。
矩阵
矩阵是一个矩形阵列，由若干行和若 干列组成。在高等代数中，矩阵是重 要的数学工具，它可以表示向量之间 的关系、线性变换等。
高等代数CAI课件张禾瑞郝炳新编第四版.ppt

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本课程的意义、内容及学习要求
高等代数是大学数学中的一门重要基础课程，从内 容上看，它是中学代数里有关内容的继续和提高。 其中许多理论对于加深中学数学教材的理解有着直 接的指导意义，因此作为一个合格的中学数学教师， 学好这门课程是非常必要的。此外，高等代数的思 想和方法已经渗透到数学的各个领域，在数学分析、 几何、计算技术等学科有广泛的应用，所以，学好 这门课程也有助于学好其它数学课程，并且高代是 考研的一门必考课程。
2）g是不是可逆映射？若是的话，求其逆．
解：1）g是R＋到自身的双射．
∵ x,yR，若
1 x
1 y
，则
x y ，g是单射．
并且 x R ,有 1 R ,使 g(1)x，即g是满射．
x
x
又∵ f g(x)f(g(x))f(1)1，
xx
∴ f gIR， g不是 f 的逆映射． 事实上，f 1 f ．
解：xR，规定 :x 2x
则 是R到R＋的一个映射.
∵若 2x 2y，则 2xy 1,xy， ∴ 是单射．
又 对 aR，存在 xlog2aR，使
(log2a)2log2a a ∴ 是满射．
故 是1—1对应．
2、令 f:x x, g:x 1, xR，问：
x
1）g 是不是R＋到R＋的双射？g 是不是 f 的逆映射？
高等代数CAI课件
张禾瑞 郝炳新 编 (第四版)
第一章 基本概念
第六章 向量空间
第二章 多项式
第七章 线性变换
第三章 行列式
第八章 欧氏空间
第四章 线性方程组
第九章 二次型
第五章 矩阵
广东教育学院数学 代数与几何教研室
何谓高等代数
大家知道，初等代数是研究数及代表数的文字 的代数运算（加法、减法、乘法、除法、乘方、 开方）的理论和方法，也就是研究多项式（实 系数与复系数）的代数运算的理论和方法.而多 项式方程及多项式方程组的解（包括解的公式 和数值解）的求法及其分布的研究恰为初等代 数研究的中心问题，以这个中心问题为基础发 展起来的一般数域上的多项式理论与线性代数 理论就是所谓的高等代数.

高等代数课件

线性变换的矩阵表示
对于一个线性变换，如果存在一组基 使得该线性变换在这组基下的矩阵表 示是恒等变换，那么这组基是这线性 变换的一个基底。
CHAPTER 02
线性方程组与矩阵的秩
线性方程组的解法
高斯消元法
通过消元将线性方程组转化为求解单变量方程，是求解线性方程 组的基本方法。
克拉默法则
适用于系数行列式不为零的线性方程组，通过展开式求解。
特征值的计算方法与性质
计算方法
特征多项式f(λ)=|λE-A|，其中E为单位矩 阵，A为给定矩阵。通过求解f(λ)=0得到 的根即为特征值。
VS
性质
特征多项式f(λ)的根即是特征值，f(λ)的阶 数即是矩阵A的阶数。f(λ)无重根，则A有 n个线性无关的特征向量。
特征向量的应用与性质
应用
在矩阵理论中，特征向量的应用广泛，如求解线性方程组、判断矩阵的稳定性、求矩阵的秩等。
性质
对于可逆矩阵A，其逆矩阵的特征向量是A的特征向量的倍数。对于相似矩阵，它们的特征向量是相互正交的。
CHAPTER 04
行列式与高阶矩阵
行列式的定义与性质
总结词
行列式是n阶方阵所有行列的n个代数余子 式的乘积之和，具有丰富的性质。
详细描述
行列式是一种特殊的n阶方阵的函数，其值 按照排列方式决定。行列式的定义可以推广 到任意阶数。行列式具有以下性质
递推公式法：利用递推公式，将高阶行 列式转化为低阶行列式，以便计算。
行列展开法：利用代数余子式的性质， 将行列式按照某一行或某一列展开，转 化为低阶行列式，以便计算。
详细描述
化简法：利用行列式的性质，化简行列 式，将其转化为更简单的形式，以便计 算。
高阶矩阵的运算与性质

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1 2 C C ( x) x 6 x 100 9
内容小结
总成本函数
C C ( x) C0 C1 ( x)
x
平均成本函数 C C ( x) C ( x) 销售收入函数
作业
P50 17；18
R R(q) pq
销售利润函数 L L(q) R(q) C (q) 供需均衡函数 Q S
V0
V0 h 2 r
所以圆柱形封闭罐头盒表面积为：
S S V0 2 2r r
2
(r 0)
二、经济方面函数关系式
（1）在生产过程中，产品的总成本 C为产量 q的单调 增加函数，记作
C C (q) C1 C2 (q)
求该商品的均衡价格p0。 解： 由供需均衡条件Q=S，可得
2 1 20.3 p 2.7 p 3 3
因此可得均衡价格为p0=23。
例5 某产品总成本C万元为年产量 qt 的函数，
C C (q) a bq
2
其中a，b为代定常数.已知固定成本为400万元，且当 年产量 q 100t 时，总成本C=1000万元.试将平均单 位成本 C 万元/t表示为年产量 qt 的函数. 解： C (0) a
2 108 x 2 2 x V V ( x) x h 4x 1 3 3 27 x x (m ) 4 2 108 x 因 h0 即 0 得 0 x6 3
4x
例3 欲做一个容积为 V0 的圆柱形封闭罐头盒，试将 圆柱形封闭罐头盒表面积 S 表示为底半径 r 的函数. 解： r 2 h
产品销售价格p元/kg，它与日产量 xkg 的关系为 1 p p( x) 46 x 3 试将每日产品全部销售后获得的总利润L表示为日产 量 xkg 的函数. 解：总收益 R R( x) xp( x) x(46 1 x) 1 x 2 46 x 3 3 1 2 总成本 C C ( x) x 6 x 100 9 1 2 1 2 总利润 L L( x) R( x) C ( x) ( x 46 x) ( x 6 x 100) 3 9 4 2 x 40 x 100(元) 9 因 x 0, p 0 0 x 138

高等代数课件ppt3-1


２° d r 1
此时去掉 “０＝０” 的方程． 分两种情况：
i)
若r
n ．这时阶梯形方程组为
c11 x 1 c12 x 2 c1 n x n d 1 c 22 x 2 c 2 n x n d 2 c nn x n d n
设 ( c 1 , c 2 , , c n ) 是方程组（1）的任一解，则
§3.1 消元法
a 1 1 c 1 a 1 2 c 2 a 1 n c n b1 a 21c1 a 22 c 2 a 2 n c n b2 a s 1 c1 a s 2 c 2 a sn c n b s
解：第二个方程乘以2，再与第一个方程对换次序得
x1 x 2 x 3 2 2 x1 x 2 3 x 3 1 3 x1 2 x 2 5 x 3 0
第二个方程减去第一个方程的2倍， 第三个方程减去第一个方程的3倍，得
§3.1 消元法

x1 x 2 x 3 2 x2 x3 3 5 x2 2 x3 6
第三个方程减去第二个方程的5倍，得
x1 x 2 x 3 2 x2 x3 3 3 x3 9
第三个方程乘以
1
，得
3 x1 x 2 x 3 2 x2 x3 3 x3 3
设 k 1 , k 2 , , k n 是 n 个数，如果 x 1 , x 2 , , x n 分别用
k 1 , k 2 , , k n
代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式,
( k 1 , k 2 , , k n ) 是（1）的一个解.

高等代数课件-§3 向量的内积


因为BE⊥AC，所以BM AC 0, 即 ( AM AB) AC 0, 即 AM AC AB AC
因为CF⊥AB,
所以CM AB 0,
3.3 用坐标计算向量的内积
1. 取一个空间仿射坐标系 [O; e1 , e2 , e3 ], 设a, b 的坐标分别是 (a1 , a2 , a3 ),(b1 , b2 , b3 ), 有 则
a b (a1e1 a2e2 a3e3 ) (b1e1 b2e2 b3b3 ) a1b1e1 e1 a1b2e1 e2 a1b3e1 e3 a2b1e2 e1 a2b2e2 e2 a2b3e2 e3 a3b1e3 e1 a3b2e3 e2 a3b3e3 e3
x a0 e1 cos a0 , e1 cos a, e1 0 y a e2 cos a, e2 0 z a e3 cos a, e3
2, 我们把一个向量a与直角坐标系中的基向量 e1 , e2 , e3 所成的角称为方向a的方向角 . 把方向角的余弦 cos , cos , cos 称为方向a的 方向余弦.
若它为直角坐标系时， 则有 ei ei ei 1; ei e j 0, i j.
2
此时 a b a1b1 a2b2 a3b3.
2. 定理1.6 在直角坐标系中，两个向量的内积等于 它们的对应坐标的乘积之和.
由此，我们得到，向量 a a1 ,a2 ,a3 的长度为
因此 e a a cos a, e .
4. 命题1.8 量a,b, 有
设e为一个单位向量，则对任意向
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, i , j , ,
其中A与B都代表若干个数码.施行对换 i, j , 得

, j, i,,
A
B
我们比较这两个排列的反序数.显然经过这个对换 后,属于A或B的数码的位置没有改变,因此这些数 码所构成的反序数没有改变.同时i，j与A或B中的 数码所构成的反序数也没有改变。若在给定的排 i 列中， j, 那么经过对换 i, j 后，i与j就构成一个 反序。因面后一排列的反序比前一排列的反序数 i 增多一个。若在给定的排列中， j , 那么经过对换 后，排列的反序数减少一个。不论是哪一种情形， 排列的奇偶性都有改变。
a11 a 21 a11 a 21
.
(2) 如果含有三个未知量三个方程的线性方程组(2)
a11
a12 a22 a32
a13 a23 0 a33
他的系数作成的三阶行列式 D
a21 a31
,那么方程组(2)有解
x1
D1 D
b1
, x2
a12 a 22 a32
D2 D
, x3
D3 D
D叫D的转置行列式。
引理3.3.1 从n阶行列式的第i1 , i2 ,, in 行和第j1 , j 2 ,, j n 列 取出元素作乘积 （3） ai j ai j ai j , 这里 i1 , i2 ,, in和j1 , j2 ,, jn 都是1，2，…，n
例 1 计算排列 32514 的逆序数 .
例 2 计算排列 217986354 的逆序数 , 并讨论其奇偶性 .
例 3 求排列 n ( n 1) ( n 2) 321 的逆序数 , 并讨论其奇偶性 .
3.3
一、 内容分布
n阶行列式
3.3.1 n阶行列式的定义
3.3.2 行列式的性质 二、教学目的： 1.掌握和理解n阶行列式的定义。 2.会利用定义计算一些特殊的行列式。 3.掌握和理解行列式的性质。 4.熟练掌握利用性质计算及证明行列式的技巧。 三、重点难点： 利用定义计算行列式 利用性质熟练计算及证明行列式
二阶、三阶行列式的计算(对角线法则)
a11 a 21
a12 a 22
表示代数和 a11a22 a12 a21 称为二阶行列式, 即
a11 a 21 a12 a 22 a11a 22 a12 a 21
三阶23 a33
我们用记号 表示代数和
1 2 n
1
2
n
1 2
n
例1 我们看一个四阶行列式
a D 0 0 g 0 c e 0 0 d f 0 b 0 . 0 h
根据定义,D是一个4! = 24项的代数和。然而在这个 行列式里，除了acfh,adeh,bdeg,bcfg这四项外， 其余的项都至少含有一个因子0，因而等于0，与上 面四项对应的排列依次是1234,1324,4321,4231.其 中第一个和第三个是偶排列,第二个和第四个是奇排 列.因此
3.3.1 n阶行列式的定义
定义1
用n 个元素aij (i, j 1,2,n) 组成的记号
2
a11 a 21 a n1
a12 a 22 an2

a1n a2n a nn
称为n阶行列式,其中：横排列称为行，纵排列称为列. 任意取 n 2 个数 aij (i 1,2,, n; j 1,2,, n), 排成以下形式:
2 现在来看一般的情形。假定i与j之间有s个数码，我 们用 k1 , k 2 ,, k s 来代表。这时给定的排列为

（1） , i, k1 , k 2 ,, k s , j,. 先让i向右移动，依次与 k1 , k 2 ,, k s 交换。这样，经过 s次相邻的两个数码的对换后（1）变为 再让j向左移动，依次与 i, k s , ,, k 2 , k1 交换。经过s+1次 相邻的两个数码的对换后，排列变为 （2） j, k1 , k 2 ,, k s , i,. 但（2）正是对（1）施行 i, j 对换而得到的排列。因此， 对（1）施行对换 相当于连续施行2s+1次相邻数码的 i, j 对换。由1。，每经过一次相邻两数码的对换，排列都改 变奇偶性。由于2s+1是一个奇数，所以（1）与（2）的奇 偶性相反。
i, j
1

, k1 , k 2 ,, k s , i, j,.
定理3.2.3 在n个数码(n>1)的所有n！个排列，其 中奇偶排列各占一半.即各为 n! 个。 2 证明：设n个数码的奇排列共有p个，而偶排列 共有q个，对这p个奇排列施行同一个对换 i, j , 那么由定理3.2.2,我们得到p 个偶排列.由于对这p 个偶排列各不相等.又可以得到原来的p个奇排列, 所以这p个偶排列各不相等.但我们一共只有q个偶 排列,所以 p q. 同样可得 q p. 因此 p q. 例题选讲
定义2 用符号
a11 a 21 a n1 a12 a 22 an2 a1n a2n a nn
表示的n阶行列式指的是n!项的代数和,这些项是一 切可能的取自(1)的不同的行与不同的列上的n个元 素的乘积 a1 j a1 j a1 j . 项 a1 j a1 j a1 j 的符号为 ( j j j ) (1) , 也就是说,当 j1 , j 2 , j n 是偶排列时,这 一项的符号为正,当 j1 , j2 , jn 是奇排列时,这一项的 符号为负.
a11 a12 a 22 an2 a1n a2n a nn . a 21 a n1
(1)
考察位于(1)的不同的行与不同的列上的n个元素的 乘积.这种乘积可以写成下面的形式: (2)
a1 j1 a1 j2 a1 jn ,
这里下标 j1 , j 2 ,, j n 是1,2,…,n这n个数码的一个 排列.反过来,给了n个数码的任意一个排列,我们也 能得出这样的一个乘积.因此,一切位于(1)的不同的 行与不同的列上的n个元素的乘积一共有n！个. 我们用符号 ( j1 , j 2 ,, j n ) 表示排列 j1 , j 2 ,, j n 的反序数.
2
3.2 排列
一、内容分布 3.2.1 排列、反序与对换
3.2.2 奇、偶排列的定义及性质
二、教学目的
了解排列、反序、对换的定义
三、重点难点
求反序数
3.2.1
排列、反序与对换
定义1 n个数码 1,2, n 的一个排列指的是由这n个数码组 成的一个有序组. 例如: 1234，2314都是四个数码的排列。 n个数码的不同排列共有n！个 例如：1，2，3这三个数码的全体不同的排列一共有3！= 6 个，它们是：123，132，231，213，312，321。 定义2 在一个排列里，如果某一个较大的数码排在某一个 较小的数码前面，就说这两个数码构成一个反序。 计算反序数的方法：看有多少个数码排在1的前面，设为 m1 个，那么就有 m1 个数码与1构成反序；然后把1划去，再看 有多少个数码排在2的前面，设为 m2个，那么就有 m2个数 码与2构成反序；然后把2划去，计算有多少个数码在3前面， 设为 m3 个，……，如此继续下去，最后设在 n前面有 mn 个
3.1 线性方程组和行列式
一、内容分布
3.1.1 二阶、三阶行列式的计算(对角线法则) 3.1.2 行列式在线性方程组中的应用
二、教学目的：
1.了解二阶、三阶行列式的定义。 2.会利用对角线法则计算二阶、三阶行列式。
三、重点难点：
利用对角线法则计算二阶、三阶行列式
3.1.1
二阶行列式 我们用记号
D acfh adeh b deg bcfg.
转置
a11 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
一个n阶行列式
D
a21 an1
如果把D的行变为列,就得到一个新的行列式
a11 D a12 a1n a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
i1i2 in得出j1 j2 jn
证明:我们已经知道，通过一系列对换可以由 i1i2 in得出 no 我们只需证明， 12 通过一系列对换可由 12n得出j1 j2 jn ，
12 而通过一系列对换可以由 j1 j2 jn得出 n ，按照相反的次序施行这些对换，就可由 12n得出j1 j2 jn 。 定理3.2.2 任意一个排列经过一个对换后的奇偶性 改变. 证明: 1 我们首先看一个特殊的情形，就是被对 换的两个数码是相邻的。设给定的排列为 A B
a 21 a31
a11a22 a33 a12 a 23 a31 a13 a21a32 a11a 23 a32 a12 a 21a33 a13 a 22 a31
称为三阶行列式, 即
a11 D a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
主对角线法
‘—’三元素乘积取“+”号；
(1) 如果含有两个未知量两个方程的线性方程组(1) 它的系数作成的二阶行列式
b1 x1 b2 a11 a 21 a12 a 22 a12 a 22 , x2
a11 a21 a12 a22 0
,那么方程组(1)有解
b1 b2 a12 a 22
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 32 2 33 3 3 31 1
, 这里
b1 b2 b3 a13 a11 a12 a 22 a32 b1 b2 b3
a13
a11
D1 b2 b3
a 23 , D2 a 21 a33 a31
a 23 , D3 a 21 a33 a31
我们的目的是要把二阶和三阶行列式推广到n阶行列式,然后利用这一 工具来解答含有n个未知量n个方程的线性方程组.