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,4
1
1
2
1
1
线性 _相___ 关.
1
6
例7 已知向量1,2 ,3 线性无关，且有
1 1 2,2 1 3,3 2 3
证明向量组 1, 2 , 3 线性无关.
证 设有一组数k1, k2, k3 , 使得
k11 k22 kmm ()
则称向量1,2 , ,m 线性相关，否则称它们线性无关.
定理3.4 n 维向量 1,2 , ,m 线性相关(线性无关) 的充要条件是齐次方程组() 有非零解(仅有零解).
1
2
向量组线性相关性的判定（重点、难点） 向量组 A：a1, a2, …, am 线性相关
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k1
k3
0
1 0 1 2 0
k2
k3
0
011
故方程组只有唯一的零解，所以 1, 2, 3 线性无关.
另解: (1, 2 , 3 ) (1 2 ,1 3 ,2 3 )
1 1 0
(1
,2
,
3
)
1 0
0 1
1 1
1
9
例5 设 1 1,1,1T ,2 1, 1, 2T ,3 3,1,4T
试讨论向量组 1 , 2 , 3 及向量组 1 , 2 的线性相关性.
解 设数 k1 , k2 , k3 使得 k11 k22 k33 成立
1 1 3 0
1 1 0
因
1 0
0 1
1 1
的秩为3，
1
,
2
,
3
线性无关，
所以 1, 2 , 3 线性无关.
1
8
① 一个向量组，不是线性相关就是线性无关．
② 单独一个向量线性相关它是零向量． ③ 单独一个向量线性无关它是非零向量． ④ 一向量组中存在一个零向量，则一定线性相关． ⑤ 两向量线性相关两向量成比例
相关；一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组也线性 无关．
⑦ 任意 n ＋ 1 个n维向量必线性相关.
1
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命题 设列向量1 ,2 , ,m Rl, 列向量 1 , 2 , , m Rs
且向量组1 ,2 , ,m 线性无关，则 l ＋ s 维列向量组
i
i
线性相关，且 a 1 ，则 a = ？
【分析】 四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零， 由此即可确定a.
由题设，有
2111 21aa
(a 1)(2a 1) 0 321a 4321
得
a 1, a 1 2
，但题设
a1
故 a 1. 2
1
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1、基本概念
k11 k22
例6 设 1 1,1,1 ,2 1, 2, 3 ,3 1, 3, t
线性相关，则t=____
分析： 1.定义法
2.行列式法 1T ,2T ,3T 0
3.用秩判别法
(1T
,
T 2
,
T 3
)
1
5
例8 判断下列向量组是否线性相关.
(1) 向量 , , , 线性 ___相___ 关.
αi l1α1 于是
li1αi1 li1αi1
lm αm
l1α1 li1αi1 αi li1αi1 lmαm
显然, 数 l1 , li1 , 1, li1 , lm 不全为零,
故 1 ,2 , ,m 线性相关. 推论 若向量组 1 ,2 , ,m (m 2) 线性无关，则任一 个向量都不能由其余 m-1 个向量线性表示.
k11 k22 kmm
不失一般性, 设 ki≠0,于是
αi
k1 ki
α1
ki1 ki
αi 1
ki1 ki
αi 1
即 αi 可由其余m −1个向量线性表示.
km ki
αm
1
13
充分性. 设向量组1 ,2 , ,m 中的某一个向量 αi 可以
由其余向量线性表示, 即
(2) 向量 , , , 线性 ___相___ 关.
1 0 0
(3)
1
0
,
2
1
,
n
0
线性 __无____ 关.
0
0
1
1
0
0
2
(4)
1
0
,
2
1
,
3
存在不全为零的实数 k1, k2, …, km ，使得 k11 k22 kmm
m 元齐次线性方程组k11 k22 kmm 有非零解． 矩阵A = (a1, a2, …, am ) 的秩小于向量的个数 m ． 向量组 a1, a2, …, am 中至少有一个向量能由其余 m－1 个向量线性表示．
1
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定理3.6 若向量组1 ,2 , ,m 线性无关，而向量组
1 ,2 , ,m , 线性相关，则向量 可由 1 ,2 , ,m
线性表示，且表示式唯一.
证 由定理3.5的必要性证明，可得 能由1 ,2 , ,m
线性表示，下面我们证明唯一性. 设向量 能由1 ,2 , ,m 线性表示为
2、基本结论
kr
r
线性组合 组合系数 线性表示 线性相关 线性无关
定理 向量组线性相关齐次线性方程组有非零解.
定理 向量组线性无关齐次线性方程组只有零解；
推论 ｎ个ｎ维向量线性相关 aij 0. 推论 ｎ个ｎ维向量线性无关 aij 0. 定理 向量组至少有一个向量可由其余向量LE ．
即
k1
1 1
k2
1 2
k3
1 4
0 0
未知量为 k1, k2 , k3 .
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由 1 1 1 0 知齐次线性方程组有非零解 124
故齐次线性方程组有非零解，所以向量1,2 ,3 线性相关.
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⑥ 一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向量组也线性
§3.3 向量组的线性关系
向量组的关系对于我们揭示线性方程组中 方程与方程之间、解与解之间的关系乃至更广 泛的事物之间的联系是极其有意义的，我们必 须熟练掌握如何判定向量组之间的关系.
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线性相关与线性无关
1. 线性相关与线性无关的定义
定义3.9 设 1,2 , ,m 为 n 维向量，若存在不全 为零的数 k1, k2 , , km ，使得
定理 向量组任何向量都不能由其余向量LE ．
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k11 k22 k33 即 k（1 1 2）＋k2 (1 3 ) k3 (2 3 ) 整理得 （k1 k2）1＋(k1 k3 )2 (k2 k3 )3 因为1,2 ,3 线性无关，所以
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7
k1 k2 0
i
(i 1, 2,
, m)
也是线性无关. 通常称向量 i 为接长向量， i 为截短向量.
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2. 线性相关与线性无关的判定方法
定理3.5 向量组 1 , 2 ,, m (m 2) 线性相关的充要
条件是至少有一个向量可由其余 m − 1 个向量线性表示
证 必要性. 设向量组1 ,2 , ,m 线性相关，则存在一组 不全为零的数k1, k2, … , ki , … , km ,使得
＝k11 k22 kmm 及 l11 l22 lmm
两式相减，得
(k1 l1 )1 (k2 l2 )2 (km lm )m
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设行向量组
(2,1,1,1),(2,1, a, a),(3, 2,1, a),(4, 3, 2,1)
