小专题(九) 构造基本图形解直角三角形的实际问题

解直角三角形的实际应用题的解题步骤解直角三角形的实际应用题的解题步骤1. 引言直角三角形是高中数学中的重要概念之一，其解题方法和应用广泛存在于实际生活中。

本文将以解直角三角形的实际应用题为主题，通过深度和广度的分析，帮助读者更好地理解和应用直角三角形的知识。

2. 实际应用题的意义和背景实际应用题是数学知识在实际问题中的运用，对于培养学生的问题解决能力和应用能力至关重要。

解直角三角形的实际应用题有助于学生将抽象的数学概念和具体的实际问题进行联系，培养他们的分析和推理能力。

3. 解题步骤的概述解直角三角形的实际应用题可以分为以下几个步骤：求两个已知角度的第三个角度、确定已知角度的对边、确定未知角度的对边、求斜边、求面积等。

4. 具体步骤的详解（1）求两个已知角度的第三个角度：根据直角三角形的性质，在直角三角形中，三个角的和为180度。

通过已知的两个角度，我们可以求得第三个角度，从而建立起直角三角形的坐标系。

（2）确定已知角度的对边：根据已知角度可以确定相应的直角三角形边长比例关系。

通过题目中给出的已知角度和对边的长度比例，我们可以推导出未知角度的对边的长度。

（3）确定未知角度的对边：根据已知角度的对边和比例关系，可以推导出未知角度的对边与已知对边之间的比例关系。

通过这个比例关系，我们可以求得未知角度对应的对边长度。

（4）求斜边：已知两个直角三角形的边长，可以利用勾股定理来求解斜边的长度。

根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

（5）求面积：已知直角三角形的两个直角边，可以利用面积公式来求解三角形的面积。

直角三角形的面积等于两个直角边长度的乘积的一半。

5. 个人观点和理解直角三角形的实际应用题在我们的日常生活中具有广泛的应用，例如在建筑、导航、物理等领域。

解题过程中，我们需要根据已知条件进行分析，应用数学知识和技巧来推导出未知的数据，从而解决实际问题。

通过解题过程中的分析和推理，我们还可以培养自己的逻辑思维和问题解决能力。

小专题(八)构造基本图形解直角三角形的实际问题方法归纳：1．解直角三角形的实际应用题时，要灵活运用转化思想，通常是根据以下方法和步骤解决：(1)有图的要将题干中的已知量在图中表示出来，找到与已知量和未知量相关联的三角形，画出平面几何图形，弄清楚已知条件中各量之间的关系；(2)若三角形是直角三角形，根据边角关系进行计算．若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决，其中作某边上的高是常用的辅助线．2．解直角三角形的实际应用题常见图形类型及辅助线作法如图所示：类型1构造单一直角三角形解决实际问题1．平放在地面上的直角三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示．量得∠A为54°，∠B为36°，斜边AB的长为2.1 m，BC边上露出部分的长为0.9 m．求铁板BC边被掩埋部分CD的长．(结果精确到0.1 m，参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38)解：由题意，得∠C＝180°－∠B－∠A＝180°－36°－54°＝90°.在Rt△ABC中，sin A＝BCAB，则BC＝AB·sin A＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，则CD＝BC－BD＝1.701－0.9＝0.801≈0.8(m)．答：CD的长约为0.8 m.2．(湘潭中考)为了增强学生体质，学校鼓励学生多参加体育锻炼，小胖同学马上行动，每天围绕小区进行晨跑锻炼．该小区外围道路近似为如图所示四边形ABCD.已知四边形ABED是正方形，∠DCE ＝45°，AB＝100米．小胖同学某天绕该道路晨跑5圈，时间约为20分钟，求小胖同学该天晨跑的平均速度约为多少米/分？(结果保留整数，AB＝2≈1.41)解：由题意可知：DE ⊥BC 于E ，四边形ABED 是正方形，∴AD ＝DE ＝BE ＝AB ＝100米．∵在Rt △DEC 中，∠C ＝45°，∴EC ＝DE ＝100米，DC ＝2DE ≈1.41×100＝141(米)．∴四边形ABCD 的周长为100＋100＋200＋141＝541(米)．∴小胖的速度为(5×541)÷20≈135(米/分)．答：小胖同学该天晨跑的平均速度约为135米/分．类型2 背靠背三角形3．(邵阳中考)如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO 长为40 cm ，与水平面所形成的夹角∠OAM 为75°.由光源O 射出的边缘光线OC ，OB 与水平面所形成的夹角∠OCA ，∠OBA 分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到0.1 cm .温馨提示：sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，3≈1.73)．解：在Rt △ACO 中，sin 75°＝OC OA ＝OC 40≈0.97， 解得OC ≈38.8.在Rt △BCO 中，tan 30°＝OC BC ＝38.8BC ≈1.733， 解得BC ≈67.3.答：该台灯照亮水平面的宽度BC 大约是67.3 cm .4．如图，某天上午9时，向阳号轮船位于A 处，观测到某港口城市P 位于轮船的北偏西67.5°方向，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B 处，这时观测到城市P 位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B 与城市P 的距离．(参考数据：sin 36.9°≈35，tan 36.9°≈34，sin 67.5°≈1213，tan 67.5°≈125)解：设BC ＝x 海里，由题意，易得AB ＝21×(14－9)＝105(海里)，则AC ＝(105－x)海里．在Rt △BCP 中，tan 36.9°＝PC BC， ∴PC ＝BC·tan 36.9°＝34x. 在Rt △ACP 中，tan 67.5°＝PC AC ， ∴PC ＝AC·tan 67.5°＝125(105－x)． ∴34x ＝125(105－x)．解得x ＝80. ∴PC ＝34x ＝60海里． ∴PB ＝PC 2＋BC 2＝100海里．答：此时轮船所处位置B 与城市P 的距离约为100海里．类型3 母子三角形5．(张家界中考)如图，我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A 点观测到我渔船C 在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业．若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B 点，观测我渔船C 在东北方向上．问：渔政310船再按原航向航行多长时间，离渔船C 的距离最近？(渔船C 捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值)解：作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于D ，则当渔政310船航行到D 处时，离渔船C 的距离最近．设CD ＝x ，在Rt △ACD 中，∵∠ACD ＝60°，tan ∠ACD ＝AD CD，∴AD ＝3x.在Rt △BCD 中，∵∠CBD ＝∠BCD ＝45°，∴BD ＝CD ＝x.∴AB ＝AD －BD ＝3x －x ＝(3－1)x.设渔政船从B 航行到D 需要t 小时，则AB 0.5＝BD t， ∴（3－1）x 0.5＝x t. ∴t ＝0.53－1＝3＋14. 答：渔政310船再航行3＋14小时，离渔船C 的距离最近．6．(湘西中考)测量计算是日常生活中常见的问题．如图，建筑物BC 的屋顶有一根旗杆AB ，从地面上D 点处观测旗杆顶点A 的仰角为50°，观测旗杆底部B 点的仰角为45°.(可用参考数据：sin 50°≈0.8，tan 50°≈1.2)(1)若已知CD ＝20米，求建筑物BC 的高度；(2)若已知旗杆的高度AB ＝5米，求建筑物BC 的高度．解：(1)由题意，得∠ACD ＝90°，∠BDC ＝45°，∴BC ＝CD ＝20.答：建筑物BC 的高度约为20米．(2)设CD ＝x 米，同(1)得BC ＝CD ＝x 米，AC ≈1.2x 米，∵AB ＝5米，∴x ＋5＝1.2x ，解得x ＝25.∴BC ＝25米．答：建筑物BC 的高度约为25米．7．(常德中考)如图，A ，B ，C 表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB ，BC 表示连接缆车站的钢缆．已知A ，B ，C 所处位置的海拔AA 1，BB 1，CC 1分别为160米，400米，1 000米，钢缆AB ，BC分别与水平线AA2，BB2所成的夹角为30°，45°，求钢缆AB和BC的总长度．(结果精确到1米)解：在Rt△ABD中，BD＝400－160＝240(米)，∠BAD＝30°，则AB＝BDsin30°＝480(米)．在Rt△BCB2中，CB2＝1 000－400＝600(米)，∠CBB2＝45°.则CB＝CB2sin45°＝6002(米)．∴AB＋BC＝480＋6002≈1 329(米)．答：钢缆AB和BC的总长度约为1 329米．。

方法归纳 构造基本图形解直角三角形的实际问题类型一 构造单一直角三角形解决【例1】如图，某同学在楼房的A 处测得荷塘的一端B 处的俯角为30°，荷塘另一端D 与点C 、B 在同一条直线上，已知AC=32米，CD=16米，求荷塘宽BD 为多少米？( 1.73，结果保留整数)解：在Rt △ACB 中，∠CAB=60°，CB=AC ·tan60°∴-16≈39.答：荷塘宽DB 的长约为39米.【方法总结】通过构造单一的直角三角形,只要知道其中的一条边长和一个锐角,就可以利用解直角三角形的知识求出其余各边的长.变式练习1 如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部(B 处)6米的D 处，仰望旗杆顶端A ，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED 为1.5米.试帮助小华求出旗杆AB 的高度.(结果精确到0.1≈1.732)类型二 构造单一非直角三角形解决【例2】为促进我市经济快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中，需修建隧道AB ，如图，在山外一点C 测得BC 距离为200 m ，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB 的长(参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38 1.73，精确到个位).解：过点C 作CD ⊥AB 于D.在Rt △BCD 中，∵∠B=30°，BC=200 m.∴CD=BC=100(m)， m, 12在Rt △ACD 中，∵tan ∠CAB=,∴AD=≈72,CD AD 50041tan ∴AB=AD ＋BD=245(m).答：隧道AB 的长约为245 m.【方法总结】通过构造一个非直角三角形,已知其中的两角和一边,可过第三个角的顶点作高,将三角形转化为两个直角三角形,再利用解直角三角形的知识求出其余各边长.变式练习2 如图某天上午9时，向阳号轮船位于A 处，观测到某港口城市P 位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B 处，这时观测到城市P 位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B 与城市P 的距离？(参考数据：sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈35341213)125类型三 构造双直角三角形解决【例3】如图，2012年4月10日，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A 地侦察发现，在南偏东60°方向的B 地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C 地行驶，企图抓捕正在C 地捕鱼的中国渔民.此时，C 地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C 地救援我国渔民，能不能及时赶到？≈1.41≈1.73≈2.45)解：过点A 作AD ⊥BC ，交BC 的延长线于点D.由题意得∠DAC=45°，∠DAB=60°，∵AD ⊥BC,∴sin ∠DAC=，CD ACcos ∠DAC=，tan ∠DAB=,即sin45°=，cos45°=，AD AC BD AD 10CD 10AD∴，∵tan60°.≈5.2(海里).中国海监船赶到点C 所用的时间为时，某国军舰到达点C 所需的时间为时，1325∵＜，∴中国海监船能及时赶到C 地救援我国渔民.1325【方法总结】如图,构造两个直角三角形,利用解直角三角形的知识容易知道如下结果:tan β=,tan α=,∴a=-,b=,h=.h b h a b +h tan α- h tan βa tan tan tan αβ-tan tan t t n a an a βαβα-变式练习3 如图，王强同学在甲楼楼顶A 处测得对面乙楼楼顶D 处的仰角为30°，在甲楼楼底B 处测得乙楼楼顶D 处的仰角为45°，已知甲楼高26米，求乙楼的高度 1.7)类型四 构造梯形解决【例4】如图，水坝的横断面是梯形，迎水坡BC 的坡角∠B=30°，背水坡AD 的坡度为1，坝顶DC 宽25米，坝高CE 是45米，求：坝底AB 的长、迎水坡BC 的长及BC 的坡度(答案保留根号).解：作DF ⊥AB 于点F,作CE ⊥AB 于点E.在Rt △ADF 中,DF=45 m,,DFAF∴m.在Rt △BCE 中,CE=45 m,BE=.30CE tan ︒∴BC =.CEBE 【方法总结】通过作梯形的高,把梯形转化为直角三角形和矩形,利用解直角三角形等的有关知识加以解决,注意分清坡角和坡度的不同.变式练习4 如图，在一滑梯侧面示意图中，BD ∥AF ，BC ⊥AF 于点C ，DE ⊥AF 于点E.BC=1.8 m ，BD=0.5 m ，∠A=45°，∠F=29°.(1)求滑道DF 的长(精确到0.1 m)；(2)求踏梯AB 底端A 与滑道DF 底端F 的距离AF.(精确到0.1 m ，参考数据：sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55)参考答案例1变式练习1 在Rt △ACE 中，∠CEA=60°，CE=BD=6,∴tan ∠AEC=，∴AC=CE ·tan ∠AEC=6tan60°，AE CE∴+1.5≈10.39+1.5=11.89≈11.9(米).例2变式练习2 设BC=x 海里，由题意，易得AB=21×(14-9)=105(海里)，则AC=105-x(海里).在Rt △BCP 中，tan36.9°=,∴PC=BC ·tan36.9°=x.PC BC 34在Rt △ACP 中，tan67.5°=,∴PC=AC ·tan67.5°=(105-x).PC AC 125∴x=(105-x),解得x=80.34125∴PC=x=60(海里),34∴=100(海里).答：此时轮船所处位置B 与城市P 的距离约为100海里.例3变式练习3 作DE ⊥AB 交AB 的延长线于点E,则四边形BCDE 是矩形.∴BC=DE.∴∠DAE=60°,∠DBE=45°.设DC=x,则AE=x-26.∵tan ∠DAE=,∴DE=AE ·tan60°DE AE∵tan ∠DBE==1,∴DE=BE.DE BE∴(x-26),∴x ≈61.5.答：乙楼高为61.5米.变式练习4 (1)在Rt △DEF 中，∠DEF=90°，DE=BC=1.8，∠F=29°，∵sinF=，∴DF==≈=3.75≈3.8;DE DF DE sinF 2.891sin ︒ 1.80.48(2)∵tanF=，∴EF==≈≈3.27.DE EF DE tanF 2.891tan ︒ 1.80.55在Rt △ABC 中，∠ACB=90°.由∠A=45°得：AC=BC=1.8.又∵CE=BD=0.5，∴AF=AC+CE+EF ≈1.8+0.5+3.27≈5.6.答：DF 的长约为3.8 m ，AF 约为5.6 m.。