2018年春中考数学总复习 第七单元 图形变换 第26讲 图形的平移、对称、旋转与位似试题

第七章图形与变换第二十四讲平移、旋转与对称【基础知识回顾】一、轴对称与轴对称图形：1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形那么就说这两个图形成轴对称，这条直线叫2、轴对称图形：如果把一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够互相那么这个图形叫做轴对称图形3、轴对称性质：⑴关于某条直线对称的两个图形⑵对应点连接被对称轴【名师提醒：1、轴对称是指个图形的位置关系，而轴对称图形是指个具有特殊形状的图形；2、对称轴是而不是线段，轴对称图形的对称轴不一定只有一条】二、图形的平移与旋转：1、平移：⑴定义：在平面内，把某个图形沿着某个移动一定的这样的图形运动称为平移⑵性质：Ⅰ、平移不改变图形的与，即平移前后的图形Ⅱ、平移前后的图形对应点所连的线段平行且【名师提醒：平移作图的关键是确定平移的和】2、旋转：⑴定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个，这样的图形运动称为旋转，这个点称为转动的称为旋转角⑵旋转的性质：Ⅰ、旋转前后的图形Ⅱ、旋转前后的两个圆形中，对应点到旋转中心的距离都，每对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角都【名师提醒：1、旋转作用的关键是确定、和，2、一个图形旋转一定角度后如果能与自身重合，那么这个图形就是旋转对称图形】三、中心对称与中心对称图形：1、中心对称：在平面内，一个图形绕某一点旋转1800能与另一个图形就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做2、中心对称图形：一个图形绕着某点旋转后能与自身重合，这种图形叫中心对称图形，这个点叫做3、性质：在中心对称的两个图形中，对称点的连线都经过且被平分【名师提醒：1、中心对称是指个图形的位置关系，而中心对称图形是指个具有特殊形状的图形2、常见的轴对称图形有、、、、、等，常见的中心对称图形有、、、、、等3、所有的正n边形都是对称图形，且有条对称轴，边数为偶数的正多边形，又是对称图形，4、注意圆形的各种变换在平面直角坐标系中的运用】【典型例题解析】1.已知点P（3，-1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a+b，1-b），则a b的值为．2．点P（2，-1）关于x轴对称的点P′的坐标是．3．在图示的方格纸中（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？4.已知点P（3，2），则点P关于y轴的对称点P1的坐标是，点P关于原点O的对称点P2的坐标是5.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6.点（3，2）关于x轴的对称点为（）A．（3，-2）B．（-3，2）C．（-3，-2）D．（2，-3）7.在平面直角坐标系中，将点A（-2，3）向右平移3个单位长度后，那么平移后对应的点A′的坐标是（）A．（-2，-3）B．（-2，6）C．（1，3）D．（-2，1）8.如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．55°B．70°C．125°D．145°9．P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，连接OP1、OP2，则下列结论正确的是（）A．OP1⊥OP B．OP1=OP2C．OP1⊥OP2且OP1=OP2D．OP1≠OP2 10.已知点M（3，-2），将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是．11.夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为280m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为m．12.如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= °．13.如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为．14.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为．15.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．第二十五讲相似图形（一）：【知识梳理】1.比例基本性质及运用（1）线段比的含义：如果选用同一长度单位得两条线段a、b的长度分别为m、n，那么就说这两条线段的比是a：b=m：n，或写成a m=b n，和数的一样，两条线段的比a、b中，a叫做比的前项 b叫做比的后项．注意：①针对两条线段；②两条线段的长度单位相同，但与所采用的单位无关；③其比值为一个不带单位的正数．（2）线段成比例及有关概念的意义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，已知四条线段a、b、c、d，如果a c=b d或a：b=c：d，那么a、b、c、d叫做成比例的项，线段a、d叫做比例外项，线段b、d叫做比例内项，线段d叫做a、b、c的第四比例项，当比例内项相同时，即a bb c=或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a和c的比例中项．（3）比例的性质，①基本性质：如果a：b=c：d，那么ad=bc；反之亦成立。

专题06图形变换之平移与对称考纲要求:1．理解轴对称、轴对称图形、中心对称、中心对称图形、平移的概念.2．运用图形的轴对称、平移进行图案设计.3．利用平移、对称的图形变换性质解决有关问题.基础知识回顾:知识点一：图形变换1.图形的轴对称（1）定义：①轴对称：把一个图形沿某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就称这两个图形关于这条直线对称．②轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.（2）性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；反过来，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.2.图形的平移（1）定义：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．（2）性质：①平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段相等且平行；②平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行、方向相同；③平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移后新旧两个图形全等．3.图形的中心对称（1）把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称或中心对称，该点叫做对称中心．（2）①关于中心对称的两个图形是全等形；②关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分；③关于中心对称的两个图形,对应线段平行（或者在同一直线上）且相等.知识点二：网格作图坐标与图形的位置及运动图形的平移变换在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．图形关于坐标轴成对称变换在平面直角坐标系内，如果两个图形关于x轴对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；在平面直角坐标系内，如果两个图形关于y轴对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．图形关于原点成中心对称在平面直角坐标系内，如果两个图形关于原点成中心对称，那么这两个图形上的对应点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．应用举例:招数一、变换图形的形状问题【例1】请在下图各组符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线的空白处设计一个恰当的图形．________．招数二、平面坐标系中的图形变换问题【例2】△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称(1)画出△A1B1C1和△A2B2C2(2)在x轴上确定一点P，使BP＋A1P的值最小，直接写出P的坐标为________(3)点Q在坐标轴上且满足△ACQ为等腰三角形，则这样的Q点有个【例3】如图，三角形ABC内任意一点P(x0，y0)，将三角形ABC平移后，点P的对应点为P1(x0＋5，y0－3)．(1)写出将三角形ABC平移后，三角形ABC中A，B，C分别对应的点A1，B1，C1的坐标，并画出三角形A1B1C1；(2)若三角形ABC外有一点M经过同样的平移后得到点M1(5，3)，写出M点的坐标_______，若连接线段MM1，PP1，则这两条线段之间的关系是________．招数三、函数中的图形变换问题【例4】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于(0，94)，点A坐标为(－1，2)，点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点F为线段AC上一动点，过点F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为点E，G，当四边形OEFG为正方形时，求出点F的坐标；（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C 重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．招数四、三角形、四边形中图形变换问题【例5】（2015宁夏区）如图，将等边△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1．若BC＝3，，则BB1＝______．【例6】（2015东营）如图，两个全等的△ABC和△DFE重叠在一起，固定△ABC，将△DEF进行如下变换：（1）如图1，△DEF沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、AD、BD．请直接写出与的关系；（2）如图2，当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么△ABC应满足什么条件？请给出证明；（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DF折叠，点E落在F A的延长线上的点G处，连接CG，请你在图3的位置画出图形，并求出sin∠CGF的值．招数五、图案设计方案问题【例7】生活中因为有美丽的图案,才显得丰富多彩,以下是来自现实生活中的图标(图1).请在图2、图3中画出两个是轴对称图形的新图案,并给它们各给出一句形象、诙谐的解说词.方法、规律归纳:1．识别某图形是轴对称图形还是中心对称图形的关键在于对定义的准确把握，抓住轴对称图形、中心对称图形的特征，看看能否找出其对称轴或对称中心，再去作出判断.2．在平面直角坐标系中，将点P(x，y)向右(或左)平移a个单位长度后，其对应点的坐标变为(x＋a，y)〔或(x－a，y)〕；将点P(x，y)向上(或下)平移b个单位长度后，其对应点的坐标变为(x，y＋b)〔或(x，y－b)〕．3．要画出一个图形的平移、对称后的图形，关键是先确定一些关键点，根据相应顶点的平移方向、平移距离、对称不变的性质作出关键点的对应点，这种以“局部代整体”的作图方法是平移、对称中最常用的方法．4．利用平移、对称的性质解题时，要抓住平移规律及对称中不变的特点来解决问题.实战演练:1.在平面直角坐标系中，点（2，5）关于y轴对称点的坐标为( ).A. （－2，5）B. （2，－5）C. （－2，－5）D. （2，5）2. （2016海南省）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E 的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（）A. 6B.C.D.3.在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点的坐标分别是A(4，－1)、B(1，1)，将线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′的坐标为(－2，2)，则点B′的坐标为________．4.以平行四边形ABCD的顶点A为原点,直线AD为x轴建立平面直角坐标系,已知点B,D的坐标分别为(1,3),(4,0),把平行四边形向上平移2个单位长度,则C点平移后相应的点的坐标是_____.5.如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有_____种．6.如图所示，三角形ABC三点坐标分别为A(－3，4)，B(－4，1)，C(－1，2)．(1)说明三角形ABC平移到三角形A1B1C1的过程，并求出点A1，B1，C1的坐标；(2)由三角形ABC平移到三角形A2B2C2又是怎样平移的？并求出点A2，B2，C2的坐标．7.如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE、FG相交于点H．判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由．8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，对正方形ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a ，将得到的点先向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位（m ＞0，n ＞0）．得到正方形A′B′C′D′及其内部的点，其中点A 、B 的对应点分别为A′，B′．已知正方形ABCD 内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F′与点F 重合，求点F 的坐标．9.将抛物线()212y x =-+向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）A. ()224y x =++B. y ＝（x －4）2＋4C. ()22y x =+D. ()24y x =-10.已知抛物线C 1：y=ax 2+bx+32（a≠0）经过点A （-1，0）和B （3，0）．（1）求抛物线C 1的解析式，并写出其顶点C 的坐标；（2）如图1，把抛物线C 1沿着直线AC 方向平移到某处时得到抛物线C 2，此时点A ，C 分别平移到点D ，E 处．设点F 在抛物线C 1上且在x 轴的下方，若△DEF 是以EF 为底的等腰直角三角形，求点F 的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，设点M 是线段BC 上一动点，EN ⊥EM 交直线BF 于点N ，点P 为线段MN 的中点，当点M 从点B 向点C 运动时：①tan ∠ENM 的值如何变化？请说明理由；②点M 到达点C 时，直接写出点P 经过的路线长．。

第26讲 平移、旋转、轴对称1．平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形变换称为平移．性质：①不改变图形的形状和大小；②对应角相等，对应线段相等且平行（或在同一条直线上）；③对应点所连成的线段相等且平行（或在同一条直线上）．2.旋转：在平面内将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一定的角度，这样的图形变换称为旋转，这个定点叫旋转中心，转动的角度叫旋转角．性质：①对应线段相等；②对应点到旋转中心的距离相等；③对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等且等于旋转角．3．轴对称：将一个图形关于某条定直线作轴反射，如果它可以和另一个图形重合，那么这两个图形成轴对称，这条定直线叫做对称轴，性质：①成轴对称的两个图形全等；②连结对称点的线段都被对称轴垂直平分；③如果对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上，题1 如图，将边长为12cm 的正方形ABCD 折叠，使点A 落在边CD 上的点E,然后压平得折痕FG ，若FG=13cm,求线段CE 的长.折叠时两个重合的图形关于折痕对称，折痕就是对称轴，图中的FG 就是对称点A 与E 连线的中垂线．解 ∵ 四边形ABGF 与四边形EHGF 关于FG 对称，∴AE 与FG 垂直．将FG 平移至BM ，可证得Rt △ADE≌Rt△BAM∴ BM=AE∵ FG=13 cm,∴ BM=AE＝13 cm在Rt△ADE 中，,222AD AE DE -=∴DE=5 cm∴EC=CD -CE ＝12-5=7 cm翻折前后的两个图形可看作是关于折痕所在的直线成轴对称，然后再利用轴对称的性质进行解题．读一题，练3题，练就解题高手1-1．如图，AD 是△ABC 的中线， 045=∠ADC ，把△ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在/C 的位置，若BC=6，则=/BC .1—2．如图，在矩形纸片ABCD ，AB=2，030=∠ADB ，沿对角线BD 折叠，则A 、E 两点的距离为 ．1-3．（第七届“希望杯”全国数学邀请赛）如图，在△ABC 中，∠B=2∠C ，AD⊥BC，垂足为D ，M 是BC 的中点，AB=10 cm ，求MD 的长.题2 如图，两个边长都是2的正方形ABCD 及正方形OPQR,如果点O 正好是正方形ABCD 的中心，而正方形OPQR 可以绕点O 旋转，那么可以求出它们重叠部分的面积吗？有什么规律？两个正方形的重叠部分的形状在不停地改变，但利用图形旋转的性质可知，其面积为 故只需求出一个特殊位置即可．解 如图，连结OB 、OC ，由正方形性质知， OB=OC,OB⊥OC，且 045=∠=∠OCN OBM∵OB⊥0C，故 09021=∠+∠，又09023=∠+∠∴∠1= ∠3．∴△OBM ≌△OCN，O CN O BM S S ∆∆=故 .141===∴∆ABCD OBC OMCN S S S 正方形四边形从一般到特殊是常用的解题方法．读一题，练3题，练就解题高手2 -1．如图，在四边形ABCD 中， 090=∠=∠ABC ADC ，AD ＝ CD ，DP⊥AB，垂足为点P ．若四边形ABCD的面积是16，求DP 的长．2—2．如图，在等腰直角△ABC 中， 090=∠BAC ，点P 是△ABC 内一点，PA =1，PB ＝3， 7=PC ．求∠CPA 的大小．2—3．如图，在△ABC 中，AC= BC ， 090=∠C ，将一块直角三角板的顶点P 放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，两直角边分别交AB 、BC 于D 、E 两点，则 △PDE 是什么三角形？说明理由．题3 如图，A 、B 表示两个村庄，现在河边修建一水厂P.P 在何处时，使得两村到水厂所使用的水管最短？要使水管最短，转化为数字问题，即PA+PB 的值最小，解 ①作点A 关于L 的对称点A /;②连结A /B 交L 于点P ，点P 即为所求作的点，证明：在L 上任取点P /，连结P /A 、P /A /．由轴对称性质，得PA= PA /，P /A ＝P /A /．∴PA+PB=PA /+PB=A /B.在△P /A /B 中，P /A /+P /B>A /B ，即 P /A +P /B>PA+PB.故水厂修在P 处时，水管最短，解此类问题时，我们往往通过平移、作对称等方法，使几条线段转到一条线段上来，可利用两点之间所有的连线中线段最短来说明问题．读一题，练1题，决出能力高下3-1．如图，有两个村庄A 和B 被一条河隔开，现要架一座桥MN ，使村庄A 到村庄B 的距离最短，问桥应架在什么地方？（河岸是平行的，桥垂直于河岸）题4 点E 为正方形ABCD 的边AB 上一点，AE=3，BE=1，点P 为AC 上的动点，求PB+PE 的最小值。