1.1同级运算

数字与代数式的运算规则一、数字的运算规则1.1 加法运算：两个数相加，结果为它们的和。

1.2 减法运算：两个数相减，结果为它们的差。

1.3 乘法运算：两个数相乘，结果为它们的积。

1.4 除法运算：两个数相除，结果为它们的商。

1.5 乘方运算：一个数自乘若干次，结果为它的幂。

1.6 分数运算：分数的加减乘除法，同分母分数相加减，异分母分数相加减需通分，分数与整数相乘相当于分子乘以整数，分数与整数相除相当于分子除以整数。

二、代数式的运算规则2.1 代数式的加减法：同类型代数式相加减，只需将它们相应的系数相加减，变量部分保持不变。

2.2 代数式的乘除法：同类型代数式相乘除，只需将它们相应的系数相乘除，变量部分保持不变。

2.3 代数式的乘方：对代数式进行乘方运算时，先对系数进行乘方运算，再对变量进行乘方运算。

2.4 代数式的乘除以多项式：代数式乘以多项式，相当于代数式分别乘以多项式的每一项；代数式除以多项式，相当于代数式分别除以多项式的每一项。

2.5 代数式的乘除以单项式：代数式乘以单项式，相当于代数式乘以单项式的系数，变量部分保持不变；代数式除以单项式，相当于代数式除以单项式的系数，变量部分保持不变。

2.6 合并同类项：将含有相同变量的同类项合并，合并时只需将它们的系数相加减，变量部分保持不变。

2.7 代数式的化简：化简代数式，就是将其中的同类项合并，并去掉多余的括号。

2.8 代数式的求值：求代数式的值，就是将代数式中的变量替换为具体的数值，进行计算。

三、运算顺序3.1 同级运算从左到右依次进行。

3.2 乘方运算优先于乘除运算。

3.3 乘除运算优先于加减运算。

3.4 含有括号的运算，先计算括号内的运算。

3.5 函数运算，先计算函数内的运算。

四、运算定律4.1 交换律：加法交换律、乘法交换律。

4.2 结合律：加法结合律、乘法结合律。

4.3 分配律：乘法分配律。

4.4 恒等律：加法恒等律、乘法恒等律。

4.5 相反数律：一个数的相反数加上它等于零。

1.1.1算法的概念情景引入现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏，小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：第一步，分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同．第二步，从左边一堆拿出两张，放入中间一堆．第三步，从右边一堆拿出一张，放入中间一堆．第四步，左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆．这时，小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数，你知道中间一堆牌有多少张吗？新知导学1．算法的概念2算法是做一件事情的方法和步骤．在生活中做一件事情的方法和步骤有多种，我们设计的算法应本着简捷方便的原则．要正确地设计一个算法就需要了解算法的特征：1．下列不能看成算法的是()A．洗衣机的使用说明书B．烹制红烧肉的菜谱C．从山东济南乘火车到北京，再从北京乘飞机到伦敦D．小明不会洗衣服2．算法的每一步都应该是正确的、能有效执行的，并且能得到明确的结果，这是指算法的()A．有穷性B．确定性C．逻辑性D．不唯一性3．下面对算法的描述正确的一项是()A．算法只能用自然语言来描述B．算法只能用图形方式来表示C．同一问题可以有不同的算法D．同一问题的算法不同，结果必然不同4．已知一名学生的语文成绩为89分，数学成绩为96分，外语成绩为99分，求他的总分D 和平均成绩E的一个算法为：第一步，取A＝89，B＝96，C＝99.第二步，_________________.第三步，_________________.第四步，输出D，E.5．写出解方程ax＋b＝0(a、b是常数)的一个算法．互动探究解疑命题方向1⇨算法含义的正确理解典例1(1)下列关于算法的描述正确的是()A．算法与求解一个问题的方法相同B．算法只能解决一个问题，不能重复使用C．算法过程要一步一步执行，每步执行的操作必须确切D．有的算法执行完后，可能无结果(2)下列描述不能看作算法的是()A．做米饭需要刷锅，淘米，添水，加热这些步骤B．利用公式S＝πr2，计算半径为4的圆的面积，就是计算π×42C．解不等式2x2＋x－1>0D．求过M(1,2)与N(－3，－5)两点的直线方程可以先求MN的斜率，再利用点斜式方程求得．规律总结(1)算法实际上是一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，在用算法解决问题时，显然体现了特殊与一般的数学思想．(2)算法的特点有：①有限性，②确定性，③顺序性与正确性，④不唯一性，⑤普遍性．解答有关算法的概念判断题应根据算法的这五大特点．跟踪练习1下列说法中，能称为算法的是()A．巧妇难为无米之炊B．炒菜需要洗菜、切菜、刷锅、炒菜这些步骤C．数学题真有趣D．物理与数学是密不可分的命题方向2⇨数值性问题的算法典例2写出求1＋2＋3＋4＋5＋6的值的一个算法．规律总结设计此类问题的算法通常有两种．一种称为累加或乘法，将步骤一直写下去，便得到任意有限个数相加或相乘的算法．另一种具有代表性，是对这一类问题的机械的、统一的求解方法．跟踪练习2写出满足1＋2＋3＋…＋n＞20的最小自然数n的值的算法．解：第一步，计算1＋2＝3，显然3＞20不成立，执行第二步；第二步，将第一步计算的结果3与3相加，得到6，显然6＞20不成立，执行第三步；第三步，将第二步计算的结果6与4相加，得到10，显然10＞20不成立，执行第四步；第四步，将第三步计算的结果10与5相加，得到15，显然15＞20不成立，执行第五步；第五步，将第四步计算的结果15与6相加，得到21，显然21＞20成立，所以输出6.命题方向3⇨非数值性问题的算法典例3有蓝和黑两个墨水瓶，但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，请你设计算法解决这一问题．规律总结对于非数值问题，应当首先建立过程模型，根据过程设计步骤，完成算法，在设计算法时应简洁、清晰，要善于分析任何可能出现的情况以体现思维的严谨性．跟踪练习3写出交换两个容量相同的杯子的液体(A杯中装有水、B杯中装有酒)的两个算法．易混易错警示算法中错用省略号而致误典例4设计一个算法，求a1，a2，a3，a4，a5五个不同实数中最小的数．[错解]第一步，比较a1，a2的大小．若a1＜a2，则令m＝a1；否则，令m＝a2.第二步，比较m，a3的大小．若a3＜m，则令m＝a3；否则，m的值不变．……第四步，比较m，a5的大小．若a5＜m，则令m＝a5；否则，m的值不变．第五步，输出m的值．以上错解中都有哪些错误？出错的原因是什么？你如何订正？你如何防范？[辨析]省略号表达的步骤不明确，不符合算法的确定性．学科核心素养分类讨论思想典例5写出解方程ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为实数)的一个算法．课堂达标验收1．下列叙述不能称为算法的是( )A ．从北京到上海先乘汽车到飞机场，再乘飞机到上海B ．解方程4x ＋1＝0的过程是先移项再把x 的系数化成1C ．利用公式V ＝13Sh 计算底面半径为2，高为3的圆锥的体积，V ＝13×π×22×h D ．解方程x 2－2x ＋1＝02．早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤．从下列选项中选出最好的一种算法( )A ．第一步洗脸刷牙、第二步刷水壶、第三步烧水、第四步泡面、第五步吃饭、第六步听广播B ．第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步吃饭、第五步听广播C ．第一步刷水壶、第二步烧水同时洗脸刷牙、第三步泡面、第四步吃饭同时听广播D ．第一步吃饭同时听广播、第二步泡面、第三步烧水同时洗脸刷牙、第四步刷水壶3．现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏，小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作： 第一步，分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同．第二步，从左边一堆拿出两张，放入中间一堆．第三步，从右边一堆拿出一张，放入中间一堆．第四步，左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆．这时，小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌的张数是( )A ．4B ．5C ．6D ．8 4．一个算法如下：第一步，S 取值0，i 取值1.第二步，若i 是不大于10，则执行下一步；否则执行第六步．第三步，计算S ＋i 且将结果代替S .第四步，用i ＋2结果代替i .第五步，转去执行第二步．第六步，输出S .则运行以上步骤输出的结果为_______.5．写出解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝－2①7x －y ＝18②的一个算法．参考答案新知导学1．算术运算一定规则明确有限计算机程序计算机程序明确的步骤算法“语言”预习自测1．【答案】D【解析】由算法的概念可知，选项D并没有涉及程序和步骤，也不能够体现在有限步之间完成，故选D ．2．【答案】 B【解析】 算法的过程和每一步的结果都是确定的，即确定性．3．【答案】 C【解析】 根据算法的特征，同一问题可以有不同的算法，但结果是一样的．4．【答案】 D ＝A ＋B ＋C 计算平均成绩E ＝D 3【解析】 由题意，求总分的方法就是把三科分数求和，而求平均值就是把总分除以科目数3，因此第二步可为D ＝A ＋B ＋C ，第三步为E ＝D 3. 5．解：算法步骤如下：第一步，判断a 是否为0，若a ＝0，执行第二步；若a ≠0，执行第三步．第二步，判断b 是否为0，若b ＝0，则输出“x ∈R ”；否则输出“无解”．第三步，将ax ＋b ＝0变形为ax ＝－b ，得x ＝－b a ，输出x ＝－b a. 互动探究解疑命题方向1 ⇨算法含义的正确理解典例1 【答案】 (1)C (2)C【解析】 (1)算法与求解一个问题的方法既有区别又有联系，故A 项不对；算法能重复使用，故B 项不对；每个算法执行后必须有结果，故D 项不对；由算法的有序性和确定性可知C 项正确．(2)A 、B 、D 都描述了解决问题的过程，可以看作算法，而C 只描述了一个事实，没说明怎么解决问题，不是算法．跟踪练习1 【答案】 B【解析】 算法是做一件事的步骤或程序，不是解决问题的办法，因而只有选项B 正确． 命题方向2 ⇨数值性问题的算法典例2 写出求1＋2＋3＋4＋5＋6的值的一个算法．解：算法1：第一步，计算1＋2得到3；第二步，将第一步中的运算结果3与3相加得到6；第三步，将第二步中的运算结果6与4相加得到10；第四步，将第三步中的运算结果10与5相加得到15；第五步，将第四步中的运算结果15与6相加得到21；第六步，输出运算结果．算法2：第一步，取n ＝6；第二步，计算n n ＋12； 第三步，输出运算结果．算法3：第一步，将原式变形为(1＋6)＋(2＋5)＋(3＋4)＝3×7；第二步，计算3×7；第三步，输出运算结果．跟踪练习2 解：第一步，计算1＋2＝3，显然3＞20不成立，执行第二步；第二步，将第一步计算的结果3与3相加，得到6，显然6＞20不成立，执行第三步； 第三步，将第二步计算的结果6与4相加，得到10，显然10＞20不成立，执行第四步； 第四步，将第三步计算的结果10与5相加，得到15，显然15＞20不成立，执行第五步； 第五步，将第四步计算的结果15与6相加，得到21，显然21＞20成立，所以输出6. 命题方向3 ⇨非数值性问题的算法典例3 解：算法步骤如下：第一步，取一只空的墨水瓶，设其为白色．第二步，将黑墨水瓶中的蓝墨水装入白瓶中．第三步，将蓝墨水瓶中的黑墨水装入黑瓶中．第四步，将白瓶中的蓝墨水装入蓝瓶中．第五步，交换结束．跟踪练习3 解：算法1：第一步，找一个容量不小于A 的空杯子C .第二步，将A 中的水倒入C 中．第三步，将B 中的酒倒入A 中．第四步，将C 中的水倒入B 中，结束．算法2：第一步，再找两个容量不小于A 的空杯子C 和D .第二步，将A 中的水倒入C 中，将B 中的酒倒入D 中．第三步，将C 中的水倒入B 中，将D 中的酒倒入A 中，结束．易混易错警示 算法中错用省略号而致误典例4 [正解] 第一步，比较a 1，a 2的大小．若a 1＜a 2，则令m ＝a 1；否则，令m ＝a 2. 第二步，比较m ，a 3的大小．若a 3＜m ，则令m ＝a 3；否则，m 的值不变．第三步，比较m ，a 4的大小．若a 4＜m ，则令m ＝a 4；否则，m 的值不变．第四步，比较m ，a 5的大小．若a 5＜m ，则令m ＝a 5；否则，m 的值不变．第五步，输出m 的值．学科核心素养 分类讨论思想典例5 写出解方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a 、b 、c 为实数)的一个算法．解：第一步，当a ＝0，b ＝0，c ＝0时，原方程的解为全体实数．第二步，当a ＝0，b ＝0，c ≠0时，原方程没有实数解．第三步，当a ＝0，b ≠0时，原方程的解为x ＝－c b. 第四步，当a ≠0，b 2－4ac >0时，原方程有两个不相等实数解x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a. 第五步，当a ≠0，b 2－4ac ＝0时，原方程有两个相等实数解x 1＝x 2＝－b 2a. 第六步，当a ≠0，b 2－4ac <0时，原方程没有实数解．课堂达标验收1．【答案】 D【解析】 A 、B 两选项给出了解决问题的方法和步骤，是算法．C 项，利用公式计算也属于算法．D 项，只提出问题没有给出解决的方法，不是算法．2．【答案】 C【解析】 选项A 所用时间为36 min ，选项B 所用时间为31 min ，选项C 所用时间为23 min ，选项D 不符合日常生活规律，故选C ．3．【答案】 B【解析】 按各放3张，可以算出答案是5，各放x 张答案也是一样．原因如下：设每堆有x 张，经过四个步骤后，中间一堆有(x ＋3)－(x －2)＝5(张)．4．【答案】 25【解析】 第1次运算结果S ＝1，第二次运算结果为S ＝1＋3＝4，第三次运算结果为S ＝1＋3＋5＝9，第四次运算结果为S ＝1＋3＋5＋7＝16，第五次运算结果为S ＝1＋3＋5＋7＋9＝25，此时运算结束，输出S ＝25.5．解：算法1：第一步，由②得y ＝7x －18.第二步，将第一步结果代入①得3x －2(7x －18)＝－2. 第三步，解第二步得到的方程，得x ＝3811. 第四步，将第三步的结果代入第一步，得y ＝6811. 第五步，⎩⎨⎧ x ＝3811y ＝6811.就是方程组的解．算法2：第一步，方程②两边都乘2得14x －2y ＝36.③ 第二步，用方程③－①得关于x 的方程11x ＝38.第三步，解第二步得到的方程得x ＝3811. 第四步，将x ＝3811代入方程②，求得y ＝6811. 第五步，⎩⎨⎧ x ＝3811y ＝6811.就是方程组的解．。

数字的运算规则数字的运算规则是数学中非常重要的基本知识，它涉及到我们日常生活和学习中各种计算问题的解决方法。

无论是加减乘除，还是更复杂的数学运算，都需要遵守一定的规则和原则。

下面将详细介绍数字的运算规则。

一、加法运算规则加法是最基本的数学运算之一。

在进行加法运算时，需要遵循以下规则：1. 加法的交换律：对于任意两个数a和b，a + b = b + a。

即加法运算中，加数的顺序可以交换，结果不变。

2. 加法的结合律：对于任意三个数a、b和c，(a + b) + c = a + (b +c)。

即加法运算中，多个数相加，可以任意加括号，结果不变。

3. 加法的零元素：对于任意数a，a + 0 = a。

即任何数与0相加，结果仍为该数本身。

二、减法运算规则减法是数学中与加法相对的运算。

在进行减法运算时，需要注意以下规则：1. 减法的定义：减法可以看作是加法的逆运算。

减法的结果是两个数相减的差。

2. 减法与加法的对应关系：a - b = a + (-b)，即减法可以通过加上对应的负数来完成。

三、乘法运算规则乘法是数学中另一个常见的运算。

在进行乘法运算时，需要遵循以下规则：1. 乘法的交换律：对于任意两个数a和b，a × b = b × a。

即乘法运算中，因数的顺序可以交换，结果不变。

2. 乘法的结合律：对于任意三个数a、b和c，(a × b) × c = a × (b ×c)。

即乘法运算中，多个数相乘，可以任意加括号，结果不变。

3. 乘法的分配律：对于任意三个数a、b和c，a × (b + c) = a × b + a × c，(a + b) × c = a × c + b × c。

四、除法运算规则除法是数学中与乘法相对的运算。

在进行除法运算时，需要注意以下规则：1. 除法的定义：除法是乘法的逆运算。

有理数的运算复习课（含答案）（一）、课前提问：1.四则（加减乘除）混合运算的顺序：先算_______，再算_______，如有括号，就先算__________.同级运算按照从_____往_____的顺序依次计算。

2.有理数的运算定律：______________________________________________. 加法交换律:a+b=b+a. 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).乘法交换律:ab=ba. 乘法结合律:(ab)c=a(bc)乘法分配律:a(b+c)=ab+ac.3.请观察下面的算式里有哪几种运算?3+50÷22×(-10)-1.这个算式里,含有有理数的加、减、乘、除、乘方等多种运算,这种运算称为有理数的混合运算.（二）、基础知识总结一、有理数的加法1.有理数的加法法则(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两数相加得0．(3)一个数与0相加，仍得这个数．2．有理数的加法运算律(1)交换律两数相加，交换加数的位置，和不变．a＋b＝b＋a(2)结合律三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)【基础知识讲解】1．有理数的加法法则，是进行有理数加法运算的依据，运算步骤如下：(1)先确定和的符号；(2)再确定和的绝对值．2．运算规律是：同号的两个数(或多个数)相加，符号不变，只把它们的绝对值相加即可．如(＋3)＋(＋4)＝＋(3＋4)＝＋7．(－3)＋(－4)＋(－13)＝－(3＋4＋13)＝－20．异号两数相加，首先要确定和的符号．取两数中绝对值较大的加数的符号，作为和的符号，用较大的绝对值减去较小的绝对值的差，作为和的绝对值．如(＋3)＋(－4)＝－(4－3)＝－1．3．运用有理数加法的运算律，可以任意交换加数的位置．把交换律和结合律灵活运用，就可以把其中的几个数结合起来先运算，使整个计算过程简便而又不易出错．二、有理数的减法有理数的减法运算根据计算法则转化为加法运算，再按加法的计算法则进行计算.将减法转化为加法时要同时改变两个符号：一是运算符号由“-”变为“+”；另一个是减数的性质符号.三、有理数的加减混合运算方法一：从左往右依次进行计算方法二：a.整理符号，减法换成加法b.分组计算，运用运算律简化1.在代数里，一切加法与减法运算，都可以统一成加法运算。

四十道人教版五年级上册简便运算1．脱式计算，能简算的要简算。

（1）5.2×4.6＋5.2×5.4（2）4.6×99（3）4.4＋5.6÷8（4）6.4÷0.8÷1.252．计算，能简算的要简算。

3.14×102 3.72×1.1＋3.72×8.94.3×68＋43×3.26.75÷[0.9÷（0.3×0.4）]36.45÷（0.82＋3.4×0.2）3．计算下面各题，能简算的要简算。

[8.6﹣（2.8﹣1.6）]÷3.7 2.5×0.8×4×1.25 6.08×3.6＋6.08×6.44．脱式计算，能简算的要简算。

19.2÷12.5÷87.5×9.9＋0.75（3－0.25）×425×3.48×0.45．计算下面各题，能简算要简算。

（1）24×10.2÷12（2）20.5÷2.5÷4（3）0.125×500×0.2×8 （4）6.83×7.5＋6.83×2.5（5）（4.7＋1.8）÷2.6×0.5（6）101×4.78－4.786．用简便方法计算。

12.5×7.4×8 3.6×48＋3.6×5228×0.25 5.6×99＋5.67．计算下面各题，能简算的要简算。

12.5×32×0.25100÷2.5÷0.413.14×0.96－3.14×0.96 （3.6＋3.6＋3.6＋3.6）×2.59.25÷0.25－3716.7＋2.52÷0.78．能简算的要简算。