2020年上海市交大附中高二(下)期中数学试卷

上海市交大附中2020届高三数学下学期期中试题〔含解析〕一． 填空题1.计算矩阵的乘积 : ()300c ab ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____. 【答案】(3,)a ac【解析】【分析】直接利用矩阵的乘积公式求解即可. 【详解】由题得()3(30,0)(3,)00c a b a b a c b a ac ⎛⎫=+⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭. 故答案为 : (3,)a ac【点睛】此题主要考查矩阵的乘积 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 , 属于基础题.2.计算 : 012393n n n n n n C C C C ++++=_____.【答案】4n【解析】【分析】先把原式写成0011223333n n n n n n C C C C ++++ , 再利用二项式定理得解. 【详解】由题得原式=0011223333(13)4n n n n n n n n C C C C ++++=+=. 故答案为 : 4n【点睛】此题主要考查二项式定理的应用 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.已知23sincos 223θθ+= , 那么sin θ=_____. 【答案】13【解析】【分析】 把等式23sin cos 223θθ+=两边同时平方化简即得解.【详解】由题得221sincos +2sin cos ,sin 2222343θθθθθ+=∴=. 故答案为 : 13【点睛】此题主要考查二倍角的正弦公式的应用 , 考查同角的平方关系的应用 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.假设双曲线2214x y m-=的焦距为6 , 那么该双曲线的虚轴长为_____. 【答案】25【解析】【分析】由题得243,m +=解方程即得解.【详解】由题得20,43,5m m m >+=∴=. 所以双曲线的虚轴长为25.故答案为 : 25【点睛】此题主要考查双曲线的简单几何性质 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 , 属于基础题.5.在首项为21 , 公比为12的等比数列中 , 最接近于1的项是第________项 【答案】5【解析】【分析】先求出等比数列的通项 , 再列举出数列的前几项 , 比拟即得解. 【详解】由题得等比数列的通项为112341212121=21(),21,,,,2248n n a a a a a -⨯∴==== 5621211.31,0.66,1632a a =≈=≈ 所以521 1.3116a =≈与1最接近. 所以最接近于1项是第5项.故答案为 : 5【点睛】此题主要考查等比数列的通项 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 , 属于基础题.6.如以下图 , 二面角l αβ--的大小是3π , 线段AB ⊂α , B l ∈ , AB 与l 所成的角为6π , 那么AB 与平面β所成的角是_____〔用反三角函数表示〕【答案】3arcsin4【解析】【分析】 如以下图 , 过点A 作AO β⊥,垂足为O ,过点A 作AC l ⊥ , 垂足为C ,连接,OB OC , 证明3ACO π∠=, 不妨设1,AC =根据已知求出32,,2AB AO ==求出3sin 4ABO ∠=即得解. 【详解】如以下图 , 过点A 作AO β⊥,垂足为O ,过点A 作AC l ⊥ , 垂足为C ,连接,OB OC . 因为AO β⊥ , 所以AO l ⊥ , 因为AC l ⊥ ,,AO AC ⊂平面AOC ,AO AC A ⋂=,所以l ⊥平面AOC , 所以l OC ⊥,所以ACO ∠就是二面角l αβ--的平面角 , 所以3ACO π∠=.由题得6ABC π∠=,不妨设31,2,,2AC AB AO =∴==由题得AB 与平面β所成的角是ABO ∠, 所以332sin 24ABO ∠==. 所以3arcsin 4ABO ∠=. 故答案为 : 3arcsin 4【点睛】此题主要考查空间二面角的平面角的作法和计算 , 考查空间直线和平面所成的角的作法和计算 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边 , 2a = , 且(2)(sin sin )b A B +-=()sin c b C - , 那么△ABC 面积的最大值为_____. 【答案】3【解析】【分析】由正弦定理化简已知可得222a b c bc -=- , 结合余弦定理可求A 的值 , 由基本不等式可求4bc , 再利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】因为(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-(2)()()b a b c b c ∴+-=-2222a b ab b c bc ∴-+-=- ,又因为2a = , 所以2222222221,,cos ,223b c a a b c bc b c a bc A A bc π+--=-∴+-=∴==∴= , ABC ∆面积13sin 24S bc A bc == , 而222b c a bc +-=222b c bc a ∴+-=2242b c bc bc bc ∴+-=≥-4bc ∴所以13sin 324S bc A bc == , 即ABC ∆面积的最大值为3．故答案为 : 3．【点睛】此题主要考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式和三角形面积公式在解三角形中的应用 , 考查了计算能力和转化思想 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．8.已知函数()lg(1)f x x =+ , ()g x 是以2为周期的偶函数 , 且当01x ≤≤时 , 有()g x =()f x , 那么函数()y g x = ([1,2]x ∈)的反函数是y =_____.【答案】310([0,lg2])x x -∈【解析】【分析】先根据偶函数性质求出[1x ∈- , 0]上的解析式 , 再根据周期为2求出[1x ∈ , 2]上的解析式 , 最后求出反函数．【详解】当10x -时 , 01x - , ()()(1)f x f x lg x ∴=-=-+ ,当12x 时 , 120x -- , ()(2)[(2)1](3)f x f x lg x lg x ∴=-=--+=-+．()(3)(12)g x lg x x ∴=-+ ,()310g x x ∴-+= , ()310g x x ∴=- ,所以1()310x g x -=- ,()(3)(12)g x lg x x =-+是减函数 ,()[0,lg 2]g x ∈所以1()310x g x -=- , (02)x lg .故答案为 : 310([0,lg2])x x -∈【点睛】此题主要考查反函数的求法 , 考查根据函数的奇偶性周期性求解析式 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知()y f x =是定义在R 上的函数 , 方程(2019)(2020-)0f x f x +⨯=恰好有7个解 , 那么这7个解的和为_____.【答案】3.5【解析】【分析】先分析出原方程的两根应满足(1)1αα+-= , 再得到原方程的这7个根为11,,1,,1,2ααββγλ---，,即得解.【详解】假设α满足(2019)0f α+= ,那么取1x α=- , 那么(2020)(2019)0f x f α-=+= , 那么1α-也是原方程的一根. 所以原方程的两根应满足(1)1αα+-= ,既然有7个根 , 所以应有一根满足1(1),2ααα=-∴=. 所以这7个根为11,,1,,1,2ααββγγ---，, 所以它们的和为13+=3.52. 故答案为 : 3.5 【点睛】此题主要考查方程的零点 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.设0.ab ••是一个循环节长度为两位的循环纯小数 , 其中a 和b 分别为10以内的非负整数 , 且a b , 0b ≠ , 假设集合••1{|0.,}A n ab n n *==∈N , 那么A 中所有元素的和为_____. 【答案】143【解析】【分析】由无限循环小数可写成等比数列的无穷项和 , 可得分数形式 , 再由列举法可得集合A , 求和可得所求．【详解】0.ab 是一个循环节长度为两位的循环纯小数 ,即0.0.ab =0.100.001991100ab a b ab ab ⨯+++⋯==- , 1{|0.A n ab n== , *110}{|99a b n N n n +∈== , *}n N ∈ , a 和b 分别为10以内的非负整数 , 且a b , 0b ≠ , 可得0a = , 1b = , 99n = ; 0a = , 3b = , 33n = ; 0a = , 9b = , 11n = ;0a ≠时 , 不存在满足题意的n ,那么A 中所有元素的和为993311143++=．故答案为 : 143【点睛】此题考查无限循环小数化为分数的方法和集合中元素的求法 , 注意运用列举法 , 考查化简运算能力 , 属于基础题．11.已知数列{}n a 满足1312n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数〔*n ∈N 〕 , 127k a =⋅〔k 是一个已知的正整数〕 , 假设存在*m ∈N , 当n m >且n a 为奇数时 , n a 恒为常数p , 那么p =_____.【答案】1【解析】【分析】先分析出当1k =时 , 当2k =时 , 得1p = , 再说明127k a =⋅时 , 17k a += , 222,k a +=列举出该数列 , 即得解.【详解】由题得127k a =⋅是一个偶数 , 所以112272722k k a a -=== , 当1k =时 , 234567897,22,11,34,17,52,26,13,a a a a a a a a ========101112131415161718192040,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,a a a a a a a a a a a =========== 211,a = , 所以1p = ; 当2k ≥时 , 1227k a -=是偶数 , 所以223272k a a -== , 当2k =时 , 同理可得1p = ;; 所以127k a =⋅时 , 17k a += , 222,k a +=所以从第1k +项起的数列为7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,所以1p =.故答案为 : 1【点睛】此题主要考查递推数列的性质 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.假设实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xy x y x y ++--+-=-+.那么xy 的最小值为____________ 【答案】1.4【解析】【分析】根据等式两边范围确定,x y 满足条件 , 再根据二次函数性质求xy 的最小值.【详解】∵()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+ , ∴10x y -+＞ , ()()()()2221121111111x y xy x y x y x y x y x y ++---++==-++-+-+-+ ()()11121211x y x y x y x y ∴-++≥-+⋅=-+-+, 当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号()22cos 12x y +-≥ , 当且仅当()1x y k k Z π+-=∈时取等号∴()()()2221122cos 12111x y xy x y x y x y ，即++--=+-=-+=-+且()1x y k k Z π+-=∈ ,即()12k x y k Z π+==∈ , 因此21124k xy π+⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭〔当且仅当0k =时取等号〕 , 从而xy 的最小值为1.4【点睛】在利用基本不等式求最值时 , 要特别注意〞拆、拼、凑〞等技巧 , 使其满足基本不等式中〞正〞(即条件要求中字母为正数)、〞定〞(不等式的另一边必须为定值)、〞等〞(等号取得的条件)的条件才能应用 , 否那么会出现错误.二． 选择题13.已知函数()y f x =是R 上的增函数 , 那么对任意12,x x ∈R , 〞12x x <〞是〞12()()f x f x <〞的〔 〕条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 非充分非必要【答案】C【解析】【分析】先证明充分性 , 再证明必要性 , 即得解.【详解】当12x x <时 , 因为函数()y f x =是R 上的增函数 , 所以12()()f x f x < , 所以〞12x x <〞是〞12()()f x f x <〞的充分条件 ;当12()()f x f x <时 , 因为函数()y f x =是R 上的增函数 , 所以12x x < , 所以所以〞12x x <〞是〞12()()f x f x <〞的必要条件. 综合得〞12x x <〞是〞12()()f x f x <〞的充分必要条件.应选 : C.【点睛】此题主要考查充分必要条件的判定 , 考查函数单调性的应用 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.已知11z ≠- ,111i 1z b z -=+〔b ∈R 〕 , 2141(+1)z z =- , 那么z 对应的点在〔 〕 A. 圆上B. 抛物线上C. 双曲线上D. 椭圆上【答案】B【解析】【分析】先求出214+1bi z b z =- , 再求出12221+1bi z b+=+ , 代入得22z b bi =-- , 设,z x yi =+即得解.【详解】由题得22111111122211111123(23)31341(+1)(+1)(+1)+1+1+1z z z z z z z z bi z z z z z z --+-+-+-+=-===-=-⋅ 211111444()+1+1+1z bi bi bi bi b z z z -+=-⋅=--⋅=-. 所以214+1bi z b z =- 因为111i 1z b z -=+ , 所以21112121i(1),1b bi z b z z b-+-=+∴=+. 所以12221+1bi z b+=+ , 代入214+1bi z b z =-得22z b bi =--. 设2,(,),,2z x yi x y R x b y b =+∈∴=-=- , 消去b 得24y x =-.所以z 对应的点在抛物线上.应选 : B【点睛】此题主要考查复数的运算和复数的轨迹问题 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.15.在平面直角坐标系中 , O 是坐标原点 , 两定点A , B 满足2OA OB OA OB ==⋅= , 由点集{P |OP ＝λOA ＋μOB , |λ|＋|μ|≤1 , λ , μ∈R }所表示的区域的面积是( )A. 22B. 23C. 42D. 43【答案】D【解析】由2OA OB OA OB ==⋅=知 :21cos ,,,2223OA OB OA OB OA OBOA OBπ⋅===∴=⨯⨯. 不妨设()()()2,0,1,3,,OA OB OP x y === , 那么 : 23x y λμμ=+⎧⎪⎨=⎪⎩.解得3123y y x μλ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩由|λ|＋|μ|≤1得3223x y y -+≤.作出可行域 , 如以下图． 那么所求面积1243432S =⨯⨯⨯=. 此题选择D 选项.16.已知1a , {}234,,1,2,3,4a a a ∈ , ()1234,,,N a a a a 为1234,,,a a a a 中不同数字的种类 ,如(1123)3N ，，，，=(1221)2N =，，， , 求所有的256个()1234,,,a a a a 的排列所得的()1234,,,N a a a a 的平均值为〔 〕A.8732B.114C.17764D.17564【答案】D 【解析】 【分析】此题首先可以确定()1234,,,N a a a a 的所有可能取值分别为1234、、、 , 然后分别计算出每一种取值所对应的概率 , 最后根据每一种取值所对应的概率即可计算出()1234,,,N a a a a 的平均值．【详解】由题意可知 :当()1234,,,1N a a a a =时 , 14114464P =⨯= ; 当()1234,,,2N a a a a =时 , ()1214442468421425664C C C P ⨯++=== ;当()1234,,,3N a a a a =时 , ()34436+3+31449425616P ⨯=== ; 当()1234,,,4N a a a a =时 , 4444243==425632A P = ,综上所述 , 所有的256个()1234,,,a a a a 的排列所得的()1234,,,N a a a a 的平均值为 :121931751+2+3+4=6464163264⨯⨯⨯⨯ , 应选D ． 【点睛】此题考查了平均值的计算 , 能否通过题意得出()1234,,,N a a a a 的所有可能情况并计算出每一种可能情况所对应的概率是解决此题的关键 , 考查推理能力与计算能力 , 是难题． 三． 解答题17.如以下图 , 用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥 , 放在水平桌面上 , 被一阵风吹倒．〔1〕求该圆锥的外表积S 和体积V ;〔2〕求该圆锥被吹倒后 , 其最高点到桌面的距离d ． 【答案】〔1〕=50S π厘米 , 12533V π=立方厘米 ; 〔2〕53h =厘米． 【解析】 【分析】〔1〕设底面半径为r 厘米 , 母线的长为l 厘米 , 求出圆锥的高 , 利用公式即可求出该圆锥的外表积S 和体积V ;〔2〕根据圆锥的轴截面为等边三角形 , 且边长为10厘米即可求出最高点到桌面的距离d ．【详解】〔1〕设底面半径为r 厘米 , 母线的长为l 厘米 , 那么10l =厘米 , 且r l 2π=π , 解得 : =5r 厘米 ,外表积=50S rl ππ=〔平方厘米〕 , 圆锥的高2253h l r =-=〔厘米〕 , ∴体积21125333V r h ππ==〔立方厘米〕． 〔2〕∵圆锥的轴截面为等边三角形 , 且边长为10厘米 , ∴最高点到底面的距离为等边三角形的高 , 53h =厘米．【点睛】此题主要考查圆锥的外表积和体积的计算 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.已知函数()sin()f x A x b ωϕ=++〔0A > ,, 2πϕ<〕的图象如以下图所示〔1〕求出函数()f x 的解析式 ; 〔2〕假设将函数()f x 的图象向右移动3π个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的14〔纵坐标不变〕得到函数()y g x =的图象 , 求出函数()y g x =的单调增区间及对称中心. 【答案】〔1〕1()4sin()223f x x π=++ ;〔2〕[,],36k k k Z ππππ-+∈ , (,2),212k k Z ππ-∈.【解析】 【分析】〔1〕通过函数的图象求出振幅 , 周期 , 以及b ．求出函数f 〔x 〕的解析式 ;〔2〕利用平移变换的运算求出函数y ＝g 〔x 〕的解析式 , 通过正弦函数的单调增区间求解函数单调增区间及对称中心． 【详解】〔1〕 6422A b A A b b +==⎧⎧⇒⎨⎨-+=-=⎩⎩由图可得212422T T πππωω=⇒==⇒= 且()62,362f k k Z πππϕπ=⇒+=+∈而2πϕ<,故3πϕ=综上1()4sin()223f x x π=++〔2〕显然()4sin(2)26g x x π=++由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得()g x 的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈.. 由2,(,2),6212k x k k Z k Z ππππ+=∈⇒-∈. 【点睛】此题考查三角函数的解析式的求法 , 平移变换以及正弦函数的单调区间 , 对称中心的求法 , 考查计算能力．19.假设函数()y f x =满足〞存在正数λ , 使得对定义域内的每一个值1x , 在其定义域内都存在2x , 使12()()f x f x λ=成立〞 , 那么称该函数为〞依附函数〞．〔1〕分别判断函数①()2x f x = , ②2()log g x x =是否为〞依附函数〞 , 并说明理由 ; 〔2〕假设函数()y h x =的值域为[,]m n , 求证 : 〞()y h x =是‘依附函数’〞的充要条件是〞0[,]m n ∉〞．【答案】〔1〕①是 , ②不是 ; 理由详见解析〔2〕详见解析． 【解析】 【分析】〔1〕①可取1λ= , 说明函数()2x f x =是〞依附函数〞 ; ②对于任意正数λ , 取11x = , 此时关于2x 的方程12()()g x g x λ=无解 , 说明2()log g x x =不是〞依附函数〞 ;〔2〕先证明必要性 , 再证明充分性 , 即得证.【详解】〔1〕①可取1λ= , 那么对任意1x ∈R , 存在21x x =-∈R , 使得12221x x ⋅=成立 ,〔说明 : 可取任意正数λ , 那么221log x x λ=-〕 ∴()2x f x =是〞依附函数〞 ,②对于任意正数λ , 取11x = , 那么1()0g x = ,此时关于2x 的方程12()()g x g x λ=无解 , ∴2()log g x x =不是〞依附函数〞． 〔2〕必要性 : 〔反证法〕假设0[,]m n ∈ ,∵()y h x =的值域为[,]m n , ∴存在定义域内的1x , 使得1()0h x = , ∴对任意正数λ , 关于2x 的方程12()()h x h x λ=无解 , 即()y h x =不是依附函数 , 矛盾 , 充分性 : 假设0[,]m n ∉ , 取0mn λ=> ,那么对定义域内的每一个值1x , 由1()[,]h x m n ∈ , 可得1[,][,]()m n h x n mλλλ∈= , 而()y h x =的值域为[,]m n , ∴存在定义域内的2x , 使得21()()h x h x λ= , 即12()()h x h x λ=成立 ,∴()y h x =是〞依附函数〞．【点睛】此题主要考查函数的新定义 , 考查充分必要条件的证明 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.如以下图 , 已知点P 是x 轴下方〔不含x 轴〕一点 , 抛物线2:C y x =上存在不同的两点A 、B 满足PD DA λ= , PE EB λ= , 其中λ为常数 , 且D 、E 两点均在C 上 , 弦AB 的中点为M ．〔1〕假设P 点坐标为(1,2)- , 3λ=时 , 求弦AB 所在的直线方程 ;〔2〕在〔1〕的条件下 , 如果过A 点的直线1l 与抛物线C 只有一个交点 , 过B 点的直线2l 与抛物线C 也只有一个交点 , 求证 : 假设1l 和2l 的斜率都存在 , 那么1l 与2l 的交点N 在直线PM 上 ;〔3〕假设直线PM 交抛物线C 于点Q , 求证 : 线段PQ 与QM 的比为定值 , 并求出该定值．【答案】〔1〕230x y -+= ; 〔2〕详见解析 ; 〔3〕证明详见解析 , 定值为1+λλ． 【解析】 分析】〔1〕设11(,)A x y , 22(,)B x y , 得到211230x x --=和222230x x --= , 即得,A B 的坐标 , 即得弦AB 所在的直线方程 ;〔2〕先求出1:690l x y --= , 2:210l x y ++= , 再求出交点(1,3)N - , 即得证 ;〔3〕先求出直线PM 的方程为0x x = , 得到200(12)(1)M x y y λλλ+-+= , 20Q y x = , 即得线段PQ 与QM 的比.【详解】〔1〕设11(,)A x y , 22(,)B x y , 由3PD DA = , 3PE EB = ,可得111323(,)44x y D +-+ , 221323(,)44x y E +-+ , 由D 点在C 上可得 :2112313()44y x -++= , 化简得 : 211230x x --= , 同理可得 : 222230x x --= ,∵A 、B 两点不同 , 不妨设(3,9)A , (1,1)B - , ∴弦AB 所在的直线方程为230x y -+=．〔2〕由〔1〕可知 , (3,9)A , (1,1)B - , 设11:9(3)l y k x -=- , 与2:C y x =联立 , 并令0∆= , 可得16k = , 同理2l 的斜率22k =- , ∴1:690l x y --= , 2:210l x y ++= ,解方程组得交点(1,3)N - , 而直线PM 的方程为1x = , 得证．〔3〕设00(,)P x y , 211(,)A x x , 222(,)B x x , 由PD DA λ= , 得20101(,)11x x y x D λλλλ++++ ,代入2yx , 化简得 : 22101002(1)0x x x y x λλλ-++-= , 同理可得 : 22202002(1)0x x x y x λλλ-++-= ,显然12x x ≠ , ∴1x 、2x 是方程220002(1)0x x x y x λλλ-++-=的两个不同的根 ,∴1202x x x += , 20012(1)y x x x λλ+-⋅=,∴1202M x x x x +== , 即直线PM 的方程为0x x = , ∵2220012(12)(1)2M x y x x y λλλ+-++==, 20Q y x = , ∴200(1)(1)M Q x y y y λλλ+-+-=, 200Q P y y x y -=- ,所以线段PQ 与QM 的比为200200(1)(1)1Q PM Q y y x y y x y y λλλλλ-==+-+--+∴线段PQ 与QM 的比为定值1λλ+．【点睛】此题主要考查直线和抛物线的位置关系 , 考查直线方程的求法 , 考查抛物线的定值问题 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.设{}n a 是公差不为零的等差数列 , 满足6713a a a += , 2224967a a a a +=+ , 设正项数列{}n b 的前n 项和为n S , 且423n n S b +=．〔1〕求数列{}n a 和{}n b 的通项公式 ;〔2〕在1b 和2b 之间插入1个数11x , 使1b 、11x 、2b 成等差数列 ; 在2b 和3b 之间插入2个数21x 、22x , 使2b 、21x 、22x 、3b 成等差数列 ; ⋅⋅⋅ ; 在n b 和1n b +之间插入n 个数1n x 、2n x 、⋅⋅⋅、nn x , 使n b 、1n x 、2n x 、⋅⋅⋅、nn x 、1n b +成等差数列．① 求11212212n n n nn T x x x x x x =+++++++ ;② 对于①中的n T , 是否存在正整数m 、n , 使得12m n ma T a +=成立 ？假设存在 , 求出所有的正整数对(,)m n ; 假设不存在 , 请说明理由． 【答案】〔1〕n a n = , 1123n nb -=⋅ ; 〔2〕①123(3)43n nn T +=- ; ②存在符合题意的正整数对(,)m n , 它们为(3,3)和(9,2)． 【解析】 【分析】〔1〕求出等差数列的首项和公差即得数列{}n a 的通项公式 , 由题得当2n ≥时 ,423n n S b += , 11423n n S b --+= , 相减即得{}n b 的通项公式 ;〔2〕①1223112()()()222n n n nT b b b b b b +=++++++ , 再利用错位相减法求和得解 ; ②假设存在正整数,m n , 使得12m n m a T a +=, 化简得2(23)23(23)n n m n +=+-+ , 令()33(23)n f n n =-+ , 证明4n ≥时 ,2(23)3(23)nn n +∉-+Z , 列举得解. 【详解】〔1〕设数列{}n a 的公差为()d d ≠0 , 那么由6713a a a +=可得1a d = ,再由2224967a a a a +=+化简得 : 244d d = , 解得 : 1d = , ∴n a n = ,当1n =时 , 11423S b +=得 : 112b =; 当2n ≥时 , 423n n S b += , 11423n n S b --+= ,两式相减得113n n b b -=, ∴1123n n b -=⋅．〔2〕①1223112()()()222n n n nT b b b b b b +=++++++ ,123121113521[35(21)][1]243333n n n n n nb b b n b nb +--=++++-+=+++++ , 设2135211333n n P --=++++ ,所以2311352133333nn P -=++++, 上面两式错位相减得23122222211++333333n nn P --=+++-, 所以1111[1()]2211211331+22()=2()(22)13333313n n n n n n n P n -----=⨯-=---⨯+- 所以13313=333n n n n P -++=-- , ∴123(3)43n n n T +=-． ②假设存在正整数,m n , 使得12m n ma T a +=, 代入化简得23(23)3n nn m -+= , 即2(23)23(23)n n m n +=+-+ , 令()33(23)n f n n =-+ ,那么由(1)()2(33)0n f n f n +-=-≥可得 : (1)(2)(3)(4)()f f f f f n =<<<<<．当4n ≥时 , ()(4)480f n f ≥=> ,∴3(23)2(23)n n n -+>+ , 即2(23)3(23)nn n +∉-+Z , 舍去 ; 当1n =时 , 3m =- , 舍去 ; 当2n =时 , 9m = , 符合题意 ;当3n =时 , 3m = , 符合题意 ;综上 : 存在符合题意的正整数对(,)m n , 它们为(3,3)和(9,2)．【点睛】此题主要考查数列通项的求法和数列求和 , 考查数列的存在性问题的求解 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

2023-2024学年上海大学附中高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.抛物线C的方程为y2=tx，(t>0)，焦点为F，点A(3,m)为C上一点，且|AF|=4，则t的值为( )A. 1B. 2C. 4D. 82.某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为( )A. 180B. 120C. 90D. 2403.下列命题正确的有( )个．(1)函数f(x)在R上存在导函数.且f(x)在R上为严格增函数.则f′(x)>0对所有的x∈R恒成立(2)周期函数f(x)在R上存在导函数，则导函数f′(x)也为周期函数(3)定义在R上的函数f(x)，满足f(0)=0且f′(x)>2对所有的x∈R恒成立，则f(x)>2x对所有x>0恒成立A. 3B. 2C. 1D. 04.已知圆(x+2)2+y2=9的圆心为C，过点M(2,0)且与x轴不重合的直线l交圆C于A、B两点，点A在点M 与点B之间，过点M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹是( )A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分二、填空题：本题共12小题，共54分。

5.已知等差数列{a n}，a1+a7=8，则a4=______．6.已知直线l的方程为2x+y+1=0，则直线l的倾斜角为______．7.函数f(x)=xe x的极值点为______．8.若排列数P m6=6×5×4，则m=______．9.已知空间向量a=(x,1,−2)与b=(1,−1,2)夹角为钝角，则实数x的取值范围为______．10.若无论实数a取何值，直线ax−y+1=0与圆x2+y2=r2(r>0)恒有交点，则r的取值范围为______．11.已知全集U={1,2}，集合A，B为U的子集，则有序集合(A,B)一共有______组.12.关于x的方程lnx=kx2(k∈R)有两个不同实数根，则k的取值范围是______．13.若函数f(x)=cosxsinx+acosx在[0,π]上为严格增函数，则实数a的取值范围为______．14.给定数列{a n},a n=−n2+9n−18，则对所有m<n(m,n∈N,m,n>0)，S n−S m最大值为______．15.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，椭圆C的弦ST与UV分别平行于x轴与y轴，且相交于点P.已知线段PU，PS，PV，PT的长分别为1，2，3，6，则△PF1F2的面积为______．16.已知空间向量a ,b ,c ,e 均为单位向量，且a 与b 夹角为π2,a 与c 夹角为π3，则a ⋅e +2b ⋅e +3c ⋅e 的最大值为______．三、解答题：本题共5小题，共78分。

所成角的取值范围是（ ）
3
A.
12
,
5 12
B.
12
,
7 12
C.
12
,
2
D.
6
,
2
15.如图， N 、 S 是球 O 直径的两个端点，圆 C1 是经过 N 和 S 点的大圆，圆 C2 和圆 C3 分别是所在平面与
NS 垂直的大圆和小圆，圆 C1 和 C2 交于点 A 、 B ，圆 C1 和 C3 交于点 C 、 D ，设 a 、b 、c 分别表示圆C1
的最小值为______.
8.如右图所示的几何体 ABCDEF 中，ABCD 是平行四边形且 AB CF ，六个顶点任意两点连线能组成异
面直线的对数是______.
9.直线 l 在平面 上，直线 m 平行于平面 ，并与直线 l 异面，动点 P 在平面 上，且到直线 l 、m 距离相
等，则点 P 的轨迹为______（如：直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线） 10.如图，已知正方体 ABCD − A1B1C1D1 棱长为 4，点 H 在棱 AA1 上，且 HA1 = 1，在侧面 BCC1B1 内作边 长为 1 的正方形 EFGC1 ， P 是侧面 BCC1B1 内一动点，且点 P 到平面 CDD1C1 距离等于线段 PF 的长，则 当点 P 运动时， HP 2 的范围是______.
2.给出下列命题： ①三条平行直线最多可以确定三个平面； ②任意三点确定一个平面； ③不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行； ④一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行. 其中，说法正确的有_____（填序号）.
3.若异面直线 a ， b 所成的角为 70 ，则过空间上任一点 P 可 CND 的弧长、圆 C2 上半圆弧 AB 的弧长、圆 C3 上半圆弧 CD 的弧长，则 a 、 b 、 c 的大小关系为

2019-2020学年上海市上海交通大学附属中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形有（ ）个（1）（2）（3）（4）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】根据直线和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解】（1）如图，连接AC ，易知//AC MN ，//BC NP ，,AC BC C MN NP N ⋂=⋂=,故平面//MNP 平面ABC ，AB Ì平面ABC ，故//AB 平面MNP ，（1）正确；（2）如图，连接AE ，易知//AE NP ，由线面平行的判定定理可得//AE 平面MNP ，若//AB 平面MNP ，则平面//ABE 平面MNP ，故//BE 平面MNP ，不成立，故（2）错误；（3）如图，易知//BE PN ，若//AB 平面MNP ，则平面//ABE 平面MNP ，故//BE 平面MNP ，不成立，故（3）错误；（4）如图，连接EF ，易知//AB EF ，//NP EF ，故//AB NP ，故由线面平行的判定定理可得//AB 平面MNP ，故（4）正确.故选：B .【点睛】本题考查了线面平行，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.2．如图两正方形ABCD ，CDFE 所在的平面垂直，将EFC ∆沿着直线FC 旋转一周，则直线EC 与AC 所成角的取值范围是（ ）A ．5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】可证得AF AC CF ==，故3ACF π∠=，4ECF π∠=，当EFC ∆沿着直线FC 旋转一周，CEA ECF FCA ∠≤∠+∠，且CEF ACF ECF ∠≥∠-∠，结合线线角的取值范围即得解.【详解】如下图所示，连接AF ，因为正方形ABCD 和CDFE ，则AD CD ⊥，FD CD ⊥，AD DC DF ==又因为面ABCD ⊥面CDFE ，面ABCD I 面CDFE CD =，则AD ⊥面CDFE ，因此AD DF ⊥.因此222AF AD DF =+，222AC AD DC =+，222CF CD DF =+，则AF AC CF ==， 因此3ACF π∠=因为4ECF π∠=， 则当EFC ∆沿着直线FC 旋转一周，712CEA ECF FCA π∠≤∠+∠= 12CEF ACF ECF π∠≥∠-∠=，当CEF ∠为锐角或直角时，直线EC 和AC 所成角的等于CEF ∠当CEF ∠为钝角时，直线EC 和AC 所成的角等于CEF ∠的补角因此直线EC 和AC 所成的角的取值范围是,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 故选：C .【点睛】本题考查了空间中直线与直线的夹角，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.3．如图，N ，S 是球O 直径的两个端点，圆1C 是经过N 和S 点的大圆，圆2C 和圆3C 分别是所在平面与NS 垂直的大圆和小圆，圆1C ，2C 交于点A ，B ，圆1C ，3C 交于点C ，D ．设a ，b ，c 分别表示圆1C 上劣弧CND 的弧长，圆2C 上半圆弧AB 的弧长，圆3C 上半圆弧CD 的弧长，则a ，b ，c 的大小为（ ）A ．b a c >=B ．b c a =>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】D 【解析】设球的半径为,2(0)2R COD παα∠=<<，求出=2sin ,,sin CD R b R c R αππα==，可得,b c >再根据球面距离的定义可得c a >，得出结论.【详解】 设球的半径为,2(0),2sin 2R COD CD R πααα∠=<<=，则,sin b R c R ππα==，则,b c > a 是圆1C 上劣弧CND 的弧长，而圆1C 是大圆，a 是CD 在球面上距离，c 是圆3C 上半圆弧CD 的弧长， 由球面距离的定义可知c a >，所以b c a >>.故选:D【点睛】本题以球为背景，考查比较弧长大小，以及球面距离的定义，属于中档题.4．三条直线两两异面，有几条直线同时与这三条直线相交（ ）A ．一条B ．两条C ．无数条D ．没有【答案】C【解析】如图所示：正方体1111ABCD A B C D -中，11A B ，BC ，1DD 两两异面，取1DD 上一点P ，则11PA B 确定平面α，使平面α与BC 交于2C ，则2PC 与11A B 必相交，得到答案.【详解】如图所示：正方体1111ABCD A B C D -中，11A B ，BC ，1DD 两两异面，取1DD 上一点P ，则11PA B 确定平面α，使平面α与BC 交于2C ，则2PC 与11A B 必相交，有无穷多个点P 满足条件，故有无穷多条直线.故选：C .【点睛】本题考查了空间中直线的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.二、填空题5．若P l ∈，P α∈，Q l ∈，Q α∉，则直线l 与平面α有_____个公共点；【答案】1【解析】根据已知条件判断出直线l 与平面α相交，由此确定直线l 与平面α的公共点个数.【详解】由于P l ∈，P α∈，所以直线l 与平面α有公共点，而Q l ∈，Q α∉，所以直线l 与平面α相交，故直线l 与平面α的公共点个数为1个.故答案为：1【点睛】本小题主要考查直线和平面的位置关系，属于基础题.6．给出下列命题：①任意三点确定一个平面；②三条平行直线最多可以确定三个个平面；③不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行；④一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；其中说法正确的有_____（填序号）.【答案】②③【解析】对四个选项进行逐一分析即可.【详解】对①：根据公理可知，只有不在同一条直线上的三点才能确定一个平面，故错误； 对②：三条平行线，可以确定平面的个数为1个或者3个，故正确；对③：垂直于同一个平面的两条直线平行，故正确；对④：一个平面中，只有相交的两条直线平行于另一个平面，两平面才平行，故错误. 综上所述，正确的有②③.故答案为：②③.【点睛】本题考查立体几何中的公理、线面平行的判定，属综合基础题.7．若异面直线a ，b 所成的角为70︒，则过空间上任一点P 可做不同的直线与a ，b 所成的角都是55︒，可做直线有______条.【答案】3【解析】将异面直线a ，b 平移过点P ，此时,a b 确定一个平面α，当c α⊂时，有1条直线，当α⊄c 时，有2条直线满足，得到答案.【详解】将异面直线a ，b 平移过点P ，此时,a b 确定一个平面α，当c α⊂时，有1条直线满足所成的角为55︒.当α⊄c 时，根据对称性知有2条直线满足所成的角为55︒.故共有3条直线满足条件.故答案为：3.【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力.8．平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知底面四边形ABCD 为正方形，且113A AB A AD π∠=∠=，其中，设1AB AD ==，1AA c =，体对角线12AC=，则c 的值是______.【答案】13+ 【解析】根据11AC AB AD AA =+-u u u r u u u r u u u r u u u r ，平方得到2224c c +-=，计算得到答案. 【详解】11AC AB AD AA =+-u u u r u u u r u u u r u u u r ， 故2222211111222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AA AB AD AA =+-=+++⋅-⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2224c c =+-=，解得31c =+.故答案为：31+.【点睛】本题考查了平行六面体的棱长，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9．如图，在三棱锥A BCD -中，底面是边长为2的正三角形，4AB AC AD ===，且E ，F 分别是BC ，AD 中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为__________．【答案】41015【解析】连结DE ，到DE 中点P ，连结PF 、PC ，则PF ∥AE ，从而∠PFC 是异面直线AE 和CF 所成角的余弦值，由此能求出异面直线AE 和CF 所成角的余弦值.【详解】解：因为三棱锥A −BCD 中，底面是边长为2的正三角形，AB ＝AC ＝AD ＝4， 所以三棱锥A −BCD 为正三棱锥；连结DE ，取DE 中点P ，连结PF 、PC ，∵正三棱锥A −BCD 的侧棱长都等于4，底面正三角形的边长2，点E 、F 分别是棱BC 、AD 的中点，∴PF ∥AE ，∴∠PFC 是异面直线AE 和CF 所成角的余弦值，2222=4115,213AE DE -=-=222161647cos 22448AC AD CD CAF AC AD +-+-∠===⨯⨯⨯⨯， 2274224268CF =+-⨯⨯⨯=， 2211537122PF AE PC ⎛⎫===+= ⎪ ⎪⎝⎭， 157641044cos 15262PFC +-∴∠==⨯⨯∴异面直线AE 和CF 所成角的余弦值为41015. 故答案为：1015. 【点睛】 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，关键是利用线线平行将异面直线所成的角转化为两相交直线所成的角，是中档题.10．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是正方形11BB C C 的中心，M 为11C D 的中点，过1A M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为______. 【答案】26 【解析】确定平面1A MCN 即为平面α，四边形1A MCN 是菱形，计算面积得到答案.【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA ， 则平面1A MCN 即为平面α．证明如下：由正方体的性质可知，1A M NC P ，则1A ，,,M CN N 四点共面， 记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥．连接EF ，则EF MC ⊥， 所以MC ⊥平面DEF ，则DE MC ⊥．同理可证，DE NC ⊥，NC MC C =I ，则DE ⊥平面1A MCN ， 所以平面1A MCN 即平面α，且四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面．因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形，其对角线123AC =，22MN =，所以其面积12223262S =⨯⨯=． 故答案为：26【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1A C 上运动，异面直线BP 与1AD 所成的角为θ，则θ的最小值为______.【答案】30o【解析】设正方体边长为1，如图所示：连接1BC ，1PC ，1A B ，根据对称性知：1PB PC m ==， 计算62PB ∈⎣，23cos 22m θ=≤，得到答案. 【详解】设正方体边长为1，如图所示：连接1BC ，1PC ，1A B ，根据对称性知：1PB PC m ==， 在1Rt A BC V 中，1BC =，12A B =，13AC =，当1PB A C ⊥时，根据等面积法63PB =， 故62PB m =∈⎣， 易知11//AD BC ，故1PBC ∠为异面直线BP 与1AD 所成的角，2223cos 2222m mθ==≤，故30θ≥︒. 故答案为：30°.【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.AE CF，六个顶点任12．如图所示的几何体ABCDEF中，ABCD是平行四边形且//意两点连线能组成异面直线的对数是__________．【答案】39【解析】根据三棱锥的结构特征可得：每个三棱锥中有三对异面直线，因为六个点一共形成C64﹣2＝13个三棱锥（计算三棱锥的个数时应该做到不重不漏），所以得到答案为3（C64﹣2）＝39．【详解】解：由题意可得：因为题中共有六个点，所以一共形成C64﹣2＝13个三棱锥，又因为每个三棱锥中有三对异面直线，所以异面直线的对数是3（C64﹣2）＝39．故答案为39．【点睛】本题把排列组合和立体几何挂起钩来，因此解决此类问题的关键是熟练掌握立体几何中一共几何体的结构特征，并且结合排列与组合的有关知识解决问题．13．直线l在平面α上，直线m平行于平面α，并与直线l异面，动点P在平面α上，且到直线l、m距离相等，则点P的轨迹为______（如：直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线） 【答案】双曲线【解析】如图所示：设直线m 在平面α内的投影为'm ，m 和'm 的距离为d ，得到222PA PB d =+，以l 和'm 的交点为原点，以l 和'm 的角平分线为y 轴建立直角坐标系，化简得到()2214k d xy k+=，得到答案.【详解】如图所示：设直线m 在平面α内的投影为'm ，m 和'm 的距离为d ，作PA l ⊥于A ，'PB m ⊥于B ，BC m ⊥于C ，故2222PA PC PB BC ==+， 即222PA PB d =+，以l 和'm 的交点为原点，以l 和'm 的角平分线为y 轴建立直角坐标系，设(),P x y ，:l y kx =-，':m y kx =，0k >，故()()2222211kx y kx y d kk+-=+++，化简得到：()2214k d xy k+=，故为双曲线.故答案为：双曲线.【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.14．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =，在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1,EFGC P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，2HP 的范围是_______.【答案】11322,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】建立空间直角坐标系,根据P 在11BCC B 内可设出P 点坐标.作'HM BB ⊥,连接PM ,可得222HP HM MP =+.作'PN CC ⊥根据空间中两点间距离公式即可求得2HP 的范围.【详解】根据题意,以D 为原点建立空间直角坐标系如下图所示:作'HM BB ⊥交'BB 于M,连接PM 则HM PM ⊥作'PN CC ⊥交'CC 于N,则PN 即为点P 到平面11CDD C 距离设(),4,P x z ,则()()()1,4,3,4,4,3,0,4,F M N z ()04,04x z ≤≤≤≤ 由题意点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长 所以PN PF =由两点间距离公式可得()()2213x x z =-+-化简得()2213x z -=-,则210x -≥解不等式可得12x ≥综上可得142x ≤≤ 则在Rt HMP ∆中222HP HM MP =+()()222443x z =+-+- ()224421x x =+-+- ()2322x =-+142x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭所以211322,4HP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 故答案为: 11322,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了空间直角坐标系的综合应用,利用空间两点间距离公式及二次函数求最值,属于难题.15．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC AC a ===，1AA b =，若该三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，且2a b +=，则该球的表面积的最小值为______. 【答案】167π 【解析】如图所示：1O ，2O 分别为111A B C △和ABC V 的中心，易知球心O 为12O O 中点，R =276416412777S a ππ⎡⎤⎛⎫=-+≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，得到答案. 【详解】如图所示：1O ，2O 分别为111A B C △和ABC V 的中心，易知球心O 为12O O 中点，在2Rt AOO △中：2AO =，22b OO =，故R =，故()2222222764164444343412777a a b a S R a πππππ⎛⎫⎡⎤-⎛⎫⎛⎫==+=+=-+≥ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，故该球的表面积的最小值为167π. 当67a =，87b =时等号成立. 故答案为：167π.【点睛】本题考查了三棱柱的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.16．已知异面直线a ，b 所成角为60︒，直线AB 与a ，b 均垂直，且垂足分别是点A ，B ,若动点P a ∈，Q b ∈，PA QB m +=，则线段PQ 中点M 的轨迹围成的区域的面积是_______.【答案】234m . 【解析】线段AB 的中垂面为α，易知M α∈，a 在平面α的投影为'a ，b 在平面α的投影为'b ，设',',a b AB 相交于点O ，M 为''P Q 中点，以O 为原点，'b 为x 轴建立直角坐标系，得到24233y yx m +=，讨论得到答案. 【详解】如图所示：线段AB 的中垂面为α，易知M α∈，a 在平面α的投影为'a ，b 在平面α的投影为'b ，设','.a b AB 相交于点O .Q 在平面α的投影为'Q ，P 在平面α内的投影为P'，连接''P Q ，则M 为''P Q 中点，以O 为原点，'b 为x 轴建立直角坐标系，设(),M x y ，()',0Q q ，13'2P p p ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则243q p x py ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得323p q x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故24233y yx m +=，当3y x ≥，0y ≥时，23x m -=；当3y x ≥，0y <时，23x m --=； 当3y x <，0y ≥时，23x m +=；当3y x <，0y <时，23x m -=. 如图所示，解得,02m G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,02m I ⎛⎫⎪⎝⎭，3,4m m H ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,4m m J ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 故面积为21333222444m m m m S m ⎛⎫⎛⎫=⋅++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：234m .【点睛】本题考查了异面直线夹角，轨迹问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三、解答题17．现有四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是a ，高是b ；2号容器的底面边长是b ，高是a ；3号容器的底面边长是a ，高是a ；4号容器的底面边长是b ，高是b .假设a b ¹，问是否存在一种必胜的4选2的方案（与,a b 的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由.【答案】存在，选择3号和4号容器.【解析】分别计算出四个容器的体积，可求得()()233220a b a b b a a b a b +--=+->，从而得到必胜方案，即选择3号和4号容器. 【详解】1号容器体积为：2a b ；2号容器体积为：2b a ；3号容器体积为：3a ；4号容器体积为：3b a b ≠Q()()()()()23322220a b a b b a a b a ab b ab a b a b a b ∴+--=+-+-+=+->∴存在必胜方案，即选择3号和4号容器【点睛】本题考查与棱柱体积有关的计算问题，关键是能够进行因式分解得到恒大于零的式子，从而得到所求方案.18．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1122AB AA BC ===，P ，Q 分别为11B C 与1BB 中点.（1）经过P ，Q 作平面α，平面α与长方体1111ABCD A B C D -六个表面所截的截面可能是n 边形，请根据n 的不同的取值分别作出截面图形形状（每种情况找一个代表类型，例如3n =只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹；（2）若R 为直线AD 上的一点，且2AR =，求过PQR 截面图形的周长. 【答案】（1）见解析；（2）4522【解析】（1）画出截面图得到答案.（2）画出截面图，计算线段长度得到周长. 【详解】 （1）（2）如图所示：,,M N H 分别为111,,AB DD D C 的中点，易知//RN PQ ，确定平面α， 易知////RM NQ HP ，NQ α⊂，P α∈，N α∈，Q α∈，R α∈，故H α∈，M α∈.5PQ NR RM HP ====，2MQ NH ==，故周长为4522+.【点睛】本题考查了长方体的截面问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19．如图，圆锥的顶点是S ，底面中心为O ，OC 是与底面直径AB 垂直的一条半径，D 是母线SC 的中点.（1）求证：BC 与SA 不可能垂直；（2）设圆锥的高为4，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为26，求圆锥的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）163π 【解析】（1）假设BC SA ⊥，得到AB BC ⊥，不成立，得到证明.（2）如图所示：延长CO 与圆交于点E ，连接AE ，D 在底面的投影为OC 中点F ， 易知//BC EA ，故DAE ∠为异面直线AD 与BC 所成角，根据余弦定理解得2r =，计算得到体积. 【详解】（1）假设BC SA ⊥，易知SO ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，故SO BC ⊥， 故BC ⊥平面SOA ，AB Ì平面SOA ，故AB BC ⊥，不成立，故假设不成立.BC 与SA 不可能垂直.（2）如图所示：延长CO 与圆交于点E ，连接AE ，D 在底面的投影为OC 中点F ， 易知//BC EA ，故DAE ∠为异面直线AD 与BC 所成角，设底面半径为r ， 在ADE V 中：2AE r =，2944DE r =+2222544DA OF OA FO r =++=+根据余弦定理：2222cos DE DA AE DA AE DAE =+-⋅∠，计算得到2r =. 故体积211633V r h ππ=⋅=.【点睛】本题考查了线线位置关系，异面直线夹角，体积的计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=o ，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=o ,6AB AC PA ===,,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上．（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ； （Ⅲ）当12PM MD =时，求四棱锥M ECDF -的体积． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）24．【解析】试题分析：（1）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的证明与寻找，往往从两个方面，一是利用面面垂直转化为线面垂直PA ⊥底面ABCD ，再由线面垂直性质定理转化为线线垂直PA EF ⊥，另一是结合平几条件，如本题利用等腰三角形及平行四边形性质得AB AC ⊥（2）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需结合平几条件，如三角形中位线性质得//MF PA ，即得//MF 平面PAB .同理，得//EF 平面PAB ，最后根据线面平行证得面面平行平面//MEF 平面PAB ，再由面面平行得线面平行（3）求四棱锥体积，关键在于确定高，即线面垂直.由PA ⊥底面ABCD ，所以MN ⊥底面ABCD ，所以1166424332M ECDF ECDF V S MN -⨯=⨯⨯=⨯⨯=Y 试题解析：（1）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=o ， 所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥.因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=o ，所以PA ⊥底面ABCD .又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥.又因为PA AC A ⋂=，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC .（2）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点，所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//MF 平面PAB .同理，得//EF 平面PAB ，又因为MF EF F ⋂=，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面PAB ，又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB .（3）在PAD ∆中，过M 作//MN PA 交AD 于点N ， 由12PM MD =，得23MN PA =， 又因为6PA =，所以4MN =，因为PA ⊥底面ABCD ，所以MN ⊥底面ABCD ，所以四棱锥M ECDF -的体积1166424332M ECDF ECDF V S MN -⨯=⨯⨯=⨯⨯=Y .【考点】线面垂直判定与性质定理，面面垂直性质定理，线面平行判定与性质定理，四棱锥体积【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.21．已知梯形ABCD 中，//AD BC ，2ABC BAD π∠=∠=，G 是BC 的中点.24AB BC AD ===，E 、F 分别是AB 、CD 上的动点，且//EF BC ，设AE x =（[]0,4x ∈），沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ，如图.（1）当2x =时，求证：DB EG ⊥；（2）若以B 、C 、D 、F 为顶点的三棱锥的体积记为()f x ，求()f x 的最大值； （3）当()f x 取得最大值时，求二面角D BF C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）83；（3）14 【解析】（1）如图所示：DH EF ⊥于H ，连接,HG HB ，证明DH EG ⊥，EG BH ⊥得到EG ⊥平面DBH ，得到证明.（2）计算得到()()228233x f x --+=，根据二次函数性质得到答案. （3）如图所示：以,,EB EF EA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面BCF 的一个法向量为()10,0,1n =u r ，平面DBF 的一个法向量为()23,2,1n =u u r ，计算向量夹角得到答案.【详解】（1）如图所示：DH EF ⊥于H ，连接,HG HB ，平面AEFD ⊥平面EBCF ，DH EF ⊥，故DH ⊥平面EBCF ，EG ⊂平面EBCF ， 故DH EG ⊥，易知EBGH 为正方形，故EG BH ⊥，BH DH H =I ，故EG ⊥平面DBH ，DB ⊂平面DBH ，故DB EG ⊥.（2）()()()21112844233233D BCF BCF V S x D x x x f H -=⋅=⨯⨯⋅-=-=-+△， 故()()max 823f x f ==. （3）如图所示：以,,EB EF EA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()2,0,0B ，()2,4,0C ，()0,2,2D ，()0,3,0F ，易知平面BCF 的一个法向量为()10,0,1n =u r ，设平面DBF 的一个法向量为()2,,n x y z =u u r ，则2200n BF n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u v u u v u u u v ，即23020x y y z -+=⎧⎨-=⎩， 取2y =，得到()23,2,1n =u u r ，故12121214cos ,n n n n n n ⋅==⋅u r u u r u r u u r u r u u r ， 观察知二面角D BF C --的平面角为钝角，故余弦值为14-.【点睛】本题考查了线线垂直，体积的最值，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.。

上海交通大学附属中学2019-2020学年度第二学期高二数学期中试卷（满分150分，120分钟完成。

答案请写在答题纸上。

）命题：崔文鑫 邓佳敏 程思卿 审核：杨逸峰一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）1.若,,,P l P Q l Q αα∈∈∈∉，则直线l 与平面α有________个公共点；【答案】：1【解析】：由题易知l 为平面内或者斜线，又因为Q α∉，所以l 为其一个交线只有一个交点。

2．给出下列命题：①三条平行直线最多可以确定三个个平面；②任意三点确定一个平面；③不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行；④一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行．其中，说法正确的有 （填序号）．【答案】①③．【解析】①两两平行或相交即可确认三个平面；②三点共线确定无数个平面 ③易知正确；④两个平面相交，各选取两条与交线平行直线即可，故错误3.若异面直线,a b 所成的角为70，则过空间上任一点P 可作不同的直线与,a b 所成的角都是55，可作直线有__________条【答案】3．【解析】与,a b 所成钝角110平分线处满足，锐角平分线小于55，故可以再选两条。

4.平行六面体中，已知底面四边形为正方形，且，其中，设，，体对角线，则的值是_____.【答案】 【解析】11A AB A AD ∠=∠∴点1A 在平面ABCD 的投影恰好在直线AC 上，投影点为E ,设1A AC ∠为α，则1cos cos cos A AB CAB α∠=∠即1cos cos cos 3422ππαα===cos 2α∴=4πα∴= 112cos A E AE A A α∴===即2CE AC AE =-=∴在1t R A EC 中，利用勾股定理可解的1c =5.如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，底面是边长为2的正三角形，AB ＝AC ＝AD ＝4，且E ，F 分别是BC ，AD 中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为 ．【答案】 【解析】因为三棱锥A BCD -中，底面是边长为2的正三角形，4,AB AC AD ===所以三棱锥A BCD-为正三棱锥；连结DE,取DE中点P,连结PF、PC，正三棱锥A BCD-的侧棱长都等于4，底面正三角形的边长2，点E F、分别是棱BC、AD的中点，PF AE∴,∴PFC∠是异面直线AE和CF所成角的余弦值，AE DE===222161647cos22448AC AD CDCAFAC AD+-+-∠===⨯⨯⨯⨯CF==12PF AE PC====1576cos15PFC+-∴∠==∴异面直线AE和CF所成的角的余弦值为156.在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是正方形BB1C1C的中心，M为C1D1的中点，过A1M的平面α与直线DE垂直，则平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积为．【答案】【解析】在正方体1111ABCD A B C D-中，记AB的中点为N,连结MC,CN,1NA,则平面1A MCN即为平面α.证明如下：由正方体的性质可知，1A M NC，则1A，M，C，N四点共面，记1CC 的中点为F ，连接DF ,易证DF MC ⊥.连接EF ,则EF MC ⊥,所以MC ⊥平面DEF ,则DE ⊥CM .同理可证，DE ⊥NC ，NC ⋂MC C =，则DE ⊥平面1A MCN ,所以平面1A MCN 即平面α，且四边形面1A MCN 即平面α截正方体所得的截面.因为正方体棱长为2，易知四边形面1A MCN 是菱形，其对角线1AC =,MN =所以其面积12S =⨯=7.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1A C 上运动，异面直线BP 与1AD 所成的角为θ，则θ的最小值为_______________【答案】30°【解析】建立空间直角坐标系，以AD 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，表示出各点坐标，利用夹角公式得到即可。

上海市2020版高二下学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）(2018·山东模拟) 若复数，则的共轭复数的虚部为（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二下·黄骅期中) 已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），且P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.954 4，P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826．若μ=4，σ=1，则P（5＜X＜6）=（）A . 0.1359B . 0.1358C . 0.2718D . 0.27163. （2分） (2017高二下·吉林期末) 若（是虚数单位），则（）A .B .C .D .4. （2分）以下说法，正确的个数为（）．①公安人员由罪犯的脚印的尺寸估计罪犯的身高情况，所运用的是类比推理．②农谚“瑞雪兆丰年”是通过归纳推理得到的．③由平面几何中圆的一些性质，推测出球的某些性质这是运用的类比推理．④个位是5的整数是5的倍数，2375的个位是5，因此2375是5的倍数，这是运用的演绎推理．A . 0B . 2C . 3D . 45. （2分）已知随机变量X的分布列为，则P（2＜X≤4）=（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·绵阳模拟) 下表是某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据，用最小二乘法得到关于的线性回归方程，则（）A . 0.25B . 0.35C . 0.45D . 0.557. （2分） (2017高二下·沈阳期末) 如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）A . 0.960B . 0.864C . 0.720D . 0.5768. （2分） (2017高二下·中山期末) 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高二下·郑州期末) 将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有（）A . 50B . 60C . 120D . 9010. （2分）某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）A . 240种B . 288种C . 192种D . 216种11. （2分）（x+y+3）5展开式中不含y的各项系数之和为（）A . 25B . 35C . 45D . （x+3）512. （2分） (2016高二下·南安期中) 某校数学学科中有4门选修课程，3名学生选课，若每个学生必须选其中2门，则每门课程都有学生选的不同的选课方法数为（）A . 84B . 88C . 114D . 118二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·湖北期中) 某大厦有一部电梯，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在第10层下电梯的概率为，用ξ表示5位乘客在第10层下电梯的人数，则随机变量ξ的期望E（ξ）=________．14. （1分） (2016高二下·姜堰期中) 展开（1+2x）3=1+6x+mx2+8x3 ，则m=________．15. （1分） (2017高一上·马山月考) 同时投掷两个骰子，它们点数之和不大于4的概率是________．16. （1分） (2020高二上·吉林期末) 下列有关命题的说法正确的是________.①命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：若x≠1，则x2－3x＋2≠0②x＝1是x2－3x＋2＝0的充分不必要条件③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题④对于命题p：∃x∈R，使得x2＋x＋1<0，则非p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0三、解答题： (共6题；共60分)17. （10分） (2015高二下·赣州期中) 已知的展开式中，前三项系数成等差数列．（1）求第三项的二项式系数及项的系数；（2）求含x项的系数．18. （5分）(2020·淮南模拟) 高铁、移动支付、网购与共享单车被称为中国的新四大发明，为了解永安共享单车在淮南市的使用情况，永安公司调查了100辆共享单车每天使用时间的情况，得到了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中的值；（Ⅱ）现在用分层抽样的方法从前3组中随机抽取8辆永安共享单车，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2辆，求其中恰有1辆的使用时间不低于50分钟的概率；（Ⅲ）为进一步了解淮南市对永安共享单车的使用情况，永安公司随机抽取了200人进行调查问卷分析，得到如下2×2列联表：经常使用偶尔使用或不用合计男性50100女性40合计200完成上述2×2列联表，并根据表中的数据判断是否有85%的把握认为淮南市使用永安共享单车的情况与性别有关？附：0.150.100.050.0250.0102.072 2.7063.841 5.024 6.63519. （10分）为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如表数据：单价x（元）88.28.48.68.89销量y（件）908483m7568根据最小二乘法建立的回归直线方程为，（1）试求表格中m的值；（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从建立的回归方程，且该产品的成本是5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）20. （10分）(2020·淮北模拟) 有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市，名优特产众多，其中“塔山石榴”因其青皮软籽、籽粒饱满、晶莹剔透、汁多味甘而享誉天下.现调查表明，石榴的甜度与海拔、日照时长、昼夜温差有着极强的相关性，分别用表示石榴甜度与海拔、日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，再用综合指标的值评定石榴的等级，若则为一级；若则为二级；若则为三级. 近年来，周边各地市也开始发展石榴的种植，为了了解目前石榴在周边地市的种植情况，研究人员从不同地市随机抽取了12个石榴种植园，得到如下结果：种植园编号A B C D E F种植园编号G H I J K L（1）若有石榴种植园120个，估计等级为一级的石榴种植园的数量；（2）在所取样本的二级和三级石榴种植园中任取2个，表示取到三级石榴种植园的数量，求随机变量的分布列及数学期望.21. （15分） (2018高二下·赤峰期末) 如图是某市年月日至日的空气质量指数趋势图，某人随机选择年月日至月日中的某一天到达该市，并停留天.（1）求此人到达当日空气质量指数大于的概率；（2）设是此人停留期间空气质量指数小于的天数，求的分布列与数学期望；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）22. （10分）(2017·河西模拟) 春节来临，有农民工兄弟A、B、C、D四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响．若A、B、C、D获得火车票的概率分别是，其中p1＞p3 ，又成等比数列，且A、C两人恰好有一人获得火车票的概率是．（1）求p1，p3的值；（2）若C、D是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家．设X表示A、B、C、D能够回家过年的人数，求X的分布列和期望EX．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共60分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。

18．已知抛物线 ： 上横坐标为4的点到焦点的距离为5.
（1）求抛物线 的方程；
（2）设直线 与抛物线 交于两点 、 ，且 ， 是弦 中点，过 作平行于 轴的直线交抛物线 于点 ，得到 ，再分别过弦 、 的中点作平行于 轴的直线依次交抛物线 于点 、 ，得到 和 ，按此方法继续下去，解决下列问题：
①求证： ；
6．
【分析】
根据实系数一元二次方程有虚根的性质，结合根与系数关系、复数与其共轭复数乘积的关系，可以求出实数 的取值为
【详解】
因为关于 的实系数一元二次方程 有一个模为1的虚根，所以方程 的判别式小于零，即 ，
关于 的实系数一元二次方程 有一个模为1的虚根，所以两根是互为共轭的虚根，设为 ，而由题意可知： ，由根与系数的关系可得： ，而 ，因此有 .
二、解答题
13．在复数范围内分解因式： ________.
14．（1）设 ，且 ，求复数 ；
（2）已知 ，求 .
15．如图， 、 是焦点为 的抛物线 上的两个不同的点，且线段 的中点 的横坐标为3，直线 与 轴交于 点，求点 的横坐标的取值范围.
16．如图所示，已知点 ，过点 作直线 、 与圆 ： 和抛物线 ： 都相切.
3．⑤
【分析】
根据复数和实数的关系，根据复数模的定义，复数与共轭复数的关系逐一判断即可.
【详解】
①：当两个复数是实数时，可以比较大小，故本命题是假命题；
②：当 是实数时，本命题才是真命题，当 是虚数时，是假命题，因此本命题是假命题；
③：当 时， 成立，显然 不成立，因此本命题是假命题；
④：当 时， 成立，但是 不是纯虚数，因此本命题是假命题；
【点睛】
本题考查了复数模的性质，考查了互为共轭复数的两个复数乘积的性质，考查了数学运算能力.

3
19. 请你设计一个包装盒，如图所示，四边形 ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片，阴影 部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A 、 B 、 C 、 D 四点重合于 图中的点 P ，正好形成一个四棱柱形状的包装盒，点 E 、 F 在线段 AB 上是被切去的等腰 直角三角形斜边的两个端点，设 AE = BF = xcm . （1）设广告商要求包装盒侧面积 S （ cm2 ）最大，试问 x 应取何值？并求 S 的最大值； （2）若广告商要求包装盒容积V （ cm3 ）最大，试问 x 应取何值？并求出包装盒的高与底 面边长.（提示：对于正数 a 、b 、c 恒有 abc ( a + b + c)3 成立，当且仅当 a = b = c 时等号
1
⑤ 能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体：
9. 已知圆锥的母长为 l ，过圆锥顶点的最大截面三角形的面积为 1 l 2 ，则此圆锥底面半 2
径 r 与母线长 l 的比 r 的取值范围是 l
10. 空间直角坐标中，点 O 为坐标原点，点 P(x, y, z) 满足{(x, y, z) | x, y, z {1,2,3}} ， 且直线 OP 与 x 轴的夹角不超过 60°，满足条件的点 P 的个数是 11. 在棱长为 a 的正方体 ABCD − A1B1C1D1 中，点 E 为三角形 D1AC 内部任意一点（包含边 界）点 E 到平面 ABCD 、平面 ADD1A1 及平面 DCC1D1 的距离的平方和为 m ，则 m 的最小
3 成立）
20. 长方体 ABCD − A1B1C1D1 中，棱长 AB = 3 ， AA1 = 1 ，截面 AB1C1D 为正方形. （1）求异面直线 BC1 与 AD 所成角的大小； （2）求点 B1 到平面 DBC1 的距离； （3）求二面角 B1 − C1D − B 的大小.

上海市宝山区交大附中2021学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、填空题：本大题共12个小题,满分54分. 将答案填在答题纸上1.如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共可确定_________个平面.【答案】1【解析】【分析】两条平行直线确定1个平面，根据两点在平面上可知直线也在平面上，从而得到结果. 【详解】两条平行直线可确定1个平面 直线与两条平行直线交于不同的两点 ∴该直线也位于该平面上∴这三条直线可确定1个平面本题正确结果：1【点睛】本题考查空间中直线与平面的关系，属于基础题.2.已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于________【答案】9π【解析】 由球的体积公式，可得34363r ππ=，则3r =，所以主视图的面积为239S ππ=⨯=. 3.若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为a = ．【答案】4【解析】试题分析：24V a a =⨯=4a =． 考点：棱柱的体积．【名师点睛】1．解答与几何体的体积有关的问题时，根据相应的体积公式，从落实公式中的有关变量入手去解决问题，例如对于正棱锥，主要研究高、斜高和边心距组成的直角三角形以及高、侧棱和外接圆的半径组成的直角三角形；对于正棱台，主要研究高、斜高和边心距组成的直角梯形．2．求几何体的体积时，若给定的几何体是规则的柱体、锥体或台体，可直接利用公式求解；若给定的几何体不能直接利用公式得出，常用转换法、分割法、补形法等求解．4.如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为________【答案】(4,3,2)-【解析】如图所示，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，因为1DB 的坐标为(4,3,2)，所以(4,0,0),(0,3,2)A C ,所以1(4,3,2)AC =-.5.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 【答案】1arccos 3. 【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由题意23rl r ππ=，即3l r =，母线与底面夹角为θ，则1cos 3r l θ==为，1arccos 3θ=. 【考点】圆锥的性质，圆锥的母线与底面所成的角，反三角函数.6.已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，,A B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图，若直线OA 与OB 所成角的大小为6π，则1r=__________【答案】【解析】 试题分析：如图，过A 作与BC 平行的母线AD ，连接OD ，则∠OAD 为直线OA 与BC 所成的角，大小为，在直角三角形ODA 中，因为∠OAD=，所以，故答案为。

G2002-2020交大附中高二下期中一. 填空题1. 平面上有5个不同的点，其中有且只有一组三点共线，则由这些点可确定直线的条数是 （数字作答）2. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -各个表面的对角线所在直线中，与直线1AD 异面且所成角为60°的直线的条数是3. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1A B 与对角面11ACC A 所在平面所成的角的大小是4. 在四面体ABCD 中，6AB CD ==且棱AB 与CD 所成角为60°，点M 、N 分别为棱BC 、AD 的中点，则MN =5. 半径为9的地球仪的北纬60度圈上有两点A 和B ，且线段AB 为此纬度圈的一条直径，则点A 和B 在此地球仪上的球面距离是6. 一个半径为1的圆柱被一个平面截去一部分，如图所示，剩下这部分的母线的最大长度为2，最小长度为1，则剩下这部分的体积是第6题 第7题7. 如图，一个三棱锥的三视图均为直角三角形，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 8. 在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的各种几何体的以下判断中，所有正确的结论是 （写出所有正确命题的序号） ① 能构成矩形；② 能构成不是矩形的平行四边形；③ 能构成每个面都是等边三角形的四面体； ④ 能构成每个面都是直角三角形的四面体； ⑤ 能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体：9. 已知圆锥的母线长为l ，过圆锥顶点的最大截面三角形的面积为212l ，则此圆锥底面半 径r 与母线长l 的比rl的取值范围是10. 空间直角坐标中，点O 为坐标原点，点(,,)P x y z 满足{(,,)|,,{1,2,3}}x y z x y z ∈， 且直线OP 与x 轴的夹角不超过60°，满足条件的点P 的个数是11. 在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为三角形1D AC 内部任意一点（包含边界）点E 到平面ABCD 、平面11ADD A 及平面11DCC D 的距离的平方和为m ，则m 的最小值为12. 牟合方盖是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，类似于微元法，由于其采用的模型像一个牟合的方形盒子，故称为牟合方盖，当一正方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分就是牟合方盖。