上海交大附中高二上学期期中数学试卷及答案

一、选择题1．(0分)[ID ：13012]如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联2．(0分)[ID ：13002]甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．153．(0分)[ID ：12997]在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（ ） A ．115B ．112C ．111D ．144．(0分)[ID ：12990]如图1为某省2019年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( )A ．2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长5．(0分)[ID：12974]若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( )A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排尾”D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”6．(0分)[ID：12963]某校高一1班、2班分别有10人和8人骑自行车上学，他们每天骑行路程（单位：千米）的茎叶图如图所示：则1班10人每天骑行路程的极差和2班8人每天骑行路程的中位数分别是A．14，9.5B．9，9C．9，10D．14，97．(0分)[ID：12949]已知不等式51xx-<+的解集为P，若0x P∈，则“1x<”的概率为（）．A．14B．13C．12D．238．(0分)[ID：12943]执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k的值可以为A．6B．10C．8D．49．(0分)[ID：12941]某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是( )A ．15B ．24125C ．48125D ．9612510．(0分)[ID ：12934]某程序框图如图所示，若输出的结果是126，则判断框中可以是( )A ．6?i >B ．7?i >C ．6?i ≥D ．5?i ≥11．(0分)[ID ：12932]某次测试成绩满分是为150分，设n 名学生的得分分别为()12,,,1n i a a a a N i n ∈≤≤，()1150k b k ≤≤为n 名学生中得分至少为k 分的人数.记M 为n 名学生的平均成绩，则（ ） A ．12150b b b M n ++= B ．12150150b b b M ++=C ．12150b b b M n++>D ．12150150b b b M ++>12．(0分)[ID ：13022]在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A ．甲地：总体均值为3，中位数为4 B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0 C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为313．(0分)[ID ：13026]为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为0m ，平均值为x ，则（ ）A ．e m =0m =xB ．e m =0m <xC ．e m <0m <xD ．0m <e m <x14．(0分)[ID：13025]执行右面的程序框图，若输入的,,a b k分别为1,2,3，则输出的M ( )A．203B．72C．165D．15815．(0分)[ID：13011]民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（）A．518B．13C．718D．49二、填空题16．(0分)[ID：13125]已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是______．17．(0分)[ID：13116]已知一组数据：87,,90,89,93x的平均数为90，则该组数据的方差为______．18．(0分)[ID：13114]已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为______．19．(0分)[ID：13094]执行如图所示的框图，输出值x=______．20．(0分)[ID：13087]甲乙两人一起去游“西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________.21．(0分)[ID：13082]如图所示，程序框图(算法流程图)的输出值x＝________.22．(0分)[ID：13061]执行如图所示的流程图，则输出的的值为 .23．(0分)[ID：13058]若按右上图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是__________。

上海交大附中09-10学年高二上学期期终试卷高二数学本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟。

请考生用钢笔或圆珠笔将答案写在答题卷上一、填空题(3分X 12=36分)已知!- + —) = 1,则0 =28 n 3n（第9题）果等于6、在四边形ABCD 屮，AB BC = O, AB = DC 9则四边形ABCD 的形状是7、5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有 _________ 种（用数字作答）。

一 一 18、设数列｛%｝的首项卩=1且前料项和为S”.已知向量d = （l,qj, b = （a”+|,㊁）满足a 丄乙，贝9lim S fl =HT89、 右上图给出的是计算丄+丄+丄+ ••・ +丄的值的一个框图，其屮菱形判断框内应填入的2 4 6 20条件是 ______________ • 10、 如图，在AABC 中，点D 在BC±,且CD = 2BD ；点已在AC 上，且AE = 3EC OAD 与 BE 的交点为 F 。

若设 AB = a f AC = b,AF = XAD, 于是可得出：BE = —a +—b, BF = AF-AB43、 行列式的值为4、 关于x 、y 的二元线性方程组变换，最后得到的矩阵为10 3 I ，则兀+y (0 1 1丿5、若二qA+bQ+cG ，则化简后的最后结（结束） 命题：刘亚丽审核：杨逸峰校对：黄棣 2、 一个等差数列的前4项是l 9x 9a 92x,则兀等于 的增广矩阵经过/输出s /= AA£)-AB = A(AB + B£>)-AB = ••-，于是由BEIIBF,可求出 2 二 ___________11>在共有2009项的等差数列k ｝中，有等式（4+色+鬚^2009）"（Q2+G4+鬃。

2008）=。

1005成立,类比上述性质，相应的，在共有2011项的等比数列｛亿｝中，有等式_________________________ 成立。

上海市交通大学附属中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一. 填空题1.若(2,1)n =-r是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为________（结果用反三角函数值表示） 【答案】arctan 2 【解析】 【分析】根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据tan k α=，即可求解直线的倾斜角。

【详解】由(2,1)n =-r是直线l 的一个法向量，所以可知直线l 的一个方向向量为(1,2)，直线l 的倾斜角为α，可得tan 2k α==， 所以直线的倾斜角为tan 2arc α=。

故答案为：tan 2arc 。

【点睛】本题主要考查了直线的方向向量，以及直线的斜率与倾斜角的应用，其中解答中根据直线的方向向量求得直线的斜率是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题。

2.直角坐标平面xOy 中，若定点(1,2)A 与动点(,)P x y 满足4OP OA ⋅=u u u r u u u r，则点P 的轨迹方程是________【答案】24x y += 【解析】 【分析】设点(,)P x y ，则(,)OP x y =u u u r ，由(1,2)A ，所以(1,2)OA =u u u r ，代入4OP OA ⋅=u u u r u u u r，即可求解。

【详解】设点(,)P x y ，则(,)OP x y =u u u r，可得(1,2)OA =u u u r ，因为4OP OA ⋅=u u u r u u u r，所以(,)(1,2)24x y OP OA x y ⋅=⋅=+=u u u r u u u r ，即24x y +=，所以点的轨迹方程为24x y +=。

故答案为：24x y +=。

【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及轨迹方程的求解，其中解答中熟练应用向量的数量积的运算公式，准确计算即可求解，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

上海交通大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________12．若{}a是以1a为首项，d为公差的等差数列；n则下列说法正确的是①存在实数a，使得不存在实数1②存在实数0d¹，使得对任意实数③存在实数0b¹，使得不存在实数C．充要条件D．既非充分又非必要条件15．下列命题（1）若空间四点共面，则其中必有三点共线；（2）若空间四点中有三点共线，则此四点必共面；（3）若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面；（4）若空间四点不共面，则其中任意三点不共线；其中真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．若动点P（x，y）以等角速度w在单位圆上逆时针运动，则点()22Q xy y x--的运动2,方程是（）．A．以角速度w在单位圆上顺时针运动B．以角速度w在单位圆上逆时针运动C．以角速度2w在单位圆上顺时针运动D．以角速度2w在单位圆上逆时针运动(1)如图，平面直角坐标系内有一个边长为)①将整个正方形ABCD绕点B顺时针②再将整个正方形ABCD绕点C顺时针旋转，使点D首次选择到x轴正半轴上停止；③再将整个正方形ABCD绕点D顺时针旋转，使点A首次选择到x轴正半轴上停止；④再将整个正方形ABCD绕点A顺时针旋转，使点B首次选择到x轴正半轴上停止.我们将上述四个步骤依次操作一遍，称为将正方形ABCD“滚动”一周.为使点B向x轴正方向移动100个单位长度，需要将正方形ABCD“滚动”______周，在经过的路径总长度为______个单位长度；这个过程中，点A(2)如果制造一个正n边形的“轮子”，该正n边形的中心到任意一个顶点的距离为1，并将该正n边形的“轮子”滚动一周，求点P经过的路径总长度；(3)根据（2）中结果猜想：半径为1的圆形轮子在平地上滚动一周，则圆周上任意一点经过的路径总长度是多少？（不必说明理由）故答案为：6017.12．②④【分析】取2πd =即可说明①②，假设存在实数③④.【详解】对于①②，取2πd =，则所以对任意实数1a ，数列({sin n a（2）如图，正n 多边形中心到顶点的距离为则由余弦定理可知，正n 多边形的边长为22211211cos AB n p =+-´´´同理：2211211AC =+-´´。

上海市交大附中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 已知点D 为等腰直角三角形ABC 斜边AB 的中点，则下列等式中不恒成立的是( )A. CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+CB |CB⃗⃗⃗⃗⃗ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗C. BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗D. (CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB⃗⃗⃗⃗⃗ )=0 2. 过双曲线x 2a−y 2b =1(a >0,b >0)的右焦点F 作平行于一条渐近线的直线与另一条渐近线交于点P ，若点P 在圆心为(2c,0)，半径为√5a 的圆内，则该双曲线离心率的取值范围是( )A. (1,√2)B. (1,√5)C. (√2,+∞)D. (√5,+∞) 3. 已知点A(−2,m)，B(m,4)，且直线AB 的斜率为1，则m 的值( )A. 1B. 3C. 0D. 2√2 4. 在△ABC 中，∠C =90°，且CA =CB =3，点M 满足BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 18B. 3C. 15D. 9二、填空题（本大题共12小题，共36.0分） 5. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 22+y 2=1上有三点A,B,C ，满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =52BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线OA,OB 的斜率之积为 ．6. 在平面直角坐标系中，O 是原点，OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0)，P 是平面内的动点，若|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则P 点的轨迹方程是______ ．7. 点(1,−1)到直线3x −4y +3=0的距离是______． 8. 已知a ⃗ +b ⃗ =(3,4),|a ⃗ −b ⃗ |=3，则a ⃗ ⋅b ⃗ =____________． 9. 行列式|−1024|的值为__________． 10. 点A(2,2)关于直线2x −4y +9=0的对称点的坐标为_____________．11. 已知直线l ：ax +y +2=0及两点P(−2,1)，Q(3,2)，若直线l 与线段PQ 有公共点，则a 的取值范围是______．12. 点P 为x 轴上的一点，A(1,1)，B(3,4)，则|PA|+|PB|的最小值是________．13. 直线y =x +b 与曲线x +√1−y 2=0恰有一个公共点，则b 的取值范围是__________． 14. 无论x ，y ，z 同为三条不同的直线还是同为三个不同的平面，给出下列四个命题：①若x//y ，x//z ，则y//z ； ②若x ⊥y ，x ⊥z ，则y ⊥z ； ③若x ⊥y ，y//z ，则x ⊥z ；④若x 与y 无公共点，y 与z 无公共点，则x 与z 无公共点； 其中正确命题序号为______．15. 已知点A (1,1),B,C 为圆O:x 2+y 2=4上的两动点，且|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，若圆O 上存在点P 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OP ⃗⃗⃗⃗⃗ (m >0)，则实数m 的取值范围是_________.16. 已知圆x 2+y 2−4x +2y +4=0与圆x 2+y 2−(2b −10)x −2by +2b 2−10b +16=0相交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点，且满足x 12+y 12=x 22+y 22，则b =________． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 已知定点P(−2,−1)和直线l ：(1+3λ)x +(1+2λ)y −(2+5λ)=0(λ∈R ).(1)求证：直线l 过某个定点，并求出该点的坐标； (2)求证：不论λ取何值，点P 到直线l 的距离不大于√13．18. 已知向量a ⃗ ,b ⃗ 满足|a ⃗ |=√2，|b ⃗ |=1．(1)若a ⃗ ,b ⃗ 的夹角θ为π4，求|a ⃗ +b ⃗ |； (2)若(a ⃗ −b ⃗ )⊥b ⃗ ，求a ⃗ 与b ⃗ 的夹角θ．19. 在△ABC 中，∠BAC =120°，AB =2，AC =1，D 是边BC 上一点，DC =2DB ，求AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .20. 已知动点M(x,y)到定点A(1,0)的距离与M 到直线l ：x =4的距离之比为12．①求点M 的轨迹C 的方程；②过点N(−1,1)的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，且N 为线段PQ 中点，求直线PQ 的方程．21. 在平面直角坐标系xOy 中，设过点A(0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x −2)2+(y −3)2=1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12，求线段MN 的长．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：A.由CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB⃗⃗⃗⃗⃗ )≠CA⃗⃗⃗⃗⃗ |CA⃗⃗⃗⃗⃗ |+CB |CB⃗⃗⃗⃗⃗ |⃗⃗⃗⃗⃗⃗，因此不恒成立．B .由投影的定义和射影定理可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，因此恒成立； C .同B 可知：正确；D .由等腰直角三角形ABC ，∴CB =CA ，∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴CA⃗⃗⃗⃗⃗ 2−CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，因此恒成立； 综上只有：A 不正确． 故选：A ．根据向量的数量积运算、平行四边形法则、投影的定义、射影定理、向量垂直与数量积的关系加以逐个判断即可本题考查了向量的数量积运算、平行四边形法则、投影的定义、射影定理、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．2.答案：A解析： 【分析】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查点与圆的位置关系，以及转化思想和不等式的解法，属于中档题．求得圆的方程，以及双曲线的渐近线方程，右焦点F(c,0)，设过右焦点F 作平行于一条渐近线的直线为y =ba (x −c)，与另一条渐近线y =−ba x 交于点P(12c,−bc2a )，代入圆方程左边，令右边小于0，解不等式，结合离心率公式可得所求范围． 【解答】解：圆心为(2c,0)，半径为√5a 的圆的方程为(x −2c)2+y 2=5a 2， 双曲线的渐近线方程为y =±ba x ，右焦点F(c,0)，设过右焦点F 作平行于一条渐近线的直线为y =ba (x −c)， 与另一条渐近线y =−ba x 交于点P(12c,−bc2a )， 由题意可得(12c −2c)2+(−bc2a )2<5a 2，即9c 2a 2+b 2c 2<20a 4， 可得c 4+8c 2a 2−20a 4<0， 可得e 4+8e 2−20<0， 可得e 2<2，即有1<e <√2， 故选：A ．3.答案：A解析： 【分析】本题考查直线的斜率，属于基础题，根据直线的斜率公式求解即可. 【解答】解：过点A(−2,m)，B(m,4)的直线l 的斜率为4−mm+2=1， 解得m =1． 故选A ．4.答案：A解析：解：∵BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴A 是BM 的中点， ∴2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵CA ⊥CB ，CA =CB =3，∴CA⃗⃗⃗⃗⃗ 2=9，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =18． 故选：A ．用CA⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再计算CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．5.答案：−12解析： 【分析】本题考查了平面向量的坐标运算和直线的倾斜角与斜率． 利用平面向量的坐标运算和直线的斜率计算公式计算得结论．【解答】解：设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，C (x 3,y 3)， 因为OP →=2AO →， 所以P (−2x 1,−2y 1)． 因为BP →=52BC →，所以(−2x 1−x 2,−2y 1−y 2)=52(x 3−x 2,y 3−y 2)， 得{x 3=35x 2−45x 1y 3=35y 2−45y 1． 代入椭圆方程得(35x 2−45x 1)22+(35y 2−45y 1)2=1，即1625(x 212+y 21)+925(x 222+y 22)−2425(x 1x 22+y 1y 2)=1(∗)，因为点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)都在椭圆x 22+y 2=1上，所以x 212+y 21=1，x 222+y 22=1;代入(∗)得x 1x 22+y 1y 2=0，即y 1y 2x1x 2=−12．所以直线OA ，OB 的斜率之积为−12． 故答案为−12．6.答案：y 2=2x −1解析：解：设P(x,y)，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)， 又因为|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，所以(x −1)2+y 2=x 2，整理得y 2=2x −1．故答案为：y 2=2x −1．利用|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，化简，即可得出结论．本题考查向量的运算，求轨迹方程，考查学生的计算能力，属于基础题．7.答案：2解析：解：点(1,−1)到直线3x −4y +3=0的距离d =√32+(−4)2=2． 故答案为：2．利用点到直线的距离公式即可得出．本题考查了点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：4解析： 【分析】本题考查向量数量积，利用向量数量积的运算法则以及向量的模的公式求解，属于基础题．求出|a ⃗ +b ⃗ |2=a ⃗ 2+2a ⃗ ·b ⃗ +b ⃗ 2,|a ⃗ −b ⃗ |2=a 2⃗⃗⃗⃗ −2a ⃗ ·b ⃗ +b ⃗ 2的值相减即可．【解答】解：a ⃗ +b ⃗ =(3,4),|a ⃗ −b⃗ |=3， 所以|a ⃗ +b ⃗ |2=a ⃗ 2+2a ⃗ ·b ⃗ +b ⃗ 2=32+42=25,|a ⃗ −b ⃗ |2=a ⃗ 2−2a ⃗ ·b ⃗ +b ⃗ 2=9， 相减得4a ⃗ ·b ⃗ =16,a ⃗ ·b ⃗ =4， 故答案为4．9.答案：−4解析： 【分析】本题主要考查行列式的计算，属于基础题． 【解答】解：行列式|−1024|=(−1)×4−2×0=−4． 故答案为−4．10.答案：(1,4)解析：【分析】设出对称点坐标，利用中点在直线上及连线与直线垂直，建立方程组。

交大附中高二期中数学试卷2019.04一. 填空题1. 如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线可确定 个平面2. 已知球的体积为36π，则该主视图的面积等于3. 若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a =4. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线均为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB uuu u r 的坐标为(4,3,2)，则1AC u u u u r 的坐标是5. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）6. 已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图，若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则l r= 7. 已知△ABC 三个顶点到平面α的距离分别是3、3、6，则其重心到平面α的距离为 （写出所有可能值）8. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段上1BD 运动，则DC AP ⋅u u u r u u u r 的取值范围是9. 如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，剪去△AOB ，将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以()A B 、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为10. 某三棱锥的三视图如图所示，且这个三角形均为直线三角形，则34x y +的最大值为11. 已知A 、B 、C 、P 为半径R 的球面上的四点，其中AB 、AC 、BC 间的球面距离分别为3R π、2R π、2R π，若OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，其中O 为球心，则x y z ++的最大 值是12. 如图，在四面体ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，过EF 任作一个平面α分别与直线BC 、AD 相交于点G 、H ，则下列结论正确的是① 对于任意的平面α，都有直线GF 、EH 、BD 相交于同一点；② 存在一个平面α，使得点G 在线段BC 上，点H 在线段AD 的延长线上；③ 对于任意的平面α，都有EFG EFH S S =V V ；④ 对于任意的平面α，当G 、H 在线段BC 、AD 上时，几何体AC EFGH -的体积是一个定值.二. 选择题13. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A. 23π B. 423π C. 22π D. 42π 14. 如图，在大小为45°的二面角A EF D --中，四边形ABFE 与CDEF 都是边长为1的正方形，则B 、D 点间的距离是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 32-15. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有 系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也，又以高乘之，三十六成 一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算器体积V 的近似公式2136V L h ≈， 它实际上是将圆锥体积公式的圆周率π近似取3，那么近似公式2272V L h ≈相当于将圆锥体 积公式中的π近似取为（ ）A. 227B. 258C. 15750D. 35511316. 在正方形ABCD A B C D ''''-中，若点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 和AC '所成角为45°的点P 有（ ）A. 6个B. 4个C. 3个D. 2个三. 解答题17. 现有四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是a ，高是b ；2号容器的底面边长是b ，高是a ；3号容器的底面边长是a ，高是a ；4号容器的底面边长是b ，高是b ，假设a b ≠，问是否存在一种必胜的4选2的方案（与a 、b 的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由.18. 如图，已知圆锥底面半径20r cm =，点Q 为半圆弧AC 的中点，点P 为母线SA 的中点，PQ 与SO 所成角为arctan2，求：（1）圆锥的侧面积；（2）P 、Q 两点在圆锥侧面上的最短距离.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，DAB ∠为直角，AB ∥CD ，222AD CD AB PA ====，E 、F 分别为PC 、CD 的中点.（1）求证：CD ⊥平面BEF ；（2）求BC 与平面BEF 所成角的大小；（3）求三棱锥P DBE -的体积.20. 如图，P ABC -是底面边长为1的正三棱锥，D 、E 、F 分别为棱长PA 、PB 、PC 上的点，截面DEF ∥底面ABC ，且棱台DEF ABC -与棱锥P ABC -的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）（1）证明：P ABC -为正四面体；（2）若12PD PA =，求二面角D BC A --的大小（结果用反三角函数值表示）； （3）设棱台DEF ABC -的体积为V ，是否存在体积为V 且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF ABC -有相同的棱长和？若存在，请具体构造这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由.（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥P ABC -的体积减去棱锥P DEF -的体积）21. 火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳构筑物，建在水源不十分充足的地区的电厂，为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统，以使得冷却容器中排出的热水在其冷却后可重复使用，大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线冷却塔，此类冷却塔多用于内陆缺水电站，其高度一般为75~150米，底边直径65~120米，双曲线型冷却塔比水池式冷却构筑物占地面积小，布置紧凑，水量损失小，且冷却效果不受风力影响；它比机力通风冷却塔维护简便，节约电能；但形体高大，施工复杂，造价较高.（以上知识来自百度，下面题设条件只是为了适合高中知识水平，其中不符合实际请忽略）（1）右下图为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径 大于上底直径，已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100m ，俯视图为 三个同心圆，其半径分别为40m 、60147m 、30m ，试根据上述尺寸计算主视图中该双 曲线的标准方程（m 为长度单位米）.（2）试利用课本中推导球体积的方法，利用圆柱和一个倒放的圆锥，计算封闭曲线： 22221x y a b -=，0y =，y h =，绕y 轴旋转形成的旋转体的体积为________（用a 、b 、h 表 示）（用积分计算不得分）现已知双曲线冷却塔是一个薄壳结构，为计算方便设其内壁所在曲线也为双曲线，其壁最厚为0.4m （底部），最薄处厚度为0.3m （喉部，即左右顶点处），试计算该冷却塔内壳所在的双曲线标准方程是________________，并计算本题中的双曲线冷却塔的建筑体积（内外壳之间）大约是_________3m （计算时π取3.14159，保留到个位即可）（3）冷却塔体型巨大，造价相应高昂，本题只考虑地面以上部分的施工费用（建筑人工和辅助机械）的计算，钢筋土石等建筑材料费用和其他设备等施工费用不在本题计算范围内，超高建筑的施工（含人工辅助机械等）费用随着高度的增加而增加，现已知：距离地面高度30米（含30米）内的建筑，每立方米的施工费用平均为：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工费用为800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工费用增加100元，试计算建造本题中冷却塔的施工费用（精确到万元）.参考答案一. 填空题1. 12. 9π3. 44. (4,3,2)-5. 1arccos 3 6. 7. 0，2，4 8. [0,1]9. 3 10. 11. 3 12. ③④二. 选择题13. B 14. D 15. B 16. C三. 解答题17. 3322a b a b b a +>+，必胜方案为选择3号、4号容器18.（1）600π；（2）19.（1）略；（2）1arctan 2；（3）1320.（1）略；（2）arcsin 3；（3）存在21.（1）2219006300x y -=；（2）23223a h a h b ππ+，221882.096300x y +=，6728；（3）1516。

2022-2023学年上海交通大学附属中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．下列命题：①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】①②③④均可举出反例.【详解】①如图1，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形，显然不是棱柱，故①错误；ABB A与底面垂直，但不是直棱柱，②错误；②如图2，满足两侧面11③如图3，四边形11ACC A 为矩形，即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，③错误；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，④错误． 故选：A2．已知z 均为复数，则下列命题不正确的是（ ） A ．若z z =则z 为实数B ．若20z <，则z 为纯虚数C ．若|1||1|z z +=-，则z 为纯虚数D ．若31z =，则2z z =【答案】C【分析】设复数(,)z a bi a b R =+∈，利用复数的基本运算，以及复数方程的运算，即可判定，得到答案.【详解】由题意，设复数(,)z a bi a b R =+∈，对于A 中，由z z =，即a bi a bi +=-，解得0b =，所以复数z 为实数，所以A 正确；对于B 中，复数2222z a b abi =-+，因为20z <，可得00a b =≠，，所以复数z 为纯虚数，所以是正确的；对于C 中，当0z =时，满足|1||1|z z +=-，所以复数z 不一定为纯虚数，所以不正确； 对于D 中，由31z =，可得310z -=，即2(1)(1)0z z z -++=，解得1z =或132z =-，所以2z z =，所以是正确的. 故选C.【点睛】本题主要考查了复数的代数形式的乘除运算，以及复数的基本概念和复数方程的应用，其中解答中熟练利用复数的代数形式的四则运算，以及熟记复数的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．如果函数()f x 的定义域为[,]a b ，且值域为[(),()]f a f b ，则称()f x 为“Ω函数”.已知函数25,01,()4,14x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩是“Ω函数”，则m 的取值范围是（ ）A ．[4,9]B ．[5,9]C ．[4,)+∞D ．[5,)+∞【答案】B【分析】根据函数的新定义得到()()min f x f a =且()()max f x f b =，结合函数()f x 和二次函数的性质，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 的定义域为[,]a b ，且值域为[(),()]f a f b ， 即函数()f x 的最小值()()min f x f a =，最大值为()()max f x f b =，又由函数25,01()4,14x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩，当01x ≤≤时，可得055x ≤≤，要是函数()f x 满足新定义，则满足()520(4)5f f ⎧≥≥⎨≥⎩，即94{5m m ≥≥≥，所以59m ≤≤，所以实数m 的取值范围是[5,9]. 故选：B.4．一个棱长为1的正方体容器ABCD EFGH -，在八个顶点处分别有一个出口（出口大小忽略不计）.现从A 点放入一个粒子.粒子沿着直线运动，碰到容器壁会进行反射（遵循反射定律），遇到出口就会飞出容器.已知粒子在飞出容器前与容器壁产生了三次碰撞（粒子未与棱产生碰撞），则粒子在容器内的飞行距离有（ ）种不同的值 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】利用正方体的对称性，根据粒子碰撞次数可分别从{,,}C H F 、{,,}B E D 射出，进而判断各情况粒子在容器内的飞行距离，即可得结果. 【详解】根据正方体的对称性，如下图示，粒子从A 射出在EG 、AC 各碰撞2次、1次后，从C 点射出；粒子从A 射出在BG 、AH 各碰撞2次、1次后，从H 点射出； 粒子从A 射出在DG 、AF 各碰撞2次、1次后，从F 点射出； 以上三种情况粒子在容器内的飞行距离相同为32；粒子从A 沿平面ABCD （平面ABFE ）射出在平面边缘靠近DC （EF ）、AB 各碰撞2次、1次后，从B 点射出；粒子从A 沿平面AEHD （平面ABFE ）射出在平面边缘靠近DH （BF ）、AE 各碰撞2次、1次后，从E 点射出；粒子从A 沿平面ABCD （平面AEHD ）射出在平面边缘靠近BC （EH ）、AD 各碰撞2次、1次后，从D 点射出；17. 综上，粒子在容器内的飞行距离共有2种不同值. 故选：B二、填空题5．已知球的表面积为π，则其体积为______. 【答案】6π【分析】由球的表面积公式与体积公式求解 【详解】由题意得24r ππ=，12r =，则3436V r ππ== 故答案为：6π6．若圆锥高为3，且母线与底面所成角为4arccos 5，则该圆锥的侧面积为______.【答案】20π【分析】由题意求出底面半径，进而求母线长、底面周长，应用扇形面积公式求圆锥侧面积.【详解】若底面半径为r45=，可得4r =，所以，底面周长为2π8πr =5，故圆锥侧面积为18π520π2⨯⨯=.故答案为：20π7．若{},A B a b ⋂=，{},,,A B a b c d ⋃=，则符合条件的不同有序集合对(),A B 共有______对. 【答案】4【分析】根据给定条件，列举出集合A 与B 的可能结果即可作答.【详解】因{},A B a b ⋂=，{},,,A B a b c d ⋃=，则有：{,},{,,,}A a b B a b c d ==； {,,},{,,}A a b c B a b d ==；{,,},{,,}A a b d B a b c ==；{,,,},{,}A a b c d B a b ==，所以符合条件的不同有序集合对(),A B 共有4对. 故答案为：48．已知A 、B 、C 是ABC 的内角，若()()1cos i sin cos i sin 2A A B B +⋅+⋅=，其中i 为虚数单位，则C 等于______. 【答案】2π3##120° 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数相等，得到方程组，再根据两角和的正弦、余弦公式计算可得. 【详解】由()()cos i sin cos i sin cos cos sin sin i(sin cos cos sin )A AB B A B A B A B A B +⋅+⋅=-++cos()isin()A B A B =+++12=+，所以()1cos 2A B +=，()sin A B +=，因为()0,πA B +∈，所以π3A B += 所以()2ππ3C A B =-+=. 故答案为：2π39．正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有______种不同选法 【答案】12【分析】正方体的侧棱出发找到与之共面的2个顶点，确定共面的情况数，注意重复计数的情况.【详解】从任意一个侧棱出发，其它6个顶点中任选2个点都有3种共面的情况， 所以，所有共面的情况有2438=⨯种，而每条棱均重复计数一次， 综上，正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有24122=种. 故答案为：1210．已知正三棱柱111ABC A B C 的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A 的最短路线的长为___________. 【答案】10【分析】将三棱柱的侧面展开两次，结合矩形的对角线长，进而求得最短距离，得到答案. 【详解】将正三棱柱111ABC A B C 的侧面展开两次，再拼接到一起， 其侧面展开图，如图所示的矩形，连接1AA ，因为正三棱柱111ABC A B C 的底面边长为1，高为8，可得矩形的底边长为6，高为8， 所以2216810AA =+=. 故答案为：10.11．平行六面体1111ABCD A B C D -，11BAD BAA A AD θ∠=∠=∠=，11AB AD AA ===，若12AC =，则cos θ=______.【答案】16【分析】由几何体中线段对应向量的数量关系有11AC AD AA AB =++，应用向量数量积的运算律、定义列方程即可求cos θ.【详解】如上图知：11AC AD AA AB =++，所以22221111222AC AD AA AB AD AA AD AB AD AA =+++⋅+⋅+⋅36cos 4θ=+=， 故1cos 6θ=. 故答案为：1612．如图，在三棱柱111A B C ABC -中，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，1AA 的中点，设三棱锥F ADE -体积为1V ，三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ，则12:V V =_______【答案】124【详解】试题分析：因为D ，E ，分别是AB ，AC 的中点，所以S △ADE ：S △ABC=1：4， 又F 是AA 1的中点，所以A 1到底面的距离H 为F 到底面距离h 的2倍． 即三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的高是三棱锥F-ADE 高的2倍．所以V 1：V 2=13S △ADE•h/S △ABC•H ＝124=1：24【解析】棱柱、棱锥、棱台的体积13．若对于定义在R 上的函数()y f x =，当且仅当存在有限个非零自变量x ，使得()()f x f x -=，则称()y f x =为类偶函数，若函数()324y x a x a =+--为类偶函数，则实数a 的取值范围为______.【答案】()2,2-【分析】根据已知条件及类偶函数的定义，将问题转化为方程有解问题，结合二次函数的性质即可求解.【详解】由()()f x f x -=，得()()323244x a x a x a x a ----=+--，即()3240x a x +-=， 根据类偶函数的定义，可知方程()3240x a x +-=存在有限个非零的实数解， 故()224a x -=-存在有限个非零的实数解，则240a -<，解得22a -<<，所以实数a 的取值范围为()2,2-. 故答案为：()2,2-.14．如图，函数()()3sin 0,02πy x ωϕωϕ=+>≤<图像与y 轴交于点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，与x 轴交于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭，则ωϕ+=______.【答案】2π23+【分析】由题意得2π3ϕ=或π3ϕ=，且2ππ3k ωϕ+=，Z k ∈，结合图象有32π1432T T >>求ω范围，即可确定参数值.【详解】由题设3322πsin()03ϕωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩且0,02πωϕ>≤<，所以2π3ϕ=或π3ϕ=，且2ππ3k ωϕ+=，Z k ∈，当2π3ϕ=时，2π2ππ33k ω=-，Z k ∈，故312kω=-，Z k ∈， 当π3ϕ=时，2πππ33k ω=-，Z k ∈，故312k ω-=，Z k ∈，由图知：33π2π1π4232T T ωω=>>=，可得3924ω<<，综上，2k =时32122ω⨯=-=，此时2π3ϕ=，故ωϕ+=2π23+. 故答案为：2π23+15．用一个平面将圆柱切割成如图的两部分.将下半部分几何体的侧面展开，平面与圆柱侧面所形成的交线在侧面展开图中对应的函数表达式为 1.52cos y x =+.则平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是______.【答案】63【分析】根据已知画出 1.52cos y x =+在[π,π]-上的图象，直观想象侧面展开图与几何体的关系确定截面最高、低高度差及底面半径，即可求二面角正弦值.【详解】由 1.52y x =在一个周期[π,π]-上图象如上图，其最大值与最小值相差2222 底面周长为2π，即底面半径为1，故直径为2， 22226(22)2=+. 616．定义在R 上的函数()y f x =、()y g x =，且满足()()()()1212f x f x g x g x -≥-对任意12,R x x ∈恒成立，请判断以下命题：（1）若()y f x =是周期函数，则函数()y g x =也是周期函数； （2）若()y f x =是偶函数，则函数()y g x =也是偶函数；（3）若()y g x =是R 上的严格增函数，则函数()y f x =是R 上的严格增函数或者严格减函数； （4）若()y f x =是R 上的增函数，则函数()()y f x g x =+与函数()()y f x g x =-也都是R 上的增函数.其中真命题的序号是______. 【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）令1x x T =+，2x x =代入条件即可判断；（2）令1x x =-，2x x =代入条件即可判断；（3）（4）令1x >2x ，根据函数的单调性定义判断正误即可.【详解】（1）若()y f x =是周期为T 的函数，则()()f x f x T =+， 令1x x T =+，2x x =，故|()()|0f x T f x +-=|()()|g x T g x ≥+-， 所以|()()|0g x T g x +-=，即()()g x T g x +=； （2）若()y f x =是偶函数，则()()f x f x -=，令1x x =-，2x x =，故|()()|0f x f x --=|()()|g x g x ≥--， 所以|()()|0g x g x --=，即()()g x g x -=；（3）若()y g x =是R 上为增函数，令1x >2x ，则1212()()()()0f x f x g x g x -≥->， 所以1212()()()()0f x f x g x g x -≥->，或1221()()()()0f x f x g x g x -≤-<，即12()()f x f x >或12()()f x f x <，故()y f x =是R 上的严格增函数或者严格减函数； （4）()y f x =是R 上的增函数，令1x >2x ，则1212()()|()()|f x f x g x g x -≥-， 所以121221()()()()()()f x f x g x g x f x f x -≥-≥-，即1122()()()()f x g x f x g x -≥-，故()()y f x g x =-为增函数或为常数函数； 1122()()()()f x g x f x g x +≥+，故()()y f x g x =+为增函数或为常数函数；综上，（1）（2）（3）正确，（4）错误. 故答案为：（1）（2）（3）三、解答题17．已知正三棱柱111ABC A B C 的底面边长为3cm ，高为3cm ，M 、N 、P 分别是1AA 、AC 、11B C 的中点.(1)用“斜二测”画法，作出此正三棱柱的直观图（严格按照直尺刻度）； (2)在（1）中作出过M 、N 、P 三点的正三棱柱的截面（保留作图痕迹）. 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析.【分析】（1）利用斜二测法画出棱柱底面111A B C 的直观图，再根据斜二测画图的原则确定,,A B C 三点，即可得直观图；（2）应用平面的基本性质画出截面即可.【详解】（1）①平面直角坐标系中作边长为3cm 的等边三角形111A B C ，原点O 为11A B 中点，如下图，②在线段1OC 上找到中点Q ，过O 作与x 轴成45°的y '轴，并在y '轴找点1C 使1OC OQ =，此时直观图底面111A B C 确定；③过111,,A B C 向上作与x 轴垂直的射线，并在各射线上找一点,,A B C 使1113A A B B C C ===cm ，连接,,AB BC BA ，即得正三棱柱的直观图.（2）①过MN 作直线分别交射线111,C A C C 于,E D ，连接,EP DP ，分别交11,A B BC 于,G F ，②连接,MG NF ，则截面FNMGP 即为所求.18．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，2AD =.点M 为BC 的中点.(1)证明：平面PAM ⊥平面PBD ； (2)求点B 到平面PAM 的距离. 【答案】(1)证明见解析； 7.【分析】（1）由线面垂直性质得PD AM ⊥，根据已知可证BD AM ⊥，再应用线面、面面垂直的判定证结论；（2）AM 与BD 交于点E ，连接PE ，过点B 作BH 垂直于PE 交其于点H ，由面面垂直的性质有BH ⊥面P AM ，即BH 的长为B 到面P AM 的距离，等面积法求长度即可. 【详解】（1）因为PD ⊥底面ABCD ，AM ⊂平面ABCD ，所以PD AM ⊥.底面为矩形，且1PD DC ==，2AD =，则tan 2cot AD ABABD BAM AB BM∠====∠， 所以Rt △ABD Rt △BMA ，易知BD AM ⊥.又PD BD D ⋂=，,PD BD ⊂面PBD ，所以AM ⊥平面PBD ，而AM ⊂平面PAM ， 所以平面PAM ⊥平面PBD .（2）设AM 与BD 交于点E ，连接PE ，过点B 作BH 垂直于PE 交其于点H ，由①知，面PAM ⊥面PBD ，面PAM ⋂面PBD PE =，BH PE ⊥且BH ⊂面PBD ， 因此BH ⊥面P AM ，线段BH 的长为点B 到平面P AM 的距离.由1122PEB S BE PD PE BH =⋅⋅=⋅⋅△，解得7BH =因此点B 到平面P AM 719．已知数列{}n a 和{}n b 有11a =-，()1122n n n a a n a --=≥-，而数列{}n b 的前n 项和2322n n n B =+.(1)证明数列{}n c 为等比数列，其中1nn n a c a =-；(2)如果n n n d b c =⋅，试证明数列{}n d 的单调性. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）根据给定的递推关系，结合等比数列定义计算判断作答.（2）由（1）求出数列{}n c 的通项，再求出数列{}n b 的通项，利用作差法比较1,n n d d +大小作答. 【详解】（1）数列{}n a 中，当2n ≥时，111222122n n n n a a a a ----+==-+--，因11a =-，有210a -<<，3(1,0)a ∈-，由此可得(1,0),2n a n ∈-≥，而1nn n a c a =-，于是得111111121111222112n nn n n n n n n n n n n n n n n n n na a c a a a a a a a a a c a a a a a a a +++++-----==⋅=⋅=⋅=-----，而111112a c a ==-， 所以数列{}n c 为以12为首项，以12为公比的等比数列. （2）由（1）知，1111()()222n nn c -=⋅=，当2n ≥时，2213(1)3(1)12222n n n n n n n b B B n ---=-+--=+=，112b B ==满足上式，因此1n b n =+，则12n n n d +=，有111210222n n n n n n n n d d +++++--=-=<，即1n n d d +<，所以数列{}n d 为严格递减数列.20．已知定义域为()0,∞+的函数()y f x =满足：①对()0,x ∈+∞，恒有()()22f x f x =；②当(]1,2x ∈时，()2f x x =-. (1)求18f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求出当(12,2n n x +⎤∈⎦，Z n ∈时的函数解析式；(3)求出方程()12f x x =在(]0,100x ∈中所有解的和. 【答案】(1)0；(2)()12n f x x +=-，(12,2n n x +⎤∈⎦，Z n ∈；(3)5123.【分析】（1）根据给定的函数关系，依次计算即可作答. （2）根据给定的关系，分1x >和01x <≤求解作答. （3）由（2）求出方程()12f x x =在(12,2n n +⎤⎦上的根，再探讨n 的取值，利用无穷等比数列求和公式计算作答.【详解】（1）依题意，()0,x ∈+∞，有()()122f x f x =，当(]1,2x ∈时，()2f x x =-， 2341111111()()()(1)(2)08242222f f f f f =====. （2）当1x >时，(12,2k k x +⎤∈⎦，N k ∈，(]1,22kx∈， 则()2122222222222k k k k kx x x x f x f f f x +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⋅⋅⋅==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；当1x ≤时，(12,2k k x --+⎤∈⎦，N k ∈，1k ≥，(]21,2kx ∈，则()()()()()212112222222222k k k k k f x f x f x f x x x ---+===⋅⋅⋅==-=-， 综上，对任意(12,2n n x +⎤∈⎦，Z n ∈，()12n f x x +=-. （3）由（2）知，当(12,2n n x +⎤∈⎦，Z n ∈，()1122n f x x x +=-=，解得(1124222,233n n n n x ++⎤=⋅=⋅∈⎦， 因此在每一区间(12,2n n +⎤⎦，Z n ∈段上方程都有唯一解，由421003n⋅≤解得2log 757n ≤<，于是得6n ≤， 从而方程所有不大于100的解从大到小分别为：651244442,2,,2,2,3333--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，形成一个以12为公比的无穷等比数列，则其所有项的和为69422512313312⋅==-， 所以方程()12f x x =在(]0,100x ∈中所有解的和5123.【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系及给定区间上的解析式求解析式，在所求解析式的区间上任取变量，再变换到已知解析式的区间上是解题的关键.21．如果实数[],,02πx y ∈，且满足()cos cos cos x y x y +=+，则称x 、y 为“余弦相关”的. (1)若π2x =，请求出所有与之“余弦相关”的实数y ； (2)若两数x 、y 为“余弦相关”的，求证：3ππx y ≤+≤；(3)若不相等的两数x 、y 为“余弦相关”的，求证：存在唯一的实数[]02,πz ∈，使得x 、z 为“余弦相关”的，y 、z 也为“余弦相关”的. 【答案】(1)34πy =或7π4；(2)证明见解析； (3)证明见解析.【分析】（1）将π2x =代入已知条件求得tan 1y =-，即可得实数y ；（2）先应用反证法证明πx y +≥，再根据定义证2πx -，2πy -也是余弦相关的，结合前一结论证3πx y +≤，即可；（3）先证存在性：记3πz x y =--，易得()cos cos x z y +=-、cos cos cos x z y +=-，即得x ，z 为“余弦相关”的，同理证y 、z 也为“余弦相关”的；再证唯一性：x ，y ，z 中任意两个数灯“余弦相关”的，得到三角方程()cos cos cos t z t z +=+，应用三角恒等变换、正弦型函数的性质，将问题化为cos sin 22sin 2z z t z ⎛⎫+=⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭在()0,2π内两个不同的解x 和y ，得到3πz x y =--即可.【详解】（1）将π2x =代入得2πcos cos y y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故sin cos y y -=，故tan 1y =-，又[]2π0,y ∈，则34πy =或7π4.（2）已知[],,02πx y ∈满足()cos cos cos x y x y +=+. 先证πx y +≥：若πx y +<，由余弦函数单调性知：()cos cos x y x +≤， 从而()cos cos cos 0y x y x =+-≤，故π2y ≥，同理π2x ≥.相加得：πx y +≥与假设矛盾，故πx y +≥. 再证3πx y +≤：易知2πx -，[]2π0,2πy -∈，()()()()cos 2π2πcos cos cos cos 2πcos 2πx y x y x y x y -+-=+=+=-+-，故2πx -，2πy -也是余弦相关的.从而利用以上结论，有()()2π2ππx y -+-≥，即3πx y +≤. 综上，3ππx y ≤+≤.（3）证存在性：记3πz x y =--，由（2）知[]02,πz ∈，而()()3cos cos πcos x z y y +=-=-， 且()()cos cos cos cos 3πcos cos cos x z x x y x x y y +=+--=-+=-.从而()cos cos cos x z x z +=+，故x ，z 为“余弦相关”的，同理，y 、z 也为“余弦相关”的. 证唯一性：x ，y ，z 中任意两个数灯“余弦相关”的， 代入检验易知x ，y ，z 均不为0和π，故(),,0,2πx y z ∈. 注意到()cos cos cos x z x z +=+，()cos cos cos y z y z +=+，x y ≠ 固定z ，引入关于t 的三角方程()cos cos cos t z t z +=+.移项，和差化积，得2sin sin cos 22z z t z ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而cos sin 22sin 2z z t z ⎛⎫+= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，其中()0,π2z ∈，x 和y 为该方程在()0,2π内两个不同的解.利用()sin 2z f t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在()0,2πt ∈内图象知，x 和y 关于函数在()0,2π内的一条对称轴对称.注意到(),2π0,3π222z z z t ⎛⎫+∈+⊂ ⎪⎝⎭，故对称轴可能π22zt =-或3π22z -或5π22z -. 从而πx y z +=-或3πz -或5πz -.由（2），[]π,3πx y +∈，而()0,2πz ∈，故ππz -<，5π3πz ->. 从而只能是3πx y z +=-，即3πz x y =--.【点睛】关键点点睛：第二问，根据新定义求证不等式关系，注意反证法的应用；第三问，记3πz x y =--并从存在性、唯一性两方面证明结论.。

交大附中高二期中数学卷2019.11一. 填空题1. 若(2,1)n =-r 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）2. 直角坐标平面xOy 中，若定点(1,2)A 与动点(,)P x y 满足4OP OA ⋅=uu u r uu r ，则点P 的轨迹方程是3. 已知圆22440x x y --+=的圆心是点P ，则点P 到直线10x y --=的距离是4. 若向量a r ，b r 满足||1a =r ，||2b =r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则||a b +=r r 5. 三阶行列式42354112k---第2行第1列元素的代数余子式为10-，则k =6. 点(3,4)P 关于直线1x y -=的对称点的坐标是7. 己知两点(3,4)A ，(1,5)B -，直线l ：1y kx =-与线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角α的取值范围8. 已知点(10,2)A -，(5,7)B ，若在x 轴上存在一点P ，使||||PA PB -最小，则点P 的坐 标为9. 若圆2220)x y R R +=>（和曲线||||134x y +=恰有六个公共点，则R 的值是 10. 给出以下关于线性方程组解的个数的命题①111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩；②111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩；③11112222a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎨++=⎩；④111222333a x b y c a x b y c a x b y c +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩. （1）方程组①可能有无穷多组解；（2）方程组②可能有且只有两组不同的解；（3）方程组③可能有且只有唯一一组解；（4）方程组④可能有且只有唯一一组解. 其中真命题的序号为11. 如图，边长为4的正方形ABCD 中，半径为1的动圆Q 的圆心Q 在边CD 和DA 上移动（包含端点A ，C ，D ），P 是圆Q 上及其内部动点，设(,)BP mBC nBA m n =+∈R uu r uu u r uu r ，则m n +的取值范围是12. 若实数1x 、2x 、1y 、2y ，满足22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，则1122|1||1|x y x y +-++-的最大值为二. 选择题13. 下列等式中不恒成立的是（ ）A. a b b a ⋅=⋅r r r rB. ()a b a b λλ⋅=⋅r r r rC. 222()a b a b ⋅=⋅r r r rD.22||||()()a b a b a b -=+⋅-r r r r r r 14. 方程223820x xy y -+=所表示的曲线的对称性是（ ）A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于y x =轴对称D. 关于原点对称15. 己知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）A. 无论k ，1P ，2P 如何，总是无解B. 无论k ，1P ，2P 如何，总有唯一解C. 存在k ，1P ，2P ，使之恰有两解D. 存在k ，1P ，2P 使之有无穷多解16. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线1l 、2l 同侧，则P 到1l 、2l 的距离分别为1、3，点M ，N 分别在1l 、2l 上，||8PM PN +=uuu r uuu r ，则PM PN ⋅uuu r uuu r 的最大值为（ ）A. 15B. 12C. 10D. 9三. 解答题17. 已知直线l :(2)()0a b x a b y a b ++++-=及点(3,4)P .（1）证明：直线l 过某定点，并求该定点的坐标；（2）当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程.18. 已知(sin ,1)a θ=r ，(1,cos )b θ=r ，[,]44ππθ∈-. （1）求2||a b +r r 的最大值；（2）设a r 与b r 的夹角为ϕ，求ϕ的取值范围.19. 在平面上，给定非零向量b r ，对任意向量a r ，定义122()||a b a a b b ⋅=-⋅r r u r r r r . （1）若(1,2)a =r ，(1,1)b =-r ，求1a ur ；（2）设(1,2)b =r ，证明：若位置向量a r 的终点在直线3450x y ++=上，则位置向量1a ur 的终点轨迹是一条直线，并求此直线的方程.20. 已知两个定点(0,4)A ，(0,1)B ， 动点P 满足||2||PA PB =，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：4y kx =-.（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点，且120COD ∠=︒ (O 为坐标原点)，求直线l 的斜率；（3）若1k =，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线OM 、ON ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.21. 在平面直角坐标系xOy 中，已如(1,1)A --，(2,1)B -，(,)C m n 为三个不同的定点，以 原点O 为圆心的圆与线段AB ，AC ，BC 都相切.（1）求圆O 的方程及m 、n 的值；（2）若直线l :()y x t t =-+∈R 与圆O 相交于M 、N 两点，且12OM ON ⋅=-uuu r uuu r ，求t 的值； （3）在直线AO 上是否存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有||||PA PQ λ= （λ为常数）？若存在，求出点Q 的坐标及λ的值，若不存在，请说明理由.参考答案一. 填空题1. arctan22. 24x y +=3.4.5. 14-6. (5,2)7. [,arctan 6]4ππ- 8. (12,0)9. 3 10. （1）（4） 11. [144-12. 2二. 选择题 13. C 14. D 15. B 16. A三. 解答题17.（1）证明略，(2,3)-；（2）570x y ++=.18.（1）3+；（2）]2π. 19.（1）(2,1)a =r ；（2）证明略.20.（1）224x y +=；（2）；（3）(1,1)-.21.（1）221x y +=，1m =-，3n =；（2）t =；（3）11(,)22Q --，λ=。

上海交通大学附属中学09-10学年高二上学期期中考试数学试卷（本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟，答案一律写在答题纸上）命题：李嫣 审核：杨逸峰 校对：冼巧洁一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。

1.在数列21121,0,,,,,98n n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，225是它的第_________项。

2.方程22310x x -+=两根的等比中项是___________。

3．ABC ∆中，AB BC CA ++=_______________。

4．已知21110011(2)101n m n n n a n n -⎧≤≤⎪⎪+=⎨⎪+>⎪⎩（正整数m 为常数），则lim n n a →∞= 。

5. 等差数列{}n a 中，n S 是前n 项和，且k S S S S ==783,，则k =_________。

6. 在1，2之间插入n 个正数12,,,n a a a ⋅⋅⋅，使这n+2个数成等比数列，则123n a a a a ⋅⋅⋅=_________。

7. 给出以下命题（1）若非零向量a 与b 互为负向量，则//a b ；（2）0a =是0a =的充要条件；（3）若a b =，则a b =±；（4）物理学中的作用力和反作用力互为负向量。

其中为真命题的是___________________。

8．有纯酒精20升，倒出3升后，以水补足20升 ，这叫第一次操作，第二次操作再倒出3升，再以水补足20升，如此继续下去，则至少操作______次，该酒精浓度降到30%以下。

9.设111()123f n n=+++⋅⋅⋅+，那么1(2)(2)k k f f +-=_____________________。

10. 已知数列{n a }的前n 项和S n =n 2-9n ，若它的第k 项满足5<a k <8，则k= 。