{高中试卷}上海交大附中高二下学期期中考试(数学含答案)[仅供参考]

2017-2018学年上海交大附中高二（下）期中数学试卷一、填空题（本大题满分56分）1．抛物线y2=x的准线方程为______．2．计算i+2i2+3i3+…+2016i2016=______．3．异面直线a，b成60°，直线c⊥a，则直线b与c所成的角的范围为______．4．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为______．5．已知△AOB内接于抛物线y2=4x，焦点F是△AOB的垂心，则点A，B的坐标______．6．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN 是异面直线的图形有______．（填上所有正确答案的序号）7．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，则|z1+z2|等于______．8．三个平面能把空间分为______部分．（填上所有可能结果）9．已知复数Z1，Z2满足|Z1|=2，|Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为60°，则=______．10．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，，则复数|z1+z2|=______．11．二面角α﹣l﹣β的平面角为120°，在面α内，AB⊥l于B，AB=2在平面β内，CD⊥l 于D，CD=3，BD=1，M是棱l上的一个动点，则AM+CM的最小值为______．12．已知虚数z=（x﹣2）+yi（x，y∈R），若|z|=1，则的取值范围是______．13．已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，A，B是C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则△ABF的面积等于______．14．如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣4交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=﹣5交于Q点，当P为抛物线上位于线段AB下方（含A，B）的动点时，则△OPQ面积的最大值为______．二、选择题（本大题满分20分，共计4小题，每题5分）15．在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直16．（1）两个共轭复数的差是纯虚数；（2）两个共轭复数的和不一定是实数；（3）若复数a+bi（a，b∈R）是某一元二次方程的根，则a﹣bi是也一定是这个方程的根；（4）若z为虚数，则z的平方根为虚数，其中正确的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．017．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线A1B1和直线BC的距离相等，则动点P所在曲线形状为（）A．B．C．D．18．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个，其中正确的是（）①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b=P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β=b，P∈α，P∈β⇒P∈b．A．①②B．②③C．①④D．③④三、解答题（满分74分）19．已知复数z1=+（a2﹣3）i，z2=2+（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．（1）若复数z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m=0的根，求实数m值．20．如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，DD1⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=45°，且AD，AB，AA1三条棱的长组成公比为的等比数列，（1）求异面直线AD1与BD所成角的大小；（2）求二面角B﹣AD1﹣D的大小．21．已知z为复数，ω=z+为实数，（1）当﹣2＜ω＜10，求点Z的轨迹方程；（2）当﹣4＜ω＜2时，若u=（α＞0）为纯虚数，求：α的值和|u|的取值范围．22．动圆M与圆（x﹣1）2+y2=1相外切且与y轴相切，则动圆M的圆心的轨迹记C，（1）求轨迹C的方程；（2）定点A（3，0）到轨迹C上任意一点的距离|MA|的最小值；（3）经过定点B（﹣2，1）的直线m，试分析直线m与轨迹C的公共点个数，并指明相应的直线m的斜率k是否存在，若存在求k的取值或取值范围情况[要有解题过程，没解题方程只有结论的只得结论分]．23．已知复数z1=m+ni（m，n∈R），z=x+yi（x，y∈R），z2=2+4i且．（1）若复数z1对应的点M（m，n）在曲线上运动，求复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程；（2）将（1）中的轨迹上每一点按向量方向平移个单位，得到新的轨迹C，求C的轨迹方程；（3）过轨迹C上任意一点A（异于顶点）作其切线，交y轴于点B，求证：以线段AB为直径的圆恒过一定点，并求出此定点的坐标．2015-2016学年上海交大附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）1．抛物线y2=x的准线方程为x=﹣．【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1，由此可得抛物线y2=x的准线方程．【解答】解：抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1∴∴抛物线y2=x的准线方程为x=﹣故答案为：x=﹣2．计算i+2i2+3i3+…+2016i2016=1008﹣1008i．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数单位的幂运算，化简求解即可．【解答】解：i+2i2+3i3+…+2016i2016=（i﹣2﹣3i+4）+（5i﹣6﹣7i+8）+…+2016=504（2﹣2i）=1008﹣1008i．故答案为：1008﹣1008i．3．异面直线a，b成60°，直线c⊥a，则直线b与c所成的角的范围为[30°，90°] ．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】作b的平行线b′，交a于O点，所有与a垂直的直线平移到O点组成一个与直线a垂直的平面α，O点是直线a与平面α的交点，在直线b′上取一点P，作垂线PP'⊥平面α，交平面α于P'，∠POP'是b′与面α的线面夹角，在平面α所有与OP'垂直的线，由此能求出直线b与c所成的角的范围．【解答】解：如图作b的平行线b′，交a于O点，所有与a垂直的直线平移到O点组成一个与直线a垂直的平面α，O点是直线a与平面α的交点，在直线b′上取一点P，作垂线PP'⊥平面α，交平面α于P'，∠POP'是b′与面α的线面夹角，∠POP'=30°．在平面α中，所有与OP'平行的线与b′的夹角都是30°．在平面α所有与OP'垂直的线∵PP'⊥平面α，∴该线⊥PP′，则该线⊥平面OPP'，∴该线⊥b'，与b'的夹角为90°，与OP'夹角大于0°，小于90°的线，与b'的夹角为锐角且大于30°．∴直线b与c所成的角的范围[30°，90°]．故答案为：[30°，90°]．4．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．【解答】解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM与CN所成角设边长为1，则B1E=B1F=，EF=∴cos∠EB1F=，故答案为5．已知△AOB内接于抛物线y2=4x，焦点F是△AOB的垂心，则点A，B的坐标A（5，2），B（5，﹣2）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据垂心的性质可得A，B关于x轴对称，且AF⊥OB，设A（，y1）（y1＞0），则B（，﹣y1）．求出AF，OB的斜率，令k OB•k AF=﹣1解出y1即可得出A，B的坐标．【解答】解：抛物线焦点F（1，0），∵焦点F是△AOB的垂心，∴直线AB⊥x轴．∴A，B关于x轴对称．设A（，y1）（y1＞0），则B（，﹣y1）．∴k OB==﹣．k AF==．∵焦点F是△AOB的垂心，∴AF⊥OB．∴k OB•k AF=﹣1，即﹣•=﹣1，解得y1=2．∴A（5，2），B（5，﹣2）．故答案为：A（5，2），B（5，﹣2）．6．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN 是异面直线的图形有（2）、（4）．（填上所有正确答案的序号）【考点】异面直线的判定．【分析】图（1）中，直线GH∥MN，图（2）中M∉面GHN，图（3）中GM∥HN，图（4）中，H∉面GMN．【解答】解析：如题干图（1）中，直线GH∥MN；图（2）中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图（3）中，连接MG，GM∥HN，因此，GH与MN共面；图（4）中，G、M、N共面，但H∉面GMN，∴GH与MN异面．所以图（2）、（4）中GH与MN异面．故答案为：（2）、（4）7．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，则|z1+z2|等于1．【考点】复数求模；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，故可令z1=cosA+isinA，z2=cosB+isinB，代入，|z1﹣z2|=，及|z1+z2|，比较即可求得所求的答案【解答】解：∵复数z1，z2满足|z1|=1，|z2|=1，可令z1=cosA+isinA，z2=cosB+isinB∵|z1﹣z2|=，故有（cosA﹣cosB）2+（sinA﹣sinB）2=3，整理得2cosAcosB+2sinAsinB=﹣1又|z1+z2|2=（cosA+cosB）2+（sinA+sinB）2=2+2cosAcosB+2sinAsinB=1∴|z1+z2|=1故答案为：1．8．三个平面能把空间分为4，或6，或7，或8部分．（填上所有可能结果）【考点】平面的基本性质及推论．【分析】此类问题可以借助实物模型来研究，用房屋的结构来研究就行．【解答】解：若三个平面两两平行，则把空间分成4部分；若三个平面两两相交，且共线，则把空间分成6部分；若三个平面两两相交，且有三条交线，则把空间分成7部分；当两个平面相交，第三个平面同时与两个平面相交时，把空间分成8部分，故答案为：4，或6，或7，或8．9．已知复数Z1，Z2满足|Z1|=2，|Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为60°，则=．【考点】余弦定理的应用；复数求模．【分析】由余弦定理可得Z1+Z2|=，|Z1﹣Z2|=，故==【解答】解：如图在三角形OBC中由余弦定理得|Z1+Z2|=|OB|==，同理可得|Z1﹣Z2|=|CA=|=，∴===10．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，，则复数|z1+z2|=．【考点】复数求模．【分析】复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，，判断三角形是直接三角形，即可求得所求的答案．【解答】解：因为|z1|=|z2|=1，，所以复数z1，z2，构成的三角形是直角三角形，|z1+z2|是平行四边形的对角线，则|z1+z2|=．故答案为：．11．二面角α﹣l﹣β的平面角为120°，在面α内，AB⊥l于B，AB=2在平面β内，CD⊥l于D，CD=3，BD=1，M是棱l上的一个动点，则AM+CM的最小值为．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】要求出AM+CM的最小值，可将空间问题转化成平面问题，将二面角展开成平面中在BD上找一点使AM+CM即可，而当A、M、C在一条直线时AM+CM的最小值，从而求出对角线的长即可．【解答】解：将二面角α﹣l﹣β平摊开来，即为图形当A、M、C在一条直线时AM+CM的最小值，最小值即为对角线AC而AE=5，EC=1故AC=故答案为：12．已知虚数z=（x﹣2）+yi（x，y∈R），若|z|=1，则的取值范围是[﹣，]．【考点】复数求模；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数的模，利用模长公式得：（x﹣2）2+y2=1，根据表示动点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率．根据直线与圆相切的性质得到结果．【解答】解：∵复数（x﹣2）+yi（x，y∈R）的模为1，∴（x﹣2）2+y2=1根据表示动点（x，y）到定点（0，0）的斜率知：的最大值是，同理求得最小值是﹣，如图示：∴的取值范围是[﹣，]故答案为：[﹣，]．13．已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，A，B是C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则△ABF的面积等于2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则，=4x2，两式相减可得：（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），利用中点坐标公式、斜率计算公式可得k AB，可得直线AB的方程为：y﹣2=x﹣2，化为y=x，与抛物线方程联立可得A，B的坐标，利用弦长公式可得|AB|，再利用点到直线的距离公式可得点F到直线AB的距离d，利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：∵F是抛物线C：y2=4x的焦点，∴F（1，0）．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，=4x2，两式相减可得：（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），∵线段AB的中点为M（2，2），∴y1+y2=2×2=4，又=k AB，4k AB=4，解得k AB=1，∴直线AB的方程为：y﹣2=x﹣2，化为y=x，联立，解得，，∴|AB|==4．点F到直线AB的距离d=，∴S△ABF===2，故答案为：2．14．如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣4交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=﹣5交于Q点，当P为抛物线上位于线段AB下方（含A，B）的动点时，则△OPQ面积的最大值为30．【考点】二次函数的性质．【分析】把直线方程抛物线方程联立求得交点A，B的坐标，则AB中点M的坐标可得，利用AB的斜率推断出AB垂直平分线的斜率，进而求得AB垂直平分线的方程，把y=﹣5代入求得Q的坐标；设出P的坐标，利用P到直线0Q的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得QO的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形OPQ，利用x的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．【解答】解：直线y=x与抛物线y=x2﹣4联立，得到A（﹣4，﹣2），B（8，4），从而AB的中点为M（2，1），由k AB═，直线AB的垂直平分线方程y﹣1=﹣2（x﹣2）．令y=﹣5，得x=5，∴Q（5，﹣5）．∴直线OQ的方程为x+y=0，设P（x，x2﹣4）．∵点P到直线OQ的距离d==|x2+8x﹣32|，|OQ|=5，∴S△OPQ=|OQ|d=|x2+8x﹣32|，|∵P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，∴﹣4≤x＜4﹣4或4﹣4＜x≤8．∵函数y=x2+8x﹣32在区间[﹣4，8]上单调递增，∴当x=8时，△OPQ的面积取到最大值30．故答案为：30．二、选择题（本大题满分20分，共计4小题，每题5分）15．在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】直线AB与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交，可得结论．【解答】解：如图，在正方体AC1中：∵A1B∥D1C∴A1B与D1C可以确定平面A1BCD1，又∵EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，∴直线A1B与直线EF的位置关系是相交，故选A．16．（1）两个共轭复数的差是纯虚数；（2）两个共轭复数的和不一定是实数；（3）若复数a+bi（a，b∈R）是某一元二次方程的根，则a﹣bi是也一定是这个方程的根；（4）若z为虚数，则z的平方根为虚数，其中正确的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】的真假判断与应用；复数的基本概念．【分析】直接利用复数的基本概念频道的真假即可．【解答】解：（1）两个共轭复数的差是纯虚数；如果两个复数是实数，差值也是实数，所以（1）不正确；（2）两个共轭复数的和不一定是实数；不正确，和一定是实数；（3）若复数a+bi（a，b∈R）是某一元二次方程的根，则a﹣bi是也一定是这个方程的根；不正确，因为实系数方程的虚根是共轭复数，所以（3）不正确；（4）若z为虚数，则z的平方根为虚数，如果虚数为i，则设z=x+yi（x，y∈R），由z2=（x+yi）2=i，得x2﹣y2+2xyi=i，∴，解得：或．∴z=+i或z=﹣﹣i．所以正确．故选：C．17．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线A1B1和直线BC的距离相等，则动点P所在曲线形状为（）A．B．C．D．【考点】轨迹方程．【分析】点P到BC的距离就是当P点到B的距离，它等于到直线A1B1的距离，满足抛物线的定义，推断出P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分．从而得出正确选项．【解答】解：依题意可知点P到BC的距离就是当P点B的距离，P到点B的距离等于到直线A1B1的距离，根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分．A的图象为直线的图象，排除A．B项中B不是抛物线的焦点，排除B．D项不过A点，D排除．故选C．18．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个，其中正确的是（）①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b=P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β=b，P∈α，P∈β⇒P∈b．A．①②B．②③C．①④D．③④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据公理1及直线在面内的定义，逐一对四个结论进行分析，即可求解．【解答】解：当a∩α=P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；当a∩β=P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．故选D三、解答题（满分74分）19．已知复数z1=+（a2﹣3）i，z2=2+（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．（1）若复数z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m=0的根，求实数m值．【考点】复数代数形式的混合运算；复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】（1）由题设条件，可先通过复数的运算求出的代数形式的表示，再由其几何意义得出实部与虚部的符号，转化出实数a所满足的不等式，解出其取值范围；（2）实系数一元二次方程x2﹣6x+m=0的两个根互为共轭复数，利用根与系数的关系求出a 的值，从而求出m的值．【解答】解：（1）由条件得，z1﹣z2=（）+（a2﹣3a﹣4）i…因为z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，故有…∴解得﹣2＜a＜﹣1…（2）因为虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m=0的根所以z1+==6，即a=﹣1，…把a=﹣1代入，则z1=3﹣2i，=3+2i，…所以m=z1•=13…20．如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，DD1⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=45°，且AD，AB，AA1三条棱的长组成公比为的等比数列，（1）求异面直线AD1与BD所成角的大小；（2）求二面角B﹣AD1﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）不妨设AD=1，由AD，AB，AA1三条棱的长组成公比为的等比数列，可得AB=，AA1=2．在△ABD中，利用余弦定理可得：DB=1．利用勾股定理的逆定理可得∠ADB=90°．由DD1⊥底面ABCD，可得DD1⊥DB，可得DB⊥平面ADD1，即可得出异面直线AD1与BD所成角．（2）由（1）可得：DB⊥平面ADD1．在Rt△ADD1中，经过点D作DO⊥AD1，垂足为O，连接OB，可得OB⊥AD1．∠BOD即为二面角B﹣AD1﹣D的平面角．利用直角三角形的边角关系即可得出．【解答】解：（1）不妨设AD=1，∵AD，AB，AA1三条棱的长组成公比为的等比数列，∴AB=，AA1=2．在△ABD中，DB2==1，解得DB=1．∴AD2+DB2=AB2，∠ADB=90°．∴AD⊥DB．∵DD1⊥底面ABCD，DB⊂平面ABCD，∴DD1⊥DB，又AD∩DD1=D，∴DB⊥平面ADD1，∴DB⊥AD1，∴异面直线AD1与BD所成角为90°．（2）由（1）可得：DB⊥平面ADD1．在Rt△ADD1中，经过点D作DO⊥AD1，垂足为O，连接OB，则OB⊥AD1．∴∠BOD即为二面角B﹣AD1﹣D的平面角．在Rt△ADD1中，OD===．在Rt△ODB中，tan∠BOD===．∴∠BOD=arctan．21．已知z为复数，ω=z+为实数，（1）当﹣2＜ω＜10，求点Z的轨迹方程；（2）当﹣4＜ω＜2时，若u=（α＞0）为纯虚数，求：α的值和|u|的取值范围．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】（1）设z=x+yi，x，y∈R，则ω=+i为实数，可得y﹣=0，因此y=0，或x2+y2=9．通过分类讨论即可得出．（2）由（1）可得：①y=0时，ω=x+，由﹣4＜ω＜2，可得﹣4＜＜2，利用基本不等式的性质即可得出．②x2+y2=9时．ω=2x，由于﹣4＜ω＜2，即可得出x的取值范围．由u=（α＞0）为纯虚数，化简可得α，再利用模的计算公式、函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）设z=x+yi，x，y∈R，则ω=z+=x+yi+=x+yi+=+i为实数，∴y﹣=0，∴y=0，或x2+y2=9．①y=0时，ω=x+∵﹣2＜ω＜10，∴﹣2＜＜10，x＞0时，解得1＜x＜9．x＜0时，x∈∅．综上可得：y=0时，点Z的轨迹方程是．②x2+y2=9时．ω=2x，∵﹣2＜ω＜10，∴﹣2＜2x＜10，解得﹣1＜x＜5．因此x2+y2=9时．可得：点Z的轨迹方程是x2+y2=9（﹣1＜x＜5）．（2）由（1）可得：①y=0时，ω=x+∵﹣4＜ω＜2，∴﹣4＜＜2，∵x＜0时，≤﹣6；x＞0时，≥6．综上可得：y=0时，x∈∅，点Z的轨迹无方程．②x2+y2=9时．ω=2x，∵﹣4＜ω＜2，∴﹣4＜2x＜2，解得﹣2＜x＜1．∵u=（α＞0）为纯虚数，u==，∴α2﹣9=0，2yα≠0，解得α=3，y≠0．∴u==，∵x∈（﹣2，1），∴|u|===∈．∴α=3，|u|∈．22．动圆M与圆（x﹣1）2+y2=1相外切且与y轴相切，则动圆M的圆心的轨迹记C，（1）求轨迹C的方程；（2）定点A（3，0）到轨迹C上任意一点的距离|MA|的最小值；（3）经过定点B（﹣2，1）的直线m，试分析直线m与轨迹C的公共点个数，并指明相应的直线m的斜率k是否存在，若存在求k的取值或取值范围情况[要有解题过程，没解题方程只有结论的只得结论分]．【考点】轨迹方程．【分析】（1）设出动圆圆心M的坐标，利用动圆M与y轴相切且与圆（x﹣1）2+y2=1外切建立方程，化简得答案；（2）设M的坐标，利用两点间的距离公式结合配方法求得定点A（3，0）到轨迹C上任意一点的距离|MA|的最小值；（3）写出过B斜率存在的直线方程，联立直线方程与抛物线方程，由判别式等于0求得k 值，再结合图形求得直线m与轨迹C的公共点个数，并分析对应的斜率情况．【解答】解：（1）设动圆圆心M的坐标为（x，y），则，∴（x﹣1）2+y2=x2+2|x|+1，当x＜0时，y=0；当x≥0时，y2=4x；（2）如图，由图可知，M到轨迹C上的点与A的距离最小，则M在抛物线y2=4x上，设M（x，y），则|MA|===．∴当x=1，即M（1，±2）时，|MA|的最小值为；（3）设过B与抛物线y2=4x相切的直线方程为y﹣1=k（x+2），即y=kx+2k+1，联立，得k2x2+（4k2+2k﹣4）x+4k2+4k+1=0．由△=（4k2+2k﹣4）2﹣4k2（4k2+4k+1）=0，解得：k=﹣1或k=．∴当直线m的斜率k不存在时或斜率存在为0时或直线m的斜率k∈（，+∞）∪（﹣∞，﹣1）时，m与C有1个交点；当直线m的斜率为k=﹣1或k=或k∈[﹣，0）时，m与C有2个交点；当直线m的斜率k∈（0，）∪（﹣1，﹣）时，m与C有3个交点．23．已知复数z1=m+ni（m，n∈R），z=x+yi（x，y∈R），z2=2+4i且．（1）若复数z1对应的点M（m，n）在曲线上运动，求复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程；（2）将（1）中的轨迹上每一点按向量方向平移个单位，得到新的轨迹C，求C的轨迹方程；（3）过轨迹C上任意一点A（异于顶点）作其切线，交y轴于点B，求证：以线段AB为直径的圆恒过一定点，并求出此定点的坐标．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）根据复数条件求出关系式，结合复数z1对应的点M（m，n）在曲线上运动即可得出复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程；（2）先按向量方向平移个单位得到即为向 x 方向移动 1×=个单位，向 y 方向移动 1×1=1 个单位，再进行函数式的变换即可得出C 的轨迹方程； （3）设A （x 0，y 0），斜率为k ，切线y ﹣y 0=k （x ﹣x 0） 代入（y +6）2=﹣2x ﹣3消去x 得到关于y 的一元二次方程，再结合根的判别式为0利用向量的数量即可求得定点，从而解决问题．【解答】解：（1）∵i ﹣z 2=（m ﹣ni ）•i ﹣（2+4i ）=（n ﹣2）+（m ﹣4）i ；∴⇒．∵复数z 1对应的点M （m ，n ）在曲线上运动∴x +2=﹣（y +7）2﹣1⇒（y +7）2=﹣2（x +3）．复数z 所对应的点P （x ，y ）的轨迹方程：（y +7）2=﹣2（x +3）．（2）∵按向量方向平移个单位，==1×．即为向 x 方向移动 1×=个单位，向 y 方向移动 1×1=1 个单位（y +7）2=﹣2（x +3）⇒y +7=±．得轨迹方程 y +7=±⇒（y +6）2=﹣2（x +）=﹣2x ﹣3．C 的轨迹方程为：（y +6）2=﹣2x ﹣3． （3）设A （x 0，y 0），斜率为k ，切线y ﹣y 0=k （x ﹣x 0） （k ≠0）， 代入（y +6）2=﹣2x ﹣3整理得：（y +6）2=﹣2（）﹣3，△=0⇒k=，设定点M （1，0），且．∴以线段AB 为直径的圆恒过一定点M ，M 点的坐标（1，0）．2016年9月14日。

上海交通大学附属中学2018-2019学年度第二学期高二数学期中考试试卷一、填空题：本大题共12个小题,满分54分. 将答案填在答题纸上1.如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共可确定_________个平面.【答案】1【分析】两条平行直线确定1个平面，根据两点在平面上可知直线也在平面上，从而得到结果. 【详解】两条平行直线可确定1个平面Q 直线与两条平行直线交于不同的两点 ∴该直线也位于该平面上∴这三条直线可确定1个平面本题正确结果：1【点睛】本题考查空间中直线与平面的关系，属于基础题.2.已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于________【答案】9π由球的体积公式，可得34363r ππ=，则3r =，所以主视图的面积为239S ππ=⨯=. 3.若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为a = ．【答案】4试题分析：2V a =⨯=4a =． 考点：棱柱的体积．【名师点睛】1．解答与几何体的体积有关的问题时，根据相应的体积公式，从落实公式中的有关变量入手去解决问题，例如对于正棱锥，主要研究高、斜高和边心距组成的直角三角形以及高、侧棱和外接圆的半径组成的直角三角形；对于正棱台，主要研究高、斜高和边心距组成的直角梯形．2．求几何体的体积时，若给定的几何体是规则的柱体、锥体或台体，可直接利用公式求解；若给定的几何体不能直接利用公式得出，常用转换法、分割法、补形法等求解．4.如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB u u u u r 的坐标为(4,3,2)，则1AC u u u u v 的坐标为________【答案】(4,3,2)-如图所示，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，因为1DB u u u u r 的坐标为(4,3,2)，所以(4,0,0),(0,3,2)A C ,所以1(4,3,2)AC =-u u u u v.5.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 【答案】1arccos 3.设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由题意23rl r ππ=，即3l r =，母线与底面夹角为θ，则1cos 3r l θ==为，1arccos 3θ=. 【考点】圆锥的性质，圆锥的母线与底面所成的角，反三角函数.6.已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，,A B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图，若直线OA 与OB 所成角的大小为6π，则1r=__________【答案】试题分析：如图，过A 作与BC 平行的母线AD ，连接OD ，则∠OAD 为直线OA 与BC 所成的角，大小为，在直角三角形ODA 中，因为∠OAD=，所以，故答案为。

上海市交通大学附属中学2022-2023学年高二下期中数学试卷一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.已知集合{}2|680A x x x =-+≤，{||1|2,Z}B x x x =-<∈，则A B = ___________.2.已知(1,0)a = ，(3,4)b = ，则向量a 在向量b 方向上的数量投影为___________.3.已知直线1:10l mx y -+=，直线2:420l x my -+=，若12//l l ，则m =_____________．4.已知复数z 满足i 34i z =+（i 是虚数单位），则z =___________.5.函数2y =的最小值是______．6.母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8π5，则该圆锥的体积为___________.7.直线l 过点(2,3)P ，当原点到直线l 的距离最大时，直线l 的方程为___________.8.设常数a使方程sin x x a +=在闭区间[]0,2π上恰有三个不同的解123,,x x x ，则实数a 的取值为___________.9.设随机变量()12,X B p ~，若()8E X ≤，则()D X 的最大值为___________.10.研究人员开展甲、乙两种药物的临床抗药性研究实验，事件A 为“对药物甲产生抗药性”，事件B 为“对药物乙产生抗药性”，事件C 为“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”．若()415P A =，()215P B =，()710P C =，则()P B A =______．11.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．12.如图，探测机器人从O 点出发，准备探测道路OA 和OB 所围的三角危险区域.已知机器人在道路OA 和OB 上探测速度可达每分钟2米，60AOB ∠=︒，在AOB ∠内为危险区域，探测速度为每分钟1米.假设机器人可随时从道路进入危险区域且可在危险区域各方向自由行动（不考虑转向耗时），则理论上，5分钟内机器人可达到探测的所有危险区域内的点组成的区域面积为___________.二、选择题（13、14每题4分，15、16每题5分，共18分）13.已知222:O x y r += ，直线223l x y r +=：，若l 与⊙O 相离，则（）A.点(2,3)P 在l 上B.点(2,3)P 在O 上C.点(2,3)P 在O 内D.点(2,3)P 在O 外14.某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数()R t 与天数t 之间满足关系式：()0e ktR t R =，其中k 为常数，0R 是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为（）（参考数据：lg20.3010≈）A.9B.10C.11D.1215.给定下列四个命题：①图像不经过点(1,1)-的幂函数一定不是偶函数；②若一条直线垂直于平面内的无穷多条直线，则这条直线垂直于这个平面；③有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱；④设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 是递增数列，则数列{}n S 也是递增数列；以上命题是真命题的序号是（）A.①②B.②③C.③④D.①③16.等轴双曲线Γ的焦点(,0)c ±，圆222:()C x c y r -+=(0,0)r c >>，则（）A.对于任意r ，存在c ，使圆C 与双曲线Γ右支恰有两个公共点B.对于任意r ，存在c ，使圆C 与双曲线Γ右支恰有三个公共点C.存在c ，使对于任意r ，圆C 与双曲线Γ右支至少有一个公共点D.存在c ，使对于任意r ，圆C 与双曲线Γ右支至多有两个公共点三、解答题（本大题共5道小题，共78分）17.某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A 处有一栋大楼，某学生选（与A 在同一水平面的）B ､C 两处作为测量点，测得BC 的距离为50m ，=45ABC ∠︒，105BCA ∠=︒，在C 处测得大楼楼顶D 的仰角α为75︒.（1）求,A C 两点间的距离；（2）求大楼的高度.（第（2）问不计测量仪的高度，计算结果精确到1m ）18.已知双曲线22:1C x y -=，及直线:1l y kx =-.（1）若l 与C 有且只有一个公共点，求实数k 的值；（2）若l 与C 的左右两支分别交于A 、B 两点，且OAB ，求实数k 的值.19.设a 为实数，函数2()||1,f x x x a x R =+-+∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性并说明理由；（2）求()f x 的最小值.20.直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率之积为1-，以线段AB 为半径的圆与直线l 交于P 、Q 两点．（1）求证：直线l 过定点；（2）求AB 中点的轨迹方程；（3）设()6,0M ，求22MP MQ +的最小值．21.已知ABC 的三个顶点都在椭圆22:143x y Γ+=上.（1）设它的三条线段AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，M ，且三条边所在线的斜率分别为123,,k k k ，且123,,k k k 均不为0.点O 为坐标原点，若直线OD ，OE ，OM 的斜率之和1.求证：123111k k k ++为定值；（2）当O 是ABC 的重心时，求证：ABC 的面积是定值；（3）如图，设ABC 的边AB 所在直线与x 轴垂直，垂足为椭圆右焦点F ，过点F 分别作直线12,l l 与椭圆交于,,,C D E G （不同于A ，B 两点），连接,CG DE 与AB 分别交于,M N ，求证：FM FN =.上海市交通大学附属中学2022-2023学年高二下期中数学试卷一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.已知集合{}2|680A x x x =-+≤，{||1|2,Z}B x x x =-<∈，则A B = ___________.【答案】{}2【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合A ，再解含绝对值符号的不等式化简集合B ，再利用交集的定义求解作答.【详解】解不等式2680x x -+≤，得(2)(4)0x x --≤，解得24x ≤≤，即{|24}A x x =≤≤，解不等式|1|2x -<，得212x -<-<，解得13x -<<，即{0,1,2}B =,所以{2}A B = .故答案为：{}22.已知(1,0)a = ，(3,4)b = ，则向量a在向量b 方向上的数量投影为___________.【答案】35##0.6【解析】【分析】利用向量的数量积转化求解向量a ，b在方向上的数量投影即可．【详解】解：设向量a 与b 的夹角是θ，则向量a 在b方向上的数量投影为：3||cos 5||a b a b θ⋅==．故答案为：353.已知直线1:10l mx y -+=，直线2:420l x my -+=，若12//l l ，则m =_____________．【答案】2-【解析】【分析】根据两直线平行的充要条件求解．【详解】因为12//l l ，所以2424m m ⎧-=-⎨≠⎩，解得2m =-．故答案为：2-4.已知复数z 满足i 34i z =+（i 是虚数单位），则z =___________.【答案】5【解析】【分析】根据复数的除法运算和共轭复数、模长的定义求解即可.【详解】由i 34i z =+可得()2i 34i 34i 43i i iz ++===-，所以43i z =+，5z ==，故答案为：55.函数2y =的最小值是______．【答案】2【解析】【分析】将函数化为y =++，注意运用基本不等式和二次函数的最值，同时注意最小值取得时，x 的取值要一致，即可得到所求最小值．【详解】解：函数22y ====++= ．当且仅当=0x =，取得等号．则函数的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意求最值的条件：一正二定三等，属于中档题和易错题．6.母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8π5，则该圆锥的体积为___________.【答案】128π【解析】【分析】求出侧面展开图的弧长和底面圆半径，再求出圆锥的高，由此计算圆锥的体积．【详解】因为母线长为10的圆锥的侧面展开图的圆心角等于8π5，所以侧面展开图的弧长为：810π16π5⨯=.设该圆锥的底面圆的半径为r ，所以2π16πr =，解得8r =，所以该圆锥的高6h ==，所以该圆锥的体积2211ππ86128π33V r h ==⨯⨯=.故答案为：128π.7.直线l 过点(2,3)P ，当原点到直线l 的距离最大时，直线l 的方程为___________.【答案】23130x y +-=【解析】【分析】作图分析可知，当原点到直线l 的距离最大时，OP l ⊥，求出l 的斜率，根据点斜式即可求出直线l 的方程.【详解】由题意知，OP l ⊥，32OP k =，所以直线l 的斜率23k =-，所以直线l 的方程为：()2323y x -=--，即23130x y +-=.故答案为：23130x y +-=.8.设常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[]0,2π上恰有三个不同的解123,,x x x ，则实数a 的取值为___________.【解析】【分析】利用辅助角公式得到方程的解的个数即为在[]0,2π上直线y a =与三角函数π2sin3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象的交点的个数，画出图象，数形结合得到当且仅当a =与三角函数图象恰有三个交点，得到答案.【详解】∵13πsin 2sin 2sin 223x x x x x a ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴方程的解即为在[]0,2π上直线y a =与三角函数π2sin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象的交点的横坐标，∵[]0,2πx ∈，∴ππ7π,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令π3z x =+，画出函数2sin y z =在π7π,33z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象，如下：由图象可知当且仅当a =.9.设随机变量()12,X B p ~，若()8E X ≤，则()D X 的最大值为___________.【答案】3【解析】【分析】根据二项分布的数学期望得p 的范围，再根据方差运算公式结合基本不等式求得()D X 的最大值.【详解】随机变量()12,X B p ~，由()8E X ≤可得0128p <≤，所以203p <≤又()()211211232p p D X p p +-⎛⎫=-≤⨯= ⎪⎝⎭当且仅当12p =时，“”=成立，故()D X 的最大值为3.故答案为：3.10.研究人员开展甲、乙两种药物的临床抗药性研究实验，事件A 为“对药物甲产生抗药性”，事件B 为“对药物乙产生抗药性”，事件C 为“对甲、乙两种药物均不产生抗药性”．若()415P A =，()215P B =，()710P C =，则()P B A =______．【答案】38##0.375【解析】【分析】求出()P A B ，结合()()()()P A B P A P B P AB =+- 求出()P AB ，进而利用求条件概率公式求出答案.【详解】由题意可知()()710P C P A B =⋂=，则()()73111010P A B P A B ⋃=-⋂=-=．又()()()()P A B P A P B P AB =+- ，所以()()()()423115151010P AB P A P B P A B =+-⋃=+-=，则()()()13104815P AB P B A P A ===．故答案为：3811.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．【答案】13【解析】【分析】利用离心率得到椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，根据离心率得到直线2AF 的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE 的斜率，写出直线DE 的方程：x c =-，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，利用弦长公式求得138c =，得1324a c ==，根据对称性将ADE V 的周长转化为2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到周长为413a =.【详解】∵椭圆的离心率为12c e a ==，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O π∠=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE 的斜率为33，直线DE 的方程：x c =-，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，判别式()22224139616c c ∆=+⨯⨯=⨯⨯，∴12226461313cDE y =-=⨯=⨯⨯⨯=，∴138c =，得1324a c ==，∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==.故答案为：13.12.如图，探测机器人从O 点出发，准备探测道路OA 和OB 所围的三角危险区域.已知机器人在道路OA 和OB 上探测速度可达每分钟2米，60AOB ∠=︒，在AOB ∠内为危险区域，探测速度为每分钟1米.假设机器人可随时从道路进入危险区域且可在危险区域各方向自由行动（不考虑转向耗时），则理论上，5分钟内机器人可达到探测的所有危险区域内的点组成的区域面积为___________.【答案】5033【解析】【分析】讨论机器人探测的路线，结合直线与圆的关系计算三角形面积即可.【详解】如图所示，机器人只在道路上前进可到达AB 点，则OA =OB =10米，作AOB ∠的角平分线OC ，过A 作AD ⊥OB ，垂足为D 点，交OC 于C 点，设机器人先在道路OA 上前进t 分钟到达P 点,此时2OP t =，AP=102t -，后进入危险区域，其能探测到达的点组成以P 为圆心，以()5t -为半径的圆弧 QR，由题意可知：1sin 2r OAD AP ==∠，即AD 与该圆弧相切，设切点为E ，故随P 点从O 移动到A ，机器人可探测的区域为OAD △，结合对称性，机器人5分钟能到达的点围成区域有OAD △与OBF ，即图中阴影部分，其面积为2OAC S ，易知OAC 为含120°的等腰三角形，所以区域面积为：215032sin12023OA ⨯⨯⨯=.故答案为：5033【点睛】本题关键在于对题意的理解，然后结合直线与圆的位置关系，利用角的对称性得出区域形状，再解三角形求区域面积，极容易出错，需要仔细审题.二、选择题（13、14每题4分，15、16每题5分，共18分）13.已知222:O x y r += ，直线223l x y r +=：，若l 与⊙O 相离，则（）A.点(2,3)P 在l 上B.点(2,3)P 在O 上C.点(2,3)P 在O 内D.点(2,3)P 在O 外【答案】C 【解析】【分析】根据l 与O2r >，即可推出||r OP >，即可得答案.【详解】由已知l 与O 相离,可知圆心到直线的距离大于半径，不妨设r 为222:O x y r +=22r =>，故r >，由于(2,3)P，则OP =||r OP >,则点(2,3)P 在O 内，故选：C ．14.某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数()R t 与天数t 之间满足关系式：()0e ktR t R =，其中k 为常数，0R 是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为（）（参考数据：lg20.3010≈）A.9 B.10 C.11D.12【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得()ln105e 100t R t =，结合()20000R t >及指对数关系、对数运算性质求解集，即可得结果.【详解】由题设0050(0)e 100(5)e 1000kR R R R ⎧==⎨==⎩，可得0100ln105R k =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以()ln105e100R t =，则ln105e10020000t >，故5ln 2005lg 2005(lg 22)11.50511ln10t ===⨯+≈>，所以教师用户超过20000名至少经过12天.故选：D15.给定下列四个命题：①图像不经过点(1,1)-的幂函数一定不是偶函数；②若一条直线垂直于平面内的无穷多条直线，则这条直线垂直于这个平面；③有两个相邻的侧面是矩形的棱柱是直棱柱；④设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a 是递增数列，则数列{}n S 也是递增数列；以上命题是真命题的序号是（）A.①②B.②③C.③④D.①③【答案】D 【解析】【分析】对①利用幂函数和偶函数特点即可判断，对②和④举反例即可，对③利用线面垂直的判定结合直棱柱的定义即可判断.【详解】对①， 幂函数的图象都过(1,1)，偶函数的图象关于y 轴对称，∴图象不经过点(1,1)-的莫函数一定不是偶函数，故①正确；对②，若平面内的无数条直线互相平行，则这条直线可以不垂直这个平面，故②错误；对③，若有两个相邻的侧面是矩形，则两侧面的交线即一条侧棱垂直于底面两相交的直线，则这条侧棱垂直于底面，根据棱柱侧棱互相平行，则所有侧棱均垂直于底面，则棱柱为直棱柱，故③正确；对④，当7n a n =-时,满足数列{}n a 是递增数列，116S a ==-，2126511S a a =+=--=-，则12S S >，不满足数列{}n S 是递增数列，故④不正确；故选：D.16.等轴双曲线Γ的焦点(,0)c ±，圆222:()C x c y r -+=(0,0)r c >>，则（）A.对于任意r ，存在c ，使圆C 与双曲线Γ右支恰有两个公共点B.对于任意r ，存在c ，使圆C 与双曲线Γ右支恰有三个公共点C.存在c ，使对于任意r ，圆C 与双曲线Γ右支至少有一个公共点D.存在c ，使对于任意r ，圆C 与双曲线Γ右支至多有两个公共点【答案】AD 【解析】【分析】联立方程可得2224420x cx c r -+-=，构建()222442f x x cx c r =-+-，根据二次函数讨论()f x 在[],c r c r -+上的零点分布，并结合对称性分析C 与Γ右支的交点个数.【详解】设双曲线方程为：2222c x y -=，联立方程()2222222c x y x c y r ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，消去y 得2224420x cx c r -+-=，由圆222:()C x c y r -+=可知：x 的取值范围为[],c r c r -+，构建()222442f x x cx c r =-+-，[],x c r c r ∈-+，则()f x 的对称轴2cx c c r =<<+，且()()()222222,20,2402c f c r r c c f r f c r r cr c ⎛⎫-=--=-<+=++>⎪⎝⎭，当()02f c r c c r ⎧-<⎪⎨-≥⎪⎩即2122c c r ⎛-<≤ ⎝⎭时()f x 有且只有一个零点()0,x c r c r ∈-+，当()02f c r c c r ⎧-=⎪⎨-≥⎪⎩即212r c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭时()f x 有且只有一个零点0212x c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.当()02f c r c c r ⎧->⎪⎨-≥⎪⎩即2012r c ⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭时()f x 无零点.当()02f c r c c r ⎧->⎪⎨-<⎪⎩即212r c ⎛⎫>+ ⎪ ⎪⎝⎭时()f x 有且只有两个零点()01,,x x c r c r ∈-+.当()02f c r c c r ⎧-=⎪⎨-<⎪⎩即12r c ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭时()f x有且只有两个零点()011,,2x c x c r c r ⎛⎫=+∈-+ ⎪ ⎪⎝⎭.当()02f c r c c r ⎧-<⎪⎨-<⎪⎩即2122c r c ⎛⎫<<+ ⎪ ⎪⎝⎭时有且只有一个零点()0,x c r c r ∈-+.注意到当212r c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，C 与Γ的交点坐标为21,02c ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当212r c ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭时，C 与Γ的交点坐标有21,02c ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即会出现交点在对称轴上，结合C 与Γ的对称性可得：当012r c ⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭时，使C 与Γ没有公共点，即C 与Γ的右支没有公共点；当212r c ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭时，使C 与Γ有且仅有一个公共点，即C 与Γ的右支有且仅有一个公共点；当221122c r c ⎛⎫⎛⎫-<<+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，使C 与Γ有两个公共点，此时C 与Γ有且仅有两个公共点；当12r c ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭时，使C 与Γ有三个公共点，此时C 与Γ有且仅有两个公共点；当212r c ⎛⎫>+ ⎪ ⎪⎝⎭时，使C 与Γ有四个公共点，此时C 与Γ有且仅有两个公共点.对A ：对于任意r ，存在c ，使得212r c ⎛⎫>-⎪ ⎪⎝⎭，此时圆C 与双曲线Γ右支恰有两个公共点，A 正确；对B ：对于任意r ，存在c ，使得12r c ⎛⎫>-⎪ ⎪⎝⎭，此时圆C 与双曲线Γ右支至多有两个公共点，B 错误；对C ：存在c ，使对于任意r ，使得212r c ⎛⎫<- ⎪ ⎪⎝⎭，此时圆C 与双曲线Γ右支没有公共点，C 错误；对D ：存在c ，使对于任意r ，使得12r c ⎛⎫>- ⎪ ⎪⎝⎭，此时圆C 与双曲线Γ右支至多有两个公共点，D 正确.故选：AD.三、解答题（本大题共5道小题，共78分）17.某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.A 处有一栋大楼，某学生选（与A 在同一水平面的）B ､C 两处作为测量点，测得BC 的距离为50m ，=45ABC ∠︒，105BCA ∠=︒，在C 处测得大楼楼顶D 的仰角α为75︒.（1）求,A C 两点间的距离；（2）求大楼的高度.（第（2）问不计测量仪的高度，计算结果精确到1m ）【答案】（1）m （2）264m 【解析】【分析】（1）根据题意，先求出BAC ∠，然后利用正弦定理计算即可求解；（2）根据题意结合（1）的结果可直接求出AD = ，然后利用两角和的正切公式计算即可.【小问1详解】由已知得1801054530BAC ∠=︒-︒-︒=︒，在ABC 中，因为sin sin BC ACBAC ABC=∠∠，即50sin30sin45AC︒︒=，所以AC =，所以,A C两点间的距离为m.【小问2详解】在DCA △中，因为90,tan ADDAC AC∠α==，所以tan75AD AC == ，又因为()tan75tan 4530=+31tan45tan30321tan45tan3033++==+-所以2AD =+=141.4122.45263.85264≈+=≈，答：楼高约为264m .18.已知双曲线22:1C x y -=，及直线:1l y kx =-.（1）若l 与C 有且只有一个公共点，求实数k 的值；（2）若l 与C 的左右两支分别交于A 、B 两点，且OAB，求实数k 的值.【答案】（1）1k =±或k =（2）0k =【解析】【分析】（1）联立方程组，消元后得到()221220k xkx -+-=，分210k -=、210k -≠两种情况求解即可；（2）先由题意可得11k -<<，令直线l 与y 轴交于点(0,1)D -，从而得到1212111222=+=+=-= OAB OAD OBD S S S x x x x .【小问1详解】由2211x y y kx ⎧-=⎨=-⎩，消去y ，得()221220k x kx -+-=①，当210k -=，即1k =±时，方程①有一解，l 与C 仅有一个交点（与渐近线平行时）.当()22210,Δ4810k k k ⎧-≠⎪⎨=+-=⎪⎩，得22,==k k l 与C 也只有一个交点（与双曲线相切时），综上得k 的取值是1k =±或k =【小问2详解】设交点()()1122,,,A x y B x y ，由2211x y y kx ⎧-=⎨=-⎩，消去y ，得()221220k x kx -+-=，首先由()22210,Δ4810k k k ⎧-≠⎪⎨=+->⎪⎩，得k <<且1k ≠±，并且12122222,11--+==--k x x x x k k ，又因为l 与C 的左右两支分别交于A ､B 两点，所以120x x <，即22020,11k k-<->-，解得11k -<<，故11k -<<.因为直线l 与y 轴交于点(0,1)D -，所以1212111222=+=+=-= OAB OAD OBD S S S x x x x ，故22121212222248,4811--⎛⎫⎛⎫-=∴+-=-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭k x x x x x x k k .解得0k =或62k =±.因为11k -<<，所以0k =.19.设a 为实数，函数2()||1,f x x x a x R =+-+∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性并说明理由；（2）求()f x 的最小值.【答案】（1）当0a =时，函数是偶函数，当0a ≠时，函数是非奇非偶函数；（2）当12a 时，min 3()4f x a =-；当1122a -<<时，2min ()1f x a =+；当12a 时，min 3()4f x a =+.【解析】【分析】（1）考查函数的奇偶性，用特殊值法判断函数及不是奇函数又不是偶函数；（2）先判断函数的单调性再求最值．【详解】解：（1）当0a =时，函数2()()||1()f x x x f x -=-+-+=此时，()f x 为偶函数当0a ≠时，()21f a a =+，2()2||1f a a a -=++，()()f a f a ≠-，()()f a f a ≠--此时()f x 既不是奇函数，也不是偶函数（2）①当x a时，2213()1(24f x x x a x a =-++=-++当12a ，则函数()f x 在(-∞，]a 上单调递减，从而函数()f x 在(-∞，]a 上的最小值为()21f a a =+．若12a >，则函数()f x 在(-∞，]a 上的最小值为13(24f a =+，且1(()2f f a．②当x a时，函数2213()1()24f x x x a x a =+-+=+-+若12-a ，则函数()f x 在[a ，)∞+上的最小值为13()24f a -=-；若12a >-，则函数()f x 在[a ，)∞+上单调递增，从而函数()f x 在[a ，)∞+上的最小值为()21f a a =+．综上，当12-a 时，函数()f x 的最小值为34a -当1122a -< 时，函数()f x 的最小值为21a +当12a >时，函数()f x 的最小值为34a +．【点睛】本题为函数的最值和奇偶性的考查；是高考常考的知识点之一；而求最值时需要注意的是先判断函数的单调性．20.直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率之积为1-，以线段AB 为半径的圆与直线l 交于P 、Q 两点．（1）求证：直线l 过定点；（2）求AB 中点的轨迹方程；（3）设()6,0M ，求22MP MQ +的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）2142x y =+；（3）10．【解析】【分析】（1）设直线l 的方程为x my t =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，分析可知0OA OB ⋅=，利用平面向量的数量积的坐标运算并结合韦达定理求出t 的值，即可证得结论成立；（2）设线段AB 的中点为(),N x y ，可得出2242x m y m⎧=+⎨=⎩，消去m 可得出线段AB 的中点的轨迹方程；（3）利用平面向量的数量积推导出()222224MP MQMO PQ '+=+，结合两点间的距离公式以及二次函数的基本性质可求得22MP MQ +的最小值.【详解】（1）设直线AB 的方程为x my t =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，由24y x x my t⎧=⎨=+⎩得2440y my t --=，所以()()22141606t m t m∆++==>，所以124y ym +=，124y y t =-，所以()21212242x x m y y t m t +=++=+，222121216y y x x t ⋅==，因为直线OA 、OB 的斜率之积为1-，所以0OA OB ⋅=，所以2121240x x y y t t +=-=，所以4t =，所以直线AB 的方程为4x my =+，过定点()4,0；（2）21248x x m +=+ ，直线l 中点为圆心()224,2O m m +'，设线段AB 的中点为(),N x y ，可得2242x m y m⎧=+⎨=⎩，消去m 得228y x =-，因此，线段AB 的中点的轨迹方程为2142x y =+；（3）如下图所示，易知圆心O '为线段PQ 的中点，()()111222MO MP PO MP PQ MP MQ MP MQ MP ''=+=+=+-=+ ，所以，2MO MP MQ '=+ ，所以，()()222222422MO PQ MQ MP MQ MP MQ MP '+=++-=+ ，即()(222222244MP MQMO PQ MO ''+=+=+()()2222422144148161816202m m m m m ⎛⎫⎡⎤=-++=-++=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以222218102MP MQ m ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，所以当22m =±时，22MP MQ +的最小值为10．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．21.已知ABC 的三个顶点都在椭圆22:143x y Γ+=上.（1）设它的三条线段AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，M ，且三条边所在线的斜率分别为123,,k k k ，且123,,k k k 均不为0.点O 为坐标原点，若直线OD ，OE ，OM 的斜率之和1.求证：123111k k k ++为定值；（2）当O 是ABC 的重心时，求证：ABC 的面积是定值；（3）如图，设ABC 的边AB 所在直线与x 轴垂直，垂足为椭圆右焦点F ，过点F 分别作直线12,l l 与椭圆交于,,,C D E G （不同于A ，B 两点），连接,CG DE 与AB 分别交于,M N ，求证：FM FN =.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）设出点的坐标，代入椭圆方程，利用点差法得出斜率与中点坐标的关系即可得证；（2）点的坐标代入椭圆方程，化简得1212346x x y y +=-，再由椭圆的参数方程化简可得cos()αβ-，再由重心可得3ABC AOB S S = 求证即可；（3）根据直线CD 、EG 的方程及点在椭圆上可得曲线系()()2211221043x y y k x k y k x k λ+-+-+-+=，取1x =，可由方程根的关系得证.【小问1详解】设()()()()()()112233112233,,,,,,,,,,,A x y B x y C x y D s t E s t M s t ，因为,A B 在椭圆上，所以222211221,14343x y x y +=+=，两式相减得：121211*********y y x x s k x x y y t -+==-⨯=-⨯-+，即111413t k s =-，同理可得3222334411,33t t k s k s =-=-，则31212312311143t t t k k k s s s ⎛⎫++=-++ ⎪⎝⎭因为直线OD OE OM ､､的斜率之和为1，所以12311144133k k k ++=-⨯=-，即123111k k k ++为定值.【小问2详解】设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y 因为ABC 的重心为O ，故1231230x x x y y y ++=++=又A B C ､､都在椭圆22143x y +=上，故()()222222121211221,1,1434343x x y y x y x y +++=+=+=化简得1212346x x y y +=-，设11222cos ,,2cos ,x y x y ααββ====，代入上式可得：2cos cos 2sin sin 1αβαβ+=-，即()1cos 2αβ-=-，()122139322ABC AOB S S x y x y αβ==-=-=△△，即ABC 的面积为定值92.【小问3详解】设直线CD 方程为：()11y k x =-，直线EG 的方程为：()21y k x =-，直线CD 与直线EG 上所有点对应的曲线方程为：()()11220y k x k y k x k -+-+=，又C D E G ､､､都在椭圆上，则同时过C D E G ､､､的二次曲线系可设为：()()2211221043x y y k x k y k x k λ+-+-+-+=，取1x =，得213034y λ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，易知该方程的两根分别为,M N y y ，由韦达定理可知，0M N y y +=，则FM FN =.【点睛】关键点点睛：根据点在椭圆上，结合重心化简得1212346x x y y +=-，利用椭圆的参数方程，结合重心的性质找出3ABC AOB S S = ，并且能应用三角函数求出AOB S 的大小，是研究三角形面积为定值的关键，本题困难，不易解答.。

交大附中高二期中数学试卷2022.04一. 填空题1.已知集合{||1|2,}M x x x =-≤∈R ，1{|0,}2x P x x x -=≥∈+R ，则集合M P 中整数 的个数为个2.设向量(1,2)a = ，(0,3)b = ，则a 在b 方向上的数量投影为3.某校有学生1200人，其中高三学生400人，为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层随机抽样的方法，从该校学生中抽取一个120人的样本，则样本中高三学生的人数为4.抛掷一枚均匀的骰子两次，得到的数字依次记作a 、b ，则实数a 是方程20x b -=的解的概率为5.已知圆锥的母线10l =，母线与圆锥的轴的夹角30α︒=，则圆锥的表面积为6.极坐标方程10sin()3πρθ=-所表示的曲线围成的图形面积为7.抛物线2:y x Γ=上一点M 到焦点的距离为1，抛物线Γ在点M 处的切线的斜率为8.已知无穷数列{}n a 满足112n n a a +=(*n ∈N )，且21a =，则1i i a +∞==∑9.在参数方程221112x t y t ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩(t 为参数，t ∈R )所表示的曲线上任取一点(,)P a b ，则22a b +的最小值为10.若函数2224(e e )x x y x x a --=-++有且只有一个零点，那么实数a =11.虚数z 满足51z =，若存在正整数a 、b 、c 使得a 、b互质，且2(Im )z =，那么a b c ++=12.已知1144,2n n a ta t n a k -=+-≥⎧⎨=⎩是数列{}n a 的一个递推公式，其中0t ≠且1t ≠，若 {|144,}i a x x x ∈≤≤∈Z (1,2,3,4i =)，则满足条件的实数k 的所有可能值的和为二. 选择题13. 已知空间两条直线m 、n ，两个平面 β、 α，给出下面四个命题：① m ∥n ，m ⊥ ⇒ αn ⊥ β∥ α ②； α，m α ⊂，n ⇒ β ⊂m ∥n ；③ m ∥n ，m ∥ ⇒ αn ∥ β∥ α ④； α，m ∥n ，m ⊥ ⇒ αn ⊥ β.其中真命题的序号是（）A.②③ B.①④ C.①②④ D.①③④14.一个公司有8名员工，其中6位员工的月工资分别为5200、5300、5500、6100、6500、6600，另两位员工数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（）A.5800B.6000C.6200D.640015.函数()y f x =的定义域为(2,2)-，解析式42()41f x x x =-+. 则下列结论中正确的是（）A.函数()y f x =既有最小值也有最大值B.函数()y f x =有最小值但没有最大值C.函数()y f x =恰有一个极小值点D.函数()y f x =恰有两个极大值点16. 己知样本空间为Ω，x 为一个基本事件. 对于任意事件A ，定义0,()1,x A f A x A ∉⎧=⎨∈⎩，给出下列结论：① ()1f Ω=，()0f ∅=；② 对任意事件A ，0()1f A ≤≤； ③如果A B =∅ ，那么()()()f A B f A f B =+ ；④ ()()1f A f A +=.其中，正确结论的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个三.解答题17.如图，在正四棱锥P - ABCD 中，PA =AB =a ，E 是棱PC 的中点.（1）求证：PC ⊥BD ；（2）求异面直线BE 与PA 所成角的余弦值.18.已知22()cos ()4f x x x π=+--（x ∈R ）. （1）求函数()y f x =在区间[0,2π上的最大值；（2）在△ABC 中，若A B <，且1()()2f A f B ==，求BC AB的值.19.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元(35a ≤≤)的管理费，预计当每件产品的售价为x 元(911x ≤≤)时，一年的销售量为2(12)x -万件.（1）求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值()Q a .20.如图双曲线22:13x y Γ-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作直线l 交y 轴于点Q . （1）当直线l 平行于Γ的一条渐近线时，求点1F 到直线l 的距离；（2）当直线l 的斜率为1时，在Γ的右支上是否存在点P ，满足110F P F Q ⋅= ？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若直线l 与Γ交于不同两点A 、B ，且Γ上存在一点M ，满足40OA OB OM ++= (其中O 为坐标原点)，求直线l 的方程.21.若两个函数()y f x =与()y g x =在0x x =处有相同的切线，则称这两个函数相切，切点 为00(,())x f x .（1）判断函数sin y x =与y x =是否相切；（2）设反比例函数1y x =与二次函数2y ax bx =+(0a ≠)相切，切点为1(,)t t . 求证：函数1y x=与2y ax bx =+恰有两个公共点；（3）若01a <<，指数函数x y a =与对数函数log a y x =相切，求实数a 的值；（4）（思考题，本小题不计分）设（3）的结果为0a ，求证：当00a a <<时，指数函数x y a =与对数函数log a y x =的图像有三个公共点.。

上海交通大学附属中学2023-2024学年度第二学期高二数学期中考试卷（本试卷共4页，满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设函数()()sin 12f x x =+，则()f x ′=__________.2.4对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是__________.（结果用数字作答）3.设事件A B ､是互斥事件，且()()14P A P B ==，则()P A B ∪=__________. 4.已知函数()2ln f x ax x =+的导函数()f x ′满足()13f ′=，则a 的值为__________. 5.若从正方体的6个面的12条面对角线中，随机选取两条，则它们成异面直线的概率是__________. 6.为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，每门课都要开，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为__________.7.一家药物公司试验一种新药，在500个病人中试验，其中307人有明显疗效，120人有疗效但疗效一般，剩余的人无疗效，则没有明显疗效的频率是__________.8.某篮球运动员的罚球命中率为80%，假设每次罚球的结果是独立的，则他在3次罚球中至少进1球的概率是__________.9.设()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x ′为其导函数，()20240f =，当0x >时，有()()xf x f x ′>恒成立，则不等式()0xf x >的解集为__________.10.小张一次买了三电冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一电只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有__________种.（结果用数字作答）11.为庆祝70周年校庆，学校开设A B C ､､三门校史课程培训，现有甲､乙､丙､丁､戊､已六位同学题名参加学习，每位同学仅报一门，每门课至少有一位同学报名，则不同报名方法有__________种.12.设点P 在曲线()Γ:ln 22x y x =+上，点Q 在直线:1l y x =−上，平面上一点M 满足13QM MP = ，则M 到坐标原点O 的距离的最小值为__________.二､题题题（本大题共有4题，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑.13.抛一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（ ）A.大量的试验中，出现正面的频率为0.5.B.不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5C.试验次数增大，出现正面的经验概率为0.5D.试验次数每增加一次，下一次出现正面的频率一定比它前一次更接近于0.514.某城市新修建的一条道路上有12个路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ）A.47CB.48CC.49CD.48P15.抛一枚骰子，记事件A 表示事件“出现奇数点”，事件B 表示事件“出现4点或5点”，事件C 表示事件“点数不超过3”，事件D 表示事件“点数大于4”，有下列四个结论：①事件A 与B 是独立事件；②事件B 与C 是互斥事件；③事件C 与D 是对立事件；③D A B ⊆∩；其中正确的结论是（ ）A.①②B.②③C.③④D.①④16.对于函数()y f x =和()y g x =，及区间D ，若存在实数k b ､，使得()()f x kx b g x ≥+≥对任意x D ∈恒成立，则称()y f x =在区间D 上“优于”()y g x =.有以下两个结论：①()2log f x x =在区间[]1,2D =上优于()2(1)g x x =−； ②()32f x x =+在区间[]1,1D −上优于()e x g x =.那么（ ）A.①､②均正确B.①正确，②错误C.①错误，②正确D.①､②均错误三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，D 是AC 的中点.（1）证明：1AB ∥平面1BC D .（2）若1,90,45AB BC ABC B AB ∠∠===，求二面角11B C D B −−的余弦值.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()()22ln f x a x x ax =−+−. （1）当3a =时，求函数()y f x =的单调区间；（2）若函数()y f x =在区间[]1,e 上恰有一个零点，求a 的取值范围.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某次数学考试中只有两道题目，甲同学答对每题的概率均为p ，乙同学答对每题的概率均为()q p q >，且每人各题答题结果互不影响.已知每题甲､乙同题答题的概率为12，恰有一人答对的概率为512. （1）求p 和q 的值； （2）设事件i A =“甲同学答对了i 道题”，事件i B =“乙同学答对了i 道题”，其中0,1,2i =，试求甲答对的题数比乙多的概率.20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，P 是椭圆C 短轴的一个顶点，已知12PF F1213F PF ∠=.如图，,,M NG 是椭圆上不重合的三个点，原点O 是MNG 的重心.（1）求椭圆C 的方程；（2）求点M 到直线NG 的距离的最大值；（3）判断MNG 的面积是否为定值，并说明理由.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数()e 2e x x f x a −=++.（1）若直线3y x =+是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值；（2）若()21f x x x ≥−+对任意实数x 恒成立，求a 的取值范围； （3）若12e e 3x x +=，且()()()12123f x f x x x k ⋅≥++，求实数k 的最大值.。

交大附中高二期中数学试卷2019.04一. 填空题1. 如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线可确定 个平面2. 已知球的体积为36π，则该主视图的面积等于3. 若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a =4. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线均为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB uuu u r 的坐标为(4,3,2)，则1AC u u u u r 的坐标是5. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）6. 已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图，若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则l r= 7. 已知△ABC 三个顶点到平面α的距离分别是3、3、6，则其重心到平面α的距离为 （写出所有可能值）8. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段上1BD 运动，则DC AP ⋅u u u r u u u r 的取值范围是9. 如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，剪去△AOB ，将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以()A B 、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为10. 某三棱锥的三视图如图所示，且这个三角形均为直线三角形，则34x y +的最大值为11. 已知A 、B 、C 、P 为半径R 的球面上的四点，其中AB 、AC 、BC 间的球面距离分别为3R π、2R π、2R π，若OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，其中O 为球心，则x y z ++的最大 值是12. 如图，在四面体ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，过EF 任作一个平面α分别与直线BC 、AD 相交于点G 、H ，则下列结论正确的是① 对于任意的平面α，都有直线GF 、EH 、BD 相交于同一点；② 存在一个平面α，使得点G 在线段BC 上，点H 在线段AD 的延长线上；③ 对于任意的平面α，都有EFG EFH S S =V V ；④ 对于任意的平面α，当G 、H 在线段BC 、AD 上时，几何体AC EFGH -的体积是一个定值.二. 选择题13. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A. 23π B. 423π C. 22π D. 42π 14. 如图，在大小为45°的二面角A EF D --中，四边形ABFE 与CDEF 都是边长为1的正方形，则B 、D 点间的距离是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 32-15. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有 系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也，又以高乘之，三十六成 一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算器体积V 的近似公式2136V L h ≈， 它实际上是将圆锥体积公式的圆周率π近似取3，那么近似公式2272V L h ≈相当于将圆锥体 积公式中的π近似取为（ ）A. 227B. 258C. 15750D. 35511316. 在正方形ABCD A B C D ''''-中，若点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 和AC '所成角为45°的点P 有（ ）A. 6个B. 4个C. 3个D. 2个三. 解答题17. 现有四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是a ，高是b ；2号容器的底面边长是b ，高是a ；3号容器的底面边长是a ，高是a ；4号容器的底面边长是b ，高是b ，假设a b ≠，问是否存在一种必胜的4选2的方案（与a 、b 的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由.18. 如图，已知圆锥底面半径20r cm =，点Q 为半圆弧AC 的中点，点P 为母线SA 的中点，PQ 与SO 所成角为arctan2，求：（1）圆锥的侧面积；（2）P 、Q 两点在圆锥侧面上的最短距离.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，DAB ∠为直角，AB ∥CD ，222AD CD AB PA ====，E 、F 分别为PC 、CD 的中点.（1）求证：CD ⊥平面BEF ；（2）求BC 与平面BEF 所成角的大小；（3）求三棱锥P DBE -的体积.20. 如图，P ABC -是底面边长为1的正三棱锥，D 、E 、F 分别为棱长PA 、PB 、PC 上的点，截面DEF ∥底面ABC ，且棱台DEF ABC -与棱锥P ABC -的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）（1）证明：P ABC -为正四面体；（2）若12PD PA =，求二面角D BC A --的大小（结果用反三角函数值表示）； （3）设棱台DEF ABC -的体积为V ，是否存在体积为V 且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF ABC -有相同的棱长和？若存在，请具体构造这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由.（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥P ABC -的体积减去棱锥P DEF -的体积）21. 火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳构筑物，建在水源不十分充足的地区的电厂，为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统，以使得冷却容器中排出的热水在其冷却后可重复使用，大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线冷却塔，此类冷却塔多用于内陆缺水电站，其高度一般为75~150米，底边直径65~120米，双曲线型冷却塔比水池式冷却构筑物占地面积小，布置紧凑，水量损失小，且冷却效果不受风力影响；它比机力通风冷却塔维护简便，节约电能；但形体高大，施工复杂，造价较高.（以上知识来自百度，下面题设条件只是为了适合高中知识水平，其中不符合实际请忽略）（1）右下图为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径 大于上底直径，已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100m ，俯视图为 三个同心圆，其半径分别为40m 、60147m 、30m ，试根据上述尺寸计算主视图中该双 曲线的标准方程（m 为长度单位米）.（2）试利用课本中推导球体积的方法，利用圆柱和一个倒放的圆锥，计算封闭曲线： 22221x y a b -=，0y =，y h =，绕y 轴旋转形成的旋转体的体积为________（用a 、b 、h 表 示）（用积分计算不得分）现已知双曲线冷却塔是一个薄壳结构，为计算方便设其内壁所在曲线也为双曲线，其壁最厚为0.4m （底部），最薄处厚度为0.3m （喉部，即左右顶点处），试计算该冷却塔内壳所在的双曲线标准方程是________________，并计算本题中的双曲线冷却塔的建筑体积（内外壳之间）大约是_________3m （计算时π取3.14159，保留到个位即可）（3）冷却塔体型巨大，造价相应高昂，本题只考虑地面以上部分的施工费用（建筑人工和辅助机械）的计算，钢筋土石等建筑材料费用和其他设备等施工费用不在本题计算范围内，超高建筑的施工（含人工辅助机械等）费用随着高度的增加而增加，现已知：距离地面高度30米（含30米）内的建筑，每立方米的施工费用平均为：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工费用为800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工费用增加100元，试计算建造本题中冷却塔的施工费用（精确到万元）.参考答案一. 填空题1. 12. 9π3. 44. (4,3,2)-5. 1arccos 3 6. 7. 0，2，4 8. [0,1]9. 3 10. 11. 3 12. ③④二. 选择题13. B 14. D 15. B 16. C三. 解答题17. 3322a b a b b a +>+，必胜方案为选择3号、4号容器18.（1）600π；（2）19.（1）略；（2）1arctan 2；（3）1320.（1）略；（2）arcsin 3；（3）存在21.（1）2219006300x y -=；（2）23223a h a h b ππ+，221882.096300x y +=，6728；（3）1516。

上海交通大学附属中学2018-2019学年度第二学期高二数学期中考试试卷（满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）命题：刘亚丽审核：杨逸峰一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）1、如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共可确定个平面．答案：12、【2017高考上海，4】已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于.【答案】9π【解析】设球的半径为R ，则：34363R ππ=，解得：3R =，该球的主视图是一个半径为3的圆，其面积为：29S R ππ==.3、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为a =．【答案】4【解析】236444a a a ⋅=⇒=⇒=4、【2017高考上海，7】如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.若1DB 的坐标为()4,3,2，则1AC的坐标是.【答案】()4,3,2-【解析】将向量1AC的起点平移至点D ，则平移后的向量与向量1DB 关于平面11CDD C 对称，据此可得：()14,3,2AC =-.5、【2014上海,理6】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】1arccos3.6、【2013上海文10】已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则l r＝______.【解析】由题知，tan63r l π==⇒l r =.7、已知ABC ∆三个顶点到平面α的距离分别是3，3，6，则其重心到平面α的距离为__________（写出所有可能值）答案：0，2，4。

8、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段1BD 上运动,则DC AP ⋅的取值范围是______________．【答案】【解析】试题分析：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．则、、、、．∴、．∵点在线段上运动，∴，且．，，故答案为．9、【2010上海理12，倒数第3题】如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，剪去AOB ∆，将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A （B ）、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为________；【答案】3【解析】在折叠过程中OC OB ⊥，OD OA ⊥始终没有改变，所以最后形成的四面体()A B CDO -中，OA ⊥底面CDO ，故其体积21182(22)22323V =⨯⨯⨯=，故答案为：823.10、某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则34x y +的最大值为．【答案】55试题分析：由图可知，根据三视图得到三棱锥OABC 如图，OC=2，AC=y，BC=1，在OAC Rt ∆中，24y OA -=，2225y BC OA x -=+=，即522=+y x ，三角换元（或者称利用圆的参数方程）设5cos ,5sin x y θθ==，故3455cos()55x y θϕ+=+≤。

2017-2018学年上海交大附中高二（下）期中数学试卷试题数：21.满分：1501.（填空题.4分）把一个圆柱切削成一个体积最大的圆锥.已知削去部分的体积比圆锥的体积大3.6立方米.那么圆锥的体积是___ 立方米．2.（填空题.4分）正四面体ABCD的表面积为S.其中四个面的中心分别是E、F、G、H．设四等于___ ．面体EFGH的表面积为T.则TS3.（填空题.4分）已知PA.PB.PC两两垂直.空间一点M到PA.PB.PC的距离分别为8.9.12.则MP的长为___ ．4.（填空题.4分）若圆锥的侧面积为2π.底面面积为π.则该圆锥的体积为___ ．5.（填空题.4分）在正方体ABCD-A1B1C1D1各个表面的12条面对角线中.与体对角线BD1垂直的共有___ 条．6.（填空题.4分）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中.∠BAD=∠A1AD=∠A1AB=60°.AB=AD=AA1=1.则对角线AC1的长度为___ ．7.（填空题.5分）已知△ABC的三个顶点A.B.C在平面α的同侧.△ABC的两个顶点AB到平面α的距离分别为3cm.4cm.且△ABC的重心到平面α的距离为5cm.则顶点C到平面α的距离为___ ．8.（填空题.5分）在60°的二面角M-α-N内有一点P.P到平面M、平面N的距离分别为1和2.P点到直线a的距离为___ ．9.（填空题.5分）已知异面直线a、b所成的角为60°.P为空间一点.则在空间中过P点且与直线a、b所成的角为60°的直线有且仅有___ 条．10.（填空题.5分）正三棱柱ABC-A1B1C1内接于半径为2的球.若A.B两点的球面距离为π.则正三棱柱的体积为___ ．11.（填空题.5分）在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中.M是BC的中点.点P是正方体表面DCC1D1（即正方形及其内部）的动点.且满足∠APD=∠MPC.则三棱锥P-BCD的体积最大值是___ ．12.（填空题.5分）如图.斜边长为4的直角△ABC.∠B=90°.∠A=60°且A在平面α上.B、C在平面α的同侧.M为BC的中点．若△ABC在平面α上的射影是以A为直角顶点的三角形△AB′C′.则M到平面α的距离的取值范围是___ ．13.（单选题.5分）分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是（）A.不平行B.不相交C.相交或平行D.既不相交又不平行14.（单选题.5分）已知两条不同直线m和两个不同平面aB.给出下面四个命题：① m⊥α.n⊥α⇒m || n；② α || β.m⊂α.n⊂α⇒m || n；③ m || n.m || α⇒n || α；④ α || β.m || n.m⊥α⇒n⊥β．其中正确命题的序号是（）A. ① ③B. ② ④C. ① ④D. ② ③15.（单选题.5分）已知ABCD-A′B′C′D′为长方体.对角线AC′与平面A′BD相交于点G.则G是△A′BD的（）A.垂心B.重心C.内心D.外心16.（单选题.5分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中.点P在CDD1C1所在的平面上.满足∠PBD1=∠A1BD1.则动点P的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线17.（问答题.14分）在一次练习中有这样一道题：设一个圆锥与一个圆柱的底面半径及高都对应样等.它们的侧面积分别为S1.S2.试判断S1与S2的大小．某同学的解答如下：【解1】显然圆锥可以放进圆柱内.从而圆柱的侧面积大于圆锥的侧面积.即S1＜S2【解2】设底面半径和高均为1.则S2=2π×1×1=2π.S1=π×1× √12+12 = √2π.所以S1＜S2该同学的解法是否正确？若不正确.试判断S1与S2的大小．18.（问答题.14分）如图：PA⊥平面ABCD.ABCD是矩形.PA=AB=1.PD与平面ABCD所成角是30°.点F是PB的中点.点E在边BC上移动．（1）点E为BC的中点时.试判断EF与平面PAC的位置关系.并说明理由；（2）无论点E在边BC的何处.PE与AF所成角是否都为定值.若是.求出其大小；若不是.请说明理由；（3）当BE等于何值时.二面角P-DE-A的大小为45°．19.（问答题.14分）沙漏是古代的一种计时装置.它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成.开始时细沙全部在上部容器中.细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图.某沙漏由上下两个圆锥组成.圆锥的底面直径和高均为8cm.细（细管长度忽略不计）．沙全部在上部时.其高度为圆锥高度的23（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙.则该沙漏的一个沙时为多少秒（精确到1秒）？（2）细沙全部漏入下部后.恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.求此锥形沙堆的高度（精确到0.1cm）．20.（问答题.16分）如图.正三棱柱ABC-A1B1C1中.D是BC的中点.AA1=AB=1．（1）异面直线AB1与A1C所成角的大小；（2）设P为线段B1C1上的动点.试确定动平面APD和平面AA1C1C所成的锐二面角的平面角大小取值范围．21.（问答题.18分）我们可以用多种方法命题：已知平面四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和.求证它的对角线互相垂直．即在四边形ABCD中.若|AB|2+|CD|2=|AD|2+|CB|2.则AC⊥BD（1）请用向量进行证明；（2）写出上述命题的逆命题.判断逆命题的真假并说明理由；（3）请观察平面勾股定理的条件和结论特征.试根据表格提示.得出勾股定理在空间上推广的结论．说明：对于第（4）题.将根据写出的真命题所体现的思维层次的对问题探究的完整性.给予不同的评分．2017-2018学年上海交大附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：1501.（填空题.4分）把一个圆柱切削成一个体积最大的圆锥.已知削去部分的体积比圆锥的体积大3.6立方米.那么圆锥的体积是___ 立方米．【正确答案】：[1]3.6【解析】：把一个圆柱切削成一个最大的圆锥.这个圆锥与圆柱等底等高.等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍.则这个圆柱比这个圆锥的体积多2倍.即削去部分的体积是圆锥体积的2倍.由此即可计算得出圆锥的体积．【解答】：解：设圆锥的体积是x立方米.∵把一个圆柱切削成一个体积最大的圆锥.削去部分的体积比圆锥的体积大3.6立方米.∴2x-x=3.6.解得x=3.6（立方米）.∴圆锥的体积是3.6立方米．故答案为：3.6．【点评】：本题考查圆锥的体积的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.考查数形结合思想.是中档题．2.（填空题.4分）正四面体ABCD的表面积为S.其中四个面的中心分别是E、F、G、H．设四等于___ ．面体EFGH的表面积为T.则TS【正确答案】：[1] 19【解析】：因为正四面体四个面都是正△.其中心到顶点的距离等于到对边距离的一半.通过作出辅助线.可得两四面体的边长比.由面积比是边长比的平方.可得出答案【解答】：解：如图所示.正四面体ABCD四个面的中心分别为E、F、G、H.∴四面体EFGH也是正四面体．连接AE并延长与CD交于点M.连接AG并延长与BC交于点N．∵E、G分别为面的中心.∴ AE AM = AGAN= 23．∴ GE MN = 23．又∵MN= 12BD.∴ GE BD = 13．∵面积比是相似比的平方.∴两四面体的面积比为TS = 19．故答案为：19【点评】：本题考查了多面体的面积比是边长比的平方.本题关键是求边长比是多少；类似的有体积比是边长比的立方.三角形的高.中线.角平分线的比等于边长的比3.（填空题.4分）已知PA.PB.PC两两垂直.空间一点M到PA.PB.PC的距离分别为8.9.12.则MP的长为___ ．【正确答案】：[1]17【解析】：先根据三棱锥P-ABC中.PA、PB、PC两两互相垂直可构造一个以PA、PB、PC为长宽高的长方体.空间一点M到点PA、PB、PC等距离长方体的面对角线长.求出长方体的体对角线的长.即可求出所求．【解答】：解：∵三棱锥P-ABC中.PA、PB、PC两两互相垂直∴构造一个以PA、PB、PC为长宽高的长方体（如图）空间一点M到点PA、PB、PC等距离长方体的面对角线长．设PA=a.PB=b.PC=c.c2+b2=64.a2+b2=144.a2+c2=81．∴a2+b2+c2=289.∴ √a2+b2+c2=17 .∴PM=17．故答案为：17．【点评】：本题主要考查了点线面的距离的计算.以及构造法的运用等有关知识.同时考查了空间想象能力.计算能力.以及转化与划归的思想.属于基础题．4.（填空题.4分）若圆锥的侧面积为2π.底面面积为π.则该圆锥的体积为___ ．【正确答案】：[1] √3π3【解析】：求出圆锥的底面周长.然后利用侧面积求出圆锥的母线.求出圆锥的高.即可求出圆锥的体积．【解答】：解：根据题意.圆锥的底面积为π.则其底面半径是1.底面周长为2π.又12×2πl=2π .∴圆锥的母线为2.则圆锥的高√3 .所以圆锥的体积13 × √3×π= √3π3．故答案为√3π3．【点评】：本题是基础题.考查圆锥的有关计算.圆锥的侧面积.体积的求法.考查计算能力．5.（填空题.4分）在正方体ABCD-A1B1C1D1各个表面的12条面对角线中.与体对角线BD1垂直的共有___ 条．【正确答案】：[1]6【解析】：利用线面垂直的判定定理和性质定理.证明AC⊥平面BD1.从而AC⊥BD1.同理可证明A1C1.A1D.B1C.AB1.DC1.都与直线BD1垂直.即可得正确结果【解答】：解：如图：BD1为正方体的体对角线.∵AC⊥BD.AC⊥BB1.∴AC⊥平面BD1.∴AC⊥BD1.同理A1C1.A1D.B1C.AB1.DC1.都与直线BD1垂直∴与BD 1垂直的各个表面的12条对角线中有AC 、A 1C 1.A 1D.B 1C.AB 1.DC 1.共6条直线 故答案为 6【点评】：本题考查了空间想象能力.考查了空间线面、面面.线线相互垂直的位置关系.所得结果尽量记住．6.（填空题.4分）在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.∠BAD=∠A 1AD=∠A 1AB=60°.AB=AD=AA 1=1.则对角线AC 1的长度为___ ．【正确答案】：[1] √6 【解析】：根据空间向量可得 AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .两边平方即可得出答案．【解答】：解：∵AB=AD=AA 1=1.∠BAD=∠BAA 1=∠DAA 1=60°.∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ •AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12又 AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .两边平方得AC 12⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AA 12⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AD ⃗⃗⃗⃗⃗ •AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6．∴AC 1= √6 ．故答案为： √6 ．【点评】：本题考查了空间向量在立体几何中的应用.属于中档题．7.（填空题.5分）已知△ABC 的三个顶点A.B.C 在平面α的同侧.△ABC 的两个顶点AB 到平面α的距离分别为3cm.4cm.且△ABC 的重心到平面α的距离为5cm.则顶点C 到平面α的距离为___ ．【正确答案】：[1]8cm【解析】：根据题意画出图形.设A、B、C在平面α上的射影分别为A′、B′、C′.△ABC的重心为G.连接CG交AB于中点E.又设E、G在平面α上的射影分别为E′、G′.利用平面图形：直角梯形EE′C′C中数据可求得△C到平面α的距离CC′．【解答】：解析：如图.设A、B、C在平面α上的射影分别为A′、B′、C′.△ABC的重心为G.连接CG交AB于中点E.又设E、G在平面α上的射影分别为E′、G′.则E′∈A′B.G′∈C′E.EE′= 1（A′A+B′B）=3.5.CG：GE=2：1.2在直角梯形EE′C′C中可求得CC′=3.5+3×（5-3.5）=8．故答案为：8cm．【点评】：本题考查棱锥的结构特征、三角形五心.考查计算能力.空间想象能力.是基础题.三角形重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．8.（填空题.5分）在60°的二面角M-α-N内有一点P.P到平面M、平面N的距离分别为1和2.P点到直线a的距离为___ ．【正确答案】：[1] 2√213【解析】：设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离.过PA、PB作平面α.分别交M、N于AQ、BQ.根据二面角平面角的定义可知∠AQB是二面角M-a-N的平面角.连PQ.则PQ是P到a 的距离.PQ是四边形PAQB的外接圆的直径2R.在△PAB中由余弦定理得求出AB.最后根据正弦定理可求出PQ.从而求出点P到直线a的距离．【解答】：解：设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离.过PA、PB作平面α.分别交M、N 于AQ、BQ．PA⊥平面M.a⊂平面M.则PA⊥a.同理.有PB⊥a.∵PA∩PB=P.∴a⊥面PAQB于Q又 AQ、BQ 平面PAQB∴AQ⊥a.BQ⊥a．∴∠AQB是二面角M-a-N的平面角．∴∠AQB=60°连PQ.则PQ是P到a的距离.在平面图形PAQB中.有∠PAQ=∠PBQ=90°∴P、A、Q、B四点共圆.且PQ是四边形PAQB的外接圆的直径2R在△PAB中.∵PA=1.PB=2.∠BPA=180°-60°=120°.由余弦定理得 AB2=1+4-2×1×2cos120°=7.由正弦定理：PQ= 2√213．∴点P到直线a的距离为2√213．故答案为：2√213【点评】：本题考查点到直线的距离的求法.考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识.考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力.考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想.是中档题．9.（填空题.5分）已知异面直线a、b所成的角为60°.P为空间一点.则在空间中过P点且与直线a、b所成的角为60°的直线有且仅有___ 条．【正确答案】：[1]3【解析】：由异面直线a、b所成的角实质可看成相交直线所成的角可得.三条直线相交且都成60°.故以四面体为例即可；【解答】：解：∵异面直线a、b所成的角为60°可看成两条相交直线所成的角.∴要使第三条直线与它们都成60°.故可能的情况有：正四面体中.有三条．故答案为：3．【点评】：本题考查了空间中线线所成角的认识.属于基础题．10.（填空题.5分）正三棱柱ABC-A1B1C1内接于半径为2的球.若A.B两点的球面距离为π.则正三棱柱的体积为___ ．【正确答案】：[1]8【解析】：由已知中正三棱柱ABC-A1B1C1内接于半径为2的球.若A.B两点的球面距离为π.我们易求出∠AOB的大小.进而求出棱柱底面棱长.进而求出棱柱的高和底面面积.代入棱柱体积公式.即可求出答案．【解答】：解：∵正三棱柱ABC-A1B1C1内接于半径为2的又∵A.B两点的球面距离为π.故∠AOB=90°.又∵△OAB是等腰直角三角形.∴AB=2 √2 .则△ABC的外接圆半径为2√63则O点到平面ABC的距离为2√33∴正三棱柱高h= 4√3.又∵△ABC的面积S= 2√33∴正三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S•h=8．故答案为：8【点评】：本题考查的知识点是棱柱的体积公式.球内接多面体.其中根据已知条件计算出棱柱的底面面积和高是解答本题的关键．11.（填空题.5分）在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中.M是BC的中点.点P是正方体表面DCC1D1（即正方形及其内部）的动点.且满足∠APD=∠MPC.则三棱锥P-BCD的体积最大值是___ ．【正确答案】：[1]12 √3【解析】：根据Rt△ADP∽△Rt△PMC.PD=2PC.利用体积公式求解得出PO⊥CD.求解OP最值.根据勾股定理得出：3h2=-3x2+48x-144.0≤x≤6.利用函数求解即可．【解答】：解：∵在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中.M是BC的中点.点P是面DCC1D1所在的平面内的动点.且满足∠APD=∠MPC.∴Rt△ADP∽△Rt△PMC.∴ AD MC = PDPC=2.即PD=2PC.设DO=x.PO=h.作PO⊥CD.∴ √x2+ℎ2 =2 √(6−x)2+ℎ2 .化简得：3h2=-3x2+48x-144.0≤x≤6. 根据函数单调性判断：x=6时.3h2最大值为36.h大=2 √3 .∵在正方体中PO⊥面BCD.∴三棱锥P-BCD的体积最大值：13×12×6×6×2√3 =12 √3．故答案为：12 √3．【点评】：本题考查了空间几何体中的最值问题.关键是列出式子.转化为距离问题.借助函数求解即可.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.考查数形结合思想.是难题．12.（填空题.5分）如图.斜边长为4的直角△ABC.∠B=90°.∠A=60°且A在平面α上.B、C在平面α的同侧.M为BC的中点．若△ABC在平面α上的射影是以A为直角顶点的三角形△AB′C′.则M到平面α的距离的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（2. 52）【解析】：设出B.C到面的距离.则M到平面α的距离为两者和的一半.确定ab=4.即可求出M 到平面α的距离的取值范围．【解答】：解：斜边长为4的直角△ABC.∠B=90°.∠A=60°.则AB=2.BC=2 √3 .AM= √7设B.C到平面α距离分别为a.b.则M到平面α距离为h= a+b2射影三角形两直角边的平方分别4-a2.16-b2.设线段BC射影长为c.则4-a2+16-b2=c2.（1）又线段AM射影长为c2 .所以（c2）2+ (a+b)24=7.（2）由（1）（2）联立解得ab=4. ∵a＜2.b＜4.∴1＜a＜2.∴h= a+b2 = 12（a+ 4a）∈（2. 52）．故答案为：（2. 52）．【点评】：本题考查M到平面α的距离的取值范围.考查学生分析解决问题的能力.确定ab=4是关键．13.（单选题.5分）分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是（）A.不平行B.不相交C.相交或平行D.既不相交又不平行【正确答案】：A【解析】：已知直线a与b是异面直线.直线AB与直线CD分别与两条直线a与直线b相交于点A.B.C.D.假设直线AB与直线CD平行.则A.B.C.D四点共面.根据直线与直线的位置公式得到矛盾.进而得到答案．【解答】：解：已知直线a与b是异面直线.直线AB与直线CD分别与两条直线a与直线b相交于点A.B.C.D.根据题意可得当点D与点B重合时.两条直线相交.当点D与点B不重合时.两条直线异面．下面证明两条直线不平行：假设直线AB与直线CD平行.则A.B.C.D四点共面.所以直线BD与直线AC共面.这与直线a、直线b异面相互矛盾.所以假设错误.即直线AB与直线CD不平行．所以分别与两条异面直线都相交的两条直线一定不平行．故选：A．【点评】：本题主要考查空间中直线与直线的位置关系.以及反证法的应用．14.（单选题.5分）已知两条不同直线m和两个不同平面aB.给出下面四个命题：① m⊥α.n⊥α⇒m || n；② α || β.m⊂α.n⊂α⇒m || n；③ m || n.m || α⇒n || α；④ α || β.m || n.m⊥α⇒n⊥β．其中正确命题的序号是（）A. ① ③B. ② ④C. ① ④D. ② ③【正确答案】：C【解析】：由垂直于同一平面的两直线平行.可判断① ；由面面平行的性质和线线的位置关系.可判断② ；由线面的位置关系可判断③ ；由面面平行和线面垂直的性质定理.可判断④ ．【解答】：解：对于① .m⊥α.n⊥α⇒m || n.故① 正确；对于② .α || β.m⊂α.n⊂α⇒m || n或m.n异面.故② 错误；对于③ .m || n.m || α⇒n || α或n⊂α.故③ 错误；对于④ .m || n.m⊥α可得n⊥α.又α || β.可得n⊥β.故④ 正确．故选：C．【点评】：本题考查空间线线、线面和面面的位置关系.考查平行和垂直的判断和性质定理的运用.考查空间想象能力和推理能力.属于基础题．15.（单选题.5分）已知ABCD-A′B′C′D′为长方体.对角线AC′与平面A′BD相交于点G.则G是△A′BD的（）A.垂心B.重心C.内心D.外心【正确答案】：B【解析】：画出长方体如图.说明G在三角形A′BD的中线A′E和BF上即可说明G是△A′BD 的重心．【解答】：解：由题意画出长方体如图.不能发现三角形A′BD的中线A′E和BF的交点为G.因为G在平面C′CA和平面C′D′A的交线上.所以G 是三角形的重心．故选：B．【点评】：本题考查三角形的五心.考查逻辑思维能力.逻辑推理能力.是基础题．16.（单选题.5分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中.点P在CDD1C1所在的平面上.满足∠PBD1=∠A1BD1.则动点P的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【正确答案】：D【解析】：利用平面与圆锥面的关系.即可得出结论．【解答】：解：P在以B为顶点.BD1为对称轴.A1B为母线的圆锥与平面CC1D1D的交面上.而A1B || 平面CC1D1D.知与圆锥母线平行的平面截圆锥得到的是抛物线的一部分.故选：D．【点评】：本题考查轨迹方程.考查学生分析解决问题的能力.比较基础．17.（问答题.14分）在一次练习中有这样一道题：设一个圆锥与一个圆柱的底面半径及高都对应样等.它们的侧面积分别为S1.S2.试判断S1与S2的大小．某同学的解答如下：【解1】显然圆锥可以放进圆柱内.从而圆柱的侧面积大于圆锥的侧面积.即S1＜S2【解2】设底面半径和高均为1.则S2=2π×1×1=2π.S1=π×1× √12+12 = √2π.所以S1＜S2该同学的解法是否正确？若不正确.试判断S1与S2的大小．【正确答案】：【解析】：设圆锥与圆柱的底面半径为r.高为h.可得圆锥的母线长为l= √r2+ℎ2 .分别求出圆柱与圆锥的侧面积.分类讨论得答案．【解答】：解：对于解法1.圆锥可以放进圆柱内.说明圆锥的表面积小于圆柱的表面积.不能说明侧面积的大小；对于解法2.取了特殊值.不能说明在半径与高变化后仍有S1＜S2.该同学的解法不正确．具体解法如下：设圆锥与圆柱的底面半径为r.高为h.则圆锥的母线长为l= √r2+ℎ2 .∴ S1=πr•√r2+ℎ2 .S2=2πrh．S1 S2=πr•√r2+ℎ22πrℎ=√r2+ℎ22ℎ．当√r 2+ℎ22ℎ＜1.即r＜√3ℎ时.S1＜S2；当√r 2+ℎ22ℎ=1.即r= √3ℎ时.S1=S2；当√r 2+ℎ22ℎ＞1.即r＞√3ℎ时.S1＞S2．【点评】：本题考查圆柱、圆锥体积的求法.考查分类讨论的数学思想方法.是中档题．18.（问答题.14分）如图：PA⊥平面ABCD.ABCD是矩形.PA=AB=1.PD与平面ABCD所成角是30°.点F是PB的中点.点E在边BC上移动．（1）点E为BC的中点时.试判断EF与平面PAC的位置关系.并说明理由；（2）无论点E在边BC的何处.PE与AF所成角是否都为定值.若是.求出其大小；若不是.请说明理由；（3）当BE等于何值时.二面角P-DE-A的大小为45°．【正确答案】：【解析】：解法一（几何法）：（1）线与面的位置关系有三种相交、平行与在面内.由题设中的条件E.F 为中点可得EF || PC.由此可判断出EF 与平面PAC 的位置关系是平行.再由线面平行的判定定理证明说明理由；（2）由题设条件及图形可得出AF⊥平面PBE.由线面垂直的定义可得出无论点E 在边BC 的何处两线都垂直．（3）先作出二面角的平面角.令其大小是45°.设BE=x.在直角三角形DCE 中用勾股定理建立方程求同x 值．解法二（向量法）：（1）的解法同法一中（1）的解法；（2）建立如图示空间直角坐标系.由ABCD 是矩形.PA=AB=1.PD 与平面ABCD 所成角是30°.点F 是PB 的中点.点E 在边BC 上移动.给出各点的坐标.求出PE 与AF 所对应的向量的坐标.验证其内积为0即可得出直线所成的角是直角；（3）先求出两平面的法向量.再由公式求出两个平面的夹角．【解答】：解：解法一：（1）当点E 为BC 的中点时.EF 与平面PAC 平行．∵在△PBC 中.E 、F 分别为BC 、PB 的中点.∴EF || PC 又EF⊄平面PAC而PC⊂平面PAC∴EF || 平面PAC ．（2）∵PA⊥平面ABCD.BE⊂平面ABCD.∴EB⊥PA ．又EB⊥AB .AB∩AP=A .AB.AP⊂平面PAB.∴EB⊥平面PAB.又AF⊂平面PAB.∴AF⊥BE ．又PA=AB=1.点F 是PB 的中点.∴AF⊥PB .又∵PB∩BE=B .PB.BE⊂平面PBE.∴AF⊥平面PBE ． ∵PE⊂平面PBE.∴AF⊥PE ．即无论点E 在边BC 的何处.PE 与AF 所成角都是定值90°．（3）过A 作AG⊥DE 于G.连PG.又∵DE⊥PA .则DE⊥平面PAG.则∠PGA 是二面角P-DE-A 的平面角.∴∠PGA=45°.∵PD 与平面ABCD 所成角是30°.∴∠PDA=30°.∴ AD =√3 .PA=AB=1．∴AG=1. DG =√2 .设BE=x.则GE=x. CE =√3−x .在Rt△DCE 中. (√2+x)2=(√3−x)2+12 . BE =x =√3−√2 ．解法二：（向量法）（1）同解法一（2）建立图示空间直角坐标系.则P （0.0.1）.B （0.1.0）. F (0，12，12) . D(√3，0，0) ．设BE=x.则E （x.1.0） PE ⃗⃗⃗⃗⃗ - AF ⃗⃗⃗⃗⃗ = (x ，1，−1)•(0，12，12)=0 ∴AF⊥PE 即PE 与AF 所成角是定值90°（3）设平面PDE 的法向量为 m ⃗⃗ =(p ，q ，1) .由 {m ⃗⃗ •PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗ •PE⃗⃗⃗⃗⃗ =0 .得： m ⃗⃗ =(1√3，1−x √3，1) .而平面ADE 的法向量为 AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，0，1) . ∵二面角P-DE-A 的大小是45°.所以cos45°= √22=|m ⃗⃗⃗ • AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ || AP ⃗⃗⃗⃗⃗ | . ∴ 1√13+(1−x √3)2+1=1√2. 得 BE =x =√3−√2 或 BE =x =√3+√2 （舍）．【点评】：本题考查空间向量求两平面的夹角.解题的关键是理解并掌握用空间向量求两平面夹角的方法.近几年高中数学引入空间向量.大大降低了立体几何中点线面间关系判断的思维含量.降低了难度.使得抽象的几何问题变成了简明的代数计算.用向量示解几何问题的一般步骤是：先根据图形的结构建立适当的坐标系.给出各点的坐标.如果研究两线的位置关系问题.可以求出两向量的方向向量.用公式求夹角.若研究线面夹角问题可求出线的方向向量与面的法向量.由公式求角.若研究两面的夹角问题.可求出两面的法向量.由公式求夹角．19.（问答题.14分）沙漏是古代的一种计时装置.它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成.开始时细沙全部在上部容器中.细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图.某沙漏由上下两个圆锥组成.圆锥的底面直径和高均为8cm.细沙全部在上部时.其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）．（1）如果该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙.则该沙漏的一个沙时为多少秒（精确到1秒）？（2）细沙全部漏入下部后.恰好堆成个一盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.求此锥形沙堆的高度（精确到0.1cm）．【正确答案】：【解析】：（1）开始时.沙漏上部分圆锥中的细沙的高为H= 23 ×8= 163.底面半径为r= 23×4= 83；从而求时间；（2）细沙漏入下部后.圆锥形沙堆的底面半径4.设高为H′.从而得V= 13π×42×H′= 102481π；从而求高．【解答】：解：（1）开始时.沙漏上部分圆锥中的细沙的高为H= 23 ×8= 163.底面半径为r= 23×4= 83；V= 13πr2H= 13π×（83）2× 163= 102481π≈39.71；V÷0.02≈1986（秒）所以.沙全部漏入下部约需1986秒．（2）细沙漏入下部后.圆锥形沙堆的底面半径4.设高为H′.V= 13π×42×H′= 102481π；H′= 6427≈2.4；锥形沙堆的高度约为2.4cm．【点评】：本题考查了函数在实际问题中的应用.属于中档题．20.（问答题.16分）如图.正三棱柱ABC-A1B1C1中.D是BC的中点.AA1=AB=1．（1）异面直线AB1与A1C所成角的大小；（2）设P为线段B1C1上的动点.试确定动平面APD和平面AA1C1C所成的锐二面角的平面角大小取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）连接A1B.交AB1于E.连DE.由矩形的性质及三角形中位线定理.可得DE || A1C.再由线面平行的判定定理.即可得到A1C || 平面AB1D．（2）如图建立空间直角坐标系.设P（m.0.1）.（- 12≤m≤12）．求得面AA1C1C的法向量.面ADP的法向量.由cos ＜m⃗⃗ ，n⃗＞ = √32×√1+m2∈[ √155. √32]即可得平面APD和平面AA1C1C所成的锐二面角的平面角大小取值范围．【解答】：解：（1）连结A 1B.AB 1交于点E.则E 是AB 1中点.连结DE.∵D 是BC 的中点. ∴DE 是△A 1BC 的中位线.∴DE || A 1C.∴∠AED （或补角）就是异面直线AB 1与A 1C 所成角．∵正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中.D 是BC 的中点.∴AD⊥面B 1BCC 1.即AD⊥B 1D ． ∴在△AED 中.AD= √32.AE= √22.DE= √22.cos∠AED= AE 2+ED 2−AD 22AE•ED = 14 .∴异面直线AB 1与A 1C 所成角的大小为arccos 14 ；（2）如图建立空间直角坐标系.D （0.0.0）.A （0. √32 .0）.C （ 12 .0.0）.A 1（0. √32 .1）设P （m.0.1）.（- 12 ≤m ≤12 ）． 设面AA 1C 1C 的法向量为 m ⃗⃗ =(x ，y ，z) AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12，−√32，0) . AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，0，1) ． 由 {m ⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −√32y =0m ⃗⃗ •AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =z =0⇒ m ⃗⃗ =(√3，1，0) ．设面ADP 的法向量为 n ⃗ =(a ，b ，c)DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，√32，0) . DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m ，0，1)由 n ⃗ •DA⃗⃗⃗⃗⃗ =√32b =0 . n ⃗ •DP⃗⃗⃗⃗⃗ =ma +c =0 . ⇒ n ⃗ =(1，0，−m) ． cos ＜m ⃗⃗ ，n ⃗ ＞ =√32×√1+m 2∈[ √155 . √32 ]. ∴平面APD 和平面AA 1C 1C 所成的锐二面角的平面角大小取值范围为[ π6 .arccos √155]．【点评】：本题考查异面直线所成角、二面角的求法.考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识.考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力.是中档题．21.（问答题.18分）我们可以用多种方法命题：已知平面四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和.求证它的对角线互相垂直．即在四边形ABCD 中.若|AB|2+|CD|2=|AD|2+|CB|2.则AC⊥BD （1）请用向量进行证明；（2）写出上述命题的逆命题.判断逆命题的真假并说明理由；（3）请观察平面勾股定理的条件和结论特征.试根据表格提示.得出勾股定理在空间上推广的结论．说明：对于第（4）题.将根据写出的真命题所体现的思维层次的对问题探究的完整性.给予不同的评分．【正确答案】：【解析】：由于平面向量与空间向量的运算法则类似.上面的向量运算与四边形 ABCD 是否共面无关.因而立即可以作得出结论.由此可以将平面四边形这一性质推广到空间四边形．【解答】：（1）证明：设有四边形ABCD.由条件|AB|2+|CD|2=|AD|2+|CB|2得知 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CB⃗⃗⃗⃗⃗ 2⇒ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 +（ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）2=（ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ - AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ）2+ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 ⇒ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 ⇒ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ •(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ •BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 . ∴AC⊥BD（2）逆命题：对角线互相垂直的四边形四边形的两组对边的平方和相等．是真命题． 证明：∵在四边形ABCD 中.∴AC⊥BD . ∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°.由勾股定理得.AD 2+BC 2=AE 2+DE 2+BE 2+CE 2. AB 2+CD 2=AE 2+BE 2+CE 2+DE 2. ∴AD 2+BC 2=AB 2+CD 2．（3）S 2△OAB +S 2△OBC +S 2△OAC =S 2△ABC ．（4）（2）逆命题的推广：对角线互相垂直的空间四边形的两组对边的平方和相等． 证明：| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+| CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-| BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-| DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2= AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+ CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2- BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2- DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=（ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ - OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ）2+（ OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ）2-（ OC⃗⃗⃗⃗⃗ - OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ）2-（ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ - OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）2 =-2 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ • OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ •OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ • OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2（ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）•（ OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ）=2 DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 若AC⊥BD . 则 DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 即：| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+| CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-| BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-| DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0.即：| AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+| CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=| BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-| DA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2.即命题成立．【点评】：本题主要考查推理和证明的应用.类比推理的定义是解决本题的关键．综合性较强.运算量较大.有一定的难度．。

上海交通大学附属中学2007-2008学年度第二学期高二数学期中试卷(本试卷共有22道试题，满分100分，考试时间90分钟。

请考生用钢笔或圆珠笔将答案写在答题纸上)一、填空题（本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。

）1．已知两圆2210x y +=和22(1)(3)20x y -+-=相交于,A B 两点，则直线AB 的方程是__________.2．圆心在x 轴上，半径为5，以A （2，-3）为中点的弦长是27的圆的方程为 。

3．在直角坐标系xOy 中,有一定点A （2，1）。

若线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>的焦点，则该抛物线的准线方程是 。

4．已知双曲线22145x y -=，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为 。

5．将参数方程⎩⎨⎧=+=θθsin 2cos 21y x （θ为参数）化为普通方程，所得方程是_________ 。

6．若,a b 为非零实数，则下列四个命题都成立： ①10a a+≠； ②()2222a b a ab b +=++； ③若a b =，则a b =±； ④若2a ab =，则a b =。

则对于任意非零复数,a b ，上述命题仍然成立的序号是 。

7． 已知R m ∈，复数i m m m m m z )32(1)2(2-++-+=，若i z 421+=，则=m 。

8．已知5 4log 21≥+i x ，则实数x 的取值范围是_______。

9．已知2,ai b i ++是实系数一元二次方程20x px q ++=的两根，则p q +的值为 。

10．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有 。

Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种11．把1＋（1＋x ）＋(1＋x)2＋…＋（1＋x ）n 展开成关于x 的多项式，其各项系数和为a n ，则112lim --∞→nn n a a 等于 。

2020-2021学年上海市交大附中高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.设α，β为两个不同平面，m，n为两条不同的直线，给出以下命题(1)若m⊥α，n//α，则m⊥n；(2)若α//β，m⊂α，则m//β；(3)若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n；(4)若m⊥n，m⊥α，n//β，则α⊥β；则下列真命题个数为()A. 1B. 2C. 3D. 42.设P、Q是椭圆x24+y2=1上相异的两点．设A(2,0)，B(0,1)．命题甲：若|AP|=AQ|，则P与Q关于x轴对称；命题乙：若|BP|=|BQ|，则P与Q关于y轴对称．关于这两个命题的真假，以下四个论述中，正确的是()A. 甲和乙都是真命题B. 甲是真命题，乙是假命题C. 甲是假命题，乙是真命题D. 甲和乙都是假命题3.如图是某几何体的三视图，且正视图与侧视图相同，则这个几何体的表面积是()A. 43πB. 7πC. (5+√5)πD. (4+√5)π4.已知两点F1(−2,0)、F2(2,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程为()A. x24+y23=1 B. x28+y24=1 C. x216+y24=1 D. x216+y212=1二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5.如图所示是一个三棱锥的三视图，其中俯视图是边长为2的等边三角形，侧视图的面积为√3，则该三棱锥的体积为______．6.已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是______ ．7.有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点，则点到点的距离大于1的概率为．8.下列命题中，正确的序号是______①若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；②若直线l⊥α，平面α⊥平面β，则l//β；③“若α=π6，则sinα=12”的否命题是“若α≠π6，则sinα≠12”；④已知圆锥的底面和顶点都在球面上，且圆锥的底面半径和球半径的比为√3：2，则圆锥与球的体积比为9：32；⑤若正数a，b满足1a +2b=1，则2a−1+1b−2的最小值是2．9.已知，，是三条直线，，且与的夹角为，那么与夹角为 ___ ．10.如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，M是CB1上的一个动点，则BM+D1M的最小值是______．11.正三棱柱ABC−A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别为AB、A1C1的中点，则EF的长是______ ．12.矩形ABCD中，AB=1，AD=√3.现将△ABD沿BD翻折，形成大小为θ的二面角A−BD−C，并且AC=√2，则cosθ=______．13.l1，l2，l3是空间三条不同的直线，以下有四种说法①若l1⊥l2，l2⊥l3，则l1//l3；②若l1⊥l2，l2//l3，则l1⊥l3；③若l 1//l 2//l 3，则l 1，l 2，l 3共面；④若l 1，l 2，l 3共点，则l 1，l 2，l 3共面．其中正确说法有______.(填上你认为正确说法的序号，多填少填均得零分)14. 一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：(1)三角形；(2)菱形；(3)矩形；(4)正方形；(5)正六边形．其中正确的结论是______ .(把你认为正确的序号都填上)15. 如图，已知平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AC 1与平面A 1BD 、CB 1D 1交于点E 、F 两点．设K为△B 1CD 1的外心，则V K−BED ：V A 1−BFD = ______ ．16. 若正三棱锥P −ABC(底面是正三角形，顶点P 在底面的射影是△ABC 的中心)满足|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√3，则该三棱锥外接球球心O 到平面ABC 的距离为______． 三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 如图1，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =2，E 是CD 的中点，将△ADE 沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥D 1−ABCE ，其中平面D 1AE ⊥平面ABCE ．(Ⅰ)证明：BE ⊥平面D 1AE ；(Ⅱ)求三棱锥C −BD 1E 的体积．18.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB//CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．(Ⅰ)求证：BM//平面ADEF；(Ⅱ)求证：平面EDB⊥平面BCE(Ⅲ)求三棱锥M−BDE的体积．19.某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．若每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为4000元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是多少？20.如图，正方形ABCD与梯形CDEF所在的平面互相垂直，CD⊥DE，CF//DE，CD=CF=2，DE=4，G为AE的中点．(Ⅰ)求证：FG//平面ABCD；(Ⅱ)求证：平面FAD⊥平面FAE；(Ⅲ)求平面FAE与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．21.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P−ABCD中AD//BC，∠ABC=90°PD⊥平面ABCD，AD=1，AB=√3，BC=4．(1)求证：BD⊥PC；(2)求直线AB与平面PDC所成的角；(3)在线段PC上是否存在一点E，使得DE//平面PAB？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查空间线面和面面的位置关系的判断，主要是平行和垂直的判断和性质，考查转化思想和推理能力，属于基础题．由线面平行和垂直的性质可判断(1)；由面面平行的性质可判断(2)；由面面垂直的性质和线线的位置关系可判断(3)；由线面平行、垂直的性质可判断(4)．解：α，β为两个不同平面，m，n为两条不同的直线，(1)若m⊥α，n//α，由线面平行的性质可得，过n的平面与α交于k，可得n//k，由m⊥k，则m⊥n，故(1)正确；(2)若α//β，m⊂α，由面面平行的性质可得m//β，故(2)正确；(3)若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m，n平行、相交或异面，故(3)错误；(4)若m⊥n，m⊥α，n//β，可得α，β可能平行或相交，故(4)错误．故选：B．2.答案：A+y2=1的图象关于原点对称，且关于x轴和y轴对称．解析：解：椭圆x24由于P和Q为椭圆上的相异两点，①当|AP|=AQ|，则P与Q关于x轴对称，②若|BP|=|BQ|，则P与Q关于y轴对称．故选：A．直接利用椭圆的性质的应用和点的对称关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，主要考查转换能力及思维能力，属于基础题型．3.答案：C解析：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是圆柱体中挖去一个圆锥，且它们的底面圆相同，高也相同；∴该几何体的表面积为S=S圆柱侧+S圆锥侧+S底面圆=2π⋅1⋅2+π⋅1⋅√22+12+π⋅12=(5+√5)π．故选：C．根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体中挖去一个圆锥，结合图中数据，求出它的表面积．本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力，是基础题目．4.答案：D解析：本题考查轨迹方程的求法，椭圆的方程，解题的关键是看清点所满足的条件，本题是用定义法来求得轨迹，还有直接法和相关点法可以应用．根据|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，得到2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=8，得到点P 在以F1，F2为焦点的椭圆上，已知a，c的值，求出b的值，写出椭圆的方程．解：∵F1(−2,0)、F2(2,0)，∴|F1F2|=4，∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，即|PF1|+|PF2|=8>4，∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，∵2a=8，a=4，c=2，∴b2=a2−c2=12，∴椭圆的方程是x216+y212=1．故选：D．5.答案：2√33解析：解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为正三棱锥，底面是边长为2的等边三角形，则AB边上的高CD=√3，又侧视图的面积为√3，∴三棱锥的高PO=2．∴该三棱锥的体积为V=13×12×2×2×sin60°×2=2√33．故答案为：2√33．由三视图还原原几何体，可知该几何体为正三棱锥，底面是边长为2的等边三角形，由侧视图的面积为√3求出三棱锥的高，再由棱锥体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．6.答案：18√3解析：解：此棱柱为正棱柱，体积43π的球体半径为1，由此可以得到三棱柱的高为2，底面正三角形内切圆的半径为1，故底面三角形高为3边长为2√3，所以表面积S=2×12×2√3×3+3×2√3×2=18√3．故答案为：18√3．由球的体积可以求出半径，从而得棱柱的高；由球与正三棱柱的三个侧面相切，得球的半径和棱柱底面正△边长的关系，求出边长，即求出底面正△的面积；得出棱柱的表面积．本题考查了球的体积，柱体体积公式的应用；本题的解题关键是求底面边长，这是通过正△的内切圆与边长的关系得出的．7.答案：解析：试题分析：空间内到点的距离等于1的点，是在以点为球心，1为半径的球面上，那么距离比1大的点在球的外部，因为基本事件总数是无限的，可以考虑几何概型，即圆柱内半球外部的体积与圆柱的体积比1O考点：1、几何体的体积；2、几何概型．8.答案：③⑤。

2019学年上海市交大附中高二（下）期中数学试卷一、填空题1．（3分）如果一条直线与两条直线都相交，这三条直线共可确定个平面．2．（3分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．3．（3分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a＝．4．（3分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是．5．（3分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）．6．（3分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则＝．7．（3分）已知△ABC三个顶点到平面α的距离分别是3，3，6，则其重心到平面α的距离为（写出所有可能值）8．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是．9．（3分）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为．10．（3分）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则3x+4y的最大值为11．（3分）已知A、B、C、P为半径为R的球面上的四点，其中AB、AC、BC间的球面距离分别为、、，若，其中O为球心，则x+y+z的最大值是12．（3分）如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面α分别与直线BC，AD相交于点G，H，则下列结论正确的是．①对于任意的平面α，都有直线GF，EH，BD相交于同一点；②存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③对于任意的平面α，都有S△EFG＝S△EFH；④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，几何体AC﹣EGFH的体积是一个定值．二、选择题13．（3分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．2πD．4π14．（3分）如图，在大小为45°的二面角A﹣EF﹣D中，四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，则B与D两点间的距离是（）A．B．C．1D．15．（3分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．16．（3分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与AC′所成的角为45°的点P的个数为（）A．0B．3C．4D．6二、解答题17．现在四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是a，高是b；2号容器的底面边长是b，高是a；3号容器的底面边长是a，高是a；4号容器的底面边长是b，高是b．假设a≠b，问是否存在一种必胜的4选2的方案（与a、b的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由18．如图，已知圆锥底面半径r＝20cm，O为底面圆圆心，点Q为半圆弧的中点，点P 为母线SA的中点，PQ与SO所成的角为arctan2，求：（1）圆锥的侧面积；（2）P，Q两点在圆锥侧面上的最短距离．。

2015-2016学年上海交大附中高二（下）期中数学试卷一、填空题（本大题满分56分）1．（4分）抛物线y2＝x的准线方程为．2．（4分）计算i+2i2+3i3+…+2016i2016＝．3．（4分）异面直线a，b成60°，直线c⊥a，则直线b与c所成的角的范围为．4．（4分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为．5．（4分）已知△AOB内接于抛物线y2＝4x，焦点F是△AOB的垂心，则点A，B的坐标．6．（4分）在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有．（填上所有正确答案的序号）7．（4分）已知复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，|z1﹣z2|＝，则|z1+z2|等于．8．（4分）三个平面能把空间分为部分．（填上所有可能结果）9．（4分）已知复数Z1，Z2满足|Z1|＝2，|Z2|＝3，若它们所对应向量的夹角为60°，则＝．10．（4分）已知复数z 1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，，则复数|z1+z2|＝．11．（4分）二面角α﹣l﹣β的平面角为120°，在面α内，AB⊥l于B，AB＝2在平面β内，CD⊥l于D，CD＝3，BD＝1，M是棱l上的一个动点，则AM+CM 的最小值为．12．（4分）已知虚数z＝（x﹣2）+yi（x，y∈R），若|z|＝1，则的取值范围是．13．（4分）已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A，B是C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则△ABF的面积等于．14．（4分）如图，直线y＝x与抛物线y＝x2﹣4交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与直线y＝﹣5交于Q点，当P为抛物线上位于线段AB下方（含A，B）的动点时，则△OPQ面积的最大值为．二、选择题（本大题满分20分，共计4小题，每题5分）15．（5分）在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B 与直线EF的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．垂直16．（5分）（1）两个共轭复数的差是纯虚数；（2）两个共轭复数的和不一定是实数；（3）若复数a+bi（a，b∈R）是某一元二次方程的根，则a﹣bi是也一定是这个方程的根；（4）若z为虚数，则z的平方根为虚数，其中正确的个数为（）A．3B．2C．1D．017．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P 到直线A1B1和直线BC的距离相等，则动点P所在曲线形状为（）A．B．C．D．18．（5分）设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是（）①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b．A．①②B．②③C．①④D．③④三、解答题（满分74分）19．（12分）已知复数z1＝+（a2﹣3）i，z2＝2+（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．（1）若复数z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根，求实数m值．20．（14分）如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，DD1⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝45°，且AD，AB，AA1三条棱的长组成公比为的等比数列，（1）求异面直线AD1与BD所成角的大小；（2）求二面角B﹣AD1﹣D的大小．21．（14分）已知z为复数，ω＝z+为实数，（1）当﹣2＜ω＜10，求点Z的轨迹方程；（2）当﹣4＜ω＜2时，若u＝（α＞0）为纯虚数，求：α的值和|u|的取值范围．22．（16分）动圆M与圆（x﹣1）2+y2＝1相外切且与y轴相切，则动圆M的圆心的轨迹记C，（1）求轨迹C的方程；（2）定点A（3，0）到轨迹C上任意一点的距离|MA|的最小值；（3）经过定点B（﹣2，1）的直线m，试分析直线m与轨迹C的公共点个数，并指明相应的直线m的斜率k是否存在，若存在求k的取值或取值范围情况[要有解题过程，没解题方程只有结论的只得结论分]．＝m+ni（m，n∈R），z＝x+yi（x，y∈R），z2＝2+4i且．23．（18分）已知复数z（1）若复数z1对应的点M（m，n）在曲线上运动，求复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程；（2）将（1）中的轨迹上每一点按向量方向平移个单位，得到新的轨迹C，求C的轨迹方程；（3）过轨迹C上任意一点A（异于顶点）作其切线，交y轴于点B，求证：以线段AB为直径的圆恒过一定点，并求出此定点的坐标．2015-2016学年上海交大附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）1．（4分）抛物线y2＝x的准线方程为x＝﹣．【解答】解：抛物线y2＝x的焦点在x轴上，且开口向右，2p＝1∴∴抛物线y2＝x的准线方程为x＝﹣故答案为：x＝﹣2．（4分）计算i+2i2+3i3+…+2016i2016＝1008﹣1008i．【解答】解：i+2i2+3i3+…+2016i2016＝（i﹣2﹣3i+4）+（5i﹣6﹣7i+8）+…+2016＝504（2﹣2i）＝1008﹣1008i．故答案为：1008﹣1008i．3．（4分）异面直线a，b成60°，直线c⊥a，则直线b与c所成的角的范围为[30°，90°]．【解答】解：如图作b的平行线b′，交a于O点，所有与a垂直的直线平移到O点组成一个与直线a垂直的平面α，O点是直线a 与平面α的交点，在直线b′上取一点P，作垂线PP'⊥平面α，交平面α于P'，∠POP'是b′与面α的线面夹角，∠POP'＝30°．在平面α中，所有与OP'平行的线与b′的夹角都是30°．在平面α所有与OP'垂直的线∵PP'⊥平面α，∴该线⊥PP′，则该线⊥平面OPP'，∴该线⊥b'，与b'的夹角为90°，与OP'夹角大于0°，小于90°的线，与b'的夹角为锐角且大于30°．∴直线b与c所成的角的范围[30°，90°]．故答案为：[30°，90°]．4．（4分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为．【解答】解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM 与CN所成角设边长为1，则B1E＝B1F＝，EF＝∴cos∠EB1F＝，故答案为5．（4分）已知△AOB内接于抛物线y2＝4x，焦点F是△AOB的垂心，则点A，B的坐标A（5，2），B（5，﹣2）．【解答】解：抛物线焦点F（1，0），∵焦点F是△AOB的垂心，∴直线AB⊥x轴．∴A，B关于x轴对称．设A（，y1）（y1＞0），则B（，﹣y1）．∴k OB＝＝﹣．k AF＝＝．∵焦点F是△AOB的垂心，∴AF⊥OB．∴k OB•k AF＝﹣1，即﹣•＝﹣1，解得y1＝2．∴A（5，2），B（5，﹣2）．故答案为：A（5，2），B（5，﹣2）．6．（4分）在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有（2）、（4）．（填上所有正确答案的序号）【解答】解析：如题干图（1）中，直线GH∥MN；图（2）中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图（3）中，连接MG，GM∥HN，因此，GH与MN共面；图（4）中，G、M、N共面，但H∉面GMN，∴GH与MN异面．所以图（2）、（4）中GH与MN异面．故答案为：（2）、（4）7．（4分）已知复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，|z1﹣z2|＝，则|z1+z2|等于1．【解答】解：∵复数z1，z2满足|z1|＝1，|z2|＝1，可令z1＝cos A+i sin A，z2＝cos B+i sin B∵|z1﹣z2|＝，故有（cos A﹣cos B）2+（sin A﹣sin B）2＝3，整理得2cos A cos B+2sin A sin B＝﹣1又|z1+z2|2＝（cos A+cos B）2+（sin A+sin B）2＝2+2cos A cos B+2sin A sin B＝1∴|z1+z2|＝1故答案为：1．8．（4分）三个平面能把空间分为4，或6，或7，或8部分．（填上所有可能结果）【解答】解：若三个平面两两平行，则把空间分成4部分；若三个平面两两相交，且共线，则把空间分成6部分；若三个平面两两相交，且有三条交线，则把空间分成7部分；当两个平面相交，第三个平面同时与两个平面相交时，把空间分成8部分，故答案为：4，或6，或7，或8．9．（4分）已知复数Z1，Z2满足|Z1|＝2，|Z2|＝3，若它们所对应向量的夹角为60°，则＝．【解答】解：如图在三角形OBC中由余弦定理得|Z1+Z2|＝|OB|＝＝，同理可得|Z1﹣Z2|＝|CA＝|＝，∴＝＝＝10．（4分）已知复数z 1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，，则复数|z1+z2|＝．|＝|z2|＝1，，所以复数z1，z2，构成的三角形【解答】解：因为|z是直角三角形，|z1+z2|是平行四边形的对角线，则|z1+z2|＝．故答案为：．11．（4分）二面角α﹣l﹣β的平面角为120°，在面α内，AB⊥l于B，AB＝2在平面β内，CD⊥l于D，CD＝3，BD＝1，M是棱l上的一个动点，则AM+CM的最小值为．【解答】解：将二面角α﹣l﹣β平摊开来，即为图形当A、M、C在一条直线时AM+CM的最小值，最小值即为对角线AC而AE＝5，EC＝1故AC＝故答案为：12．（4分）已知虚数z＝（x﹣2）+yi（x，y∈R），若|z|＝1，则的取值范围是[﹣，]．【解答】解：∵复数（x﹣2）+yi（x，y∈R）的模为1，∴（x﹣2）2+y2＝1根据表示动点（x，y）到定点（0，0）的斜率知：的最大值是，同理求得最小值是﹣，如图示：∴的取值范围是[﹣，]故答案为：[﹣，]．13．（4分）已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A，B是C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则△ABF的面积等于2．【解答】解：∵F是抛物线C：y2＝4x的焦点，∴F（1，0）．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，＝4x2，两式相减可得：（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1﹣x2），∵线段AB的中点为M（2，2），∴y1+y2＝2×2＝4，又＝k AB，4k AB＝4，解得k AB＝1，∴直线AB的方程为：y﹣2＝x﹣2，化为y＝x，联立，解得，，∴|AB|＝＝4．点F到直线AB的距离d＝，＝＝＝2，∴S△ABF故答案为：2．14．（4分）如图，直线y＝x与抛物线y＝x2﹣4交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与直线y＝﹣5交于Q点，当P为抛物线上位于线段AB下方（含A，B）的动点时，则△OPQ面积的最大值为30．【解答】解：直线y＝x与抛物线y＝x2﹣4联立，得到A（﹣4，﹣2），B（8，4），从而AB的中点为M（2，1），由k AB═，直线AB的垂直平分线方程y﹣1＝﹣2（x﹣2）．令y＝﹣5，得x＝5，∴Q（5，﹣5）．∴直线OQ的方程为x+y＝0，设P（x，x2﹣4）．∵点P到直线OQ的距离d＝＝|x2+8x﹣32|，|OQ|＝5，＝|OQ|d＝|x2+8x﹣32|，|∴S△OPQ∵P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，∴﹣4≤x＜4﹣4或4﹣4＜x≤8．∵函数y＝x2+8x﹣32在区间[﹣4，8]上单调递增，∴当x＝8时，△OPQ的面积取到最大值30．故答案为：30．二、选择题（本大题满分20分，共计4小题，每题5分）15．（5分）在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B 与直线EF的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．垂直【解答】解：如图，在正方体AC1中：∵A1B∥D1C∴A1B与D1C可以确定平面A1BCD1，又∵EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，∴直线A1B与直线EF的位置关系是相交，故选：A．16．（5分）（1）两个共轭复数的差是纯虚数；（2）两个共轭复数的和不一定是实数；（3）若复数a+bi（a，b∈R）是某一元二次方程的根，则a﹣bi是也一定是这个方程的根；（4）若z为虚数，则z的平方根为虚数，其中正确的个数为（）A．3B．2C．1D．0【解答】解：（1）两个共轭复数的差是纯虚数；如果两个复数是实数，差值也是实数，所以（1）不正确；（2）两个共轭复数的和不一定是实数；不正确，和一定是实数；（3）若复数a+bi（a，b∈R）是某一元二次方程的根，则a﹣bi是也一定是这个方程的根；不正确，因为实系数方程的虚根是共轭复数，所以（3）不正确；（4）若z为虚数，则z的平方根为虚数，如果虚数为i，则设z＝x+yi（x，y∈R），由z2＝（x+yi）2＝i，得x2﹣y2+2xyi＝i，∴，解得：或．∴z＝+i或z＝﹣﹣i．所以正确．故选：C．17．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P 到直线A1B1和直线BC的距离相等，则动点P所在曲线形状为（）A．B．C．D．【解答】解：依题意可知点P到BC的距离就是当P点B的距离，P到点B的距离等于到直线A1B1的距离，根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分．A的图象为直线的图象，排除A．B项中B不是抛物线的焦点，排除B．D项不过A点，D排除．故选：C．18．（5分）设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是（）①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b．A．①②B．②③C．①④D．③④【解答】解：当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；当a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．故选：D．三、解答题（满分74分）19．（12分）已知复数z1＝+（a2﹣3）i，z2＝2+（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．（1）若复数z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根，求实数m值．【解答】解：（1）由条件得，z1﹣z2＝（）+（a2﹣3a﹣4）i…（2分）因为z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，故有…（4分）∴解得﹣2＜a＜﹣1…（6分）（2）因为虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m＝0的根所以z 1+＝＝6，即a＝﹣1，…（8分）把a＝﹣1代入，则z 1＝3﹣2i，＝3+2i，…（10分）所以m＝z 1•＝13…（12分）20．（14分）如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，DD1⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝45°，且AD，AB，AA1三条棱的长组成公比为的等比数列，（1）求异面直线AD1与BD所成角的大小；（2）求二面角B﹣AD1﹣D的大小．【解答】解：（1）不妨设AD＝1，∵AD，AB，AA1三条棱的长组成公比为的等比数列，∴AB＝，AA1＝2．在△ABD中，DB2＝＝1，解得DB＝1．∴AD2+DB2＝AB2，∠ADB＝90°．∴AD⊥DB．∵DD1⊥底面ABCD，DB⊂平面ABCD，∴DD1⊥DB，又AD∩DD1＝D，∴DB⊥平面ADD1，∴DB⊥AD1，∴异面直线AD1与BD所成角为90°．（2）由（1）可得：DB⊥平面ADD1．在Rt△ADD1中，经过点D作DO⊥AD1，垂足为O，连接OB，则OB⊥AD1．∴∠BOD即为二面角B﹣AD1﹣D的平面角．在Rt△ADD1中，OD＝＝＝．在Rt△ODB中，tan∠BOD＝＝＝．∴∠BOD＝arctan．21．（14分）已知z为复数，ω＝z+为实数，（1）当﹣2＜ω＜10，求点Z的轨迹方程；（2）当﹣4＜ω＜2时，若u＝（α＞0）为纯虚数，求：α的值和|u|的取值范围．【解答】解：（1）设z＝x+yi，x，y∈R，则ω＝z+＝x+yi+＝x+yi+＝+i为实数，∴y﹣＝0，∴y＝0，或x2+y2＝9．①y＝0时，ω＝x+∵﹣2＜ω＜10，∴﹣2＜＜10，x＞0时，解得1＜x＜9．x＜0时，x∈∅．综上可得：y＝0时，点Z的轨迹方程是．②x2+y2＝9时．ω＝2x，∵﹣2＜ω＜10，∴﹣2＜2x＜10，解得﹣1＜x＜5．因此x2+y2＝9时．可得：点Z的轨迹方程是x2+y2＝9（﹣1＜x＜5）．（2）由（1）可得：①y＝0时，ω＝x+∵﹣4＜ω＜2，∴﹣4＜＜2，∵x＜0时，≤﹣6；x＞0时，≥6．综上可得：y＝0时，x∈∅，点Z的轨迹无方程．②x2+y2＝9时．ω＝2x，∵﹣4＜ω＜2，∴﹣4＜2x＜2，解得﹣2＜x＜1．∵u＝（α＞0）为纯虚数，u＝＝，∴α2﹣9＝0，2yα≠0，解得α＝3，y≠0．∴u＝＝，∵x∈（﹣2，1），∴|u|＝＝＝∈．∴α＝3，|u|∈．22．（16分）动圆M与圆（x﹣1）2+y2＝1相外切且与y轴相切，则动圆M的圆心的轨迹记C，（1）求轨迹C的方程；（2）定点A（3，0）到轨迹C上任意一点的距离|MA|的最小值；（3）经过定点B（﹣2，1）的直线m，试分析直线m与轨迹C的公共点个数，并指明相应的直线m的斜率k是否存在，若存在求k的取值或取值范围情况[要有解题过程，没解题方程只有结论的只得结论分]．【解答】解：（1）设动圆圆心M的坐标为（x，y），则∴（x﹣1）2+y2＝x2+2|x|+1，当x＜0时，y＝0；当x≥0时，y2＝4x；（2）如图，由图可知，M到轨迹C上的点与A的距离最小，则M在抛物线y2＝4x上，设M（x，y），则|MA|＝＝＝．∴当x＝1，即M（1，±2）时，|MA|的最小值为；（3）设过B与抛物线y2＝4x相切的直线方程为y﹣1＝k（x+2），即y＝kx+2k+1，联立，得k2x2+（4k2+2k﹣4）x+4k2+4k+1＝0．由△＝（4k2+2k﹣4）2﹣4k2（4k2+4k+1）＝0，解得：k＝﹣1或k＝．∴当直线m的斜率k不存在时或斜率存在为0时或直线m的斜率k∈（，+∞）∪（﹣∞，﹣1）时，m与C有1个交点；当直线m的斜率为k＝﹣1或k＝或k∈[﹣，0）时，m与C有2个交点；当直线m的斜率k∈（0，）∪（﹣1，﹣）时，m与C有3个交点．23．（18分）已知复数z＝m+ni（m，n∈R），z＝x+yi（x，y∈R），z2＝2+4i且．（1）若复数z1对应的点M（m，n）在曲线上运动，求复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程；（2）将（1）中的轨迹上每一点按向量方向平移个单位，得到新的轨迹C，求C的轨迹方程；（3）过轨迹C上任意一点A（异于顶点）作其切线，交y轴于点B，求证：以线段AB为直径的圆恒过一定点，并求出此定点的坐标．【解答】解：（1）∵i﹣z 2＝（m﹣ni）•i﹣（2+4i）＝（n﹣2）+（m﹣4）i；∴⇒．∵复数z1对应的点M（m，n）在曲线上运动∴x+2＝﹣（y+7）2﹣1⇒（y+7）2＝﹣2（x+3）．复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程：（y+7）2＝﹣2（x+3）．（2）∵按向量方向平移个单位，＝＝1×．即为向x方向移动1×＝个单位，向y方向移动1×1＝1 个单位（y+7）2＝﹣2（x+3）⇒y+7＝±．得轨迹方程y+7＝±⇒（y+6）2＝﹣2（x+）＝﹣2x﹣3．C的轨迹方程为：（y+6）2＝﹣2x﹣3．（3）设A（x0，y0），斜率为k，切线y﹣y0＝k（x﹣x0）（k≠0），代入（y+6）2＝﹣2x﹣3整理得：（y+6）2＝﹣2（）﹣3，△＝0⇒k＝，设定点M（1，0），且．∴以线段AB为直径的圆恒过一定点M，M点的坐标（1，0）．。

20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：上海市交大附中20XX-20XX学年高二下学期期中考试数学（满分100分，90分钟完成。

答案请写在答题纸上。

）命题：刘侠审核：杨逸峰一、填空题：1、i1+i2+i3+…+i2000=__________________。

2、已知方程x2+bx+c=0(b、c∈R)有一根为1-2i，则b=__________________。

3、已知复数Z满足|Z|=1，则复数Z-i的模的取值范围是__________________。

4、已知复数Z1满足(Z1-2)i=1+i，复数Z2的虚部为2，且Z1Z2是实数，则Z2=______________。

5、已知方程221712x yk k-=--表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是_________。

6、已知双曲线的方程为221205x y-=，那么它的焦距是__________________。

7、与双曲线2214yx-=有共同渐近线，且过点M(2,2)的双曲线的标准方程为__________________。

8、抛物线214x y=上到直线y=4x-5的距离最短的点为__________________。

9、已知复数Z满足|Z|=1，则W=1+2Z所对应的点的轨迹是__________________。

10、已知双曲线221124x y-=的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是__________________。

11、已知ABC的三个顶点A、B、C都在抛物线y2=32x上，点A(2,8)，且这三角形的重心G是抛物线的焦点，则BC 边所在直线的方程是__________________。

12、设复数Z 满足|Z |=2，且(Z -a )2=a ，则实数a 的值为__________________。

二．选择题：13、若Z 1，Z 2为复数，则Z 12+Z 22=0是Z 1=0且Z 2=0的（ ） A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、充要条件D 、既非充分又非必要条件14、下面给出4个式子，其中正确的是（ ）A 、3i>2iB 、|2+3 i|>|1-4i|C 、|2-i|>2i 4D 、i 2>-i15、已知直线30x y +=与直线kx-y+1=0的夹角为60°，则k 的值为（ ） A 、3或0B 、3-或0C 、2或0D 、2-或0 16、曲线214y x =+-与直线y=k(x-2)+4有两个交点时，实数k 的取值范围是（ ）A 、53(,]124B 、5(,)12+∞C 、5(0,)12D 、13(,)34三．解答题：17、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值。

20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：上海交通大学附属中学20XX-20XX 学年度第二学期高二数学期中试卷本试卷共有22道试题，满分100分，考试时间90分钟。

请考生用钢笔或圆珠笔将答案写在答题卷上命题：邰昭东 审核：杨逸峰一、填空题（本大题满分42分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。

1. 1001001i i +=.2. 抛物线280y x +=的焦点坐标为.3. 双曲线2238x y -=的两条渐近线的夹角为.4. 从甲、乙、丙三名学生中任意安排2名学生参加数学、外语两个课外活动小组的活动，有种不同的安排方案。

5. 若复数214t z t i+=-+在复平面上对应的点在第四象限，则实数t 的取值范围是 6. 6名学生排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，则共有种排法。

7. 已知双曲线221y x a -=的一条渐近线与直线230x y -+=垂直，则实数a =. 8. 在抛物线220y x =上有一点P ，且P 与焦点的距离等于15，,则P 点坐标为. 9. 复数2)2321(i z -=是实系数方程012=++bx ax 的根，则=⨯b a . 10. 某抛物线形拱桥的跨度为20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需用一根支柱支撑，其中最高支柱的高度是米．（答案保留两位小数．．．．．．．．） 11. 已知焦点为(0,3)的双曲线方程是2288kx ky -=，则k =.12. 某高校食堂供应午饭，每位学生可以在食堂提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种。

现在食堂准备了5种不同的荤菜，若要保证每位学生有200种以上不同的选择，则食堂至少还需要准备不同的素菜品种种.（结果用数值表示）13. 从抛物线24y x =上一点P 引其准线的垂线，垂足为M ，设抛物线的焦点为F ，且||5PF =，则MPF ∆的面积为.14. 已知双曲线2222:1x y C a b-=，1F 、2F 分别为左右焦点，P 为C 上的任意一点，若122F PF π∠=，且124F PF S ∆=，则双曲线的虚轴长为.二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在对应的空格内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），一律得零分。