上海市交大附中自招试卷数学试题(含答案)

1交大附中2024学年第一学期高三年级数学摸底考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.已知全集U R =,集合{|},{|13}A x x a B x x =<=−<<,且B A ⊆,则实数a 的取值范围 是 .2.已知常数0a >且1a ≠,无论a 为何值,函数21x y a −=+的图像恒经过一个定点,则这个点 的坐标为 .3.用简单随机抽样的方法从含n 个个体的总体中,逐个抽取一个样本量为3的样本,若其中 个体a 在第一次就被抽取的可能性为18，那么n = . 4.两正数a 与b 的几何平均值为2,则2a 与2b 的算术平均值的最小值为 .5.已知二项式31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中存在常数项,正整数n 的最小值为 .6.不等式21log x x <−+的解集是 .7.已知等差数列{}n a 的首项11,n a S =−表示{}n a 的前n 项和,若数列{}n S 是严格增数列，则{}n a 的公差d 取值范围是 .8.已知()()()()1f x x x a x b =+++.若()y f x =为奇函数,则()'0f = . 9.满足定义域为{}1234,,,且值域为{}123,,的函数共有 个.10.已知函数()(0,0,02)y Asin x A =ω+φ>ω>≤φ<π的图像与直线(0)y b b A =<<的三个 相邻交点的横坐标依次是1,2,4,则ϕ=11.已知实数,,a b c 成公比为q 的等比数列,抛物线2x y =上每一点到直线0ax by c ++=的距 离均大于98,则q 的取值范围是 .212.在边长为1的正六边形ABCDEF 中,以A 为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别 记为12345,,,,a a a a a ，以D 为起点其它5个顶点之一为终点的向量分别记为12345,,,,d d d d d ，若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值，其中{}{}{}{}12345,12345i ,j,k ,,,,r ,s,t ,,,,⊂⊂。

⎨四校自招-数学·交附卷一、填空题1、在△ABC中，设CA=a，CB=b，P是中线AE与中线CF的交点，则BP= 。

（用a,b表示）2、已知a是正实数，则a+2的最小值等于a3、正整数360共有个正因数。

4、小明负责小组里4个同学的作业本的收发，但做事比较马虎。

如果他随机的分发4个同学的本子，那么他把每个同学的本子都发错的概率是5、计算：1=3-226、计算：1+1+ +1=1⨯22⨯32013⨯20147、一卷直径为10厘米的圆柱形无芯卷筒纸是由长为L厘米的纸绕80圈而成，那么L=8、满足方程：4+2=1的正整数有序数对的（m,n）个数为m n9、已知实数x满足2x2-4x=6x2-2x-1，则x2-2x的值为10、直线x-y=1与反比例函数y=k的图像如果恰有一个交点，则该交点必定在第象限。

x11、平面上边长为1的正方形ABCD绕着其中心旋转45︒得到正方形A'B'C'D'，那么这两个正方形重叠部分的面积为12、请在下列表格的9个小方格中分别填入数字1、2、3、4、5、6、7、8、9，使得每行每列，以及两条对角线上的三个数之和相等（只需要填1种答案）13、在前1000个整数1，2，3，…，1000中，数码1共出现了次14、设A(0,-2)，B(4,2)是平面直角坐标系中的两点，P是线段AB垂直平分线上的点，如果点P与点C(1,5)的距离等于22，则点P的坐标为15、方程组⎧217x+314y=2的解为⎩314x+217y=2 16、坐标原点(0,0)关于直线y=x+4翻折后的点的坐标为二、解答题17、已知，在△ABC中，AC=BC=1，∠C=36°，求△ABC的面积S18、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像抛物线经过A(-3,0)，B(1,0)两点，M(t,4)是其顶点。

（1）求实数a,b,c的值；（2）设点C(-4,-6)，D(1,-1)，点P在抛物线上且位于x轴上方，求当△CDP的面积达到最大时点P 的坐标。

【中考模拟】上海市交大附中自招试卷数学试题(含答案)交大附中自主招生试卷二千零二十一点零三第一部分1.已知2.3.ab∥cd，ab？15，cd？10，广告？3，cb？4.找到sabcd4.y?x3?4x?6，若a?x?b时，其中x的最小值为a，最大值为b，求a?b.5.y？2（x？2）2？m、如果抛物线和X轴的交点和顶点形成一个等边三角形，求m 的值11?x??3，求x3?3?1000.xxx?1xx?t??有增根，求所有可能的t之和.xx?1x(x?1)6.De是BC的切线，正方形ABCD的边长是200，BC是以BC为直径的半圆。

找出de的长度7.在直角坐标系中，正?abc，b(2,0)，c(,0)过点o作直线dmn，om?mn，求m的横坐标.8.四个圆相切，半径⊙ B和⊙ C是一样的。

什么时候⊙ a穿过中心⊙ D、半径⊙ A 是9。

求半径⊙ B9.横纵坐标均为整数的点为整点，（点，求a可取到的最大值.10.G是重心，de通过重心，s？abc？1.找到s？并证明结论921?m?a），y?mx?a（1?x?100），不经过整2第二部分（科学素养）1.已知直角三角形三边长为整数，有一条边长为85，求另两边长（写出10组）.2.阅读材料：根据凸函数的定义和性质解决三个小问题，其中第三个是不等式证明f[bx1?(1?b)x2]?bf(x1)?1?bf(x2)（1） b？3.请用最优美的语言赞美仰晖班（80字左右）（17分）4.附加问题（25分）11；（2）b?.（注：选（1）做对得10分，选（2）做对得20分）43?2w?x?y?z?1?w?2x?y?z?2?（2points）solvethefollowingsystemofequationsforw.?nn？2n？1.N2.（6分）解方程x?4x?16x?????42021x?3?x?1.expressyour回答为在IRPrimeFactorization中使用数字或写入的简化分形。

a 2 · a 2 3 = 四校自招-数学·交附卷学而思高中部 胡晓晨老师υυυρ 1. BP = 1 υυυρ BA + 1 υυυρ BC = 2 υυυρ BC + 1 υυυρCA = a - 2b3 3 3 3 3【高中知识点】向量的分解2. a + 2 ≥ 2 = 2a 【高中知识点】均值不等式3. 360 = 23 ⨯32 ⨯5约数个数为4⨯3⨯ 2 = 244. 所有可能的情况为1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 14322134, 2143, 2314, 2341, 2413, 24313124, 3142, 3214, 3241, 3412, 34214123, 4132, 4213, 4231, 4312, 432193全都发错有9 种可能，因此概率为 24 82 + 5.520136. 2014【高中知识点】裂项求和7. 设纸的厚度为r ，则2⨯80r = 10即 r = 1 16L = 2π (r + 2r + 3r +Λ+ 80r ) = 6480π r = 405π cm【高中知识点】等差数列求和8.(m - 4)(n - 2) = 8= 8⨯1 = 1⨯ 8= 2 ⨯ 4 = 4 ⨯ 2= (-8) ⨯(-1) = (-1) ⨯(-8)= (-4) ⨯(-2) = (-2) ⨯(-4)2依次检验，只有前 3 组符合题意，故(m , n ) 的个数为3 个9. 设 x 2 - 2x = t ，则2t = 6 -1 ，即2t 2 + t - 6 = 0 ，即(t + 2)(2t - 3) = 0 t ∴ t = -2 或 3 2又t = (x -1)2 -1 ≥ -1∴ t = 3210. 四11. 考虑四个角的小直角三角形，每个小直角三角形的斜边上的高为2则面积为( )2 = 2 4因此，重叠的面积为1- 3 - 2 2 =2 2 +1 4 42 9 412. 7 5 36 1 813. 一位数中，1 出现了1次两位数中 1 在十位上出现了10 次，在个位上，出现了9 次这样，前两位数共出现20 次三位数中，1 在百位上共出现了 100 次，十位和个位看成一个整体，共出现了数字 1 有20⨯9 = 180 次 最后数 1000 里面出现了 1 有1次一共有20 +100 +180 +1 = 301 次【高中知识点】组合计数14. 线段 AB 垂直平分线的方程为 y = -x + 2因此，设 P (t , -t + 2) ，则 PC 2 = (t -1)2 + (-t + 2 - 5)2= 8即 2t 2 + 4t +10 = 8 ，解得t = -1因此 P (-1,3)【高中知识点】解析几何——直线与圆的方程15. 两式相减，得97x = 97 y ，即 x = y2 -1 2 -13 - 2 2AB 2 - BE 2 5 -58 BA 2⎧x = ⎪ 因此方程的解为⎨ ⎪ y = ⎩ 2531253116. (-4, 4)【高中知识点】解析几何——点关于直线的对称17. 在ςABC 中作∠CAB 的角平分线 AD设 AB = x ，则∠C = 36︒ ， ∠CAB = ∠B = 72︒ ， ∠CAD = ∠BAD = 36︒可得ςBAD ∽ςBCA故 BA= BDBC BA2则 BD = = x BC ∴ CD = CB - BD =1- x 2又∠C = ∠CAD = 36︒ ，故 DA = DC =1- x 2又∠ADB = ∠B = 72︒ ，故 AB = AD ，即 x = 1- x 2∴ x 2 + x -1 = 0解得 x =∴ AB = 5 -1或 - 2 5 -125 -1（舍）2 过 A 作ςABC 的高 AE ，则AE = = x 2 = 3 - 5 2则 AE == = 10 - 2 54则 S = 1 CB ·AE = 10 - 2 5ς ABC2 818.(1)设 f (x ) = a (x + 3)(x -1) ，且 f (-1) = 4解得a = -1∴ f (x ) = -(x + 3)(x -1) = -x 2 - 2x + 3∴ a = -1， b = -2 ， c = 3(2) 依题意，当 S ςCDP 的面积最大时， P 到直线CD 的距离最大x - ( )2 x 222 3 - 5 - (3 - 5 )2 2 4 ⎪2 那么，过点 P 作平行于CD 的直线，必与抛物线相切（否则在平行线的上方，有到比CD 的距离更远的点） C (-4, -6)， D (1, -1) ，则直线CD 的斜率为k =-1- (-6) = 1 1- (-4)设过 P 的直线为 y = x + b ，代入 y = -x 2- 2x + 3 得 x 2 + 3x + (b - 3) = 0∴∆ = 9 - 4(b - 3) = 21- 4b = 0 ∴ b = 214方程即 x 2 + 3x + 9 = 0 ，所以得 x =- 34 2 则 y = - 3 + 21 = 152 4 4∴当 Sς PCD 面积最大时， P 的坐标为 P (- 3 ,15)2 4 【高中知识点】解析几何——直线的方程19. 假设 = p ，其中 p , q 为整数且互质 q则 p = 2q ， p 2 = 2q2 故 p 2 为偶数，则 p 为偶数设 p = 2m ，则(2m )2 = 2q 2 ，得 q 2 = 2m2则 q 2 为偶数，则q 为偶数 p , q 均为偶数，与 p , q 互质矛盾！故 不是有理数【高中知识点】反证法【试卷总结与分析】1. 高中知识点分析从设计到的高中知识点来说，交大附中的考察特点是“杂”，基本上都有涉及，无明显的针对性，如向量、均值不等式、反证法、数列求和、解析几何、组合计数等等，而且考察的也比较基础简单（例如数列求和的两道题可归类于小学奥数内容），涉及到的也不深，考试足以通过初中知识或小学奥数知识解决如 17 题，是初中讲过的“黄金三角形”，只要基础好，本题可秒杀19 题，是初中课本的拓展内容的原题，考生只要留心课本的拓展内容即可2. 初高衔接知识点分析2高中知识中，代数与几何所占比重差异巨大，代数大约占到95%，几何大约5%想打好初高衔接基础，建议把精力全部放在代数，这其中又主要以①代数式变换（因式分解、配方、根式与分式的化简计算）②解方程③二次函数的图像与性质为主在本卷中也有所体现，如第5, 8, 9, 10, 15, 18, 19 题，对于代数式变换和二次函数考察的较多，但不太深，只要接触过一点便能解决，建议学生在这方面平时稍加训练即可3.初中知识点分析初中知识以几何为主，本卷中几何考到的较多，如第1, 7, 10, 11, 14, 16, 17 都在考察平面几何知识，有一定难度但不偏不怪，想做对，要牢牢打好初中几何的基础，否则考试时会在这方面吃亏数论知识考察的不多，仅在第3,8 题涉及，而且考察点只有“质因数分解，约数个数”这些很基础的内容，建议考生无需花太大精力，若已有基本的数论知识，可放心应考；若考生完全没有接触过，建议尽快补充知识，否则会在这方面的考题吃亏组合知识在第4, 13 题中考到，两道题都需要用枚举方法解决，但难度不算很低，建议考生在组合知识方面稍加训练以对应考试。

2023上海市交大附中嘉定分校数学自招模拟试题简介本文档为2023年上海市交大附中嘉定分校数学自招模拟试题。

试题包括单选题、多选题和解答题，总共五道题目。

我们希望通过这些试题，帮助考生熟悉考试形式，提高数学解题能力。

单选题1. 下列哪个数是质数？- A. 12- B. 17- C. 20- D. 252. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，已行驶4个小时，计算该车行驶的总距离是多少公里？- A. 120- B. 180- C. 240- D. 300多选题3. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，则下列说法正确的是（多选题）- A. 函数在x=1处达到最小值- B. 函数在x=2处达到最大值- C. 函数的图像是一个开口向上的抛物线- D. 函数f(x)在x=3和x=1之间单调递减解答题4. 一个长方形的长度是宽度的两倍，若长方形的周长为24cm，求长方形的长度和宽度各是多少cm？5. 一根柱子高度为3.5米，上面有一个高20厘米的标志牌，标志牌的顶端到柱子的底端的距离是2米，请问此根柱子的底部离地面的距离是多少米？请将解答题的答案写在下方：4. 长方形的长度设为x，宽度设为y。

根据题意，可以列出以下方程组：2x + 2y = 24 （长方形的周长为24cm）x = 2y （长度是宽度的两倍）根据方程组解得，x = 8cm，y = 4cm。

5. 设柱子的底部离地面的距离为h。

根据题意，可以列出以下方程：3.5 - h + 2 = 0.2 （标志牌的顶端到柱子的底端的距离是2米，转换为米表示）解方程可得，h = 5.3m。

总结通过完成上述五道题目，考生可以练单选题、多选题和解答题，了解数学自招考试的题型和难度。

同时，积极做题可以提高数学解题能力，为考试做好充分准备。

注意：在实际考试中，同学们需要认真审题并理解题意，遵循考试规则完成所有题目。

祝各位同学考试顺利，取得优异的成绩！。

2019年交大附中自招数学试卷1.求值：cos30sin 45tan 60︒⋅︒⋅︒=2.反比例函数1y x=与二次函数243y x x =-+-的图像的交点个数为3.已知210x x --=，则3223x x -+=4.设方程(1)(11)(11)(21)(1)(21)0x x x x x x ++++++++=的两根为1x 、2x ，则12(1)(1)x x ++的值为5.直线y x k =+（0k <）上依次有A 、B 、C 、D 四点，它们分别是直线与x 轴、双曲线k y x=、y 轴的交点，若AB BC CD ==，则k 的值为6.交大附中文化体育设施齐全，学生既能在教室专心学习，也能在操场开心运动，德智体美劳全面发展，某次体锻课，英才班部分学生参加篮球小组，其余学生参加排球小组，篮球小组中男生比女生多五分之一，排球小组男女生人数相等，一段时间后，有一名男生从篮球小组转到排球小组，一名女生从排球小组转到篮球小组，这样篮球小组的男女生人数相等，排球小组女生人数比男生人数少四分之一，问英才班有多少人？7.已知a 、b 、c 、n 是互不相等的正整数，且1111a b c n+++也是整数，则n 的最大值为8.如图，ABCDE 是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为9.若关于x 的方程2(4)(6)0x x x m --+=的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m 的值为10.设△ABC 的三边a 、b 、c 均为正整数，且40a b c ++=，则当乘积abc 最大时，△ABC 的面积为11.如图，在直角坐标系中，将△OAB 绕原点旋转到△OCD ，其中(3,1)A -、(4,3)B ，点D 在x 轴正半轴上，则点C 的坐标为12.如图，数轴上从左到右依次有A 、B 、C 、D 四个点，它们对应的实数分别为a 、b 、c 、d ，如果存在实数λ，满足：对线段AB 和CD 上的任意一点M ，其对应的实数为x ，实数xλ对应的点N 仍然在线段AB 或CD 上，则称(,,,,)a b c d λ为“完美数组“，例如：(1,2,3,6,6)就是一组”完美数组“，已知||1AB =，||5BC =，||4CD =，求此时所有的”完美数组“，写出你的结论和推算过程.参考答案1.42.3个3.24.20035.92- 6.36人7.428.4π9.65910.11.913(,)55-12.(4,3,2,6,12)--，(2,1,8,4,8)---，(2,3,8,12,24)2019年交大附中自招数学试卷（二）1.()S n 为n 的各位数字之和，例(2019)201912S =+++=.（1）当1099n ≤≤时，求()n S n 的最小值；（2）当100999n ≤≤时，求()n S n 的最小值；（3）当10009999n ≤≤时，求()n S n 的最小值.2.（1）如图，2AB =，1BC =，3CD =，M 为以BD 为直径的圆上任意一点，求证：AM MC为定值.（2）尺规作图：以上图结论画出点P ，使::1:1:2PA PB PC =，保留作图痕迹并写出步骤.。

2019年交大附中自招数学试卷一、填空题1、求值：cos30sin 45tan 60⋅⋅=.2、反比例函数1y x =与二次函数243y x x =-+-的图像的交点个数为.3、已知210x x --=，则3223x x -+=.4、设方程()()()()()()11111211210x x x x x x ++++++++=的两根为1x ，2x ，则()()1211x x ++=.5、直线y x k =+（0k <）上依次有,,,A B C D 四点，它们分别是直线与x 轴、双曲线k y x=、y 轴的交点，若AB BC CD ==，则k =.6、交大附中文化体行设施齐全，学生既能在教室专心学习，也能在操场开心运动，德智体美劳全面发展，某次体育课，英才班部分学生参加篮球小组、其余学生参加排球小组。

篮球小组中男生比女生多五分之一，排球小组男女生人数相等；一段时间后，有一名男生从篮球小组转到排球小组，一名女生从排球小组转到篮球小组，这样篮球小组的男女生人数相等，排球小组女生人数比男生人数少四分之一，问英才班有人.7、已知,,,a b c n 是互不相等的正整数，且1111a b c n +++也是整数，则n 的最大值是.8、如图，ABCDE 是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为.9、若关于x 的方程()()2460x x x m --+=的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m =.10、设ABC 的三边,,a b c 均为正整数，且40a b c ++=，当乘积abc 最大时，ABC 的面积为.11、如图，在直角坐标系中，将AOB 绕原点旋转到OCD ，其中()3,1A -，()4,3B ，点D 在x 轴正半轴上，则点C 的坐标为.二、解答题12、如图，数轴上从左到右依次有,,,A B C D 四个点，它们对应的实数分别为,,,a b c d ，如果存在实数λ,满足：对线段AB 和CD 上的任意M W，其对应的数为x ，实数xλ对应的点N 仍然在线段AB 或CD 上，则称(),,,,a b c d λ为“完美数组”。

2024-2025学年上海交大附中高一数学上学期9月考试卷2024.09一.填空题1.方程组213y x y x =+⎧⎨=-+⎩的解集为_________.2.已知全集{|4}U x x =≤，集合{|23}A x x =-<<，{|32}B x x =-≤≤，则A B = ________3.已知集合{|12}A x x =≤≤，集合{|}B x x a =≤，若A B ≠∅ ，则实数a 的取值范围是________4.若集合{}2|10,A x ax x x =++=∈R，且A 中只有一个元素，则a =________；5.用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为_______．6.若集合()1,12y A x y x ⎧⎫-==⎨⎬-⎩⎭，(){}2,21B x y y xx ==-+，则A B = ____.7.若“12x a x a >⎧⎨>⎩”是“122122x x ax x a+>⎧⎨>⎩”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________.8.设集合2{|30,R}A x x mx x =-+=∈且{}1,3A A = ，则实数m 的取值范围是______.9.若集合{}2|2,,A x x ax b a b R=++=∈中有且只有3个元素，且这3个元素恰为直角三角形的三边，则4a b +=________.10.设集合ππ,24k M x x k ⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭Z ，π,4k N x x k ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，则M 、N 之间的关系为M _________N ．11.设集合{}1,2,3,,6M = ，现对M 的任一非空子集A ，令A x 为A 中最大数与最小数之和，则所有这样的Ax 的算术平均值为________．12.对于数集{}1231,,,,,n X x x x x =- ，其中1230,2n x x x x n <<<<<≥ ，定义点集(){},|,Y s t s X t X =∈∈，若对于任意()11,s t Y ∈，存在()22,s t Y ∈，使得12120s s t t +=，则称集合X具有性质P .则下列命题中为真命题的是___________.①{}1,1,2X =-具有性质P ；②若集合X 具有性质P ，则1X ∈；③集合X 具有性质P ，若112x =，则1n x =.二.选择题13.数集{|21,}A x x k k ==-∈Z ，{|2,}B x x k k ==∈Z ，{|41,Z}C x x k k ==-∈，若a A ∈，b B ∈，则a b +∈（）A.AB.BC.CD.A ，B ，C 都有可能14.若A 、B 是全集I 的真子集，则下列四个命题：①A B A = ；②A B A = ；③()A B ⋂=∅；④A B I ⋂=；⑤x B ∈是x A ∈的必要不充分条件．其中与命题A B ⊆等价的有（）A .1个B.2个C.3个D.4个15.已知1a ，2a ，1b ，2b ，1c ，2c 均为非零实数，不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为集合M 和N ，且R M ∅⊂⊂，R N ∅⊂⊂．那么“111222a b c a b c ==”是“M N =”的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件16.当一个非空数集G 满足“如果,a b G ∈，则a b +，a b -，ab G ∈，且0b ≠时，aG b∈”时，我们称G 就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①0是任何数域的元素；②若数域G 有非零元素，则2023G ∈；③集合{}2,Z P x x k k ==∈是一个数域；④有理数集是一个数域.其中假命题的个数是（）.A .B.1C.2D.3三.解答题17.用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集.（1）不等式230x ->的解集；（2）二元二次方程组2y xy x=⎧⎨=⎩的解集；（3）由大于3-且小于9的偶数组成的集合.18.已知A 为方程2210ax x ++=的所有实数解构成的集合，其中a 为实数.（1）若A 是空集，求a 的范围；（2）若A 是单元素集合，求a 的范围：（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.19.下列命题中，判断条件p 是条件q 的什么条件.（1）:||||p x y =，:q x y =；（2）:p ABC V 是直角三角形，:q ABC V 是等腰三角形；（3）:p 四边形的对角线互相平分，:q 四边形是矩形；（4）:1p x =，:1q x -=（5）:0p m >，:q 关于x 的方程20x x m +-=有实根.20.设集合{}()(){}222320,2150A x x x B x x a x a =-+==+++-=；（1）若{}2A B = ，求实数a 的值；（2）若B 集合中有两个元素12,x x ，求12x x -；（3）若,U B A =⋂=∅R ，求实数a 的取值范围；附加题：21.集合{}66,11,23,10,911,1,18,100,0,πM =---有10个元素，设M 的所有非空子集为i M ()1,2,,1023i = 每一个i M 中所有元素乘积为i m ()1,2,,1023i = ，则1231023m m m m ++++= ___________.22.设R x ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为“取整函数”，如：[]1.61=，[]1.62-=-.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合[]{}2|10,12A x x x x =--=-<<是单元素集：②对于任意R x ∈，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立，则以下说法正确的是（）A.①②都是真命题B.①是真命题②是假命题C.①是假命题②是真命题D.①②都是假命题2024-2025学年上海交大附中高一数学上学期9月考试卷2024.09一.填空题1.方程组213y x y x =+⎧⎨=-+⎩的解集为_________.【答案】()(){}2,1,1,2--【解析】【分析】通过解方程组求得正确答案.【详解】依题意，213y x y x =+⎧⎨=-+⎩，则()()2213,2210x x x x x x +=-++-=+-=，解得2x =-或1x =，所以方程组213y x y x =+⎧⎨=-+⎩的解为21x y =-⎧⎨=-⎩或12x y =⎧⎨=⎩，所以方程组213y x y x =+⎧⎨=-+⎩的解集为()(){}2,1,1,2--.故答案为：()(){}2,1,1,2--2.已知全集{|4}U x x =≤，集合{|23}A x x =-<<，{|32}B x x =-≤≤，则A B = ________【答案】(,2][3,4]-∞ 【解析】【分析】根据补集和并集的概念得到集合.【详解】{2A x x =≤-或}34x ≤≤，A B = {2x x ≤-或}34x ≤≤(,2][3,4]{|32}x x -≤=-∞≤ .故答案为：(,2][3,4]-∞ 3.已知集合{|12}A x x =≤≤，集合{|}B x x a =≤，若A B ≠∅ ，则实数a 的取值范围是________【答案】1a ≥【解析】【分析】由A B ≠∅ ,画出数轴,表示出集合,即可求解【详解】因为A B ≠∅ ,则画出数轴,并表示出集合,如下:可得1a ≥,故答案为:1a ≥【点睛】本题考查已知交集结果求参数范围,属于基础题4.若集合{}2|10,A x ax x x =++=∈R ，且A 中只有一个元素，则a =________；【答案】0或14【解析】【分析】分0a =和0a ≠两种情况讨论，当0a ≠时0∆=求出a 的值.【详解】因为{}2|10,A x ax x x =++=∈R ，表示关于x 的方程210ax x ++=的解集，当0a =时，由10x +=，解得1x =-，所以{}1A =-，符合题意；当0a ≠时，要使A 中只有一个元素，则2140a ∆=-=，解得14a =，此时方程21104x x +=+，解得122x x ==-，所以{}2A =-，符合题意；综上可得0a =或14a =.故答案为：0或145.用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为_______．【答案】a ，b ，c 中至少有两个偶数【解析】【分析】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立，所以找出命题的否定是解题的关键.【详解】用反证法证明某命题是，应先假设命题的否定成立.因为“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”的否定是：“a ，b ，c 中至少有两个偶数”，所以用反证法证明“自然数a ，b ，c 中至多有一个偶数”时，假设应为“a ，b ，c 中至少有两个偶数”，故答案为：a ，b ，c 中至少有两个偶数.6.若集合()1,12y A x y x ⎧⎫-==⎨⎬-⎩⎭，(){}2,21B x y y xx ==-+，则A B = ____.【答案】(){}1,0【解析】【分析】集合A 表示直线去掉一个点，集合B 表示二次函数上的点，联立方程判断根即得交集.【详解】依题意，集合B 表示221y xx =-+上的点，集合A 表示直线()12y x x =-≠上的点，故集合A B ⋂中元素表示直线与二次函数的交点，联立2211y x x y x ⎧=-+⎨=-⎩得2123201,2x x x x -+===，(舍)，故直线与二次函数有1个交点()1,0，故集合A B ⋂中有1个元素,(){}=1,0A B .故答案为：(){}1,0.7.若“12x a x a >⎧⎨>⎩”是“122122x x a x x a+>⎧⎨>⎩”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________.【答案】(),0-∞【解析】【分析】根据题意，分0a ≥与0a <讨论，结合必要不充分条件即可得到结果.【详解】由题意可得，122122x x a x x a +>⎧⎨>⎩可以推出12x a x a >⎧⎨>⎩，则0a ≥不符合题意，比如当121,5,2x x a ===时，不符合题意；当0a =时，则12x a x a >⎧⎨>⎩是122122x x ax x a +>⎧⎨>⎩的充要条件，不符合题意；当0a <时，122122x x a x x a +>⎧⎨>⎩等价于()()122120x a x a x x a⎧-+->⎨>⎩，则12x ax a >⎧⎨>⎩，所以0a <，即实数a 的取值范围是(),0-∞.故答案为：(),0-∞8.设集合2{|30,R}A x x mx x =-+=∈且{}1,3A A = ，则实数m 的取值范围是______.【答案】({4}-⋃【解析】【分析】由题意可得{}1,3A ⊆，分A =∅、{1}A =、{3}=A 、{1,3}A =分别求解即可.【详解】解：因为{}1,3A A = ，所以{}1,3A ⊆，当A =∅时，2120m ∆=-<，解得m -<<当{1}A =时，2Δ120130m m ⎧=-=⎨-+=⎩，解得m ∈∅；当{3}=A 时，2Δ1209330m m ⎧=-=⎨-+=⎩，解得m ∈∅；当{1,3}A =时，2Δ120134m m ⎧=->⎨=+=⎩，解得4m =；综上所述，实数m 的取值范围是：({4}-⋃.故答案为：({4}-⋃9.若集合{}2|2,,A x x ax b a b R =++=∈中有且只有3个元素，且这3个元素恰为直角三角形的三边，则4a b +=________.【答案】2-【解析】【分析】先22x ax b ++=得22x ax b ++=或22x ax b ++=-，根据判别式，以及集合中元素个数，确定方程220x ax b ++-=有两个根，方程220x ax b +++=有一个根；求出2124b a =-，以及三个元素，再由三个元素恰为直角三角形的三边，求出a ，得出b ，即可得出结果.【详解】由22x ax b ++=得22x ax b ++=或22x ax b ++=-，方程220x ax b ++-=的判别式为()2212448a b a b ∆==---+，方程220x ax b +++=的判别式为()2222448a b a b ∆==-+--，显然12∆>∆，又集合{}2|2,,A x x ax b a b R =++=∈中有且只有3个元素，所以方程220x ax b ++-=和220x ax b +++=共三个根，且只能方程220x ax b ++-=有两个根，方程220x ax b +++=有一个根；即22480480a b a b ⎧-+>⎨--=⎩，即2124b a =-；所以方程220x ax b ++-=可化为221440x ax a +-+=，解得22a x =-或22ax =--，方程220x ax b +++=可化为22140x ax a ++=，解得2a x =-，则22222a a a ->->--，又这三个元素恰为直角三角形的三边，所以2222222202202202a a a a a a ⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪->⎪⎪⎨⎪->⎪⎪⎪-->⎪⎩，解得16a =-，则212624a b =-=，因此42a b +=-.故答案为：2-.【点睛】本题主要考查由集合中元素个数求参数的问题，属于常考题型.10.设集合ππ,24k M x x k ⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭Z ，π,4k N x x k ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，则M 、N 之间的关系为M _________N ．【答案】【解析】【分析】()πππ21,244k x k k =±=⨯±∈Z 表示π4的奇数倍，而,4πk x k =∈Z 表示π4的整数倍，故得解.【详解】因为()πππ21,244k x k k =±=⨯±∈Z ，所以集合ππ|,24k M x x k ⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭Z 中的元素是π4的奇数倍，又因为集合π|,4k N x x k ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z 中的元素是π4的整数倍，所以MN .故答案为：.11.设集合{}1,2,3,,6M = ，现对M 的任一非空子集A ，令A x 为A 中最大数与最小数之和，则所有这样的A x 的算术平均值为________．【答案】7【解析】【分析】根据集合的子集和并集的概念求解.【详解】集合M 的任一非空子集共有621-个，其中最小值为1的子集可视为{}2,3,,6 的子集与集合{}1的并集，共有52个，同上可知，最小值为2的子集共有42个，最小值为3的子集共有32个，最小值为4的子集共有22个，最小值为5的子集共有12个，最小值为6的子集共有02个，同上可知，最大值为6的子集共有52个，最大值为5的子集共有42个，最大值为4的子集共有32个，最大值为3的子集共有22个，最大值为2的子集共有12个，最大值为1的子集共有02个，所以M 的所有非空子集中最小值之和为543210122232425262⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，最大值之和为543210625242322212⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，所以543210543210612223242526262524232221221A x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-54321067(222222)721⨯+++++==-，故答案为:7.12.对于数集{}1231,,,,,n X x x x x =- ，其中1230,2n x x x x n <<<<<≥ ，定义点集(){},|,Y s t s X t X =∈∈，若对于任意()11,s t Y ∈，存在()22,s t Y ∈，使得12120s s t t +=，则称集合X具有性质P .则下列命题中为真命题的是___________.①{}1,1,2X =-具有性质P ；②若集合X 具有性质P ，则1X ∈；③集合X 具有性质P ，若112x =，则1n x =.【答案】①②③【解析】【分析】根据已知条件及集合X 具有性质P 的定义，结合反证法即可求解.【详解】因为{}1,1,2X =-，所以()()()()()()()()(){}1,1,1,1,2,2,1,1,1,2,1,1,1,2,2,1,2,1Y =------，根据集合X 具有性质P 的定义，对于任意(),s t Y ∈，若0,0s t >>，则s t =或()(),1,2s t =，或()(),2,1s t =，若s t =，取221,1s t =-=-，则220ss tt +=；若()(),1,2s t =，取222,1s t ==-，则220ss tt +=；若()(),2,1s t =，取221,2s t =-=，则220ss tt +=；若,s t 有一个为负数，则1s =-或1t =-，若1s =-，则取22,1s t t ==，则220ss tt +=；若1t =-，则取221,s t s ==，则220ss tt +=；故①正确；对于任意()11,s t Y ∈，存在()22,s t Y ∈，使得12120s s t t +=取11(,)x x Y ∈，存在(,)p q x x 使得110p q x x x x +=，所以0p q x x +=，不妨设1,1p q x x ==-，所以若集合X 具有性质P ，则1X ∈，故②正确；③假设1n x >，令111,2n s t x ==，则存在,s t X ∈使得102n s tx +=，同②得,s t 中必有一个数为1-，若1s =-，则12n tx =，于是11122n t x x =<=，矛盾，若1t =-，则()112n s x ⋅-=，于是2n n s x x =>，也矛盾，所以1n x ≤，又由②得1X ∈，所以1n x ≥，所以1n x =，故③正确，故真命题是①②③正确.故答案为：①②③.【点睛】解决此题的关键是抓住集合X 具有性质P 的定义，结合反证法即可.二.选择题13.数集{|21,}A x x k k ==-∈Z ，{|2,}B x x k k ==∈Z ，{|41,Z}C x x k k ==-∈，若a A ∈，b B ∈，则a b +∈（）A.A B.BC.CD.A ，B ，C 都有可能【答案】A 【解析】【分析】根据可知：集合A 为奇数集，结合B 为偶数集，结合元素与集合之间的关系分析判断.【详解】由题意可知：集合A 为奇数集，集合B 为偶数集，即a 为奇数，b 为偶数，则a b +为奇数，所以BD 错误，A 正确；例如1,0a b ==，令41a b k +=-，即141k =-，解得12k =∉Z ，所以a b C +∉，故C 错误；故选：A.14.若A 、B 是全集I 的真子集，则下列四个命题：①A B A = ；②A B A = ；③()A B ⋂=∅；④A B I ⋂=；⑤x B ∈是x A ∈的必要不充分条件．其中与命题A B ⊆等价的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B 【解析】【分析】根据韦恩图和集合的交、并、补运算的定义逐一判断可得选项．【详解】解：由A B ⊆得韦恩图：对于①A B A = 等价于A B ⊆，故①正确；对于②A B A = 等价于B A ⊆，故②不正确；对于③()A B ⋂=∅等价于A B ⊆，故③正确；对于④A B I ⋂=与A 、B 是全集I 的真子集相矛盾，故④不正确；对于⑤x B ∈是x A ∈的必要不充分条件等价于A B ，故⑤不正确，所以与命题A B ⊆等价的有①③，共2个，故选：B .15.已知1a ，2a ，1b ，2b ，1c ，2c 均为非零实数，不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为集合M 和N ，且R M ∅⊂⊂，R N ∅⊂⊂．那么“111222a b c a b c ==”是“M N =”的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：因为R M ∅⊂⊂，R N ∅⊂⊂，所以,M N ≠∅≠∅，当1112220a b c a b c ==<时，21110a x b x c ++>等价于22220a x b x c ++<，所以M N =不成立，故不充分；当M N =≠∅时，111222a b c a b c ==，故必要，故选：B ．16.当一个非空数集G 满足“如果,a b G ∈，则a b +，a b -，ab G ∈，且0b ≠时，aG b∈”时，我们称G 就是一个数域，以下四个关于数域的命题：①0是任何数域的元素；②若数域G 有非零元素，则2023G ∈；③集合{}2,Z P x x k k ==∈是一个数域；④有理数集是一个数域.其中假命题的个数是（）.A.0 B.1C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】根据任意相同元素之差是0，可判断①；根据当0a ≠时，1a a=，利用定义依次推导2023G ∈，可判断②，举反例判断③，根据有理数的运算结果判断④.【详解】对于①，根据当a G ∈，则a a G -∈，即0G ∈，所以0是任何数域的元素，故①正确；对于②，根据当0b ≠时，b G ∈，则bG b∈，即1G ∈，进而112G +=∈，213G +=∈，L ，202212023G +=∈，故②正确；对于③，对2P ∈，4P ∈，但2142P =∉，不满足题意，所以集合{}2,Z P x x k k ==∈不是一个数域，故③不正确；对于④，若a ，b 是有理数，则a b +，a b -，ab ，ab()0b ≠都是有理数，故有理数集是一个数域，所以④正确;所以其中假命题的个数是1个.故选：B.三.解答题17.用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集.（1）不等式230x ->的解集；（2）二元二次方程组2y xy x =⎧⎨=⎩的解集；（3）由大于3-且小于9的偶数组成的集合.【答案】（1）32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，无限集（2）()(){}0,0,1,1，有限集（3）{}2,0,2,4,6,8-，有限集【解析】【分析】（1）直接解不等式即可，解集为无限，用描述法表示；（2）解方程组，解集为有限，用列举法表示；（3）元素有限个，所以用列举法表示.【小问1详解】因为32302x x ->⇒>，所以解集为32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，为无限集；【小问2详解】二元二次方程组2y x y x =⎧⎨=⎩，所以2x x =，解得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩，所以解集为()(){}0,0,1,1，为有限集；【小问3详解】大于3-且小于9的偶数有2,0,2,4,6,8-，所以解集为{}2,0,2,4,6,8-，为有限集.18.已知A 为方程2210ax x ++=的所有实数解构成的集合，其中a 为实数.（1）若A 是空集，求a 的范围；（2）若A 是单元素集合，求a 的范围：（3）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围.【答案】（1）1a >；（2）0a =或1a =；（3）0a =或1a ≥.【解析】【分析】（1）讨论a ，根据0∆<可得结果；（2）讨论a ，根据0∆=可得结果；（3）转化为方程2210ax x ++=至多有一个解，由（1）（2）可得结果.【小问1详解】若A 是空集，则方程2210ax x ++=无解，当0a =时，方程210x +=有解，不符合题意；当0a ≠时，440∆=-<a ，得1a >.综上所述：1a >.【小问2详解】若A 是单元素集合，则方程2210ax x ++=有唯一实根，当0a =时，方程210x +=有唯一解12x =-，符合题意；当0a ≠时，440a ∆=-=，得1a =.综上所述：0a =或1a =.【小问3详解】若A 中至多有一个元素，则方程2210ax x ++=至多有一个解，当方程2210ax x ++=无解时，由（1）知，1a >；方程2210ax x ++=有唯一实根时，由（2）知，0a =或1a =.综上所述：0a =或1a ≥.19.下列命题中，判断条件p 是条件q 的什么条件.（1）:||||p x y =，:q x y =；（2）:p ABC V 是直角三角形，:q ABC V 是等腰三角形；（3）:p 四边形的对角线互相平分，:q 四边形是矩形；（4）:1p x =，:1q x -=（5）:0p m >，:q 关于x 的方程20x x m +-=有实根.【答案】（1）必要不充分；（2）既不充分也不必要；（3）必要不充分；（4）充分不必要；（5）充分不必要【解析】【分析】根据充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件的定义逐一判断即可.【小问1详解】解：由||||x y =可得x y =或x y =-，即由p 推不出q ，但由q 可以推出p ，所以条件p 是条件q 的必要不充分条件；【小问2详解】解：由ABC V 是直角三角形推不出ABC V 是等腰三角形，由ABC V 是等腰三角形推不出ABC V 是直角三角形，所以条件p 是条件q 的既不充分也不必要条件；【小问3详解】解：由四边形的对角线互相平分推不出四边形是矩形(如菱形的对角线互相平分，但菱形不是矩形)，由四边形是矩形可以推出四边形的对角线互相平分，所以条件p 是条件q 的必要不充分条件；【小问4详解】解：由1x =可得10x -==，即有1x -=，但由1x -=只能得1x ≥，即由p 可以推出q ，但由q 不可以推出p ，所以条件p 是条件q 的充分不必要不条件；【小问5详解】解：由0m >，可得140m +>，从而得方程20x x m +-=有实根，但由方程20x x m +-=有实根，可得140m +≥，即14m ≥-，即由p 可以推出q ，但由q 不可以推出p ，所以条件p 是条件q 的充分不必要不条件.20.设集合{}()(){}222320,2150A x x x B x x a x a =-+==+++-=；（1）若{}2A B = ，求实数a 的值；（2）若B 集合中有两个元素12,x x ，求12x x -；（3）若,U B A =⋂=∅R ，求实数a 的取值范围；【答案】（1）1-或3-（2（3）3a ≤-【解析】【分析】（1）由2B ∈，代入后解方程并检验是否满足题意；（2）根据韦达定理和完全差的平方公式化简求值即可；（3）根据集合B 元素情况分类求解即可.【小问1详解】由题意得{}{}23201,2A x x x =-+==，因为{}2A B = ，所以2B ∈，所以2224(1)50a a +++-=即244450a a +++-=，化简得2430a a ++=，即(3)(1)0a a ++=，解得3a =-或1a =-，检验：当3a =-时，{}{}24402B x x x =-+==，满足{}2A B = ，当1a =-时，{}{}2402,2B x x =-==-，满足{}2A B = ，所以3a =-或1a =-.【小问2详解】因为B 集合中有两个元素12,x x ，所以方程()()222150x a x a +++-=有两个根，所以()22Δ4(1)458240a a a =+--=+>且122(1)x x a +=-+，2125x x a =-，所以12x x -===.【小问3详解】因为{}1,2A =，且,U B A =⋂=∅R ，当B =∅时，()22Δ4(1)458240a a a =+--=+<，解得3a <-，符合题意；当{}1B =时，则()()()()2222Δ4145824012150a a a a a ⎧=+--=+=⎪⎨+++-=⎪⎩，无解；当{}2B =时，则()()()2222Δ4145824024150a a a a a ⎧=+--=+=⎪⎨+++-=⎪⎩，所以3a =-；当{}1,2B =时，则()()()222Δ41458240122125a a a a a ⎧=+--=+>⎪⎪+=-+⎨⎪=-⎪⎩，无解；综上，3a ≤-.附加题：21.集合{}66,11,23,10,911,1,18,100,0,πM =---有10个元素，设M 的所有非空子集为i M ()1,2,,1023i = 每一个i M 中所有元素乘积为i m ()1,2,,1023i = ，则1231023m m m m ++++= ___________.【答案】-1【解析】【分析】分析可得M 的所有非空子集为i M 可分为4类，分别分析4类子集中，所有元素乘积i m ，综合即可得答案.【详解】集合M 的所有非空子集为i M ()1,2,,1023i = 可以分成以下几种情况①含元素0的子集共有92512=个，这些子集中所有元素乘积0i m =；②不含元素0，含元素-1且含有其他元素的子集有821255-=个③不含元素0，不含元素-1，但含其他元素的子集有821255-=个其中②③中元素是一一对应的，且为相反数，则i m 的和为0，④只含元素-1的子集1个，满足1i m =-，综上：所有子集中元素乘积12310231m m m m ++++=- .故答案为：-122.设R x ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为“取整函数”，如：[]1.61=，[]1.62-=-.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合[]{}2|10,12A x x x x =--=-<<是单元素集：②对于任意R x ∈，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立，则以下说法正确的是（）A.①②都是真命题B.①是真命题②是假命题C.①是假命题②是真命题D.①②都是假命题【答案】A 【解析】【分析】对于①，分类讨论0x =、1x =、10x -<<、01x <<和12x <<五种情况分别求解即可判断；对于②，分类讨论x 为整数和不为整数时原式是否成立，对于x 不为整数时，进一步分类讨论其小数部分即可.【详解】对于①：当0x =时，[]2100110x x --=--=-≠，不符合题意；当1x =时，[]2111110x x --=--=-≠，不符合题意；当10x -<<时，[]()2221110x x x x --=---==，则()01,0x =∉-，不符合题意；当01x <<时，[]22210110x x x x --=--=-=，则()10,1x =±∉，不符合题意；当12x <<时，[]22211120x x x x --=--=-=；则()1,2x =符合题意，()1,2x =不符合题意；综上，[]{}2|10,12A x x x x =--=-<<=是单元素集，故①正确.对于②：当x 为整数时，[][]1222x x x x x x ⎡⎤++=+==⎢⎥⎣⎦成立；当x 不为整数时，设x a b =+（a 为整数，01b <<），当102b <<时，[]122x x a a a ⎡⎤++=+=⎢⎥⎣⎦，[][]2222x a b a =+=，此时，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立；当12b =时，12x a =+，则[]11212x x a a a ⎡⎤++=++=+⎢⎥⎣⎦，[][]22121x a a =+=+，此时，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立；当112b <<时，[]11212x x a a a ⎡⎤++=++=+⎢⎥⎣⎦，[][]22221x a b a =+=+，此时，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立；综上，对于任意R x ∈，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立，故②正确.故选：A【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.。