2018-2019学年上海市交大附中高二(下)期中数学试卷

2017-2018学年上海交大附中高二（下）期中数学试卷一、填空题（本大题满分56分）1．抛物线y2=x的准线方程为______．2．计算i+2i2+3i3+…+2016i2016=______．3．异面直线a，b成60°，直线c⊥a，则直线b与c所成的角的范围为______．4．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为______．5．已知△AOB内接于抛物线y2=4x，焦点F是△AOB的垂心，则点A，B的坐标______．6．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN 是异面直线的图形有______．（填上所有正确答案的序号）7．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，则|z1+z2|等于______．8．三个平面能把空间分为______部分．（填上所有可能结果）9．已知复数Z1，Z2满足|Z1|=2，|Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为60°，则=______．10．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，，则复数|z1+z2|=______．11．二面角α﹣l﹣β的平面角为120°，在面α内，AB⊥l于B，AB=2在平面β内，CD⊥l 于D，CD=3，BD=1，M是棱l上的一个动点，则AM+CM的最小值为______．12．已知虚数z=（x﹣2）+yi（x，y∈R），若|z|=1，则的取值范围是______．13．已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，A，B是C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则△ABF的面积等于______．14．如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣4交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=﹣5交于Q点，当P为抛物线上位于线段AB下方（含A，B）的动点时，则△OPQ面积的最大值为______．二、选择题（本大题满分20分，共计4小题，每题5分）15．在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直16．（1）两个共轭复数的差是纯虚数；（2）两个共轭复数的和不一定是实数；（3）若复数a+bi（a，b∈R）是某一元二次方程的根，则a﹣bi是也一定是这个方程的根；（4）若z为虚数，则z的平方根为虚数，其中正确的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．017．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线A1B1和直线BC的距离相等，则动点P所在曲线形状为（）A．B．C．D．18．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个，其中正确的是（）①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b=P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β=b，P∈α，P∈β⇒P∈b．A．①②B．②③C．①④D．③④三、解答题（满分74分）19．已知复数z1=+（a2﹣3）i，z2=2+（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．（1）若复数z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m=0的根，求实数m值．20．如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，DD1⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=45°，且AD，AB，AA1三条棱的长组成公比为的等比数列，（1）求异面直线AD1与BD所成角的大小；（2）求二面角B﹣AD1﹣D的大小．21．已知z为复数，ω=z+为实数，（1）当﹣2＜ω＜10，求点Z的轨迹方程；（2）当﹣4＜ω＜2时，若u=（α＞0）为纯虚数，求：α的值和|u|的取值范围．22．动圆M与圆（x﹣1）2+y2=1相外切且与y轴相切，则动圆M的圆心的轨迹记C，（1）求轨迹C的方程；（2）定点A（3，0）到轨迹C上任意一点的距离|MA|的最小值；（3）经过定点B（﹣2，1）的直线m，试分析直线m与轨迹C的公共点个数，并指明相应的直线m的斜率k是否存在，若存在求k的取值或取值范围情况[要有解题过程，没解题方程只有结论的只得结论分]．23．已知复数z1=m+ni（m，n∈R），z=x+yi（x，y∈R），z2=2+4i且．（1）若复数z1对应的点M（m，n）在曲线上运动，求复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程；（2）将（1）中的轨迹上每一点按向量方向平移个单位，得到新的轨迹C，求C的轨迹方程；（3）过轨迹C上任意一点A（异于顶点）作其切线，交y轴于点B，求证：以线段AB为直径的圆恒过一定点，并求出此定点的坐标．2015-2016学年上海交大附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）1．抛物线y2=x的准线方程为x=﹣．【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1，由此可得抛物线y2=x的准线方程．【解答】解：抛物线y2=x的焦点在x轴上，且开口向右，2p=1∴∴抛物线y2=x的准线方程为x=﹣故答案为：x=﹣2．计算i+2i2+3i3+…+2016i2016=1008﹣1008i．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数单位的幂运算，化简求解即可．【解答】解：i+2i2+3i3+…+2016i2016=（i﹣2﹣3i+4）+（5i﹣6﹣7i+8）+…+2016=504（2﹣2i）=1008﹣1008i．故答案为：1008﹣1008i．3．异面直线a，b成60°，直线c⊥a，则直线b与c所成的角的范围为[30°，90°] ．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】作b的平行线b′，交a于O点，所有与a垂直的直线平移到O点组成一个与直线a垂直的平面α，O点是直线a与平面α的交点，在直线b′上取一点P，作垂线PP'⊥平面α，交平面α于P'，∠POP'是b′与面α的线面夹角，在平面α所有与OP'垂直的线，由此能求出直线b与c所成的角的范围．【解答】解：如图作b的平行线b′，交a于O点，所有与a垂直的直线平移到O点组成一个与直线a垂直的平面α，O点是直线a与平面α的交点，在直线b′上取一点P，作垂线PP'⊥平面α，交平面α于P'，∠POP'是b′与面α的线面夹角，∠POP'=30°．在平面α中，所有与OP'平行的线与b′的夹角都是30°．在平面α所有与OP'垂直的线∵PP'⊥平面α，∴该线⊥PP′，则该线⊥平面OPP'，∴该线⊥b'，与b'的夹角为90°，与OP'夹角大于0°，小于90°的线，与b'的夹角为锐角且大于30°．∴直线b与c所成的角的范围[30°，90°]．故答案为：[30°，90°]．4．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成角的余弦值为．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．【解答】解：如图，将AM平移到B1E，NC平移到B1F，则∠EB1F为直线AM与CN所成角设边长为1，则B1E=B1F=，EF=∴cos∠EB1F=，故答案为5．已知△AOB内接于抛物线y2=4x，焦点F是△AOB的垂心，则点A，B的坐标A（5，2），B（5，﹣2）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据垂心的性质可得A，B关于x轴对称，且AF⊥OB，设A（，y1）（y1＞0），则B（，﹣y1）．求出AF，OB的斜率，令k OB•k AF=﹣1解出y1即可得出A，B的坐标．【解答】解：抛物线焦点F（1，0），∵焦点F是△AOB的垂心，∴直线AB⊥x轴．∴A，B关于x轴对称．设A（，y1）（y1＞0），则B（，﹣y1）．∴k OB==﹣．k AF==．∵焦点F是△AOB的垂心，∴AF⊥OB．∴k OB•k AF=﹣1，即﹣•=﹣1，解得y1=2．∴A（5，2），B（5，﹣2）．故答案为：A（5，2），B（5，﹣2）．6．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN 是异面直线的图形有（2）、（4）．（填上所有正确答案的序号）【考点】异面直线的判定．【分析】图（1）中，直线GH∥MN，图（2）中M∉面GHN，图（3）中GM∥HN，图（4）中，H∉面GMN．【解答】解析：如题干图（1）中，直线GH∥MN；图（2）中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图（3）中，连接MG，GM∥HN，因此，GH与MN共面；图（4）中，G、M、N共面，但H∉面GMN，∴GH与MN异面．所以图（2）、（4）中GH与MN异面．故答案为：（2）、（4）7．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，|z1﹣z2|=，则|z1+z2|等于1．【考点】复数求模；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，故可令z1=cosA+isinA，z2=cosB+isinB，代入，|z1﹣z2|=，及|z1+z2|，比较即可求得所求的答案【解答】解：∵复数z1，z2满足|z1|=1，|z2|=1，可令z1=cosA+isinA，z2=cosB+isinB∵|z1﹣z2|=，故有（cosA﹣cosB）2+（sinA﹣sinB）2=3，整理得2cosAcosB+2sinAsinB=﹣1又|z1+z2|2=（cosA+cosB）2+（sinA+sinB）2=2+2cosAcosB+2sinAsinB=1∴|z1+z2|=1故答案为：1．8．三个平面能把空间分为4，或6，或7，或8部分．（填上所有可能结果）【考点】平面的基本性质及推论．【分析】此类问题可以借助实物模型来研究，用房屋的结构来研究就行．【解答】解：若三个平面两两平行，则把空间分成4部分；若三个平面两两相交，且共线，则把空间分成6部分；若三个平面两两相交，且有三条交线，则把空间分成7部分；当两个平面相交，第三个平面同时与两个平面相交时，把空间分成8部分，故答案为：4，或6，或7，或8．9．已知复数Z1，Z2满足|Z1|=2，|Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为60°，则=．【考点】余弦定理的应用；复数求模．【分析】由余弦定理可得Z1+Z2|=，|Z1﹣Z2|=，故==【解答】解：如图在三角形OBC中由余弦定理得|Z1+Z2|=|OB|==，同理可得|Z1﹣Z2|=|CA=|=，∴===10．已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，，则复数|z1+z2|=．【考点】复数求模．【分析】复数z1，z2满足|z1|=|z2|=1，，判断三角形是直接三角形，即可求得所求的答案．【解答】解：因为|z1|=|z2|=1，，所以复数z1，z2，构成的三角形是直角三角形，|z1+z2|是平行四边形的对角线，则|z1+z2|=．故答案为：．11．二面角α﹣l﹣β的平面角为120°，在面α内，AB⊥l于B，AB=2在平面β内，CD⊥l于D，CD=3，BD=1，M是棱l上的一个动点，则AM+CM的最小值为．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】要求出AM+CM的最小值，可将空间问题转化成平面问题，将二面角展开成平面中在BD上找一点使AM+CM即可，而当A、M、C在一条直线时AM+CM的最小值，从而求出对角线的长即可．【解答】解：将二面角α﹣l﹣β平摊开来，即为图形当A、M、C在一条直线时AM+CM的最小值，最小值即为对角线AC而AE=5，EC=1故AC=故答案为：12．已知虚数z=（x﹣2）+yi（x，y∈R），若|z|=1，则的取值范围是[﹣，]．【考点】复数求模；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数的模，利用模长公式得：（x﹣2）2+y2=1，根据表示动点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率．根据直线与圆相切的性质得到结果．【解答】解：∵复数（x﹣2）+yi（x，y∈R）的模为1，∴（x﹣2）2+y2=1根据表示动点（x，y）到定点（0，0）的斜率知：的最大值是，同理求得最小值是﹣，如图示：∴的取值范围是[﹣，]故答案为：[﹣，]．13．已知F是抛物线C：y2=4x的焦点，A，B是C上的两个点，线段AB的中点为M（2，2），则△ABF的面积等于2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则，=4x2，两式相减可得：（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），利用中点坐标公式、斜率计算公式可得k AB，可得直线AB的方程为：y﹣2=x﹣2，化为y=x，与抛物线方程联立可得A，B的坐标，利用弦长公式可得|AB|，再利用点到直线的距离公式可得点F到直线AB的距离d，利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：∵F是抛物线C：y2=4x的焦点，∴F（1，0）．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，=4x2，两式相减可得：（y1+y2）（y1﹣y2）=4（x1﹣x2），∵线段AB的中点为M（2，2），∴y1+y2=2×2=4，又=k AB，4k AB=4，解得k AB=1，∴直线AB的方程为：y﹣2=x﹣2，化为y=x，联立，解得，，∴|AB|==4．点F到直线AB的距离d=，∴S△ABF===2，故答案为：2．14．如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣4交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=﹣5交于Q点，当P为抛物线上位于线段AB下方（含A，B）的动点时，则△OPQ面积的最大值为30．【考点】二次函数的性质．【分析】把直线方程抛物线方程联立求得交点A，B的坐标，则AB中点M的坐标可得，利用AB的斜率推断出AB垂直平分线的斜率，进而求得AB垂直平分线的方程，把y=﹣5代入求得Q的坐标；设出P的坐标，利用P到直线0Q的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得QO的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形OPQ，利用x的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．【解答】解：直线y=x与抛物线y=x2﹣4联立，得到A（﹣4，﹣2），B（8，4），从而AB的中点为M（2，1），由k AB═，直线AB的垂直平分线方程y﹣1=﹣2（x﹣2）．令y=﹣5，得x=5，∴Q（5，﹣5）．∴直线OQ的方程为x+y=0，设P（x，x2﹣4）．∵点P到直线OQ的距离d==|x2+8x﹣32|，|OQ|=5，∴S△OPQ=|OQ|d=|x2+8x﹣32|，|∵P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，∴﹣4≤x＜4﹣4或4﹣4＜x≤8．∵函数y=x2+8x﹣32在区间[﹣4，8]上单调递增，∴当x=8时，△OPQ的面积取到最大值30．故答案为：30．二、选择题（本大题满分20分，共计4小题，每题5分）15．在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】直线AB与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交，可得结论．【解答】解：如图，在正方体AC1中：∵A1B∥D1C∴A1B与D1C可以确定平面A1BCD1，又∵EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，∴直线A1B与直线EF的位置关系是相交，故选A．16．（1）两个共轭复数的差是纯虚数；（2）两个共轭复数的和不一定是实数；（3）若复数a+bi（a，b∈R）是某一元二次方程的根，则a﹣bi是也一定是这个方程的根；（4）若z为虚数，则z的平方根为虚数，其中正确的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】的真假判断与应用；复数的基本概念．【分析】直接利用复数的基本概念频道的真假即可．【解答】解：（1）两个共轭复数的差是纯虚数；如果两个复数是实数，差值也是实数，所以（1）不正确；（2）两个共轭复数的和不一定是实数；不正确，和一定是实数；（3）若复数a+bi（a，b∈R）是某一元二次方程的根，则a﹣bi是也一定是这个方程的根；不正确，因为实系数方程的虚根是共轭复数，所以（3）不正确；（4）若z为虚数，则z的平方根为虚数，如果虚数为i，则设z=x+yi（x，y∈R），由z2=（x+yi）2=i，得x2﹣y2+2xyi=i，∴，解得：或．∴z=+i或z=﹣﹣i．所以正确．故选：C．17．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线A1B1和直线BC的距离相等，则动点P所在曲线形状为（）A．B．C．D．【考点】轨迹方程．【分析】点P到BC的距离就是当P点到B的距离，它等于到直线A1B1的距离，满足抛物线的定义，推断出P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分．从而得出正确选项．【解答】解：依题意可知点P到BC的距离就是当P点B的距离，P到点B的距离等于到直线A1B1的距离，根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是以B为焦点，以A1B1为准线的过A的抛物线的一部分．A的图象为直线的图象，排除A．B项中B不是抛物线的焦点，排除B．D项不过A点，D排除．故选C．18．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个，其中正确的是（）①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b=P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β=b，P∈α，P∈β⇒P∈b．A．①②B．②③C．①④D．③④【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据公理1及直线在面内的定义，逐一对四个结论进行分析，即可求解．【解答】解：当a∩α=P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；当a∩β=P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．故选D三、解答题（满分74分）19．已知复数z1=+（a2﹣3）i，z2=2+（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．（1）若复数z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m=0的根，求实数m值．【考点】复数代数形式的混合运算；复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】（1）由题设条件，可先通过复数的运算求出的代数形式的表示，再由其几何意义得出实部与虚部的符号，转化出实数a所满足的不等式，解出其取值范围；（2）实系数一元二次方程x2﹣6x+m=0的两个根互为共轭复数，利用根与系数的关系求出a 的值，从而求出m的值．【解答】解：（1）由条件得，z1﹣z2=（）+（a2﹣3a﹣4）i…因为z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，故有…∴解得﹣2＜a＜﹣1…（2）因为虚数z1是实系数一元二次方程x2﹣6x+m=0的根所以z1+==6，即a=﹣1，…把a=﹣1代入，则z1=3﹣2i，=3+2i，…所以m=z1•=13…20．如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，DD1⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=45°，且AD，AB，AA1三条棱的长组成公比为的等比数列，（1）求异面直线AD1与BD所成角的大小；（2）求二面角B﹣AD1﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）不妨设AD=1，由AD，AB，AA1三条棱的长组成公比为的等比数列，可得AB=，AA1=2．在△ABD中，利用余弦定理可得：DB=1．利用勾股定理的逆定理可得∠ADB=90°．由DD1⊥底面ABCD，可得DD1⊥DB，可得DB⊥平面ADD1，即可得出异面直线AD1与BD所成角．（2）由（1）可得：DB⊥平面ADD1．在Rt△ADD1中，经过点D作DO⊥AD1，垂足为O，连接OB，可得OB⊥AD1．∠BOD即为二面角B﹣AD1﹣D的平面角．利用直角三角形的边角关系即可得出．【解答】解：（1）不妨设AD=1，∵AD，AB，AA1三条棱的长组成公比为的等比数列，∴AB=，AA1=2．在△ABD中，DB2==1，解得DB=1．∴AD2+DB2=AB2，∠ADB=90°．∴AD⊥DB．∵DD1⊥底面ABCD，DB⊂平面ABCD，∴DD1⊥DB，又AD∩DD1=D，∴DB⊥平面ADD1，∴DB⊥AD1，∴异面直线AD1与BD所成角为90°．（2）由（1）可得：DB⊥平面ADD1．在Rt△ADD1中，经过点D作DO⊥AD1，垂足为O，连接OB，则OB⊥AD1．∴∠BOD即为二面角B﹣AD1﹣D的平面角．在Rt△ADD1中，OD===．在Rt△ODB中，tan∠BOD===．∴∠BOD=arctan．21．已知z为复数，ω=z+为实数，（1）当﹣2＜ω＜10，求点Z的轨迹方程；（2）当﹣4＜ω＜2时，若u=（α＞0）为纯虚数，求：α的值和|u|的取值范围．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】（1）设z=x+yi，x，y∈R，则ω=+i为实数，可得y﹣=0，因此y=0，或x2+y2=9．通过分类讨论即可得出．（2）由（1）可得：①y=0时，ω=x+，由﹣4＜ω＜2，可得﹣4＜＜2，利用基本不等式的性质即可得出．②x2+y2=9时．ω=2x，由于﹣4＜ω＜2，即可得出x的取值范围．由u=（α＞0）为纯虚数，化简可得α，再利用模的计算公式、函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）设z=x+yi，x，y∈R，则ω=z+=x+yi+=x+yi+=+i为实数，∴y﹣=0，∴y=0，或x2+y2=9．①y=0时，ω=x+∵﹣2＜ω＜10，∴﹣2＜＜10，x＞0时，解得1＜x＜9．x＜0时，x∈∅．综上可得：y=0时，点Z的轨迹方程是．②x2+y2=9时．ω=2x，∵﹣2＜ω＜10，∴﹣2＜2x＜10，解得﹣1＜x＜5．因此x2+y2=9时．可得：点Z的轨迹方程是x2+y2=9（﹣1＜x＜5）．（2）由（1）可得：①y=0时，ω=x+∵﹣4＜ω＜2，∴﹣4＜＜2，∵x＜0时，≤﹣6；x＞0时，≥6．综上可得：y=0时，x∈∅，点Z的轨迹无方程．②x2+y2=9时．ω=2x，∵﹣4＜ω＜2，∴﹣4＜2x＜2，解得﹣2＜x＜1．∵u=（α＞0）为纯虚数，u==，∴α2﹣9=0，2yα≠0，解得α=3，y≠0．∴u==，∵x∈（﹣2，1），∴|u|===∈．∴α=3，|u|∈．22．动圆M与圆（x﹣1）2+y2=1相外切且与y轴相切，则动圆M的圆心的轨迹记C，（1）求轨迹C的方程；（2）定点A（3，0）到轨迹C上任意一点的距离|MA|的最小值；（3）经过定点B（﹣2，1）的直线m，试分析直线m与轨迹C的公共点个数，并指明相应的直线m的斜率k是否存在，若存在求k的取值或取值范围情况[要有解题过程，没解题方程只有结论的只得结论分]．【考点】轨迹方程．【分析】（1）设出动圆圆心M的坐标，利用动圆M与y轴相切且与圆（x﹣1）2+y2=1外切建立方程，化简得答案；（2）设M的坐标，利用两点间的距离公式结合配方法求得定点A（3，0）到轨迹C上任意一点的距离|MA|的最小值；（3）写出过B斜率存在的直线方程，联立直线方程与抛物线方程，由判别式等于0求得k 值，再结合图形求得直线m与轨迹C的公共点个数，并分析对应的斜率情况．【解答】解：（1）设动圆圆心M的坐标为（x，y），则，∴（x﹣1）2+y2=x2+2|x|+1，当x＜0时，y=0；当x≥0时，y2=4x；（2）如图，由图可知，M到轨迹C上的点与A的距离最小，则M在抛物线y2=4x上，设M（x，y），则|MA|===．∴当x=1，即M（1，±2）时，|MA|的最小值为；（3）设过B与抛物线y2=4x相切的直线方程为y﹣1=k（x+2），即y=kx+2k+1，联立，得k2x2+（4k2+2k﹣4）x+4k2+4k+1=0．由△=（4k2+2k﹣4）2﹣4k2（4k2+4k+1）=0，解得：k=﹣1或k=．∴当直线m的斜率k不存在时或斜率存在为0时或直线m的斜率k∈（，+∞）∪（﹣∞，﹣1）时，m与C有1个交点；当直线m的斜率为k=﹣1或k=或k∈[﹣，0）时，m与C有2个交点；当直线m的斜率k∈（0，）∪（﹣1，﹣）时，m与C有3个交点．23．已知复数z1=m+ni（m，n∈R），z=x+yi（x，y∈R），z2=2+4i且．（1）若复数z1对应的点M（m，n）在曲线上运动，求复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程；（2）将（1）中的轨迹上每一点按向量方向平移个单位，得到新的轨迹C，求C的轨迹方程；（3）过轨迹C上任意一点A（异于顶点）作其切线，交y轴于点B，求证：以线段AB为直径的圆恒过一定点，并求出此定点的坐标．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）根据复数条件求出关系式，结合复数z1对应的点M（m，n）在曲线上运动即可得出复数z所对应的点P（x，y）的轨迹方程；（2）先按向量方向平移个单位得到即为向 x 方向移动 1×=个单位，向 y 方向移动 1×1=1 个单位，再进行函数式的变换即可得出C 的轨迹方程； （3）设A （x 0，y 0），斜率为k ，切线y ﹣y 0=k （x ﹣x 0） 代入（y +6）2=﹣2x ﹣3消去x 得到关于y 的一元二次方程，再结合根的判别式为0利用向量的数量即可求得定点，从而解决问题．【解答】解：（1）∵i ﹣z 2=（m ﹣ni ）•i ﹣（2+4i ）=（n ﹣2）+（m ﹣4）i ；∴⇒．∵复数z 1对应的点M （m ，n ）在曲线上运动∴x +2=﹣（y +7）2﹣1⇒（y +7）2=﹣2（x +3）．复数z 所对应的点P （x ，y ）的轨迹方程：（y +7）2=﹣2（x +3）．（2）∵按向量方向平移个单位，==1×．即为向 x 方向移动 1×=个单位，向 y 方向移动 1×1=1 个单位（y +7）2=﹣2（x +3）⇒y +7=±．得轨迹方程 y +7=±⇒（y +6）2=﹣2（x +）=﹣2x ﹣3．C 的轨迹方程为：（y +6）2=﹣2x ﹣3． （3）设A （x 0，y 0），斜率为k ，切线y ﹣y 0=k （x ﹣x 0） （k ≠0）， 代入（y +6）2=﹣2x ﹣3整理得：（y +6）2=﹣2（）﹣3，△=0⇒k=，设定点M （1，0），且．∴以线段AB 为直径的圆恒过一定点M ，M 点的坐标（1，0）．2016年9月14日。

上海交通大学附属中学2018-2019学年度第二学期高二数学期中考试试卷一、填空题：本大题共12个小题,满分54分. 将答案填在答题纸上1.如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共可确定_________个平面.【答案】1【分析】两条平行直线确定1个平面，根据两点在平面上可知直线也在平面上，从而得到结果. 【详解】两条平行直线可确定1个平面Q 直线与两条平行直线交于不同的两点 ∴该直线也位于该平面上∴这三条直线可确定1个平面本题正确结果：1【点睛】本题考查空间中直线与平面的关系，属于基础题.2.已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于________【答案】9π由球的体积公式，可得34363r ππ=，则3r =，所以主视图的面积为239S ππ=⨯=. 3.若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为a = ．【答案】4试题分析：2V a =⨯=4a =． 考点：棱柱的体积．【名师点睛】1．解答与几何体的体积有关的问题时，根据相应的体积公式，从落实公式中的有关变量入手去解决问题，例如对于正棱锥，主要研究高、斜高和边心距组成的直角三角形以及高、侧棱和外接圆的半径组成的直角三角形；对于正棱台，主要研究高、斜高和边心距组成的直角梯形．2．求几何体的体积时，若给定的几何体是规则的柱体、锥体或台体，可直接利用公式求解；若给定的几何体不能直接利用公式得出，常用转换法、分割法、补形法等求解．4.如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB u u u u r 的坐标为(4,3,2)，则1AC u u u u v 的坐标为________【答案】(4,3,2)-如图所示，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，因为1DB u u u u r 的坐标为(4,3,2)，所以(4,0,0),(0,3,2)A C ,所以1(4,3,2)AC =-u u u u v.5.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 【答案】1arccos 3.设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由题意23rl r ππ=，即3l r =，母线与底面夹角为θ，则1cos 3r l θ==为，1arccos 3θ=. 【考点】圆锥的性质，圆锥的母线与底面所成的角，反三角函数.6.已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，,A B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图，若直线OA 与OB 所成角的大小为6π，则1r=__________【答案】试题分析：如图，过A 作与BC 平行的母线AD ，连接OD ，则∠OAD 为直线OA 与BC 所成的角，大小为，在直角三角形ODA 中，因为∠OAD=，所以，故答案为。

交大附中高二数学试卷2018.3一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 直线230x y +-=的倾斜角为 .2. 增广矩阵112114k k ⎛⎫ ⎪-+⎝⎭为的方程中，若解x 与y 相等，则k 的值为 .3.抛物线216y x =的焦点与双曲线22219x y a -=的一个焦点重合，则双曲线的实轴长为 .4.已知复数331i a i z i +-=为虚数单位，且23z =，则实数a 的值为 . 5．已知21log cos ,2z i i α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为虚数单位，且z 为纯虚数，则实数的a 值为 .6.若点(),P x y 在直线240x y +-=上，则24x y --+的最小值为 .7.若1z =，则1z i +-的最大值是 .8.如图，六个相等的小正方形可以拼成一个正方体，则正方体中，直线AB 与CD 所成角的大小为 .9.设函数()ln ,0510,5x e x f x x x ⎧<≤=⎨-+>⎩，若方程()f x k =（k 为常数），有下列三个不同的实数解,,a b c ，且a b c <<，则abc 的取值范围是 . 10.在复数范围内写出方程22z z =的解集 .11.设(),n n n P x y 是直线()()312y n x n N *+=-∈与椭圆22143x y +=在第一象限内的交点，则极限32lim1n n ny x →∞-=- . 12.已知复数集(){}|0Re 2U z z =≤≤，且()Im 1z ≤，集合()()()(){}|0Re Re Im Im ,11M z z z ωωω=≤≤≤-=且，且，则集合U C M 在复平面上表示区域的面积为 .二、选择题：13．两个圆221:2220C x y x y +++-=与222:4210C x y x y +--+=的公切线有且只有（ ）条A. 1B. 2C. 3D. 414．如图，A,B,C,D 是某长方体四条棱的中点，则直线AB 与直线CD 的位置关系是 A. 相交 B.平行 C. 异面 D.垂直 15．设12,z z 均是复数，则下列命题中的真命题是A.“12z z >”是“()()1,11,z ∈-∞-+∞ ”的必要不充分条件B. “211z >”是“120z z ->”的充要条件C. “22120z z +=”是“120z z ==”的充分不必要条件D. “12z z R +∈”是“12z z =”的既不充分也不必要条件16．已知曲线Γ的参数方程为(3cos ln x t t t y t ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，其中参数t R ∈，则曲线Γ A. 关于x 轴对称 B. 关于y 轴对称 C.关于原点对称 D.没有对称性三、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.已知关于t 的方程()2430t zt i z C -++=∈有实数解：（1）设5z ai =+，求实数a 的值； （2）求z 的取值范围.18. 已知数列{}n a 中，112a =，点()1,2n n n a a +-在直线y x =上，.n N *∈ （1）令11n n n b a a +=--，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项.19. 如图，空间四边形ABCD 中，AB=CD=8，E,F,G,H 分别为BC,CA,AD,DB 的中点，FH=6： （1）求证：直线EG 与直线FH 相互垂直； （2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小.20. 已知01,z z 均为复数，且01011z z z +=-，记01z +在复平面上对应的点分别为P,Q: (1）若01z z =，求0z 的值；（2）若点P 在y 轴上运动，求点Q 的轨迹方程；（3）点P 在圆()()2221:10C x y r r -+=>上运动点Q 的轨迹记为曲线D,求r 的值；使得圆C 与曲线D 只有一个公共点.21.设椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>过点(),.M N.（1）求椭圆Γ的方程；（2）12,F F 为椭圆的左右焦点，直线l 过1F 与椭圆交于,A B 两点，求1F AB ∆面积的最大值；（3）求动点P的轨迹方程，使得过点P存在两条相互垂直的直线,l l，且都与12椭圆只有一个公共点.。

上海中学2019学年第二学期期终考试数学试题一、选择题1.__________.1lim 1n n →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】1【解析】【分析】由即可求得1lim =0x n →∞【详解】11lim(1=lim1lim =1-0=1x x x n n →∞→∞→∞--）【点睛】利用和或差的极限等于极限的和或差，此题是一道基础题。

2.等差数列中，若，则___________.{}n a 13,21,2n a a d ===n =【答案】10.【解析】【分析】直接由等差数列的通项公式结合已知条件列式求解的值．n 【详解】在等差数列中，由，，，{}n a 13a =21n a =2d =且，所以，1(1)n a a n d =+-1213192n a a n d ---===所以．10n =故答案为：10.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查用基本量法求．n 3.数列中，已知，50为第________项.{}n a *41322,n n n a n N =-+∈•【答案】4【解析】【分析】方程变为，设，解关于的二次方程可求得。

4132-48=0n n -•2nx =x 【详解】，则，即*41322,n n n a n N =-+∈•5041322n n =-+•4132-48=0n n -•设，则，有或2n x =213480x x --=16x =3x =-取得，，所以是第4项。

16x =216n =4n =【点睛】发现，原方程可通过换元，变为关于的一个二次方程。

对于指数结构，242n n =（）x 242n n =（），等，都可以通过换元变为二次形式研究。

293n n =（）2255n n =（）4.为等比数列，若，则_______.{}n a 1234126,52a a a a a ++=-=n a =【答案】123n -•【解析】【分析】将这两式中的量全部用表示出来，正好有两个方程，两个未知数，解1234126,52a a a a a ++=-=1,a q 方程组即可求出。

2018-2019学年上海市交大附中高二（下）期中数学试卷一、填空题1．（3分）如果一条直线与两条直线都相交，这三条直线共可确定个平面．2．（3分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．3．（3分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a＝．4．（3分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是．5．（3分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）．6．（3分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则＝．7．（3分）已知△ABC三个顶点到平面α的距离分别是3，3，6，则其重心到平面α的距离为（写出所有可能值）8．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是．9．（3分）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为．10．（3分）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则3x+4y的最大值为11．（3分）已知A、B、C、P为半径为R的球面上的四点，其中AB、AC、BC间的球面距离分别为、、，若，其中O为球心，则x+y+z的最大值是12．（3分）如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面α分别与直线BC，AD相交于点G，H，则下列结论正确的是．①对于任意的平面α，都有直线GF，EH，BD相交于同一点；②存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③对于任意的平面α，都有S△EFG＝S△EFH；④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，几何体AC﹣EGFH的体积是一个定值．二、选择题13．（3分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．2πD．4π14．（3分）如图，在大小为45°的二面角A﹣E F﹣D中，四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，则B与D两点间的距离是（）A．B．C．1D．15．（3分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式2V≈L h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．16．（3分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与AC′所成的角为45°的点P的个数为（）A．0B．3C．4D．6二、解答题17．现在四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是a，高是b；2号容器的底面边长是b，高是a；3号容器的底面边长是a，高是a；4号容器的底面边长是b，高是b．假设a≠b，问是否存在一种必胜的4选2的方案（与a、b的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由18．如图，已知圆锥底面半径r＝20cm，O为底面圆圆心，点Q为半圆弧的中点，点P 为母线SA的中点，PQ与SO所成的角为arctan2，求：（1）圆锥的侧面积；（2）P，Q两点在圆锥侧面上的最短距离．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD＝CD ＝2AB＝2PA＝2，E、F分别为PC、CD的中点．（1）试证：CD⊥平面BEF；（2）求BC与平面BEF所成角的大小；（3）求三棱锥P﹣DBE的体积．20．如图，P﹣ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF﹣ABC与棱锥P﹣ABC的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）．（1）证明：P﹣ABC为正四面体；（2）若，求二面角D﹣BC﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）；（3）设棱台DEF﹣ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF﹣ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥P﹣ABC的体积减去棱锥P ﹣DEF的体积）．21．火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型建筑物．建在水源不十分充分的地区的电厂，为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统，以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用，大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔．此类冷却塔多用于内陆缺水电站，其高度一般为75～150米，底边直径65～120米．双曲线型冷却塔比水池式冷却构筑物占地面积小，布置紧凑，水量损失小，且冷却效果不受风力影响；它比机力通风冷却塔维护简便，节约电能；但体形高大，施工复杂，造价较高（以上知识来自百度，下面题设条件只是为了适合高中知识水平，其中不符合实际处请忽略．图1）（1）图2为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径大于上底直径．已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100m，俯视图为三个同心圆，其半径分别为40m，m，30m，试根据上述尺寸计算主视图中该双曲线的标准方程（m为长度单位米）．（2）试利用课本中推导球体积的方法，利用圆柱和一个倒放的圆锥，计算封闭曲线：，y＝0，y＝h，绕y轴旋转形成的旋转体的体积为（用a，b，h表示）（用积分计算不得分，图3、图4）现已知双曲线冷却塔是一个薄壳结构，为计算方便设其内壁所在曲线也为双曲线，其壁最厚为0.4m（底部），最薄处厚度为0.3m（喉部，即左右顶点处）．试计算该冷却塔内壳所在的双曲线标准方程是，并计算本题中的双曲线冷却塔的建筑体积（内外壳之间）大约是m3（计算时π取3.14159，保留到个位即可）（3）冷却塔体型巨大，造价相应高昂，本题只考虑地面以上部分的施工费用（建筑人工和辅助机械）的计算，钢筋土石等建筑材料费用和和其它设备等施工费用不在本题计算范围内．超高建筑的施工（含人工辅助机械等）费用随着高度的增加而增加．现已知：距离地面高度30米（含30米）内的建筑，每立方米的施工费用平均为：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工费用为800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工费用增加100元．试计算建造本题中冷却塔的施工费用（精确到万元）2018-2019学年上海市交大附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）如果一条直线与两条直线都相交，这三条直线共可确定1或2或3个平面．【分析】讨论这两条直线的位置情况，从而得出三条直线所确定的平面数．【解答】解：如果三条直线都交于一点，且三线不共面，则每两条直线都确定一个平面，共确定3个平面；如果三条直线两两相交，交于不同的三点，则只确定1个平面；如果两条直线异面，另一条与其均相交，则只确定2个平面；如果两条直线平行，另一条与其均相交，则只确定1个平面．综上，这三条直线共可确定1或2或3个平面．故答案为：1或2或3．【点评】本题考查了由直线确定平面的应用问题，是平面的基本性质与推论的应用问题，是基础题目．2．（3分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π．【分析】由球的体积公式，可得半径R＝3，再由主视图为圆，可得面积．【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得πR3＝36π，可得R＝3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2＝9π．故答案为：9π．【点评】本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题．3．（3分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a＝4．【分析】由题意可得（?a?a?sin60°）?a＝16，由此求得a的值．【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为?a?a?sin60°，正棱柱的高为a，∴（?a?a?sin60°）?a＝16，∴a＝4，故答案为：4．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．4．（3分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是（﹣4，3，2）．【分析】由的坐标为（4，3，2），分别求出A和C1的坐标，由此能求出结果．【解答】解：如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2），∴．故答案为：（﹣4，3，2）．【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．5．（3分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）．【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角．【解答】解：设圆锥母线与轴所成角为θ，∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，∴＝＝3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下图所示：则cosθ＝＝，∴θ＝arccos，故答案为：arccos【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键．6．（3分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则＝．【分析】过A作与BC平行的母线AD，由异面直线所成角的概念得到∠OAD为．在直角三角形ODA中，直接由得到答案．【解答】解：如图，过A作与BC平行的母线AD，连接OD，则∠OAD为直线OA与BC所成的角，大小为．在直角三角形ODA中，因为，所以．则．故答案为【点评】本题考查了异面直线所成的角，考查了直角三角形的解法，是基础题．7．（3分）已知△ABC三个顶点到平面α的距离分别是3，3，6，则其重心到平面α的距离为0，2，4（写出所有可能值）【分析】根据题意画出图形，设A、B、C在平面α上的射影分别为A′、B′、C′，△ABC的重心为G，连接CG交AB于中点E，又设E、G在平面α上的射影分别为E′、G′，利用平面图形：直角梯形EE′C′C中数据可求得△ABC的重心到平面α的距离GG′即可．【解答】解：如图，设A、B、C在平面α上的射影分别为A′、B′、C′，△ABC的重心为G，连接CG交AB于中点E，又设E、G在平面α上的射影分别为E′、G′，则E′∈A′B'，G′∈C′E'，设A A'＝BB'＝3，CC'＝6，EE'＝3，由CG＝2GE，在直角梯形EE′C′C中可求得GG′＝4；当AB和C在平面α的两侧，由于EE'：CC'＝1：2，可得GG′＝0；当AB垂直于平面α，由中位线定理可得GG'＝2．故答案为：0，2，4．【点评】本题考查棱锥的结构特征、三角形的重心，考查计算能力，空间想象能力，是基础题，三角形重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．8．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是[0，1]．【分析】建立空间直角坐标系，求出有关点的坐标可得、、、的坐标，再由＝1﹣λ∈[0，1]，可得的取值范围．【解答】解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，以所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．则D（0，0，0）、C（0，1，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、D1（0，0，1）．∴＝（0，1，0）、（﹣1，﹣1，1）．∵点P在线段BD1上运动，∴＝λ?＝（﹣λ，﹣λ，λ），且0≤λ≤1．∴＝+＝+＝（﹣λ，1﹣λ，λ），∴＝1﹣λ∈[0，1]，故答案为[0，1]．【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量的数量积公式，属于中档题．9．（3分）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为．第11页（共29页）【分析】根据题意，求出翻折后的几何体为底面边长，侧棱长，高，即可求出棱锥的体积．【解答】解：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2的正三棱锥，高为所以该四面体的体积为＝．故答案为：【点评】本题考查棱锥的体积，考查计算能力，是基础题．10．（3分）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则3x+4y的最大值为【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的边长关系式和不等式的应用求出结果．【解答】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：所以：利用三视图的关系，构造成四棱锥体，所以：x2＝1+4﹣y2，第12页（共29页）整理得：x2+y2＝5，故：（3x+4y）22222≤（3）（x+4+y），整理得：．故答案为：5【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．11．（3分）已知A、B、C、P为半径为R的球面上的四点，其中AB、AC、BC间的球面距离分别为、、，若，其中O为球心，则x+y+z的最大值是【分析】以OA，OC所在直线分别为x轴，y轴建立空间坐标系，求出，，的坐标，根据P在球O上，得到||的长度为R，再结合柯西不等式即可得到结论．【解答】解：依题意，OA⊥OC，OB⊥OC，又OA∩OB＝O，所以OC⊥平面OAB，以OA，OC所在直线分别为x轴，y轴，O为坐标原点立空间坐标系，则＝（R，0，0），＝（0，R，0）因为O A与OB夹角为，所以不妨设＝（R，R，0），如图，则＝（（x+）R，R，R），因为P在球O上，所以||＝R，所以+y2R2+＝R2，2即+y+＝1，所以由柯西不等式[12+12+][+y2+]≥1×（x+）+1×y+×＝x+y+z，解得x+y+z≤＝．故答案为：．第13页（共29页）【点评】本题考查了球面距离，空间向量的坐标运算，向量的模，柯西不等式等知识，属于中档题．12．（3分）如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面α分别与直线BC，AD相交于点G，H，则下列结论正确的是③，④．①对于任意的平面α，都有直线GF，EH，BD相交于同一点；②存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③对于任意的平面α，都有S△EFG＝S△EFH；④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，几何体AC﹣EGFH的体积是一个定值．【分析】①取AD的中点H，BC的中点G，则EGFH在一个平面内，此时直线GF∥EH ∥BD；②不存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③分别取AC、BD的中点M、N，则BC∥平面MENF，AD∥平面MENF，且AD与BC到平面MENF的距离相等，可得对于任意的平面α，都有S△EFG＝S△EFH．第14页（共29页）④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，可以证明几何体AC﹣EGFH的体积是四面体ABCD体积的一半．【解答】解：①取AD的中点H，BC的中点G，则EGFH在一个平面内，此时直线GF ∥EH∥BD，因此不正确；②不存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③分别取AC、BD的中点M、N，则BC∥平面MENF，AD∥平面MENF，且AD与BC到平面MENF的距离相等，因此对于任意的平面α，都有S△EFG＝S△EFH．④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，可以证明几何体AC﹣EGFH的体积是四面体ABCD体积的一半，因此是一个定值．综上可知：只有③④正确．故答案为：③④．【点评】本题考查了线面平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、选择题13．（3分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．2πD．4π【分析】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．【解答】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．2?h V＝2×S?h＝2×πR＝2×π×（）2×＝．故选：B．【点评】本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力．是基础题．14．（3分）如图，在大小为45°的二面角A﹣EF﹣D中，四边形ABFE与CDEF都是边长第15页（共29页）为1的正方形，则B与D两点间的距离是（）A．B．C．1D．【分析】由＝，利用数量积运算性质展开即可得出．【解答】解：∵四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，∴＝＝0，又大小为45°的二面角A﹣E F﹣D中，∴?＝1×1×cos（180°﹣45°）＝﹣．∵＝，∴＝+++＝3﹣，∴＝．故选：D．【点评】本题考查了数量积运算性质、向量的多边形法则、空间角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．1的正方形，则B与C两点间的距离是（）改为则B与D两点间的距离是（？？？？15．（3分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．【分析】根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L＝2πr，∴＝（2πr）2h，第16页（共29页）∴π＝．故选：B．【点评】本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．16．（3分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与AC′所成的角为45°的点P的个数为（）A．0B．3C．4D．6【分析】通过建立空间直角坐标系，通过分类讨论利用异面直线的方向向量所成的夹角即可找出所有满足条件的点P的个数．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设棱长A B＝1，B（1，0，1），C（1，1，1）．①在Rt△AA′C中，tan∠AA′C＝＝，因此∠AA′C≠45°．同理A′B′，A′D′与A′C所成的角都为a rctan°．故当点P位于（分别与上述棱平行）棱BB′，BA，BC上时，与A′C所成的角都为arctan°，不满足条件；②当点P位于棱AD上时，设P（0，y，1），（0≤y≤1），则＝（﹣1，y，0），＝（1，1，1）．若满足BP与AC′所成的角为45°，则＞|＝＝，化为y2+4y+1＝0，无正数解，舍去；同理，当点P位于棱B′C上时，也不符合条件；③当点P位于棱A′D′上时，设P（0，y，0），（0≤y≤1），第17页（共29页）则＝（﹣1，y，﹣1），＝（1，1，1）．若满足BP与AC'所成的角为45°，则＞|＝＝，化为y2+8y﹣2＝0，∵0≤y≤1，解得y＝3﹣4，满足条件，此时点P．④同理可求得棱A′B′上一点P，棱A′A上一点P．而其它棱上没有满足条件的点P．综上可知：满足条件的点P有且只有3个．故选：B．【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系，通过分类讨论利用异面直线的方向向量所成的夹角得到异面直线所成的角是解题的关键．二、解答题17．现在四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是a，高是b；2号容器的底面边长是b，高是a；3号容器的底面边长是a，高是a；4号容器的底面边长是b，高是b．假设a≠b，问是否存在一种必胜的4选2的方案（与a、b的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由【分析】存在一种必胜的4选2的方案（与a、b的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和．理由如下：若选中3号容器与4号容器，则V3+V433＞a2b+a b2（a≠b，a，b＞0）．通过作差即可证明结论．＞V1+V2，即a+b【解答】解：存在一种必胜的4选2的方案（与a、b的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和．第18页（共29页）33＞a2b+ab2（a≠b，a，理由如下：若选中3号容器与4号容器，则V3+V4＞V1+V2，即a+bb＞0）．证明如下：a3+b3﹣（a2b+ab2）＝（a+b）（a2﹣ab+b2）﹣ab（a+b）＝（a+b）（a﹣b）2．∵a≠b，a，b＞0，∴（a+b）（a﹣b）2＞0．∴a3+b3＞a2b+a b2（a≠b，a，b＞0），即V3+V4＞V1+V2．因此存在必胜方案是：选中3号容器与4号容器．【点评】本题考查了乘法公式、不等式的性质、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．如图，已知圆锥底面半径r＝20cm，O为底面圆圆心，点Q为半圆弧的中点，点P 为母线SA的中点，PQ与SO所成的角为arctan2，求：（1）圆锥的侧面积；（2）P，Q两点在圆锥侧面上的最短距离．【分析】（1）过点P作PH⊥底面圆O，交AC于H，连接HQ，求出HQ的值，找出PQ与SO所成的角，求得S O、SA的值，再计算圆锥的侧面积；（2）作圆锥的侧面展开图，找出所求的最短距离，利用余弦定理求出即可．【解答】解：（1）过点P作PH⊥底面圆O，交AC于H，连接HQ，∵圆锥底面半径r＝20cm，O为底面圆圆心，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA 的中点，∴PH＝，OQ⊥AC，OH＝10，可得：HQ＝＝10，∵PH∥S O，∴∠HPQ是PQ与SO所成的角，∵PQ与SO所成的角为arctan2，第19页（共29页）∴tan∠HPQ＝＝2，∴HQ＝2PH＝S O，解得SO＝10，l＝SA＝＝30，∴圆锥的侧面积：S＝πrl＝π×20×30＝600π（cm2）．（2）作圆锥的侧面展开图，线段PQ即为所求最短距离．由已知OQ⊥SO，OQ⊥S A，∴OQ⊥OA，故Q是弧AB的中点，即Q是扇形弧的点．因为扇形弧长即为圆锥底面周长4π，由（1）知SO＝10，母线SA＝30，从而扇形的中心角为，∴∠QSA＝，在△QSA中，SP＝15，由余弦定理得：PQ＝＝＝5，P，Q两点在圆锥侧面上的最短距离5cm．第20页（共29页）【点评】本题考查了求圆锥的体积、多面体和旋转体表面上的最短距离问题，主要根据几何体的结构特征、直角三角形、题中的条件，求出锥体的母线长和高，进而求出对应的值，考查了分析和解决问题的能力．本题需注意最短距离的问题最后都要转化为平面上两点间的距离的问题．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD＝CD ＝2AB＝2PA＝2，E、F分别为PC、CD的中点．（1）试证：CD⊥平面BEF；（2）求BC与平面BEF所成角的大小；（3）求三棱锥P﹣DBE的体积．【分析】（1）先证四边形ABFD为平行四边形，又∠DAB为直角，可得DC⊥BF，再由已知证明DC⊥PD，可得DC⊥EF，由线面垂直的判定可得DC⊥平面BEF；（2）由（1）知，DC⊥平面BEF，则∠CBF为BC与平面BEF所成角，求解三角形即可；（3）由（1）知，CD⊥平面PAD，则平面PDC⊥平面PAD，在Rt△PAD中，设A到PD的距离为h，利用等面积法求得h，得A到平面PDC的距离为，即B到平面PDC 的距离为，再利用等体积法求三棱锥P﹣DBE的体积．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，CD＝2AB，F为CD的中点，∴四边形ABFD为平行四边形，又∠DAB为直角，∴DC⊥BF，又PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，∵DC⊥AD，故DC⊥平面PAD，∴DC⊥PD，在△PCD内，E、F分别是PC、CD的中点，EF∥PD，∴DC⊥EF．由此得DC⊥平面BEF；（2）解：由（1）知，DC⊥平面BEF，则∠CBF为BC与平面BEF所成角，第21页（共29页）∴tan，则BC与平面BEF所成角的大小为；（3）解：由（1）知，CD⊥平面PAD，则平面PDC⊥平面PAD，在Rt△PA D中，设A到PD的距离为h，则PA?AD＝PD?h，得h＝，∴A到平面PDC的距离为，即B到平面PDC的距离为，，∴V P﹣DBE＝V B＝＝．﹣PDE【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查线面角的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20．如图，P﹣ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF﹣ABC与棱锥P﹣ABC的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）．（1）证明：P﹣ABC为正四面体；（2）若，求二面角D﹣BC﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）；（3）设棱台DEF﹣ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF﹣ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥P﹣ABC的体积减去棱锥P ﹣DEF的体积）．∴tan，则BC与平面BEF所成角的大小为；（3）解：由（1）知，CD⊥平面PAD，则平面PDC⊥平面PAD，在Rt△PA D中，设A到PD的距离为h，则PA?AD＝PD?h，得h＝，∴A到平面PDC的距离为，即B到平面PDC的距离为，，∴V P﹣DBE＝V B＝＝．﹣PDE【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查线面角的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20．如图，P﹣ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF﹣ABC与棱锥P﹣ABC的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）．（1）证明：P﹣ABC为正四面体；（2）若，求二面角D﹣BC﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）；（3）设棱台DEF﹣ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF﹣ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥P﹣ABC的体积减去棱锥P ﹣DEF的体积）．∴tan，则BC与平面BEF所成角的大小为；（3）解：由（1）知，CD⊥平面PAD，则平面PDC⊥平面PAD，在Rt△PA D中，设A到PD的距离为h，则PA?AD＝PD?h，得h＝，∴A到平面PDC的距离为，即B到平面PDC的距离为，，∴V P﹣DBE＝V B＝＝．﹣PDE【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查线面角的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20．如图，P﹣ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF﹣ABC与棱锥P﹣ABC的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）．（1）证明：P﹣ABC为正四面体；（2）若，求二面角D﹣BC﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）；（3）设棱台DEF﹣ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF﹣ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥P﹣ABC的体积减去棱锥P ﹣DEF的体积）．∴tan，则BC与平面BEF所成角的大小为；（3）解：由（1）知，CD⊥平面PAD，则平面PDC⊥平面PAD，在Rt△PA D中，设A到PD的距离为h，则PA?AD＝PD?h，得h＝，∴A到平面PDC的距离为，即B到平面PDC的距离为，，∴V P﹣DBE＝V B＝＝．﹣PDE【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查线面角的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20．如图，P﹣ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF﹣ABC与棱锥P﹣ABC的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）．（1）证明：P﹣ABC为正四面体；（2）若，求二面角D﹣BC﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）；（3）设棱台DEF﹣ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF﹣ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥P﹣ABC的体积减去棱锥P ﹣DEF的体积）．。

上海大学市北附属中学2018学年第二学期期中考试高二数学试卷（2019.4）一、填空题1、设ii z +=3，则z Im =______ 2、已知直线α平面//m ，直线n 在α内，则m 与n 所有可能的位置关系是________3、已知复数22)21()3()31(i i i z --+=，则||z =______ 4、已知R b a ∈,，且i b ai ++,2是实系数一元二次方程02=++q px x 的两个根，则pq =_______5、若1|2|≤-i z ，则复数||z 的取值范围是_________6、正四棱锥ABCD P -的底面边长为1，2=PA ，则顶点P 到底面ABCD 的距离为______7、若一圆柱的侧面积为π6，则经过圆柱的轴的截面积为______8、已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，点P 为线段1BC 上一点，Q 是平面ABCD 上一点，那么PQ P D +1的最小值是______二、 选择题9、0=x 是),(R y x yi x z ∈+=为纯虚数的（ ）A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充要条件D 、不充分且不必要条件10、下列命题中错误的是（ ）A 、过平面α外的一点可以作无数条直线与平面α平行B 、与同一个平面所成角相等的两条直线必平行C 、若直线l 垂直于平面α内的两条相交直线，则直线l 必垂直于平面αD 、垂直于同一个平面的两条直线平行11、若b a 、为非零实数，则以下四个命题都成立： ①01≠+aa ②2222)(b ab a b a ++=+③若||||b a =，则b a ±=④若ab a =2，则b a =则对于任意非零复数b a 、，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4三、解答题12、已知ABC ∆的三边分别是5,4,3===AB BC AC ，以AB 所在直线为轴将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积13、在长方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别是棱AB AA 、1的中点，4==BC AB ，31=AA ，求（1）EF 与11C A 所成的角（2）C A 1与平面ABCD 所成的角14、在复数集中，解方程0||2=+z z 解：0||2=+z z Θ 0)1|(|||0||||2=+=+∴z z z z ，即0,11||0||=≥+=∴z z z 解得）（又0=∴z 方程的解是请你仔细阅读上述解题过程，判断是否有错误，如果有，请指出错误之处，并写出正确的解答过程15、在空间四边形ABCD 中，BCD AB 平面⊥，︒=∠90BCD ，且1==BC AB ，3=BD （1）若AD EF BD CE ⊥⊥,，求证：CEF AD 平面⊥（2）求二面角B AD C --的大小。

交大附中高二期中数学试卷2019.04一. 填空题1. 如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线可确定 个平面2. 已知球的体积为36π，则该主视图的面积等于3. 若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a =4. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线均为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB uuu u r 的坐标为(4,3,2)，则1AC u u u u r 的坐标是5. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）6. 已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图，若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则l r= 7. 已知△ABC 三个顶点到平面α的距离分别是3、3、6，则其重心到平面α的距离为 （写出所有可能值）8. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段上1BD 运动，则DC AP ⋅u u u r u u u r 的取值范围是9. 如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，剪去△AOB ，将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以()A B 、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为10. 某三棱锥的三视图如图所示，且这个三角形均为直线三角形，则34x y +的最大值为11. 已知A 、B 、C 、P 为半径R 的球面上的四点，其中AB 、AC 、BC 间的球面距离分别为3R π、2R π、2R π，若OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，其中O 为球心，则x y z ++的最大 值是12. 如图，在四面体ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，过EF 任作一个平面α分别与直线BC 、AD 相交于点G 、H ，则下列结论正确的是① 对于任意的平面α，都有直线GF 、EH 、BD 相交于同一点；② 存在一个平面α，使得点G 在线段BC 上，点H 在线段AD 的延长线上；③ 对于任意的平面α，都有EFG EFH S S =V V ；④ 对于任意的平面α，当G 、H 在线段BC 、AD 上时，几何体AC EFGH -的体积是一个定值.二. 选择题13. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A. 23π B. 423π C. 22π D. 42π 14. 如图，在大小为45°的二面角A EF D --中，四边形ABFE 与CDEF 都是边长为1的正方形，则B 、D 点间的距离是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 32-15. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有 系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也，又以高乘之，三十六成 一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算器体积V 的近似公式2136V L h ≈， 它实际上是将圆锥体积公式的圆周率π近似取3，那么近似公式2272V L h ≈相当于将圆锥体 积公式中的π近似取为（ ）A. 227B. 258C. 15750D. 35511316. 在正方形ABCD A B C D ''''-中，若点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 和AC '所成角为45°的点P 有（ ）A. 6个B. 4个C. 3个D. 2个三. 解答题17. 现有四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是a ，高是b ；2号容器的底面边长是b ，高是a ；3号容器的底面边长是a ，高是a ；4号容器的底面边长是b ，高是b ，假设a b ≠，问是否存在一种必胜的4选2的方案（与a 、b 的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由.18. 如图，已知圆锥底面半径20r cm =，点Q 为半圆弧AC 的中点，点P 为母线SA 的中点，PQ 与SO 所成角为arctan2，求：（1）圆锥的侧面积；（2）P 、Q 两点在圆锥侧面上的最短距离.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，DAB ∠为直角，AB ∥CD ，222AD CD AB PA ====，E 、F 分别为PC 、CD 的中点.（1）求证：CD ⊥平面BEF ；（2）求BC 与平面BEF 所成角的大小；（3）求三棱锥P DBE -的体积.20. 如图，P ABC -是底面边长为1的正三棱锥，D 、E 、F 分别为棱长PA 、PB 、PC 上的点，截面DEF ∥底面ABC ，且棱台DEF ABC -与棱锥P ABC -的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）（1）证明：P ABC -为正四面体；（2）若12PD PA =，求二面角D BC A --的大小（结果用反三角函数值表示）； （3）设棱台DEF ABC -的体积为V ，是否存在体积为V 且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF ABC -有相同的棱长和？若存在，请具体构造这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由.（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥P ABC -的体积减去棱锥P DEF -的体积）21. 火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳构筑物，建在水源不十分充足的地区的电厂，为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统，以使得冷却容器中排出的热水在其冷却后可重复使用，大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线冷却塔，此类冷却塔多用于内陆缺水电站，其高度一般为75~150米，底边直径65~120米，双曲线型冷却塔比水池式冷却构筑物占地面积小，布置紧凑，水量损失小，且冷却效果不受风力影响；它比机力通风冷却塔维护简便，节约电能；但形体高大，施工复杂，造价较高.（以上知识来自百度，下面题设条件只是为了适合高中知识水平，其中不符合实际请忽略）（1）右下图为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径 大于上底直径，已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100m ，俯视图为 三个同心圆，其半径分别为40m 、60147m 、30m ，试根据上述尺寸计算主视图中该双 曲线的标准方程（m 为长度单位米）.（2）试利用课本中推导球体积的方法，利用圆柱和一个倒放的圆锥，计算封闭曲线： 22221x y a b -=，0y =，y h =，绕y 轴旋转形成的旋转体的体积为________（用a 、b 、h 表 示）（用积分计算不得分）现已知双曲线冷却塔是一个薄壳结构，为计算方便设其内壁所在曲线也为双曲线，其壁最厚为0.4m （底部），最薄处厚度为0.3m （喉部，即左右顶点处），试计算该冷却塔内壳所在的双曲线标准方程是________________，并计算本题中的双曲线冷却塔的建筑体积（内外壳之间）大约是_________3m （计算时π取3.14159，保留到个位即可）（3）冷却塔体型巨大，造价相应高昂，本题只考虑地面以上部分的施工费用（建筑人工和辅助机械）的计算，钢筋土石等建筑材料费用和其他设备等施工费用不在本题计算范围内，超高建筑的施工（含人工辅助机械等）费用随着高度的增加而增加，现已知：距离地面高度30米（含30米）内的建筑，每立方米的施工费用平均为：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工费用为800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工费用增加100元，试计算建造本题中冷却塔的施工费用（精确到万元）.参考答案一. 填空题1. 12. 9π3. 44. (4,3,2)-5. 1arccos 3 6. 7. 0，2，4 8. [0,1]9. 3 10. 11. 3 12. ③④二. 选择题13. B 14. D 15. B 16. C三. 解答题17. 3322a b a b b a +>+，必胜方案为选择3号、4号容器18.（1）600π；（2）19.（1）略；（2）1arctan 2；（3）1320.（1）略；（2）arcsin 3；（3）存在21.（1）2219006300x y -=；（2）23223a h a h b ππ+，221882.096300x y +=，6728；（3）1516。

上海交通大学附属中学2018-2019学年度第二学期高二数学期中考试试卷（满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）命题：刘亚丽审核：杨逸峰一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）1、如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共可确定个平面．答案：12、【2017高考上海，4】已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于.【答案】9π【解析】设球的半径为R ，则：34363R ππ=，解得：3R =，该球的主视图是一个半径为3的圆，其面积为：29S R ππ==.3、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为a =．【答案】4【解析】236444a a a ⋅=⇒=⇒=4、【2017高考上海，7】如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.若1DB 的坐标为()4,3,2，则1AC的坐标是.【答案】()4,3,2-【解析】将向量1AC的起点平移至点D ，则平移后的向量与向量1DB 关于平面11CDD C 对称，据此可得：()14,3,2AC =-.5、【2014上海,理6】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】1arccos3.6、【2013上海文10】已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则l r＝______.【解析】由题知，tan63r l π==⇒l r =.7、已知ABC ∆三个顶点到平面α的距离分别是3，3，6，则其重心到平面α的距离为__________（写出所有可能值）答案：0，2，4。

8、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段1BD 上运动,则DC AP ⋅的取值范围是______________．【答案】【解析】试题分析：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．则、、、、．∴、．∵点在线段上运动，∴，且．，，故答案为．9、【2010上海理12，倒数第3题】如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，剪去AOB ∆，将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A （B ）、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为________；【答案】3【解析】在折叠过程中OC OB ⊥，OD OA ⊥始终没有改变，所以最后形成的四面体()A B CDO -中，OA ⊥底面CDO ，故其体积21182(22)22323V =⨯⨯⨯=，故答案为：823.10、某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则34x y +的最大值为．【答案】55试题分析：由图可知，根据三视图得到三棱锥OABC 如图，OC=2，AC=y，BC=1，在OAC Rt ∆中，24y OA -=，2225y BC OA x -=+=，即522=+y x ，三角换元（或者称利用圆的参数方程）设5cos ,5sin x y θθ==，故3455cos()55x y θϕ+=+≤。

2019学年上海市交大附中高二（下）期中数学试卷一、填空题1．（3分）如果一条直线与两条直线都相交，这三条直线共可确定个平面．2．（3分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．3．（3分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a＝．4．（3分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是．5．（3分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）．6．（3分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则＝．7．（3分）已知△ABC三个顶点到平面α的距离分别是3，3，6，则其重心到平面α的距离为（写出所有可能值）8．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是．9．（3分）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为．10．（3分）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则3x+4y的最大值为11．（3分）已知A、B、C、P为半径为R的球面上的四点，其中AB、AC、BC间的球面距离分别为、、，若，其中O为球心，则x+y+z的最大值是12．（3分）如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面α分别与直线BC，AD相交于点G，H，则下列结论正确的是．①对于任意的平面α，都有直线GF，EH，BD相交于同一点；②存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③对于任意的平面α，都有S△EFG＝S△EFH；④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，几何体AC﹣EGFH的体积是一个定值．二、选择题13．（3分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．2πD．4π14．（3分）如图，在大小为45°的二面角A﹣EF﹣D中，四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，则B与D两点间的距离是（）A．B．C．1D．15．（3分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．16．（3分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与AC′所成的角为45°的点P的个数为（）A．0B．3C．4D．6二、解答题17．现在四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是a，高是b；2号容器的底面边长是b，高是a；3号容器的底面边长是a，高是a；4号容器的底面边长是b，高是b．假设a≠b，问是否存在一种必胜的4选2的方案（与a、b的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由18．如图，已知圆锥底面半径r＝20cm，O为底面圆圆心，点Q为半圆弧的中点，点P 为母线SA的中点，PQ与SO所成的角为arctan2，求：（1）圆锥的侧面积；（2）P，Q两点在圆锥侧面上的最短距离．。