【解析】上海市宝山区交大附中2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题

2018-2019学年上海市交大附中高二（下）期中数学试卷一、填空题1．（3分）如果一条直线与两条直线都相交，这三条直线共可确定个平面．2．（3分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．3．（3分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a＝．4．（3分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是．5．（3分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）．6．（3分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则＝．7．（3分）已知△ABC三个顶点到平面α的距离分别是3，3，6，则其重心到平面α的距离为（写出所有可能值）8．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是．9．（3分）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为．10．（3分）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则3x+4y的最大值为11．（3分）已知A、B、C、P为半径为R的球面上的四点，其中AB、AC、BC间的球面距离分别为、、，若，其中O为球心，则x+y+z的最大值是12．（3分）如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面α分别与直线BC，AD相交于点G，H，则下列结论正确的是．①对于任意的平面α，都有直线GF，EH，BD相交于同一点；②存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③对于任意的平面α，都有S△EFG＝S△EFH；④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，几何体AC﹣EGFH的体积是一个定值．二、选择题13．（3分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．2πD．4π14．（3分）如图，在大小为45°的二面角A﹣E F﹣D中，四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，则B与D两点间的距离是（）A．B．C．1D．15．（3分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式2V≈L h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．16．（3分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与AC′所成的角为45°的点P的个数为（）A．0B．3C．4D．6二、解答题17．现在四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是a，高是b；2号容器的底面边长是b，高是a；3号容器的底面边长是a，高是a；4号容器的底面边长是b，高是b．假设a≠b，问是否存在一种必胜的4选2的方案（与a、b的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由18．如图，已知圆锥底面半径r＝20cm，O为底面圆圆心，点Q为半圆弧的中点，点P 为母线SA的中点，PQ与SO所成的角为arctan2，求：（1）圆锥的侧面积；（2）P，Q两点在圆锥侧面上的最短距离．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD＝CD ＝2AB＝2PA＝2，E、F分别为PC、CD的中点．（1）试证：CD⊥平面BEF；（2）求BC与平面BEF所成角的大小；（3）求三棱锥P﹣DBE的体积．20．如图，P﹣ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF﹣ABC与棱锥P﹣ABC的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）．（1）证明：P﹣ABC为正四面体；（2）若，求二面角D﹣BC﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）；（3）设棱台DEF﹣ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF﹣ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥P﹣ABC的体积减去棱锥P ﹣DEF的体积）．21．火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型建筑物．建在水源不十分充分的地区的电厂，为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统，以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用，大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔．此类冷却塔多用于内陆缺水电站，其高度一般为75～150米，底边直径65～120米．双曲线型冷却塔比水池式冷却构筑物占地面积小，布置紧凑，水量损失小，且冷却效果不受风力影响；它比机力通风冷却塔维护简便，节约电能；但体形高大，施工复杂，造价较高（以上知识来自百度，下面题设条件只是为了适合高中知识水平，其中不符合实际处请忽略．图1）（1）图2为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径大于上底直径．已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100m，俯视图为三个同心圆，其半径分别为40m，m，30m，试根据上述尺寸计算主视图中该双曲线的标准方程（m为长度单位米）．（2）试利用课本中推导球体积的方法，利用圆柱和一个倒放的圆锥，计算封闭曲线：，y＝0，y＝h，绕y轴旋转形成的旋转体的体积为（用a，b，h表示）（用积分计算不得分，图3、图4）现已知双曲线冷却塔是一个薄壳结构，为计算方便设其内壁所在曲线也为双曲线，其壁最厚为0.4m（底部），最薄处厚度为0.3m（喉部，即左右顶点处）．试计算该冷却塔内壳所在的双曲线标准方程是，并计算本题中的双曲线冷却塔的建筑体积（内外壳之间）大约是m3（计算时π取3.14159，保留到个位即可）（3）冷却塔体型巨大，造价相应高昂，本题只考虑地面以上部分的施工费用（建筑人工和辅助机械）的计算，钢筋土石等建筑材料费用和和其它设备等施工费用不在本题计算范围内．超高建筑的施工（含人工辅助机械等）费用随着高度的增加而增加．现已知：距离地面高度30米（含30米）内的建筑，每立方米的施工费用平均为：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工费用为800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工费用增加100元．试计算建造本题中冷却塔的施工费用（精确到万元）2018-2019学年上海市交大附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）如果一条直线与两条直线都相交，这三条直线共可确定1或2或3个平面．【分析】讨论这两条直线的位置情况，从而得出三条直线所确定的平面数．【解答】解：如果三条直线都交于一点，且三线不共面，则每两条直线都确定一个平面，共确定3个平面；如果三条直线两两相交，交于不同的三点，则只确定1个平面；如果两条直线异面，另一条与其均相交，则只确定2个平面；如果两条直线平行，另一条与其均相交，则只确定1个平面．综上，这三条直线共可确定1或2或3个平面．故答案为：1或2或3．【点评】本题考查了由直线确定平面的应用问题，是平面的基本性质与推论的应用问题，是基础题目．2．（3分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π．【分析】由球的体积公式，可得半径R＝3，再由主视图为圆，可得面积．【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得πR3＝36π，可得R＝3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2＝9π．故答案为：9π．【点评】本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题．3．（3分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a＝4．【分析】由题意可得（?a?a?sin60°）?a＝16，由此求得a的值．【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为?a?a?sin60°，正棱柱的高为a，∴（?a?a?sin60°）?a＝16，∴a＝4，故答案为：4．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．4．（3分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是（﹣4，3，2）．【分析】由的坐标为（4，3，2），分别求出A和C1的坐标，由此能求出结果．【解答】解：如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2），∴．故答案为：（﹣4，3，2）．【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．5．（3分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）．【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角．【解答】解：设圆锥母线与轴所成角为θ，∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，∴＝＝3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下图所示：则cosθ＝＝，∴θ＝arccos，故答案为：arccos【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键．6．（3分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则＝．【分析】过A作与BC平行的母线AD，由异面直线所成角的概念得到∠OAD为．在直角三角形ODA中，直接由得到答案．【解答】解：如图，过A作与BC平行的母线AD，连接OD，则∠OAD为直线OA与BC所成的角，大小为．在直角三角形ODA中，因为，所以．则．故答案为【点评】本题考查了异面直线所成的角，考查了直角三角形的解法，是基础题．7．（3分）已知△ABC三个顶点到平面α的距离分别是3，3，6，则其重心到平面α的距离为0，2，4（写出所有可能值）【分析】根据题意画出图形，设A、B、C在平面α上的射影分别为A′、B′、C′，△ABC的重心为G，连接CG交AB于中点E，又设E、G在平面α上的射影分别为E′、G′，利用平面图形：直角梯形EE′C′C中数据可求得△ABC的重心到平面α的距离GG′即可．【解答】解：如图，设A、B、C在平面α上的射影分别为A′、B′、C′，△ABC的重心为G，连接CG交AB于中点E，又设E、G在平面α上的射影分别为E′、G′，则E′∈A′B'，G′∈C′E'，设A A'＝BB'＝3，CC'＝6，EE'＝3，由CG＝2GE，在直角梯形EE′C′C中可求得GG′＝4；当AB和C在平面α的两侧，由于EE'：CC'＝1：2，可得GG′＝0；当AB垂直于平面α，由中位线定理可得GG'＝2．故答案为：0，2，4．【点评】本题考查棱锥的结构特征、三角形的重心，考查计算能力，空间想象能力，是基础题，三角形重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．8．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是[0，1]．【分析】建立空间直角坐标系，求出有关点的坐标可得、、、的坐标，再由＝1﹣λ∈[0，1]，可得的取值范围．【解答】解：以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，以所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系．则D（0，0，0）、C（0，1，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、D1（0，0，1）．∴＝（0，1，0）、（﹣1，﹣1，1）．∵点P在线段BD1上运动，∴＝λ?＝（﹣λ，﹣λ，λ），且0≤λ≤1．∴＝+＝+＝（﹣λ，1﹣λ，λ），∴＝1﹣λ∈[0，1]，故答案为[0，1]．【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量的数量积公式，属于中档题．9．（3分）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为．第11页（共29页）【分析】根据题意，求出翻折后的几何体为底面边长，侧棱长，高，即可求出棱锥的体积．【解答】解：翻折后的几何体为底面边长为4，侧棱长为2的正三棱锥，高为所以该四面体的体积为＝．故答案为：【点评】本题考查棱锥的体积，考查计算能力，是基础题．10．（3分）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则3x+4y的最大值为【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的边长关系式和不等式的应用求出结果．【解答】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：所以：利用三视图的关系，构造成四棱锥体，所以：x2＝1+4﹣y2，第12页（共29页）整理得：x2+y2＝5，故：（3x+4y）22222≤（3）（x+4+y），整理得：．故答案为：5【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．11．（3分）已知A、B、C、P为半径为R的球面上的四点，其中AB、AC、BC间的球面距离分别为、、，若，其中O为球心，则x+y+z的最大值是【分析】以OA，OC所在直线分别为x轴，y轴建立空间坐标系，求出，，的坐标，根据P在球O上，得到||的长度为R，再结合柯西不等式即可得到结论．【解答】解：依题意，OA⊥OC，OB⊥OC，又OA∩OB＝O，所以OC⊥平面OAB，以OA，OC所在直线分别为x轴，y轴，O为坐标原点立空间坐标系，则＝（R，0，0），＝（0，R，0）因为O A与OB夹角为，所以不妨设＝（R，R，0），如图，则＝（（x+）R，R，R），因为P在球O上，所以||＝R，所以+y2R2+＝R2，2即+y+＝1，所以由柯西不等式[12+12+][+y2+]≥1×（x+）+1×y+×＝x+y+z，解得x+y+z≤＝．故答案为：．第13页（共29页）【点评】本题考查了球面距离，空间向量的坐标运算，向量的模，柯西不等式等知识，属于中档题．12．（3分）如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面α分别与直线BC，AD相交于点G，H，则下列结论正确的是③，④．①对于任意的平面α，都有直线GF，EH，BD相交于同一点；②存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③对于任意的平面α，都有S△EFG＝S△EFH；④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，几何体AC﹣EGFH的体积是一个定值．【分析】①取AD的中点H，BC的中点G，则EGFH在一个平面内，此时直线GF∥EH ∥BD；②不存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③分别取AC、BD的中点M、N，则BC∥平面MENF，AD∥平面MENF，且AD与BC到平面MENF的距离相等，可得对于任意的平面α，都有S△EFG＝S△EFH．第14页（共29页）④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，可以证明几何体AC﹣EGFH的体积是四面体ABCD体积的一半．【解答】解：①取AD的中点H，BC的中点G，则EGFH在一个平面内，此时直线GF ∥EH∥BD，因此不正确；②不存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③分别取AC、BD的中点M、N，则BC∥平面MENF，AD∥平面MENF，且AD与BC到平面MENF的距离相等，因此对于任意的平面α，都有S△EFG＝S△EFH．④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，可以证明几何体AC﹣EGFH的体积是四面体ABCD体积的一半，因此是一个定值．综上可知：只有③④正确．故答案为：③④．【点评】本题考查了线面平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、选择题13．（3分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．2πD．4π【分析】画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．【解答】解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．2?h V＝2×S?h＝2×πR＝2×π×（）2×＝．故选：B．【点评】本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力．是基础题．14．（3分）如图，在大小为45°的二面角A﹣EF﹣D中，四边形ABFE与CDEF都是边长第15页（共29页）为1的正方形，则B与D两点间的距离是（）A．B．C．1D．【分析】由＝，利用数量积运算性质展开即可得出．【解答】解：∵四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，∴＝＝0，又大小为45°的二面角A﹣E F﹣D中，∴?＝1×1×cos（180°﹣45°）＝﹣．∵＝，∴＝+++＝3﹣，∴＝．故选：D．【点评】本题考查了数量积运算性质、向量的多边形法则、空间角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．1的正方形，则B与C两点间的距离是（）改为则B与D两点间的距离是（？？？？15．（3分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．【分析】根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L＝2πr，∴＝（2πr）2h，第16页（共29页）∴π＝．故选：B．【点评】本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．16．（3分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与AC′所成的角为45°的点P的个数为（）A．0B．3C．4D．6【分析】通过建立空间直角坐标系，通过分类讨论利用异面直线的方向向量所成的夹角即可找出所有满足条件的点P的个数．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设棱长A B＝1，B（1，0，1），C（1，1，1）．①在Rt△AA′C中，tan∠AA′C＝＝，因此∠AA′C≠45°．同理A′B′，A′D′与A′C所成的角都为a rctan°．故当点P位于（分别与上述棱平行）棱BB′，BA，BC上时，与A′C所成的角都为arctan°，不满足条件；②当点P位于棱AD上时，设P（0，y，1），（0≤y≤1），则＝（﹣1，y，0），＝（1，1，1）．若满足BP与AC′所成的角为45°，则＞|＝＝，化为y2+4y+1＝0，无正数解，舍去；同理，当点P位于棱B′C上时，也不符合条件；③当点P位于棱A′D′上时，设P（0，y，0），（0≤y≤1），第17页（共29页）则＝（﹣1，y，﹣1），＝（1，1，1）．若满足BP与AC'所成的角为45°，则＞|＝＝，化为y2+8y﹣2＝0，∵0≤y≤1，解得y＝3﹣4，满足条件，此时点P．④同理可求得棱A′B′上一点P，棱A′A上一点P．而其它棱上没有满足条件的点P．综上可知：满足条件的点P有且只有3个．故选：B．【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系，通过分类讨论利用异面直线的方向向量所成的夹角得到异面直线所成的角是解题的关键．二、解答题17．现在四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是a，高是b；2号容器的底面边长是b，高是a；3号容器的底面边长是a，高是a；4号容器的底面边长是b，高是b．假设a≠b，问是否存在一种必胜的4选2的方案（与a、b的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由【分析】存在一种必胜的4选2的方案（与a、b的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和．理由如下：若选中3号容器与4号容器，则V3+V433＞a2b+a b2（a≠b，a，b＞0）．通过作差即可证明结论．＞V1+V2，即a+b【解答】解：存在一种必胜的4选2的方案（与a、b的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和．第18页（共29页）33＞a2b+ab2（a≠b，a，理由如下：若选中3号容器与4号容器，则V3+V4＞V1+V2，即a+bb＞0）．证明如下：a3+b3﹣（a2b+ab2）＝（a+b）（a2﹣ab+b2）﹣ab（a+b）＝（a+b）（a﹣b）2．∵a≠b，a，b＞0，∴（a+b）（a﹣b）2＞0．∴a3+b3＞a2b+a b2（a≠b，a，b＞0），即V3+V4＞V1+V2．因此存在必胜方案是：选中3号容器与4号容器．【点评】本题考查了乘法公式、不等式的性质、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．如图，已知圆锥底面半径r＝20cm，O为底面圆圆心，点Q为半圆弧的中点，点P 为母线SA的中点，PQ与SO所成的角为arctan2，求：（1）圆锥的侧面积；（2）P，Q两点在圆锥侧面上的最短距离．【分析】（1）过点P作PH⊥底面圆O，交AC于H，连接HQ，求出HQ的值，找出PQ与SO所成的角，求得S O、SA的值，再计算圆锥的侧面积；（2）作圆锥的侧面展开图，找出所求的最短距离，利用余弦定理求出即可．【解答】解：（1）过点P作PH⊥底面圆O，交AC于H，连接HQ，∵圆锥底面半径r＝20cm，O为底面圆圆心，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA 的中点，∴PH＝，OQ⊥AC，OH＝10，可得：HQ＝＝10，∵PH∥S O，∴∠HPQ是PQ与SO所成的角，∵PQ与SO所成的角为arctan2，第19页（共29页）∴tan∠HPQ＝＝2，∴HQ＝2PH＝S O，解得SO＝10，l＝SA＝＝30，∴圆锥的侧面积：S＝πrl＝π×20×30＝600π（cm2）．（2）作圆锥的侧面展开图，线段PQ即为所求最短距离．由已知OQ⊥SO，OQ⊥S A，∴OQ⊥OA，故Q是弧AB的中点，即Q是扇形弧的点．因为扇形弧长即为圆锥底面周长4π，由（1）知SO＝10，母线SA＝30，从而扇形的中心角为，∴∠QSA＝，在△QSA中，SP＝15，由余弦定理得：PQ＝＝＝5，P，Q两点在圆锥侧面上的最短距离5cm．第20页（共29页）【点评】本题考查了求圆锥的体积、多面体和旋转体表面上的最短距离问题，主要根据几何体的结构特征、直角三角形、题中的条件，求出锥体的母线长和高，进而求出对应的值，考查了分析和解决问题的能力．本题需注意最短距离的问题最后都要转化为平面上两点间的距离的问题．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD＝CD ＝2AB＝2PA＝2，E、F分别为PC、CD的中点．（1）试证：CD⊥平面BEF；（2）求BC与平面BEF所成角的大小；（3）求三棱锥P﹣DBE的体积．【分析】（1）先证四边形ABFD为平行四边形，又∠DAB为直角，可得DC⊥BF，再由已知证明DC⊥PD，可得DC⊥EF，由线面垂直的判定可得DC⊥平面BEF；（2）由（1）知，DC⊥平面BEF，则∠CBF为BC与平面BEF所成角，求解三角形即可；（3）由（1）知，CD⊥平面PAD，则平面PDC⊥平面PAD，在Rt△PAD中，设A到PD的距离为h，利用等面积法求得h，得A到平面PDC的距离为，即B到平面PDC 的距离为，再利用等体积法求三棱锥P﹣DBE的体积．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，CD＝2AB，F为CD的中点，∴四边形ABFD为平行四边形，又∠DAB为直角，∴DC⊥BF，又PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，∵DC⊥AD，故DC⊥平面PAD，∴DC⊥PD，在△PCD内，E、F分别是PC、CD的中点，EF∥PD，∴DC⊥EF．由此得DC⊥平面BEF；（2）解：由（1）知，DC⊥平面BEF，则∠CBF为BC与平面BEF所成角，第21页（共29页）∴tan，则BC与平面BEF所成角的大小为；（3）解：由（1）知，CD⊥平面PAD，则平面PDC⊥平面PAD，在Rt△PA D中，设A到PD的距离为h，则PA?AD＝PD?h，得h＝，∴A到平面PDC的距离为，即B到平面PDC的距离为，，∴V P﹣DBE＝V B＝＝．﹣PDE【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查线面角的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20．如图，P﹣ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF﹣ABC与棱锥P﹣ABC的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）．（1）证明：P﹣ABC为正四面体；（2）若，求二面角D﹣BC﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）；（3）设棱台DEF﹣ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF﹣ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥P﹣ABC的体积减去棱锥P ﹣DEF的体积）．∴tan，则BC与平面BEF所成角的大小为；（3）解：由（1）知，CD⊥平面PAD，则平面PDC⊥平面PAD，在Rt△PA D中，设A到PD的距离为h，则PA?AD＝PD?h，得h＝，∴A到平面PDC的距离为，即B到平面PDC的距离为，，∴V P﹣DBE＝V B＝＝．﹣PDE【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查线面角的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20．如图，P﹣ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF﹣ABC与棱锥P﹣ABC的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）．（1）证明：P﹣ABC为正四面体；（2）若，求二面角D﹣BC﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）；（3）设棱台DEF﹣ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF﹣ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥P﹣ABC的体积减去棱锥P ﹣DEF的体积）．∴tan，则BC与平面BEF所成角的大小为；（3）解：由（1）知，CD⊥平面PAD，则平面PDC⊥平面PAD，在Rt△PA D中，设A到PD的距离为h，则PA?AD＝PD?h，得h＝，∴A到平面PDC的距离为，即B到平面PDC的距离为，，∴V P﹣DBE＝V B＝＝．﹣PDE【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查线面角的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20．如图，P﹣ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF﹣ABC与棱锥P﹣ABC的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）．（1）证明：P﹣ABC为正四面体；（2）若，求二面角D﹣BC﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）；（3）设棱台DEF﹣ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF﹣ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥P﹣ABC的体积减去棱锥P ﹣DEF的体积）．∴tan，则BC与平面BEF所成角的大小为；（3）解：由（1）知，CD⊥平面PAD，则平面PDC⊥平面PAD，在Rt△PA D中，设A到PD的距离为h，则PA?AD＝PD?h，得h＝，∴A到平面PDC的距离为，即B到平面PDC的距离为，，∴V P﹣DBE＝V B＝＝．﹣PDE【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查线面角的求法，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．20．如图，P﹣ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF﹣ABC与棱锥P﹣ABC的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）．（1）证明：P﹣ABC为正四面体；（2）若，求二面角D﹣BC﹣A的大小（结果用反三角函数值表示）；（3）设棱台DEF﹣ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF﹣ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥P﹣ABC的体积减去棱锥P ﹣DEF的体积）．。

上海大学市北附属中学2018学年第二学期期中考试高二数学试卷（2019.4）一、填空题1、设ii z +=3，则z Im =______ 2、已知直线α平面//m ，直线n 在α内，则m 与n 所有可能的位置关系是________3、已知复数22)21()3()31(i i i z --+=，则||z =______ 4、已知R b a ∈,，且i b ai ++,2是实系数一元二次方程02=++q px x 的两个根，则pq =_______5、若1|2|≤-i z ，则复数||z 的取值范围是_________6、正四棱锥ABCD P -的底面边长为1，2=PA ，则顶点P 到底面ABCD 的距离为______7、若一圆柱的侧面积为π6，则经过圆柱的轴的截面积为______8、已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，点P 为线段1BC 上一点，Q 是平面ABCD 上一点，那么PQ P D +1的最小值是______二、 选择题9、0=x 是),(R y x yi x z ∈+=为纯虚数的（ ）A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充要条件D 、不充分且不必要条件10、下列命题中错误的是（ ）A 、过平面α外的一点可以作无数条直线与平面α平行B 、与同一个平面所成角相等的两条直线必平行C 、若直线l 垂直于平面α内的两条相交直线，则直线l 必垂直于平面αD 、垂直于同一个平面的两条直线平行11、若b a 、为非零实数，则以下四个命题都成立： ①01≠+aa ②2222)(b ab a b a ++=+③若||||b a =，则b a ±=④若ab a =2，则b a =则对于任意非零复数b a 、，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4三、解答题12、已知ABC ∆的三边分别是5,4,3===AB BC AC ，以AB 所在直线为轴将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积13、在长方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别是棱AB AA 、1的中点，4==BC AB ，31=AA ，求（1）EF 与11C A 所成的角（2）C A 1与平面ABCD 所成的角14、在复数集中，解方程0||2=+z z 解：0||2=+z z Θ 0)1|(|||0||||2=+=+∴z z z z ，即0,11||0||=≥+=∴z z z 解得）（又0=∴z 方程的解是请你仔细阅读上述解题过程，判断是否有错误，如果有，请指出错误之处，并写出正确的解答过程15、在空间四边形ABCD 中，BCD AB 平面⊥，︒=∠90BCD ，且1==BC AB ，3=BD （1）若AD EF BD CE ⊥⊥,，求证：CEF AD 平面⊥（2）求二面角B AD C --的大小。

交大附中高二期中数学试卷2019.04一. 填空题1. 如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线可确定 个平面2. 已知球的体积为36π，则该主视图的面积等于3. 若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a =4. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线均为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB uuu u r 的坐标为(4,3,2)，则1AC u u u u r 的坐标是5. 若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）6. 已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图，若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则l r= 7. 已知△ABC 三个顶点到平面α的距离分别是3、3、6，则其重心到平面α的距离为 （写出所有可能值）8. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段上1BD 运动，则DC AP ⋅u u u r u u u r 的取值范围是9. 如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，剪去△AOB ，将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以()A B 、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为10. 某三棱锥的三视图如图所示，且这个三角形均为直线三角形，则34x y +的最大值为11. 已知A 、B 、C 、P 为半径R 的球面上的四点，其中AB 、AC 、BC 间的球面距离分别为3R π、2R π、2R π，若OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，其中O 为球心，则x y z ++的最大 值是12. 如图，在四面体ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，过EF 任作一个平面α分别与直线BC 、AD 相交于点G 、H ，则下列结论正确的是① 对于任意的平面α，都有直线GF 、EH 、BD 相交于同一点；② 存在一个平面α，使得点G 在线段BC 上，点H 在线段AD 的延长线上；③ 对于任意的平面α，都有EFG EFH S S =V V ；④ 对于任意的平面α，当G 、H 在线段BC 、AD 上时，几何体AC EFGH -的体积是一个定值.二. 选择题13. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A. 23π B. 423π C. 22π D. 42π 14. 如图，在大小为45°的二面角A EF D --中，四边形ABFE 与CDEF 都是边长为1的正方形，则B 、D 点间的距离是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 32-15. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有 系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也，又以高乘之，三十六成 一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算器体积V 的近似公式2136V L h ≈， 它实际上是将圆锥体积公式的圆周率π近似取3，那么近似公式2272V L h ≈相当于将圆锥体 积公式中的π近似取为（ ）A. 227B. 258C. 15750D. 35511316. 在正方形ABCD A B C D ''''-中，若点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 和AC '所成角为45°的点P 有（ ）A. 6个B. 4个C. 3个D. 2个三. 解答题17. 现有四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是a ，高是b ；2号容器的底面边长是b ，高是a ；3号容器的底面边长是a ，高是a ；4号容器的底面边长是b ，高是b ，假设a b ≠，问是否存在一种必胜的4选2的方案（与a 、b 的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由.18. 如图，已知圆锥底面半径20r cm =，点Q 为半圆弧AC 的中点，点P 为母线SA 的中点，PQ 与SO 所成角为arctan2，求：（1）圆锥的侧面积；（2）P 、Q 两点在圆锥侧面上的最短距离.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，DAB ∠为直角，AB ∥CD ，222AD CD AB PA ====，E 、F 分别为PC 、CD 的中点.（1）求证：CD ⊥平面BEF ；（2）求BC 与平面BEF 所成角的大小；（3）求三棱锥P DBE -的体积.20. 如图，P ABC -是底面边长为1的正三棱锥，D 、E 、F 分别为棱长PA 、PB 、PC 上的点，截面DEF ∥底面ABC ，且棱台DEF ABC -与棱锥P ABC -的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）（1）证明：P ABC -为正四面体；（2）若12PD PA =，求二面角D BC A --的大小（结果用反三角函数值表示）； （3）设棱台DEF ABC -的体积为V ，是否存在体积为V 且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF ABC -有相同的棱长和？若存在，请具体构造这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由.（注：用平行于底的截面截棱锥，该截面与底面之间的部分称为棱台，本题中棱台的体积等于棱锥P ABC -的体积减去棱锥P DEF -的体积）21. 火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳构筑物，建在水源不十分充足的地区的电厂，为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统，以使得冷却容器中排出的热水在其冷却后可重复使用，大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线冷却塔，此类冷却塔多用于内陆缺水电站，其高度一般为75~150米，底边直径65~120米，双曲线型冷却塔比水池式冷却构筑物占地面积小，布置紧凑，水量损失小，且冷却效果不受风力影响；它比机力通风冷却塔维护简便，节约电能；但形体高大，施工复杂，造价较高.（以上知识来自百度，下面题设条件只是为了适合高中知识水平，其中不符合实际请忽略）（1）右下图为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径 大于上底直径，已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100m ，俯视图为 三个同心圆，其半径分别为40m 、60147m 、30m ，试根据上述尺寸计算主视图中该双 曲线的标准方程（m 为长度单位米）.（2）试利用课本中推导球体积的方法，利用圆柱和一个倒放的圆锥，计算封闭曲线： 22221x y a b -=，0y =，y h =，绕y 轴旋转形成的旋转体的体积为________（用a 、b 、h 表 示）（用积分计算不得分）现已知双曲线冷却塔是一个薄壳结构，为计算方便设其内壁所在曲线也为双曲线，其壁最厚为0.4m （底部），最薄处厚度为0.3m （喉部，即左右顶点处），试计算该冷却塔内壳所在的双曲线标准方程是________________，并计算本题中的双曲线冷却塔的建筑体积（内外壳之间）大约是_________3m （计算时π取3.14159，保留到个位即可）（3）冷却塔体型巨大，造价相应高昂，本题只考虑地面以上部分的施工费用（建筑人工和辅助机械）的计算，钢筋土石等建筑材料费用和其他设备等施工费用不在本题计算范围内，超高建筑的施工（含人工辅助机械等）费用随着高度的增加而增加，现已知：距离地面高度30米（含30米）内的建筑，每立方米的施工费用平均为：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工费用为800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工费用增加100元，试计算建造本题中冷却塔的施工费用（精确到万元）.参考答案一. 填空题1. 12. 9π3. 44. (4,3,2)-5. 1arccos 3 6. 7. 0，2，4 8. [0,1]9. 3 10. 11. 3 12. ③④二. 选择题13. B 14. D 15. B 16. C三. 解答题17. 3322a b a b b a +>+，必胜方案为选择3号、4号容器18.（1）600π；（2）19.（1）略；（2）1arctan 2；（3）1320.（1）略；（2）arcsin 3；（3）存在21.（1）2219006300x y -=；（2）23223a h a h b ππ+，221882.096300x y +=，6728；（3）1516。

2019-2020学年上海市上海交通大学附属中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形有（ ）个（1）（2）（3）（4）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】根据直线和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.【详解】（1）如图，连接AC ，易知//AC MN ，//BC NP ，,AC BC C MN NP N ⋂=⋂=,故平面//MNP 平面ABC ，AB Ì平面ABC ，故//AB 平面MNP ，（1）正确；（2）如图，连接AE ，易知//AE NP ，由线面平行的判定定理可得//AE 平面MNP ，若//AB 平面MNP ，则平面//ABE 平面MNP ，故//BE 平面MNP ，不成立，故（2）错误；（3）如图，易知//BE PN ，若//AB 平面MNP ，则平面//ABE 平面MNP ，故//BE 平面MNP ，不成立，故（3）错误；（4）如图，连接EF ，易知//AB EF ，//NP EF ，故//AB NP ，故由线面平行的判定定理可得//AB 平面MNP ，故（4）正确.故选：B .【点睛】本题考查了线面平行，意在考查学生的推断能力和空间想象能力.2．如图两正方形ABCD ，CDFE 所在的平面垂直，将EFC ∆沿着直线FC 旋转一周，则直线EC 与AC 所成角的取值范围是（ ）A ．5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】可证得AF AC CF ==，故3ACF π∠=，4ECF π∠=，当EFC ∆沿着直线FC 旋转一周，CEA ECF FCA ∠≤∠+∠，且CEF ACF ECF ∠≥∠-∠，结合线线角的取值范围即得解.【详解】如下图所示，连接AF ，因为正方形ABCD 和CDFE ，则AD CD ⊥，FD CD ⊥，AD DC DF ==又因为面ABCD ⊥面CDFE ，面ABCD I 面CDFE CD =，则AD ⊥面CDFE ，因此AD DF ⊥.因此222AF AD DF =+，222AC AD DC =+，222CF CD DF =+，则AF AC CF ==， 因此3ACF π∠=因为4ECF π∠=， 则当EFC ∆沿着直线FC 旋转一周，712CEA ECF FCA π∠≤∠+∠= 12CEF ACF ECF π∠≥∠-∠=，当CEF ∠为锐角或直角时，直线EC 和AC 所成角的等于CEF ∠当CEF ∠为钝角时，直线EC 和AC 所成的角等于CEF ∠的补角因此直线EC 和AC 所成的角的取值范围是,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 故选：C .【点睛】本题考查了空间中直线与直线的夹角，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.3．如图，N ，S 是球O 直径的两个端点，圆1C 是经过N 和S 点的大圆，圆2C 和圆3C 分别是所在平面与NS 垂直的大圆和小圆，圆1C ，2C 交于点A ，B ，圆1C ，3C 交于点C ，D ．设a ，b ，c 分别表示圆1C 上劣弧CND 的弧长，圆2C 上半圆弧AB 的弧长，圆3C 上半圆弧CD 的弧长，则a ，b ，c 的大小为（ ）A ．b a c >=B ．b c a =>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】D 【解析】设球的半径为,2(0)2R COD παα∠=<<，求出=2sin ,,sin CD R b R c R αππα==，可得,b c >再根据球面距离的定义可得c a >，得出结论.【详解】 设球的半径为,2(0),2sin 2R COD CD R πααα∠=<<=，则,sin b R c R ππα==，则,b c > a 是圆1C 上劣弧CND 的弧长，而圆1C 是大圆，a 是CD 在球面上距离，c 是圆3C 上半圆弧CD 的弧长， 由球面距离的定义可知c a >，所以b c a >>.故选:D【点睛】本题以球为背景，考查比较弧长大小，以及球面距离的定义，属于中档题.4．三条直线两两异面，有几条直线同时与这三条直线相交（ ）A ．一条B ．两条C ．无数条D ．没有【答案】C【解析】如图所示：正方体1111ABCD A B C D -中，11A B ，BC ，1DD 两两异面，取1DD 上一点P ，则11PA B 确定平面α，使平面α与BC 交于2C ，则2PC 与11A B 必相交，得到答案.【详解】如图所示：正方体1111ABCD A B C D -中，11A B ，BC ，1DD 两两异面，取1DD 上一点P ，则11PA B 确定平面α，使平面α与BC 交于2C ，则2PC 与11A B 必相交，有无穷多个点P 满足条件，故有无穷多条直线.故选：C .【点睛】本题考查了空间中直线的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.二、填空题5．若P l ∈，P α∈，Q l ∈，Q α∉，则直线l 与平面α有_____个公共点；【答案】1【解析】根据已知条件判断出直线l 与平面α相交，由此确定直线l 与平面α的公共点个数.【详解】由于P l ∈，P α∈，所以直线l 与平面α有公共点，而Q l ∈，Q α∉，所以直线l 与平面α相交，故直线l 与平面α的公共点个数为1个.故答案为：1【点睛】本小题主要考查直线和平面的位置关系，属于基础题.6．给出下列命题：①任意三点确定一个平面；②三条平行直线最多可以确定三个个平面；③不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行；④一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；其中说法正确的有_____（填序号）.【答案】②③【解析】对四个选项进行逐一分析即可.【详解】对①：根据公理可知，只有不在同一条直线上的三点才能确定一个平面，故错误； 对②：三条平行线，可以确定平面的个数为1个或者3个，故正确；对③：垂直于同一个平面的两条直线平行，故正确；对④：一个平面中，只有相交的两条直线平行于另一个平面，两平面才平行，故错误. 综上所述，正确的有②③.故答案为：②③.【点睛】本题考查立体几何中的公理、线面平行的判定，属综合基础题.7．若异面直线a ，b 所成的角为70︒，则过空间上任一点P 可做不同的直线与a ，b 所成的角都是55︒，可做直线有______条.【答案】3【解析】将异面直线a ，b 平移过点P ，此时,a b 确定一个平面α，当c α⊂时，有1条直线，当α⊄c 时，有2条直线满足，得到答案.【详解】将异面直线a ，b 平移过点P ，此时,a b 确定一个平面α，当c α⊂时，有1条直线满足所成的角为55︒.当α⊄c 时，根据对称性知有2条直线满足所成的角为55︒.故共有3条直线满足条件.故答案为：3.【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力.8．平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知底面四边形ABCD 为正方形，且113A AB A AD π∠=∠=，其中，设1AB AD ==，1AA c =，体对角线12AC=，则c 的值是______.【答案】13+ 【解析】根据11AC AB AD AA =+-u u u r u u u r u u u r u u u r ，平方得到2224c c +-=，计算得到答案. 【详解】11AC AB AD AA =+-u u u r u u u r u u u r u u u r ， 故2222211111222AC AB AD AA AB AD AA AB AD AA AB AD AA =+-=+++⋅-⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2224c c =+-=，解得31c =+.故答案为：31+.【点睛】本题考查了平行六面体的棱长，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9．如图，在三棱锥A BCD -中，底面是边长为2的正三角形，4AB AC AD ===，且E ，F 分别是BC ，AD 中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为__________．【答案】41015【解析】连结DE ，到DE 中点P ，连结PF 、PC ，则PF ∥AE ，从而∠PFC 是异面直线AE 和CF 所成角的余弦值，由此能求出异面直线AE 和CF 所成角的余弦值.【详解】解：因为三棱锥A −BCD 中，底面是边长为2的正三角形，AB ＝AC ＝AD ＝4， 所以三棱锥A −BCD 为正三棱锥；连结DE ，取DE 中点P ，连结PF 、PC ，∵正三棱锥A −BCD 的侧棱长都等于4，底面正三角形的边长2，点E 、F 分别是棱BC 、AD 的中点，∴PF ∥AE ，∴∠PFC 是异面直线AE 和CF 所成角的余弦值，2222=4115,213AE DE -=-=222161647cos 22448AC AD CD CAF AC AD +-+-∠===⨯⨯⨯⨯， 2274224268CF =+-⨯⨯⨯=， 2211537122PF AE PC ⎛⎫===+= ⎪ ⎪⎝⎭， 157641044cos 15262PFC +-∴∠==⨯⨯∴异面直线AE 和CF 所成角的余弦值为41015. 故答案为：1015. 【点睛】 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，关键是利用线线平行将异面直线所成的角转化为两相交直线所成的角，是中档题.10．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是正方形11BB C C 的中心，M 为11C D 的中点，过1A M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为______. 【答案】26 【解析】确定平面1A MCN 即为平面α，四边形1A MCN 是菱形，计算面积得到答案.【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA ， 则平面1A MCN 即为平面α．证明如下：由正方体的性质可知，1A M NC P ，则1A ，,,M CN N 四点共面， 记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥．连接EF ，则EF MC ⊥， 所以MC ⊥平面DEF ，则DE MC ⊥．同理可证，DE NC ⊥，NC MC C =I ，则DE ⊥平面1A MCN ， 所以平面1A MCN 即平面α，且四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面．因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形，其对角线123AC =，22MN =，所以其面积12223262S =⨯⨯=． 故答案为：26【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1A C 上运动，异面直线BP 与1AD 所成的角为θ，则θ的最小值为______.【答案】30o【解析】设正方体边长为1，如图所示：连接1BC ，1PC ，1A B ，根据对称性知：1PB PC m ==， 计算62PB ∈⎣，23cos 22m θ=≤，得到答案. 【详解】设正方体边长为1，如图所示：连接1BC ，1PC ，1A B ，根据对称性知：1PB PC m ==， 在1Rt A BC V 中，1BC =，12A B =，13AC =，当1PB A C ⊥时，根据等面积法63PB =， 故62PB m =∈⎣， 易知11//AD BC ，故1PBC ∠为异面直线BP 与1AD 所成的角，2223cos 2222m mθ==≤，故30θ≥︒. 故答案为：30°.【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.AE CF，六个顶点任12．如图所示的几何体ABCDEF中，ABCD是平行四边形且//意两点连线能组成异面直线的对数是__________．【答案】39【解析】根据三棱锥的结构特征可得：每个三棱锥中有三对异面直线，因为六个点一共形成C64﹣2＝13个三棱锥（计算三棱锥的个数时应该做到不重不漏），所以得到答案为3（C64﹣2）＝39．【详解】解：由题意可得：因为题中共有六个点，所以一共形成C64﹣2＝13个三棱锥，又因为每个三棱锥中有三对异面直线，所以异面直线的对数是3（C64﹣2）＝39．故答案为39．【点睛】本题把排列组合和立体几何挂起钩来，因此解决此类问题的关键是熟练掌握立体几何中一共几何体的结构特征，并且结合排列与组合的有关知识解决问题．13．直线l在平面α上，直线m平行于平面α，并与直线l异面，动点P在平面α上，且到直线l、m距离相等，则点P的轨迹为______（如：直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线） 【答案】双曲线【解析】如图所示：设直线m 在平面α内的投影为'm ，m 和'm 的距离为d ，得到222PA PB d =+，以l 和'm 的交点为原点，以l 和'm 的角平分线为y 轴建立直角坐标系，化简得到()2214k d xy k+=，得到答案.【详解】如图所示：设直线m 在平面α内的投影为'm ，m 和'm 的距离为d ，作PA l ⊥于A ，'PB m ⊥于B ，BC m ⊥于C ，故2222PA PC PB BC ==+， 即222PA PB d =+，以l 和'm 的交点为原点，以l 和'm 的角平分线为y 轴建立直角坐标系，设(),P x y ，:l y kx =-，':m y kx =，0k >，故()()2222211kx y kx y d kk+-=+++，化简得到：()2214k d xy k+=，故为双曲线.故答案为：双曲线.【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.14．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =，在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1,EFGC P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，2HP 的范围是_______.【答案】11322,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】建立空间直角坐标系,根据P 在11BCC B 内可设出P 点坐标.作'HM BB ⊥,连接PM ,可得222HP HM MP =+.作'PN CC ⊥根据空间中两点间距离公式即可求得2HP 的范围.【详解】根据题意,以D 为原点建立空间直角坐标系如下图所示:作'HM BB ⊥交'BB 于M,连接PM 则HM PM ⊥作'PN CC ⊥交'CC 于N,则PN 即为点P 到平面11CDD C 距离设(),4,P x z ,则()()()1,4,3,4,4,3,0,4,F M N z ()04,04x z ≤≤≤≤ 由题意点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长 所以PN PF =由两点间距离公式可得()()2213x x z =-+-化简得()2213x z -=-,则210x -≥解不等式可得12x ≥综上可得142x ≤≤ 则在Rt HMP ∆中222HP HM MP =+()()222443x z =+-+- ()224421x x =+-+- ()2322x =-+142x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭所以211322,4HP ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 故答案为: 11322,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了空间直角坐标系的综合应用,利用空间两点间距离公式及二次函数求最值,属于难题.15．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC AC a ===，1AA b =，若该三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，且2a b +=，则该球的表面积的最小值为______. 【答案】167π 【解析】如图所示：1O ，2O 分别为111A B C △和ABC V 的中心，易知球心O 为12O O 中点，R =276416412777S a ππ⎡⎤⎛⎫=-+≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，得到答案. 【详解】如图所示：1O ，2O 分别为111A B C △和ABC V 的中心，易知球心O 为12O O 中点，在2Rt AOO △中：2AO =，22b OO =，故R =，故()2222222764164444343412777a a b a S R a πππππ⎛⎫⎡⎤-⎛⎫⎛⎫==+=+=-+≥ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，故该球的表面积的最小值为167π. 当67a =，87b =时等号成立. 故答案为：167π.【点睛】本题考查了三棱柱的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.16．已知异面直线a ，b 所成角为60︒，直线AB 与a ，b 均垂直，且垂足分别是点A ，B ,若动点P a ∈，Q b ∈，PA QB m +=，则线段PQ 中点M 的轨迹围成的区域的面积是_______.【答案】234m . 【解析】线段AB 的中垂面为α，易知M α∈，a 在平面α的投影为'a ，b 在平面α的投影为'b ，设',',a b AB 相交于点O ，M 为''P Q 中点，以O 为原点，'b 为x 轴建立直角坐标系，得到24233y yx m +=，讨论得到答案. 【详解】如图所示：线段AB 的中垂面为α，易知M α∈，a 在平面α的投影为'a ，b 在平面α的投影为'b ，设','.a b AB 相交于点O .Q 在平面α的投影为'Q ，P 在平面α内的投影为P'，连接''P Q ，则M 为''P Q 中点，以O 为原点，'b 为x 轴建立直角坐标系，设(),M x y ，()',0Q q ，13'2P p p ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则243q p x py ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得323p q x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故24233y yx m +=，当3y x ≥，0y ≥时，23x m -=；当3y x ≥，0y <时，23x m --=； 当3y x <，0y ≥时，23x m +=；当3y x <，0y <时，23x m -=. 如图所示，解得,02m G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,02m I ⎛⎫⎪⎝⎭，3,4m m H ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，3,4m m J ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 故面积为21333222444m m m m S m ⎛⎫⎛⎫=⋅++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：234m .【点睛】本题考查了异面直线夹角，轨迹问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三、解答题17．现有四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是a ，高是b ；2号容器的底面边长是b ，高是a ；3号容器的底面边长是a ，高是a ；4号容器的底面边长是b ，高是b .假设a b ¹，问是否存在一种必胜的4选2的方案（与,a b 的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由.【答案】存在，选择3号和4号容器.【解析】分别计算出四个容器的体积，可求得()()233220a b a b b a a b a b +--=+->，从而得到必胜方案，即选择3号和4号容器. 【详解】1号容器体积为：2a b ；2号容器体积为：2b a ；3号容器体积为：3a ；4号容器体积为：3b a b ≠Q()()()()()23322220a b a b b a a b a ab b ab a b a b a b ∴+--=+-+-+=+->∴存在必胜方案，即选择3号和4号容器【点睛】本题考查与棱柱体积有关的计算问题，关键是能够进行因式分解得到恒大于零的式子，从而得到所求方案.18．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1122AB AA BC ===，P ，Q 分别为11B C 与1BB 中点.（1）经过P ，Q 作平面α，平面α与长方体1111ABCD A B C D -六个表面所截的截面可能是n 边形，请根据n 的不同的取值分别作出截面图形形状（每种情况找一个代表类型，例如3n =只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹；（2）若R 为直线AD 上的一点，且2AR =，求过PQR 截面图形的周长. 【答案】（1）见解析；（2）4522【解析】（1）画出截面图得到答案.（2）画出截面图，计算线段长度得到周长. 【详解】 （1）（2）如图所示：,,M N H 分别为111,,AB DD D C 的中点，易知//RN PQ ，确定平面α， 易知////RM NQ HP ，NQ α⊂，P α∈，N α∈，Q α∈，R α∈，故H α∈，M α∈.5PQ NR RM HP ====，2MQ NH ==，故周长为4522+.【点睛】本题考查了长方体的截面问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19．如图，圆锥的顶点是S ，底面中心为O ，OC 是与底面直径AB 垂直的一条半径，D 是母线SC 的中点.（1）求证：BC 与SA 不可能垂直；（2）设圆锥的高为4，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为26，求圆锥的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）163π 【解析】（1）假设BC SA ⊥，得到AB BC ⊥，不成立，得到证明.（2）如图所示：延长CO 与圆交于点E ，连接AE ，D 在底面的投影为OC 中点F ， 易知//BC EA ，故DAE ∠为异面直线AD 与BC 所成角，根据余弦定理解得2r =，计算得到体积. 【详解】（1）假设BC SA ⊥，易知SO ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，故SO BC ⊥， 故BC ⊥平面SOA ，AB Ì平面SOA ，故AB BC ⊥，不成立，故假设不成立.BC 与SA 不可能垂直.（2）如图所示：延长CO 与圆交于点E ，连接AE ，D 在底面的投影为OC 中点F ， 易知//BC EA ，故DAE ∠为异面直线AD 与BC 所成角，设底面半径为r ， 在ADE V 中：2AE r =，2944DE r =+2222544DA OF OA FO r =++=+根据余弦定理：2222cos DE DA AE DA AE DAE =+-⋅∠，计算得到2r =. 故体积211633V r h ππ=⋅=.【点睛】本题考查了线线位置关系，异面直线夹角，体积的计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=o ，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=o ,6AB AC PA ===,,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上．（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ； （Ⅲ）当12PM MD =时，求四棱锥M ECDF -的体积． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）24．【解析】试题分析：（1）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发给予证明，而线线垂直的证明与寻找，往往从两个方面，一是利用面面垂直转化为线面垂直PA ⊥底面ABCD ，再由线面垂直性质定理转化为线线垂直PA EF ⊥，另一是结合平几条件，如本题利用等腰三角形及平行四边形性质得AB AC ⊥（2）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需结合平几条件，如三角形中位线性质得//MF PA ，即得//MF 平面PAB .同理，得//EF 平面PAB ，最后根据线面平行证得面面平行平面//MEF 平面PAB ，再由面面平行得线面平行（3）求四棱锥体积，关键在于确定高，即线面垂直.由PA ⊥底面ABCD ，所以MN ⊥底面ABCD ，所以1166424332M ECDF ECDF V S MN -⨯=⨯⨯=⨯⨯=Y 试题解析：（1）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=o ， 所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥.因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=o ，所以PA ⊥底面ABCD .又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥.又因为PA AC A ⋂=，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC .（2）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点，所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//MF 平面PAB .同理，得//EF 平面PAB ，又因为MF EF F ⋂=，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面PAB ，又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB .（3）在PAD ∆中，过M 作//MN PA 交AD 于点N ， 由12PM MD =，得23MN PA =， 又因为6PA =，所以4MN =，因为PA ⊥底面ABCD ，所以MN ⊥底面ABCD ，所以四棱锥M ECDF -的体积1166424332M ECDF ECDF V S MN -⨯=⨯⨯=⨯⨯=Y .【考点】线面垂直判定与性质定理，面面垂直性质定理，线面平行判定与性质定理，四棱锥体积【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.21．已知梯形ABCD 中，//AD BC ，2ABC BAD π∠=∠=，G 是BC 的中点.24AB BC AD ===，E 、F 分别是AB 、CD 上的动点，且//EF BC ，设AE x =（[]0,4x ∈），沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ，如图.（1）当2x =时，求证：DB EG ⊥；（2）若以B 、C 、D 、F 为顶点的三棱锥的体积记为()f x ，求()f x 的最大值； （3）当()f x 取得最大值时，求二面角D BF C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）83；（3）14 【解析】（1）如图所示：DH EF ⊥于H ，连接,HG HB ，证明DH EG ⊥，EG BH ⊥得到EG ⊥平面DBH ，得到证明.（2）计算得到()()228233x f x --+=，根据二次函数性质得到答案. （3）如图所示：以,,EB EF EA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面BCF 的一个法向量为()10,0,1n =u r ，平面DBF 的一个法向量为()23,2,1n =u u r ，计算向量夹角得到答案.【详解】（1）如图所示：DH EF ⊥于H ，连接,HG HB ，平面AEFD ⊥平面EBCF ，DH EF ⊥，故DH ⊥平面EBCF ，EG ⊂平面EBCF ， 故DH EG ⊥，易知EBGH 为正方形，故EG BH ⊥，BH DH H =I ，故EG ⊥平面DBH ，DB ⊂平面DBH ，故DB EG ⊥.（2）()()()21112844233233D BCF BCF V S x D x x x f H -=⋅=⨯⨯⋅-=-=-+△， 故()()max 823f x f ==. （3）如图所示：以,,EB EF EA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()2,0,0B ，()2,4,0C ，()0,2,2D ，()0,3,0F ，易知平面BCF 的一个法向量为()10,0,1n =u r ，设平面DBF 的一个法向量为()2,,n x y z =u u r ，则2200n BF n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u v u u u v u u v u u u v ，即23020x y y z -+=⎧⎨-=⎩， 取2y =，得到()23,2,1n =u u r ，故12121214cos ,n n n n n n ⋅==⋅u r u u r u r u u r u r u u r ， 观察知二面角D BF C --的平面角为钝角，故余弦值为14-.【点睛】本题考查了线线垂直，体积的最值，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.。

上海交通大学附属中学2018-2019学年度第二学期高二数学期中考试试卷（满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）命题：刘亚丽审核：杨逸峰一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）1、如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共可确定个平面．答案：12、【2017高考上海，4】已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于.【答案】9π【解析】设球的半径为R ，则：34363R ππ=，解得：3R =，该球的主视图是一个半径为3的圆，其面积为：29S R ππ==.3、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为a =．【答案】4【解析】236444a a a ⋅=⇒=⇒=4、【2017高考上海，7】如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.若1DB 的坐标为()4,3,2，则1AC的坐标是.【答案】()4,3,2-【解析】将向量1AC的起点平移至点D ，则平移后的向量与向量1DB 关于平面11CDD C 对称，据此可得：()14,3,2AC =-.5、【2014上海,理6】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】1arccos3.6、【2013上海文10】已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则l r＝______.【解析】由题知，tan63r l π==⇒l r =.7、已知ABC ∆三个顶点到平面α的距离分别是3，3，6，则其重心到平面α的距离为__________（写出所有可能值）答案：0，2，4。

8、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段1BD 上运动,则DC AP ⋅的取值范围是______________．【答案】【解析】试题分析：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．则、、、、．∴、．∵点在线段上运动，∴，且．，，故答案为．9、【2010上海理12，倒数第3题】如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，剪去AOB ∆，将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A （B ）、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为________；【答案】3【解析】在折叠过程中OC OB ⊥，OD OA ⊥始终没有改变，所以最后形成的四面体()A B CDO -中，OA ⊥底面CDO ，故其体积21182(22)22323V =⨯⨯⨯=，故答案为：823.10、某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则34x y +的最大值为．【答案】55试题分析：由图可知，根据三视图得到三棱锥OABC 如图，OC=2，AC=y，BC=1，在OAC Rt ∆中，24y OA -=，2225y BC OA x -=+=，即522=+y x ，三角换元（或者称利用圆的参数方程）设5cos ,5sin x y θθ==，故3455cos()55x y θϕ+=+≤。

2018-2019学年上海市宝山区行知实验中学高二下学期期中数学试题一、单选题1．对于平面α和共面直线,m n ，下列命题是真命题的是（ ） A.若,m n 与α所成的角相等，则//m n B.若//,//m n αα，则//m n C.若,m m n α⊥⊥，则//n α D.若,//m n αα⊂，则//m n 【答案】D【解析】根据相交的情况排除A ，B ，n 在平面α内时排除C ，根据线面平行性质得到D 正确，得到答. 【详解】A. 若,m n 与α所成的角相等，则//m n ，,m n 可以是相交的情况，错误B. 若//,//m n αα，则//m n ，,m n 可以是相交的情况，错误C. 若,m m n α⊥⊥，则//n α，n 可能在平面α内，错误D. 若,//m n αα⊂，则//m n ，因为共面直线,m n ，根据线面平行性质得到//m n ，正确 故选：D 【点睛】本题考查了直线和平面的关系，意在考查学生对于直线平面的基础概念的理解. 2．一个正方体的内切球的表面积是4π，则这个正方体的体积为（ ） A.4 B.6C.8D.1【答案】C【解析】先计算球半径，根据关系得到正方体的棱长，计算得到答案. 【详解】2441S R R ππ==∴=，正方体棱长为22a R ==故体积38V a == 故选：C本题考查了内切球问题，抓住半径与边长的关系是解题的关键.3．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，O 是底面1111D C B A 的中心，则O 到平面11ABC D 的距离是（ ）A.12【答案】B 【解析】【详解】根据正方体的特征，易知O 是线段11A C 的中点，所以O 到平面11ABC D 的距离是点1A 到平面11ABC D 即平面1ABC 的距离的一半. 又因为1111C A AB A ABC V V --=即1111111133A AB ABC A ABC S C B S h ∆∆-⨯⨯=⨯⨯1111111111111111111132323232A ABC A ABC A A AB BC AB BC h h --⇒⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⇒⨯⨯⨯⨯=⨯⨯所以112A ABC h -=，所以O 到平面11ABC D 的距离是点1A 到平面11ABC D 的一半，为1112A ABC h -=B. 4．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数有（ ） A.144个 B.120个C.96个D.72个【答案】B【解析】分类讨论首位数为4或5两种情况计算得到答案. 【详解】当首位为4时：末位可选择数为122C =，剩余中间3位3424A =，故共有48个 当首位为5时：末位可选择数为133C =，剩余中间3位3424A =，故共有72个综上所述：共有120个比40000大的偶数【点睛】本题考查了排列组合的应用，分类讨论是一个常用的方法，需要同学们熟练掌握.二、填空题5．若一个球的半径为，则它的体积为．【答案】【解析】试题分析：根据球的体积公式可知该球的体积为【考点】本小题主要考查球的体积公式的应用，考查学生的运算求解能力.点评：球的体积公式和表面积公式应该掌握，熟练应用.6．“两条直线没有公共点”是“两条直线是异面直线”的__________条件．【答案】必要不充分【解析】两条直线没有公共点，得到异面或者平行，异面可以得到没有交点，得到答案. 【详解】两条直线没有公共点，则两条直线平行或者异面两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点“两条直线没有公共点”是“两条直线是异面直线”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分【点睛】本题考查了充分必要条件，属于基础题型.7．5个人站成一排，甲必须站在中间，共有______种不同的排法（用数字作答）．【答案】24【解析】直接确定甲的位置，剩下4个全排列得到答案.【详解】5个人站成一排，甲必须站在中间，则共有4424A=种不同的排法故答案为：24【点睛】本题考查了排列，意在考查学生的理解能力.8．二项式92x⎫⎪⎭的展开式中，各项系数之和为_______．【答案】1-【解析】直接取1x =计算得到答案. 【详解】二项式92x ⎫⎪⎭的展开式中，各项系数之和为1x =时的值即9121⎫⎪⎭=- 故答案为：1- 【点睛】本题考查了二项式的系数和，意在考查学生的计算能力.9．一个边长为2的正方形，用斜二测画法得到的直观图的面积为_______．【解析】直接利用直观图和原图的面积关系得到答案. 【详解】'444S S ==⨯=【点睛】本题考查了斜二测画法的计算，抓住前后面积的关系是解题的关键.10．圆锥的侧面积是底面积的2倍，则它的母线与轴所成角的大小为______． 【答案】6π【解析】根据面积关系得到2l R =，再通过三角函数关系计算夹角. 【详解】设底面半径为R ，母线长为l ，则212222R l R l R ππ⨯⨯=⨯∴= 故母线与轴所成角θ满足1sin 26R l πθθ==∴=故答案为：6π【点睛】本题考查了圆锥的夹角关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 11．将边长为2的正方形卷成一个圆柱的侧面，所得圆柱的体积为______． 【答案】2π【解析】先计算底面积，再计算体积.【详解】122R R ππ=∴=22122V R h ππππ=⨯=⨯⨯=故答案为：2π【点睛】本题考查了圆柱的体积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.12．正四棱锥的底面边长为2，侧面与底面成角为45︒，则它的表面积为_____．【答案】4【解析】先证明PGO ∠为侧面与底面成角的平面角，再利用边角关系计算表面积. 【详解】如图所示：PO ⊥平面ABCD ，G 为AD 中点，连接,PG OG 易知：,AD PG AD OG ⊥⊥，故PGO ∠为侧面与底面成角的平面角则1,PO GO PG ===14422242PAD ABCD S S S ∆=+=⨯⨯⨯=故答案为：4【点睛】本题考查了表面积的计算，找到二面角的平面角是解题的关键.13．某旅游团要从8个景点中选两个作为当天上午的游览地，若甲、乙两个景点中至少要选一个，不考虑游览顺序，共有_____种游览选择（用数字作答）． 【答案】13【解析】利用排除法计算得到答案. 【详解】从8个景点中选两个作为当天上午的游览地，若甲、乙两个景点中至少要选一个共有2286281513C C -=-=故答案为：13 【点睛】本题考查了组合的应用，也可以利用分类讨论的方法得到答案.14．点P 为直三棱柱111ABC A B C -的侧棱1AA 上的一个动点，若四棱锥11P BCC B -的体积为V ，则三棱柱111ABC A B C -的体积为_____． 【答案】32V 【解析】根据平行得到1111P BCC B A BCC B V V --=将体积转化为111111113A ABC A BCC B V V V V V --=+=+，计算得到答案【详解】设三棱柱111ABC A B C -的体积为1V在三棱柱111ABC A B C -中，因为1AA ‖平面11BCC B ，且点P 在1AA 上 所以1111P BCC B A BCC B V V --=又因为111111113A ABC A BCC B V V V V V --=+=+解得132V V = 故答案为：32V 【点睛】本题主要考查空间几何体的体积和点、直线、平面的位置关系，主要考查了学生的转化思想.15．长方体1111ABCD A B C D -的八个顶点均在同一个球面上，12,AB BC AA ===，则,A B 两点间的球面距离为______．【答案】2，再计算夹角为2π，利用球面距离公式计算得到答案.【详解】 如图所示：R ===设球心为O ，在ABO ∆中：2OA OB AB ===则2222AB OA OB AOB π=+∴∠=球面距离为：22R π=故答案为：2【点睛】本题考查了外接球问题，计算球半径是解题的关键.16．若三棱锥P ABC -中，PA x =，其余各棱长均为2，则三棱锥P ABC -体积的最大值为______． 【答案】1【解析】取BC 中点D ，连接,AD PD ，得到P ABC V PD -≤，计算得到答案. 【详解】如图所示：取BC 中点D ，连接,AD PD ，则,BC PD BC AD ⊥⊥易知：PD AD ==11333P ABC ABC V S h h PD -∆=⨯=≤=当PD ⊥平面ABC 时，等号成立，此时x =故答案为：1 【点睛】本题考查了体积的最值，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.三、解答题17．解方程（1）421010x C C +=； （2）4321126n n P P +=.【答案】（1）2x =或4x =；（2）4n =【解析】（1）根据421010x C C +=得到24x +=或26x +=，计算得到答案； （2）4321126n n P P +=根据排列公式计算得到答案.【详解】（1）421010x C C +=则24x +=或26x +=，解得2x =或4x =（2）4321126n n P P +=，即(21)(2)(21)(22)126(1)(2)n n n n n n n +--=--化简得到：28631240n n -+=，解得4n =或318n =（舍去） 【点睛】本题考查了解关于排列的方程，漏解是容易发生的错误，意在考查学生的计算能力.18．在二项式12x⎛⎝的展开式中，求（1）第5项; （2）常数项.【答案】（1）6495x ；（2）495【解析】（1）利用二项式定理计算得到答案. （2）利用二项式定理计算得到答案. 【详解】（1）31212211212r r r rr r T C x C x --+== 取4r =得到3124462512495T C x x -⨯== （2）根据（1）知：3122112rr r T C x-+=，取8r =得到312882912495T C x-⨯==【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.19．正三棱锥P ABC -的底面边长为2，侧棱长为3，E 为AB 的中点.（1）求异面直线PE 与BC 所成角的大小; （2）求该三棱锥的体积.【答案】（1）arccos8；（2）3【解析】（1）取AC 中点D ，连接,PD ED ，得到ED BC ‖，利用余弦定理计算得到答案.（2）先计算三棱锥的高，再利用三棱锥体积公式计算得到答案. 【详解】（1）如图所示：取AC 中点D ，连接,PD EDD 为AC 中点，E 为AB 的中点，则EDBC ‖， 异面直线PE 与BC 所成角的大小为PED ∠在PED ∆中：11,2ED AB PE PD ====则根据余弦定理得到：2222cos PD PE ED PE ED PED =+-⋅∠代入数据计算得到：cos PED PED ∠== （2）如图所示：P 在平面ABC 的投影为ABC ∆的中心O 点.233AO AE ==，2223PA PO OA PO =+∴=111233233ABC V S h ∆=⨯=⨯⨯=【点睛】本题考查了异面直线夹角，体积，确定顶点的投影位置是解题的关键.20．已知圆锥的底面半径为8，点Q 为半圆弧AC 的中点，点P 为母线SA 的中点（1）若母线长为10，求圆锥的体积;（2）若PQ 与SO 所成角为arctan 2，求,P Q 两点在圆锥侧面上的最短距离.【答案】（1）128π；（2）【解析】（1）利用勾股定理得到6SO =，代入体积公式计算得到答案.（2）根据夹角计算12SA =，把圆锥展开得到圆心角为43π，再利用余弦定理得到答案.【详解】（1）圆锥的底面半径为8, 母线长为10,根据勾股定理得到： 222SO AO SA += 解得6SO =22118612833V R h πππ==⨯= （2）如图所示：M 为AO 中点，连接,PM QMP 为母线SA 的中点，M 为AO 中点，则PM SO ‖，PQ 与SO 所成角为QPM ∠tan 2,QM QPM QM PM SO PM∠=====故22214412SA SO AO SA =+=∴=将圆锥沿SA 展开得到侧面平面图：对应圆心角为β42812343ASQ πβππββ⨯=∴=∴∠== 在SPQ ∆中，利用余弦定理得到：2222cos 108PQ SP SQ SP SQ ASQ PQ =+-⋅∠=∴=故最短距离为【点睛】本题考查了圆锥体积，最短距离，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 21．直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,90AB AC AA BAC ===∠=︒（1）求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小;（2）求直线11B C 与平面11A BC 所成角的大小;（3）在线段1BC 上是否存在点D ，使得1AD A B ⊥？若存在，求出1BD BC 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）12arcsin 25；（3）存在，925 【解析】（1）如图所示建立空间直角坐标系，得到各点坐标，计算向量11,A B B C 夹角得到答案.（2）先计算平面11A BC 的法向量为(4,0,3)n =，再计算法向量与向量的夹角得到答案. （3）假设存在，设1(33,4,4)BC B D D λλλλ∴=-，根据垂直关系计算得到答案.【详解】（1）如图所示，以AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系 则111(0,0,0),(3,0,0),(0,4,0),(0,0,4),(3,0,4),(0,4,4)A B C A B C11(3,0,4),(3,4,4)A B BC =-=-- 1111cos A B B C A B BC ϕ⋅=，计算得到：cos ϕϕ== 异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为arccos205 （2）设平面11A BC 的法向量为(,,)n x y z =则1110;340n AC y n A B x z ⊥∴=⊥∴-=，取3z = 得到(4,0,3)n = 11(3,4,0)BC =-，111112cos cos 25B n n C B C αα=∴=-⋅ 直线11B C 与平面11A BC 所成角满足12sin cos 25βα==故夹角为12arcsin 25（3）假设存在，设1(33,4,4)BC B D D λλλλ∴=-19(33,4,4)(3,0,4)9916025AD A B λλλλλλ-⋅-=--=∴=⊥∴ 故存在，此时1925BD BC = 【点睛】 本题考查了异面直线夹角，线面夹角，垂直关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.。

2018-2019学年上海市上海交通大学附属中学高二月考数学试题及答案一、单选题1．在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A【解析】试题分析：选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．B,C,D四个命题是平面性质的三个公理，所以选A．【考点】点，线，面的位置关系．2．(2017·吉安二模)若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c()A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．一定垂直【答案】D【解析】两条平行线中一条与第三条直线垂直，另一条直线也与第三条直线垂直， 故选D.3．在四边形()()1,2,4,2,ABCD AC BD ==-中，则该四边形的面积为（ ）A ．5B ．25C ．5D ．10【答案】C【解析】注意到两向量的纵坐标都为2，所以借助坐标系如图，1(14)*252S =+=.或者注意到·0AC BD =分为四个小直角三角形算面积.【考点定位】本题的处理方法主要是向量的平移，所以向量只要能合理的转化还是属于容易题. 4．已知动点P 的横坐标x 、纵坐标y 满足：①cos sin 1()x y R ααα+=∈；②224x y +≤，那么当α变化时，点P 形成的图形的面积为（ ） A ．π B ．3π C ．4π D ．4π-【答案】B【解析】根据方程cos sin 1x y αα+=表示单位圆的切线，可知P 点形成的图形为圆环，由两圆面积作差可求得结果.【详解】方程cos sin 1x y αα+=表示单位圆的切线P ∴形成的区域为222214x y x y ⎧+≥⎨+≤⎩构成的圆环 ∴区域面积43S πππ=-=故选：B 【点睛】本题考查动点轨迹形成区域面积的求解问题，关键是能够通过动点满足条件，准确找到所构成的平面区域.二、填空题5．复数23i +（i 是虚数单位）的模是__________． 【答案】13【解析】根据复数模长的定义直接求解即可得到结果. 【详解】22232313i +=+=故答案为：13【点睛】本题考查复数的模的求解，属于基础题.6．在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为_______.【答案】3π【解析】试题分析：将1B C 平移到1A D 的位置，所以异面直线所成角转化为1BA D ∠，由于1BA D ∆是正三角形，所以13BA D π∠=【考点】异面直线所成角7．已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB 方向相同的单位向量的坐标为____________. 【答案】34(,)55-【解析】∵点()1,3A ，()4,1B -， ∴()3,4AB =-，可得235AB ==，因此，与向量AB 同方向的单位向量为：()1343,4,555AB e AB⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭故答案为：34,55⎛⎫-⎪⎝⎭8．以双曲线22145x y -=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_____．【答案】22195x y +=【解析】本题首先可以确定双曲线的焦点、顶点坐标，然后通过题意可以确定椭圆的顶点、焦点坐标，最后通过椭圆的相关性质即可求椭圆的方程。

2019学年上海市交大附中高二（下）期中数学试卷一、填空题1．（3分）如果一条直线与两条直线都相交，这三条直线共可确定个平面．2．（3分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．3．（3分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a＝．4．（3分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是．5．（3分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）．6．（3分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则＝．7．（3分）已知△ABC三个顶点到平面α的距离分别是3，3，6，则其重心到平面α的距离为（写出所有可能值）8．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是．9．（3分）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为．10．（3分）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则3x+4y的最大值为11．（3分）已知A、B、C、P为半径为R的球面上的四点，其中AB、AC、BC间的球面距离分别为、、，若，其中O为球心，则x+y+z的最大值是12．（3分）如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面α分别与直线BC，AD相交于点G，H，则下列结论正确的是．①对于任意的平面α，都有直线GF，EH，BD相交于同一点；②存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③对于任意的平面α，都有S△EFG＝S△EFH；④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，几何体AC﹣EGFH的体积是一个定值．二、选择题13．（3分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．2πD．4π14．（3分）如图，在大小为45°的二面角A﹣EF﹣D中，四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，则B与D两点间的距离是（）A．B．C．1D．15．（3分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．16．（3分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与AC′所成的角为45°的点P的个数为（）A．0B．3C．4D．6二、解答题17．现在四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是a，高是b；2号容器的底面边长是b，高是a；3号容器的底面边长是a，高是a；4号容器的底面边长是b，高是b．假设a≠b，问是否存在一种必胜的4选2的方案（与a、b的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由18．如图，已知圆锥底面半径r＝20cm，O为底面圆圆心，点Q为半圆弧的中点，点P 为母线SA的中点，PQ与SO所成的角为arctan2，求：（1）圆锥的侧面积；（2）P，Q两点在圆锥侧面上的最短距离．。

上海市交通大学附属中学高二数学下学期期中试卷新人教A 版注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（题型注释）1．已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.平面α与β外的直线l 满足,l m l n ⊥⊥,则（ ）A ．βα//,且α//lB ．βα⊥,且β⊥lC ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交,且交线平行于l 【答案】D 【解析】试题分析：若βα//，由⊥m 平面α,⊥n 平面β得n m //，与n m ,为异面直线相矛盾，A 错；若βα⊥,且β⊥l 结合条件则β⊂l 或β//l ，B 错；若α与β相交结合条件可证交线平行于l ，故选D 。

考点：（1）线面平行、面面平行性质及判定定理的应用；（2）面面垂直性质及判定定理的应用。

2．如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 （ ）A ．35003cm πB ．38663cm πC ．313723cm π D ．320483cm π【答案】A【解析】试题分析：设球的半径为r ，由球的截面性质得2216)2(r r =+-，解得5=r ，故球的体积为ππ35005343=⨯⨯。

考点：（1）球的截面性质；（2）球的体积公式。

3．三个人乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少有2人上了同一车厢的概率为（ ） A ．20029 B ．257 C ．27100D ．187 【答案】B 【解析】试题分析：这是一个古典概型，每个人选车厢有10种情况，则基本事件总数有310101010=⨯⨯种，2人上了同一车厢有270911023=⨯⨯C C ，3人上了同一车厢有10种情况，故至少有2人上了同一车厢的概率为257102803=。

宝山区一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题一、选择题1． 已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）﹣g （x ）=x 3﹣2x 2，则f （2）+g （2）=（ ） A ．16B ．﹣16C ．8D ．﹣82． 某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（ ）A ．13πB ．16πC ．25πD ．27π3． 已知向量(,2)a m =，(1,)b n =-（0n >），且0a b ⋅=，点(,)P m n 在圆225x y +=上，则|2|a b +=（ ）AB ． C． D．4．定义行列式运算：．若将函数的图象向左平移m（m ＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m 的最小值是（ ） A．B．C．D．5． 若定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意x 1，x 2∈R 有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）+1，则下列说法一定正确的是（ ） A ．f （x ）为奇函数 B ．f （x ）为偶函数C ．f （x ）+1为奇函数D ．f （x ）+1为偶函数6． 实数x ，y满足不等式组，则下列点中不能使u=2x+y 取得最大值的是（ ）A ．（1，1）B ．（0，3） C．（，2） D．（，0）7． 若函数f （x ）的定义域为R ，则“函数f （x ）是奇函数”是“f （0）=0”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8． 在等差数列{a n }中，3（a 3+a 5）+2（a 7+a 10+a 13）=24，则此数列前13项的和是（ ）A ．13B ．26C ．52D ．56班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________9． 已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足11122n n n a a +=+，则此数列的第4项是（ ） A ．1 B ．12 C. 34 D ．5810．在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）表示的区域面积等于， 则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．11．设x ，y ∈R ，且满足，则x+y=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．已知集合M={x|x 2＜1}，N={x|x ＞0}，则M ∩N=（ ）A ．∅B ．{x|x ＞0}C ．{x|x ＜1}D ．{x|0＜x ＜1}可．二、填空题13．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】函数()21ln 2f x x x =-的单调递减区间为__________.14．已知函数为定义在区间[﹣2a ，3a ﹣1]上的奇函数，则a+b= ．15．已知函数)(x f 的定义域R ，直线1=x 和2=x 是曲线)(x f y =的对称轴，且1)0(=f ，则=+)10()4(f f ．16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．若C=，则= ．17．（﹣）5的展开式的常数项为 （用数字作答）．18．若直线y ﹣kx ﹣1=0（k ∈R ）与椭圆恒有公共点，则m 的取值范围是 ．三、解答题19．已知向量=（，1），=（cos ，），记f （x ）=．（1）求函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数y=f （x ）的图象向右平移个单位得到y=g （x ）的图象，讨论函数y=g （x ）﹣k 在的零点个数．20．设集合{}()(){}222|320,|2150A x x x B x x a x a =-+==+-+-=.（1）若{}2A B =,求实数的值；（2）A B A =,求实数的取值范围.1111]21．武汉市为增强市民交通安全意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示． （1）分别求第3，4，5组的频率；（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．22．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （﹣1，1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于﹣．（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．23．永泰青云山特产经营店销售某种品牌蜜饯，蜜饯每盒进价为8元，预计这种蜜饯以每盒20元的价格销售时该店一天可销售20盒，经过市场调研发现每盒蜜饯的销售价格在每盒20元的基础上每减少一元则增加销售4盒，每增加一元则减少销售1盒，现设每盒蜜饯的销售价格为x元．（1）写出该特产店一天内销售这种蜜饯所获得的利润y（元）与每盒蜜饯的销售价格x的函数关系式；（2）当每盒蜜饯销售价格x为多少时，该特产店一天内利润y（元）最大，并求出这个最大值．24．根据下列条件，求圆的方程：（1）过点A（1，1），B（﹣1，3）且面积最小；（2）圆心在直线2x﹣y﹣7=0上且与y轴交于点A（0，﹣4），B（0，﹣2）．宝山区一中2018-2019学年下学期高二期中数学模拟题（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：∵f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x3﹣2x2，∴f（﹣2）﹣g（﹣2）=（﹣2）3﹣2×（﹣2）2=﹣16．即f（2）+g（2）=f（﹣2）﹣g（﹣2）=﹣16．故选：B．【点评】本题考查函数的奇函数的性质函数值的求法，考查计算能力．2．【答案】C【解析】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2．则长方体外接球半径为r，则2r==5．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．故选C．【点评】本题考查了长方体的三视图，长方体与外接球的关系，属于中档题．3．【答案】A【解析】考点：1、向量的模及平面向量数量积的运算；2、点和圆的位置关系.4．【答案】C【解析】解：由定义的行列式运算，得====．将函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，所得图象对应的函数解析式为．由该函数为奇函数，得，所以，则m=．当k=0时，m有最小值．故选C．【点评】本题考查了二阶行列式与矩阵，考查了函数y=Asin（ωx+Φ）的图象变换，三角函数图象平移的原则是“左加右减，上加下减”，属中档题．5．【答案】C【解析】解：∵对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，∴令x1=x2=0，得f（0）=﹣1∴令x1=x，x2=﹣x，得f（0）=f（x）+f（﹣x）+1，∴f（x）+1=﹣f（﹣x）﹣1=﹣[f（﹣x）+1]，∴f（x）+1为奇函数．故选C【点评】本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．6．【答案】D【解析】解：由题意作出其平面区域，将u=2x+y化为y=﹣2x+u，u相当于直线y=﹣2x+u的纵截距，故由图象可知，使u=2x+y取得最大值的点在直线y=3﹣2x上且在阴影区域内，故（1，1），（0，3），（，2）成立，而点（，0）在直线y=3﹣2x上但不在阴影区域内，故不成立；故选D．【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意点在阴影区域内；属于中档题．7．【答案】A【解析】解：由奇函数的定义可知：若f（x）为奇函数，则任意x都有f（﹣x）=﹣f（x），取x=0，可得f（0）=0；而仅由f（0）=0不能推得f（x）为奇函数，比如f（x）=x2，显然满足f（0）=0，但f（x）为偶函数．由充要条件的定义可得：“函数f（x）是奇函数”是“f（0）=0””的充分不必要条件．故选：A．8．【答案】B【解析】解：由等差数列的性质可得：a3+a5=2a4，a7+a13=2a10，代入已知可得3×2a4+2×3a10=24，即a4+a10=4，故数列的前13项之和S13====26故选B【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，涉及整体代入的思想，属中档题．9．【答案】B【解析】10．【答案】B【解析】【知识点】线性规划【试题解析】作可行域：由题知：所以故答案为：B11．【答案】D【解析】解：∵（x﹣2）3+2x+sin（x﹣2）=2，∴（x﹣2）3+2（x﹣2）+sin（x﹣2）=2﹣4=﹣2，∵（y﹣2）3+2y+sin（y﹣2）=6，∴（y﹣2）3+2（y﹣2）+sin（y﹣2）=6﹣4=2，设f（t）=t3+2t+sint，则f（t）为奇函数，且f'（t）=3t2+2+cost＞0，即函数f（t）单调递增．由题意可知f（x﹣2）=﹣2，f（y﹣2）=2，即f（x﹣2）+f（y﹣2）=2﹣2=0，即f（x﹣2）=﹣f（y﹣2）=f（2﹣y），∵函数f（t）单调递增∴x﹣2=2﹣y，即x+y=4，故选：D．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用条件构造函数f（t）是解决本题的关键，综合考查了函数的性质．12．【答案】D【解析】解：由已知M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x＞0}，则M∩N={x|0＜x＜1}，故选D．【点评】此题是基础题．本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，二、填空题0,113．【答案】()【解析】14．【答案】2．【解析】解：∵f （x ）是定义在[﹣2a ，3a ﹣1]上奇函数， ∴定义域关于原点对称， 即﹣2a+3a ﹣1=0， ∴a=1，∵函数为奇函数，∴f （﹣x ）==﹣，即b •2x ﹣1=﹣b+2x，∴b=1． 即a+b=2， 故答案为：2．15．【答案】2【解析】直线1=x 和2=x 是曲线)(x f y =的对称轴， ∴(2)()f x f x -=，(4)()f x f x -=，∴(2)(4)f x f x -=-，∴)(x f y =的周期2T =． ∴(4)(10)(0)(0)2f f f f +=+=．16．【答案】=．【解析】解：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，∴sinAsinB+sinBsinC=2sin 2B ．再由正弦定理可得 ab+bc=2b 2，即 a+c=2b ，故a ，b ，c 成等差数列．C=，由a ，b ，c 成等差数列可得c=2b ﹣a ， 由余弦定理可得 （2b ﹣a ）2=a 2+b 2﹣2abcosC=a 2+b 2+ab ．化简可得 5ab=3b 2，∴ =．故答案为：．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．17．【答案】 ﹣10【解析】解：由于（﹣）5展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣1）r •，令15﹣5r=0，解得r=3，故展开式的常数项是﹣10，故答案为：﹣10．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．18．【答案】[1，5）∪（5，+∞）．【解析】解：整理直线方程得y﹣1=kx，∴直线恒过（0，1）点，因此只需要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上即可，由于该点在y轴上，而该椭圆关于原点对称，故只需要令x=0有5y2=5m得到y2=m要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上，则y≥1即是y2≥1得到m≥1∵椭圆方程中，m≠5m的范围是[1，5）∪（5，+∞）故答案为[1，5）∪（5，+∞）【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．本题采用了数形结合的方法，解决问题较为直观．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）∵向量=（，1），=（cos，），记f（x）=．∴f（x）=cos+=sin+cos+=sin（+）+，∴最小正周期T==4π，2kπ﹣≤+≤2kπ+，则4kπ﹣≤x≤4kπ+，k∈Z．故函数f（x）的单调递增区间是[4kπ﹣，4kπ+]，k∈Z；（2））∵将函数y=f（x）=sin（+）+的图象向右平移个单位得到函数解析式为：y=g（x）=sin[（x﹣+）]+=sin（﹣）+，∴则y=g（x）﹣k=sin（x﹣）+﹣k，∵x∈[0，]，可得：﹣≤x﹣≤π，∴﹣≤sin（x﹣）≤1，∴0≤sin（x﹣）+≤，∴若函数y=g （x ）﹣k 在[0，]上有零点，则函数y=g （x ）的图象与直线y=k 在[0，]上有交点，∴实数k 的取值范围是[0，]．∴当k ＜0或k＞时，函数y=g （x ）﹣k在的零点个数是0；当0≤k ＜1时，函数y=g （x ）﹣k在的零点个数是2；当k=0或k=时，函数y=g （x ）﹣k在的零点个数是1．【点评】本题是中档题，考查向量的数量积的应用，三角函数的化简求值，函数的单调增区间的求法，函数零点的判断方法，考查计算能力．20．【答案】（1）1a =或5a =-；（2）3a >． 【解析】（2）{}{}1,2,1,2A A B == .①()()22,2150B x a x a =∅+-+-=无实根,0∆<, 解得3a >; ② B 中只含有一个元素，()()222150x a x a +-+-=仅有一个实根,{}{}0,3,2,2,1,2a B A B ∆===-=-故舍去;③B 中只含有两个元素，使 ()()222150x a x a +-+-= 两个实根为和,需要满足()2212121=a 5a ⎧+=--⎪⎨⨯-⎪⎩方程组无根，故舍去, 综上所述3a >]考点：集合的运算及其应用. 21．【答案】【解析】解：（1）由题意可知第3组的频率为0.06×5=0.3，第4组的频率为0.04×5=0.2，第5组的频率为0.02×5=0.1；（2）第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10；因为第3，4，5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组=3；第4组=2；第5组=1；应从第3，4，5组各抽取3，2，1名志愿者．（3）记第3组3名志愿者为1，2，3；第4组2名志愿者为4，5；第5组1名志愿者为6；在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）；共有15种，第4组2名志愿者为4，5；至少有一名志愿者被抽中共有9种，所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为．【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，频率分布直方图，考查计算能力．22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）因为点B与A（﹣1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，﹣1）．设点P的坐标为（x，y）化简得x2+3y2=4（x≠±1）．故动点P轨迹方程为x2+3y2=4（x≠±1）（Ⅱ）解：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0）则．因为sin∠APB=sin∠MPN，所以所以=即（3﹣x0）2=|x02﹣1|，解得因为x02+3y02=4，所以故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为．【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题．23．【答案】【解析】解：（1）当0＜x≤20时，y=[20+4（20﹣x）]（x﹣8）=﹣4x2+132x﹣800，当20＜x＜40时，y=[20﹣（x﹣20）]（x﹣8）=﹣x2+48x﹣320，∴（2）①当，∴当x=16.5时，y取得最大值为289，②当20＜x＜40时，y=﹣（x﹣24）2+256，∴当x=24时，y取得最大值256，综上所述，当蜜饯价格是16.5元时，该特产店一天的利润最大，最大值为289元．24．【答案】【解析】解：（1）过A、B两点且面积最小的圆就是以线段AB为直径的圆，∴圆心坐标为（0，2），半径r=|AB|==×=，∴所求圆的方程为x2+（y﹣2）2=2；（2）由圆与y轴交于点A（0，﹣4），B（0，﹣2）可知，圆心在直线y=﹣3上，由，解得，∴圆心坐标为（2，﹣3），半径r=，∴所求圆的方程为（x﹣2）2+（y+3）2=5．。

上海市宝山区交大附中2018-2019学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、填空题：本大题共12个小题,满分54分. 将答案填在答题纸上1.如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共可确定_________个平面.【答案】1【解析】【分析】两条平行直线确定1个平面，根据两点在平面上可知直线也在平面上，从而得到结果. 【详解】两条平行直线可确定1个平面Q 直线与两条平行直线交于不同的两点 ∴该直线也位于该平面上∴这三条直线可确定1个平面本题正确结果：1【点睛】本题考查空间中直线与平面的关系，属于基础题.2.已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于________【答案】9π【解析】 由球的体积公式，可得34363r ππ=，则3r =，所以主视图的面积为239S ππ=⨯=. 3.若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为a = ．【答案】4【解析】试题分析：2V a =⨯=4a =． 考点：棱柱的体积．【名师点睛】1．解答与几何体的体积有关的问题时，根据相应的体积公式，从落实公式中的有关变量入手去解决问题，例如对于正棱锥，主要研究高、斜高和边心距组成的直角三角形以及高、侧棱和外接圆的半径组成的直角三角形；对于正棱台，主要研究高、斜高和边心距组成的直角梯形．2．求几何体的体积时，若给定的几何体是规则的柱体、锥体或台体，可直接利用公式求解；若给定的几何体不能直接利用公式得出，常用转换法、分割法、补形法等求解．4.如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB u u u u r 的坐标为(4,3,2)，则1AC u u u u v 的坐标为________【答案】(4,3,2)-【解析】如图所示，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，因为1DB u u u u r 的坐标为(4,3,2)，所以(4,0,0),(0,3,2)A C ,所以1(4,3,2)AC =-u u u u v .5.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）. 【答案】1arccos 3.【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由题意23rl r ππ=，即3l r =，母线与底面夹角为θ，则1cos 3r l θ==为，1arccos 3θ=. 【考点】圆锥的性质，圆锥的母线与底面所成的角，反三角函数.6.已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，,A B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图，若直线OA 与OB 所成角的大小为6π，则1r=__________【答案】【解析】 试题分析：如图，过A 作与BC 平行的母线AD ，连接OD ，则∠OAD 为直线OA 与BC 所成的角，大小为，在直角三角形ODA 中，因为∠OAD=，所以，故答案为。

绝密★启用前上海市上海交通大学附属中学2018-2019学年高二下学期3月月考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．在下列命题中，不是公理的是（ ） A ．平行于同一个平面的两个平面平行B ．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线2．(2017·吉安二模)若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ∥c ，则直线a 与c ( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定是异面直线 D ．一定垂直3．在四边形()()1,2,4,2,ABCD AC BD ==-u u u r u u u r 中，则该四边形的面积为（ ）A B ．C ．5D ．104．已知动点P 的横坐标x 、纵坐标y 满足：①cos sin 1()x y R ααα+=∈；②224x y +≤，那么当α变化时，点P 形成的图形的面积为（ ）A ．πB ．3πC ．4πD ．4π-第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明………○…………线…※※题※※………○…………线…5．复数23i+（i是虚数单位）的模是__________．6．在如图所示的正方体1111ABCD A B C D-中,异面直线1A B与1B C所成角的大小为_______.7．已知点(1,3)A，(4,1)B-，则与向量ABu u u r方向相同的单位向量的坐标为____________.8．以双曲线22145x y-=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为_____．9．已知两圆2210x y+=和22(1)(3)20x y-+-=相交于A B，两点，则直线AB的方程是．10．将参数方程12cos2sinxyθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）化为普通方程，所得方程是_____；11．已知椭圆22215x yt t+=的焦距为t=__________．12．已知2ai+，b i+是实系数一元二次方程20x px q++=的两根，则p q+的值为__________．13．若,a b为非零实数，则下列四个命题都成立：①1aa+≠②()2222a b a ab b+=++③若a b=，则a b=±④若2a ab=，则a b=．则对于任意非零复数,a b，上述命题仍然成立的序号是_____．14．如图，S是三角形ABC所在平面外的一点，SA SB SC==，且2ASB BSC CSAπ∠=∠=∠=，M、N分别是AB和SC的中点，则异面直线SM与BN所成角的大小为__________（用反三角函数表示）．……装…………………线…………○……_______姓名：__________……装…………………线…………○……15．已知直线m 、n 及平面，其中m ∥n ，那么在平面内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集．其中正确的是 ． 16．动点(),P x y 在直角坐标系平面上能完成下列动作，先从原点O 沿东偏北02παα⎛⎫≤≤⎪⎝⎭方向行走一段时间后，再向正北方向行走，但何时改变方向不定，假定(),P x y 速度为10米/分钟，则当α变化时(),P x y 行走2分钟内的可能落点的区域面积是__________． 三、解答题17．如图，ABCD 是正方形，直线PD ⊥底面ABCD ，PD PC =，E 是PC 的中点.（1）证明：直线//PA 平面EDB ；（2）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正切值.18．已知椭圆的焦点为()1,0F t -，()2,0F t ，（0t >），P 为椭圆上一点，且12||F F 是1||PF ，2||PF 的等差中项.（1）求椭圆方程；（2）如果点P 在第二象限且12120PF F ∠=︒，求12tan F PF ∠的值.19．已知平面α与平面β的交线为直线l ，m 为平面α内一条直线；n 为平面β内一条直线，且直线,,l m n 互不重合.……○…………※题※※……○…………（2）若//m n ，判断直线l 与直线m 的位置关系并证明.20．现代城市大多是棋盘式布局（如北京道路几乎都是东西和南北走向）.在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图）.在直角坐标平面内，我们定义()11,A x y ，()22,B x y 两点间的“直角距离”为：()1212AB D x x y y =-+-.（1）在平面直角坐标系中，写出所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标.（格点指横、纵坐标均为整数的点）（2）求到两定点1F 、2F 的“直角距离”和为定值()20a a >的动点轨迹方程，并在直角坐标系内作出该动点的轨迹.（在以下三个条件中任选一个做答）①()11,0F -，()21,0F ，2a =； ②()11,1F --，()21,1F ，2a =； ③()11,1F --，()21,1F ，4a =. （3）写出同时满足以下两个条件的“格点”的坐标，并说明理由（格点指横、纵坐标均为整数的点）.①到()1,1A --，()1,1B 两点“直角距离”相等； ②到()2,2C --，()2,2D 两点“直角距离”和最小.参考答案1．A 【解析】试题分析：选项A 是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的． B,C,D 四个命题是平面性质的三个公理，所以选A ． 考点：点，线，面的位置关系． 2．D【解析】两条平行线中一条与第三条直线垂直，另一条直线也与第三条直线垂直， 故选D. 3．C 【解析】注意到两向量的纵坐标都为2，所以借助坐标系如图，1(14)*252S =+=.或者注意到·0AC BD =u u u r u u u r 分为四个小直角三角形算面积. 【考点定位】本题的处理方法主要是向量的平移，所以向量只要能合理的转化还是属于容易题. 4．B 【解析】 【分析】根据方程cos sin 1x y αα+=表示单位圆的切线，可知P 点形成的图形为圆环，由两圆面积作差可求得结果. 【详解】方程cos sin 1x y αα+=表示单位圆的切线P ∴形成的区域为222214x y x y ⎧+≥⎨+≤⎩构成的圆环 ∴区域面积43S πππ=-=故选：B 【点睛】本题考查动点轨迹形成区域面积的求解问题，关键是能够通过动点满足条件，准确找到所构成的平面区域. 5【解析】 【分析】根据复数模长的定义直接求解即可得到结果. 【详解】23i +==【点睛】本题考查复数的模的求解，属于基础题. 6．3π【解析】试题分析：将1B C 平移到1A D 的位置，所以异面直线所成角转化为1BA D ∠，由于1BA D ∆是正三角形，所以13BA D π∠=考点：异面直线所成角 7．34(,)55- 【解析】∵点()1,3A ，()4,1B -，∴()3,4AB =-u u u v，可得5AB ==u u u v， 因此，与向量AB u u u v 同方向的单位向量为：()1343,4,555AB e AB ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭u u u vr u u u v故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭8．22195x y +=【解析】 【分析】本题首先可以确定双曲线的焦点、顶点坐标，然后通过题意可以确定椭圆的顶点、焦点坐标，最后通过椭圆的相关性质即可求椭圆的方程。